Control Automático

Conceptos básicos de control automático

22 de noviembre

2010 Ing. Gregorio Hernández Hernández

Control Automático

Fundamentos del control automático de procesos El control automático es el mecanismo básico por el cual, los sistemas, sean mecánicos, eléctricos, químicos o biológicos, pueden mantener un determinado equilibrio y con ello una determinada condición de trabajo. El control automático se concibe como una técnica que tiene como objetivo concebir ingenios que funcionen autónomamente, es decir, en términos generales, que funcionen por si solos.

Algunas ventajas que el control automático ofrece a la industria son:

Eliminación de los trabajos monótonos o que exigen atención concentrada. Eliminación del error humano.

Disminución de las horas-hombre para la misma producción. Aumento en la cantidad del producto o del número de unidades fabricadas. Mejora en la calidad de los productos. Mejor aprovechamiento de las materias primas. Mejor aprovechamiento de la energía. Menor desgaste del equipo fabril. Mejora en la uniformidad de los productos. Aumento general de la productividad.

Un proceso de fabricación, manufactura o producción, es el conjunto de operaciones necesarias para modificar las características de las materias primas. Estas características pueden ser de distintas índoles tales como la forma, la densidad, la resistencia, el tamaño o la estética. La industria es el conjunto de procesos y actividades que tienen como finalidad transformar las materias primas en productos elaborados, de forma masiva. La necesidad de ajustar adecuadamente los procesos industriales, repetirlos en forma continua y reducir sus errores, ha obligado a los ingenieros a desarrollar una tecnología especializada en cuanto a instrumentación y control de procesos. La forma de controlar un proceso de producción no solamente depende de los equipos utilizados para ese fin, sino especialmente del conocimiento del responsable para su adecuada aplicación. Existen distintos tipos de controles automáticos y herramientas que nos permiten controlar estos procesos de una manera más sencilla.

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Conceptos fundamentales del control automático.

Un sistema de control está conformado por varias partes las cuales en conjunto forman lo que se ha descrito anteriormente como un controlador automático. Esas partes son: Entrada: se entiende como entrada o estímulo una señal de excitación que se aplica a un sistema de control.

Hay de dos tipos las de referencia y perturbadoras. La referencia es aquella que se aplica a voluntad del usuario con el fin de encontrar una respuesta deseada. La perturbadora es una entrada no deseada y no previsible que afecta adversamente el valor de la salida del sistema. Salida Se define como salida la respuesta de un sistema a un estímulo también conocida como variable controlada. Variable de entrada Es una variable del sistema tal que una modificación de su magnitud o condición puede alterar el estado del sistema. Variable de salida Es una variable del sistema cuya magnitud o condición se mide. Perturbación Una perturbación es una señal que tiende a afectar el comportamiento de un sistema, es decir, su salida. Se pueden tener perturbaciones internas, generadas al interior del sistema, o externas que son consideradas como un input. Planta Se designa como planta a cualquier objeto que se desea controlar. Proceso Se puede entender por proceso cualquier operación que se vaya a controlar. Control Es la regulación en forma predeterminada de la energía suministrada al sistema, buscando un comportamiento deseado. Control con retroalimentación Es una operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida

de un sistema y un valor prefijado. Los controladores automáticos se les pueden clasificar de dos maneras, dependiendo de los componentes con los cuales el controlador cuente y esas dos maneras son:

- Sistemas de lazo abierto - Sistemas de lazo cerrado

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Sistemas de control de lazo abierto:

En los sistemas de lazo abierto la salida no es afectada por la señal de entrada. La salida no se realimenta para compararla con la entrada. Los elementos de un sistema a lazo abierto usualmente están divididos en dos partes, el controlador y el proceso controlado.

Forma en la que se representa un sistema de control de lazo abierto.

Algunas aplicaciones de estos sistemas de control son una lavadora y un tostador. En estos sistemas los tiempos de operación son anticipados por el humano, el cual no forma parte del sistema y no hay ninguna interacción de la salida con la entrada.

Sistemas de control de lazo cerrado:

En el sistema de control a lazo cerrado, el controlador se alimenta de la señal de error de desempeño, la cual representa la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación, con el fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor deseado. Una de las ventajas importantes que presenta este tipo de sistema de control es que se hace insensible a las perturbaciones y mantiene su exactitud; de la comparación de la señal realimentada y la señal de entrada resulta la señal de error, la que es minimizada con la acción de control.

