Espacios de Hilbert

Elaborado por: Tito Enmanuel Padilla Meza

August 29, 2015

1 Introduccion:

Parte de la Tarea la Fisica es tomar un conceptoabstracto y convertirlo en un concepto aplicable ala realidad, es por ello que partiendo de conceptosabstractos de la matematica se es posible crear lasgrandes bases sobre las que se simienta la ciencia.El presente Proyecto contiene los fundamentos basi-cos del espacio de Hilbert, asi como las cualidadespropias de este espacio los cuales forman bases es-cenciales para la Fisica Moderna.

2 Introduccion de Espacios de

Hilbert

El concepto de espacio de Hilbert es una general-ización del concepto de espacio euclídeo. Esta gener-alización permite que nociones y técnicas algebraicasy geométricas aplicables a espacios de dimensión dosy tres se extiendan a espacios de dimensión arbitraria,incluyendo a espacios de dimensión innita.A continuacion se deniran algunos conceptos ba-

sicos para introducir a los espacios de Hilbert.Denicion 1: Decimos que X es un espacio de

Hilbert si es un espacio vectorial con producto internocompleto.Es decir, si d es la m´etrica inducida por la norma

en X, inducida a su vez por el producto interno, en-tonces (X, d) es completo.Proposicion 1 (Identidad del paralelogramo). Si

x, y ∃ X entonces:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + ‖y‖2

Demostracion. Sean x, y ∃ X. Entonces:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = (x+ y, x+ y) + (x=y, x=y)

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)

+(x, x)=(x, y)=(y, x) + (y, y)

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + ‖y‖2

Denicion 2: Una innita secuencia de vectoresai∞i=1es un espacio nomado V entonces es llamadouna secuencia de Cauchy si lim i→∞

j→∞‖ai − aj‖ = 0

Denicion 3: Un espacio vectorial completo Ves un espacio normado si a∞i=1es una secuencia deCauchy,

entonces existe un vector a tal que limi→i‖ai−a‖ =0

Proposicion 2: Cualquier secuencia de Cauchy dedimension nita en un espacio con producto internoen C (or R) es convergente.

Demostracion:

Como ai → a para todo ε > 0 existe un notal quesi n > noentonces para todo n,m > nose tiene:

d(xn, xm)≤d(xn, x) + d(x, xm) <ε

2+ε

2= ε

Denicion 4: Un espacio Completo con productointerno comunmente denotado por H es llamado es-pacio de hilbert.

Entonces por la denicion 4, se denota que todaslas nitias dimensiones reales o complejas son Espa-cios de Hilbert,

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3 Ejemplos de Espacios de

Hilbert

Espacios de funciones integrables:Dado un conjunto medibleΩ ⊆ RN , con medidade Lebesgue positiva, siempre se pueden encon-trar dos subconjuntos disjuntos

de W que tengan medida positiva y nita. Paracualquier conjunto medible con medida positiva Ω ⊆RN y 1 ≤ρ ≤∞, el espacio de Banach Lp(W) es unespacio de Hilbert si, y sólo si, p = 2.

El producto escalar en L2(W) es:

(f/g) =

ˆΩ

f(t) ¯g(t)dt

Espacios de sucesiones: Uno de los ejem-plos de Hilbert de espacio de Hilbert de dimen-sión innita es el siguiente: si B es un conjunto,denimos L2(B) para un conjunto adecuado B.deniendo de la siguiente forma:

L2(B) = x : B → C :∑b∃B

| x(b) |2<∞

Este espacio se convierte en un espacio de hilbertcon el producto Interior

〈x, y〉 =∑b∃B

¯x(b)y(b)

Si B = N entonces simplemente se le enucia comoL2

Espacios euclídeos: El primer ejemplo, queya había sido avanzado en la sección anterior,lo constituyen los espacios de dimensión nitacon el producto escalar ordinario. En otras pal-abras Cncon la denicion de producto interiorsiguiente:

