fundamentos matemáticos nuevo

7/17/2019 Fundamentos Matemáticos Nuevo

http://slidepdf.com/reader/full/fundamentos-matematicos-nuevo 1/112

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M. Página 1

1.0 LEYES DE LOS EXPONENTES YRADICALES

Sea ya y b m y n entonces se cumple

que:

)

)

)

) 0

) 0 entonces

m n m n

nm mn

n n n

n n

n

mm n

n

i a a a

ii a a

iii ab a b

a aiv si b

b b

av si a a

a

Además:

01 11

n n

n n

n m

m n

a a aa a

a b

b a

1

para cada y cada existe un único tal que

este número real se denota comon n n

a n b

b a b a a

)

)

)

)

mn mn m n

n n n

nn

n

m n mn

i a a a

ii ab a b

a aiii

b b

iv a a

Ejemplo 1: aplica la ley de los exponentes para

simplificar la siguiente expresión 3 3

1 2 2 2 x y x y

3 3

1 2 2 2 3 6 6 6

3 6 6 6 3

x y x y x y x y

x y x

Ejemplo 2: aplica la ley de los exponentes parasimplificar la siguiente expresión

31 2 3 6

2 6 43 2

6 43 6 3 2

3 2

1

x y x y

x y x y

x y x y x y


11 2 3

3

2 3 2 3

2 3

2 25 8 2 5 2

5 4 125 5 2 5

2 5 2 2 2 25 2 5 5 5 5

2 22 3 1

5 5

x x

x x

x

x x

Ejemplo 4: aplica la ley de los exponentes paraencontrar el valor de x

21 2

11 1 12 2

2 2 23 3 3

2 2 2

1

2 2 23

2 1

3

x y x y x y

z z z

x y z y

z x


2 2

4

22 44

4

4 4 4

4

1 1 12 16 2

4 2 2

1 1 1 1 12

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 22

4 4 8

x x

x x

x x

x x






2 232 2 3

3 3 2 2 3 6 6

18 8 2 2 2

2

2 2 2 2

3 6 6

3 6 6 0 7 3 0

37 3

7

x x x x

x x x x

x x

x x x

x x


3 3 3

2

3 3 2 3 3 2

3 3 2

1 1 1 19 3

3 27 3 3

1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3

1 13 3 2

3 3

3 3 2 0 3

x x x x

x x x x

x x

x x

x x x


4 2 422 2

4 44

4

44

1 1 1 116 4

4 2 4 4

1 1 1 1 14

4 4 4 44

1 1 1

4 44

4 4 4 4 0

45 4

5

x x x x

x x x

x

x x

x x x x

x x


3 1

3 1

1125 5 5

5

15 5 3 1

3

x x

x x x


2 3 22

3 2 3 1 1 2

3 2 2

1 1 1 1 14

64 2 4 4 4

1 1 1 1 1 1

4 4 4 4 4 4

1 13 2 2

4 4

23 2 2 5 2

5

x x x

x

x x x x

x x

x x

x x x x


13

13

2 2

2

2 2 12 2 2 2

1 14 4 4 4

1 1 19 27 9

81 9 27

19 9 3 3 3

3

3 3 3 3 3

34 4 1 4 3

4

x x

x x

x x

x x x






Ejemplo 3: Realiza el siguiente producto

22

2 2

2 2 2 2 2 23 3 3

4 2 89 9

y y y x x x

y y x x

Ejemplo 4: Desarrolla la siguiente diferencia decuadrados

2 2 2 2 2 24 4 4

9 25 9 25 9 25

2 23 5 3 5

x y x y x y

x y x y

Ejemplo 5: Realiza el siguiente producto

22

3 2 3 2 3 2

9 4

x x x

x

Ejemplo 6: Racionaliza el denominador de la

siguiente expresión

5 2 3

4 3

22

5 2 2 4 35 2 3 4 3

4 3 4 3 4 3

20 5 3 8 3 6 26 13 3 26 13 3

16 3 13 13 13

2 3


siguiente expresión2 2 3 3

2 2 3

2 2

2 2 3 3 2 2 3

2 2 3 2 2 3

2 2 2 4 2 3 3 2 3 6 3 3

2 2 3

2(2) 4 6 3 6 6(3) 4 6 18

2 4 3 10

14 6

10


siguiente expresión2

2 8 3

2 2

2 2 2

2 8 3 2 4 2 32 4 2 3

2 2 3 2 3

2 2 2 3 3 2 3 3 2 3

3 2 63 2 2 2 3 6 6

9 2 3 153 2 3

6 6

15


siguiente expresión3 2

18 12

2 2

3 2 3 2 3 2

18 12 9 2 4 39 2 4 3

3 2 3 2 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 3 2 3 3 3 2 2 2 3 2

3 2 2 3

3 6 2 3 3 2 2 6 5 6 12 5 62

9 2 4 3 6 6






siguiente expresión3

27 50

2 2

3 3 3

27 50 9 3 2 259 3 2 25

3 3 3 5 2 3 3 3 5 3 2

3 3 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2

3 3 5 6 9 5 6

9 3 25 2 23

1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

1.2.1 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS La multiplicación de dos polinomios de la forma

11 1 0

n nn na x a x a x a x

y

11 1 0

n nn nb x b x b x b x

, se efectúa de la siguiente

manera. Esta multiplicación se realiza multiplicandocada término del primer polinomio por cada uno de lostérminos del segundo polinomio. Al finalizar lasmultiplicaciones se reducen los términos semejantes

Ejemplo 1: Resuelve la siguiente operación

3 2 2

3 2 4 2 2 x x x x x 3 2

2

5 4 3 2

4 3 2

3 2

5 4 3

3 2 4

2 2

2 6 4 8

3 2 4

2 6 4 8

2 7 3 8 8

x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

Ejemplo 2: Resuelve la siguiente operación 2 22 4 2 1 x x

2 2 2 2

2

2

4 3 2

2

4 3 2

2 4 2 1 4 16 16 2 1

4 16 16

2 1

8 32 32

4 16 16

8 32 28 16 16

x x x x x

x x

x

x x x

x x

x x x x

1.2.2 DIVISIÓN DE POLINOMIOSDivisión de un polinomio de la forma

11 1 0

n nn na x a x a x a

por otro polinomio de la

forma 11 1 0

n nn nb x b x b x b

El proceso de ésta

división es muy parecida al proceso que se emplea en ladivisión en aritmética. Siempre se obtiene un cociente y un residuo que puede ser cero o un polinomio con gradomenor que el del divisor

cocientedivisor dividendo

residuo

Para realizar éste proceso es necesario ordenar primeramente los polinomios con respecto a la literal.

Ejemplo 1: Resuelve la siguiente operación2

2 1

x

x x

3 2

2 5 3 2

5 4 3

4 3 2

4 3 2

3

2 2 1 2 4 2

2 2

2 2 4 2

2 2

4 2

.

x x

x x x x x x

x x x

x x x x

x x x

x

sol x x

2

2

4 2

2 2 1

x

x x


2 1

x

x x





2 2

2

2

1

1

1

1

1

. 1 1

x x x

x x

x

x

sol x x


2 1

x

x x

2

2 4

4 3 2

3 2

3 2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 4 4

2 4

2 4 4

x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

2

2

4

4. 2 2

2 2 sol x x

x x

Ejemplo 4: Resuelve la siguiente operación5 2

4 4

3

x x x

x

4 3 2

5 2

5 4

4 2

4 3

3 2

3 2

2

3 9 31 89

3 4 4

3

3 4 4

3 9

9 4 4

9 27 4

31 4

x x x x

x x x x

x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x

2

4

31 9389

89 267267

.

x x x x

sol x

3 2 2673 9 31 89

3 x x

x


2

4 3 3

4 3

x x

x

2 34

2 4

4 2

2

2 9

43

4

32 43

4 2

4 3 4 3 3

4 3

3 3 3

3

3

3 .

4 3

x

x x x

x x

x x

x

x

x sol x

x

1.2.3 SUMA Y DIFERENCIA DEFRACCIONES ALGEBRAICAS.

Para resolver una suma de fracciones algebraicas seutiliza un procedimiento similar al de las fraccionesnuméricas. Pero se recomienda que primero se simplifiquenlas fracciones a su mínima expresión.

Sia

b

c

d , con b,c 0, son dos fracciones

algebraicas entonces la suma se define como;





a c ad cb

b d bd

1.2.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.

Sia

b

c

d , con b,d 0 son fracciones

algebraicas entonces el producto o multiplicación se definecomo;

a c ac

b d bd

1.2.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES.

Sia

b

c

d , con b,d 0 son fracciones

algebraicas entonces la división se define como;

a c a d ad

b d b c bc


2 x y x

x y x

2 2 2 2

22

2 2

x y x x x y x y x x y x x x y

x x y x x y

x x y x x y


2

2 2

x y

x y x y

22

2 2 2 2

2

x x y x y

x y x y y x y

x x y

y x y x y

2 x

y x y


x

x

x

x

1

1

1

2 12

2

2 2

1 11

1 1 2 1

1 2 1 11 1

1 2 2 1

2 2 1 2 3

2( 1) 2 1

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x

x x

1.3 FACTORIZACIÓN PORAGRUPAMIENTO DE TÉRMINOS

La agrupación puede hacerse de más de unmodo, lo único que se pide es que las dos expresionesque se agrupan, tengan algún factor común y que las

cantidades que quedan dentro de los paréntesis, después desacar el factor común en cada grupo, sean exactamenteiguales.

Ejemplo 1: Factoriza la siguiente expresión2a ab ax bx

2a ab ax bx a a b x a b

a x a x

Ejemplo 2: Factoriza la siguiente expresión3 24 1 4a a a

3 2 2 2

2

4 1 4 4 1 1

1 4 1

a a a a a a

a a

Ejemplo 3: Factoriza la siguiente expresión2 215 6 5 2bz bx a z a x

2 2 2 2

2

15 6 5 2 5 3 2 3

3 5 2

bz bx a z a x z b a x b a

b a z x

Ejemplo 4: Factoriza la siguiente expresión2 2 2 2 2 23 3a x bx a y by





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 3 3

3

a x bx a y by a x y b x y

x y a b

Ejemplo 5: Factoriza la siguiente expresión2 2 2 2 3

2 2 x y xz y z xy

2 2 2 2 3 2 2 2

2 2

2 2 2

2

x y xz y z xy x xy z y z xy

z xy x y

1.3.1 FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIOCUADRADO PERFECTO.

Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomioordenado respecto a una literal, en el cual el primero ytercer término tienen signo positivo, además dichostérminos tienen raíz cuadrada exacta. Pero el segundo

término es el doble producto de las raíces.

22 2

22 2

2

2

a ab b a b

a ab b a b

Para saber si un trinomio es cuadrado perfecto, lo primeroes ordenar el trinomio respecto a una literal, posteriormentese obtienen las raíces cuadradas del primer y tercertérmino, después se obtiene el doble producto de las raíces,

si este producto es exactamente igual al segundo términoentonces el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo 1: Factoriza la siguiente expresión6 32 1 x x

3 6 6 3

6 3 3

26 3 3

2 1 2 1

1 1 2

2 1 1

x x x x

x x y x

si es trinomio cuadrado perfecto

x x x

Ejemplo 3: Factoriza la siguiente expresión

4 21 1 1

4 2 4 y y

4 2

4 2 2 2

24 2 2

1 1 1

4 2 4

1 1 1 1 1 1 12

4 2 4 2 2 2 2

1 1 1 1 1

4 2 4 2 2

y y

y y y y y


y y y

Ejemplo 4: Factoriza la siguiente expresión2 24 25 36 20 x y xy

2 2 2 2

2 2

22 2

2

4 25 36 20 4 20 25 36

4 2 25 5 2 2 5 20

4 20 25 36 2 5 36

esta espresión es una diferencia de cuadrados

2 5 36 2 5 6 2 5 6

x y xy x xy y

x x y y y x y xy

x xy y x y

x y x y x y

Ejemplo 5: Factoriza la siguiente expresión2 24 4 x xy y

2 2

2 2

22 2

4 4

4 2 2 2 4

4 4 2

x xy y

x x y y y x y xy


x xy y x y

Ejemplo 6: Factoriza la siguiente expresión4 2 249 25 9 42 x x y xy

4 2 2 4 2 2

4 2 2 2

24 2 2 2 2

22 2 2 2

49 25 9 42 49 42 9 25

49 7 9 3 2 7 3 42

49 42 9 25 7 3 25

esta espresión es una diferencia de cuadrados

7 3 25 7 3 5 7 3 5

x x y xy x xy y x

x x y y y x y xy

x xy y x x y x

x y x x y x x y x





1.3.2 FACTORIZACIÓN COMPLETANDOUN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.En ocasiones se presentan trinomios que no son cuadrados

perfectos, y es necesario completarlo para formarlo como untrinomio cuadrado perfecto.Para este procedimiento se le puede sumar y restar lamisma cantidad que le haga falta al trinomio para sercuadrado perfecto.

Ejemplo 1: Factoriza la siguiente expresión4 216 12 1 x x

4 2

4 2 2 2

24 2 2 2 2

.

6 12 1 para ser cuadrado perfecto

se debe tener que

16 4 1 1 2 4 8

entonces el segundo término se puede descomponer

16 8 1 4 4 1 4 la cual es

T cuadrado perfecto

x x

x x y x x

x x x x x

2

2 2

una diferencia de cuadrados 4 1 2

= 4 1 2 4 1 2

x y x

x x x x

Ejemplo 2: Factoriza la siguiente expresión4 44 x y

4 4

4 2 4 2 2 2 2 2

4 2

4 para ser cuadrado perfecto

se debe tener que

4 2 2 2 4

podemos observar que el segundo termino tenemos

que agregarlo entonces podemos hacer lo siguiente

4 4

x y

x x y y y x y x y

x x

22 4 2 2 2 2 2 2

.

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 4

la cual es una diferencia de cuadrados y sus

raices son 2 2

= 2 2 2 2

T cuadrado perfecto

y y x y x y x y

x y y x y

x y x y x y x y

Ejemplo 3: Factoriza la siguiente expresión2 46 1 y y

4 2

4 2 2 2

4 2

.

6 1 para ser cuadrado perfecto

se debe tener que

1 1 2 1 2

podemos observar que el segundo termino es

diferente entonces podemos hacer lo siguiente

2 1

T cuadrad

y y

y y y y y

y y

22 2 2

2 2

2 2 2 2

4 1 4

la cual es una diferencia de cuadrados y sus

raices son 1 2

= 1 2 1 2

o perfecto

y y y

y y y

y y y y

1.3.4 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO

DE LA FORMA. 2 x Bx C

Suponiendo que la factorización de éste trinomio se puede realizar mediante la multiplicación de dos paréntesiscomo se muestra a continuación.

2 ( )( ) x Bx C x a x b

Donde a y b son dos números enteros, por lo tanto

realizando la multiplicación de los paréntesis se tiene:

2

2

2 2

factorizando tenemos

x a x b

x axbx ab

x ax bx ab x

x Bx C x a b x ab

Para que se cumpla la igualdad anterior debemos buscarlos números enteros que

a b B pero ab C

Ejemplo 1: Factoriza el siguiente trinomio2

4 60 x x Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 6 10 12 15

2

10 6 4 60

4 60 10 6

a b a b ab

x x x x

Ejemplo 2: Factoriza el siguiente trinomio





2 218 7 7 18 x x x x

Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 6 9 18

2

2 9 7 18

7 18 2 9

a b a b ab

x x x x


13 36 x x Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 4 9 12 18 36

2

4 9 13 36

13 36 4 9

a b a b ab

x x x x

Ejemplo 4: Factoriza el siguiente trinomio2 7 44 x x

Los posibles números son los divisores del término

constante 1 2 4 11 22 44

2

11 4 7 44

7 44 11 4

a b a b ab

x x x x


2 2 2 211 28 11 28 x xy y x y x y

Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 4 7 14 28 y y y y y y

2

2 27 4 11 2811 28 7 4

a y b y a b y ab y x xy y x y x y


2 2 2 256 56 x xy y x y x y

Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 7 8 28 56 y y y y y y

2

2 2

7 8 56

56 7 8

a y b y a b y ab y

x xy y x y x y

Ejemplo 7: Factoriza el siguiente trinomio4 23 4 x x Utilizando un cambio de variable se

tiene que si 2 4 2 x z x z

4 2 23 4 3 4 x x z z

Los posibles números son los divisores del término

constante 1 2 4

2 2

1 4 3 4

3 4 1 4 como

a b a b ab

z z z z z x

4 2 2 23 4 1 4 x x x x pero el primer

paréntesis es una diferencia de cuadrado entonces la

factorización es

4 2 2

3 4 1 1 4 x x x x x

Ejemplo 8: Factoriza el siguiente trinomio4 2

6 8 x x Utilizando un cambio de variable se


4 2 26 8 6 8 x x z z

Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 4 8

2 2

4 2 6 8

6 8 4 2 como

a b a b ab

z z z z z x

4 2 2 26 8 4 2 x x x x pero el primer paréntesis es una diferencia de cuadrado entonces la

factorización es 4 2 26 8 2 2 2 x x x x x

Ejemplo 9: Factoriza el siguiente trinomio4 28 16 x x Utilizando un cambio de variable se

tiene que si2 4 2

x z x z 4 2 28 16 6 16 x x z z

Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 4 8 16

2 2

4 4 8 16

8 16 4 4 como

a b a b ab

z z z z z x

4 2 2 28 16 4 4 x x x x pero los dos paréntesis

son una diferencia de cuadrado entonces lafactorización es

4 2

2 28 16 2 2 2 2

2 2 x x x x x x

x x

1.3.5 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO

DE LA FORMA 2 Ax Bx c





La factorización de un trinomio de la formaanterior, se puede realizar utilizando el método deltrinomio anterior. Para esto primero se multiplicatodo el trinomio por el valor de A, y para que no sealtere la igualdad se divide entre A.

2

22

2

multiplicando por Ax Bx C A

Ax Bx C AAx ABx AC A

A A

Ax B Ax AC

A

Si se utiliza un cambio de variable, entonces se propone Ax z dónde z es la nueva variable, al sustituirloen la expresión anterior se tiene:

2

2 z B z AC Ax Bx c

A

2 z a z b Ax a Ax b Ax Bx c

A A

Para que se cumpla la igualdad anterior debemos buscarlos números enteros que

a b B pero ab AC


24 11 6 x x si utilizamos

Ax a Ax b

A

Dónde: 24a b B pero ab AC AC

Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 4 12 24

2

8 3 11 244 8 4 3 4 8

4 34 4

4 11 6 2 4 3

a b a b ab x x x

x

x x x x


2

2 13 15 x x si utilizamos

Ax a Ax b

A


Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 5 10 15 30

2

3 10 13 302 3 2 10 2 10

2 32 2

2 13 15 2 3 5

a b a b ab x x x

x

x x x x


12 5 2 x x 2 2

2 5 12 2 5 12 x x x x

Si utilizamos Ax a Ax b

A

Dónde:

24a b B pero ab AC AC Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 6 8 12 24

2

8 3 5 242 8 2 3 2 8

2 32 2

2 5 12 2 4 2 3

a b a b ab x x x

x

x x x x


26 11 4 x x Si utilizamos

Ax a Ax b

A


Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 6 8 12 24

2

3 8 11 246 3 6 8 6 3 6 8

6 3 2

6 11 4 2 1 3 4

a b a b ab x x x x

x x x x


24 21 18 x x Si utilizamos Ax a Ax b

A

Dónde:

72a b B pero ab AC AC Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 6 8 9 12 18 24 36 72

2

24 3 21 724 24 4 3 4 24

4 34 4

4 21 18 6 4 3

a b a b ab x x x

x

x x x x






4 29 14 8 x x Utilizando un cambio de variable se


4 2 29 14 8 9 14 8 x x z z

Si utilizamos Az a Az b

A

Dónde:

72a b B pero ab AC AC Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 6 8 9 12 18 24 36 72

2

4 18 14 729 4 9 18 9 18

9 49 9

9 14 8 9 4 2

a b a b ab z z z

z

z z z z

Como 2 x z 2 29 4 2 x x

pero el primer paréntesis es una diferencia decuadrado entonces la factorización es

4 2 29 14 8 3 2 3 2 2 x x x x x


4 3 2 2 22 7 6 2 7 6 x x x x x x Si utilizamos

Ax a Ax b

A

para el trinomio del paréntesis


Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 4 12

2

4 3 21 122 4 2 3 2 4

2 32 2

2 7 6 2 2 3

a b a b ab x x x

x

x x x x

4 3 2 2 2

4 3 2 2

2 7 6 2 7 6

2 7 6 2 2 3

x x x x x x

x x x x x x

1.4 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.Simplificar una fracción es convertirla en una

fracción equivalente, cuyos términos sean irreducibles,entonces se dice que la fracción está reducida a su mássimple expresión o a su mínima expresión.

Para simplificar una fracción es necesario descomponer ofactorizar el numerador y el denominador, por factores

iguales que se estén multiplicando. Se pueden cancelarlos términos iguales del numerador con los del denominador.Para simplificar una fracción algebraica se utiliza la propiedad:

Ejemplo 1: simplifica la siguiente expresión algebraica

x

x

x

x

1

1

1

2 12

2

2 2

1 11

1 1 2 1

1 2 1 11 1

1 2 2 1

2 2 1 2 3

2( 1) 2 1

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x

x x


2 2 2

3

2 2 3 5 6

x x

x x x x x x

3

2 1 3 1 3 2

3

2 1 3 1 3 2

x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

2

2

22 2

3 3 2

3 2 1 3 2

3 3 6

3 2 1 3 2

6

3 2 1 3 2

1 6 1 6

3 2 1 3 2 1

6

3 2 1

x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

x x x


2

2 3 4 7

3 2 6

x

x x x x

ac

bc

a

b





2 3 4 7

3 2 3 2

2 2 3 3 4 7

3 2 3 2

2 4 3 9 4 7

3 2 3 2

5 5 4 7

3 2 3 2

5 5 4 7 5 5 4 7

3 2 3 2

2 1

3 2 3

x

x x x x

x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x x x


1 1 52 2 3 3 6 6 18 18

x x x x x x x

1 1 5

2 1 3 1 6 1 18 1

9 1 6 1 1 3 1 1 5 1

18 1 1 18 1 1

x x x

x x x x

x x x x x x x

x x x x

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

9 9 6 2 1 3 2 1 5 5

18 1 1 18 1 1

9 9 6 12 6 3 6 3 5 5

18 1 1 18 1 1

3 21 6 3 11 2

18 1 1 18 1 1

3 21 6 3 11 2 6 32 8

18 1 1 1

x x x x x x x

x x x x

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x

8 1 1 x x

Ejemplo 5: simplifica la siguiente expresión algebraica2

2 2

3 3 x y y x

x y y x x y

2

2

2

2

2 2 2

2

2 2 2

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3 3

2

2 2

x y y x

x y x y x y y x

x y y x

x y x y x y x y

x y y x

x y x y x y x y

x y x y y x

x y x y x y

x xy xy y y x

x y x y x y

x xy x

x y x y x y

x xy x x y x xy x

x y x y

22 3

xy

x y x y

x xy

x y x y


22

1

11

1

1

1

a a

a aa a

a a

a a

a a

2 21

1

a a

a a

22

2 2

2 2

2

1

1

1 2

1 2

a a

a a

a a a

a a

2a

22 2 1

1 2

a a

a


x x

x x

x

x

x x

x x

2

2

2

2

2

2

8 7

11 30

36

1

42

4 5





1 7 6 6 6 7

5 6 1 1 1 5

1

x x x x x x

x x x x x x

x

7 6 x x

6

5 6

x

x x

1 x

6 7

1 51

7 6 6 7

5 1 1 5

7 6 1 51

5 1 6 7

x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

1.5 ECUACIONES LINEALES CON UNAVARIABLE.

Una ecuación lineal con una variable es una igualdadde dos o más expresiones algebraicas, las cualescontienen una variable llamada incógnita. La incógnita es

un número desconocido, generalmente representado por lasúltimas letras del alfabeto como son r, s, t, u, v, w, x, y, z

En otras palabras resolver una ecuación significa encontrartodos los posibles valores numéricos dé la incógnita, talesque al sustituirlos en la ecuación se reduce a una identidadnumérica.Las ecuaciones tienen una o más soluciones, llamadastambién raíces de la ecuación. El número de raíces osoluciones de cada ecuación está dado por el grado querepresente la ecuación. Donde el grado de una ecuación estárepresentado por el mayor exponente que tenga la incógnitaResolver una ecuación de primer grado con una incógnita,

es encontrar el valor que representa la variable parasatisfacer la igualdad.

Ejemplo 1: resolver la ecuación siguiente

x x

x

5 1

34

3

5

3 5 1 5 4 3

3 5

3 5 1 20 3

3 5

2 1 20 3

3 55 2 1 3 20 3

10 5 60 9

5 9 60 10

14 114 70

70 5

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x x

Ejemplo 2: resolver la ecuación siguiente2

4 1

3

4 1 x x

2 4 1 3 4 1

8 2 12 3

8 12 3 2

54 5

4

x x

x x

x x

x x


x b

a

x a

b

2

2 2

2 2

2

2

2

2

2

2

b x a x b

a bb x b a b x a

bx b ab ax a

bx ax b ab a

x b a b a

b a x b a x a b

b a


5 19 5 1 x x

2 2

2 2

22

5 19 5 1

5 19 5 1

5 19 5 2 5 1 1

5 19 5 2 5 1

5 19 5 1 2 5

20 2 5 20 2 5

400 4 520 400

40020 20

20

x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x






7 5 2 93 x

3

3

3 33

5 2 9 7

5 2 2

5 2 2

5 2 8 5 10 2

x

x

x

x x x


3 5 3 14 9 x x

2 2

2

22

3 5 3 14 9

3 14 9 3 5

3 14 9 3 5

3 14 81 2 9 3 5 3 5

3 14 81 18 3 5 3 5

3 3 14 81 5 18 3 5

90 18 3 5 90 18 3 5

8100 324 3 5 8100 972 1620

8100 1620 972 9720 972

972010

972

x x

x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

Ejemplo 7: resolver la ecuación siguiente3 2 1

4 3 6

x x x

3 2 1

4 3 66 2 3 13

4 183 12 6 3 3

4 183 9 9

18( 3) 4 9 94 18

18 54 36 36 18 36 36 54

18 154 18

54 3

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x


2

2 3 2 5 2 1 0 x x x

2

2 2

2

2 3 2 5 2 1 0

4 10 6 15 4 4 1 0

4

x x x

x x x x x

x

24 15 4 x x 4 1 0

8 16 0

168 16 28

x

x

x x

1.6 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOCON UNA VARIABLE.

Recordando que una ecuación de segundo grado,es toda ecuación en la cual una vez simplificada, el exponentemayor de la incógnita es dos.Una ecuación de segundo grado generalmente se representa

por;

2 0ax bx c

Este tipo de ecuaciones se puede dividir en ecuacionesincompletas, y ecuaciones completas.

2

2

2

0ecuaciones incompletas

0

ecuaciones completas 0

ax bx Ecuaciones de

ax c segundo grado

ax bx c

Para encontrar las soluciones de una ecuación desegundo grado de su forma incompleta de la forma

2 0ax bx Este tipo de ecuaciones tiene una solución igual acero ya que si observamos lo siguiente:

20

0 para que se cumpla la igualdad se

tiene que:

0 y 0

donde ,

ax bx

x ax b

b x ax b x

a

a b

Para encontrar la soluciones de una ecuación de la

forma: 2 0ax c basta con despejar la variable dela ecuación;





2 2 20

,

cax c ax c x

a

c x con a c

a

1.6.1 ECUACIONES DE LA FORMA

2ax bx c

Para resolver éste tipo de ecuaciones, existen diferentesmétodos como son factorización, completar el trinomio, yfórmula general.MÉTODO DE FACTORIZACIÓN: Para resolver unaecuación completa por el método de factorización, esnecesario factorizar la expresión con los métodos defactorización vistos.Posteriormente como los factores están igualados a cero,y para que se cumpla dicha igualdad es necesario queuno de los dos factores sea cero. Entonces se iguala cada

uno de los factores a cero para obtener el valor de laincógnitas.Este método se utiliza cuando el trinomio que se tiene,se puede factorizar en forma sencilla y rápida.