Forma en la cual se representa un sistema de control de lazo cerrado.

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Características estáticas y dinámicas de los procesos

Sistemas de primer orden Los sistemas de primer orden se caracterizan principalmente por tener un elemento capaz de almacenar energía. Este tipo de sistemas se representan desde el punto de vista

matemático por ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Estos sistemas pueden ser de alguno de los siguientes tipos

Eléctricos

Mecánicos Térmicos

Hidráulico Híbridos

Se representan por un modelo matemático de la forma:

Respuesta de un sistema de primer orden

Sistemas de segundo orden

Los sistemas de segundo orden pueden ser caracterizados en forma general por contener dos elementos capaces de almacenar energía. Estos sistemas pueden ser de alguno de los siguientes tipos:

Eléctricos

Mecánicos Térmicos

Hidráulicos Híbridos

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En general, un sistema de segundo orden se puede representar matemáticamente por ecuaciones diferenciales ordinaras de segundo orden de la forma:

=

Respuesta de un sistema de segundo orden

Unidad II: Representación y modelación de sistemas físicos

Función de transferencia La función de transferencia de un sistema lineal invariante con el tiempo se define como la transformada de la Laplace de la respuesta al impulso con todas las condiciones igualadas a cero. Suponiendo de G(s) denota la función de transferencia de un sistema con una entrada u(t) y una salida y(t) y respuesta de impulso g(t). Entonces la función de transferencia se define como:

La función de transferencia G(s) se relaciona con la transformada de Laplace de la entrada y la salida a través de la siguiente relación.

Y aunque en la teoría la función de transferencia se define en términos del impulso, en la práctica, la relación entrada y salida se describe a menudo mediante una ecuación diferencial por lo que es recomendable obtener la función de transferencia directamente de la ecuación diferencial.

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Diagramas de bloques Los diagramas de bloques son empleados por los ingenieros de control para modelar todo tipo de sistemas. Estos pueden ser utilizados para describir la composición e interconexión de un sistema. O se puede emplear con una función de transferencia para encontrar las relaciones causa y efecto a través de todo el sistema.

Diagrama de bloques de un sistema de lazo abierto

Si se conocen la relación matemática y funcional de todos los sistemas el diagrama de bloques se puede emplear como una herramienta para obtener la solución analítica o por computadora del sistema. En general los diagramas a bloques se pueden utilizar para el modelado de sistemas lineales así como no lineales.

Diagrama de flujo de señales Un diagrama de flujo de señales, se puede ver como una versión más simplificada de un diagrama a bloques. La diferencia entre un diagrama de flujo de señal a un diagrama de bloques, es que se puede ver más restringida por reglas matemáticas mas rigurosas mientras que el diagrama a bloques es más libre. Un diagrama de flujo de señal se puede definir como un grafico para retratar la entrada-salida entre las variables de un conjunto algebraico. Componentes de un diagrama de flujo de señales.

Nodo de entrada (fuente).- Un nodo de entrada es aquel que sólo tiene ramas de salida.

Nodo de salida (pozo).- Un nodo de salida es aquel que sólo tiene ramas de entrada. Sin embargo, esta condición no siempre es estricta.

Trayectoria.- Una trayectoria es cualquier conjunto de ramas en una sucesión continua en la misma dirección. La definición de trayectoria es de tipo general, pues no impide que un nodo sea atravesado más de una vez.

Trayectoria Directa.- Una trayectoria directa es aquella que se inicia en un nodo de entrada y termina en un nodo de salida y no atraviesa ningún nodo más de una vez.

Control Automático Malla.- Una malla es una trayectoria que se origina y termina en un mismo nodo a lo largo de la cual no aparece un nodo más de una vez.

Ganancia de Trayectoria.- Al producto de las ganancias de ramas que constituyen el recorrido de una trayectoria, se le llama ganancia de trayectoria.

Ganancia de Trayectoria Directa.- La ganancia de una trayectoria directa es la ganancia adscrita a una trayectoria directa.

Ganancia de malla.- La ganancia de malla se define como la ganancia de trayectoria de una malla.

