fundamentos de informática teórica (fit) ii sem. 2003

Fundamentos de Informática Teórica (Fit) II Sem. 2003

___________________________________________________________________Dr. Eric Jeltsch F. Area de Computación, ULS.

Lógica Proposicional. (LP)IntroducciónLógica simbólica considera lenguajes cuyo propósito esencial es simbolizar hechos uacciones de la vida real que no pueden ser representados en un lenguaje formal, comolas matemáticas. De ahí entonces, el considerar la lógica proposicional, pues estamosinteresados en sentencias declarativas, que pueden ya sea V o F, no obstante ya sabemosque si las sentencias declarativas tienen una probabilidad de ocurrencia, esta forma nosería la más apropiada. En tal caso deberíamos aplicar la Lógica Fuzzy. Másformalmente, una proposición es una sentencia declarativa que puede ser V ó F, pero noambas. Por ejemplo P = El azúcar es un Hidrocarbono.

Def. Una fórmula bien formada (fbf) en una proposición lógica están definidasrecursivamente, como sigue:• Un átomo es una fórmula.• Si G es una fórmula, entonces (¬ G) es una fórmula• Si G y H son fórmulas, entonces (G ∧ H), (G → H), (G ∨ H) y (G ↔ H) son

fórmulas. Todas las fórmulas son generadas aplicando las reglas anteriores.

Tabla G H ¬ G (G ∧ H) ( G ∨ H) (G → H) (G ↔ H) T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T TClaramente podríamos saber el valor de verdad de (P ∧ Q) → (R ↔ (¬ G)).

Def. Dada una fórmula proposicional G, en donde A1, A2, ... An son los átomos queocurren en la fórmula G. Entonces una interpretación de G es la asignación de un valorde verdad a A1, A2, ... An , en la cual todo Ai es asignado ya sea T o F, pero no ambos.Def. Una fórmula G, se dice ser V, bajo una interpretación si y sólo sí G es evaluada a Ten la interpretación; de otra forma se dice que G es F bajo la interpretación.Notar que si existen n-átomos distintos en una fórmula, entonces existen 2n

interpretaciones distintas para la fórmula.

Validez e inconsistencia en la LP.Def. Una fórmula se dice ser válida ssí es T para toda sus interpretaciones(Tautología).Por otra parte una fórmula se dice invalida ssí ella no es válida.Def. Una fórmula se dice ser inconsistente ssí es F para toda sus interpretaciones(Contradicción). Por otra parte una fórmula se dice consistente ssí no es inconsistente.Ejemplo: (P ∧ ¬ P) es inconsistente; luego inválido. (P ∨ ¬ P) es válido; tambiénconsistente. (P → ¬ P) es inválido; luego consistente.

Forma Normal en la LPDef: 2 fórmulas H y G, se dicen equivalentes, denotada (H=G), ssí el valor de verdad deH y G son las mismas en toda interpretación de H y G.Ejemplo: (P → Q) es equivalente a ( ¬ P ∨ Q ) tal como lo puede verificar por mediode las tablas.



Propiedades en el contexto de la lógica proposicional.

Algunas transformaciones clásicas.



Def. Un literal es un átomo o la negación de un átomo.Def. Una fórmula H se dice estar en la Forma Normal Conjuntiva (FNC) ssí H tiene laforma H1∧ H2 ∧ ... ∧ Hn , para todo de los H1, H2, ... Hn.Ej. ( P ∨ ¬Q ∨ R ) ∧ ( P ∨ ¬Q ) está en FNC.Ej. Obtener la FNC para la fórmula ( P ∧ ( Q → R)) → S )

Def. Una fórmula H se dice estar en la Forma Normal Disjuntiva (FND) ssí H tiene laforma H1 ∨ H2 ∨ ... ∨ Hn , para todo de los H1, H2, ... Hn.Ej. ( ¬P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ ¬Q ∧ ¬R) está en FND.En general, cualquier fórmula puede ser transformada en una forma normal.Ej. Obtener la FND para la fórmula ( P ∨ ¬Q ) → R.

Def. Dadas las fórmulas H1, H2, ... Hn, y una fórmula G, se dice G ser una consecuencialógica de H1, H2, ... Hn. ssí para toda interpretación I en la cual H1∧ H2 ∧ ... ∧ Hn es T,G también lo es. H1, H2, ... Hn , son llamados axiomas de G.

