funciones y escala -...

FUNCIONES Y ESCALAS

4.1. Relaciones matemáticas

Muchas de las leyes de la ciencia física son mas útiles cuando se expresan mediante

relaciones matemáticas, las cuales muestran como una cosa que podemos medir

depende de otras cosas que, así mismo, pueden ser medidas. En esta sección

estudiaremos algunas de estas relaciones.

Proporción directa

Una de las relaciones más simples entre dos cantidades es llamada proporción directa.

Observemos, por ejemplo, la relación entre el volumen de un pedazo de hierro y su peso. Si

efectuamos mediciones en varios pedazos de hierro, hallamos que un pie cúbico pesa 440

lbs, dos pies cúbicos pesan 880 lbs, tres pies cúbicos pesan 1320 lbs, y así sucesivamente.

Esta clase de relación, en la cual al doblar el volumen se dobla de peso, al triplicar el

volumen se triplica el peso, etc., es conocida con el nombre de proporción directa. Usted

encontrará muchos casos de proporción directa en física. Por tanto, es necesario entender

las distintas maneras de escribir esta relación. Podemos decir que el peso “es proporcional”

al volumen del hierro, o que el peso “varía directamente con” el volumen del hierro. Ambas

expresiones significan la misma cosa: a doble volumen, doble el peso por diez veces el

volumen, diez veces el peso, así sucesivamente. Podemos escribir esta relación en la forma

más concisa

VWα

Donde W es el peso del pedazo del hierro, V su volumen, y el símbolo α significa: “es

proporcional a”. Si tenemos dos volúmenes diferentes de hierro V y ´V , el hecho de que

su peso W y ´W sean proporcionales a sus volúmenes puede ser también expresado como:

VV

WW ´´ =

VWα es exactamente otra manera de escribir este principio.

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y ARTES FACULTAD DE EDUCACIÓN EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LA FÍSICA

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Otra formula útil de esta relación expresa el hecho de que cuando el peso y el volumen

están relacionados por proporción directa, ellos tienen una razón constante. Si dividimos el

peso de una muestra de hierro por su volumen, el resultado será el mismo que el obtenido al

dividir el peso de cualquier otra muestra por su volumen.

kVW

VW

muestraotrademuestraunade

=

=

´´

La razón constante se denomina “constante de proporcionalidad”. En nuestro ejemplo del

hierro, cubico. piepor .440 lbsk = Esta razón la podemos expresar con una ecuación

valida para cualquier pedazo de hierro:

kVW = o ´´ kVW =

Observe que esta expresión es muy semejante a la relación VWα . En realidad, si no

conocemos el valor numérico de k las dos quieren decir exactamente la misma cosa. Pero

cuando k es conocido, kVW = nos dice más; ella es la ecuación que nos da la relación

numérica entre W y V ..

Esta relación entre peso y el volumen del hierro puede ser ilustrada mediante una gráfica.

Debemos escoger escalas: una para la dirección vertical, en el cual se indicará algún

número de libras por cada división vertical del papel; y una para la dirección horizontal en

el cual se indicará el volumen en pies cúbicos. Podemos marcar ahora en un punto sobre la

gráfica para cada uno de los pares de valores que conocemos.

Volumen Peso

1 pie³. 440 lbs.

2 pies³. 880 lbs.

3 pies³. 1320 lbs.

La gráfica resultante es la línea recta que aparece en la figura 4.1. En ella se muestran dos

valores de V y los correspondientes de W . Mediante la semejanza de triángulos usted

puede ver que la razón VW es la misma en ambos casos. Una gráfica así presenta


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visualmente el significado de la ecuación kVW = . Se dice que ella representa esta

ecuación. Todas las proporciones directas están representadas gráficamente por líneas

rectas, tales como la que hemos dibujado. Diferentes líneas rectas o escalas verticales,

corresponden a distintos valores de la constante de proporcionalidad, k.

Figura 4.1. Representación gráfica de una proporción gráfica. ¿Si el peso de un pie2 de hierro fuera menor, la gráfica sería más pendiente? ¿O menos pendiente?

Variación de la segunda y tercera potencia. Figuras semejantes.