Ejemplo 1: resolver la ecuación siguiente2 7 18 x x

2 2

1

2

7 18 7 18 0

9 2 0

9 0 9

2 0 2

x x x x

x x

x x

x x


2

1

2

4 11 6 0 24

4 3 4 8 4 80 4 3 0

4 44 3 2 0

34 3 0

4

2 0 2

x x AC

x x x x

x x

x x

x x

Ejemplo 3: resolver la ecuación siguiente22 13 7 0 x x

2

1

2

2 13 7 0 14

2 1 2 14 2 140 2 1 0

2 22 1 7 0

12 1 0

2

7 0 7

x x AC

x x x x

x x

x x

x x


4 2 2 4 2

2

2

1 2

2

3 4

3 4 0

3 4 0 1 4 0

1 entonces 1 1

4 0 entonces 4 4 2

2 2

x x si x z x z

z z z z

z x x i

x i x i

z x x

x x


4 2 2 4 2

2

21

1 2

2

3 4

2 5 12 0

2 5 12 0 24

2 3 2 8 2 80 2 3 0

2 22 3 4 0

3 32 3 0 entonces

2 2

3 3 3

2 2 2

4 0 4 entonces 44 2 entonces 2

x x si x z x z

z z AC

z z z z

z z

z z x

x x i y x i

z z x x x x

Ejemplo 6: resolver la ecuación siguiente2 16 63 x x

2

2

2

1 2

16 64 63 64

8 1

8 1

8 1 1 8

9 7

x x

x

x

x x

x x






2

2

15 56

15 56

x x

x x

2 22 15 15

2 2

215 225

2 4

2 215 152 2

1 1

2 2

15 56

56

1 14 4

15 1 15 1

2 2 2 2

15 1 147

2 2 2

15 1 168

2 2 2

x x

x

x x

x x

x x

x x

1.6.2 MÉTODO DE LA FORMULA GENERAL: Lo primero es obtener una fórmula a partir de la ecuación

2 0ax bx c

2 2

2 22 2

2 2

2 22 2

2 2

2 2

2 2

2 22

2 2

0

4 4

2 24 4

2 4

2 24 4

4 42 2 2 4

4 4

ax bx c ax bx c

a b c b b b c x x x x

a a a a aa a

b b c b b c x x

a a a aa a

b b c ax b b ac x

a a aa a

b ac b acax b a ax b a

a a

2

2 2

2

22

42 4 2 4

4

42 4

2

b acax b a ax b b ac

a

b b acax b b ac x

a


2

2

1 1

2 2

8 2 3 0

2 2 4 8 3

2 8

2 4 96

16

2 100 2 1016 16

2 10 12 3 3

16 16 4 4

2 10 8 1 1

16 16 2 2

x x

x

x

x x

x x

x x


2

2

1 1

2 2

19 88 0

19 19 4 1 88

2 1

19 361 352

2

19 9 19 3

2 2

19 3 2211

2 2

19 3 168 8

2 2

x x

x

x

x x

x x

x x


2

15 11 51

x

x x

2

2

15 11 51

15 11 51

x x

x

x x

x

2

2

2

1

2

15 11 5 1

4 5

4 5 0

5 1 0

5 0 5

1 0 1

x x x

x x

x x

x x

x x

x x





Ejemplo 10: resolver la ecuación siguiente6

3 53

x x

22 2

2

2

2

1

2

3 3 65 3 6 5 3

3

3 6 5 3 9 5 3

9 5 3 18 81 25 3

18 81 25 75

18 81 25 75 0

7 6 0 6 1 0

6 0 6

1 0 1

x x x x

x

x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

1.7 DIVISIÓN SINTÉTICA

Existe un método que nos facilita hacer la división de un

polinomio de la forma 11 1 0

n nn na x a x a x a x

con un binomio de la forma x a

El método consiste en tres renglones donde el primerrenglón está formado por los coeficientes deldividendo. La regla para formar el segundo y tercerrenglón a partir del primero es la siguiente, se poneel primer coeficiente del dividendo abajo de la raya,se multiplica por el valor de a y se pone el resultadoarriba de la raya, debajo del segundo coeficiente, y se

suma con este escribiendo el resultado abajo de laraya; se multiplica este resultado por a y se escribeel producto arriba de la raya, debajo del tercercoeficiente, y así sucesivamente hasta llegar al últimocoeficiente.El cociente está formado por los coeficientes del tercer

renglón formados por 1 21 1 0

n nn nb x b x b x b

Y el último coeficiente del tercer renglón es el residuo.

Ejemplo 1: Realiza la siguiente división

4 3 22 5 2 9 / 3 x x x x x

2 5 2 1 93

6 3 15 42

2 1 5 14 51

Entonces

3 22 5 14

51

x x x cociente

residuo

Ejemplo 2: Realiza la siguiente división

5 4 3

4 3 2

2 2 3 5 / 2

1 2 2 0 3 52

2 8 20 40 74

1 4 10 20 37 79

4 10 20 37

79

x x x x x

x x x x cociente

residuo

También este método se puede utilizar para factorizar

los polinomios con coeficientes enteros como lomuestran los siguientes ejemplos:Primero se encuentran los divisores del termino constantedel polinomio, estos divisores son las posibles raíces del polinomio, el procedimiento se realiza con divisiónsintética, pero el residuo debe ser cero. Si durante el proceso ya no se encuentran las raíces se puedeobtener un nuevo polinomio con los coeficientes delúltimo renglón.

Ejemplo 3: resuelve la siguiente ecuación3 2

1

2

3 2 6 0

1 3 2 6 3 0 6 3

1 0 2 0 3

Como no se puede obtener otra raíz real, entonces

formamos un nuevo polinomio con el residúo;

2 0

2 2

x x x

x

x

x x i

Ejemplo 4: Factoriza el siguiente polinomio 5 3 2

11 6 28 24 x x x x





1 0 11 6 28 24 1 1 10 4 24 1

1 1 10 4 24 0 2 6 8 24 2

1 3 4 12 0

2

2 10 12 2

1 5 6 0

2 6 21 3 0 3 3

1 0

La factorización es

1 2 2 3 x x x x


1

2

1 01 1 1 1

1 0 1 11 0 1 0 1

Como no se puede obtener otra raíz real, entonces

formamos un nuevo polinomio con el residúo;

1 0

1

x x x

x

x

x x i

Ejemplo 5: resuelve la siguiente ecuación

3 2

1 2 3

2 2 0

1 2 1 2 1 1 2 1

1 1 2 0 1 2 1

1 2 0 2 2

1 0

Entonces 1 1 2

x x x

x x x


3 3

1 2 3

3 3 1

1 3 3 1

1 2 1 1

1 2 1 0

1 1 1

1 1 0

1 1

1 0

Entonces 1 1 1

x x x

x x x


3 2

1 2

2 5 6 0

Utilizando división sintética para encontrar las raíces;

1 2 5 6

1 1 6 1

1 1 6 0

2 6 2

1 3 0

3 3

1 0

Entonces 1

m m m

m m

32 3m


1

3 4 2 0

1 3 4 2

1 2 2 1 1

1 2 2 0

Como ya no se puede encontrar raices reales se

puede encontrar un nuevo polinomio con el

residuo de la división sintética, e

m m m

m

2

2

2 3

l cual es:

2 2 0 resolviendo por formula general

4

2

2 4 4 1 2 2 4 8 2 41

2 2 2

Entonces 1 1

m m

b b acm

a

m i

m i m i






3 2

1 2 3

4 3 18 0

utilizando división sintética para encontrar las raíces;

1 4 3 18

3 3 18 3

1 1 6 0

3 6 3

1 2 0 2 2

1 0

3 2

x x x

x x x

1.7.1 RAÍCES RACIONALES DE POLINOMIOSCON COEFICIENTES ENTEROS

Recordando que cualquier número racional se puedeescribir como el cociente de dos enteros primosrelativos.

TEOREMA: Sea

11 1 0

n nn n f x a x a x a x a

Un polinomio con coeficientes enteros, es decir

, 1 f x Z x con grf x n . Si el número

racional p

q es raíz de , f x y p q son enteros

primos relativos entonces 0 y q n p a a

Es condición necesaria que 0 y q n p a a ; pero esta

condición no es suficiente, es decir si m y k sonenteros primos relativos tales que 0 y k nm a a , no

necesariamentem

k es raíz de f(x). puede suceder que

f(x) no tenga raíces racionales, esto quiere decir quem

k es solo candidato a ser raíz racional de f(x) para

encontrar los candidatos a raíz racional, primeroencontremos todos los divisores de

0 y nm de a k de a y precisamente los

diferentes cocientesm

k son los candidatos a ser

raíces racionales de f(x).

Ejemplo 10: factoriza el siguiente polinomio

4 3 2

23

3 4 4 4 0 los divisores son

1 2 4 1 3

1 41 2 4

3 3

3 4 1 4 4

6 4 6 4 2

3 2 3 2 0

2 0 2

3 0 3 0

x x x x

m k

m

k

2232 3 3 f x x x x

Ejemplo 11: factoriza el siguiente polinomio

5 4 3 22 2 12 6 0 los divisores son

1 2 3 2

1 31 2

2 2

2 1 2 1 12 6

2 3 1 0 12 1

2 3 1 0 12 18

2 1 2

x x x x x

m k

m

k

no es raíz

1

2

1 12 6

1 0 1 0 6

2 0 2 0 12 0

si es raíz

Como ya no tiene raíces racionales entonces

obtenemos otro polinomio 4 22 2 12 x x factorizando este trinomio por los métodos vistosanteriormente

4 22 2 12 x x Utilizando un cambio de variable se


4 2 22 2 12 2 2 12 x x z z

Si utilizamos Az a Az b

A

Dónde:

24a b B pero ab AC AC Los posibles números son los divisores del términoconstante 1 2 3 6 8 12 24





2

6 4 2 242 6 2 4 2 4

2 62 2

2 2 12 2 6 2

a b a b ab z z z

z

z z z z

Como 2 x z 2 22 6 2 x x

5 4 3 2 2 21

22 2 12 6 2 6 2 x x x x x x x x

Ejemplo 12: factoriza el siguiente polinomio3 2

32

2 7 10 6 los divisores son

1 2 3 2

1 31 2

2 2

2 7 10 6

4 6 8 2

2 3 4 2

2 7 10 6

3 6 6

x x x

m k

m

k

no es raíz

si es

3 2 232

2 4 4 0

2 7 10 6 ( 2 4 4)

raíz

x x x x x x

Ejercicios:

3 2

3 2

5 4 3

1) 10 19 30 9

2) 24 2 5 1

3) 6 11 5 6

x x x

x x x

x x x x

1.8 DESIGUALDADES

PROPIEDADES DE ORDEN: El conjunto esordenado, un número real a s menor que un número

real b si la diferencia b a es positiva y se

representa como a b a menor que b

Los números reales están ordenados de manera que sia y b se verifica solamente una de las siguientesafirmaciones:

a b a b a b

Los símbolos , , , se llaman desigualdades

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

)

) 0

) 0)

)

i si a b a c b c

ii si a b y c ac bc

iii si a b y c ac bciv si a b y b c a c

v si a b y c d a c b d

Solución de una desigualdad: resolver una desigualdades hallar el conjunto de los números x , para loscuales la desigualdad es cierta.

INTERVALOS: si a b el conjunto de x que sonmenores que b y mayores que a y se representa por

/ ,

/ ,

/ ,

/ ,

x a x b ó a x b a b abierto

x a x b ó a x b a b cerrado

x a x b ó a x b a b semi abierto

x a x b ó a x b a b semi abierto

Ejemplo 1: Resolver la siguiente desigualdad

4 5 7

4 5 5 5 7

7

1 7 1

7

. ,7

x x

x x x x

x

x

x

sol






12

3 2 6

2 3 6 2 2

2 3 4

2 2 4 por

1 2 . 1, 2

x x x

x x x sumando

x x x x x x sumando x

x

x sol


2 141 2 3

3

14 3 2 14 14 6 14 14

111 2 8

2

114

2

11

. , 42

x por

x sumando

x por

x

sol

PROPIEDADES: Para resolver desigualdades queincluyan cocientes

0 0 0 0a a

ab y abb b


3 2

0 3 2 2 7 02 7

2 7Se hace cero cuando3 2

2 7valores criticos , el conjunto solución debe

3 22 2 7 7

estar en los siguientes intervalos , , ,3 3 2 2

dando

x x x

x

x y x

x

valores pertenecientes a cada intervalo podemos saber

cuales intervalos son solución

1

3 1 2 2 1 7 0

3 2 2 7 0

1 9 0 no cumple no es solución

Para

Para 0 2 7 0

x

x

14 0 si cumple si es solución

4 3 4 2 2 4 7 0

14 1 0 no cumple no es solución

2 7La solucion de la desigualdad es:

P

,

ar

2

a

3

x


4 5 11

9

4 1 51 0

9

3 40 resolviendo la fracción

927 4

0 27 4 9 09

27 4 0 9 0

27. cos , 0 La solución debe estar

427 27

en ,0 0, , tomando valores de los4 4

in

x x

x x

x x

x x x

si x y x

V criti son x x

tervalos para ver si satisfacen la desigualdad

27 4 9 0

1 27 4 1 9 0 no cumple

1 27 4 9 0 si cumple

8 27

Par

32 72 0 no cumple

La sol

a

Para

Para

x x

x

x

x

27ución de la desigualdad es 0,

4


22

1 2

42 9 4 0

2

9 81 4 2 4 9 49 9 7

2 2 4 416 2 1

V.C = 44 4 2

1, 4 0 la solución debe estar en los intervalo

Para

s2

1 1, 4 4, ,

2 2

5

b b ac x x x

a

x

x x

x x

x

1 9 5 5 4 0 9 0 si cumple

2 2

1 1 1 1 1 4 0 3 0 no cumple

2 21 1

0 0 0 4 0 4 0 si cumple2 2

1La solución

Para

Para

de la desigualdada es , 42

,

x

x






50 5 7 2 0

7 2Basta tomar que 7 2 0

2 7 1

12 7

27

2

7La solución es ,

2

x x

x

x por

x por

x


3 71 6

4

4 3 7 24 4

3 4 7 24 3 3

17 7 21

7

211

7

1 3

La solución es 3,1

x

x por

x sumando

x por

x

x


2 7 10 0

2 5 0 V.c 2, 5

La solución debe estar en los intervalos

,2 2,5 5, evaluando un número de cada

intervalo en la desigualdad 2 5 0

Par

0 2 5 0a

x x

x x x x

x x

x

Si cumple

3 1 2 0 no cumple

6 4 1 0 Si cumple

La s

Para

P

olución es , 2 5,

ara

x

x


2

22

1 2

1 2

2 3

1 1 4 2 342 3 0

2 4

1 25 1 5 6 3 4 = , 1

4 4 4 2 4

3la factorización es 1 02

3V.c son , 1 la solución debe estar en

2

3 3, 1 1, , evaluando u2 2

x x

b b ac x x x

a

x x x

x x

x x

Para

Par

n valor de cada

3intervalo en 1 02

3 2 2 2 12

7 1 0 no cumple2

3 0 1 0 Si cumple

23 2 2 2+1

2

1 3 0 no cumple

2

La solució

a

Para

x x

x

x

x

3n es 1,2


1 12 2 03 3

1 2 60 resolviendo la fracción

3

550 0 1

3 3

50 5 3 0

3

V.c Son 5 3


, 5 5,

x x

x x

x x

x

x x por

x x

x x x

x

x x

3 3, evaluando un número de cada

intervalo en la desigualdad 5 3 0

6 6 5 6 3 0 1 3 0 Si cumple

4 4 5 4 3 0 1 1 0 No cumple

0 0 5 0 3 0 5

Para

Para

Para 3 0

x x

x

x

x

Si cumple

La solución es , 5 3,






2 29 0 9 0

3 3 0 V.c son 3, 3

la solución debe estar en los siguientes intervalos

, 3 3,3 3, evaluando cada intervalo en la

desigualdad 3 3 0

Para 4

x x

x x x x

x x

x

4 3 4 3 0 1 7 0 Si cumple

0 0 3 0 3 0 3 3 0 No cumple

4 4 3 4 3 0 7 1 0 Si cumpl

Para

e

La solución es ,

Para

3 3,

x

x


7 71 1 0

2 3 2 3

7 2 3 2 100 02 3 2 3

2 5 50 0

2 3 2 3

35 2 3 0 V.c 5

2


3 3, 5 , 5, , , evaluando un n{umero2 2

de cada inter

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

valo en 5 2 3 0

6 1 9 0 No cumple

2 3 1 0 Si cumple

0 5 3 0 No cumple

3La solució

Para

Para

Par

n es el intervalo 5,

a

2

x x

x

x

x

1.8.1 VALOR ABSOLUTO

Si a es un número real entonces su valor absoluto sedefine como

00

a si aaa si a

En la recta numérica a es la distancia del origen y

el número a.

6 6 6

3 2 3 2 03 2

3 2 3 2 0

ejemplo

x si xejemplo x

x si x

Como x da la distancia entre el número x y el origen,

entonces. 0 x b si b

Es el conjunto de los números reales x que están auna distancia menor que b unidades respecto al origen.

x b si sólo si b x b

ejemplo: 2 5

5 2 5 5 2

porque si es positiva 2 5 3

si sólo si

a b b a

Si x b es el conjunto de números reales que están

a una distancia mayor que b unidades respecto alorigen.

x b si sólo si

x b ó bien x b

PROPIEDADES:

2

2 2

)

) la desigualdad 0 con

0

)

i x c b si sólo si c b x c b

ii c c b x c

x c b si sólo si

c b x c ó c x c b

iii x x x x

DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO

2 2 2

2 2 22 2 2

22 2 2 2

2 2

:

2 2

2 2

a b a b

demostración si x x x x como

a b a b a ab b a ab b

a ab b a a b b a b

a b a b

a b a b





Ejemplo 14: Resolver la siguiente desigualdad5 1 9 como entonces

ó

5 1 9 5 1 9

10 85 10 5 8

5 5

2

x x b

x b x b

x x

x x x x

x

8

La solución es , 2,

5

Ejemplo 15: Resolver la siguiente desigualdad1

2 1 como y 04

entonces se cumple

1 12 1

4 41 1

1 2 14 45 3 1

2 por4 4 2

5 3 5 3La solución es ,8 8 8 8

x x b b

b x b

x

x

x

x


0 5 1 como 0

entonces ó

5 1 5 5 5 1

4 5 5 6

La solución es 4,5 5,6

x x c b

c b x c c x c b

x x

x x


1 2 1 2 11

11 como entonces que

2

1 1 3 11 1

2 2 2 2

3 1 1 3, si observando que cuando 1

2 2 2 2

la desigualdad no esta definida entonces los i

x x

x x b

b x b

x x por

x x

ntervalos

1 3de la solución es ,1 1,

2 2


0 3 8 0 3 8

como 0 entonces se cumple

x x

x c b

c b x c c x c b

3 8 3 3 3 8

11 3 3 5

La solucion son los intervalos

11, 3 3,5

x x

x x

Ejemplo 19: Resolver la siguiente desigualdad3

1 3 5 25 2

como se cumple

5 2 3 5 2 3

2 2 por 1 2 8 por 1

2 2

x x

x b x b x b

x x

x x

x

2 8

1 4

5si observamos la desigualdadno esta definida en

2entonces la solución son los intervalos

5 5, ,1

2 2

x

x x

4,

1.9 TEOREMA DEL BINOMIO

1 2 2

1

1 2

+1

n n n n

n k k n n

n na b a a b a b

n na b ab b

k n

Definición: ! 0n si n

! 1 2 1 0! 1n n n n además

Definición: 1 sik é mo de n

a b

1 2 1

1 2 3

n n n n k

k

Definición: Para valores mayores de n podemosescribir.

! 1 2 ! 1 2 3 !n n n n n n n n

Y así sucesivamente. La fórmula para los coeficientes

1 sik é mo en el desarrollo de n

a b se puede

escribir como sigue:

1 2 1

1 2 3

1 2 1 !

!

!

n n n n k

k

n n n n k n k

n k

k





!

! !

! ! !

n

n k n

k k n k

Estos números se llaman coeficientes binomiales y amenudo se representan como:

Definición:

!, 0,1,2, ,

! !

n nk n

k k n k

El símbolon

k

, que denota al coeficiente

1k ésimo del desarrollo de n

a b se lee

algunas veces como “n sobre k ”

1.9.1 TEOREMA DEL BINOMIO( forma alternativa)

1 2 2

1

1

2!

1 2 1 +

!

+

n n n n

n k k

n n

n na b a na b a b

n n n n k a b

k

nab b

Ejemplo 1: desarrolla el siguiente binomio : 5

x y

5

1 4 5 4!5!

1 1! 5 1 !

n

n

a x

na b x y

4 !

4 4

2 2 3 2

5

5 4 3!5!

2 2! 5 2 !

n

x y x y

na b x y

2 3 !

3 2 3 2

3 3 2 3

10

5 4 3!5!

3 3! 5 3 !

n

x y x y

na b x y

3 !

2 3 2 3

4 4 1 4

102

5 4!5!

4 4! 5 4 !

n

x y x y

na b x y

4 !

1 4 4

5 5 0 5

51

5! 5!

5 5! 5 5 !

n

x y xy

na b x y

5 !

5 5

5 5 4 3 2 2 3 4 5

1

5 10 10 5

y y

x y x x y x y x y xy y


2 x y

7

1 6 2 7 6!7!

1 1! 7 1 !

n

n

a x

na b x y

6 !

6 2 6 2

2 2 5 4

7

7 6 5!7!

2 2! 7 2 !

n

x y x y

na b x y

2! 5 !

5 4 5 4

3 3 4 6

21

7 6 5 4!7!

3 3! 7 3 !

n

x y x y

na b x y

3! 4 !

4 6 4 6

4 4 3 8

35

7 67!

4 4! 7 4 !

n

x y x y

na b x y

5 4!

4 ! 3!

3 8 3 8

5 5 2 10

35

7 6 5!7!

5 5! 7 5 !

n

x y x y

na b x y

5 !

2 10 2 10

6 6 1 12

212

7 6!7!

6 6! 7 6 !

n

x y x y

na b x y

6 !

12 12

7 7 14

72 7 6 2 5 4 4 6 3 8 2 10

12 14

71

7

7 21 35 35 21

7

n

xy xy

n

a b y

x y x x y x y x y x y x y

xy y


1 x

88 1 42

71 8 7!8!

1

1 1! 8 1 !

n

n

a x x x

na b x

7 !

7 72 2

6 22 2

8

8 7 6!8!1

2 2! 8 2 !

n

x x

na b x

2 6 !

3 3

5 33 3

28

8 7 68!1

3 3! 8 3 !

n

x x

na b x

5!

3! 5 !

5 52 2

4 44 4

56

8 7 6 5 4!8!1

4 4! 8 4 !

n

x x

na b x

4 !

2 2

3 55 5

704!

8 7 68!1

5 5! 8 5 !

n

x x

na b x

5!

5 ! 3!

3 32 2

2 66 6

56

8 7 6!8!1

6 6! 8 6 !

n

x x

na b x

6 !

282

x x

87 7 8 8 1 8

7

nna b nab x x





8 8 8

7 5 384 3 22 2 2

18

1 8 28 56 70 56

28 8 1

nna b b

x x x x x x x

x x

Nota: para hallar un término especifico de n

a b esencontrar primero el exponente de k que se ha deasignar a b, y siempre es un número menor que el

número del término y el exponente de a es n k y

el coeficiente esn

k

Ejemplo 4: encuentra el 5° término de 13

3 x y

9 4

Como se quiere encontrar el 5° término entonces

entonces el exponente de es 4 y el exponente

13de es 13 4 9 el coeficiente es

4

135 Termino es

b k

a n k y

na b

k

9 43

27 2

4

13 12 11 10 9!13!

4! 13 4 !

x y

x y

4! 9 !

27 2 27 2715 x y x y


1 x

4 2




2

63 Término es

2

b k

a n k y

na b

k

4 2

24

1

6 5 4!6!1

2! 6 2 !

x

x

2 4 !

4 415 x x


2 x y

3 4



7de es 7 4 3 el coeficiente es4

75 Término es

4

b k

a n k y

na b

k

43 2

3 87 67!

4! 7 4 !

x y

x y

5 4!

4 ! 3!

3 8 3 835 x y x y


2 x y

3 5




5

86 Término es

5

b k

a n k y

na b

k

3 5

3 5

2

8 7 68!2

5! 8 5 !

x y

x y

5!

5 ! 3! 3 5 3 58 448 x y x y

Ejemplo 8: encuentra el 4° término de6

1

2 x

3 3




3

64 Término es

3

b k

a n k y

na b

k

33

3

1

2

66! 1

3! 6 3 ! 8

x

x

5 4 3!

3! 3 !

3 3 31 20 5

8 8 2 x x x


2 2 x y

2 3




3

54 Término es

3

b k

a n k y

na b

k

2 32 2

4 6 5 4 3!5!

3! 5 3 !

x y

x y

3 !

4 6 4 6102!

x y x y

Ejemplo 10: encuentra el 6° término de9

211

2 x

4 5 2


el exponente de es 5 y el exponente


5

9 16 Termino es5 2

b k

a n k y

n a b xk

4

5

8

1

9 8 7 6 5!9! 1

5! 9 5 ! 16 x

5 !

8 81 63

16 84! x x





Ejemplo 11: desarrolla el siguiente binomio :6

1

2 x

66

6 11

6 22 2 2 2

3 3

1 1

2 64

1 1 36 6

2 32 16

1 6 5 1 1 1515

2! 2 2 16 16

1 2 6

3!

n

n

n

n

a a

na b x x x

n na b x x

n n na b

5 4

6

6 33 3 3

4 4

1 20 5

2 8 4

6 5 4 31 2 3

4!

n

x x x

n n n na b

4 3

6 44 4

6 55 5 5 5

6 6

6 2 3 4 5 6

1 15

2 42

16 3

2

1 1 3 15 5 15 32 64 16 16 4 4

n

x x

na b x x

b x

x x x x x x x

Ejemplo 12: desarrolla el siguiente binomio :6

32

2 y

66

6 11

6 222 2 2 2

3 3

3 729

2 64

3 243 7296 2 6 2

2 32 8

1 6 5 3 81 12152 15 4

2! 2 2 16 4

1 2 6

3!

n

n

n

n

a a

na b y y y

n na b y y y

n n na b

5 4

6

6 333

22

27 20

8

y

8

3 3

4 4

540

6 5 4 31 2 3

4!

n

y y

n n n na b

4 3

6 44

4 4

6 555 5 5 5

66 6

62 3 4

32

22

9 15 16 540

4

3 36 2 6 32 288

2 2

2 64

3 729 729 12152 540 540

2 64 8 4

28

n

y

y y

na b y y y

b y y

y y y y y

5 68 64 y y


x y

55 3

5 11 1

1 2 22 2

5 2 231 1

2 2 2 2 2

3 3

5 5 5

1 5 410

2! 2

5 4 31 2

3!

n

n

n

n

a a x x

na b x x x y x y

n na b x y x y

n n na b

3

5 3 331 1

2 2 2

6 5 41 1 1

5 5 22 2 2

551

6 2 2

3 3 51 153 2 22 2 2 2 2

102

5 5

5 10 10 5

n

x y xy

na b x y x y

b y y

x y x x y x y xy x y y

1.10 ECUACIONES LINEALESUna ecuación lineal sobre el cuerpo real es de laforma.

1 1 2 2 n na x a x a x b

Donde; bai , y i x son incógnitas y cteb .

Una solución de la ecuación lineal es una sucesión de n

números n s s s ,,, 21 , con la propiedad de que al sustituir

estos valores se satisface la ecuación. La solución se puederepresentar en forma de una n-upla,

1 2 3, , , , nu s s s s En forma más general un sistema de m ecuaciones linealescon n incógnitas, o simplemente un sistema lineal, es unconjunto de m ecuaciones lineales, cada una con n incógnitas.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Donde; , ,ij ija b

Una n-upla, 1 2 3, , , , nu s s s s de números reales es

una solución del sistema. Si satisface cada una de lasecuaciones del sistema.

Además cuando 0, 21 nbbb entonces se dice que el

sistema es homogéneo. Un sistema homogéneo tiene unasolución, n-upla = (0,0,...,0), llamada la solución trivial.Un sistema de ecuaciones lineales tiene lo siguiente.





1. Ninguna solución.2. Exactamente una solución.3. Un número infinito de soluciones.

En este caso podemos decir que un sistema lineal esconsistente si tiene una solución, o una infinidad desoluciones. Y es inconsistente si el sistema lineal no tieneninguna solución.

1.10.1 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DEELIMINACIÓN DE GAUSS

Considerando el siguiente sistema lineal.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Este método consiste en reducir el sistema a un sistemaequivalente más simple.

Se intercambias las ecuaciones de tal manera que

la primera incógnita x1 tenga un coeficientediferente de cero en la primera ecuación.

011 a .

Para cada i 1. Se aplica la operación.

11 1 11i i L a L a L

En otras palabras es reemplazar la i-ésima ecuaciónlineal Li por la ecuación que se obtiene multiplicandola primera ecuación L1 por el coeficiente - ai1 detal forma que se cancele la primera incógnita en las

Li. Resultando un nuevo sistema.

2

2

11 1 12 2 1 12 2 2 2

2

n n j n n j

mj mn n mj

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b

Este procedimiento se utiliza hasta que el sistema seencuentre en forma escalonada, como se representa acontinuación:

2

11 1 12 2 1 1

2 2 2 2

n

n n

j n n k

mk n mk

a x a x a x b

a x a x b

a x b

Entonces el valor de n x se pude obtener fácilmente:

mk n

mk

b x

a

Este valor se sustituye en 1mk L para encontrar el valor

de 1n x , de la misma forma se puede encontrar los otros

valores de las incógnitas.

Durante el proceso se puede aplicar lo siguiente:i ) Si se encuentra una ecuación de la forma

b x x x n 000 21 con 0b entonces el

sistema es inconsistente.ii ) Si se encuentra una ecuación de la forma

0000 21 n x x x entonces la ecuación puede

quitarse sin que se altere la solución.Definición; Se dice que el sistema;

2

11 1 12 2 1 1

2 2 2 2

n

n n

j n n k

mk n mk

a x a x a x b

a x a x b

a x b

está en forma escalonada; Si las incógnitas i x no

aparecen al principio de alguna ecuación n x xi ,,1 2 se llaman variables libres.

Ejemplo:

1

2322

43

432

x x

x x x x

Este ejemplo tiene como variables libres a 2 4, x x , a las

cuales se les puede dar un valor cualesquiera de númerosreales.

TEOREMA : Hay dos casos para la solución del sistemaen la forma escalonada.

i) si nk esto es, si hay tantas ecuaciones comoincógnitas, entonces el sistema tiene una solución única.ii) si k n es decir hay menos ecuaciones que

incógnitas, entonces existen k n variables libres, a lascuales se les puede dar un valor arbitrario para obteneruna solución del sistema.

