Fundamentos

Ing. Gerardo Valdés Bermúdes

Regla de la Multiplicación

En la solución de algunos problemas es necesario considerar la probabilidad de que ocurra un suceso A en un primer ensayo y el suceso B ocurra en un segundo ensayo. Esto se representa con la expresión

P (A y B).

P (A y B)= P (Ocurre el suceso A y después ocurre el suceso B)

Regla de la Multiplicación

En la probabilidad P(A o B) se asocia o con sumar. En éste caso P(A y B), y se asocia con la operación de multiplicación.

Ejemplo

En una sección de un examen hay una pregunta del tipo Verdadero/Falso y enseguida una pregunta de opción múltiple (5 opciones).

¿Qué probabilidad hay de contestar las dos correctamente si se contesta al azar?

Diagrama de Árbol

En éste caso es útil el empleo de una imagen grafica de todos los resultados posibles de un procedimiento que se muestran como líneas que emanan de un punto de partida. El grafico se llama Diagrama de árbol y se utiliza para determinar el espacio muestral en muchos problemas.

Espacio Muestral del Problema

V

F

a

bc

de

a

bc

de

Va

VbVc

VdVe

Fa

FbFc

FdFe

2 5 10x =

Ejemplo

El espacio muestral consiste en 10 posibles resultados. Si se elige al azar, todos son igualmente posibles.

P(ambas correctas)=1__

10

Va Vb Vc Vd Ve Fa Fb Fc Fd Fe

P(en reactivo F/V)=1__2

P(en opción múltiple)=__5

1

__10

1 __2

1 __5

1=

P(ambas correctas)= P(en reactivo F/V) x P(en opción múltiple)

Notar que :

Regla Intuitiva de la

Multiplicación

P(A y B)= P(A)· P(B)

La expresión anterior se utiliza en el caso de que los sucesos A y B sean independientes (cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro). Si A y B no son independientes, se dice que son dependientes.

Ejemplo: Experimento de Mendel

Si dos de los chicharos se seleccionan al azar sin reemplazo, calcula la probabilidad de que la primera selección tenga una vaina verde y la segunda una vaina amarilla (sin considerar el color de la flor)

Ejemplo: Experimento de Mendel

Primera selección:

P(Vaina verde)=

Segunda selección:

P(Vaina amarilla)=

814

613

Ejemplo: Experimento de Mendel

P(primer chícharo con vaina verde y segundo chícharo con vaina amarilla)=( )( )=0.264

El punto clave es que se tiene que ajustar la probabilidad del segundo suceso para reflejar el resultado del primer suceso.

814

613

Probabilidad Condicional

Cuando la probabilidad del segundo suceso B debe tomar en cuenta el hecho de que el primer suceso ya ocurrió, éste principio puede expresarse usando la notación:

P(B|A) se lee “Probabilidad de B dado A” y representa la probabilidad de que un suceso ocurra después de admitir que el suceso A ocurrió.

Regla formal de la

Multiplicación

P (A o B) = P (A) · P (B|A)

Si A y B son sucesos independientes P(B|A) es lo mismo que P(B)

Regla de la Multiplicación

P (A y B)

Regla de la Multiplicación

¿Son A y Bindependientes?

Si

P (A y B) = P (A) ·P (B)

No

P (A y B) = P (A) · P (B|A)

Conclusiones

Los fundamentos de las reglas de la suma y de la multiplicación se resumen como sigue:

a) En la regla de la suma, la palabra “o” en P(A o B) sugiere suma. Sumar P(A) y P(B), verificando si no existe traslape.

b) En la regla de la multiplicación, la palabra “y” en P(A y B) sugiere una multiplicación. Multiplicar P(A) y P(B) verificando si el suceso B toma en cuenta la ocurrencia previa de A