Cuando se construye un diagrama de flujo de señales, los puntos de unión, o nodos, se utilizan para representar variables. Los nodos están conectados por segmentos lineales llamados ramas. Las ramas tienen ganancias y direcciones asociadas. Una señal se puede transmitir mediante una rama solo en la dirección dela flecha. La elaboración del diagrama de flujo de señales consiste en seguir las relaciones de causa y efecto relacionando cada variable en términos de si misma.

Ejemplo de un diagrama de flujo de señales

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Modelado matemático de sistemas físicos Analogías

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Modelado del espacio de estado

El modelado de una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último sólo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). La representación de espacios de estado (también conocida como aproximación en el dominio del tiempo) provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. El espacio de estado se refiere al espacio de n dimensiones cuyos ejes

coordenados están formados por variables de estados.

Modelo de espacios de estado típico

Las “variables de estado” son el conjunto más pequeño de variables que pueden representar al sistema dinámico completo en un tiempo cualquiera. Las variables de estado deben ser linealmente independientes; una variable de estado no puede ser una combinación lineal de otras variables de estado. El número mínimo de variables de estado necesarias para representar un sistema dado es

n, es normalmente igual al orden de la ecuación diferencial que define al sistema.

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Tipos de sistemas

Sistema eléctrico

Es una serie de elementos o componentes eléctricos o electrónicos, tales como resistencias,

inductancias, condensadores, fuentes, y/o dispositivos electrónicos semiconductores, conectados

eléctricamente entre sí con el propósito de generar, transportar o modificar señales electrónicas o

eléctricas.

Ejemplo de un sistema eléctrico

Conceptos básicos sistema eléctrico

Voltaje El voltaje en los sistemas eléctricos es análogo a la presión en los sistemas hidráulicos o neumáticos. Esta es la fuerza electromotriz requerida para producir un flujo de corriente en un alambre, es como la presion que se requiere para producir un flujo de liquido o gas en una tubería. La unidad de voltaje es el volt (V).

Carga

La carga tiempo. La unidad de de carga transferida el eléctrica es la integral de la corriente con respecto al carga es el coulomb (C). Un coulomb es la cantidad n un segundo por una corriente de un ampere; esto es, Coulomb = ampere-segundo En unidades métricas, un coulomb es la cantidad de carga que experimenta una fuerza de un newton en un campo eléctrico de un volt por metro o Coulomb = newton-metro/volt

Corriente La corriente se refiere a la razón de cambio del flujo de carga. La unidad de corriente es el ampere. Si una carga de dq coulombs cruza un área dada en dt segundos, entonces la corriente i es Así pues, en una corriente de un ampere, la carga es transferida a razón de un coulomb por segundo o Ampere = coulomb/segundo

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Fuentes de corriente y fuentes de voltaje

Por fuente de corriente se entiende una fuente de energía que produce un valor específico de corriente, usualmente como función del tiempo. Esta es capaz de suministrar una corriente específica independientemente del voltaje a través de la fuente. Si un generador suministra la corriente en forma casi independiente del circuito conectado, se trata de un generador de corriente.

Elementos resistivos La resistividad Se define como el cambio en voltaje requerido para producir un cambio unitario en la corriente

Elementos capacitivos. Dos conductores separados por un medio no conductor (aislante o dieléctrico) forman un capacitor. De modo que dos placas metálicas separadas por un material eléctrico muy delgado forman un capacitor. La capacitancia se define como el cambio en la cantidad de carga eléctrica requerido para producir un cambio unitario en el voltaje

Elementos inductivos Alrededor de una carga en movimiento o corriente hay una región de influencia que se llama campo magnético. Si el circuito se encuentra en un campo magnético variante con respecto al tiempo, se induce una fuerza electromotriz en el circuito.

Características de los Sistemas Eléctricos

1. Todo circuito eléctrico está formado por una fuente de energía (tomacorriente), conductores

(cables), y un receptor que transforma la electricidad en luz (lámparas),en movimiento (motores),

en calor (estufas).

2. Para que se produzca la transformación, es necesario que circule corriente por el circuito.

3. Este debe estar compuesto por elementos conductores, conectados a una fuente de tensión o

voltaje y cerrado.