Ejemplo 1: resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

2 3 41 2 3 4

3 11 3 11

2 5 4 13 4 72 6 2 22

2 3 42 2 4 6 8

4 7 2 5 4 13

2 5 2 8 14

x y z x y z

x y z x y z

x y z y z x y z

x y z x y z

y z x y z

y z

y z

2 5 y z





2 3 42 2 4 6 8

4 7 2 6 2 22

2 2 2 8 140 0

4 7 2 8 14

2 5 2 8 14

2 2 0 0

x y z x y z

y z x z

z y z

y z y z

y z y z

z

2 2 1

4 1 7 7 4 3

2 3 3 1 4 4 3 6 1

. 1,3,1

z z

y y y

x x x

sol


5 4 2 3 0

2 1 5 4 2 3

4 2 1 2 1

0 4 2 1

05 5 5 5 0

5 3 3 5 4 2 3

2 1 5 3 3

3 2 4 1

x z t x y z t

x y z t x z t

x y z x y z t

x y z t x y z

x y z t x y z t x

y z t x z t

y z y z t

y z t

0

2 13

2 1

04 4 4 4 0 10 2 6 6

5 3 3 4 2 1 10 5 = 5

7 6 1 3 2 4 1 7 6 1 7 11 4

0

y z t

x y z t

y z

x y z t x y z t y z t

y z t x y z y z

z t y z t z t z t

x y z t

15 3 9 9 7 6 1

5 3 3 15 10 20 = 5 7 +11 4

7 6 1 5 5 7 11 4 5 5

5 5 1 7 1 6 7 1 6 7

1 5 3 3 3 3 1 5 1

y z t z t y z t

y z t z t z t

t z t t

t t z t z

z y t z y

x

1 1 1 1 1

. 1, 1, 1,1

y z t x

sol


2 3 2 2 2 4 6 4 4

2 5 8 6 5 2 5 8 6 53 4 5 2 4 2 2 1

2 3 2 2 3 6 9 6 6

2 2 1 3 4 5 2 4

2 4 4 2 2 4 4

x y z w x y z w

x y z w x y z w x y z w y z w

x y z w x y z w

y z w x y z w

y z w y z

2w

2 4 4 22 3 2 2

2 4 4 2 2 2 1

0

Entonces existen las variables libres que son ,

con , entonces

1 2 2 1 2 2 1 2 2

2 2 3 2 2 2 1 2

y z w x y z w

y z w y z w

z w si

z a y w b a b

y w z b a y b a

x y z w b

2 3 2

2 2 4 4 3 2 2 2

. 2 ,1 2 2 , ,

a a b

b a a b a b x a b

sol a b b a a w

MATRICESUna matriz A de m x n es un arreglo rectangular de m, n números reales ( o complejos ) ordenados en m filas y n columnas.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Decimos que n xm A

En dondeija , se llaman elementos de la matriz, el primero

de los subíndices i indica la fila y j indica la columna dela matriz.Lo cual indica que el i-ésima fila de A es:

niii aaa 21 Sí mi 1 ;

La j-ésima columna de A es

jn

j

j

a

a

a

2

1

si n j 1

1.10.1 MÉTODO DE GAUSS JORDÁNPARA SISTEMAS LINEALES

Para resolver un sistema lineal por este método esnecesario el siguiente procedimiento.

1. Se forma la matriz aumentada2.

Se transforma la matriz aumentada a su forma

escalonada, mediante operaciones elementales defilas.

3. El sistema lineal que corresponde a la matrizescalonada, tiene exactamente las mismassoluciones que el sistema dado.

4. Las filas que constan completamente de ceros se pueden ignorar.





Si se tiene el siguiente sistema lineal.

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

2211

22222121

11212111

Definición; La matriz coeficiente está formada por todos

los coeficientes de las incógnitas del sistema.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Definición; La matriz aumentada se representa de laforma siguiente.

nmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

OPERACIONES ELEMENTALES DE FILASDE UNA MATRIZ:Eliminación: Se pude sumar un múltiplo constante de unafila a otra fila.

i j i F cF F

Escalamiento: Se puede multiplicar una fila por unaconstante distinta de cero.

i icF F

Intercambio: Se pueden intercambiar dos filascualesquiera.

i j F F

Definición: Una matriz se dice que es escalonada siverifica las condiciones siguientes.

El primer elemento no nulo ( por la izquierda ) de

cada fila es un uno, que se llama uno principal.

Cada uno principal está a la derecha de los uno

principales de las filas anteriores. (forma

escalonada).

Las filas nulas, si existen, están en la parte

inferior de la matriz.

Ejemplo 4: resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 2 1

2 0

2 11

x y

y z

x z

3 1 3

2 3 2 2

1 2 0 1 1 2 0 1 1 0 2 11

0 2 1 0 0 2 1 01 2 0 1

1 0 2 11 0 2 2 12 0 2 2 12

1 2 0 1 1 2 0 11

0 2 2 12 0 1 1 62

0 2 1 0 0 2 1 0

F F F

F F F F

3 2 3

3 3

2 1 2 0 110 2 1 0

0 1 1 60 2 2 12 3

0 0 3 120 0 3 12

1 2 0 1

0 1 1 6 4 como 6 6

0 0 1 4

6 4 2 2 como 2

F F F

F F

z y z y z

y y x y

1 1 2

1 4 3 3 . 3, 2,4

x y

x x sol


2 4 7 33 5 7 2 4 7

3 3 5 7

x y z x y z x y z x y z

x y z x y z

3 1 32 1 2

3 2

321 1 1 3 2 1 4 7 3 5 1 7

2 1 4 72 2 2 6 3 3 3 9

3 5 1 7 0 1 2 1 0 2 4 2

21 1 1 3

0 1 2 1

0 2 4 2

F F F F F F

y

F F

3 1 1 1 30 2 4 2

0 1 2 10 2 4 2

0 0 0 00 0 0 03

2 1 entonces la variable libre es

si 1 2 1 2 1 2

3 3 1 2 4 3 4 3

F

x y z y z z

z a con z y z a y a

x y z a a a x a

so

. 4 3 ,1 2 ,l a a a


2 2 10 2 1 2 101

3 2 2 7 3 2 2 1 12

5 4 3 4 5 4 3 4

53 3 1 32 1 211 1 52 3 2 2 1 5 4 3

33 2 2 1 3 3 152

5 4 3 4 1 0 5 142

7

x y z

x y z F F

x y z

F F F F F F

4

55 5 252

3 0 8 212

53 3 1 32 1 211 1 52 3 2 2 1 5 4 3 4

3 53 2 2 1 3 3 15 5 5 252 2

5 4 3 4 1 0 5 142

F F F F F F

3 0 8 212





11 1 11 12 5 5210 5 14 2 0 1 10 282 22

21 3 210 830 8 22

33 2 3 12 1 1 5230 8 21 1

2 0 1 10 28

3 33 70 15 42 0 0 7 2120 0 7 21

11 12

0 1

F F

F F F

F F

5

10 28 3 como 10 28

0 0 1 3

128 10 28 30 2 2 5

2

5 5 3 1 1 1 . 1, 2, 32

z y z

y y y x y z

y x z x sol

Ejemplo 7: resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 1 2 1 3 2

2 3 23 1 2 1 63 2 6

3 2 3 1 1 3 2 3

4 3 1 2 8

3 3 1 32 1 2 3 1 2 1 6 1 1 3

3 6 3 9 6

0 5 1 8 0

4 3 2 8

x y z w

x y z w

x y z w

F F F F F F

x y z w

3 2

2 3

1 2 1 3 2

0 1 4 1 5

1 2 1 3 23 1 3

0 5 1 8 0 4 3 1 2 84 8 4 12 8 0 1 4 1 5

0 11 3 10 16 0 11 3 10 16

1 2 1 3 2

0 1 4 1 5

0 5 1 8 0

0 11 3 10 16

F F F

F F

3 2 3

4 2 4

5

0 5 1 8 0

0 5 20 5 25

0 0 19 3 25

1 2 1 311

0 1 40 11 3 10 16

0 11 44 11 55

0 0 41 1 39

F F F

F F F

3

13

19

2

1 5

0 0 19 3 25

0 0 41 1 39

1 2 1 3 2

0 1 4 1 5

0 0 1

0 0 41 1 39

3 2519 19

F F

4 3 4

123 102519 19

28414219 19 284142

19 19

4 4

1 2 1 3 241

0 1 4 1 50 0 41 1 39

0 0 41 0 0 1

0 0 00 0 0

1 2 1 3 2

0 1 4 1 5

0 0 1

0 0 0 1

3 25 19 19

19

3 25142 19 F F

F F F

2

219

3 25 25 61 1

19 19 19 19

5 4 5 2 4 3 3

2 3 2 2 6 1 6 1 1

. 1,2,3, 1

w

z w z z

y w z y

x w z w x

sol

Ejemplo 8: Resolver el sistema por el método de Gauss-Jordan.2 4 6 12

2 3 4 15

3 4 5 8

x y z

x y z

x y z

La matriz aumentada es:

2 4 6 12

2 3 4 15

3 4 5 8

1 1

1

2 F F

8

15

6

543

432

321

2 1 22

2 3 4 152 4 6 12

0 7 10 27

F F F

1 2 3 6

0 7 10 273 4 5 8

3 1 33

3 4 5 83 6 9 18

0 2 4 10

F F F

1 2 3 6

0 7 10 27

0 2 4 10

2 3 F F

1 2 3 6

0 2 4 10

0 7 10 27

2 2

1

2 F F

1 2 3 6

0 1 2 5

0 7 10 27

3 2 37

0 7 10 270 7 14 35

0 0 4 8

F F F

1 2 3 6

0 1 2 5

0 0 4 8

334

1

F F

1 2 3 6

0 1 2 5

0 0 1 2

2 3 220 1 2 50 0 2 4

0 1 0 1

F F F

1 2 3 6

0 1 0 1

0 0 1 2

1 3 13

1 2 3 60 0 3 6

1 2 0 0

F F F





1 3 131 2 3 60 0 3 6

1 2 0 0

F F F

1 2 0 0

0 1 0 1

0 0 1 2

1 2 12

1 2 0 00 2 0 2

1 0 0 2

F F F

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 2

2 1 2 2, 1, 2 x y z

Ejemplo 9; Resolver el siguiente sistema.

2 3 2 2

2 5 8 6 5

3 4 5 2 4

x y z w

x y z w

x y z w

1 2 3 2 2

2 5 8 6 5

3 4 5 2 4

2 1 222 5 8 6 52 4 6 4 4

0 1 2 2 1

F F F

1 2 3 2 2

0 1 2 2 1

3 4 5 2 4

3 1 33

3 4 5 2 43 6 9 6 6

0 2 4 4 2

F F F

1 2 3 2 2

0 1 2 2 1

0 2 4 4 2

3 2 320 2 4 4 20 2 4 4 2

0 0 0 0 0

F F F

1 2 3 2 2

0 1 2 2 1

0 0 0 0 0

El nuevo sistema tiene la forma con las variables libres z,w, dando valores arbitrarios a estas variables

2 3 2 22 2 1

x y z w y z w

, si z a y w b con a b

2 2 1 2 2 además

2 2 3 2 2 1 2 2 3 2

2 2 4 4 3 2 = 2 2

, 2 ,1 2 2 , ,

y z w y a b

x y z w a b a b

a b a b a b x a b

sol a b a b a b

Ejemplo 10; Resolver el siguiente sistema

2 2 1

3 2 6 2

1

6 9 2

5 2 8 3

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

2 1 1 2 1

3 2 1 6 2

1 1 1 1 1

6 1 1 9 2

5 1 2 8 3

31 F F

1 1 1 1 1

3 2 1 6 2

2 1 1 2 1

6 1 1 9 2

5 1 2 8 3

2 1 2

3 1 3

32

F F F F F F

1 1 1 1 1

0 5 4 3 1

0 1 3 0 3

6 1 1 9 2

5 1 2 8 3

4 1 4

5 1 5

65

F F F F F F

1 1 1 1 1

0 5 4 3 1

0 1 3 0 3

0 5 7 3 4

0 6 7 3 8

3 2 F F

1 1 1 1 1

0 1 3 0 30 5 4 3 1

0 5 7 3 4

0 6 7 3 8

3 2 3

4 2 4

55

F F F F F F

1 1 1 1 1

0 1 3 0 3

0 0 11 3 14

0 0 8 3 11

0 6 7 3 8

5 2 56 F F F

1 1 1 1 1

0 1 3 0 3

0 0 11 3 14

0 0 8 3 11

0 0 11 3 10

5 3 5 F F F

1 1 1 1 1

0 1 3 0 3

0 0 11 3 14

0 0 8 3 11

0 0 0 0 4

Lo cual implica que el sistema no tiene solución.

el sistema no tiene soluciòn

1.10.2 LOS DETERMINANTES ENSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.Consideremos un sistema de n ecuaciones con n

incógnitas.11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

si t es el determinante de ija A , esto es

A , si i es el determinante de la matriz que se

obtiene remplazando la columna i-esima de A por lacolumna de los términos constantes.

Teorema: Regla De Cramer Un sistema de ecuacioneslineales de n x n b Ax , tiene una solución única si y

sólo si 0 t y está dada por.

1 21 2, n

nt t t

x x x

Corolario: El sistema homogéneo 0 Ax tiene una

solución diferente de cero si sólo si A =0





DETERMINANTES Sea ija A una matriz cuadrada de orden n Sobre un

cuerpo k

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a a A

a a a

Definición : El determinante de la matriz cuadrada

ija A de orden n denotado por,

det ( A ) ó A .

Entonces el determinante de la n-matriz cuadrada A, es deorden n, y frecuentemente se denota por.

A

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

Propiedades;i] Si todos los elementos de una fila o columna de unamatriz cuadrada A son nulos entonces el determinante

0 A

ii] Si A es una matriz cuadrada entonces:t A A

iii] Si todos los elementos de una fila o columna de un

determinante A , se multiplica por un escalar k, entonces

el determinante queda multiplicado por k .

nnnn

n

n

aaa

aaa

kakaka

21

22221

11211

=

nnnn

n

n

aaka

aaka

aaka

21

22221

11211

= K A

iv] Si B se obtiene de A, permutando dos líneasadyacentes cualesquiera entonces:

B A

v] Si B se obtiene de A, permutando dos líneascualesquiera entonces:

B A

vi] Si B se obtiene de A, trasladando una de sus líneas p lugares entonces;

1 p B A

vii] Si dos líneas del determinante son idénticas entonces:

0 A

viii] Si A es una matriz triangular, esto es que lascomponentes de A son cero encima o debajo de ladiagonal, entonces:

A Es el producto de los elementos de la diagonal.

DESARROLLO POR MENORES.Una propiedad que permite expresar un determinante deorden n como suma de n determinantes de orden n – 1 es:

Si A es una matriz de orden n x n

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a a A

a a a

Con ij M denotaremos la submatriz de A que se obtiene

omitiendo la fila ( renglón ) i, y la columna j en A,

entonces el determinante ij M se le llama el menor del

elemento ija .

Ejemplo: si11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

entonces el

Menor del elemento11a es; 22 23

1132 33

a a M

a a

Menor del elemento 21a es; 12 1321

32 33

a a M

a a

Menor del elemento 22a es; 11 1322

31 33

a a M

a a

Definición: el cofactor deija de A, se define como;

1 i j

ij ij A M

Ejemplo: el cofactor12 A del ejemplo anterior es;

1 2 21 23 21 23

1231 33 31 33

1a a a a

Aa a a a

Teorema: El determinante de la matriz A , es igual a lasuma de los productos obtenidos, multiplicando loselementos de cualquier fila o columna por sus respectivoscofactores.

1 1 2 2

1

1 1 2 2

1

n

i i i i in in ij ij

j

n

j j j j nj nj ij ij

i

A a A a A a A a A

A a A a A a A a A

Nota Para encontrar el determinante de una matriz, esconveniente obtener una matriz equivalente con lasoperaciones de filas, de tal forma que una fila o columnaquede con n-1 elementos igual a cero.

Definición: si 11 1211 22 12 21

21 22

a a A A a a a a

a a





Ejemplo; encontrar el valor del siguiente determinante

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Utilizando el teorema anterior tenemos que:

1 1 1 222 23 21 2311 12

32 33 31 33

1 3 21 2213

31 32

22 23 21 23 21 2211 12 13

32 33 31 33 31 32

1 1

1

a a a a A a a

a a a a

a aa

a a

a a a a a a A a a a

a a a a a a

Ejemplo 11; Resolver el siguiente sistema mediante la

regla de Cramer.

1

2

2 2 10 2 1 2

3 2 2 1 3 2 2

5 4 3 4 5 4 3

2 2 3 2 3 22 1 2

4 3 5 3 5 4

2 6 8 9 10 2 12 10

4 1 4 7

10 1 22 2 1 2 1 2

1 2 2 10 1 24 3 4 3 4 44 4 3

10 6 8 3 8 2 4 8

20 5 8 7

2 10 21 2 3 2 3 1

3 1 2 2 10 24 3 5 3 5 4

5 4 3

t

t

x y z

x y z

x y z

3

2 3 8 10 9 10 2 12 5

10 10 14 14

2 1 102 1 3 1 3 2

3 2 1 2 1 104 4 5 4 5 4

5 4 4

2 8 4 1 12 5 10 12 10

8 7 20 21

1 21 2

1 1

2 2

3 3

,

71 1

7

142 2

7

213 3 . 1,2, 3

7

nn

t t t

x x x

x x

x x

x x Sol

1.11 FRACCIONES PARCIALES

En esta sección mostraremos la forma de descomponerexpresiones racionales en suma de expresiones mássencillas,

Teóricamente es posible escribir cualquier expresiónracional como una suma de expresiones racionales cuyosdenominadores son potencias de polinomios de grado queno sean mayores de dos, si f x , y g x son polinomios

y el grado de f x es menor que el grado de g x puede

demostrarse que;

1 2

2

2

Donde cada tiene una de las siguientes formas

con ,

además es un polinomio irreducible donde ya notiene raices real

r

k

m n

f x F F F

g x

F

A Cx Bó m n Z

px q ax bx c

ax bx c

1 2es, y la suma de se llama

descomposición en fracciones parciales de y a cada

se le llama fracción parcial.

r

k

F F F

f x

g x

F

PASOS PARA LA DESCOMPOSICIÓN ENFRACCIONES PARCIALES

Si el grado de la función f x es mayor que el

grado de g x entonces primero se hace la

división convencional. Se expresa g x como producto de factores

lineales o cuadráticos irreducibles

Se aplica una de las siguientes reglas segúnsea el caso





I) FACTORES DISTINTOS: Para cada factordistinto la fracción se descompone como:

1 2

1 1

m

m m

A A A

ax b a x b a x b

II) FACTORES LINEALES: Para cada factor lineal

m

ax b la descomposición en fracciones simples debe

incluir la suma siguiente.

1 2

2

m

m

A A A

ax b ax b ax b

III) FACTORES CUADRÁTICOS: Para cada factor

cuadrático 2 n

ax bx c , la descomposición en

fracciones simples debe incluir la siguiente suma.

1 1 2 2

22 2 2

n n

n

B x c B x C B x c

ax bx c ax bx c ax bx c

Ejemplo 1; Realiza la descomposición en fracciones parciales de la siguiente fracción

2

4 4.....ec 1

1 1 1 11

A B

x x x x x

4

1 1 1 1

4 1 1

4 4 0

4 2 4 2

2 de la ecuación 1 tenemos

A B

x x x x

A x B x Ax A Bx B

A B x A B A B A B

A B B B B B

A

4 2 2

1 1 1 1 x x x x


1

ec 11 12 2

1 121 2

2

1 1 22 2

A B

x x x x

A A x Bx Ax Bx

x x

A A A B x A

0 2 0 2

de la ecuación 1 se tiene que

1 2 2

1 12 2

A B B B

x x x x

Ejemplo 3; Realiza la descomposición en fracciones

parciales de la siguiente fracción

2 22 2

2 22 2

2 2 2

3 2 3 2

3 2

1Donde:

99

1

99

1 9 9

9 9

1 9 9

10 0 9 1

9

1 1 9 19 9

x A B Cx D

x x x x x

x A B Cx D

x x x x x

x Ax x B x Cx D x

Ax Ax Bx B Cx Dx

x A C x B D x Ax B

A C B D A A

C B B

2 2 2 2

2 2 2

2 2 22 2

19

1 1 1 19 9 9 9

9 9

1 1 1 1

9 9 9

1 1 1 1 1

9 9 99

D

x A B Cx D

x x x x x x

x

x x x x

x x

x x x x x x


2 2

2 2

2

2 2

2 2

11 1

11 1

1 1

0 1

1 11 11 1

1 1

11 1

s A B

s s s

s A B

s s s

s A s B s As A B A

A B B

A B s s s s

s

s s s






3 2

2 2 2

2 2 2

1 1

1 2 45 2 8

1

1 2 4 1 2 4

11 2 4 1 2 4

1 2 4 1 4 1 2

6 8 3 4 2

6 8 3 4 2

1

s s s s s s

A B C

s s s s s s

A B C s s s s s s

A s s B s s C s s

A s s B s s C s s

As As A Bs Bs B Cs Cs C

A B C s

2 6 3 8 4 2

0

6 3 0 resolviendo el sistema lineal

8 4 2 1

A B C s A B C

A B C

A B C

A B C

3 1 32 1 2 861 1 1 0 6 3 1 0 8 4 2 1

6 3 1 0 y6 6 6 0 8 8 8 0

8 4 2 1 0 3 5 0 0 12 10 1

1 1 1 0

0 3 5 0

0 12 10 1

F F F F F F

52 2 3

3 2 3

5 3 33

53

110

1 1 1 01

0 1 03

0 12 10 1

12 1 1 1 0

10 12 10 1 0 1 00 12 20 0 10

0 0 10 10 0 10 1

1 1 1 01 5

0 1 0 como 010 3

0 0 1

F F

F F F

F F

C B C

B

3 2

5 5 1 5 1 1

3 3 10 30 6 6

1 1 10 6 4 1 1

6 10 60 60 15 15

1 1 1

15 6 101 2 4 1 2 4

1 1 11 15 6 10

1 2 45 2 8

C B

A B C A

A B C s s s s s s

s s s s s s


2 2

2 2

2 2

2 2

5

22 2

5

22 25 2 2

5 2 0 10 10

5 10

2 22 2

5 5 10

22 2

s A B

s s s

s A B

s s s s A s B As A B

A A B B B

A B

s s s s

s

s s s

Ejemplo 7; Realiza la descomposición en fracciones

parciales de la siguiente fracción

3 2 22

2

2 2

2

3 2 2

1 1 = +

2 2 2 22 2

1 2 2

2 2

11 2 2

2

1 10 0

2 2

12 2 0 1

21 1 11 2 2= +

2 2 2 2

A Bx C

x x x x x x x x x

A x x Bx C x

Ax Ax A Bx Cx

A B x C A x A A

A B B B

C A C C

x

x x x x x x


2

1 1

5 6 2 3 2 3

1 .1

2 3 2 3

1 3 + 2

= 3 2

3 2

s s A B

s s s s s s

s A Bec

s s s s

s A s B s

As A Bs B

A B s A B





2

1 por 3

3 2 1

3 3 3

3 2 1

2 1 2 1

1 De la ecuación 1 se tiene

1 1 2

2 3 2 3

1 1 2

5 6 2 3

A B

A B

A B

A B

B A B A

A

s

s s s s

s

s s s s


2

2

2 2 2

2

2 2

6 7 =

1 2 3 1 2 3

6 7 2 3 1 3

1 2

6 7 5 6 4 3

3 2

6 7 5 4 3

6 3

x x A B C

x x x x x x

x x A x x B x x

C x x

x x Ax Ax A Bx Bx B

Cx Cx C

x x A B C x A B C x

A B

2

1 5 5 5 5

5 4 3 6 5 4 3 6

6 3 2 7 2 1

1 6 6 6 6

2 1 6 3 2 7

3

C

A B C A B C

A B C A B C

A B C B C

A B C A B C

B C A B C

2

4 1 3 4 1

3 6 3

3 4 1

2 2 1

1 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1

6 7 1 1 1

1 2 3 1 2 3

B C B C

B C

B C

C C

B C B B

A B C A A

x x

x x x x x x


2 2

2 2

2 111 4 6 4 6

1 4 6 4 6

1

s A B Cs D s s s s s s s s

A s s s Bs s s

Cs D s s

3 2 2

3 2 3 2 2

3 2 3 2

3 2 2

3 2

3 2 3 2 2

3 2

4 6 4 6

4 6

5 10 6 4 6

5 10 6

4 6

2 1 5 4

1 10 6 6 6 1

6

A s s s s s

Bs Bs Bs Cs Cs Ds Ds

A s s s Bs Bs Bs

Cs Cs Ds Ds

As As As A

Bs Bs Bs Cs Cs Ds Ds

s A B C s A B C D s

A B D s A A A

A B

10 6

605

5 4 0 4 0 66

10 6 25

6 2 33

6 6 1

24 6 6 5

18 3 16 1 6 1 6

4 6 6 6 5

4 1 6 6 6 5

4 24 6 6 5

18 6 1 1

3

B C por

C

A B C D B C D por

A B D

B D por

B C

B C D

B D B C B C

B C D

C C D

C C D

C D ec

6 3 1 3 1 6 3 1

3 18 3 1 18 3 4 2

De la ec 1, 2 se tiene

18 6 1 restando las ec.

18 3 4

3 5

5 5 18 6 1 18 93 3

1Como se tiene que 6

2

B D C D

C D C D ec

C D

C D

D

D C C

C B

2

512 3

22

1 6

1 16 1 6 6 1 3 2

2 3

1 4 6

2 1 1 1 1 1

6 3 1 4 61 4 6

C

B B B

A B Cs D

s s s s

s s

s s s s s s s s






2 2

3 2 2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 3 1 2 3 1Donde:

5 5 5

2 3 1

5 5

1 5 5 5 5

2 3 1 5 5

1 1 145 1 5 3 5 3 =

5 5 5

14

25

x x x x A B C

x x x x x x x

x x A B C

x x x x x

x Ax x B x Cx Ax Ax Bx B Cx

x x A C x A B x B

B B como A B A

A

2

3 2 2

14 36 2 2 2 =

25 25

36

25

2 3 1 14 1 36

5 25 5 25 5

como A C C A

C

x x

x x x x x

2.0 FUNCIONES LOGARÍTMICAS YEXPONENCIALES

Si 1 x f x a y a entonces f es creciente sobre

todos , mientras que si 0 1a f es decreciente

Definición: si 0a entonces la función exponencial f

con base a se define;

x f x a

En donde x es cualquier número real.