Teo. 1 Dadas las fórmulas H1, H2, ... Hn, y una fórmula G, G es una consecuencia lógicade H1, H2, ... Hn. ssí la fórmula (( H1∧ H2 ∧ ... ∧ Hn ) → G ) es válida. En general estaexpresión se llama Teorema, y G es la conclusión del mismo.

Teo. 2 Dadas las fórmulas H1, H2, ... Hn, y una fórmula G, G es una consecuencia lógicade H1, H2, ... Hn. ssí la fórmula (( H1∧ H2 ∧ ... ∧ Hn ∧ ¬ G ) es inconsistente.

Aplicaciones: Consecuencias Lógicas.• Mostrar que 4) es consecuencia lógica de la verdad de 1), 2) y 3). Sabiendo que:

1) P → S ; 2) S → U ; 3)P; 4)U.

• Mediante la aplicación de Tablas de verdad y de la FNC y FND. Mostrar si lafórmula es o no consistente

((P → Q) ∧ ¬Q ) → ¬P .• (Problema de Síntesis Químico)Supongamos que podemos realizar las siguientes reacciones químicas:

MgO + H2 → Mg + H2 OC + O2 → CO2CO + H2 O → H2 CO3

Ejercicios y Aplicaciones

Lógica de Primer Orden (LPO)En este contexto se introducen 3 nuevos conceptos, ellos son llamados: Term,Predicados y Cuantificadores, a los conceptos ya abordados de la LP.Def. Term son definidos en forma recursiva, como sigue:Una constante es un Term,Una variable es un TermSi f es una n-función y t1, t2, ... tn son Term, entonces f(t1, t2, ... tn ) es un Term.Ej. x y 1 son ambos Term, + es un operador binario, entonces +(x, 1) es un Term.



Def. Si P es un símbolo n-predicado, y t1, t2, ... tn son Term, entonces P(t1, t2, ... tn ) esun átomo.Ej. Todo nº racional es un nº real, es decir, (∀ x) ( Q(x) → R(x) ). Existe un nº que es primo. (∃ x) P(x). Para todo número x, existe un número y tal que x < y. (∀ x) (∃ y) MENOR(x, y).

Def. Una variable es libre en una fórmula si al menos una ocurrencia de ellas es libre enla fórmula.En la fórmula (∀ x) P(x, y) , se visualiza que la variable x esta acotada, sin embargo lavariable y es libre, no obstante pueden haber variables libres y acotadas en una fórmula.Por ejemplo, (∀ x) P(x, y) ∧ (∀ y) Q(y).

Def. Una fórmula bien formada (fbf) en la lógica de primer orden están definidasrecursivamente, como sigue:• Un átomo es una fórmula.• Si H y G son fórmulas, entonces (¬ G) es una fórmula• Si G y H son fórmulas, entonces (G ∧ H), (G → H), (G ∨ H) y (G ↔ H) son

fórmulas. Todas las fórmulas son generadas aplicando las reglas anteriores.• Si H es una fórmula y x es una variable libre en H, entonces (∀ x) H y (∃ x) H, son

fórmulas.• Fórmulas son solamente generadas por un número finito de aplicaciones de las

propiedades anteriores.

EjemplosEj. Trasladar la siguiente declaración a fórmula: “Todo hombre es mortal. Confucio esun hombre. Por lo tanto, Confucio es mortal.Ej. Trasladar algunos axiomas básicos de los números naturales, a fórmulas. “Para todo número, existe uno y sólo un sucesor”. “No existe ningún número para el cual 0 es un sucesor”. “Para todo número que no sea el 0, existe uno y sólo un sucesor”. Considere f(x) yg(x) el sucesor y el predecesor de x, respectivamente. x es igual a y, denótelo por eloperador E(x, y)

Interpretaciones de fórmulas en la lógica de Primer Orden.

En la LP, una interpretación es una asignación de valor de verdad de los átomos. En laLPO, ya que están variables involucradas, se necesita más que eso, veamos como definiren este nuevo contexto la interpretación.

Def. Una interpretación de una fórmula H en la LPO consiste de un dominio D novacío, y asignaciones de valor a las constantes involucradas, funciones y símbolos depredicado que ocurren en H como sigue.1.- A toda constante se le asigna un elemento en D.2.- Toda n- función, se le asigna una función desde Dn a D.3.- Todo n- predicado se le asigna una función desde Dn a {T, F}.



Por ejemplo, (∀ x) H es evaluada T, si el valor de verdad es evaluado T para x deldominio D; de otra manera es F. (∃ x) H, es evaluada T si el valor de verdad de H es Tpara al menos un x en D; de otra manera es evaluado F.

