fundamentos de producci´on y tratamiento de audio …1 presentar los fundamentos del procesamiento...

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IntroduccionDigitalizacion de senales analogicas

Senales digitales de audioAnalisis espectral

Fundamentos de produccion y tratamiento de

audio mediante computador

Luis Rodrıguez RuizUCLM

April 8, 2008

LRR Fundamentos de produccion y tratamiento de audio mediante computado

ContenidosObjetivos



1 Objetivos

2 Introduccion

3 Digitalizacion de senales analogicas

4 Senales digitales de audio

5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier


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Indice

1 Objetivos

2 Introduccion





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Objetivos

1 Presentar los fundamentos del procesamiento digital de audiomediante computador

2 Estudiar las tecnicas basicas de analisis y generacion de audio


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1 Objetivos

2 Introduccion





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¿Que es el sonido?

Sonido: Sensacion producida en el oıdo como consecuencia devariaciones de presion en el aire.

El sonido se genera al provocar una vibracion en las moleculasdel aire. Dicha vibracion es transportada en forma de ondas.

Para producir sonido es necesario:

Una fuente de vibracion mecanicaUn medio elastico que lo trasporte

Acustica: Ciencia que estudia el sonido

Psicoacustica: Disciplina que estudia la percepcion subjetivadel sonido en los humanos.

Risset Endless sound


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Caracterısticas o cualidades del sonido

Tradicionalmente, un sonido se caracteriza por:

Altura

Intensidad

Timbre

Duracion


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Procesamiento del sonido

Los primeros (y muy limitados) intentos de almacenar yprocesar el sonido se realizaron en el siglo XIX y de formatotalmente mecanica.

Alrededor de 1920 se comienza a trabajar con el sonido enforma de corriente electrica.

Los dispositivos encargados de convertir el sonido en corrienteelectrica y viceversa se denominan “transductores”:

Microfono: Posee una membrana que al vibrar con la presiondel aire es capaz de generar una corriente electrica.Altavoz: Una corriente electrica induce una vibracion en unasuperficie que se traduce en un aumento de la presion del aire.

PhonoAutograph Edouard-Leon Scott de Martinville Phonograph Thomas Edison


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El sonido como una corriente electrica

Codificar el sonido en forma de corriente electrica permiteprocesarlo y almacenarlo de forma adecuada.El sonido es normalmente codificado como una serie devariaciones de voltaje en funcion del tiempo (el voltajerepresenta la amplitud).

-10

-5

0

5

10

-100 -50 0 50 100

volta

je

tiempo


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1 Objetivos

2 Introduccion





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Senales analogicas y digitales

El sonido (y la corriente generada por un microfono) es unamagnitud analogicaMagnitud analogica: Magnitud representada por unavariable continuaMagnitud digital: Magnitud representada por una variablediscreta

Magnitud analogica

-4

-2

0

2

4

-10 -5 0 5 10

tiempo

Magnitud digital

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

tiempo

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

tiempo

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

tiempo


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Senales analogicas y digitales II

¿Por que trabajar con senales digitales?

Sistemas mas sencillos de construir y mas flexibles(software/hardware)

Mayor precision y tolerancia al ruido

Algoritmos de procesado de senal complejos difıciles deimplementar en sistemas analogicos

Almacenamiento de la informacion

Computador → Sistema digital de procesamiento de informacion


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Senales digitales y computadores

Un computador es un sistema digital basado en el sistema denumeracion en base 2 (binario)

Cualquier dato es representado mediante un numero enbinario.Ej: (10110)2 = (22)10Un computador no puede trabajar directamente conmagnitudes (senales) analogicas

Una senal analogica se transformara al dominio digital antesde ser procesada por un computador. De la misma manera,una senal digital ya procesada se transformara en una senalanalogica si es necesario.

Estas conversiones se llevan a cabo por dispositivos conocidoscomo Conversores Analogico-Digital (DAC) y ConversoresDigital-Analogico (ADC)


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Digitalizacion

El proceso por el cual una senal analogica se convierte adigital es conocido como digitalizacion.