TEOREMA: si a es un número real tal que 1a entonces;

) 1 para todo número racional positivo

) tales que entonces

r

r s

i a

ii si r y s Q r s a a

Definición;

log y y x si sólo si x aa

log

log

log a

a

x ya

x

si y x x a a

x a

32

25

:

) log 8 3 2 8

1 1) log 2 5

25 25

ejemplos

a

b

TEOREMA:log

) 0

) log 1

) log 1 0

a x

a

a

i a x x

ii a

iii

LEYES DE LOS LOGARITMOS

) log log log

) log log log

) log log

a a a

a a a

ca a

i uv u v

uii u v

v

iii u c u c

Demostración;

log log por definición

multiplicando las dos ecuacones

utilizando la definición de logaritmo

log como log log

log log log

a a

r s

r s r s

a a a

a a a cq

si r u y s v

a u a v

a a uv a uv

r s uv r u y s v

u v uv

d





log

log log log

log log

r r s

a s

a a a cqd

cr c rc c c

ca a cqd

a u u ua r s

v v va

uu v

v

a u a u cr u

c u u

Definición;

10log log 0

ln log 0e

x x

x

x

x x

ln

) ln ln ln

) ln ln ln

) ln ln

ln 1 ln 1 0

c

x

i uv u v

uii u v

v

iii u c u c

donde e x e y

Ejemplo 1; resuelve la siguiente ecuación

3 21 log3 log 21 log3 log 21

log21 1.3222.77 2.77

log 3 0.477

x x x

x x


2

log 5 1 log 3 2 aplicando propiedades5 1

log 2 como es logaritmo en base 103

5 110 5 1 100 3

3

5 1 100 300

5 100 300 1

29995 299

95

x x x

x

x x x

x

x x

x x

x x


2

2

5 53 5 5 6 5

2

5 1 6 5 5 6 5 1 0

x x x x x

x x x x

por

22

1 2

utilizando un cambio de variable, si 5

46 1 0

2

6 4 106 36 4 6 40 6 2 10

2 2 2 2

3 10 3 10 5

5 3 10 aplicando log en ambos lados

log5 log 3 10

log 3 10 0.7897

log5 0.6989

x

x

x

y

b b ac y y y

a

y

y y como y

x

x

1.1298 1.1298 x

Ejemplo 4; resuelve la siguiente ecuación en función de y

2 2

22

22 2

2

2 2

12

2

2 1 2 1 0

42 1 0

2

2 4 12 4 4 2 2 1

2 2 2

1

1 ln 1

x x x x

x

x x x x x

x

x

e e y y e por e

e

e y e e ye si e z

b b ac z yz resolviendo por z

a

y y y y y y z

z y y como z e

e y y x y y


5

5

326

5 log 2 log6 5log 2 log 2 log6

5log 2 log6 log 2 log 2 log6 log 2

2 32log log6 log log 6

6 6

log 0.72690.944 0.944

log6 0.77

x x

x x

x x

x x


31

2 2

5 5 5

35 5 5

1 3log 2 3log 2 log 2

2 2

log 2 log 2 log 2

x x

x x





12

32

31 12 2 2

32

5 5

2

1 2

8log 2 log

2

82 2 2 8

2

2 8 2 8 2 8

2 2 2 2 2.82 4.82 0.82

x x

x x x x

x x x

x x x x


3 3 3

2 33 3 3

2

3 3

22

2 2

2log 3 log 1 3log 2

log 3 log 1 log 2

3log log 8

1

38 3 8 1

16 9 8 8 2 1 0

1 1 0 1

x x

x x

x

x

x x x

x x x x x x

x x x


2

log 1 log 3

log log 3 1

log 3 1 3 10

3 10 0 5 2 0

5 como 2 0 no es solución

x x

x x

x x x x

x x x x

x x x


2 1

2 1

2

12 5

ln 12 ln 5

2 1 ln 12 ln 5

2 ln 12 ln12 ln 5 0

ln 12 ln12 ln 5 0

ln144 ln5 ln12

ln12 2.4849 2.4849

ln144 ln 5 4.9698 1 609 3.3608

0.7392

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x


4 1 3

4 1 3

4

281

3

3 2

ln 3 ln 2

4 ln 3 1 3 ln 2

ln 3 4ln 3 ln 2 3 ln 2

ln 3 3 ln 2 ln 2 ln3

ln 3 3ln 2 ln 2 ln81

lnln 2 ln81 3.705

ln 24 3.17ln 3 ln 2

1.16

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x


2

2 2 1

2 2 1

2 2

2 2

2

1 2

1 19

9 81

1 1 19 9 9

1 1

9 9

2 2 1

2 2 1 2 2 1

2 4 4 1 4 5 1 0

4 5 25 16 5 41 5 6.4

2 8 8 8

1.425 0.175

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x x x x

b b ac x

a

x y x


7 3

7 3 1 2

7 3 1 2 7 2 2

4 3 9

3 4 16

4 4 3

3 3 4

4 4 4 4 4

3 3 3 3 3

47 2 2 7 4

7

x

x

x x

x x x






3 4

4 43 3

3 4

22

2 22

10 5

10 ln10 ln5 5

ln10 ln ln 5 3 ln10 4ln ln 5

4 ln5 4 ln53 3ln10 ln10

4 ln 5 2.39053 1.0382 1.0778

ln10 2.3025

1.0778 3 1.9221

x

x x

x

e

e e

e x e

x x

x

x x


23 1

3 1 2 3 1 22 3 2 3

2 3 1 6 6 2 6

6 8 6 8

9 27 10

3 3 10 3 3 10

3 3 10 3 10

3 10 ln 3 ln10

6 8 ln 3 ln10 6 ln3 8ln3 ln10

6 ln 3 ln10 8ln3

ln10 8ln 3 2.3025 8.7888 6.48630.984

6ln 3 6.5916 6.5916

0.984

x

x x

x x

x x

x x

x

x

x


3 2

1

3 21

1620

16ln ln

20

163 2 ln 1 ln

20

4 4 43 2 ln 1 3 ln 2ln 1

5 5 5

4 4 4 163 ln 1 2ln 3ln 1 1 ln

5 5 5 25

161 ln 1 ln 0.64 1 0.446 1.446254 3ln 0.8 1 1.6694 1.6

3ln 15

x

x

x x

e

e

x x e

x x x x

x x x

x

694

0.8662 x


25 5

5

2

5

75

15

log 8log 7 0

utilizando un cambio de variable como log

8 7 0 7 1 0

7 1 sustituyendo en log

log 7 5

log 1 5

x x

x z

z z z z

z y z x z

x x

x x


161

14

16 161 1

1 1

4 4 44

log 2 4log 2 3

log 2 log 2 3 log 2 log 16 3

log 2 1 3 log 2 4

1 2 1 2

1 1.18 1.18 1 0.18

x

x x

x x

x x

x x x


3 3 3

3 3

2 2

1 2

log 3 log log 4

log 3 log 4

3 4 0

1 0

0 1 pero como 0

1

x x x

x x x

x x x x x

x x

x y x x

x


4 4

4 4

4

2

log 1 2 log 3 2

log 1 log 3 2 2

1log 2

3 2

1 14 16

3 2 3 2

1 16 3 2 1 48 32

1 32 48 33 47

33

47

x x

x x

x

x

x x

x x

x x x x

x x x

x






2 2

2

3 3 12

3 33

3log 1 log 2 0 como log 1

3log 1 1 0

log 1 1 1 2 2

1 2 1 1.2599

1.2599 1 0.2599

a x x x a

x

x x

x x

x x


4 4

24 4

22

4

2 2

2 2

2

1 2

2log 3 log 2 2

log 3 log 2 2

3 9log 2 4

2 2

2 4 9 2 8 16 9

2 16 32 9 2 16 23 0

4 16 256 184 16 72

2 4 4

16 36 2 16 6 2 34 2

4 4 2

34 2 1.8787 6.1213

2

x x

x x

x x

x x x

x x x x

b b ac x

a

x

x x x


2 3 2

2 3 2

2 2

2 3

2 3

4 5 aplicando log

log 4 log5

2 3 log 4 2 log5

2 log 4 3log 4 log5 2log5

log 4 log5 log5 3log 4

log16 log5 log5 log 4

log5 log 4 log 25 64 log1600

16log16 log5 log 3.2log5

3.2041

0.5051

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

6.3434 6.3434 x


2

22

2

2

1 2

4 3 4 8

3 4 34 8 8

4 4

4 3 8 4 4 8 4 3 0

utilizando un cambio de variable 4

8 3 0

8 4 194 8 64 12 8 76

2 2 2 2

4 19 8.3588 0.3588

sólo para 0 4 8.3588 aplic

x x

x x

x x

x x x x

x

x

z

z z

b b ac z

a

z z y z

z

ando ln

ln4 ln 8.3588

ln8.3588 2.1233

ln 4 ln 8.3588 ln 4 1.3862

1.5317

x

x x

x


2

22

2

2

1 2

2 6 2 6

6 2 62 6 6

2 2

2 6 6 2 2 6 2 6 0


6 6 0

6 4 154 6 36 24 6 60

2 2 2 2

3 15 6.8729 0.8729

sólo para 0 2 6.8729 aplic

x x

x x

x x

x x x x

x

x

z

z z

b b ac z

a

z z y z

z

ando ln

ln2 ln 6.8729

ln6.8729 1.9275ln2 ln6.8729

ln 2 0.6931

2.78

x

x x

x






22

2

1 2

5 125 5 30

1255 30 por 5

5

5 125 30 5 5 30 5 125 0


30 125 0 25 5 0

25 5

ln5 ln 25 ln5 ln 25

ln 25 2 ln 5

ln5

x x

x x

x

x x x x

x

x

z

z z z z

z y z

x

x

ln5

2 2

ln5 ln5 ln5 ln 5

ln51

ln5

x

x

x

x x


22 1

2 2 2 1 2 2 2 1

2 2

2 22

2 2

1 2

13 9

3

3 3 3 3 3

2 2 2 1

2 4 2 4 4 1

4 2 4 4 2 4 4 2 3 2

4 2 3 2 16 2 9 12 4

16 32 9 12 4 9 28 28

28 784 1008 28 42.33

18 18

3.9 0.796

x x

x x x x

x x

x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x

x y x


44 2

44 4 2 5

416 8 5

20 8 5

16 2 32

2 2 2

2 2 2

2 2 20 8 5

320 5 8

20

x x

x x

x x

x x

x x

TRIGONOMETRÍA

2.0 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas de un triángulorectángulo son las razones que existen entre sus lados, si

consideramos el ángulo 0 90

y además tenemos untriángulo rectángulo cualesquiera como en la siguientefigura;

DEFINICIÓN:

) )

) cos ) cos

) tan ) tan

) csc ) csc

) sec ) sec

) cot ) cot

b ai sen i sen

c ca b

ii iic c

b aiii iii

a b

c civ iv

b a

c cv v

a b

a bvi vi

b a

Gráficas:





Además si1 1 1

csc

1

csc

b b sen sen

c cc c

b b

sen

1 1 1cos cos

sec

1cos

sec

a a

c cc c

a a

tan tancos cos

b

b sen sencaa

c

cos coscot cot

cos 1 1 1cot cot

tan tan

cos

a

a cbb sen sen

c

sen sen

2.1 IDENTIDADES PITAGÓRICAS

2 2

2 2

2 2

) cos 1

) 1 tan sec

) 1 cot csc

i sen

ii

iii

Demostración:2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 22 2

2 2 2

2

dividiendo por

1

1 pero como , cos

cos 1

cos 1 dividiendo por cos

cos 1tan 1 sec

cos cos cos

b a c c

b a c b a

c c c c

b a b a sen

c c c c

sen

sen

sen

sen

2 2

2 22 2

2 2 2

cos 1 dividiendo por sen

cos 11 cot csc

sen

sen sen sen

2.2 TEOREMA DE PITAGÓRICASEn todo triángulo rectángulo, la suma del cuadrado delos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

2 2 2c a b

Ejemplo 1; escriba la cot en función de sen

2 2

22

coscot como cos 1

1cos 1 cot

si y sen sen

sen sen

sen

Ejemplo 2; escriba la csc en función de cos 2 2

2

2

1csc como cos 1

11 cos csc

1 cos

si y sen sen

sen





Ejemplo 3; encuentra las elementos restantes del triángulo

tan34 10.5 tan 34 7.1

10.5 para encontrar el valor de se puede utilizar

10.5 10.5cos34 cos34 10.5

cos34

12.7

como la suma de los ángulos internos de un triángulo

es igual a 18

bb b

c

c cc

c

0° entonces 34 90 180

180 34 90 56


35 1' 74.5 35 1'74.5

42.9 cos 35 1'74.5

74.5 35 1' 60.9 además

180° 90 35 10 54 50 24

b si sen sen b

ab

sen a a


2 22 2

1

como 350 125

122500 15625 138125 371.65125 125

tan tan 19.653350 350

180 90 19.653 70.347 70 20 49

c a b

c


2 22 2 2 2 2

3542 10 42 10 35

35 3552.13

42 10 0.671

52.13 35

1492.53 38.63

además 90 42 10 47 50

sen c senc

c c sen

c a b b c a

b b

Ejercicios: encuentre los elementos restantes de lossiguientes triángulos

3 64 20 20.5

4 17 40 4.5

5 31 10 510

6 25 45

7 31 40

8 5.8 2.1

9 39.4 18

10 239 38 30

11 1230 42 15

12 57.45 15.43

a

a

a

a b

a b

c b

c b

c

c

c a

13 73.54 27 30

14 324.43 456.6

15 24.3 13.5

c

a b

c a





Ejemplo 7; encuentra el valor de x, y en la siguiente figura

2 22 2 2

de la figura se observa que 2 36 20

16 8 utilizando el teorema de2

pitagágoras 17 17

289 64 225 15

y

y y

x y x y

x x

Ejemplo 8; encuentra la altura de un triángulo isósceles sila base mide 60 cm y sus lados 50 cm, y el ángulo deinclinación de sus lados

Ejemplo 9; encuentra el valor de x, y en la siguiente figuray el ángulo ,

2 22

2

utilizando el teorema de pitágoras 20 50 x x

x

2400 2500 100 x x

1

22 2

1

100 400 2500

2900100 2900 29

100

200.6895 0.6895

29

43 35 25 además 30

900 841 1741 41.725 como29

tan 0.9666 tan 0.966630 30

44 1 44

x

x x x

sen sen

y x

y y x

Ejemplo 10; Demostrar la siguiente identidad

cos 11

tan

cos 1 11 cot pero cot 1

tan tan

senx x

senx x

sens x x x

senx senx x x


2 2

1

cos 1 11 como csc sec

csc sec cos

cos1 cos 1

1 1

cos

senx x x y x

x x senx x

senx x sen x x

senx x


2 2

sec

tan cot

1 1

coscos coscos cos

cos cos

x senx

x x

x x x senx x sen x x

x senx xsenx

cos

senx

x 2 2

1

cos sen x x

senx


2

2 2 2 2

2

1 cos

cos 1

1 1 1

cos 1 cos 1

como cos 1 cos 1

cos

senx x

x senx

senx senx sen x

x senx x senx

x sen x x sen x

cos

x

x

cos

11

x

senx senx


2 2

2 2 2 2

2 2

1

1sec tan

sec tan

1 sec tan sec tansec tan sec tan sec tan

como 1 tan sec sec tan 1

sec tansec tan

sec tan

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

2 2 2 22

1

Utilizando el teorema de pitagoras se tiene

50 30 50 30

2500 900 1600 40

400.8 0.8

50 50

53 7 4 8

h h

h h

h sen sen






3

3 3 3

3 2 2

tan sec

1 cos

cos

coscos cos

cos1 cos 1 cos 1 cos

cos cos cos 1 cos

1 cos

x senx x

x sen x

senx senx senx x senx

senx senx x x x

sen x sen x xsen x senx

xsen x xsen x x x

cos 1 cos x x

1

cos 1 cos1 cos

1 1 1 secsec

cos 1 cos 1 cos 1 cos

x x x

x x

x x x x


22

2

2 2 2

2 2 2 2

2

22

1 tan1 2

1 tan1 tan 1 tan 1 tan

1 tan sec sec sec

coscos

x sen x

x x x x

x x x x

sen x

x x

2

1

cos x

2 2

2 2 2

cos

1 1 2

x sen x

sen x sen x sen x


2 2

csc costan cot

1 1

cos

cos coscos cos

x x x x

x senx senx senx senx x sen x x

x senx xsenx

senx 2 2

1

cos

cos

sen x x

x


2 2

2

sec cos

cot1 1 cos

sec cos coscos cos cos

1tan

cos cos cot cot

senx x x

x x sen x

x x x x x x

sen x senx senx senx senx x senx

x x x x


2

2

2

2

1 cos 1 cos

1 cos

1 cos1 cos 1 cos

1 cos 1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

1 cos

x x

x senx

x x x

x x x

x x

senx x


22

1

2 2 2 2

1 cos2csc

1 cos

1 cos1 cos

1 cos 1 cos

1 2cos cos 1 2cos cos

1 cos 1 cos

2 1 cos2 2cos

1 cos

senx x x

x senx

sen x x senx x

x senx senx x

sen x x x x x sen x

senx x senx x

x x

senx x

1 cos senx x

22csc x

senx


2 2

2 2 2 2

coscos

1 tan 1 cot

cos cos

cos cos cos1 1

cos coscos

cos cos

cos cos

cos cos cos

cos

x senx x senx

x x

x senx x senx

senx x x senx senx x

x senx x senx x sen x

x senx senx x

x sen x x sen x

x senx x senx x senx

x senx

cos

cos

x senx

x senx

cos x senx


2 2

1

1csc cot

csc cot1 csc cot csc cot

csc cot csc cot csc cot

csc cot

x x

x x x x x x

x x x x x x

x x





2.3 SUMA DE DOS ÁNGULOS

Observemos la siguiente figura que tiene losángulos , .

Observemos del triángulo OPA que;

.1

cos . 2 además tenemos

AP .3

del OCB tenemos

cos cos

cos cos

AP sen ec

OP

OAec

OP

BC DP BC DP sen ec

OP

BC sen BC OCsen

OC

DP DP PC

PC

OC OC OP

OP

PC sen PC OPsen

OP

sustituyendo en la ecuación en

cos

además como cos y

cos cos cos

=

BC DP sen

OP

BC DP OCsen PC sen

OP OP

OC OP PC OPsen

OCsen PC OP sen OPsen

OP OP

OP

cos cos sen sen

OP

cos cos sen sen sen

cos OA OB AB OB CD

OP OP OP

cos del OCB tenemos

cos cos

cos cos

OB CD

OP

OBOB OC

OC

DC sen CD PCsen

PC

OC OC OP

OP

PC sen PC OPsen

OP

sustituyendo en la ecuación en cos

coscos

además como cos y

cos cos cos

=

OB CD

OP

OB CD OC PCsen

OP OP

OC OP PC OPsen

OC PCsen OP OPsen sen

OP OP

OP

cos cos sen sen

OP

cos cos cos sen sen

cos costan

cos cos cos

cos

sen a b sena b senb aa b

a b a b senasenb

sena b

cos cosa b

cos senb a

cosa tan tancos

cos cos 1 tan tan

cos cos cos cos

a bb

a b senasenb a b

a b a b

Definición: sean , dos ángulos agudos entonces;

cos cos

cos cos cos

tan tantan

1 tan tan

sen sen sen

sen sen

a ba b

a b





2.3.1 ÁNGULOS NOTABLES

Observando el siguiente triángulo equilátero tenemosque:

Además del isósceles

1 330 60

2 2

3 1cos30 cos60

2 2

1tan30 tan 60 3

3

2 245 cos45°= tan 45 1

2 2

sen sen

sen

90 cos 180

cos 90 cos 180 cos

tan 90 cot tan 180 tan

cot 90 tan cot 180 cot

sec 90 csc sec 180 sec

cs

sen sen sen

sen

c 90 sec csc 180 csc

180 360

cos 180 cos cos 360 cos

tan 180 tan tan 360 tan

cot 180 cot cot 360 cot

sec 180 sec sec 360 sec

csc 180 csc

sen sen sen sen

csc 360 csc

cot cotcos cos sec sec

tan tan csc csc

sen sen

Ejemplo 1; Demostrar que 90 cos sen

01

90 cos

90cos cos90 cos

sen

sen sen

Ejemplo 2; Demostrar que cos 180 cos

01

cos 180 cos

cos180cos 180cos cos sen

Ejemplo 3; Demostrar que tan 90 cot

01

0 1

90tan 90

cos 90

90cos cos90 cos cot

cos90cos 90

sen

sen sen

sen sen sen

Ejemplo 4; Demostrar que sec 180 sec

1 0

1sec 180

cos 180

1 1 sec

cos180cos 180 cos sen sen

22 111 1

2 4

3 3

4 2

h

2 21 1 2a





Ejemplo 5; Demostrar que

2 2

2 2

cos cos

cos cos cos cos

cos cos cos

sen x y sen x y y x

senx y seny x senx y seny x

sen x y senxseny y x

cos cos senysenx x y

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1

cos

cos cos como 1 cos

cos 1 cos cos

cos cos cos cos

cos cos cos cos

cos cos cos cos cos

sen y x

sen x y sen y x sen y y

sen x y y x

sen x y x y x

sen x y x y x

y sen x x x y x

Ejercicios; simplificar las siguientes expresiones

2 2

2

2 2

1 cos cos

:

2 cos cos cos 2cos

.

3 2

.

4 cos cos cos 2cos

x y senx sen x y x

sol

senx y x y x y

sol

senx seny senxseny

sol

senx y x y x y

Demostrar las siguientes identidades:

2

2 2

2 2

11 cos 45 45 2cos 1

2

32 cos 30 30 cos

4

3 cos cos

4 cos cos cos cos 1

5 45 45 2

6 cos 30 cos 30

7 tancos cos

8

sen

x sen x senx x

sen x y sen x y y x

a b a b a b

sen x sen x senx

x x senx

sen sen

sen sen

cot tan

cos coscos cos

9 tan tancos cos

cos cos10 tan

sen sen

2.3.2 ÁNGULO DOBLE

2 2

2

2

2 2 cos

cos 2 cos

2tantan2

1 tan

cot 1cot 2

2cot

sen sen

sen

sea 2

cos cos 2 cos

sen sen

sen sen sen

2 2

sea cos2 cos

cos cos cos sen sen sen


cos cos

cos cos cos cos cos

cos cos

sen a b a a b sena

sena b senb a a a b senasenb sena

sena b a

2cos cos cos senb a a bsena

2

2 2

2 2

cos2

cos

cos cos 2

a

sen asenb

senb a sen asenb

senb a sen a senb a


2

2

tan 2 2

2 cos 2cos

xsen x sen x

senx senx x sen x

x


2 2 2 2

1

22

cot tan

2 2 2 cos

cos cos coscos cos

2

sen aa a

sena a

a sena a sen a a sen a sena a sena a

sen a

Ejercicios; Demostrar las siguientes identidades

4 4 21 cos 2 cos 2 tan

1 cos 2

2 1 cos 23 2 4 2cot tan cot

25 csc2 cot 2

1 cos 2

cos 2 1 tan6

1 2 1 tan

sen x x x sen x x

x

x sen x sen x x x x

sen x x x

x

x x

sen x x





2.3.3 MITAD DE UN ÁNGULO

1 coscos

2 2

1 cos

2 2

1 costan

2 1 cos

sen

Recordando que2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2

2 2

cos 1 cos cos2

2

cos 1cos 1 2 2cos cos 2 cos cos 2

2 2 2

cos2 2

sen y sen

si

sen sen

sen sen

sen

2 2

1

cos2 2

sen

2

Resolviendo el sistema

cos

1 cos2cos 1 cos cos

2 2 2

Ejemplo 10; si4

encontrar ) 2 ) cos5 2

x senx a sen x b

2

2

2

2

2

) como 2 2 cos además cos 1

4 42 2 1 2 15 5

8 16 8 9 8 3 24 = 1

5 25 5 25 5 5 25

1 cos) como donde cos 1

2 2

14 3

cos 15 5 2

a sen x senx x x sen x

sen x senx sen x

x xb sen x sen x

x x sen

3 2

25 5

2 2 10

Ejemplo 11; si4

sec encontrar ) cos 2 ) tan3 2

x x a x b

2

2 2

4 3sec cos 1 cos3 4

9 7 71 cos 2 cos

16 16 4

si x x senx x

senx x x sen x

23 7 9 7 1

cos24 4 16 16 8

3 111 cos 1 14 4tan3 72 1 cos 7 71

4 4

x

x x

x

Ejercicios; Encontrar

) ) cos 2 ) tan 2 ) cos ) 22 2

x xa sen b x c x d e sen x

7 41 tan 3 6 11 sec

15 5

3 1 32 7 12 cot

5 2 4

3 33 cos 8 cot 3 13 cos

2 5

2 14 csc 9 14

3 5

x senx x

senx senx x

x x x

x senx

8tan

15

4 2 2

5 10 cos 15 cos5 55

x

senx x x

2.3.4 TRANSFORMACIÓN DE SUMA YDIFERENCIA DE ÁNGULOS

cos cos sen sen sen

cos cos sen sen sen

2 cos

22

22

sumando

sen sen sen

si A y B

A B A A B

B

A B A A B B

2 cos2 2

2 cos2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 22 2

tan tancos cos

tan tancos cos

A B A B senA senB sen


A B A B A B

A B A B A B sen sen

sen A B A B

A B sen A B

A B A B






cos5 cos 2cos3 cos2

cos cos 2cos cos2 2

5 52cos coscos

2 22cos3 cos2

x x x x

A B A Bcomo A B

x x x x

x x


6105 15

2

2 cos2 2

105 15 105 152 cos

2 2

120 902 cos

2 2

2 60 cos 45 2

sen sen

A B A Bcomo senA senB sen

sen

sen

sen

3

2

2

2

6

2


30 cos30 2 cos15

como 2 cos2 2

además cos30° 60 por ángulos notables

30 cos30 30 60

30 60 30 602 cos

2 2

90 302 cos

2 2

sen


sen

sen sen sen

sen

sen

2 45 cos 15 como cos 15 cos15

2 45 cos 15 2

sen

sen

2

2 cos 15 2 cos15


4 3tan 30 tan 60

3

tan tancos cos

30 60 90 1 1

cos 30 cos 60 cos 30 cos 60 3 1 3

2 2 4

4 3 4 4

33 3

sen A Bcomo A B

A B

sen sen


cos60 60 2 15

como cos cos 22 2

además sen60° cos30 por ángulos notablescos60 60 cos60 cos30

60 30 60 302

2 2

90 302

2 2

sen sen

A B A B A B sen sen

sen

sen sen

sen sen

2 45 15 2 sen sen

2

2 15

2 15

sen

sen

Ejercicios; Demuestra las siguientes identidades

4 31 tan 30 tan 60

3

2 60 cos60 2 cos15

3 cos30 30 2 15

4 30 cos30 2 cos15

5 cos60 60 2 15

cos 50 cos 406 2

cos 25 cos35

35 25 37

cos50 cos40 2

8 cos40 cos 20 3 cos10

9 cos10 cos

sen

sen sen

sen

sen sen

sen sen

70 40

10 cos50 cos 40 2 15

sen

sen





11 tan 50 tan 25 tan 25 sec50

12 35 25 3 5

213 tan 45 tan15 sec15

2

14 tan 20 tan50 sec50

sen sen sen

2.4 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

La ecuaciones trigonométricas son aquellas enlas cuales la incógnita aparece como ángulo defunciones trigonométricas. Además si recordamos quelos valores de las funciones trigonométricas son igualesen un número exacto de revoluciones, entonces a lasolución es necesario sumarles un múltiplo

cualesquiera de 360° es decir 360n

Ejemplo 1; resolver la siguiente ecuación

2 2 2

2

2

2

2

2

1 2 1 2

11 1

3 3cos 2 1 cos

3 3cos 2 1 cos 0

3 3cos 2 2cos 0

2cos 3cos 1 0 cos

2 3 1 0

3 9 4 2 14 3 1 3 1

2 2 2 4 4

2 1 11 cos cos 1

4 2 21

cos 120 3602

x sen x como sen x x

x x

x x

x x si z x

z z

b b ac z

a

z z x y x

x x n

12 2cos 1 180 360 x x n


2

2 2 2

cos 40 cos

cos cos cos

cos 40 cos 40 cos

cos cos40 1 40 0

cos 0.766 1 40 0

0.23cos 0.64 0

0.64 0.23cos 0.23 1

0.64 0.23 1

x x

sen sen

x sen senx x

x sen senx

x sen senx

x senx

senx x sen x

senx sen x

2 2 2

2 2

2 2

2

1

0.41 0.0529 1 0.0529 0.0529

0.41 0.0529 0.0529

0.05290.4629 0.0529 0.1142

0.4629

0.1142 0.1142 0.3379

0.3379 19.748 19 44 5619 44 56 36

sen x sen x sen x

sen x sen x

sen x sen x

sen x senx senx

x sen x x x n

0


tan tan 22

4 4tan tan

2 2

2 4 2 4 6

30 3606

x x

x x x x

x x x x x

x x n


22 2

2 2

2 2

2

22

1 2 1 1

cos 2 2

1 2 2 1 2 2

1 4 8 4

1 4 8 4 0

5 8 3 0

45 8 3 0

2

8 64 4 5 3 8 64 60 8 2

10 10 10

3 31

5 5

x senx

sen x senx sen x senx

sen x senx sen x

sen x sen x senx

sen x senx si senx z

b b ac z z z

a

z

z z senx x s

1

11 2 2

2

3

5

36 52 11 360 1 1

90 360 |

en

x n senx x sen

x n






2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

11

12

3 2sec como 1 sec

3 2 1

3 2 2 2 2 3

1 1 entoces 1

1 45 ,225 360

1 135 ,315 360

tg x x tg x x

tg x tg x

tg x tg x tg x tg x

tg x tg x tg x

x tg n

x tg n


2

22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1

cos 3 como 1 cos

cos 3 1 cos elevando al cuadrado

cos 3 1 cos cos 3 3cos

3cos 3cos 3 4cos 3 cos

4

3 3 3cos cos 30 ,330 360

4 2 2

x senx senx x

x x

x x x x

x x x x

x x n


2

cos2cos cot 2cos

2cos cos como 1 cos

2 cos

x x x x

senx

xsenx x senx x

x

21 cos cos x x

222 2

2 2

2 1

12 1 cos 1 1 cos

2

1 1 31 cos cos 1

4 4 4

3 3 3cos cos cos4 2 2

30 ,330 360

x x

x x

x x x

x n

Ejercicios; resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas

2

2 2 2

2 2

2

11 4cos 3sec 0 2 3cos 5

4

3 cot 4 2 cos 0

5 2 sec 2 6 2 0

7 3cos 8 csc cot 3

9 2 3 cos 1 0

x x x senx

x senx senx senx x

tg x x sen x senx

x sen x x x

sen x x

2

5

10 2cos 2 3 0

11 4cos 3 csc 2 12 2 1

13 cos 1 14 sec 4sec

15 2 0 16 cos 2 0

17 cos cos2 0 18 cos2 tan 1

19 cos 12

x

x x senx senx

x senx x x

sen x sent x sen x

x x x x

x sen x

2 2 20 2 cos 42

21 2 csc 2csc 1 0

22 2 csc csc 4 2

23 2 1 2cos 3 0

x x sen

tgx x x tgx

senx x x senx

senx x

2.5 RESOLUCIÓN GENERAL DE TRIÁNGULOSOBLICUÁNGULOSPara resolver cualquier triangulo oblicuángulo se puede utilizar cualquiera de las siguientes leyes.

Ley de los senos

Ley de los Cosenos

2.5.1 LEY DE LOS SENOS

En todo triángulo oblicuángulo sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos acada vértice.

a b c

senA senB senC

Sea , , A C B





En

En

de las ecuaciones anteriore tenemos que

1

En

En

de las ecuaciones an

CD ACD senA CD bsenA

b

CD BCD senB CD asenB

a

b a

bsenA asenB ec senB senA

AE ACE senC AE bsenC

b

AE ABE senB AE csenB

c

teriore tenemos que

2

De las ecuaciones 2 y 3 se obtiene

b cbsenC csenB ec

senB senC

a b c

senA senB senC

En

En 180

entonces

En

CDCDA senB CD asenB

aCD

CDA sen A senAb

CD bsenA asenB bsenA

a b

senA senB

AE AEC senC AE bsenC

b

En AE

AEB senB AE csenB

cb c

bsenC csenB senB senC

2.5.2 LEY DE LOS COSENOS

El cuadrado de cada lado de un triángulo es siempreigual a la suma de los cuadrados de los otros ladosmenos el doble del producto de dichos lados por elcoseno del ángulo que forman esto es:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

Observemos el triángulo ACB por el teorema dePitágoras tenemos

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 22 2

2 2

restando las ecuaciones

como 1

2

resolviendo las ecuaciones 1 y 2 simultaneamente

suma

x h a

y h b

x y a b

x y x y a b x y c ec

a bc x y a b x y ec

c

a b x y

c x y c

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

ndo las dos ecuaciones

22

pero del se tiene cos

cos entonces cos2

cos de donde2

2 cos

a b a b c a b c x c x

c c c x

DCB Ba

a b c x a B a B

c

a b c B

ac

b a c ac B





2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

restando las dos ecuaciones

22

pero del se tiene cos

cos entonces cos2

cos de donde2

2

a b x y

c x y c

a b a b c b c a y c y

c c c y

ADC A

bb c a

y b A b Ac

b c a A

bc

a b c

2 2 2

cos en consecuencia

cos2

bc A

a b cC

ab

2.5.3 SUPERFICIE DE TRIÁNGULOSOBLICUÁNGULOSObservemos el siguiente triángulo y donde lasuperficie total del triángulo es 1 2S S S

1 2

1 2

Recordemos que2 2

además se tiene que

2 2 2 2

pero del triángulo2

1

2

yh xhS y S

h senC h asenC

a

yh xh yasenC xasenC S S S

a y x senC

S y x b

S ab senC

2

1 2

1

1

1 1

Considerando el

180

además2 2

Del

2 2 2 2

2 2

1

2 2

ADB

h senB sen sen senB

ch a x hx

h csenB S y S

ADC S S S

h a x csenB a x csenB xhxS

csenB a x xcsenB a x csenB x

S ca senB

S S ac senB

En consecuencia tenemos que

1

21

21

2

S ab senC

S bc senA

S ac senB

Ejemplo 1; a) encuentra los elementos que le faltan altriángulo b) encuentra la superficie del triángulo.