4. Los dispositivos que permiten abrir o cerrar circuitos se llaman interruptores o llaves.

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Sistemas hidráulicos

Las propiedades del fluido hidráulico tienen un efecto importante en el funcionamiento de los sistemas hidráulicos. Además de servir como un medio para la transmisión de potencia, el fluido hidráulico debe mantener al mínimo el desgaste de las partes móviles proveyendo una lubricación satisfactoria. Los sistemas hidráulicos son capaces de producir muchas combinaciones diferentes de movimiento y fuerza. Sin embargo, en esencia son lo mismo, independientemente de su aplicación. Tales circuitos están formados por cuatro componentes básicos: un depósito para guardar el fluido hidráulico, una bomba o unas bombas para forzar al fluido a través del circuito, válvulas para controlar la presión del fluido y un actuador o unos actuadores para convertir la energía hidráulica en energía mecánica para hacer el trabajo. Una unidad de potencia hidráulica incluye componentes tales como un depósito, filtros, un motor eléctrico para impulsar una bomba o unas bombas y una válvula de control de presión máxima. El depósito, que funciona como fuente de fluido hidráulico, debe ser lo suficientemente grande para almacenar el mayor volumen de líquido que el sistema pueda necesitar. Además, debe estar completamente cerrado con objeto de mantener el fluido limpio. Con frecuencia, el motor eléctrico, la bomba y las válvulas están montados sobre el depósito. Para remover partículas extrañas del fluido hidráulico, se utilizan rejillas, filtros y bujías magnéticas, asegurando de ese modo la larga vida y el funcionamiento sin dificultades del sistema hidráulico. (Las bujías magnéticas localizadas usualmente en el depósito atraparán las partículas de fierro o

acero del fluido hidráulico .)

Sistema hidráulico

Ventajas y desventajas de los sistemas hidráulicos

Hay ciertas ventajas y desventajas en el uso de los sistemas hidráulicos más notables que en otros sistemas. Algunas de las ventajas se enlistan a continuación.

El fluido hidráulico actúa como lubricante, además de transportar el calor generado en el sistema hasta un intercambiador de calor conveniente.

Los actuadores hidráulicos de tamaño comparativamente pequeño pueden desarrollar grandes fuerzas o pares.

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Los actuadores hidráulicos tienen una mayor velocidad de respuesta con arranques, paros e inversiones de la velocidad rápidos.

Los actuadores hidráulicos pueden operarse sin dañarse en condiciones continuas, intermitentes, inversoras y de paro.

La disponibilidad de actuadores lineales y rotatorios ofrece flexibilidades en el diseño. Por otra parte, existen varias desventajas que tienden a limitar su uso.

La potencia hidráulica no esta tan fácilmente disponible comparada con la potencia eléctrica.

El costo de su sistema hidráulico puede ser mayor que un sistema eléctrico semejante que realice una función similar.

Existen riesgos de fuego y explosión a menos que se usen fluidos a prueba de incendio. En vista de que es difícil mantener un sistema hidráulico libre de escurrimientos, el sistema

tiende a ser sucio. El aceite contaminado puede causar fallas en el funcionamiento correcto de un sistema

hidráulico. Como resultado de la no linealidad y otras características complejas involucradas, el disefio

de sistemas hidráulicos complicados es muy comprometedor. Los circuitos hidráulicos generalmente tienen características de amortiguamiento limitadas.

Si un circuito hidráulico no está diseñado correctamente, pueden ocurrir o desaparecer algunos fenómenos de inestabilidad, dependiendo de las condiciones de operación.

Sistema neumático

Los sistemas neumáticos son sistemas de fluido que utilizan el aire como el medio para la transmisión de señales y de potencia. (Aunque el fluido más común en estos sistemas es el aire, otros gases pueden usarse del mismo modo.) Los sistemas neumáticos se usan extensamente en la automatización de maquinaria de producción y en el campo de los controladores automáticos. Las fuerzas neumáticas realizan diferentes funciones (empujan, jalan, atrapan) como en los polipastos neumáticos, las herramientas neumáticas, los dedos neumáticos y dispositivos similares.

Colchón de aire

El uso del aire en las industrias puede clasificarse de la siguiente manera.

