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Funciones Zeta Locales

EDWIN LEÓN CARDENAL

1o de Diciembre, ENJIM15

Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 1 / 12

DefiniciónDado f (x1, . . . , xn) ∈ Z[x1, . . . , xn], consideramosNk := #{ soluciones de f (x) ≡ 0 m«od pk} para k ≥ 1 con N0 = 1.

Ejemplof (x , y) = y − xm, m < p

N0 = 1N1 = pN2 = p2

...Nk = pk

N0 = 1N1 = p

N2 = p2

...Nk = pk

N0 = 1N1 = pN2 = p2

Nk = pk

N0 = 1N1 = pN2 = p2

...Nk = pk

Más ejemplos

Ejemplo

f (x , y) = y2 − x3

N0 = 1N1 = p vía(t2, t3)

N2 = p(2p − 1)N3 = p2(2p − 1)N4 = p3(2p − 1)N5 = p4(2p − 1)

N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)

N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)

N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)

Más ejemplos

Ejemplo

f (x , y) = y2 − x3

N0 = 1N1 = p vía(t2, t3)N2 = p(2p − 1)N3 = p2(2p − 1)N4 = p3(2p − 1)N5 = p4(2p − 1)

N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)

N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)

N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)

Más ejemplos

Ejemplo

f (x , y) = y2 − x3

N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)

N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)

N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)

Más ejemplos

Ejemplo

f (x , y) = y2 − x3

N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)

N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)

N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)

Más ejemplos

Ejemplo

f (x , y) = y2 − x3

N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)

N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)

N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)

Definición

Pf (t) =∞∑

Nkp−nk tk .

Notemos que esta serie converge absolutamente para |t | < 1.

Ejemplo

1 f (x , y) = y − xm, Pf (t) =∞∑

k=0pkp−2k tk =

∞∑k=0

( tp )

k = 11−t/p = p

2 f (x , y) = y2 − x3, Pf (t) =p6+(p4−p3)t2−t6

(p−t)(p5−t6)

Conjetura (Borevich y Shafarevich, 1964)Para cualquier f como arriba, Pf (t) es una función racional de t.

Definición

Pf (t) =∞∑

Nkp−nk tk .

Ejemplo

1 f (x , y) = y − xm, Pf (t) =∞∑

k=0pkp−2k tk =

∞∑k=0

( tp )

k = 11−t/p = p

2 f (x , y) = y2 − x3, Pf (t) =p6+(p4−p3)t2−t6

(p−t)(p5−t6)

Definición

Pf (t) =∞∑

Nkp−nk tk .

Ejemplo

1 f (x , y) = y − xm, Pf (t) =∞∑

k=0pkp−2k tk =

∞∑k=0

( tp )

k = 11−t/p = p

2 f (x , y) = y2 − x3, Pf (t) =p6+(p4−p3)t2−t6

(p−t)(p5−t6)

DefiniciónLa función zeta local asociada af (x) = f (x1, . . . , xn) ∈ Zp[x1, . . . , xn] \ Zp es

Z (s, f ) :=∫Zn

|f (x)|sp dnx , Re(s) > 0.

Teorema (Igusa, 1974)Sea f (x) = f (x1, . . . , xn) ∈ Qp[[x1, . . . , xn]]. Entonces existe un númerofinito de parejas (NE , vE) ∈ (N \ {0})2, E ∈ T , tales que∏

(1− pvE−sNE )Z (s, f )

es un polinomio en p−s con coeficientes racionales.

DefiniciónLa función zeta local asociada af (x) = f (x1, . . . , xn) ∈ Zp[x1, . . . , xn] \ Zp es

Z (s, f ) :=∫Zn

|f (x)|sp dnx , Re(s) > 0.

Teorema (Igusa, 1974)Sea f (x) = f (x1, . . . , xn) ∈ Qp[[x1, . . . , xn]]. Entonces existe un númerofinito de parejas (NE , vE) ∈ (N \ {0})2, E ∈ T , tales que∏

(1− pvE−sNE )Z (s, f )

es un polinomio en p−s con coeficientes racionales.

‘Complex Powers’

Sean f ∈ R[x1, . . . , xn] \ R y φ ∈ C∞0 (Rn). Para un número complejo scon Re(s) > 0, la función zeta local asociada a (f , φ) es

Zφ(s, f ) =∫Rn

|f (x)|s φ(x) dx .

Esta función (de s) está bien definida y la aplicación s → Z_(s, f ) esholomorfa en {s ∈ C ; Re(s) > 0} con valores en el espacio dedistribuciones sobre Rn.