〈x, y〉 =

n∑k=1

¯xkyk

4 Teorema de la Proyección Or-

togonal

Los espacios de Hilbert tienen un comportamientomuy especial en relación con la Teoría de Aproxi-mación. Todo subconjunto convexo y cerrado, no sóloes un conjunto proximinal en el espacio, sino que in-cluso cada punto del espacio tiene una única mejoraproximación en dicho subconjunto.Proposicion 4: Sea C un subconjunto convexo y

cerrado de un espacio de Hilbert H. Entonces, paracada x ∃ X existe un único punto P (x)c∃N que ma-terializa la distancia de x a C, esto es, que verica:

‖x− Pc(x)‖ = d(x,C) = inf‖x− y‖ : y∃C

Demostracion: Es una consecuencia bastante fá-cil de la igualdad del paralelogramo.Fijado x ∈ H, para cualesquiera u,v ∃ C es posible

escribir‖u−v‖2 = ‖(u−x)−(v−x)‖2 = 2‖u−x‖2 +2‖v−

x‖2 − ‖u+ v − 2x‖2Puesto que (u+v)/2 ∃ C por ser C convexo, ten-

emos

‖u+ v − 2x‖ = 4‖u+ v

2− x‖2 ≥ 4d(x,C)2

y sustituyendo esta desigualdad en la igualdad an-terior obtenemos:

‖u− v‖2 ≤ 2‖u− x‖2 + 2‖v − x‖2 − 4d(x,C)2

Esto prueba ya la unicidad del punto de C quepueda materializar la distancia a x, ya que si u,v∃ C verican que ‖u − x‖ = ‖v − x‖ = d(x,C) ladesigualdad anterior implica que u = v. Casi conel mismo argumento, probamos la existencia. Paraello, sea un una sucesión de puntos de C tal que‖un − x‖ → d(x,C).Fijando un ε > 0existira unno∃N vericando:

‖un − um‖2 < 4(d(x,C)2 +ε2

4)− 4d(x,C)2 = ε2

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lo que demuestra que un es una sucesión deCauchy. Por ser H completo y C cerrado dicha suce-sión converge a un punto Pc(x)∃Cque verica ‖x − Pc(x)‖ = lima→∞‖x − un‖ =

d(x,C).Asi pues, Pc(x)es un punto de C que materi-aliza la distancia a x y la unicidad estaba aseguradade antemano.

5 Operaciones en los espacios de

Hilbert

Suma directa y producto tensorial: Dado dos(o más) espacios de Hilbert, podemos combinarlos enun espacio más grande de Hilbert tomando su sumadirecta o su producto tensorial.La primera construcción se basa en la unión de

conjuntos y la segunda en el producto cartesiano.La suma directa requiere que H1 ∩H2=0 y es el

mínimo espacio de Hilbert que "contiene" a la uniónde los dos conjuntos:

H1∪H2 → H1⊕H2 . . . . . . dim(H1⊕H2) = dim(H1)+dim(H2)

Mientras que el producto tensorial es el mínimoespacio de Hilbert que "contiene" al producto caste-siano:

H1×H2 → H1⊗H2, . . . . . . dim(H1⊗H2) = dim(H1)∗dim(H2)

6 Mecánica Cuántica en Espa-

cios de Hilbert

Primer Postulado de la Mecanica Cuantica:POSTULADO 1: A cada sistema físico se le hace

corresponder un espacio de Hilbert complejo y sepa-rable ( H). A cada estado del sistema le corresponde,en cada instante de tiempo t, un vector |Ψ(t) y de di-cho espacio..conjunto de vectores |Ψ con suma y producto de

escalares (suponemos C):

|λY+ µFi = λ|Yi+ µ|Fi

7 Bibliograa:

Mathematical physics: a modern introduction toits foundations, hassani.

Mecánica Cuántica en Espacios de Hilbert, Ig-nacio Porras, Universidad de Granada.

Espacios de Hilbert, revista cientica de la uni-versidad de granada.

Espacios de Hilbert y operadores Lineales, MariaCruz Bosca, Universidad de Granada

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