2 2 2

2 2 22 2 2

1

2 2 2

a) Recordando que 2 cos

28 40 34

cos 2 2 28 40

784 1600 1156 1228cos 0.5482

2240 2240

cos 0.5482 56 45 19

2 cos

a b c bc A

b c a

A bc

A

A A

b a c ac B





2 2 22 2 2

1

2 2 22 2 2

1

34 40 28cos

2 2 34 40

1156 1600 784 19720.725

2 34 40 2720

cos 0.725 43 31 52

34 28 40cos 2 2 34 28

1156 784 1600 3400.1785

2 34 28 1904

cos 0.1785 79 42 48

) la superfici

a c b B

ac

B B

a b cC ab

C C

b

2

e esta dada por

1 134 28 79 42 48 476 0.9839

2 2

468.34

S ab senC sen

S u


Utilizando la ley de los senos

pero 180 63 52 '

60 6080 25 ' 0.986

63 52 ' 0.897

65.95

65.9535 43 '

80 25 '

65.950.5837 39

0.986

)

a cC A B

senA senC c

a senA sen senC sen

a

b a ab senB sen

senB senA senA sen

b b

b

2

para encontrar la superficie del triangulo

1 139 60 80 25 '

2 2

1153.64

S bcsenA sen

S u


1

utilzando la ley de los senos tenemos

20 11045 20

sen110° 45

200.9396 0.4176

45

0.4176 24.6837

recordando que 180° 110

180 110 24.6837 45.31 además

sen sen

sen

sen sen

sen

x

2 22

2

2 2

2

20 45 2 20 45 cos

400 2025 1800 cos 45.31

400 2025 1800 0.7032 1159.24

1159.24 34.04

para encontrar la superficie utilizamos

120 45 45.31 319.91

2

x

x x

x x

S sen S u


2 2 2

1

2 2 2

1

30 55 48 900 3025 2304cos

2 30 55 3300

1621cos 0.4912 cos 0.4912

3300

60.579

48 55 30 2304 3025 900cos2 48 55 5280

4429cos 0.8388 cos 0.8388

5280

32.9836





2 2 2

1

2

48 30 55 2304 900 3025cos

2 48 30 2880

179cos 0.06215 cos 0.06215

2880

86.4366

para encontrar la superficie utilizamos

1 48 30 86.4366 720 0.9982

718.56

S sen

S u

Ejercicios; Encuentra los elementos faltantes de lossiguientes triángulos oblicuángulos.

41 101 101 19.5 . 27 5032.48 51

5.312 23 402 10.913 . 55 33

13 100 47

78.6 503 83 26 . 66.6

39 13 57 21

10484 63 20

75 47

a Ab sol Bc C

a Ab sol Bc C

a b A sol c B C

a A B

1136.5. 767.6

40 53

32.45 33.19

5 27.28 . 64 666 56 48 58

40 506 24.86 . 52 4

98 6 29 30

50 607 57 7 . 70

78 28 44 25

38

b sol c

C

a c

b sol AC B

a bc sol A B C

b a A sol cC B

b

1.5 70 3248 25 . 2561 3 29.25

40 32.69 103 37 . 16.8

24 5 52 1833 39

10 51.47 . 7946.25 62

B A sol aC c

b a B sol c

C Aa Ab sol Bc C

11] Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos) 42 10' 59 30 13.5

) 95 36 ' 24 0.87

) 55 61 37 ' 63.32

) 42 3.6 3.125

) 100 30'

a A B a cm

b B C b m

c A C a cm

d C a cm c cm

e A B

25 40 45

) 110 20 ' 8.5 4.5

) 39 15 8

) 4 5 6

) 24.5 18.6 2

c cm

f A a cm c cm

g B b cm a cm

h a cm b cm c cm

i a cm b cm c

5.2

) 9.4 6.3 7.1

cm

j a m b m c m

12] Encuentra los valores que se indican en lassiguientes figuras





GEOMETRÍA ANALÍTICA

3.0 LÍNEA RECTA

Definición: si l es una recta no paralela al eje y, yademás los puntos 1 1 2 2( , ) , ( , x y x y son dos puntoscualesquiera de la recta entonces la pendiente deinclinación es:

2 1

2 1

y ym

x x

2 1

2 1

1

observamos que tan entonces

tan tan

y y x x

m m

La ecuación para la línea recta que pasa por el

punto 1 1, x y con pendiente m es:

1 1 y y m x x

La gráfica de la ecuación y mx b es una

recta que tiene pendiente m, y su intersección con eleje y es igual a b.

Teorema: la gráfica de toda ecuación lineal0ax by c es una recta, y por consiguiente todarecta es la gráfica de una ecuación lineal.

Definición: Ecuación general de la recta

0ax by c

Ejemplo 1; a) encontrar la pendiente y la ordenada en elorigen de la recta, b) el ángulo de inclinación de la rectay su gráfica

1

2 4 41

3 2

2 2 4 3 41

6

4 8 3 12 6 6

3 6 6 4 8 12 3 2 10

2 103 2 10

3 3

2 100.66 3.3

3 3

como 0 entonces tan 180 tan

tan 0.66 33 39'49''

180 33 39'49 '' 146 20'10''

x y x

x y x

x y x

y x x y x

y x y x

m b

m





Ejemplo 2; a) encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos 1,7 , 3,2 , b) el ángulo de

inclinación de la recta y su grafica

2 1

2 1

1 1

1

7 2 5como

1 3 4

la ecuación la podemos obtener con el punto 1,7

57 1

4

4 28 5 5 4 5 23 0

5 23 54 5 23 5.75

4 4 4

5tan 51 20'24''

4

y ym m

x x

y y m x x y x

y x y x

y x y x y x

Ejemplo 3; a) encontrar la pendiente y la ordenada en elorigen de la recta, b) el ángulo de inclinación de la rectay su gráfica

1

2 14 2 1 5

5 4

8 4 5 5 8 4 08 4 4

5 8 45 5 5

8 8tan 57 59'40''

5 5

x y x y

x y y x

y x y x b

m

Ejercicios ; a) Encuentra la pendiente y la ordenada alorigen de las siguientes ecuaciones b) bosqueja la gráficade las rectas

3 4 1 41 0 2

3 4 10 5

133 2 5 4 4 4

3 20 12

x y x y

y y x y x

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos,y bosqueja su grafica

15 5, 2 , con pendiente

3

6 3,7 , con pendiente 2

7 pasa por los puntos 8, 3 , 2, 5

8 pasa por los puntos 4, 1 , 6, 3

9 4 e intersecta al eje y en 7

310 e intersecta al eje en 5

4

m

m

m

m x

3.1 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASAPOR DOS PUNTOS

Otra forma de encontrar la ecuación de larecta que pasa por dos puntos es aplicar la condiciónde que tres puntos estén alineados ( colineales)





1 2

1 2

1 2 2 1

2

y y x y

x x x x

y y x x y y x x

y x y x

1 2 1

2 2 1

y x y x

y x y x y x

1

2 1 2 1 2 2 1 1

1 2 1 2 1 2 2 1

factorizando , tenenos

y x

y x y x y x y x y x y x

x y

x y y y x x x y x y

1 1

2 2

1 2 1 2 1 2 2 1

recordando que un determinante de 3 3 es

1

1

1

entonces se puede utilizar un determinante de 3 3 para encontrar la ecuación de la recta que pasa

x y

A x y

x y

x y y y x x x y x y

por dos puntos si 0 A

Ejemplo 1; Encuentre la ecuación de la recta que pasa por

los puntos 3,4 2,1 y

1

14 1 1 1 3 1 1 2

3 4 13 1 4 2

2 1 1

3 11 113 5 11 0

5 5 5

3 3tan 30 57 '49''

5 5

x y x y

x y y x b

m


los puntos 1 1

, 4,62 2

y

1

1 111 1 6 1 1 4

2 21 11

2 2 1 16 4

4 6 1 2 2

1 16 4 3 2 0

2 2

13 9 9 131 0 1

2 2 2 2

13 2 29 13 2

9 9 9

13 13 13tan tan

9 9 9

55 18'14''

x y x y

x y

x y y x

y x y x b

m

180 55 18'14 ''

124 41'46''


los puntos 1,4 3,1 y

1

14 1 1 3 1 1 1 3

1 4 11 1 4 3

3 1 1

4 1 1 3 1 12 0

3 13 133 4 13 0

4 4 4

3 3 3tan tan4 4 4

36 52'11'' 180 36 52'11''

143 7'48''

x y x y

x y

x y y x b

m






los puntos 0,4 6, 6 y

1

14 6 6 1 24

0 4 110 6 24 0

6 6 1

10 24 54 4

6 6 3

5 5tan 59 2'10''

3 3

x y x y

x y

y x y x b

m

3.2 ECUACIÓN DE LA RECTA EN SUFORMA SIMÉTRICA

Es la ecuación que se presenta en función de lossegmentos a, b, ( en magnitud y signo) y que se aplicasolamente a las rectas de los ejes coordenados, es dela forma:

sea , 0, entonces la ecuación que

pasa por los dos puntos es

0 00 0 0

0

dividiendo por

A a o y B b

y ba y b x a

x a a

ay bx ba ay bx ba ba

a

y

b a

b

x

b 1

ba y x

ba b aa

Nota: Para encontrar la ecuación simétrica de la recta primero se encuentra la ecuación general. Y despuésse obtienen las intersecciones de la recta con los ejescoordenados esto es si 0 0 x y y


los puntos 2,5 2, 3 y en su forma general y

simétrica

1

15 3 2 2 1 6 102 5 1

8 4 4 0 2 1 02 3 1

2 1 1

2 tan 2 63 26'5''

para encontrar la forma simétrica hacemos

1 10 ,0

2 2

0 1 0,1 entonces la

ecuación sime

x y x y

x y x y

y x b

m

si y x A

si x y B

trica es

11 1

2

x y


los puntos 1 3

, 3, 22 5

y

1 x y

a b





3 91

5 2 5

3 7 51 4

2 5 5 2 5

25

2

1

2 3 1 11

1 0 5

3 2 1 7 4 0 2

14 814 25 8 0 25 14 8

25 25

8 14 14tan 29 14'55''

25 25 25

para encontrar la forma simétrica hacemos

0

x y x y

x y

x y

x y y x y x

b m

si y x

847 25

8 4 4,0

14 7 7

8 80 0, entonces la

25 25

ecuación simetrica es

1

A

si x y B

x y

3.3 ECUACIÓN DE LA RECTA EN SUFORMA NORMALLa ecuación está dada en función de la distancia d que hay del origen a la recta y del ángulo queforma el segmento de la distancia con la dirección positiva de las x

cos x ysen d

sea , la ecuación de la recta en su forma

simétrica es:

1 1

del coscos

cos

sustituyendo en la ecuación 1 tenemos que

cos1

cos

AB

x yec

a b

d d AOP a

a

d d

y BOP bb sen

x y x

d d

sen

1

cos

ysen

d d

sen d

Para encontrar la ecuación de la recta en su formanormal a partir de la ecuación general:

0 cos 0

como éstas ecuaciones representan la misma linea

recta, entonces sus coeficientes deben ser proporcionalescos 1

elevando al cuadrado ambos lados2

Ax By C y x ysen d

kA

sen kB

22

2 2 2 2 2

22

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

3

cos cos

1 11

con 0 sustituyendo el valor de en las ec

cos

d kC

kA sen k A B

sen kB

k A B k k A B A B

A B k

A

A B

B sen

A B

C d

A B


los puntos 2, 3 1,4 y , a) en su forma general,

b) en su forma normal

1

3 4 2 1 1 8 32 3 1

7 3 5 0 7 3 5 01 4 1

Para encontrar la ecuación en su forma normal

7 3 5 0 0

7 3 5

x y x y

x y x y

x y Ax By C

A B C





2 2 2 2

2 2

2 2

1

5 5 5

49 9 587 3

7cos

58

3

587

cos 66 48'42''58

La forma normal es

cos 66 48'42'' 66 48'42'' 0.6565

C d

A B

A

A B

B sen

A B

xcox ysen d

x ysen

3.4 ECUACIÓN DE RECTAS PARALELAS OPERPENDICULARES

Dos rectas con pendientes 1 2m y m son paralelas si

sólo si 1 2m m

Dos rectas no verticales con pendientes 1 2m y m son

perpendiculares si 1 2 1m m

Esto es que 1 22 1

1 1m ó m

m m

Si 1 2 y son los ángulos de inclinación de las

rectas, entonces el ángulo entre ellas es

2 12 1

1 2

2 1

2 1

tan tantan tan

1 tan tan

tan1

m m

m m

Ejemplo 8; encuentra la ecuación de la que pasa por el punto de intersección de las rectas

2 4 6 1 x y y x y y es perpendicular a la

recta 4 5 6 x y

21

1 1

2 4 6 2 4 62 4

1 2 2 2

2 1 1

4 6como 4 5 6 5 4 6

5 5

1 5además recordando que

4

52 1 4 8 5 5 4 5 3 0

4

x y x y y

x y x y

y x y x

x y y x y x

m mm

y y m x x

y x y x y x





Ejemplo 9; encuentra la ecuación de la recta que pasa porel punto de intersección de las rectas

4 3 2 2 4 x y y x y y es perpendicular a la

recta 5 2 1 x y

2 1 2

1 1

4 3 2 4 3 25 10

2 4 4 2 82 2 4 1

5 1como 5 2 1 2 5 1

2 2

5además recordando que

2

52 1 2 4 5 5

2

2 5 9 0

x y x y y

x y x y y x y x

x y y x y x

m m m

y y m x x

y x y x

y x

Ejemplo 10; encuentra el ángulo entre las rectas

30 7

7 8 7 4

x y x y y y una ecuación de la recta

que pasa por el punto de intersección de dichas rectas y

sea perpendicular a la recta1

5 6 30

x y

1 2

2 1

2 1

8 7 80 0 8 7

7 8 56 7

3 4 217 7 4 21 1967 4 28

4 196 8 4

21 21 7 21

recordando que tan1

x y x y x y y x

x x y y x y

y x m m

m m

m m

1

4 8 4 24 20294021 7 21 21tan

32 1794 8 375911

147 14721 7

tan 0.7821 como tan tan

tan 0.7821 además tan 180 tan

tan 180 0.7821 180 tan 0.7821

180 38 1 44 141 58 15

21

1 1

0 067 8 7 8 7

3 3 87 7

7 4 7 4

87 56 8 7

7 81 6 5 1

como5 6 30 30 30

6 1

6 5 1 5 6 1 5 5

1 5además recordando que

6

58 7 6 48 5 35

6

6

x y x y y y

x x y y

x y y x

x y x y

x y y x y x

m mm

y y m x x

y x y x

5 13 0 y x

EJERCICIOS:

1 ) hallar el ángulo de inclinación entre las

3 4 4 2 rectas 0 3

3 4 2 5 ) la ecuación de la recta que pase por el punto

de intersección de las re

a

x y x y y

b

ctas anteriores y sea

perpendicular a la recta 3 4 11 x y






1 4 4 2 rectas

10 5 5 10 ) la ecuación de la recta que pase por el punto

de intersección de las rec

a

x y x y y

b

tas anteriores y sea

paralela a la recta 4 11


rectas 4 3 2 2 4 ) la ecuación de la recta qu

x y

a

x y y x yb

e pase por el punto

de intersección de las rectas anteriores y sea

perpendicular a la recta 5 7 18


x y

a

rectas 7 3 14 3 6

) la ecuación de la recta que pase por el punto


paralela a la recta

x y y x y

b

1


rectas 4 5 6 5 2 1


de intersección de l

x y

a

x y y x y

b

as rectas anteriores y sea

perpendicular a la recta 4 2


rectas 4 3 2 2 4

) la ecuación de l

x y

a

x y y x y

b

a recta que pase por el punto


perpendicular a la recta 5 2 1

7 ) hallar el ángulo de inclinación entre

x y

a

las

rectas 4 3 2 3 11



perpendicula

x y y x y

b

r a la recta 7 14 7


rectas 5 7 16 2 8 26


de in

x ya

x y y x y

b

tersección de las rectas anteriores y sea

perpendicular a la recta 2 4 x y

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos deintersección de las rectas siguientes: y es perpendicular a

las recta13

3 20 12

x y

2 4 6 4 3 29 12

1 2 47 14 7 4 3

10 134 11 2 3 11

4 12 4 4 5 611 14

5 11 5 2 1

x y x y

x y x y x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

4.0 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN: la circunferencia es el lugargeométrico de todos los puntos del plano queequidistan de otro punto llamado centro.

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

la ecuación en su forma general es:

2 2 0

2 2 0

Recordando que la ecuación de segundo grado es

0 0

como las ecuacione

x h y k r

x xh h y yk k r

x y hx ky h k r

Ax Bxy Cy Dx Ey F B

2 2 2

2 2

s son equivalentes entonces sus

coeficientes son proporcionales

1 1 2 2

0

A C D E F

h k h k r

Ax Cy Dx Ey F

Nota: para saber si una ecuación de segundo gradoes la ecuación de una circunferencia debe tener losiguiente

Que no tenga términos en xy

Que los coeficientes de 2 2, x y sin iguales ydel mismo signo

Ejemplo 1; Hallar el centro y el radio de la

circunferencia 2 2 4 6 9 0 x y x y

2 2

2 2

2 2 2

4 6 9 0

4 4 6 9 4

2 3 2 2, 3 2

x y x y

x x y y

x y c r





Ejemplo 2; Hallar el centro y el radio de la

circunferencia 2 24 4 4 16 19 0 x y x y

2 2

2 2

2 2

22

14 4 4 16 19 0

419

4 04

1 19 1

4 4 44 4 4

1 12 9 , 2 3

2 2

x y x y por

x y x y

x x y y

x y c r

Ejemplo 3; a) hallar la ecuación de la circunferencia que

pasa por los puntos 2,0 , 1, 1 , 1,3

b) el centro y el radio de la circunferencia

2 2

2 2

0 , ,

0 sustituyendo los puntos

para 2,0 4 2 0 2 4

para 1, 1 1 1 2 para 1,3 1 9 3 3 10

D E F D E F x y x y Si t s z

A A A A A A

x y tx sy z

t z t z

t s z t s z t s z t s z

2 1

3 10 10

2 4 4

21 1 3 1 32 1 21 3 1 10 2 0 1 4

2 2 1 1 1 2 2

0 2 2 12

1 1 2

1 3 1

2 0 1

1 2

0 12

0 2 1 0

t s z

t s z

t z

F F F F F F

2

2

3

2 2 4

0 2 1 0

21 1 3 3

0 2 1 02 0 2 2 12

0 0 3 12

1 1

1 2 1

0 1 1 6 20 0 3 12

1 2 10 1 1 6 30 0 3 12

F F F

F F

F

3

1 1

1 2

0 1 1 6

0 0 1 4

F

3

1 3 1

1 1 1 12 2 0 1 1 6

0 0 1 4

0 1 0 2

1 1 1 2

0 0 1 41 1 0

1 2 1 2

0 1 1 6 0 1 0 2

0 0 1 4 0 0 1 4

F F F

F F F

1 2 1

2 2

1 1 1 0 2

0 1 0 21 0 0 02

1

1 0 2

0 1 0 20 0 1 4

0 0 0

0 1 0 2 4, 2, 0

0 0 1 4

entonces la ecuación de la circunferencia es

F F F

z s t

x y tx

2 2

2 2

22

0

2 4 0

) para encontrar el radio y el centro

2 1 4 1

1 5 0,1 5

sy z

x y y

b

x y y

x y c r

Ejemplo 4; a) Hallar la ecuación de la circunferencia quetiene el centro en la recta 3 2 6 0 x y , y pasa por

los puntos 2,0 8,2 A y B b) el centro y radio

de la circunferencia

1

2

12 2 8 1 4

2 0 12 10 4 0 5 2

8 2 11 2 1

entonces la mediatriz5 5 5

tiene una pendiente 5 pasa por el punto

x y x y

x y y x

y x m

m y





1 2

1 2

1 1

2 8 6medio de y 3

2 2 20 2

1 el punto medio es 3,12 2

La ecuación de la mediatriz esta dada por

1 5 3

1 5 15 5 16 0 entonces el

centro es el

x x A B x

y y y

y y m x x y x

y x y x

punto de intersección de las resctas

2 10 32 05 16 0

2 3 6 02 3 6 0

13 26 0

2 5 2 16 6 2,6

encontrando el radio por la distancia del centro al

punto

y x y x

y x y x

x

x y y c

2 2

2 1 2 1

2 2

22 2 2 22

2 2

2 2

2 2 6 0 16 36 52 52La ecuación de la circunferencia es

2 6 52

4 4 12 36 52

4 12 12 0

A r x x y y

r r

x h y k r x y

x x y y

x y x y

Ejemplo 5; Encuentra la ecuación del lugar geométrico de

los puntos cuta distancia al punto fijo 3,7 A es el

doble de su distancia al punto 0,6 B

2 2

1 1

sean los puntos , perteneciente al lugar

geometrico 2

recordando que la distancia entre dos puntos es

P x y

d PA d PB

d x x y y

2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

3 7 2 0 6

3 7 2 0 6

3 7 4 0 6

6 9 14 49 4 12 36

6 14 58 4 4 48 144

6 14 58 4 4 48 144 0

3 6 3 34 86 0

3

x y x y

x y x y

x y x y

x x y y x y y

x x y y x y y

x x y y x y y

x x y y

x

26 3 34 86 0 x y y

2 2

2 2

22

22

22

6 343 3 86

3 3

34 289 2893 2 1 3 86 3

3 36 12

17 7073 1 3 6 12

17 7071

6 36

17 707 171 19.63 1,

6 36 6

19.63 4.43

x x y y

x x y y

x y

x y

x y c

r





4.1 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Definición: la parábola es el conjunto de todos los puntosdel plano que son equidistantes de un punto fijo llamadofoco, y de la una recta llamada directriz

Por la definición se tiene que la distancia del foco acualquier punto de la parábola es igual a la distancia deese punto a la directriz.

22 2 2

2 2 2 2 2

2 2

0

2 2

x y p x x y p

x y yp p y yp p

x y

22 yp p 2 y 22 yp p

2 2

0

4 0 4 x py x py

GRAFICAS DE LAS PARÁBOLAS

24

, ,

4

Ecuación canónica es x h p y k

Foco F h k p Vértice V h k

Directriz y k p lado recto LR p

24

, ,

4

Ecuación canónica es y k p x h

Foco F h p k Vértice V h k

Directriz x h p lado recto LR p

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

2

2

0

0

Ax Dx Ey F

Cy Dx Ey F

Ejemplo 1; Encuentra la ecuación general y canónica de la

parábola que tiene 3,2 5,2V y F

como el eje focal esta 2 entonces

, 5,2 pero , 3,2

5 5 5 3 2

3 2 1

y

F h p k V h k

h p p h p

directriz x h p

2 2

2 2

4 4 2 8

4 3 8 3

la ecuación general es

6 9 8 24 6 8 33 0

LR p LR

y k p x h y x

y y x y y x

Ejemplo 2; Encuentra la ecuación de la parábola que pase

por los puntos 2,1 , 1,2 , 1,3 y es paralela al eje x.

Como es paralela al eje x utilizamos la ecuación

2

2

2

0 dividiendo por

0 , ,

sustituyendo en la ecuación tenemos que:

0

para el punto 2,1 1 2 0

2 1 1

Cy Dx Ey F C

D E F D E F y x y si s t z

C C C C C C

y sx ty z

s t z

s t z ec






2 4 2


3 9 3 entonces obtenemos un sistema

lineal

s t z

s t z ec

s t z

s t z ec

2 4 2 1 2

1 3 1 93 9 9 1 2 1 42 1 1 0 5 2 13

23 1 32 1 1 1

2 4 2 8

0 5 3

1 2 1 4

1 3 12 1 1

F F F s t z

s t z s t z

F F F

2

2

1 1

22

9

1 1 5 1 13 3 0 5 3 9

0 5 2 13

0 0 1 4

2 4 1

0 5 13 50 5 3 9

4 42 2

13 132 20 1 0 15 5 5 5

0 5 3 9 0 0 1 4

F F

F F F

2 3 2

1 3 1

1 2

1 1 0 1 1 2 1 4

0 0 1 4 0 0 1 2 0 8

0 1 0

21

25 4

21325 5 21 0 1 082 5

5 5 0 0 1 421

5

82 0

210 1 05

0 0 1 4

F F F F F F

F F

1

2 2

1 1 2 0 8

0 2 0

1 0 0

250 0

2142 0 1 055

0 0 1 425

2 214 entonces la ecuación es

5 5

2 21+ 4 0 5 2 21 20 05 5

para hacer la gráfica pod

F

s t z

y x y y x y

2

2

1 2

emos utilizar intersecciones

si 0 10 si 0 5 21 20 0

21 21 4 5 20 21 41 21 6.4

10 10 10

2.74 1.46

y x x y y

y

y y

Ejemplo 3; Encuentra los elementos de la siguiente

parábola 2 8 2 10 0 x x y

2 2

2 2

8 2 10 8 16 2 10 16

4 2 6 4 2 3 entonces

14, 3 como 4 2 utilizando

2

1 5, 4, 3 4,

2 2

1 73

2 2

4 2

x x y x x y

x y x y

V p p

F h k p F

directriz y k p y y

LR p

2

2

1 2

0 8 10 0

4 8 64 40 8 24

2 2 2

8 4.891.5 6.44

20 2 10 0 5

si y x x

b b ac x

a

x x x

si x y y


parábola 2 4 6 7 0 y y x

2 2

2 2

4 6 7 4 4 6 7 4

12 6 3 2 6 entonces

2

1 3, 2 como 4 6 utilizando

2 2

1 3, , 2 2, 22 2

1 31

2 2

4 6

y y x y y x

y x y x

V p p

F h p k F

directriz x h p x x

LR p





Ejemplo 5; Encuentra la ecuación de la parábola cuya

directriz es 4 y el Foco es 5,2 y F

2

como la directriz es 4 entonces la ecuación es

de la forma 4 además se tiene

el eje focal esta en 5 y es la mitad de la

distancia del foco a la directriz

y

x h p y k

x p

2 2 2 2

2 1 2 1

2

esto es

2 5 5 2 4

2 6 3 ,

2 2 2 3 1

5, 1 además 4 4 3 12

la ecuacione es 5 12 1

p x x y y

p p y F h k p

k p k p k

V LR p LR

x y


parábola 24 4 3 2 0 x x y

2 2

22

2

3 14 4 3 2

4 2

1 3 1 1 1 3 3

4 4 2 4 2 4 4

1 3 11 ,12 4 2

3 3 como 4 utilizando

4 16

x x x x x y

x x y x y

x y V

p p

1 3 1 13

, ,1 ,2 16 2 16

3 191

16 16

12 34

16 4

F h k p F

directriz y k p y y

LR p

4.2 ECUACIÓN DE LA ELIPSE

Definición: Es el conjunto de todos los puntos del planoen los cuales la suma de sus distancias a dos puntos fijosllamados focos es siempre igual a una constante

Por definición tenemos que

,́ , 2d F P d P F a

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2

0 0 2

0 2 0

0 2 0

x c y x c y a

x c y a x c y

x c y a x c y

x c y

2 22 2 24 4a a x c y x c y

2 x 22 xc c 22 2 24 4a a x c y x 22 xc c

4 4cx

22 2

222 2 2

2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2

2 2

2

a a x c y

a x c y a cx

a x xc c y a a cx c x

a x a xc

2 2 2 2 4 22a c a y a a cx 2 2c x





2 2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

a x c x a y a a c

x a c a y a a c

x a c a y a a c

a a c a a c

x a c

2 2 2a a c

2

a2

2 y

a

2 2

2 2 22 2

2 22 2 2

2 2

1 1

además 1

x ya a ca c

x yb a c

a b

GRAFICAS DE LAS ELIPSES CONCENTRO EN (h,k)

2

2 2

2

1 ,

, ,

, ,

, ,

2

x h y k Ecuación c h k

a b

V h a k V h a k

B h k b B h k b

F h c k F h c k

c bexcentricidad e LRa a

2

2 2 1 ,

x h y k Ecuación c h k

b a

Ejemplo 1; Encuentra la ecuación de la elipse que tiene

como elementos 4

7, 2 , 5, 25

B B y e

2 2

2 2

si observamos el eje menor tiene ordenadas en 2

entonces el elipse es paralelo al eje y su ecuación es

de la forma 1

además tenemos que , , ,

7

2

y

x h y k

b a

B h b k B h b k

h b

hk y

2 2 2 2 2 2 2

2

2

2 2

5 1 1, 2

2 2

712 4

5 6 como2 5

2 12

4 4además

5 5

16 16 936 125 25 25

36 25 410 10 8

9 5

2 362 72

10 10

1 2

36 100

b h c

h

h b

h b b b e

b

c ce c a

a a

b a c a a a a

a a c

b LR LR

a

x y

1

, 1,6 , 1, 10

, (1,8) , (1, 12)

F h k c F h k c

V h k a V h k a

2

, ,

, ,

, ,

2

V h k a V h k a

B h b k B h b k

F h k c F h k c

cexcentricidad e

a

b LR

a





Ejemplo 2; Encuentra los elementos de la siguiente ecuación

general 2 29 25 36 200 211 0 x y x y

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

36 2009 25 211

9 25

9 4 4 25 8 16 211 36 400

9 2 25 4 225

9 2 25 4 225

225 225 225

2 41 2,4 5 3

25 9

25 9 4

, 3,4 , 7,4

, 2,7

x x y y

x x y y

x y

x y

x yc a b

b a c c a b c

V h a k V h a k

B h k b B h

2

, 2,1

, 2,4 , 6,4

2 92 18 4

5 5 5

k b

F h c k F h c k

b c LR LR e ea a

Ejemplo 3; Encuentra la ecuación de la elipse que tiene

como elementos 39

3,3 , 7,3 4 F F y LR

2 2

2 2

como las ordenadas de los focos estan en 3

entonces el elipse es paralelo al eje de las

y la ecuación es de la forma:

1 recordando que los

, 3,3 , 7,3

x

x h y k

a b

F h c k y F h c k

22

3 3

7 72

2 4 2 10

2 39 395 además

4 8

h c h c

h c h ch

h c

bc LR b a

a

2 2 2 2

2 2

22

1 2

2 2 2

1

2

39como 25

839

25 0 8 39 200 08

39 39 4 8 2004

2 16

39 89 258 pero no16 8

hay distancias negativas entonces utilizamos

8 64 25 39

39 6.24 la

b a c a a

a a a a

b b aca

a

a a a

a b a c

b b

2 2

ecuación canónica es

2 31 2,3

64 39

x yc

2 2

, 6,3 , 10,3

, 2,9.24 , 2, 3.24

5 la ecuación en su forma general es:8

39 156 64 384 1764

V h a k V h a k

B h k b B h k b

ce a

x x y y


general 2 225 9 100 72 19 0 x y x y

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

100 7225 9 19

25 9

25 4 4 9 8 16 19 100 144

25 2 9 4 225

25 2 9 4 225

225 225 225

2 41 2,4 5 3

9 25

25 9 4

x x y y

x x y y

x y

x y

x yc a b

b a c c a b c





2

( , ) ( 2,9) ( , ) ( 2, 1)

( , ) '(1,4) ( , ) ( 5,4)

( , ) '( 2,8) ( , ) ( 2,0)

4 2 18

5 5

V h k a V V h k a V

B h b k B B h b k B

F h k c F F h k c F

c be LR

a a


general 2 29 16 36 96 36 0 x y x y

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

36 969 16 36

9 16

9 4 4 16 6 9 36 36 144

9 2 16 3 144

9 2 16 3 144

144 144 144

2 3

1 2, 3 4 316 9

16 9

2 18 77 2.64

4 4

x x y y

x x y y

x y

x y

x y

c a b

b a c c a b

b cc LR e

a a

, 6, 3 , 2, 3

, 2,0 , 2, 6

, 4.69, 3 , 0.64, 3

V h a k V h a k

B h k b B h k b

F h c k F h c k

4.3 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos en el plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntosfijos llamados focos es siempre una constante positiva.