Control Automático l . Se utiliza el oxígeno del aire. (Sistemas de combustión) 2. Se utiliza el flujo del aire relativo. (Aeroplanos, paracaídas, etc.) 4. Se utiliza la energía del aire comprimido. (Frenos de aire, herramientas de aire comprimido, etc.) 5. Se utiliza la compresibilidad del aire. (Colchones de aire) 6. Uso de ciertos fenómenos debidos al flujo del aire. (Fluídicos)

Elementos de un sistema neumático

Cilindro neumático Los cuales convierten la energía neumática en engergía mecánica, pueden dividirse en dos tipos: El cilindro neumático (para movimiento lineal) y el motor neumático (para movimiento rotatorio continuo). Los actuadores neumáticos más comúnmente usados caen dentro del grupo de cilindro.

Válvulas de control de flujo.

Las razones de flujo pueden ser controladas por la válvula de control de flujo, las cuales vienen en forma de válvulas de movimiento vertical, válvula de aguja, etcétera.

Motores neumáticos.

Hay dos clases de motores neumáticos, los de pistón y los de aspa. Al suministrar aire comprimido a los tres cilindros en el orden apropiado, el cigüeñal puede hacerse girar en la dirección deseada. Tal motor neumático del tipo de pistón gira a baja velocidad pero tiene un gran par de salida.

Cilindros neumáticos.

Los cilindros neumáticos pueden clasificarse como los del tipo de pistón, del tipo de émbolo sumergido (ariete) y del tipo de fuelle. Los cilindros del tipo de fuelle no tienen partes en rozamiento, pero deben ser de carrera corta con gran diámetro.

Cilindro tipo pistón

Cilindro tipo embolo sumergido

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Filtros y lubricadores neumáticos.

El mayor problema en los sistemas neumáticos es el mantenimiento del suministro de aire limpio y seco a presión constante. La humedad, los líquidos corrosivos o las partículas extraidas arrastradas al sistema neumático por el suministro de aire pueden causar problemas. A medida que el aire se comprime, la temperatura se eleva y la humedad relativa disminuye. Cuando el aire comprimido es enfriado por un postenfriador del compresor y la humedad relativa se eleva, la humedad se condensará en el tanque de almacenamiento.

Sistema de filtros y lubricadores en un sistema neumático

Actuadores neumáticos.

Los actuadores neumáticos, los cuales convierten la energía neumática en energía mecánica, pueden dividirse en dos tipos: el cilindro neumático (para movimiento lineal) y el motor neumático (para movimiento rotatorio continuo). Los actuadores neumáticos más comúnmente usados caen dentro del grupo de cilindro.

Sistemas Mecánicos

Un sistema mecánico es un conjunto de elementos dinámicamente relacionados, que permiten producir, transmitir, regular o modificar movimiento. Cada operador cumple una función específica dentro del sistema. Cuando aparecieron las primeras máquinas, todas se basaban en sistemas mecánicos los cuales utilizaba la energía de los músculos de los seres humanos para ser maniobradas. Posteriormente

aparecieron otras formas de energía que ayudaron a generar movimiento para que pudieran ser operados estos mecanismos como la energía térmica proveniente del carbón y la energía eléctrica. Algunos ejemplos serían los relojes mecánicos, los ascensores, los trenes, las grúas, entre otros.

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Sistema mecánico: masa-resorte

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Conceptos básicos de un sistema mecánico Masa La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que contiene, la cual se supone constante. Físicamente, la masa es la propiedad de un cuerpo que da su inercia; esto es, la resistencia a arrancar y parar. Un cuerpo es atraído por la Tierra y la magnitud de la fuerza que la Tierra ejerce sobre él se llama peso.

Fuerza La fuerza puede definirse como la causa que tiende a producir un cambio en el movimiento de un cuerpo sobre el que actúa. Con objeto de mover un cuerpo debe aplicársele una fuerza. Hay dos tipos de fuerza capaces de actuar sobre un cuerpo: fuerzas de contacto y fuerzas de campo. Las fuerzas de contacto son aquellas que se establecen en contacto directo con el cuerpo, en tanto que las fuerzas de campo, tales como la fuerza gravitacional y la fuerza magnética, actúan sobre el cuerpo, pero no se ponen en contacto con él.

Par o momento de fuerza.