Dicho proceso se lleva a cabo en dos etapas:

Muestreo: se toman muestras de la senal a periodos detiempo constantes.Cuantizacion: se aproximan los valores de las muestrasutilizando intervalos predefinidos


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Digitalizacion. Ejemplo

Senal analogica

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7

Senal digitalizada

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7


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Digitalizacion II

A la hora de muestrear una senal analogica deben tenerse encuenta fundamentalmente dos parametros:

1 La frecuencia de muestreo: Numero de muestras por intervalode tiempo que se toman de la senal analogica. Medida en Hz(muestras/segundo)

2 El numero de valores distintos que puede tomar cada muestra(resolucion)


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Frecuencia de muestreo

Intuitivamente, cuanto mayor sea la frecuencia de muestreo,con mayor fidelidad se puede representar la senal.

Teorema de Nyquist-Shannon: Para poder reconstruir deforma adecuada una senal analogica, esta debe muestrearseutilizando una frecuencia de muestreo de al menos el doble dela frecuencia maxima de la senal. A esta frecuencia se leconoce como frecuencia de Nyquist (fN)

Cuando la frecuencia de muestreo es inferior a la frecuencia deNyquist, se producen errores en la reconstruccion de la senal.(aliasing)

Problema. ¿Como se obtiene la frecuencia maxima de lasenal?


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Frecuencia de muestreo. Ejemplo de aliasing


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Resolucion

Al muestrear una senal, cada una de las muestras puedetomar un numero finito de valores distintos (discretizacion)

Cuanto mayor sea el numero de valores por muestra(resolucion), mejor se podra reconstruir la senal

La resolucion se mide en numero de bits (una resolucion de nbits implica que cada muestra puede tomar 2n valoresdistintos, p.e. una resolucion de 8 bits se traduce en 256valores distintos para cada muestra).


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Muestreo de senales de audio

44 Khz 8 Khz 4 Khz 2 Khz


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2 Introduccion





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Senales digitales de audio

Una senal digital de audio (como cualquier otro tipo de senal)es representada en un computador como una sucesion demuestras (0,12,-4,13,21,...)

Cada muestra representa la amplitud de la senal en uninstante dado

Procesar una senal de audio significa alterar el valor de lasmuestras

Generar una senal de audio significa generar un conjunto demuestras

Una senal digital de audio se convierte en sonido cuando seenvıa al conversor digital-analogico de la tarjeta de sonido yde ahı a un altavoz.


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Senales digitales de audio II

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

DAC

[ 1, 4, −2, −5, 1, −3, 2 ]

SEÑAL DIGITAL SEÑAL ANALOGICA

SONIDO


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Senales digitales de audio y percepcion humana

El oıdo humano es capaz de detectar frecuenciascomprendidas entre 20 Hz y 20Khz.

Segun el teorema de Nyquist, una senal de audio se deberıamuestrear (o generar en el caso de la generacion de audio)con una frecuencia de muestreo de al menos 40 Khz.

El estandar adoptado en la industria (Compact disc, ...) parala frecuencia de muestreo de las senales de audio es de 44100Khz.

No obstante, la frecuencia maxima de una senal puede serinferior a los 20 Khz, por lo que podrıa utilizarse unafrecuencia de muestreo menor.

En cuanto a la resolucion, lo mas usual es utilizar 16 bits pormuestra (65536 valores diferentes)


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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier

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Introduccion al analisis espectral

La descripcion que se ha presentado de las senales de audioconsiste en una sucesion temporal de muestras.

En audio, la informacion no se encuentra codificada en eldominio temporal (sucesion temporal de muestras) sino en eldominio frecuencial

Por tanto, a la hora de analizar el contenido de una senal deaudio es necesario prestar atencion al contenido frecuencial deesta.


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Espectro

A la distribucion de las amplitudes de las frecuencias de una senalde audio se le denomina espectro.