Para obtener la ecuación de la hipérbola hagamos primeroque el centro de la hipérbola este en el origen

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2

2

0 0 2

0 2 0

0 2 0

d F P d PF a

x c y x c y a

x c y a x c y

x c y a x c y

x c y

2 22 2 24 4a a x c y x c y

2 x 22 xc c 22 2 24 4a a x c y x 22 xc c

4 4cx

22 2

222 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4

2 2 2

2 2

2

a a x c y

a x c y cx a

a x xc c y c x a cx a

a x a xc

2 2 2 2 4 22a c a y a a cx

2 2

2 2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

como

y la distancia siempre es positiva entonces

por 1

c x

a x c x a y a a c c a

x a c a y a a c

a Es la longitud del

semieje trasverso b es la longitud delsemieje conjugado

2 2 2c a b

221

b c LR e

a a





2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

x c a a y a c a

a c a a c a

x c a

2 2 2a c a

2a

2

2

y

a

2 2

2 2 22 2

2 22 2 2

2 2

1 1

además 1

x y

a c ac a

x yb c a

a b

GRAFICAS DE LAS HIPÉRBOLAS

La ecuación es:

2 2

2 21

x h y k

a b

La ecuación es:

2 2

2 21

y k x h

a b

Ejemplo 1; Encuentra la ecuación de la hipérbola que

tiene los vértices 5

3,2 9,23

V V y e

como las ordenadas de los vértices son iguales entonces2k , y h es el punto medio de las abscisas de los

vértices.

2 1 3 9 63

2 2 2

entonces el centro es 3,2

x xh h

c

Ahora como

2 2 2

22 2 2 2 2

2

2 2

, ,

33 9 6

9 2 12

5 5además pero

3 3

5 25

3 9

1636 64 8

9La ecuación de la hipérbola es:

3 2

36 64

V h a k V h a k

h ah a h a ah a

a

cb c a e c a

a

b a a b a a

b b b

x y

2

51 10

3

, 3,2 , 13,2

, 3, 6 , 3,10

las asíntotas son las rectas

8 2 3

6

6 12 8 24 6 8 12 0

2 642 646 8 36 0

6 3

c a c

F h c k F h c k

B h k b B h k b

b y k x h y x

a

y x y x

b y x LR LR

a

Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la hipérbola que tiene

el centro en 0,2c , el eje focal es paralelo al eje y, La

semi distancia focal es 6 y el semi eje conjugado es 4.

esto quietre decir que 6 , 4c b

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

además se tiene que

36 16 20

4.47 entonces la ecuación es:

2=1 =1

20 16

b c a

a c b a

a

y k x h y x

a b

, ,

, ,

, ,

Las asíntotas son

V h a k V h a k

B h k b B h k b

F h c k F h c k

b y k x h

a

, ,

, ,

, ,

Las asíntotas son

V h k a V h k a

B h b k B h b k

F h k c F h k c

b x h y k

a





, 0, 2.47 , 0,6.47

, 4,2 , 4,2

, 0, 4 , 0,8

Las asíntotas estan dadas por las ecuaciones:

4 2

4.47

4.47 17.88 4 8 4.47 4 8 0

4.47

V h k a V V h k a V

B h b k B B h b k B

F h k c F F h k c F

b x h y k x y

a

x y x y

x

2

17.88 4 8 4.47 4 8 0

2 166 21.34

4.47 4.47

7.15

y x y

c be e LR

a a

LR

Ejemplo 3: Encuentra todos los elementos de la siguiente

hipérbola 2 216 96 9 90 225 x x y y

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

16 6 9 10 225

16 6 9 9 10 25 225 144 225

16 6 9 9 10 25 144

16 3 9 5 144

16 3 9 5 144

144 144 144

3 51 3,5

9 16

1 3 4

9 16 25

2 1625

3

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

x yc

x h y k a b

a b

b c a c a b

bc LR L

a

10.66

, 6,5 , 0,5

, 3,1 , 3,9

, 8,5 , 2,5

R

V h a k V h a k

B h k b B h k b

F h c k F h c k

Las asíntotas estan dadas por

45 3 3 15 4 12

3

3 4 27 0 3 4 3 0

b y k x h

a

y x y x

y x y x

Ejemplo 4: Encuentra todos los elementos de la siguiente

hipérbola 2 29 54 4 8 113 x x y y

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

54 89 4 113

9 4

9 6 9 4 2 1 113 81 4

9 3 4 1 36

9 3 4 1 36

36 36 36

3 51 por 1

4 9

5 31 1

9 4

3,1 3 2

9 4 13

2 423.6

3

x x y y

x x y y

x y

x y

x y

y x y k x h

a b

c a b

b c a c a b

bc LR L

a

2.6

, 3, 2 , 3,4

, 1,1 , 5,1

, 3, 2.6 , 3,4.6

Las asíntotas estan dadas por

23 1 3 9 2 2

3

3 2 7 0 3 2 11 0

R

V h k a V h k a

B h b k B h b k

F h k c F h k c

b x h y k a

x y x y

x y x y





Ejercicios:

1) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a los puntos fijos

5,4 , 7,2 A B es igual a 34

2 2. 7 7 34 42 179 0 sol x y x y

2) Obtenga la ecuación del lugar geométrico de los puntoscuya suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos

6, 1 , 3,4 A B es igual a 6

2 2. 2 2 6 6 0 sol x y x

3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los

puntos , x y , cuya suma de cuadrados de distancias a los

puntos fijos sea igual a 202 2. 2 4 0 sol x y x

4) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos

, x y , cuya suma de distancias a los puntos fijos

2,3 , 2, 3 A B sea igual a 82 2. 16 7 64 48 0 sol x y x

5) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntoscuya diferencia de distancias a los puntos fijos

3,2 , 5,2 A B es igual a 6

2 2. 7 9 14 36 92 0 sol x y x y

4.4 INTERSECCIÓN ENTRE LUGARESGEOMÉTRICOS.

Ejemplo 1: Intersección entre parábola 2 3 x y y la

recta 2 6 y x

2 2

2

1 2

1 1

2 2

2 6 3 2 3

2 3 0 3 1 0

3 1 como 2 6

para 2 3 6 12

para 2 1 6 4

los puntos de intersección son

3,12 1,4

x x x x

x x x x

x x y x

x y y

x y y

y

Ejemplo 2: Encontrar los puntos de intersección de2 2 8 6 19 0 5 6 30 x y x y y x y

22

2 2

2 2

30 6 6de 5 6 30 6

5 5 5

sustituyendo en la ecuación de la circunferencia

6 66 8 6 6 19 0

5 5

72 36 4836 48 6 19 0

5 25 5

72 36 4836 48 6 19 25 0

5 25 5

727

y x y x x y

y y y y

y y y y y

y y y y y

2 2

2 2

2

2

36 486 25 0

5 25 5

175 360 36 25 240 150 0

61 270 175 0 resolviendo esta ecuación

270 270 4 61 175 270 30200

2 61 122

y y y y y

y y y y y

y y

y





1

1 2

2

1

1 2

2

270 173.78 270 173.78

122 122270 173.78

0.78869122

3.6375

6como 6 entonces sustituimos cada

56

valor de 6 0.7886956

5.0536 6 3.63755

1.635 entonces los

y y

y y

y

x y

y x

x x

x

puntos de intersección son

5.0536, 0.78869 1.635, 3.6375 y

Ejemplo 3: Encontrar los puntos de intersección de2 2 2 213 5 x y y x y

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

21 2

22 21 2

22 21 1

13 0 5 0

13 5

13 5 0 2 8 0

8 4 2 2 sustiruyendo en2

2 13 0 9 3 3

los puntos de intersección son 3,2 , 3,2

2 5 0 9 3 3

los puntos

x y x y

x y x y

x y x y y

y y y

x x x x

x x x x

de intersección son 3, 2 , 3, 2

5.0 NÚMEROS COMPLEJOS

Recordando que los números utilizados en el álgebra y el

cálculo elemental son los números reales , pero existeun problema cuando se quiere resolver la ecuación.

012 x Como no existe ningún número x real que satisfaga la

ecuación , es necesario introducir los números complejos.

Definición: Sea ¢ = baba ,/,

Un conjunto de parejas perteneciente a los números reales.

Definición: Sean d c yba ,, dos números

complejos donde;

d b yca

d cba

,,

Definición: Sean d c yba ,, ¢; entonces;

d bcad cba ,,,

Definición: Sean d c yba ,, ¢; entonces; bcad bd acd cba ,,,

PROPIEDADES:

Dado ba, ¢ Su inverso aditivo es

0,0,,

,

baba

ba

Existe 0,0 ¢ tal que;

baba ,0,0, es el elementoneutro de la suma.

Existe 0,1 ¢ tal que ba , ¢entonces;

)1()0(,)0()1(0,1, bababa

4. ba , ¢ existe

2222

1,,

ba

b

ba

aba

Demostración de 4;

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

, ,

,

,

, 0 1 , 0

a ba b

a b a b

a b a b

a b b aa b a b a b a b

a b ab ab

a b a b a b a b

a b

a b





5.1 FORMA NORMAL

Dado un número real x decimos que le corresponde en el

plano el número complejo 0, x , de ésta manera se

obtiene una identificación del conjunto de los números

reales , con el conjunto de los números complejos,esto es.

x x /0, Donde; 0, x x en lo sucesivo se denotará a los números complejos de la

forma 0, x y también i1,0 llamada la

parte imaginaria por lo tanto;

12 i

Demostración;

10,1

0110,11001,01,0

22

2

ii

i

Por otro lado si ba, ¢ entonces;

, , 0 0 ,

, 0 , 0 0 ,1

a b a b

a b

Porque

b

bbb

,0

)0(0)1(,)1(0)0(1,00,

Además se tiene que i1,0 entonces de

, , 0 , 0 0 ,1

,

a b a b

a b a b i

En donde: a es la parte real. b es la parte imaginaria.Un número complejo se representa en el plano complejocomo lo muestra la siguiente figura.

Además cuando se tiene bib ,0 se le llama un

número imaginario puro.

Por otra parte podemos representar a un número complejocon la variable z .

z a bi

PROPIEDADES:i] si bia z , entonces bia z

es su inverso aditivo.ii] si bia z , con 0, ba entonces;

iba

b

ba

a z

2222

1

Es su inverso

Multiplicativo, esto es 11 z z Definición; dado bia z entonces

bia z es llamado el conjugado de z

Ejemplos:

2 3 2 3

1 1

1 1

z i z i

z i z i

z i z i

z z

Lema: i ] La suma de un número complejo y su conjugado, esun número real.

Demostración; Sea bia z bia z entonces;

a

biabia

biabia z z

2

Además a2 es un número real c.q.d.

ii ] El producto de un número complejo 0 por suconjugado, es un número real positivo;

Demostración: Sea bia z bia z entonces;

22

22

2

1

ba

ba

bbiabiabiaa

biabia z z

recordando que todo número real elevado al cuadrado es

positivo entonces 22 ba es positivo, c.q.d.

Definición; dados dos números complejos

1 2 z y z Entonces se define la sustracción como;

1 2 z z





Ejemplo 1: Si bia z 1 y dic z 2

id cba

dicbia

dicbia

z z z z

2121

Definición; dados dos números complejos

1 2, z z Entonces se define la división como;

111 2

2

z z z

z

Ejemplo 2; Expresar en la forma normal el siguientenúmero complejo.

i

i z

21

32

Multiplicando por el conjugado del denominador se tiene,

2

2

2 3 1 2

1 2 1 2

2 1 2 2 3 1 3 2

1 1 1 2 2 1 2 2

2 4 3 6

1 2 2 4

2 7 6 1 2 7 6

1 4 1 1 4

4 7 4 7 4 7

5 5 5 5 5

i i

i i

i i i i

i i i i

i i i

i i i

i i

ii z i

Se debe recordar que también se puede utilizar el lemavisto anteriormente, en el cual un número complejomultiplicado por su conjugado es un número real positivo.


i

i z

22

2

Multiplicando por el conjugado se tiene,

2 2

2

2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2

4 6 2 14 4 2 2 4 6 2

4 4 8 82 6 2 6 1 3

8 8 8 4 4

i i i ii i

i i

ii i i i

ii z i

Ejemplo 4; Demostrar que ii

1

ii

i

i

i

i

i

1

12


2 2

1 1como entonces

11

1 1 multiplicando por su conjugado

1 11

1 1 1 1

1 1 21 1

1 1 1 1

2 2 2 2

z ii

i

z i

i

i i i

i i

i z i

Ejemplo 6; Demostrar que z iz ImRe Si

bia z entonces

z a Re y z b Im además,

baibiiabiaiiz 2 por lo tanto

Re Reiz b iz Im Z

Ejemplo 7; si 0n es un entero cualesquiera, demostrarque;

nn

nn

nn

nn

nn

ii

iiiiii

iii

ii

11

22

4

4

Ejercicios;

1. Demostrar que; 2121 ReReRe z z z z

2.

Demostrar que; 222

ImReRe z z z 3. Determine el cubo del siguiente número complejo.

i z 23 4. Determine el cubo del siguiente número complejo.

i z 2

3

2

1





5. Exprese en la forma normal la siguiente expresión;

i

z

11

11

1 i z

5

1

5

3 Realiza las

operaciones indicadas y coloca en la forma normallas siguientes expresiones.

6. iii 303642

7. i

i

i

2

56

1

232

8.

iii

ii

629

826

629

368

64

517

9. iii

i

2

1

1

10.

ii

i

ii

ii

50

39

50

23

1

1

213

31232

2

11. i

i

i

i

i

2

3

2

3

1

1

12.

ii

ii

2

1

2

3

3

212

13.

21

13

i

i

14. 12

14

i

15.

12

3

2

13

i

16. i

i

ii

ii

i

8

3

8

3

11

1

17. iiii 7913122

18. ii

i

ii

2

23

2

11

1

2

1

412

2

19.

iiii

iii

22 15105

1694

20. ii

i

i

i23

1

12

1

13

32

21. ii

ii

1

2

32

22.

i

ii

26

4854

23.

ii

ii

32

432

24.

33

7353

ii

ii

25.

Encuentre 22 ImRe z e z

26. Encuentre z z 2Im

27. Encuentre

z

z 2Im

28. Encuentre z z 324Re

29. si

i z

i z

i z

23

42

1

3

2

1

Hallar

a) i z z 4132 1

2

1

b) 170322

12 z z

c) i z z 10245

33

d) 353 3

2

2 z z

e) 121221 z z z z

f)

5

31

21

21

i z z

z z

g)7

1

2

1

3

3

3

3

z

z

z

z

h) i z z z z 33373132

30. Determine el módulo de

n

iy x

iy x

0n con n entero31. Encuentre el valor de x, y que satisface la

ecuación.

i y xi y xi 382321 Sea 111 iy x z y 222 iy x z compruebe que

1 2 1 2

1 1

)

1 1)

a z z z z

b z z





1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

)

) Re Re

) Im Im

c z z z z

d z z z z

e z z z z

5.2 REPRESENTACIÓN TRIGONOMETRICA

DE LOS NÚMEROS COMPLEJOSSea ba z , ó bien de la forma bia z , la cual

se representa como un vector en el plano complejo, esuna línea dirigida que comienza en el origen y terminaen el punto ( a , b ) de la siguiente manera;

Observando la figura nos podemos dar cuenta que;

2 2 donde es llamado modulo

de ó valor absoluto de z

r a b r

z r z

Además se considera positivo cuando se mide en ladirección contraria a las manecillas del reloj. Unacaracterística de es que es multiforme, esto es que paracierto número complejo hemos encontrado un valor

correcto de en radianes. Podemos añadir a este valor unmúltiplo entero de 2 radianes y obtenemos nuevamente

un valor valido de .De la figura se puede observar que;

1b btg tg

a a

Además está dado por.

De la representación en la figura 1. Se tienen lassiguientes relaciones;

cos cos además

coscos cos

b sen b rsen

r a

a r r

z a bi

r irsenr isen z r isen

La cual es la representación trigonométrica (polar) de z.

Ejemplo 1; Representar en su forma trigonométrica elsiguiente número complejo.

i z 2

3

2

1

Calculando; 22 bar en este caso

2

1a y

2

3b entonces;

221 3

2 2

1 3 41 1

4 4 4

r

r

Para calcular se observa en la gráfica que;

2 pero

1 1 1

112 60

33 3

2

52 2 como

3 3

5 5cos 1 cos

3 3

btg tg tg

a

z r isen z isen





Ejemplo 2; Representar en su forma trigonométricai z 1

Esto quiere decir que el número se encuentra en elsegundo cuadrante;

Encontrando primero el valor de 22 bar Donde 1 1a y b

2

11 22

r 2r


pero,

4511

1 111 tg tg

a

btg

4

por lo tanto; 4

3

4

3

4

Sustituyendo en isenr z cos se

tiene.3 3

2 cos4 4

z i sen

Ejemplo 3; Representar en la forma trigonométrica

i z 6

3

6

1 este número se encuentra en el tercer

cuadrante;

Encontrando primero el valor de 22 bar

22

1 3

6 6

1 3

6 6

a b

r

1 3 4

36 36 36

1 1 1

9 3 3r


pero,

1 1 1

1

16 6033 3

6

btg tg tg

a

por lo tanto; 3

4

3

sustituyendo en isenr z cos se tiene.

1 4 4cos

3 3 3 z i sen

Ejemplo 4; Representar en su forma trigonométrica

i z 44 Esto quiere decir que el número se encuentra en el primercuadrante;

Encontrando primero el valor de

2 2

2 2

4 4

4 4

16 16

32 16 2 16 2

4 2 4 2

r a b a b

r

r


1 1 445

4 4

btg tg

a

sustituyendo en isenr z cos se tiene.

4 2 cos4 4

z i sen





Ejercicios; Escriba en la forma trigonométrica ó normal lossiguientes números complejos.

1. i z 41

2. i z 62

3.

3

4

3

4cos

3

1

6

3

6

1 senii z

4.

3

2

3

2cos3

2

33

2

3 senii z

5.

33cos8344

senii z

6.

3

5

3

5cos6333

senii z

7.

3

5

3

5cos

2

3

2

1 senii z

8.

6

11

6

11cos23

senii z

9. 323323cos534 senii z

10. i z 28

11. i z 93

12. 34

13 ii z

13.

i

i

i z 2

1

13

14.

i

ii

3

311

15.

i

ii

3

212

Expresar en su

forma normal los siguientes números complejos

16. i seni

1

2

23

44cos3

17. i seni 3443

2

3

2cos8

18. i seni

122

4

11

4

11cos4

19. i seni

1

2

25

4

5

4

5cos5

20. i seni2

37

2

7

3

8

3

8cos7

5.3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DENÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMATRIGONOMÉTRICA

Sea 1111 cos isenr z y

2222 cos isenr z Entonces:

]coscos

cos[cos

]cos

coscos[cos

coscos

1221

212121

21

2

12

212121

22211121

sen seni

sen senr r

sen seni seni

senir r

senir senir z z

Recordando las identidades trigonométricas de la suma dedos ángulos

ab senba senba sen

b sena senbaba

coscos

coscoscos

Aplicando éstas identidades en la multiplicación se tiene;

21212121 cos senir r z z

Definición: sea 1111 cos isenr z y

2222 cos isenr z , entonces;

1

21

2

1 z z

z

z

2222

1

2cos

111

senir z z

22

2

2

2

2

2

22

2

22

22

222

1

2

cos1

coscos1

cos

cos

cos

11

senir

sen seni

r

seni

seni

senir z

Utilizando las siguientes identidades,

22

22 coscos

sen sen entonces;

)()cos(1

22

2

1

2

isenr

z

111 2 1 1 1 2 2

2 2

11 2 1 2

2

1 11 2 1 2

2 2

1cos cos

cos

cos

z z z r i sen i sen z r

r i sen

r

z r i sen

z r





Ejemplo 1; obtener el valor de2 z

Si senir z cos entonces;

22cos

cos

coscos

2

2

senir

senirr

senir senir z z z

Ejemplo 2; obtener el valor de 3 z

33cos

22cos

cos22cos

3

2

223

senir

senir r

senir senir z z z

Podemos observar que en forma general si elevamos unnúmero complejo a una potencia n, se obtiene la relaciónsiguiente;

)()cos( n seninr z nn

Teorema De Moivre: sea n un entero positivo entonces;

cos cos( ) ( )

nn n

z r i sen r n i sen n

Ejemplo 3; Encontrar el valor de10 z si

i z 1 Primero transformamos z en su forma trigonométrica;

Encontrando primero el valor de2 2

2 2

1 1

( 1) 1

2 2

r a b a b

r

r


pero,

4511

1 111

tg tg a

b

tg 4

por lo tanto; 4

3

4

4

3 sustituyendo en isenr z cos se tiene.

4

3

4

3cos2

seni z

10 z

4

310

4

310cos2

10 seni

102

5

30 302 cos

4 4

2 cos 1350 1350

32 0 1 32

i sen

i sen

z

Ejercicios: realiza las operaciones indicadas y coloca elresultado en la forma normal.

1.

6

5

8

68

862

3

2

1

i

ii

z

2.

5

43

34

431

i

ii z

3.

ii

ii z

3239

73232

43

4.

3

20

9

2

3

2

1

3332

33

2

3

i

ii

z

5.

58

10

9

1344

32

3

2

1

ii

ii z

6.

10

5021

1

6

i

ii z

7.

5

43

39

7323

i

ii z

8.

4

5

6

3

6

1344 ii

9.

4

43

143

i

ii

10. 93 i z

11. 1212143

ii z





1,2,1,0

22cos

ncon

n seni

n x

5.4 RAICES DE ECUACIONES BINOMIALES

Sea la ecuación A xn con A Є ¢. Si

senir A cos entonces;

senir xn cos .

Por el teorema fundamental del álgebra.

A xn tiene al menos una raíz, suponiendo que;

seni R x cos es la raíz, entonces utilizando lafórmula de De Moivre, y sustituyendo en;

A xn

senir n senin R

senir seni R

n

nn

coscos

coscos

nnn

n

r Rr Rr

R

seni

n senin

r

R

1

1cos

cos

También se tiene que;

1cos

cos

seni

n senin Aplicando la división de

números complejos:

n

k k n

entoncesn sen

n

n senin

22

0

1cos

1cos

con k perteneciente a los enteros.Sustituyendo los valores de R, , en;

seni R x cos

2 2cosn k k

x r i senn n

con k perteneciente a los enteros.Afirmando entonces que existen n raíces distintas, las raícesson de la forma:

1,2,1,0

22cos

ncon

n seni

nr x n

Además cuando A = 1 esto es; 1n x , entonces el

valor de x son llamadas las raíces n-ésimas de la unidad,en este caso 0 y 1r lo cual implica que;

Ejemplo 1; Encontrar las raíces de 44 x Encontrando;

442

22

bar Además

Entonces las raíces están dadas por:

1,2,1,0

22cos

nconn

seni

n

r x n

4

02

4

02cos44

0

seni x

44cos44

0

seni x

4545cos40 seni x

ii x2

2

2

2

2

1

2

120

0 1 x i

4

12

4

12cos44

1

seni x

4

3

4

3cos21

seni x

ii x2

2

2

2

2

1

2

121

1 1 x i

422

422cos44

2 seni x

4

5

4

5cos22

seni x

ii x2

2

2

2

2

1

2

122

2 1 x i

4

32

4

32cos44

3

seni x

4

7

4

7cos23 seni x

ii x2

2

2

2

2

1

2

123

i x 12 la representación gráfica es;





Ejemplo 2; Encontrar las raíces de i x 13

Encontrando primero:

211 22

22

bar 2r

Pero como z está en el cuarto cuadrante entonces; 2

1 1 745 2

1 4 4 4tg

entonces las raíces están dadas por:

1,2,1,0

22cos

ncon

n seni

nr x n

3

4

702

3

4

702

cos23

0

seni x

12

7

12

7cos26

0

seni x

i x

seni x

9659.02588.01224.1

105105cos2

0

60

0 0.2904 1.0841 x i

3

4

712

3

4

712

cos23

1

seni x

12

15

12

15cos26

1

seni x

i x

seni x

7071.07071.01224.1

225225cos2

1

61

1 0.7936 0.7936 x i

3

4

722

3

4

722

cos23

2

seni x

12

23

12

23cos26

2

seni x

i x

seni x

2588.09659.01224.1

345345cos2

2

62

2 1.0841 0.2904 x i

Ejemplo 3; Encontrar las raíces de 13 x

entonces las raíces están dadas por:

1,2,1,0

22cos

ncon

n seni

n x

302

302cos0

seni x

00cos0 seni x

0 1 x

3

12

3

12cos1

seni x

120120cos1 seni x

1

1 3

2 2 x i

3

22

3

22cos2

seni x

3

4

3

4cos2

seni x

240240cos2 seni x

2

1 3

2 2 x i

Observación; Utilizando la fórmula de Euler la cualestablece que;

seniei cos

Entonces las soluciones de la ecuación 1n x pueden

expresarse como;2

0,1,2. 1

k i

ne con k n





Ejercicios: Encontrar las raíces de las siguientesecuaciones;

1. i x 24

2. i x 13

3. 2

3

2

14 i x

4. 2

3

2

13 i x

5. i

i x

1

16

6. i x2

33

2

33

7. i x 3444

8. i x6

3

6

13

9.

i x 3

10. i x 64

11. i x 13

12. i x 35

Hallar cada una de las raíces indicadas y localízalasgráficamente.

13. 2

1

232 i

14. 5

1

44 i

15.

3

1

322 i

16. 4

1

16i

17. 3

2

i

Resolver las siguientes ecuaciones:

18. 814 z

19. i z 316

Calcule cada una de las potencias, con cuatro lugaresdecimales.