Otro tipo de relación ocurre cuando una cantidad varia como el cuadrado de otra. Por

ejemplo, el área A de un cuadrado de lado L es igual a 2L :

2LA = )1( =k

Si L está medido en metros, el área A estará dada en metros cuadrados (m²). Igualmente,

el área A de un circulo de radio R está dada por:

2RA π= )( π=k

Cada una de estas ecuaciones muestra que una cantidad, un área, varia con el cuadrado de

otra, una longitud.

Todos los círculos son figuras semejantes: todos tienen la misma forma. Ellos son sólo

copias, aumentadas o reducidas, unos de otros. También todos los cuadrados son figuras

semejantes. Pero ellos no son las únicas figuras semejantes. Toda clase de figuras pueden


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hacerse en copias aumentadas o reducidas. Las dos áreas de forma irregular de la fig. 4.2.

son semejantes. Una de ellas fue hecha aumentado la otra hasta que cada dimensión lineal

resultó triplicada. Usted puede comprobar este hecho viendo que los lados de cada

cuadrado del área mayor son exactamente tres veces más grandes que los lados de los

cuadrados correspondientes del área pequeña. Esto significa que cada cuadrado del área

grande tiene exactamente nueve veces el área del cuadrado pequeño correspondiente. El

área total de la figura grande es, por consiguiente, también nueve veces más grande que la

pequeña. Exactamente como en el caso de los círculos y los cuadrados, las áreas de

cualesquiera figuras semejantes varían como el cuadrado de una dimensión lineal. Cuando

la dimensión lineal se multiplica por tres, el área multiplicada por nueve. Por consiguiente,

para figuras semejantes se tiene en general,

2LAα

Figura 4.2. Estas dos figuras son semejantes; cada dimensión lineal de la figura más grande es un múltiplo de la dimensión correspondiente de la más pequeña. En este caso las dimensiones de la figura más grande son tres veces las de la más pequeña. Usted puede comprobar esto midiendo cuadrados correspondientes

Nótese que no importa que dimensión lineal tome usted para L , siempre y cuando usted

use la medida correspondiente para todas las figuras semejantes que esta comparando. Por

ejemplo, para un cuadrado puede usar la diagonal, lo mismo que el lado de un cuadrado es

n veces más largo que el de otro, las diagonales están en la misma razón. El área del

primer cuadrado es 2n veces más grande que la del segundo. La misma cosa se aplica a las

longitudes correspondientes en cualquier par de figuras semejantes. (Vea la figura 4.3).


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Figura 4.3. Puesto que estas dos figuras son semejantes, la razón de sus áreas es igual a la razón de los

cuadrados de dos dimensiones cualesquiera correspondientes. Aquí, puesto que L´ es el doble de L (M´

también es el doble de M). El área de la figura más grande es cuatro veces el área de la más pequeña.

Algunas figuras que tienen el mismo nombre pueden no ser semejantes. Por ejemplo no

todos los rectángulos son semejantes. Podemos tener dos rectángulos con la misma base b

pero diferentes alturas h . El área esta dada por el producto bhA = . Aunque tales

ejemplos son diferentes de los de figuras semejantes, ellos tienen en común el hecho el

hecho de que el área está siempre medida en unidades del cuadrado de una longitud. Si

usamos el metro como la medida de todas las longitudes, las áreas estarán especificadas en

metros cuadrados.

Así como todas las áreas son el producto de dos longitudes, todos los volúmenes son el

producto de tres dimensiones lineales. De nuevo debemos distinguir entre figuras sólidas

como los cilindros, que pueden tener la misma base y diferentes alturas, y conjuntos de

figuras semejantes, como esferas y cubos, en las cuales cada dimensión lineal está

aumentada o disminuida por el mismo factor. Para figuras sólidas semejantes, cuando las

dimensiones lineales se multiplican por el factor n , los volúmenes son multiplicados por el

factor 3n , una n para cada dimensión lineal. Por ejemplo el volumen de una esfera es

3

34 RV π=

Donde R es su radio. De aquí que una esfera de radio nRR =´ tenga un volumen:


6

Vn

Rn

RV

3

33

3

34

´34´

=

=

=

π

π

Esto es precisamente en ejemplo particular de la regla general: la razón de los volúmenes

de los sólidos semejantes es el cubo de la razón de sus dimensiones lineales. Compruebe

usted mismo para cubos o para sólidos de alguna forma curiosa que usted haya construido.