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Analisis espectral de senales de audio

Para realizar el analisis espectral de audio utilizaremos laherramienta matematica conocida como Transformada de Fourier

Joseph Fourier

En su trabajo Theorie analytique de

la chaleur de 1822 sostenıa que unacualquier funcion puede expresarse comouna serie de funciones periodicas


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1 Objetivos

2 Introduccion





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Series de Fourier

Una funcion periodica puede descomponerse en una series de senosy cosenos de la siguiente manera:

f (x) =a0

2+

∞∑n=1

[ancos(nx) + bnsin(nx)]

Siendo an y bn una serie de coeficientes reales denominadoscoeficientes de Fourier.


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Series de Fourier II

Los coeficientes de Fourier para una funcion periodica entre[−π, π] se obtienen a partir de la funcion f de partida de lasiguiente forma (puede extenderse a cualquier otro periodo):

an =1

π

∫π

−π

f (x)cos(nx)dx

bn =1

π

∫π

−π

f (x)sin(nx)dx


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Series de Fourier. Ejemplo

Onda en diente de sierra:

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4 6 8 10

f (x) = x para −π < x < π,

f (x + 2π) = f (x) para −∞ < x < ∞.


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Los coeficientes de Fourier vienen dados por:

an =1

π

∫π

−π

xcos(nx)dx = 0

bn =1

π

∫π

−π

xsin(nx)dx = 2 ·

(−1)(n+1)

n

y por tanto la funcion puede expresarse como:

f (x) =a0

2+

∞∑n=1

[ancos(nx) + bnsin(nx)] = 2∞∑

n=1

(−1)(n+1)

nsin(nx)


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Aproximacion con 1 coeficiente:

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4 6 8 10


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Aproximacion con 2 coeficientes:

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 0 2 4 6 8 10


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-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4 6 8 10


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Representacion alternativa

A partir de la formula de Euler:

e inx = cos(nx) + i sen(nx)

La funcion periodica puede descomponerse como:

f (x) =∞∑

n=−∞

cneinx

donde los coeficientes de fourier cn vienen dados por:

cn =1

2π

∫π

−π

f (x)e−inxdx

Para una senal perıodica en [−π, π]


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Transformada discreta de Fourier

Para transformar una una secuencia temporal de valoresdiscretos (senal digital) en su representacion frecuencial seutiliza la transformada discreta de fourier (DFT)

La DFT toma como entrada una secuencia numeros complejosen el dominio temporal y genera otra secuencia equivalente enel dominio frecuencial

En las senales de audio, cada muestra suele representarsemediante un numero real, por lo que en este caso la entrada ala DFT sera una sucesion de numeros reales x0, . . . , xN−1 delongitud N.


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Transformada discreta de Fourier II

La salida de la transformada sera una sucesion de numeroscomplejos X0, . . . ,XN−1, donde cada elemento de la salida Xk

se calcula de la siguiente forma:

Xk =N−1∑n=0

xne−

2kπni

N

donde: Xk es el valor k-esimo de la senal resultado, N es lalongitud de la senal y xn es el valor i-esimo de la senal deentrada.


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Transformada discreta de Fourier III

Algunas consideraciones acerca del analisis espectral y la DFT

Cada valor Xkde salida del DFT representa la amplitud (yfase) de la componente espectral k . El rango de dichascomponentes varıa entre 0 y la frecuencia de muestreo.

Desde el punto de vista del analisis, se tiene en cuentafundamentalmente al modulo (amplitud) de los numeroscomplejos que forman la secuencia de salida

La resolucion de la transformada viene dada por el numero depuntos de la senal de entrada.

A la hora de analizar una senal de audio, esta se divide enfragmentos de duracion limitada (donde se asume que la senales cuasi-estacionaria). La DFT se aplica a cada fragmento porseparado


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Transformada discreta de Fourier IV

Si la entrada a la DFT es una secuencia de numeros reales, lasalida sera simetrica respecto al eje definido por el valor de lamitad de la frecuencia de muestreo. Por tanto solo la primeramitad de la DFT es realmente considerada en el analisis.

Por diversos motivos, entre otros la resolucion, la salida de laDFT no siempre se corresponde de forma precisa con elespectro real de la senal. Este problema puede atenuarsemultiplicando la senal de entrada por una funcion ventana(Hamming, Hanning,Blackman,etc).


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Ejemplo de Aliasing


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