El par o momento de fuerza, se define como cualquier causa que tienda a producir un cambio en el movimiento rotacional de un cuerpo sobre el cual actúa. El par es el producto de una fuerza y la distancia perpendicular desde un punto de rotación a la línea de acción de la fuerza.

Cuerpo rígido

Cuando se acelera un cuerpo real, se tienen presente siempre deflexiones elásticas internas. Si estas deflexiones internas son despreciables por su relativa pequeñez respecto al movimiento total del cuerpo entero, el cuerpo se denomina cuerpo rígido.

Radio de giro

El radio de giro de un cuerpo rígido con respecto a un eje es una longitud k, la cual, cuando se eleva al cuadrado se multiplica por la masa m del mismo es igual al momento de inercia J del cuerpo con respecto al mismo eje de inercia, o bien:

Desplazamiento, velocidad y aceleración.

El desplazamiento x es un cambio en la posición desde un punto a otro en un marco de referencia. La velocidad v es la derivada con respecto al tiempo del desplazamiento o:

Control Automático La aceleración a es la derivada con respecto al tiempo de la velocidad o:

Segunda ley de Newton (del movimiento traslacional).

Para un movimiento traslacional, la segunda ley de Newton dice que la aceleración de cualquier cuerpo rígido es directamente proporcional a la fuerza que actúe sobre él e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Esto es:

Donde a es la aceleración resultante en esa dirección. La línea de acción de la fuerza que actúa sobre una masa debe pasar a través del centro de la masa.

Análisis de la respuesta de la respuesta transitoria y en estado

estacionario

Función tipo Escalón

Una señal de entrada del tipo escalón permite conocer la respuesta del sistema frente a cambios abruptos en su entrada. Así como también nos da una idea del tiempo de establecimiento de la señal, es decir, cuanto se tarda el sistema en alcanzar su estado estacionario. Otra de las características de esta señal es que producto de la discontinuidad del salto, contiene un espectro de frecuencia en una amplia banda lo cual hace que sea equivalente a aplicar al sistema una gran

cantidad de señales sinodales con un intervalo de frecuencias grande.

Matemáticamente, esta señal se expresa como: .

Donde:

u(t):escalón unitario; A: constante

Por lo general la respuesta escalón de un sistema se puede obtener si se satisfacen las siguientes condiciones

El estado inicial del sistema sea nulo La entrada o excitación externa aplicada al sistema es una función escalón

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Forma general de una respuesta tipo escalón

Función tipo Rampa

Esta señal permite conocer cual es la respuesta del sistema a señales de entrada que cambian linealmente con el tiempo.

Matemáticamente se representa como: .

Donde:

t:tiempo; A: constante

La función rampa puede ser sujeta a alas siguientes operaciones:

Multiplicación por una constante arbitraria Desfasamiento en el tiempo Suma algebraica de funciones rampa

También se le puede aplicar los siguientes operadores

Derivación Integración Transformación

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Forma general de una salida tipo rampa

Función tipo Impulso

La función impulso es la de mayor importancia y frecuentemente en el estudio de los sistemas dinámicos, puesto que a partir de ésta se deriva el concepto de función de transferencia.

La función de impulso se interpreta como un pulso de duración muy pequeña con la condición de que el área de este puso sea unitario. La función impulso se puede obtener como:

Su representación gráfica es:

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Representación gráfica de una función impulso

La función impulso, al igual que las funciones escalón y rampa, puede ser sujeta a operaciones como

Multiplicación por una constante arbitraria Desfasamiento en el tiempo

También se le puede aplicar los siguientes operadores:

Derivación Integración Transformación

Unidad III: Estabilidad de los sistemas de control

Estabilidad

El concepto de estabilidad juega un papel importante en el análisis y diseño de los sistemas dinámicos, esto se debe principalmente a que la respuesta producida por el sistema esta íntimamente ligado con la estabilidad del mismo. Para un sistema realizable (físicamente) n tiene que ser mayor que m. La función de transferencia del sistema se puede expresar de la siguiente forma:

En general la estabilidad de un sistema depende directamente dela naturaleza que tengan las raíces que satisfacen al polinomio:

Las raíces que satisfacen la ecuación pueden en general ser reales o complejas, por lo tanto, es necesario establecer las restricciones que deben tener estas raíces para saber si el sistema es o no estable. Una condición necesaria para que el sistema sea estable es que la parte real de las raíces

Control Automático sean negativas, de esta manera es posible distinguir o delimitar las zonas de estabilidad en el plano complejo.