Una buena manera es construir una figura de bloques o ladrillos y luego hallar la razón

entre el número de ladrillos que usted debe usar para construir un sólido semejante con

cada dimensión lineal dos veces más grande. Hallará que necesita 8 veces, - esto es, 2³ -, el

número original de ladrillos.

Ecuaciones, representación gráfica; Leyes de potenciación; funciones.

Para figuras semejantes especiales, tales como cuadrados o círculos, podemos hacer algo más que mostrar la proporcionalidad del área con las dimensiones lineales: 2LAα . Podemos escribir ecuaciones incluyendo la constante de proporcionalidad: 2LA = para el cuadrado, y 2RA π= para el círculo. Exactamente como pudimos representar por una gráfica la ecuación kVW = , así mismo podemos representar estas ecuaciones mediante otras gráficas. La relación entre la longitud de un lado y el área de un cuadrado, se muestra en la siguiente tabla:

Longitud del lado Area 1 metro 1 m² 2 metros 4 m² 3 metros 9 m² 4 metros 16 m²

En la fig.4.4. hemos usado los valores de esta tabla para dibujar la gráfica de 2LA = .

Puesto que la ecuación para las áreas de cualquier conjunto de figuras semejantes puede

escribirse siempre como 2kLA = , podemos usar la gráfica de la figura 4.4 como la relación

entre el área y la dimensión lineal para cualquier conjuntos de figuras semejantes. Todo lo

que tenemos que hacer es cambiar la escala vertical para ajustarla a los diferentes valores

de k. Por ejemplo, como 2RA π= para un circulo, podemos leer el radio sobre la escala

horizontal y el área sobre la vertical multiplicando por π cada lectura vertical.


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Figura 4.4. Representación gráfica del área de un cuadrado en función de la longitud de un lado. ¿Cómo puede usted utilizar esta gráfica para hallar el área de un cuadrado si conoce la longitud de un lado? ¿Cómo podría utilizarla para hallar la longitud de un lado conociendo el área?

Podemos hacer la misma clase de representación gráfica para los volúmenes de las figuras

semejantes. La tabla muestra unos pocos valores de la relación para el volumen de un cubo, 3LV = .

Longitud de una arista Volumen. 1 metro 1 metro³ 2 metros 8 metros³ 3 metros 27 metros³

Hemos usado estos valores para construir la gráfica de la fig. 4.5. De nuevo podemos usar

esta figura para todos los conjuntos de volúmenes semejantes ajustando la escala vertical

para el valor de k en 3kLV = . Por ejemplo, si leemos el radio de una esfera sobre la escala

horizontal, el volumen es π34 veces el número de la escala vertical.

Estas relaciones en las cuales una cantidad es proporcional a una potencia de otra, tal como

el cuadrado, cubo, etc., ocurren frecuentemente en física, ellas se denominan leyes de

potenciación. Además de la primera, segunda y tercera leyes de la potenciación , tales

como kVW = , 2kLA = , 3kLV = , las cuales hemos estudiado aquí, también hallamos leyes

del inverso de las potencias tales como 2LkI = , en donde vemos que la intensidad de la luz

es inversamente proporcional a la segunda potencia de la distancia a la fuente luminosa.

Discutiremos la relación del inverso de los cuadrados en la sección 4.3.


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Figura 4.5. Representación gráfica del volumen de un cubo en función de la longitud de su lado

Siempre que tengamos una relación entre los valores de una cantidad, en términos de los

valores de otra, tenemos lo que se denomina una función matemática. El área de un cuadro

es una función de la longitud de su lado, y el volumen de una esfera es una función de su

radio.

La idea de relación de funciones es muy general. Por ejemplo, la hora de llegada de un tren

a cualquier estación a lo largo de su ruta es una función de la posición de la estación a lo

largo de la línea. Un horario de trenes representa un conjunto de tales funciones para varios

trenes y rutas. Ecuaciones, tablas y gráficos, como lo hemos visto son todas ellas maneras

útiles de representar las funciones matemáticas. Los matemáticos han extendido las ideas

de función y relación mucho más allá de lo que hemos indicado aquí. Si usted esta

interesado, puede leer algunos de los libros de referencia citados al final del capitulo.