20. 2

1

1 i

21. 2

3

1 i

22. 5

4

33 i

23. 2

1

4

i

24. 7

3

1

i

25. 3

1

31

i

En ocasiones existen ecuaciones de la forma;nn x x x x 1210

para resolver éste tipo de ecuaciones es necesario factorizar primero el polinomio, en la forma siguiente;

n

x

x x x x

nn

1

11 12

Entonces;

01

1

x

x n

01 n x

Entonces basta resolverLa demostración de la Factorización se puede hacer porinducción matemática.Para n = 1 se tiene que:

11

11

1112

x

x x x x

Suponiendo que n = k esto es;

1

11 12

x

x x x x

k k

Para n = k + 1 entonces sumando k x en ambos lados setiene:

k k

k k x x

x x x x x

1

11 12

k k

k k x x

x x x x x

1

11 12

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

x

x x

x

x x x x

x

x x x x

x x

x x

k k

k k k k

k k k

k k

k

c.q.d.

Ejemplo 1; Resolver 0123 x x x

011

1 234

x x x

x

x

Basta encontrar las soluciones de la ecuación:

014 x

lo cual implica encontrar la raíz cuarta de la unidad:

1,2,1,0

22cos

ncon

n seni

n x





3

02

3

02cos0

seni x

00cos0 seni x

0 1 x

3

12

3

12cos1

seni x

120120cos1 seni x

1

1 3

2 2 x i

3

22

3

22cos2

seni x

3

4

3

4cos2

seni x

240240cos2 seni x

21 3

2 2 x i

3

32

3

32cos3

seni x

360360cos3 seni x

3 1 x

Esto implica que el polinomio tiene n raíces distintas por lo

cual esta raíz es igual a 0 x .

Ejercicios; Encuentre las soluciones de las siguientes

ecuaciones.1. 0123 x x x

2. 012 x x

3. 012345 x x x x x

4. 01234 x x x x

5. 0136 x x

6. 0124 x x

7. 01246 x x x

8. 013579 x x x x

9. 014812 x x x

5.5 RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMEROCOMPLEJO

Consideremos la ecuación 02 z x esto es;

z x 2 ec. 1

Si bia z y una raíz de la ecuación es yi x X

entonces sustituyendo en la ec. 1,

2222222

22

22

22

2

4

2

2

2

b y xa y x

b y xa y x

ibai xy y x

iba yi xy x

iba yi x

Sumando las dos igualdades se tiene;

22 2 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

24 2 2 4 2 2

4

2 4

2

a b x y x y

x x y y x y

x x y y x y

Como 022 y x entonces:

2222 ba y x ec. 2, además;

2 2 2 2 x y a x a y Sustituyendo en la ec. 2.

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 22

2

2 2

a y y a b

y a b a

a b a a b a y y

De la misma forma si:2 2 2 2 x y a y x a Sustituyendo en la ec. 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 2

x x a a b

x a b a

a b a a b a x x

Como b y x 2 entonces los signos de x, y, dependen de b.

En otras palabras si;

0 , tienen el mismo signo.

0 , tienen signos opuestos

i b x y

ii b x y

En forma general:

I] Si b 0 las raíces de la ecuación 2 X a bi

son:2 2 2 2

2 2

a b a a b a X i

II] Si b 0 las raíces de la ecuación bia X 2

son:2 2 2 2

2 2

a b a a b a X i





Si b = 0 la ecuación bia X 2 se reduce a

a X 2 cuyas raíces son:

i) si a X a 0

ii) si ai X a 0

Las soluciones de una ecuación de la forma;

0

2 C Bx Ax Donde A, B, C, son númeroscomplejos están dadas por:

A

AC B B x

2

42

Ejemplo 1: Encontrar la solución de

i x 342 entonces 34 b ya además

como; b 0 se utiliza:

22

2222 aba

i

aba

X

2

434

2

434 2222

i x

2

4916

2

4916i x

2

425

2

425i x

2

45

2

45i x

2

1

2

9i x

2

1

2

3i x

1 2

3 1 3 1

2 2 2 2 x i y x i

Ejemplo 2; Encontrar las soluciones de la ecuación:

031322 i xi x . Utilizando,

A

AC B B x

2

42 en dónde;

1, 2 3 1 3 A B i C i sustituyendo en la formula

se tiene;

)1(2

)31)(1(4)32()32( 2 iii x

2

1249124)32( iii x

2

1)32(

i x Para encontrar 1

utilizaremos ai X a 0 entonces;

i1 por lo tanto.

2

)32( ii x

1 2

2 4 2 2

2 2

i i x x

1 21 2 1 x i x i

Ejemplo 3; Encontrar las soluciones de la ecuación:

01222

xi x . Utilizando,

A

AC B B x

2

42 en dónde;

1, 2 2 1 A B i C sustituyendo en la formula se

tiene;)1(2

)1)(1(4)22()22( 2

ii x

2

4484)22(

ii x

2

84)22( ii

x

2

)21(4)22( ii x

2

214)1(2 ii x

2

212)1(2 ii x

2

21)1(2 ii x

ii x 211 Para encontrar la i21

sabiendo que b 0, y 1 2a y b se utiliza la

formula.

22

2222 abai

aba X





2

141

2

141i X

2

15

2

15i X

2

1236.2

2

1236.2i X

2

236.3

2

236.1i X

i X 272.17861.0 Por lo tanto

ii x 272.17861.01

1 20.2139 0.272 1.7861 2.272 x i x i

Ejercicios; Encuentre la solución de las siguientesecuaciones:

1.

0862

i x 2. 070242 i x

3. 0312 i x

4. 0642 2 i xi

5. 02

3

2

12 i x

6. 0122 xi x

7. 031)32(2 i xi x

8. 0616)911()22( 2 i xi xi

9. 012 i x x

10. i x 3884

11. 02)1( 4 xi

12. 02)1(2 2 i xi xi

13. i xi x 2)2(2

14. 0164)2(2 2 i xi xi

15. i xi xi 2)33(2

16. 05)22(2 xi x

17.

0523 2 x x

18. 062 x x

19. 05)1()2( 2 i xi xi

PROBLEMARIO FUNDAMENTOSMATEMÁTICOS

1.0 EXPONENTES Y RADICALESSimplifica las siguientes expresiones aplicando la leyde los exponentes.

31 3 2 5 3

2 124 3 3

65 93 5

23 52

1 12 3 4 24 8

1]

2]

3]

x y z x y

sol z x y z

x y sol x y

x y x y sol xy

55 364 4

3 2132 2

3

2 4 43 3

1 25 2 2

1 23 4 3 1 3

5 2

22 4 2

3 82 2

4]

164

5]4

16] 2

64

37]

33

x y x sol

x y y

x y sol

x x y

x y x y sol x y

xy y sol

x x y

Encuentra el valor de x utilizando las propiedades deexponentes.

-1

2

1

5 3 1

3 2 2 11

4

4 3 38] =

3 4 2

2 4 29] =

3 9 3

5 4 1610] =

4 5 25

1 111] 16

2 8

3 2712]

9 9

x

x x

x x

x x

x

sol

sol

sol

sol

4

4 1

27

5 4 125 513]

2 25 8 2

x

x x x

sol

sol





6 3 2 3

6 2

7 3 9 714]

3 7 49 3

115] 25 125

5

x x x

x x

sol

sol

4 2 2 1

7 3

6 3

6 3

3 8 916] 2 27 4

4 3 917]

3 4 16

1 118] 4

2 8

1 119]

8 64

220]

5

x x x

x

x x

x x

sol

sol

sol

sol

4 2 325 4

4 25

x sol

Racionaliza las siguientes expresiones:

2721]

12+ 27

5 2 322] 2 3

4 3

2 123]

48 2 12

7 2 5 17 3 3524]

27 5

2 3 525]

2 2 5

sol

sol

sol

sol

19 7 10

3

1 2726]

2 3 18

3 2 9 6 2127]

57 2 6 3

9828]2 48 32

5 2 6 3 14 9 629]

54 2 3 3

sol

sol

sol

sol

sol

9 3 3 2 16 3 3 230]

106 6

32 131]

2 48 2

1 9832]

32 2 27

108 133]3 2 18

134]

1

sol

sol

sol

sol

a a

a a

2 2

2 2

2 235]

2 2

36]

1 137]

1 1

338]

2 3 5

sol

x sol

x

a b a b sol

a b a b

x x sol

x x

sol

3 539]

2 3 5

6 3 240]

6 3 2

sol

sol

3 20 141 .

50 27

3 142 .

98 108

sol

sol

1.1 PRODUCTOS NOTABLESDesarrolla correctamente los siguientes productos notables

22

2 2 23

3 2 2

2

1 2 3 2

3 3 2 4 4 4

5 3 6 1 3

7 2 3 8 7 3

1 1

9 3 6

x x y x y x y

y x a a

x x x

x x x x

x x

32

23 3

3

10 2

11 12 6 4

2 213 14 6 8

3 5

y

y

x y y x x x

x y x x





3

15 16 3 5 5 32 5

a m m a x y x y y x

2 32

22 2

2

22

17 18 25

19 3 2 3 2 20 2 3

21 5 8 22 2 7

223 24 3 5

2

325

4 2

x x y x

a b

x y x y x y y

x x x y x y

x x x

x

x y x

y

3

22

32

22 2

1 26

2

27 3 1 28 4 2

29 10 2 30 3 3

131 32 3 9

4

333

2

x a

x x x x

x x x y x

x y x y x y

a y

b x

34 3 10 x y x y

2

32

1 335 36 12 3

2 2

2 337 12 5 38

39 3 10 40 4 5

x x x

a y x x

y a

x y x y x x

1.2

OPERACIONES CON EXPRESIONESALGEBRAICAS

Realiza las siguientes operaciones simplificando el resultadoa su mínima expresión

22 3 2 2 3 3 2

2 3 2

1]1

53 2 2

1 1. 5

6 2

z y x y z y z x zy y zx

sol zx y y z

2 2 2 2 2

2 2

1 2 2 1 2

2]

3]

3 3 2 52 3

2 5 3 27 7

. 2 51 3

3 5 42 2

.

x x x x x

a b a c c a b a a b

sol ba a c

y y y y y y y

sol

2 2 2 2 2 2

2 3 2 3 2 2

4]

5]

1 3 1 35

2 2 2 2.

5 3 2 3

3 2 5 2.

x y x c c z x y z c

sol

x y x a z x x y z a

sol

2 - 22

1 3 2 3 2

2 2 2 1

31 2 1

22 2 2 2

2 2

6]

7]

8]

9]

10]

5 3

.6 10

5 4 .

.

18 .

4

y

m n

x x x

y y

m

y

y

a b ab c sol

a b c a b sol

x y x y sol

x y x sol

x y a a

a y x x

2

2 25 2 y 2

1

2 21 2 n

22 2 3

2

11]

12]

13]

14]

.

3 .

3 3 .

8 3 2 .

3 5

x

n

n n

sol

x y x y x sol y y y

x y x y sol

xy yx

x y y x a sol

x x

3 2

4 2 4

2 -22 1

24 1 2

-122 1 1

15]

16]

17]

18]

19]

.

3 5 6 2 .

4 3 3 2 6 5 .

2 3 1 2 .

2 3 2 .

3 2 2 .

sol

y y y sol

x x x x sol

x x x sol

x y x y sol

x y x y sol

2 24 1 2

2 2

4 3 2 2

2 5 2 4 2

1 2

20]

21]

22]

23]

24]

2 3 2 .

3 2 .

3 2 .

3 5 3 .

2 2 . x m

x y x y sol

x x sol

x x y x y y xy sol

x y a x x y sol

a a a sol





2

2 2

2

5 2 2

2 2

25]

26]

27]

28]

29]

30]

20 5 .

6 2 2 .

15 8 22 2 3 .

5 12 5 2 5 .

1 .

1 5 1 1 1 .

6 36 6 3 2

x x x sol

x xy y y x sol

x y xy y x sol

x x x x x sol

x x sol

a ab b a b sol

22

22

24 2

24 3

31]

32]

33]

34]

2 3 5 .

6 5 2 .

9 3 3 .

2 3 7 2 3 .

x x a sol

x x a sol

x x x x sol

x x x x sol

2 2

2 2

2

2

2

2

2

35]

36]

37]

38]

39]

40]

41]

3 12 4 2 5

2 23 1 1

3 2 22 4 5

3 23

5 3.

.

.

.

.

.

A

si A x x B x x

C x x D x x

E x x

A B D C Sol

A B C Sol

A E B Sol

B Sol

A B C Sol

A E D B Sol

A B B C S

242]

.

2 . E

ol

A B Sol

1.3

FACTORIZACIÓNFactoriza las siguientes expresiones algebraicas

2

2 2 2 2 2 2

3 2

2 2

1]

2]

3] 3 3

4] 1 4 + 4

5] 3 2 6

x xy xz yz

ax bx ay by

a x bx a y by

x x x

y a y x ax

2 2

2 2 2 2 3

2 3

2 2 2

6] 3 9 + 3

7] 15 6 5 2 2 2

8] 2 2 +

9] 6 9 14 21

12] 3 12 4

11] 20 5 8 2

12] 3 7 7 3

13] 2 2 2 1

14] 3 2 6 4

b x bx x

bz bx a z a x

x y xz y z xy

m n mx nx

x ayx y ax

ax bx ay by

ay ab b y a

am an a m n

ax by a b

3 2 2 2 2 2

2 3

15] 2 2 3 6

bx ay

x nx xz nz ny xy

1.4 FACTORIZACIÓNFactoriza las siguientes expresiones algebraicas

4 2 3 6

2 2 2 2 4

2 22

4 22 2 2

2 2 2 2

2 2

1 1 2 2 1 2

3 4 12 9 4 9 30 25

25 6 1

2 3 9

1 257 8 2

25 36 3

9 4 4 9 10 4 25 36 20

11 1 2

y y a a

x xy y b a b a

x b b xy y

x x x xy y a

a a b x y xy

a ax x

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

12 9 25 10

13 25 16 8

14 9 4 4

15 2 2

16 2 9 6

17 4 4 1 2

18 16 36 12 8

x x

x y xy

x a m am

x xy y m mn n

am x a m x

x y x y

a x a x

1.5

FACTORIZACIÓNFactoriza las siguientes expresiones algebraicas

2

44 4

2 2 2 4 2

4 2 4 2 2 4

21 2 1

2 3

1 253 4 4 +

25 36

5 9 +12 y 6 6 +1

7 16 12 +1 8

x b xy

x x y

x x x x

x x x x y y





2 4 4 4 2 2

2 4 4 2

6 3 3 6 2 2 4 4

2 2 4 2

4 2 4 4 2

4 2 4 2

9 1 10 3

11 6 1 12 25 4 29

13 4 16 14 54 46 25

15 2 181 1 16 49 64 76

17 9 25 16 18 9 23 144

19 1 20 6 1

y y x y x y

y y a a

x x y y x y y x

m x x x

y y x x x x

x x x x

4 2 4 2 2 2 4

2 4 4 4 2 2

4 4 8 8

2 2

44

21 4 3 9 22 25 54 49

23 4 108 121 24 21 121

25 64 26 4

27 28 14 9

1 2529 30 16 25

25 36

x x y y a a b b

x x x y x y

x y x y

x b xy

x x

1.6 FACTORIZACIÓN

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas

2 2

2 2

2 2

2 2

2

1) 30 13 2) 18 11

3) 40 -13 4) 13 42

5) 15 56 6) 5 24

7) 13 36 8) 8 12

9) 10 21

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

2

2 2

2 2

2 2

2 2

4

10) 4 60

11) 2 24 12) 7 44

13) 12 35 14) 13 30

15) 60 7 16) 24 5

17) 18 7 18) 42

19) 7

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

4² 12 20) 3 ² 4 x x x

4 2 4 2

4 2 4 2

4 2 4 2

4 2 4 2

4 2

21) 3 4 22) 6 8

23) 10 9 24) 20 64

25) 8 16 26) 3 10

27) 7 8 28) 4 3

29) 37 36

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

4 2

2 2 2 2 30) 18 81

31) 14 48 32) 9 14

x x

x xy y x xy y

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

33) 11 28 34) 9 36

35) 56 36) 7 30

37) 2 63 38) 2 8 24

39) 18 32 40) 14 24

x xy y x xy y

x xy y x xy y

x xy y x y xy y

x y xy x y xy

1.7 FACTORIZACIÓN

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas2 2

2 2

2 2

2 2

2

1) 4 11 6 2) 3 11 6

3) 2 15 8 4) 2 7 4

5) 2 13 15 6) 4 4 1

7) 2 11 5 8) 2 9 9

9) 2 5 3

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

10) 3 11 4

11) 3 7 6 12) 4 21 18

13) 2 13 7 14) 4 4 315) 4 15 4 16) 4 9 9

17) 3 7 2 18) 2 3

19) 12 5 2

x x

x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x

4 2

4 2 4 2

4 2 4 2

4 2 4 2

2 2

20) 2 7 3

21) 5 8 4 22) 4 15 4

23) 2 5 12 24) 4 13 9

25) 9 13 4 26) 16 8 1

27) 6 27 15 28) 28 21 7

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x





1.8 DIVISIÓN SINTÉTICAUtiliza el método de división sintética para factorizar lossiguientes polinomios

4 3 2

3 2

4 3 2

4 2

5 4 3 2

5 3 2

5 3 2

4 3

1 6 19 17 3 .

2 2 18 9 .

3 4 4 3 2 1 .

4 15 10 24 .

5 8 20 14 53 9 18 .

6 21 16 108 144 .

7 23 6 112 96 .

8 8 20

x x x x sol

x x x sol

x x x x sol

x x x sol

x x x x x sol

x x x x sol

x x x x sol

x x

2

5 3 2

5 4

6 4 2

5 4 3 2

4 2

4 2

4 3

42 23 4 .

9 25 25 .

10 2 8 3 12 .

11 41 184 144 .

12 8 4 10 5 2 1 .

13 16 40 9 .

14 4 31 21 18 .

15 2

x x sol

x x x sol

x x x sol

x x x sol

x x x x x sol

x x sol

x x x sol

x x

213 14 24 . x x sol

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

4 3

16] 4 5 .

17] 5 3 9 0 .

18] 7 4 12 .19] 2 2 .

20] 6 12 8 .

21] 9 23

x x x sol

x x x sol

y y y sol y y y sol

x x x sol

x x

2

4 3 2

3 2

5 4 3 2

6 5 4 3

4 3 2

3 36 .

22] 5 6 4 8 .

23] 5 13 7 .

24] 18 3 22 4 +4 1 .

25] 2 2 .

26] 3 8 12 16

x x sol

x x x x sol

x x x sol

x x x x x sol

x x x x sol

x x x x

5 4 3 2

4 2

.

27] 9 9 .

28] 21 20 .

sol

x x x x sol

x x x sol

1.9 SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIÓN DEFRACCIONES ALGEBRAICAS

Realiza las operaciones indicadas, simplificando a sumínima expresión el resultado

2 3

2 2

2

2

2 2 2 2

4 6 2 11 2 1

2 2 1 1

2 3 53 1 4 2

1 1

2 2 3 5 105 6

5 25 25

a a a xa x

a a x x x x

a x a x x x

a x a x x x

x x x x x

x y x y x x y x x

2 2

2 2

2 2 4

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2

2 2 2

3 2

2

2 27

28

1 1 1

2 2

9 2

3 1 8 410

2 4 2 4 2 24

2 2 4 5 111

3 3 3 152 50

1 1 3 212

11

5 513

2 62 6

x y x y x y

x y x y x y

x x x

x x x

xy y x xy y xy y

x xy x xy x

x x x

x x x x

a a a a

a aa

x x

x x x x x x x

x x x x

x x x

2 2

3 2

2

2

1

5

2414

121 11 1115

7 749

2 3 4 7 116

3 2 36

x

x

x y x y x y xy

x y x y x y x y

x x x x x

x x x

x

x x x x x

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

171

5 4 3 4 3 2182 12 11 6 2 7 3 3 18

3 6 119

52 11 5 3 10 3

2 8 4 4 420

13 4 6 8

a aa a a

b b

x x x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x





2 2 2

2 2

2 2

2 3 2 5 121

42 1 2 9 4 3 4

4 12 10 1622 1

7 6 7 8

x x

x x x x x x x

x x x x

x x x x

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

12 13 3 3 6 3 123

3 13 5 2 9 6 8

4 5 8 12 824

53 10 2 14 4 3 4 5

252 2 24

2 3 1 2 13 6 426

62 5 3 2 11 12

2 1 82 17 8 2 7 627

2 9 9 4 9 2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x

3 4 1 x x

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

3 2 6 16 528

85 4 202 7 11 1 2

294 17 12 2 15

4 10 14 3 230

2 62 8 2 24

10 21 10 16 831

59 14 2 15

4 21 14 48 332

63 28 4 32

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

2

2 2

2 2

2

2

5 3 2 633

6 4 62 29

3 8 4 3 234 1

4 5 6 4 7 3

2 135 1

1 2

36 1

x

x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x

y x y

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas

34

3

37 381 51 54

44

139 2 40

2 b1 1

aa x

a xb x

b xb x

b x

a ba

a b aa a bb

a a

2

2

11

1141 1 421

11

1243 2 44

141

1 11145 1 461 1 1 2 1

111 1

1

1 147 1 48 1

1 2 32

13 1

aba

a b x a b xab x a b

aa b x

x y x x

y x x y

x y y

x x x

x x x x x

x x

x x

x x x

x x x

x

2

2

2 23

3

22

5

4

2 211 149

2 2

1 1

12 2 1

1501 2 1

1

3 114 251

1 3 2 1

2 41

52

21

1 115322 2

21

2

54 13

55

a a

a

a a

a aa a

a aa a a

a a

x x

x x x x x

x xa

a ab babb b a ba a b

x

x x x

x x

x

a b b

a b aa b b

a a b

x y

x y

2

42

x y

x x y

x y x y y x y

x x y





1.10 ECUACIONES LINEALES DE UNAVARIABLE

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado conuna variable.

1 2 4 7 19 . 2

2 2 3 1 11 8 . 3

53 5 2 3 0 .2

4 2 1 1 2 3 2 0 . 4

5 4 3 3 2 6 7 2 5 2 . 1

x Sol x

x x Sol x

x x x x Sol x

x x x x Sol x

x x x x Sol x

2

6 2 3 3 2 6 2 3 3 . 3

7 2 3 2 5 2 1 0 . 2

38 + 6 . 6

2 3

2 39 + 4 . 3

5 24 1 2 1

10 + 13 4

x x x x Sol x

x x x Sol x

x xSol x

x xSol x

x x

1 .

2

2 1 2 111 + . 2

3 2 3

3 1 2 312 1 . 3

2 3

7 5 3 3 113 . 4

12 4 3

3 4 1 114 . 2

8 3 43

15

Sol x

x xSol x

x xSol x

x xSol x

x xSol x

1 5 2 1 . 13

4 7 14

3 8 716 . 1

3 2 3

2 1 3 517 . 5

3 5

x xSol x

x x xSol x

x x x Sol x

3

3 2 1 118 .

4 3 6 3

19 5 19 5 1 . 20

20 9 14 3 10 . 15

21 4 4 2 1 . 5

22 7 5 2 9

x x xSol x

x x Sol x

x x Sol x

x x x Sol x

x

2

. 2

23 9 5 3 1 . 1

Sol x

x x Sol x

2

3

24 2 1 9 . 5

25 15 7 1 12 . 4

26 7 7 . 9

27 3 5 3 14 9 . 10

28 5 1 3 5

x x x Sol x

x Sol x

x x Sol x

x x Sol x

x

26 . 2

29 5 3 1 5 0 . 8

30 13 13 4 2 . 9

x Sol x

x x Sol x

x x Sol x

1.11 ECUACIONES CUADRÁTICAS DE UNAVARIABLE

Simplifica las siguientes expresiones y resuelve lasecuaciones cuadráticas resultantes de la simplificación,

2

1 2

21 2

1 2

1 22

1

3 11 . 3

5 2 10 2

2 3 5 . 6 156 2

5 13 1 . 1 11 1 11

215 11 5

4 1 . 1 5

8 5 15 3 .

3 5 1

x xSol x x

x x x Sol x x

Sol x x x x

xSol x x

x x x x

Sol x x x

2

1 2

1 2

1 22

101

71 1 1

6 . 4 12 1 62 3 2

7 1 . 5 185 10

10 5 313 38 5 . 10

4

x

Sol x x x x

x x

Sol x x x

x xSol x x

x x

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 1 2

21

9 4 1 5 . 2 12

10 2 1 3 7 . 5 10

11 5 1 3 4 . 1 13

412 2 5 1 . 4

9

13 2 1 3 3 . 1 61

14 7 14 0 . 2 2

15 13 30 0 .

x x sol x x

x x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x sol x i x i

x x sol x

2

21 2

21 2

3 10

16 12 32 0 . 4 8

17 4 21 0 . 7 3

x

x x sol x x

x x sol x x





21 2

21 2

21 2

21 2

21 2

2

1 22

18 2 24 0 . 4 6

19 7 44 0 . 4 11

20 4 60 0 . 6 10

21 60 17 0 . 12 5

22 10 21 0 . 7 3

23 8 12 0 . 2 624 13 36 0

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x x x sol

1 2. 4 9 x x

21 225 6 27 0 . 9 3 x x sol x x

21 2

21 2

26 8 20 0 . 2 10

27 9 36 0 . 3 12

x x sol x x

x x sol x x

21 2

21 2

21 2

21 2

21 2

21 2

21

1 128 6 1 .

3 23 5

29 4 4 15 .2 24

30 3 12 5 . 332 2

31 9 4 12 .3 3

3 332 4 12 9 0 .

2 21

33 2 3 2 0 . 22

34 4 3 1 .

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x

2

21 2

21 2

21 2

1 24 2

2 21 2

11

41

35 6 35 6 . 66

3 236 6 6 5 .

2 31 1

37 4 4 1 0 .2 2

38 3(3 2) ( 4)(4 ) . 2 11

39 10 9 0 . 1 3

140 (2 3) ( 5) 23 . 7

36

41 33

x

x x sol x x

x x sol x x

x x sol x x

x x x sol x x

x x sol

x x sol x x

x x

1 2

2 2 1 2

4 2

6 3

5 . 1 6

1142 25( 2) ( 7) 81 . 2 4

43 16 225 0 . 3 5

44 7 8 0 . 1 ,2

sol x x

x x sol x x

x x sol i

x x sol

3 31 245 ( 4) ( 3) 343 . 3 4

46 3 2 1 2 0 . 4

x x sol x x

x x x sol

1 2

4 2

4 2

447 5 . 1 16

48 3 36 0 . 2 3

49 6 5 0 . 1 5

x sol x x x

x x sol

x x sol

1 2

1 2

1 2

2

1 2

50 ( 2)( 2) 7( 1) 21 . 9 2

51 3 1 5 16 1 . 0 5

13 3 1352 4 . 2

2 8

53 3( 5) . 6 156 2

x x x sol x x

x x x sol x x

x sol x x x

x x x sol x x

1.12 DESIGUALDADESEncuentra el conjunto solución para las siguientesdesigualdades:

1) 3 2 6 . 1,2

172) 5 6 11 . ,5

3) 3 2 5 8 . 5,

5 74) 0 . ,27 2

2 14 115) 1 2 . 4,

3 2

6) 2 1 5 . , 3

x x x sol

x sol

x x sol

sol x x

sol

x sol

2,

3 77) 1 6 . 3,1

47 3 5

8) 1 . ,32 3

9) 2 7 16 . 2,

410) 12 5 3 7 . ,3

5

1 311) 25 8 7 . , ,

25 5

4 5 112)

9

x sol

x

sol

x sol

x sol

x sol

x x

271 . 0,

4 sol

2

2

713) 1 .

2 3

114) 2 9 4 0 . . 4 ,2

115) 3 5 2 0 . 2,

3

3 2 2 716) 0 . ,

2 7 3 2

sol x

x x sol

x x sol

x sol

x





2

2

17) 7 10 0 . ,2 5,

318) 2 3 . 1,

2

119) 2 . , 5 3,

31

20) 3 8 7 . ,2

x x sol

x x sol

x sol

x

x x sol

21) 3 2 6 .

22) 1 2 1 .

323) 1 .

2

x x x sol

x sol

x sol

24) 5 4 17 .

25) 0 1 5 .

26) 5 2 7 .

27) 4 0 .

28) 9 8 .

29) 7 2 3 .

30) 5 2 9 4

x sol

x sol

x sol

x sol

x sol

x sol

x

.

2 331) 2 .

5

sol

x sol

2

2

32) 3 5 10 .

433) 0 .

934) 2 7 3 10 .

35) 2 1 .

36) 0 4 1 2 .

37) 3 11 41 .

38) 2 9 7 0

x sol

sol x

x x sol

x sol

x sol

x sol

x x s

.

3 239) .

9 240) 2 1 0 .

ol

sol x x

x sol

2

3 2

1 1 141) 1 1 . ,

2 3 5

42) 1 0 . 1,1

43) 1 2 0 . 0,1 2,

44) 2 0 . 0, )1 5

45) . , 5,5 4 3

x x sol

x sol

x x x sol

x x x sol x

sol x

1

46) . 1,0 1, x sol x

2 9

47) 0 . 3, 1 3,1

x sol

x

23

2

48) 2 3 0 . 0,2

49) 2 6 0 . , 6 2,

x x x sol

x x x sol

1 4

50) 0 , 1,2 6,

1 6

sol

x x

2

2 651) 0 . ,1 3,5

6 5

1 3 552) 2 . ,

2 2 2

1 5 353) 2 1 . ,

4 8 8

x sol

x x

x sol

x sol

8

54) 5 1 9 . , 2,5

x sol

2

2

2 855) 0 .

8 73 5

56) 0 .2 6

57) 7 4 0 .

x sol

x x

sol x x

x x sol

1.13

TEOREMA DEL BINOMIODesarrolla los siguientes binomios utilizando el teorema del

binomio:

12

56 4

5 5 52 2

75 5 3

56 5

2 3

31 2 3 3 5

2

4 5 2 6 23

7 8 2 92

1 1 110 3 11 12 2

13

x y y x y

x y x y xy

x x y x y y

x x x x x x

x

12

32

57 6

2 3

7 5 92

1 14 2 15 2

216 2 17 18 1

5

x y x y x

x x xy x

Encuentra los términos indicados en la expansión de laexpresión.