Forma Normal de Prenex en la Lógica de Primer OrdenEn la LP, hemos introducido 2 formas normales, la FNC y la FND. En la LPO, existetambién una forma normal, llamada “forma normal de Prenex” (FNP). Todo esto con elfin de simplificar los procedimientos de demostración.

Def. Una fórmula H en la LPO se dice estar en la FNP ssí la fórmula H está en la formade (Q1x1) ... (Qnxn) (M), donde todo (Qixi), para todo i desde 1 a n, es ya sea (∀ xi) o(∃ xi ), y M es una fórmula no conteniendo ningún cuantificador. (Q1x1) ... (Qnxn) esllamado el prefix y M es llamada la matriz de la fórmula H. Por ejemplo, (∀ x) (∀ y)(P(x,y) ∧ Q(y)), (∀ x) (∀ y) ( ¬P(x,y) → Q(y)), (∀ x) (∀ y) (∃ z) (Q(x,y) → R(z)).



Ejemplos:Transformar la fórmula (∀ x) (P(x) → (∃ x) (Q(x) a la FNP.Análogamente para, (∀ x) (∀ y) ((∃ z) (P(x,z) ∧ P(y,z)) → (∃ u) Q(x,y,u).(Aplicaciones a la LPO).Dado los axiomas: “Todo hombre es mortal. Confucio es un hombre. Mostrar que,Confucio es mortal.Parte de la solución es transformar a LPO, es decir(∀ x) (HOMBRE(x) → MORTAL(x).HOMBRE(Confucio).

Aplicaciones(Bases de Datos): Consideremos la siguiente base de datos relacional:

Tiene Aeropuerto Vuelo Directo Conexión de Vuelo SCL SCL - MIAMI SCL - MIAMI MIAMI SCL - RIO SCL - HONG KONG RIO ... HONG KONG SCL - FRANKFURT RIO - SCL MIAMI - HONG KONG

Una base de datos (BD) es un modelo de la realidad, es decir, una abstracción orepresentación simplificada de lo que consideramos o percibimos como parte de larealidad.En el ejemplo, tenemos más que un simple conjunto dc individuos (SCL, MIAMI,HONG KONG, etc.), tenemos además una. Estructura en ese conjunto que está indicadaa través de distintos atributos (predicados, relaciones) aplicables a los individuos. Lastablas de la BD indican que individuos tienen los atributos o están en relación. Porejemplo, SCL tiene el atributo de "tener aeropuerto", el par (SCL, MIAMI) tiene elatributo con dos argumentos de "estar conectados por vuelo directo” , etc.Para describir este modelo (la BD), podemos usar un lenguaje Γ de la lógica depredicados de primer orden. Si elegimos los predicados: TA(o), VD(o,o), CV(o,o), paradenotar a las tablas: "Tiene Aeropuerto", "Vuelo Directo", "Conexion de Vuelo", ydenotamos en Γ, los individuos (como SCL) con los mismos nombres, podemos hacer,entre otras cosas, las siguientes afirmaciones:

1. TA(MIAMI), VD (SCL, MIAMI), ..

2. ∀ x, y (VD(x, y) → VD(y, x) .

3. ∀ x ¬ VD(x, x)

4. ∀ x, ∀ y (VD(x, y) → CV(x, y) .

5. ∀ x, ∀ y (∃ z (CV(x, z) ∧ VD(z, y) ) → CV(x, y) .

Una observación que salta a la vista es que en lugar de almacenar explícitamente en la



BD toda la información atómica (esencialmente lo descrito en 1), podemos almacenarimplícitamente mucha información si consideramos al contenido de la BD los hechosgenerales o reglas(2, 3, 4) u otras. En particular bastaría saber que hay un vuelo directode SCL a MIAMI para obtener, usando la regla2., que también hay un vuelo directo deMIAMI a SCL. Del mismo modo, podríamos deducir conexiones de vuelo entreciudades usando información atómica y las reglas 3 y 4. La. simple observación anteriorcrea las bases para el desarrollo de las llamadas bases de datos deductivas, quealmacenan hechos atómicos y reglas para deducir nueva información explícita. Unaparte importante de las bases de datos deductivas tiene que ver con la forma de manejarla información representada explícitamente en la BD, es decir hechos atómicosoriginales y reglas. En resumen, la pregunta es ¿Cuál es la información implícita. en laBD deductiva y cómo la obtenemos? .

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