Diagrama de el lugar geométrico de los polos y ceros

Patrón de polos y ceros (lugar geométrico de las raíces) Una manera cualitativa para analizar la estabilidad de un sistema dinámico es a partir de los patrones de polos y ceros.

Esos patrones son: 1. Los sistemas con polos o ubicados en el semiplano izquierdo, es decir, raíces con parte real negativa que están ubicados la parte izquierda del plano complejo son estables. 2. Los sistemas con polos ubicados sobre el eje imaginario, es decir, raíces con la parte real igual a cero son críticamente estables.

3. Los sistemas con polos ubicados en los semiplanos izquierdo y derecho, es decir, con parte real negativa y real positiva, sin inestables Sin embargo no siempre es posible tener el patrón de polos y ceros del sistema, por lo que es necesario contar con alguna técnica mediante la cual se pueda analizar de forma rápida y sencilla la estabilidad de un sistema. Criterios de estabilidad

Existen criterios y procedimientos sistemáticos par analizar la estabilidad de sistemas dinámicos, entre los que destacan:

Trazas polares de Nyquist Trazas logarítmicas de Bode

Criterio de estabilidad de Routh Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz

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Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz

El teorema de Routh–Hürwitz sirve para comprobar la estabilidad de los sistemas dinámicos.

Tal criterio busca las raíces del denominador de la función de transferencia del sistema y las coloca en el semiplano izquierdo o derecho, determinando así la estabilidad del mismo. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable.

Este criterio solo vale si la función de transferencia del sistema está en lazo cerrado, si no lo esta, hay que realimentarlo haciendo:

Procedimiento: Dado el sistema:

Donde G(s) es la ecuación característica de un sistema.

El número de cambios de signo de: an, an-1, α1, β1, …, γ1, δ1 (primera columna resultante del criterio de Routh – Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Si todos los elementos tienen el mismo signo, el sistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema será asintóticamente inestable. Como está indicado arriba, tendremos tantos polos en el semiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.

El número de cambios de signo de: an, an-1, α1, β1,…, γ1, δ1 (primera columna resultante del criterio de Routh – Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Si todos los elementos tienen el mismo signo, el sistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema será asintóticamente inestable. Como está indicado

Control Automático arriba, tendremos tantos polos en el semiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 2´8, -2´57, 2, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.

Lugar Geométrico de las raíces

En este método se representan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. La idea básica detrás del método de lugar de las raíces es que los valores de S que hacen de la función de transferencia alrededor del lazo sea igual a -1 deben de satisfacer

la ecuación característica del sistema. El lugar geométrico de las raíces es la representación grafica de los polos en lazo cerrado cuando varia un parámetro de un sistema. También se define como un método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria. Este método es una técnica grafica que nos da la descripción cualitativa del sistema cuando se

cambian varios parámetros, y herramienta cuantitativa, que proporciona más información que otros métodos. Además el lugar geométrico de las raices proporciona gráficamente márgenes de estabilidad e inestabilidad y la relación entre ambas. El lugar geométrico de las raíces muestra los cambios en la respuesta transitoria cuando la ganancia K, varia.

Para trazar el lugar geométrico de las raíces, se basa en las siguientes reglas: 1. Numero de ramas.- es la trayectoria que recorre un polo, por lo tanto habrá una rama para cada polo en lazo cerrado, el numero de ramas es igual al numero de polos en lazo cerrado. 2. Simetría.- el LGR de las raíces es simétrico alrededor del eje real. Cuando no existen polos complejos en lazo cerrado en pares conjugados.

Control Automático 3. Segmentos del eje real.- sobre el eje real, para K>0, el LGR existe a la izquierda de un numero impar de polos finitos en lazo abierto, sobre el eje real, y/o ceros finitos en lazo abierto. 4. Puntos de inicio y fin.- El LGR comienza en los polos finitos e infinitos de G(s)H(s) y termina en los ceros finitos e infinitos de G(s)H(s).

Ejemplo de una ecuación analizada con el método del lugar geométrico de las raíces