4.2 Interpolación y extrapolación.

Supongamos que medimos los volúmenes y los radios correspondientes de un número de

esferas y hacemos una gráfica con los resultados (volumen y radio). Mediante las

mediciones, estamos seguros de las posiciones de un número de puntos sobre está gráfica,

uno por cada esfera. Si a continuación unimos estos puntos por una línea de curvatura

suave, obtendremos una curva mediante la cual podemos hallar el volumen de una esfera de

cualquier radio, y no únicamente para los valores de los radios que hayamos medido. El


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proceso de obtener nuevos valores en esta gráfica, localizados entre los valores medios, se

denomina interpolación. Este proceso es significativo y útil cuando hay buenas razones

para creer que la curva es válida para los valores entre los puntos medios. De el se obtiene

información sobre puntos intermedios sin necesidad de hacer mediciones directas.

En el ejemplo de la relación entre volúmenes y los radios de las esferas, conocemos por la

ecuación 3

34 RV π= que el volumen cambia regularmente con el radio. Por este motivo es

razonable trazar una curva regular a través de unos pocos puntos medidos o calculados. Sin

embargo, cuando no se conoce la fórmula, dependemos únicamente de las mediciones

experimentales. Por consiguiente, el dibujar una curva regular manifiesta nuestro

convencimiento de que las cosas en la naturaleza cambian en forma regular. La

interpolación siempre lleva consigo un poco de riesgo. Aún si las cantidades cambian

regularmente, debemos obtener valores experimentales bastante cercanos unos de otros, si

queremos conocer cómo va la gráfica en una región donde se curva fuertemente. La

interpolación no se usa para las gráficas de funciones que no pueden ser representadas por

curvas regulares.

La extrapolación, que lleva la gráfica más allá del limite de los datos, es aun más

arriesgada. Aquí los errores pueden presentarse más fácilmente, pero así mismo es fácil

llegar a nuevos descubrimientos. Por ejemplo, los problemas encontrados por un avión al

romper la barrera del sonido, fueron previstos por extrapolación de las ecuaciones que

describen el comportamiento exacto de un avión a velocidades por debajo de la del sonido.

La extrapolación del comportamiento de los gases a temperaturas normales, conduce a la

idea de la temperatura más baja posible, el cero absoluto: pero la extrapolación de las

experiencias ordinarias nos conduce a resultados absurdos cuando se trata de objetos que

viajan con velocidad cercana a la de la luz.

En nuestros ejemplos de los volúmenes de una serie de esferas y de las áreas de los

cuadrados, la extrapolación podría ser tan segura como la interpolación, porque sabemos

que las ecuaciones son válidas según la Geometría de Euclides para esferas o cuadrados de

cualquier tamaño, inclusive los muy grandes. Pero los físicos han tenido que admitir que

no tienen pruebas ciertas para la validez de la Geometría de Euclides más allá de las


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distancias de las galaxias. Y, ciertamente, los físicos teóricos han inventado proposiciones

para cambiar las leyes de Euclides siempre que se trate de distancias enormes. Desde el

punto de vista de la física, la Geometría del Espacio está sujeta a experimentación. La

Geometría de Euclides puede nos ser una descripción exacta de nuestras mediciones si las

formas que estudiamos alcanzan en el tamaño muchos órdenes de magnitud. Naturalmente,

no cambiaremos nuestras descripciones a menos que ellos nos ofrezcan demasiados

problemas. En este curso nos servirá bastante bien la Geometría de Euclides.