2 45 5

25

203 2

19 primeros tres terminos de 3

20 primeros tres terminos de 5

c c

x x





15

121 últimos tres terminos de 4 3 z z

123

72

92

8

102 3

8

22 últimos tres terminos de 2

323 sexto termino de

4

24 quinto termino de 3

25 septimo termino de 43

26 cuarto termino de 3

27 quinto termino de

x t

x

x

x y

x y

x y

x y

1.14 SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES

2 4 6 4 3 21 . 1, 2 2 . 1, 2

1 2 4

7 14 7 4 33 . 3, 1 4 . 7,1

4 11 2 3 11

4 12 4 4 5 65 . 2,1 6 . 1,2

5 11 5 2 1

5 7 16 2 3 87 . 1,3 8

2 8 26

x y x y sol sol

x y x y

x y x y sol sol

x y x y

x y x y sol sol

x y x y

x y x y sol

x y

. 1, 23 4 11

3 5 13 7 3 149 . 1,2 10 . 2,0

4 2 3 6

5( 3 ) (7 8 ) 6 73 3011 . 1 ,

7 9 2( 18 ) 0 89 89

2( 5) 4( 4 )12 . 1, 2

10( ) 11 12

3 4 2(2 7) 013

5(

sol x y

x y x y sol sol

x y x y

x y x y sol

x y x y

x y x sol

y x y x

x y x

. 2,31) (2 1) 0

12( 2 ) 8(2 ) 2(5 6 ) 1 114 . ,

20( 4 ) 10 2 4

( 2) ( 3) 1415 . 2, 6

( 6) ( 9) 54

sol x y

x y x y x y sol

x y

x y y x sol

y x x y

07 8

16 . 7, 81 37

7 4

2 1

17 . 2, 45 4

2 3 8

x y

sol x y

x y

sol

x y

3 6 3 3

3 4 1218 .

7 2 8

2 3 8

x y t

x y z t sol

x z t

x y

3 40

3 419 . 6,8

4 232 5

x y

sol x y

2 2 5 11

2 4 2 8 1420 . 2, 5, 1,5

3 4 8 19

2

x y z t

x y z t sol

x y z t

x y z

6 1221 . 3, 1

23

3

7

3 16 3 2422 . ,5 4 2

2 6 12

x y x y

sol x

y

x y y x

sol x x y

9 4 10 61 1 1

23 6 8 5 1 . , ,3 4 5

12 12 15 10

5 3 111

24 10 10 . , 2,65

15 2 7

1

25 16

x y z

x y z sol

x y z

x y z

x y z sol

x y z

x y

y z z x

. 2, 3, 4

2 1

26 2 0 . 3, 2, 4

2 11

8

27 2 9 . 6, 5, 3

2 2 3

sol

x y

y z sol

x z

y z

x z sol

y x

12

29 2 7 . 3,4,5

2 6

2

30 4 . 1,1,4

2 2 4

x y z

x y z sol

x y z

x y z

x y z sol

x y z





2 3 1

31 3 2 12 . 1,3,2

3 2 5

x y z

x y z sol

x y z

2 2 10

32] 3 2 2 1 . 1, 2, 3

5 4 3 4

x y z

x y z sol

x y z

2 3 6

33] 2 4 2 2 , 2 2 ,

4 3 2 14

x y z

x y z a a a

x y z

2 3 5

34] 3 2 2 5 1, 3, 2

5 3 16

x y z

x y z

x y z

2 3 2 2

35] 2 5 8 6 5 . 2 ,1 2 2 , ,

3 4 5 2 4

x y z w

x y z w sol a b a b a b

x y z w

2 23 2 5

36] 2,1, 12 5 3 4

4 6 0

x y z x y z

x y z

x y z

3 2 5

037] 3, 2, 0, 1

3 2 4

1

x y z

x y t

x y z t

y t

2 1

2 0 3 2 3 238] , , ,2 1 5 5 5 5

2 0

x y z w

x y z w x y z w

x y z w

39] , , ,2 2 2 2

x y z w a

x y z w b d a c d b c a b

x y z w c

x y z w d

5 4 2 3

2 140] 1, 1, 1, 1

4 2 1

0

x z t

x y z t

x y z

x y z t

3 2 2

41] 4 2 2 8 4, 2,10

4

x y z

x y z

x y z

2 4 6 12

42] 2 3 4 15 2, 1, 2

3 4 5 8

x y z

x y z

x y z

3 2 1

4 743] 0,1, 2,

2 7 6 5

2 3

x y z

y z

x y z

y z

1.15 FRACCIONES PARCIALESRealiza la descomposición de las siguientes fracciones enfracciones parciales:

2

3 2

22

3 2

2

8 1 3 51 . +

2 3 2 3

2 3 1 36 14 12 .

25 1 25 55

34 5 43 .

6 24 12

2 3 1 4 294 .

4 1 5 5 2025 25

4 15 15

1 2

x sol

x x x x

x x sol

x x x x x

x sol

x x x x

x x sol

x x x x x x

x x

x x x

2

2

3 2

2 3 1 . +

3 1 2 3

19 206 .

2 5

4 5 15 3 2 17 . +

5 14 5

sol x x x

x x sol

x x x

x x sol

x x x x x x

2

37 118 .1 5 6

x sol x x x

3 2

2

3 2 2

2 1 1 5 39 =

2 2 7 3 14 414 24

3 3 2 32 5 110 .

9 6 96 3

x

x x x x x x

x x sol

x x x x x

2

3 2

3 2 2

2 23 24 225 25 5

2 2

19 50 2511 .

3 5

3 2 11 11 212 .

9 3 93 3

613 .

2 1 22 2 1 2

x x sol

x x

x sol

x x x x x

x sol

x x x x x





2

2 2

214 .

1 1

x x sol

x x

3 2

3 3

3 2

3

2

22

2

2

2

3

3 11 16 5 5 2 315 .

11 1

4 3 5 216 .

2

6 2 3 417 .

1 11 1

2118 .

4 2 1

9 3 8 419 .

2

x x x sol

x x x x x

x x x sol

x x

x x x sol

x x x x

x x sol

x x

x x sol

x x

2

3 2

4 2

4 3 2

3 2 2

3

3 2

5 3

2

2 2 4 320 .

2 2 6 5 1 3 121 . 2

11 1

22 .3 9 27

x

x x

x x x sol

x x

x x x x x sol x

x x x x x

x sol

x x x

3 2

2

5 4 3 2

3 2

3 2 22

38 4

2 3 23 2

4 4 4 2 2 323 . 2 3

1 2 12 1

5 7 4 12

24 .3

1 1 1 125 =

1 2 4 15 1 6 2 10 4

1 1 1 1 126 =

16 16 282 4 2

3 2 1 3 127 .

8 4 2 44

x

x x x sol x

x x x x

x x x x x

sol x x

x x x x x x

x

x x x x x x

x sol

x x x x x x

3 2 2

2

3 2

4 9 9 428 .

25 5 255 5

3 4 14 1 229 =

15 2 3 1 5 32 5 6

x sol

x x x x x

x x

x x x x x x

2 7 1130 .

2 1 4

x x sol

x x x

8 1129 29

3 2 2

5129 29

3 2 2

2

3 2 2

57

3 2

2

3

7 3731 .

29 55 4 20 4

1 132 .

29 55 4 20 4

5 2 133 . 1

12 2 2

22 5 534 .

77 72 3 6 5 11

35 .2 1 2

x x x sol

x x x x x

x sol

x x x x x

x sol x

x x x x x

x x sol

x x x x x x

sol x x x

6

1 x x

2.0 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOSExprese el logaritmo dado en términos de logaritmos de x,

y, z,

2 3 2 2

3 5 41) log 2) ln 3) lna

x y x y xz

z z y

2 23 3

4 5 3 24) log 5) log 6) lna a

y x x y x

z yz z 5

3 23

3

53 23

3

23 3 5 5

2 3

7) log 8) ln 9) ln

10) ln 11) log l2) ln

13) log 14) ln 15) ln

a

a

a

xz x yz x y z

y

xz x yz x y z

y

z x x y xz

y z y

Escriba la expresión dada como un solo logaritmo

2 3 3

116 5log log 3 4 3log 5 1

2

17 log 2log 3log

x x x

x y x x y

y

34 2

2 2

118 2log 3log log

2

19 3ln 1 ln 1 ln

120 ln 2 1 ln ln =

2

21 ln 4ln 2ln =

22 3ln ln1 3ln =

y y x y

x

x x x

x x xy

z x x

x yx





2.1 ECUACIONES EXPONENCIALES YLOGARÍTMICASResuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas yexponenciales.

10

9

25

6 6 6

3 3

1 log 4 2 . 13

32 log . 27

2

1 13 log 2 . ,5 5

74 log 2 3 log 12 log 3 .

25 2log 3log 5

x sol x

x sol x

x sol x

x sol x

x

. 5 5 sol x

2 2 2

5 5 5

210 10

5 5 5

2

636 log log 1 3log 4 s .

641

7 log log 6 log 9 . 3 62

8 log log . 1

1 39 log 2 3log 2 log 2 2 2 2

2 210 log 5 4 .

x x ol x

x x sol x

x x sol x

x x x

x sol

21 x

4

8

4 4

3 3 3

3 111 log .

2 82

12 log 5 . 93

13 log 1 2 log 3 2 .

14 2log 3 log 1 3log 2 . 1

15 log

x sol x

x sol x

x x sol x

x x sol x

4

5

11 .

216

16 2 6 . log / log 2

3

x

x sol x

sol x

5 3 2 1

4

4 1 3

3 3217 2 =3 . log / log

8 9

18 ln 1 ln 1 .

19 3 5 . 2.54

20 3 =2 . 1.16

x x

x

x x

sol x

x x sol x

sol x

sol x

2 3 2

2

21 4 =5 . 6.34

22 log 1 log 3 . 523 log 5 1 2 log 2 3 . 1.54

24 log 4 log 2 3 log 2 . 2

125 log 4 log 3 10 log .

x x sol x

x x sol x x x sol x

x x x sol x

x x sol x x

2

26 log log 2 . 2

10 1027 . log 1

2

x x

x sol x

y sol x y y

23 3

22 2

25 5

10 10 1 128 . log

2 110 10

29 2log 10log 4 .

30 2 log 6 4log .

31 8 log 2log 3 .

32 log 5 1 2 log 2 3 .

33 6 l

x x

x x

y y sol x

y

x x sol x

x sol x

x sol x

x x sol x

26 6

3 3

4

og log .

34 2log 3 log 1 3log 2 .

134 log 1 .

2

z z sol x

x x sol x

x sol x

81

4 4

161

92 2

35 log 2 3log 2 1 .

36 2log 3 log 2 .

37 log 2 4log 2 1 .

38 3log 3 log 4 2log 3 .

x

x x

x

x x

sol x

sol x

sol x

sol x

4 1-3

5

39 3 2 .

5 540 3 .

2

x x

x

sol x

sol x

2

2 1

3x+2 2 -11

4 4

2 1

41 12 5 .

1 142 16 .

2 8

3 2743 27 .

9 9

5 4 844 .

8 3 4

x x

x

x x

x x

sol x

sol x

sol x

sol x

2.2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASDemostrar las siguientes identidades

22

2

2 2 2 2

1 sec csc cot tan 2cos csc

1 cos2 2csc 1

3 sec csc sec csc

t t t t t t

y y

sen y





2 2 2 2

2

22

sec cos tan4

tan sec

1 cos5 2csc

1 cos

6 tan tan

1 tan7 csc

tan

x x x

x x

t sen t t

sen t t

x sen x x sen x

vv

v

2

1 18 4 tan sec

1 1

1 19 2csc

1 cos 1 cos

1 csc10 cot cos

sec

sen x sen x x x

sen x sen x

y y y

cot tan11 csc sec

cos

cot 112 cot

1 tan

1 sec13 csc

tan

sen

x x

x

sen

2

cos14 sec tan

1

115 csc cot

csc cot

tan 1 cos16

sec 1 cos

sen

y y y y

x x

x x

1 sec17 csc

tan

x x

sen x x

2 2 2

2 2 2

18 csc cot1 cos

1 csc19 sec

cot cos

20 cos sec 1

21 sec tan

csc22 cot

sec

23 cos sec 1

24 cos 2cos 1

cos25 1

csc sec

sen t t t

t

sen

x x

x

x x sen x

x sen x x

sen x x

x x

2

22

2

126 1 1

sec

cos27 1 tan

cos

28 cos cot csc

29 csc cot cos

sec 130

sec

sen x sen x x

sen x x x

x

sen x x x x

sen

x sen x

x

2.3 APLICACIONES DE LAS FUNCIONESTRIGONOMÉTRICASResuelve lossiguientes problemasaplicando las funcionestrigonométricas si:

1] Resolver el triángulo rectángulo si el

35 10 74.5 A y c

2] Resolver el triángulo en el cual un cateto

25.36 58 30a y A

3] Resolver el triángulo en donde 15.25 32.5b y c

4] Resolver el triángulo si A = 38°16’ y a = 25.38 cm

5] Resolver el triángulo si A = 30°40’ y c = 56.27 cm

6] Resolver el triángulo si a = 27.7 m y c = 36.4 m

7] Si en un triángulo A = 52°30’ y el cateto b = 5.427 cm

8] Si A = 61°40’ y c = 371.4 m (hipotenusa), determinar losdemás elementos y su superficie

9] Si los datos son a = 52.7 y b = 65.3 m; determinar losvalores de los elementos restantes y la superficie

10] A 87.5 m de la base de una torre el ángulo de elevación asu cúspide es de 37°20´ ; calcular la altura de la torre, si laaltura del aparato con que se midió el ángulo es de 1.50 m





11] A 75 m de la base de una antena el ángulo de elevación a

su parte más alta es de 34°20´´; calcular la altura de esta torre sila altura del aparato con el que se midió el ángulo es de 1.5 m

12] Calcular el ángulo de elevación del sol en el momento enque un árbol 32.5 m de altura proyecta una sombra de 75 m.

13] ¿Qué altura alcanzara sobre su muro una escalera de 5m de largo, si forma con el piso un ángulo de 65°0´´; ?

14] ¿Qué ángulo forma con el piso el pie de una escalerade 7 m de largo, si dista de la base de un muro 2.5 m?

2.4 TEOREMA DE PITÁGORAS

Encuentra el valor de x en las siguientes figuras:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9)10)





Resuelve los siguientes problemas:11] Calcular la altura de un triángulo isósceles, si su

base mide 60 cm y cada una de los lados iguales mide 50cm.12] ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de 28 mde largo y 21 m de ancho?13] ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo enun muro vertical, si su pie está a 3 m del muro?

14] Un terreno rectangular de 4000 m de largo por 3000m de ancho tiene en medio una colina que no permite unamedición directa. ¿Cuál es la longitud de la diagonal?15] Para sostener la torre de la antena de una estación deradio de 72 m de altura se desea poner tirantes de 120 m

para darles mayor estabilidad: si se proyecta tender lostirantes desde la parte más alta de la torre, ¿a qué distanciadel pie de ésta deben construirse las bases de concreto parafijar dichos tirantes?

3.0 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASAPOR DOS PUNTOS.

Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:

1 1,4 3,1 . 3 4 13 0

2 2,3 3,1 . 2 7 0

1 13 4, 2,1 . 3 2 0

2 2

2 1 13 5 14 , 5,3 . 0

3 2 3 2 2

5 3,5 2, 2 . 7 5 4 0

1 16 ,

2 2

A B sol x y

A B sol x y

A B sol y x

A B sol y x

A B sol x y

A

9 134,6 . 1 0

2 2

1 3 15 7 997 3, , 4 . 0

2 4 4 2 8

B sol y x

A B sol y x

4 1 13 19 118 , 3, 4 . 0

5 3 3 5 5

9 2,5 7, 3 . 8 9 29 0

10 2, 1 3, 2 . 3 2 1 2 5 0

11 7,11 2,7 . 4 9 71 0

A B sol x y

A B sol x y

A B sol y x

A B sol x y

12 12,3 4, 5 . 8 16 48 0

13 5.3, 4.2 2,1 5.2 7.3 3.1 0

14 1,3 5,11 6 8 26 01 3 19 5 61

15 , 4 2, 02 4 4 2 8

16 11, 5 2, 7 2 9 67 0

17 5,9 3, 7

A B sol x y

A B sol x y

A B sol y x

A B sol x y

A B sol x y

A B

16 8 8 0 sol x y

18 3,7 5, 21 28 8 28 0

3 17 1319 2, , 1,2 3 0

5 5 5

1 1 9 5 5920 ,5 3, 0

2 2 2 2 4

21 3, 2 21,7 24 9 21 0

22 9, 6 4,9 57 13 15 0

A B sol x y

A B sol x y

A B sol x y

A B sol y x

A B sol y x

3.1 ECUACIÓN DE LA RECTAPARALELAS Y PERPENDICULARES:Obtenga una ecuación para las rectas que satisfaga lascondiciones dadas.

1 A través de 7, 3 , perpendicular a la recta con

ecuación 2 5 8 . 5 2 29 0

A

x y sol x y

2 A través de 4,8 , perpendicular a la recta que

pasa por los puntos 5, 1 y 2, 3 ,

.

3 A través de 7,2 , paralela a la recta que pasa

por los puntos 0, 4 y 6, 6 ,

A

B C

sol

A

B C so

.5 3 41 0

3 14 A través de , , paralela a la recta que

4 2

con ecuación 3 1 .

5 Obtenga las ecuaciones de las alturas del triángulo

con vértices 3, 2 , 5, 4 , 3, 8

.

l x y

P

x y sol

A B C

sol x

6 9 0; 4 4 0; 3 5 5 0

6 A través de 4,10 , paralela a la recta que pasa

por los puntos 0,5 y 8, 8 ,

.13 8 132 0

3 17 A través de , , paralela a la recta con

2 4

ecua

y x y x y

A

B C

sol x y

P

ción 2 4 5 . x y sol

8 A través de 5, 7 , paralela a la recta con

ecuación 6 3 4 0 . 2 3 0

9 Hallar la ecuación de la recta que pasa por

el punto 1, 3 , que es perpendicular a la

P

x y sol x y

recta

3 4 11 0 .

10 Hallar la ecuación de la recta que pasa porel punto 7, 2 , que es paralela a la recta

3 5 11 0 .

x y sol

x y sol

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto

3,4 y que sea normal a la siguientes ecuaciones





11 2 5 10 0 12 2 3 4

13 3 5 0 14 6 1 2

15 5 20 6 16 9 4 0

x y y x

x y x y

x y x y

Encuentre una ecuación de la recta que sea ortogonal a lasecuaciones dadas y que pase por el punto 2, 5

17 3 11 0 12 5 23 0

13 4 7 0 14 7 3 21 0

15 8 15 13 0 16 6 1 0

17 6 9 0 18 4 4 0

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

3.2 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIAEncuentra las coordenadas del centro y el radio de lassiguientes circunferencias

2 2

2 2

2 2

2 2

1 14 2

2 2

2 2

2 2

1 2 2 12 8 8 0

, 3, 2 , 4.12

2 14 6 54 0

, 7,3 , 23 4 4 8 0

, 2,2 , 0

4 16 16 8 16 35 0

, , , 1.25

5 5 0

, 0,0.5 , 2.29

6 2 10 10 0

7 8 4 15 0

8

x y x y

sol C r

x y x y

sol C r x y x y

sol C r

x y x y

sol C r

x y y

sol C r

x y x y

x y x y

x

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

6 12 36 09 4 4 12 7 0

10 10 10 41 0

11 8 4 15 0

12 14 4 17 0

13 10 12 45 0

14 4 4 8 8 7 0

15 2 2 8 7 0

16 3 3 3 2 1 0

17 9 9 12 6 4 0

y x y x y x

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x

x y x y

x y x y

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyos condicionesse establecen a continuación

2 2

14 Centro 6, 2 tangente a la recta 3

. 12 4 31 0

15 extremos de su diámetro 1,1 , 4, 6

16 Pasa por los puntos 2,1 , 5,1 , 5, 3

17 Un punto se mueve de tal manera que s

x

sol x y x y

A B

A B C

2 2

u distancia del

punto 4,2 es siempre igual al doble de su distancia

del punto 1,3 , hallar la ecuación del lugar

geométrico, . 3 3 16 20 20 0 sol x y x y

18 Un punto se mueve de tal manera que su distancia del

punto 2, 2 es siempre igual a un tercio de su

distancia del punto 4,1 , hallar la ecuación del lugar

2 2 geométrico, . 8 8 28 38 55 0

19 Un punto se mueve de tal manera que la suma del los

cuadrados de sus distancias a los puntos 2,0 , 1,0

es siempre igual a 5

sol x y x y

, hallar la ecuación del lugar

geométrico,

20 Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de

su distancia del punto 1,2 es siempre igual al doble

doble de su distancia de la recta 3 4 1 0, hallar x y

2 2

la ecuación del lugar geométrico

. 5 5 16 28 27 0

21 Un punto se mueve de tal manera que la suma de los

cuadrados de sus distancias de los puntos 0,3 , 3,0

sol x y x y

2 2

y 2, 2 es siempre igual a 30

. 3 3 2 2 4 0 sol x y x y

3.3 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLAEncuentra todos los elementos de las siguientes parábolas

2

12

2

3131 12 16 2 4

2

2

2

2

7 92 2

1 4 6 7 0

. 2, 2 , , 2 , , . 1 0 6

2 4 4 3 2 0

. , , ,1 , , .2 1 0

3 3 9 5 2 0

4 2 4 9 0

5 8 2 10 0

6 8 16 10 0

. ,2 , 4,2 , , .

y y x

sol F V ec di x LR

x x y

sol F V ec di x LR

x x y

y y x

x x y

y x x

sol F V ec di x LR





2

2

2

97 9516 16

2

22

2

7 4 2 4 0

8 10 4 45 0

9 4 40 106 0

. 5, , 5, 6 , , .

10 20 100 6

11 4 8 28 0

12 10 8 9 0

13 3 12 4 24 0

y y x

y y x

x x y

sol F V ec di y LR

y y x

y y x

x x x

x x y

2

2

14 2 8 15 0

15 5 2 21 20 0

x x y

y x y

Hallar la ecuación de las parábolas cuyos elementos son lossiguientes:

2

2

2

2

16 3, 2 5,2

. 4 8 28 0

17 5, 2 ecuación de la directriz 4

. 10 8 9 0

18 2,3 1,3

. 6 12 15 0

19 2, 3 , eje paralelo al eje Y

que pasa por el punto 4,6

. 3 12 4

V y F

sol y y x

V y y

sol x y y

V y F

sol y y x

V

sol y x

2

24 0

20 Eje paralelo al eje X y que pase por los puntos

A 2,1 , B 1,2 , 1,3

. 5 21 2 20 0

21 Vértice sobre la recta 2 3 0, eje focal paralelo al

eje X y pasa po

y

C

sol y y x

y x

r los puntos 3,5 5, 1 A y B

2

22 Hallar la ecuación del lugar geométrico cuya distancia

al punto 2,3 sea igual a su distancia a la recta

6 0 . 6 8 23 0

23 Encuentre la ecuación de la par

F

x sol y y x

ábola que tenga eje

horizontal y que pasa por los puntos 2,1 , 6,2

12, 1

24 Vértice 3,5 , eje paralelo al eje X y pasa por el

punto 5,9

25 Foco 3, 2 direc

A B

C

V

A

F y

triz 1 y

3.4 ECUACIÓN DE LA ELIPSEEncuentra todos los elementos de las siguientes elipses

2 21 9 16 36 96 36 0

. 2, 3 , 6, 3 , 2, 3 , 2,0 , 2, 6

4.64, 3 , 0.64, 3 4.5 0.66

x y x y

sol C A A B B

F F LR e

2 2

2 2

2 2 4 4 4 0

. 2, 1 , 0.59, 1 , 3.41, 1 , 2, 2 ,

2,0 , 1.24, 1 , 2.76, 1 1.41

0.53

3 9 54 8 16 17 0

. 3,1 , 3, 2 , 3,4 , 5.82,1 , 0.18,1

3,2 , 3,0 5.33 0.33

x y x y

sol C A A B

B F F LR

e

x x y y

sol C A A B B

F F LR e

2 2

2 2

2 2

4 5 3 8 6 4 0

. 0.8, 1 , 0.8,0.84 , 0.8, 2.84 , 2.23, 1 ,

0.63, 1 0.8,0.15 , 0.8, 2.15 5.3

0.33

5 25 9 100 72 19 0

. 2,4 , 2,9 , 2, 1 , 1,4 , 5,4

2,8 , 2,0 3.6 0.8

6 4 9 32 3

x y x y

sol C A A B

B F F LR

e

x y x y

sol C A A B B

F F LR e

x y x

2 2

2 2

2 2

2 2

6 64 0

7 2 2 20 43 08 9 16 54 32 47 0

. 3,1 , 7,1 , 1,1 , 3,4 , 3,2

3 7,1 , 3 7,1

9 4 9 24 18 9 0

10 25 4 250 16 541 0

y

x y x y x y x y

sol C A A B B

F F

x y x y

x y x y

Encuentra las ecuaciones de las elipses cuyos elementosson los que se indican a continuación

2 2

2 2

2 2

2 2

11 4, 1 , 1, 1 y pasa por el punto P 8,0

, 8 2 4 01

12 3,1 , 3, 2 ,3

. 9 8 54 16 17 039

13 3,3 , 7,3 ,4

. 39 64 234 256 1889 04

14 7, 2 , 5, 2 ,5

. 25 9 50 36 839

C F

sol x x y y

C A e

sol x y x y

F F LR

sol x y x y

B B e

sol x y x y

02

15 0, 5 , 0,5 ,3

17 2,3 el eje mayor paralelo al eje Y eje mayor1

igual a 8

318 3,8 , 3, 2 , longitud del eje mayor 103

19 3, 1 , 5, 1 ,4

20 2,6 , 2, 2 , 2

21 Hallar la ecuac

F F e

C

e

F F

V V e

V V LR

ión de la elipse cuyos vértices son los

puntos 4,0 , 4,0 y cuyos focos son 3,0 , 3,0





22 Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los

2 puntos 2,0 , 2,0 y su excentricidad es

3e

3.5 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLAEncuentra todos los elementos de las siguientes hipérbolas

2 2

2 2

2 2

22

2 2

2 2

163

2 2

2 2

2 2

1 5 4 30 28 20 0

3 3.5. 1

3.2 4

2 2 6 13 0

3. 1

2 4

3 3 4 16 0

2. 1

4

4 4 9 100 72 19 0

5 4 9 8 36 104 0

6 25 16 250 32 109 0

205. 5,1 , 5 2 5,1 , 5 ,1

2

x y x y

x y sol

x y x

y y sol

x y y

y x sol

x y x y

x y x y

x y x y

sol C V F

2 2

2 2

2 2

2 2

5 1 5

4

7 4 16 12 16 0

8 4 40 4 60 0

. 2,5 , 2, 2 , 2, 8 2, 5 3 5

1 5 22

9 25 9 100 54 10 0

10 9 36 12 36 0

. 6,2 , 6,4 , 6,0 6,2 2 10

1 2 6

3

11

y x

y x x y

y x y x

sol C V F

y x

x y x y

y x y x

sol C V F

y x

2 24 32 8 49 0 x y x y

12 2,0 , 2,0 y 3,0 , 3,0 Hallar la

ecuación y su eexcentricidad.

13 7,3 , 1,3 , longitud del eje trasverso 414 3,3 , 7,3 , 5

15 3,4 , 3, 2 , 2

516 3,2 , 9,2 ,

3

17 8,0 , 0,0 , 8

V V F F

F F V V LR

V B e

V V e

V V LR

28

18 2,8 , 2,0 ,6

F F LR

4.0 SISTEMA DE ECUACIONES NOLINEALESResuelve los siguientes sistemas utilizando el métodoapropiado

2

2 2

2 2

2 2

2 2

6 91 . 4,1 3,03

42 .

4 5

363 . 7.8, 4.9 6.4, 2.2

2 2

4 324 .

2 8

15 9 4

3 2 6

y x x sol y x y

x y sol y

y x

x y sol y

x y

x y sol y

x y

x y

x y

2 2

2 2

. .7, 1.8 2.5,.9

16 .16 4

2 3 9

17 .4 4

2 6 12

sol y

x y

sol y

x y

x y

sol y

x y

2 2

2 2

2 2

4 8 368 . 1, 2 1, 2

2

419 . 5,4 4,59

2 3110 .

2 9

x y sol y

y x

x y sol y x y

x y sol y

x y

2

2 2

2 2

6 811 . 5,3 2,0

2

3 1212 .

1 4

9

13 . 0, 3 3,03

y x x sol y

x y

x y sol y

y x

x y

sol y x y

2

2 2

314 . 0, 3 2, 1

2 3

1815 .

2 3

x y sol y

x y

x y sol y

x y




2 2

3 1711 11

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

3 2 516 . 1, 1 ,

2 1

5 2 217 .

1

1618 . 4,0 4,0

16

719 .

2 3 18

8 4 1620 . 0, 2 0, 2

8 3 12

x y sol y

x y

x y sol y

x y

x y sol y

x y

x y sol y

x y

x y sol y

x y

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

5 2521 .

9

1322 . 3, 2 3,2

5

3 2 3323 .3 17

25

24 . 5,0 5,01

25 5

2 2725

x y sol y

x y

x y sol y

x y

x y sol y x y

x y

sol y x y

x y

x

2 2 .

2 23 sol y

y

fundamentos matemáticos nuevo

Documents