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Fundamentos para el Cálculo
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 1
Unidad 4:
FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS
Clase 4.1: Límite de una función
Límites laterales
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FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 2
¡Reflexión!
Suponga que la función costo promedio unitario, en dólares por tonelada, al producir q toneladas de arroz está dado por
¿A qué valor se acerca el costo promedio unitario cuando se produce cada vez menos, cercano a cero toneladas?
qqC
200050)(
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Veamos el comportamiento de la función g(x) = 2x + 1 para valores de x próximos a 2.
x g(x)
1,9 4,8
1,99 4,98
1,999 4,998
1,9999 4,9998
2 5Observe que a medida que el valor de x se acerca a 2, el valor g(x) se acerca a 5.
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 3
x g(x)
2,1 5,2
2,01 5,02
2,001 5,002
2,0001 5,0002
2 5
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4
Definición
Si f (x) se acerca más y más al número L cuando x se aproxima cada vez más a a, entonces L es el límite f (x) cuando x tiende a a.
Este comportamiento se expresa:
x→ a ←x
L
f (x)↓
↑f (x)
x
y
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
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5
Ejercicio 1:
Determine el límite mediante aproximaciones.
11
lim3
1
xx
xa.
b.
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
20
1lim
xx
)(lim xfax
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6
Vemos que f (x) tiende a 4.
Cuando x se aproxima a 3 con valores mayores a 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha.
x
Esto se simboliza por:
4)(l im3
xfx
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
Consideremos la función f definida por:Límites laterales
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7
Cuando x se aproxima a 3 con valores menores a 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda.
Vemos que f (x) tiende a 4.
Esto se simboliza por:
4)(l im3
xfx
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
x
Límites laterales
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xx
8
Si realizamos ambas aproximaciones a la vez vemos que
f (x) tiende a 4 y se simboliza por
4)(l im3
xfx
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
Se aprecia que cuando x 3 ya sea por la izquierda o por la derecha, f (x) 4
Límites laterales
Decimos que existe si y sólo si
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9
¿qué ocurre con el valor de g (x) cuando x 3 ?
x x
Veamos el comportamiento de la función g cuando x se aproxima a 3
3si,8
3si,1)(
xx
xxxg
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
Se aprecia que
5)(lim3
xgx
4)(lim3
xgx
Por lo tanto existe no)(lim3
xgx
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10
Ejercicio 2:(a) De la gráfica de la función f, determine el límite de f (x) cuando x tiende a: −4, − 3, − 2, 0, 2, 3, 4, 5.
1 2 3 4 5 x
1
2
3
4
5
−1−2−3−4−5−6−1
−2
−3
−4
y
f
FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
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11
Fórmulas de limites
1.
2.
2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
ccax
lim
nn
axax
lim
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12
Propiedades de los limites
1.
2.
3.
Si y existen, entonces
2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
)(lim xfax
)(lim xgax
)(lim).(lim))(.(lim xgxfxgfaxaxax
)(lim)(lim))((lim xgxfxgfaxaxax
)(lim)(lim xfcxcfaxax
Si f es una función polinomial, entonces
)()(lim afxfax
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13
Propiedades de los limites
4.
5.
Si y existen, entonces
2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
)(lim xfax
)(lim xgax
,)(lim
)(lim))((lim
xg
xfx
gf
ax
ax
ax
0)(limsi
xg
ax
nax
n
axxfxf )(lim)(lim
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14
Ejercicio 3:
521
lim5
x
x
x
a.
b.
c.
Calcule los siguientes límites, si existen:
2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO
4
16lim
16
x
xx
3364
lim2
3
xx
x
23
12
2
1lim
xx
x
x3
36lim
2
0
x
xx
4
7lim
3
x
xx
d.
e.
f.