4.3 Relación del inverso de los cuadrados.

Observe una hilera de las luces que iluminan las calles y que se extiende lejos de usted en la

distancia. Las lámparas son todas iguales –o sea que cada uno emite la misma cantidad de

la luz cada segundo -, pero la más cercana es para usted la que aparece más intensa. Si la

luz se extiende igualmente en todas las direcciones (lo cual es casi verdadero para una

lámpara de la calle, una estrella, y muchas otras fuentes), puede ser representada como se

muestra en la figura 4.6. aquí consideramos precisamente una porción de la luz que sale a

través de una especie de “pirámide” desde el punto P. A medida que la distancia de la

fuente aumenta, la luz se extiende sobre un área mayor y la luz aparece menos intensa. Esto

sugiere que la intensidad de la luz es inversamente proporcional al área sobre la cual incide

Figura 4.6. Relación del inverso del cuadrado. La luz procedente de un punto (P) se irradia en todas las direcciones. Puesto que al duplicar la distancia, la luz se dispersa para cubrir un área cuatro veces mayor, se deduce que ella tiene únicamente un cuarto de su intensidad. Así pues, cuando la distancia se duplica, la intensidad decrece a un cuarto, o la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.


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AI 1α

Donde I representa la intensidad y A el área. Por el momento vamos a suponer que esta

representación es valida para la luz. Más tarde estudiaremos las intensidades luminosas

experimentales.

Cada uno de los lados de los cuadrados en la fig. 4.6 es proporcional a su distancia a P. Por

consiguiente, el área de cada cuadrado es proporcional al cuadrado de esta distancia. Si

designamos tal distancia por d esto puede expresarse como

2dAα

Combinando esta relación con A

I 1α hallamos que 2

1d

Iα

Esta es la relación del inverso de los cuadrados, la cual indica para la luz, que la intensidad

es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la fuente.

En detalle, usted puede ver que 2

1d

Iα si recuerda que A

I 1α significa que ´

´AA

II = (1)

y que 2dAα significa que ( )2

2

´´ dd

AA = (2)

Así, combinando (1) y (2) da ( )2

2

´´

dd

II = (3)

Esto es lo mismo que 2

1d

Iα

Observe que la relación (3) es valida para una sola fuente a las distancias ´d y d . También

es válida para las dos fuente idénticas, una a la distancia ´d y otra a la distancia d . Por

ejemplo, supongamos que tenemos dos lámparas, las cuales denominamos 1 y 2, a

distancias diferentes 1d y 2d de un muro pintado de blanco, al cual ellas iluminan. Por

consiguiente sus intensidades en el muro están en la razón


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( )21

22

2

1

dd

II

=

Esta relación nos capacita para calcular la distancia a una lámpara si tenemos otra igual a

una distancia conocida. Por ejemplo, supongamos que una lámpara, situada a 10 metros

( 1d ) de distancia, de una intensidad que es 16 veces la de la lámpara idéntica situada alguna

distancia desconocida 2d . (Las células fotoeléctricas, los iluminómetros para cámaras de

fotografía y las placas fotográficas, pueden dar medidas exactas de intensidad relativa.

También el ojo puede darlas con la ayuda de una pantalla especial para hacer

comparaciones sobre ella).¿Cómo podemos encontrar 2d ?. Sabemos que 2

1

II es igual a 16

y conocemos que 1d es 10 metros.

( )2

22

2

1

1016

metrosd

II ==

Si resolvemos esta ecuación para 2d obtenemos:

metrosmetrosmetrosd 40104)10(16 22 =×=×=

Este es precisamente el método que nos permite conocer las distancias a las estrellas

lejanas, cuando esas distancias son demasiadas grandes para ser medidas mediante métodos

geométricos que utilizan el diámetro de la órbita terrestre como línea base. La medición es

hecha comparando la intensidad de la imagen débil de una estrella muy lejana sobre una

placa fotográfica, con la intensidad de una estrella cercana que parece emitir la misma

cantidad de luz. La cantidad es tal vez poco exacta, debido a que no sabemos si las dos

estrellas son realmente fuentes de igual intensidad de luz. Pero en esta forma aproximada

podemos ir mucho más allá de las posibilidades de los métodos de triangulación y, al

menos, determinar el orden de magnitud de las distancias a las estrellas más lejanas.