Conjetura (Gelfand ~’50)Zφ(s, f ) admite una extensión meromorfa a todo C.

Zφ(s, f ) =∫Rn

|f (x)|s φ(x) dx .

Zφ(s, f ) =∫Rn

|f (x)|s φ(x) dx .

Solución 1: Resolución de Singularidades

1 La idea es utilizar una resolución de singularidades de f , es decir,un morfismo π : Y → Rn que es propio y birracional, con Y nosingular, y de tal manera que en coordenadas locales en Y , f y el‘pullback’ de dx son monomiales.

2 Luego usamos la fórmula de cambio de variable para reducir elcómputo de la integral Zφ(s, f ) hasta integrales de monomios.

Teorema (Bernstein & Gel’fand (’69) – Atiyah(’70))Zφ(s, f ) admite una continuación meromorfica a todo C. Cada polo esde la forma

−ki + Nai

para algunos enteros ki ,ai que provienen de la resolución desingularidades de f = 0.

Solución 1: Resolución de Singularidades

1 La idea es utilizar una resolución de singularidades de f , es decir,un morfismo π : Y → Rn que es propio y birracional, con Y nosingular, y de tal manera que en coordenadas locales en Y , f y el‘pullback’ de dx son monomiales.

2 Luego usamos la fórmula de cambio de variable para reducir elcómputo de la integral Zφ(s, f ) hasta integrales de monomios.

Teorema (Bernstein & Gel’fand (’69) – Atiyah(’70))Zφ(s, f ) admite una continuación meromorfica a todo C. Cada polo esde la forma

−ki + Nai

para algunos enteros ki ,ai que provienen de la resolución desingularidades de f = 0.

Un invariante de f

El umbral log-canónico de f está definido en términos de unaresolución de singularidades por

lct(f ) := m«ıni

ki + 1ai

donde se toma el mínimo sobre todas las ‘cartas locales’ en Y .

CorollaryZφ(s, f ) es holomorfa en la región {s ∈ C ; Re(s) > −lct(f )}.

NotaHay muchos otros invariantes de f que se pueden definir en términosde (o están vinculados con ) los polos de Zφ(s, f ) !

Un invariante de f

El umbral log-canónico de f está definido en términos de unaresolución de singularidades por

lct(f ) := m«ıni

ki + 1ai

donde se toma el mínimo sobre todas las ‘cartas locales’ en Y .

CorollaryZφ(s, f ) es holomorfa en la región {s ∈ C ; Re(s) > −lct(f )}.

NotaHay muchos otros invariantes de f que se pueden definir en términosde (o están vinculados con ) los polos de Zφ(s, f ) !

Solución 2:Teoría Algebraica de OperadoresDiferenciales

Teorema (Bernstein ’72)Existe un polinomio b(s) no cero en la variable s que satisface larelación

b(s)f s = P(s, x , ∂x) · f s+1,

para f ∈ C[x1, . . . , xn] y P(s, x , ∂x) ∈ C[s, x , ∂x ], donde · se entiendecomo la acción de P sobre f s+1.

Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).

2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.3 Funciones zeta topológicas y motívicas.4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de las

singularidades de polinomios y/o funciones analíticas.

Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.

3 Funciones zeta topológicas y motívicas.4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de las

Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.3 Funciones zeta topológicas y motívicas.

4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de las

Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.3 Funciones zeta topológicas y motívicas.4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.

5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de lassingularidades de polinomios y/o funciones analíticas.

Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.3 Funciones zeta topológicas y motívicas.4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de las

Algunas Generalizaciones1 f ! f := (f1, . . . , f`) : K n → K ` y K arquimediano.

—–, W. Veys & W.A. Zúñiga Galindo. Poles of Archimedean ZetaFunctions for Analytic Mappings. J. London Math. Soc. 87(2013), 1–21.

2 K un campo p−ádico.I —-, & Zúñiga-Galindo W.A., Local Zeta Functions for

Non-degenerate Laurent Polynomials Over p−adic Fields. J.Math. Sci. Univ. Tokyo 20(1) (2013), 1–27.

I —-, Ibadula D., & Segers D., Poles of the Igusa zeta function ofsome hybrid polynomials. Finite Fields Appl. 25 (2014), 37–48.

2 K un campo p−ádico.

I —-, & Zúñiga-Galindo W.A., Local Zeta Functions forNon-degenerate Laurent Polynomials Over p−adic Fields. J.Math. Sci. Univ. Tokyo 20(1) (2013), 1–27.

Figura: Gracias!

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