Podemos ver como trabaja la relación del inverso de los cuadrados, si la usamos para medir

la distancia de una estrella cercana, y comparamos nuestros resultados con la distancia

medida geométricamente. Hay una estrella apropiada para este fin, que es Alfa del centauro


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A. Juzgando por su color y su masa calculada, esta estrella es muy semejante al sol. Pero la

intensidad de iluminación del sol aquí en la tierra es 1110 veces mayor que la de Alfa de

Centauro A. Mediante la relación del inverso de los cuadrados obtenemos que la estrella

Alfa del Centauro A debe estar alrededor de 511 10310 ×= veces más lejos de nosotros

que el sol. Este se encuentra a metros11105,1 × metros de distancia, así que la estrella debe

estar a una distancia de alrededor de metros16105,4 × . Y estos es casi exactamente lo que

también nos indica una medición geométrica. En este caso la relación de los inversos de los

cuadrados se justifica por si misma como un método para medir las distancias. Cuando

aplicamos la relación de los inversos de los cuadrados a la medición de distancias de las

estrellas muy lejanas, nuestra confianza en el método se confirma porque concuerda con

otros métodos indirectos de medición.

Hemos sido capaces de hallar la distancia a una estrella mediante dos métodos, pero no

tengamos mucha esperanza de hallar el tamaño geométricamente. El ángulo subtendido a

nuestros ojos es demasiado pequeño para ser medido visualmente aún cuando se usen los

mejores instrumentos. Si la estrella es del mismo tamaño que el Sol, este ángulo es

aproximadamente de la misma magnitud que el ángulo que podía subtender una moneda de

10 centavos a una distancia de 300 kilómetros. Esta es casi la distancia de New York a

Washington. No tenemos por qué sorprendernos de que no puedan ser medidos

directamente los tamaños de las estrellas, aún a través de los telescopios más grandes.

La relación del inverso del cuadrado nos proporciona un medio nuevo y eficaz para medir

grandes distancias. Muchas otras relaciones matemáticas pueden ser utilizadas en física

para indicarnos hechos acerca del mundo físico. Con frecuencia éstos no aparecen muy

relacionados con los experimentos que dieron origen a tales funciones matemáticas. Hemos

introducido aquí la del cuadrado inverso para ilustrar el uso de esas relaciones en física, no

para discutir la naturaleza de la luz. Este será nuestro tema un poco más tarde.

Debemos admitir, sin embargo, que el método del inverso del cuadrado para la medición de

distancias tiene sus limitaciones. Dicha relación no se aplicará ciertamente si hay cualquier

cosa entre el ojo y la fuente que haga que la luz se desvíe de una trayectoria recta o absorba

parte de ella. Lógicamente, un manto de niebla podría reducir la intensidad procedente de


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una lámpara distante y trastornar cualquier cálculo basado en la ley del cuadrado inverso.

También, la distancia entre el ojo y la fuente debe tener un significado especifico. Esto

parece obvio, y lo es, si pensamos en una lámpara de la calle situada en la siguiente cuadra.

Medimos desde donde estamos a cualquier punto de la lámpara. Como ella está bastante

lejos, todas estas mediciones dan esencialmente la misma distancia d. Así usted puede ver

que la relación del inverso del cuadrado será verdadera o válida si las dimensiones de la

fuente luminosa son pequeñas (digamos que menos del cinco por ciento) comparadas con la

distancia entre el ojo y la fuente. La relación del inverso del cuadrado describe muchas

situaciones de la naturaleza donde algo –luz, partículas, o líneas de fuerza eléctrica- irradia

uniformemente desde un punto, en línea recta y en todas direcciones. Muchos resultados

experimentales de esta ley para la luz y otros efectos, han probado su validez y verificado

las deducciones que hemos hecho por geometría.

4.4 La física de Liliput. Comparación de escalas.

El viajero de ficción Lemuel Gulliver pasó un ocupadísimo tiempo en el reino denominado

Liliput, donde todos los seres vivientes - hombres, ganado, arboles, pasto - eran

exactamente semejantes a los de nuestro mundo, excepto en que estaban todos hechos a una

escala de una pulgada por un pie. Los liliputienses tenían un poco menos de 6 pulgadas de

altura en promedio, y estaban formados proporcionalmente como nosotros. Gulliver

también visito a Brobdingnag, el país de lo gigantes, quienes eran exactamente como los

hombres, pero 12 veces más altos, como Swift describió, la vida diaria en ambos reinos era

poco más o menos como la nuestra (en el siglo XVIII). Sus comentarios sobre el

comportamiento humano son aún dignos de leerse, pero, como veremos, gente de tales

tamaños no podía haber sido precisamente como él la describió.

Mucho tiempo antes de haber vivido Swift, Galileo entendió porque tipos de hombres muy

pequeños o muy grandes no podían ser como nosotros; pero aparentemente Dean Swift

nunca leyó lo que Galileo escribió. Un personaje de la obra “dos nuevas ciencias” de

Galileo, dice “Ahora puesto que … en geometría … La limitación del tamaño no destruye

la figura, yo no veo que las propiedades de círculos, triángulo, cilindros, conos, y otras


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figuras sólidas pueden cambiar con su tamaño”. Pero su amigo, el físico, replica: “la

opinión común esta aquí absolutamente errada”. Vamos a ver porque.

Empecemos con la resistencia de una cuerda. Se comprende fácilmente que si un hombre

puede casi romper una cuerda, al tirar de ella con cierta fuerza, dos de tales cuerdas

resistirán el tirón de dos hombres. Una cuerda única, grande, con una área total igual a la

sección transversal combinada de las dos cuerdas más pequeñas, contendrá exactamente

dos veces él número de fibras de una de las cuerdas pequeñas y hará la misma tarea. En

otras palabras, la resistencia al rompimiento de un alambre o cuerda, es proporcional al área

de su sección transversal, o al cuadrado de su diámetro. La experiencia y la teoría

concuerdan con esta conclusión. Aún más, la misma relación es valida, no únicamente para

cuerdas o cables que soportan una tensión, si no también para columnas o estructuras que

soportan un empuje o presión. La presión que soportará una columna, comparando

únicamente aquellas de un material dado, es también proporcional al área de la sección

recta de la columna.

Ahora bien, el cuerpo de un hombre o de un animal es soportado mediante un conjunto de

columnas o estructuras –el esqueleto- sostenido por varios tirantes y cables, que son los

músculos y los tendones. Pero el peso del cuerpo que debe ser soportado, es proporcional a

la cantidad de carne y huesos presentes, esto es, al volumen.

Vamos ahora a comparar a Gulliver con el gigante Brobdingnag, que tiene doce veces su

estatura, puesto que el gigante es en construcción exactamente igual a Gulliver, cada una de

sus dimensiones lineales es 12 veces la correspondiente a una de Gulliver. Como la de su

resistencia de sus columnas y ligamentos es proporcional al área de las secciones rectas y,

por tanto, al cuadrado de sus dimensiones lineales (resistencia L² α ), sus huesos serán 12²

o 144 veces más fuertes que los de Gulliver. Debido a que su peso es proporcional a su

volumen, y por tanto, a 3L . Será 123 o 1728 veces más grande que el de Gulliver. Por

consiguiente el gigante tendrá una razón de fuerza a peso una docena de veces más pequeña

que la nuestra. Solamente para soportar su propio peso, él tendría tanto problema como el

que nosotros tendríamos para transportar 11 hombres sobre nuestras espaldas.


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Naturalmente, en realidad, Liliput y Brobdingnag no existen. Pero podemos ver efectos

reales de diferencia en las escalas si comparamos animales parecidos de muy diferentes

tamaños. Los pequeños no son modelos a escala de los más grandes. La fig. 4.7 muestra los

huesos de las piernas de dos animales estrechamente relacionados, de la familia de los

ciervos: uno de una pequeña gacela y otro de un bisonte. Observe que el hueso del animal

grande no es en absoluto, geométricamente semejante al del pequeño; es mucho más grande

con respecto a su longitud, contrarrestando así el cambio a escala, de la cual se obtendría un

hueso estrictamente semejante, pero demasiado débil.

Figuras 4.7.a Huesos de las patas delanteras de un bisonte y una gacela. Los animales son del mismo género, pero la gacela es mucho más pequeña. La fotografía muestra el tamaño relativo aproximado de los huesos.

4.7.b. Hueso de la pata de una gacela aumentado hasta la longitud del hueso del bisonte. Observe que el hueso del animal más grande, es mucho más grueso en comparación con su longitud que el de la gacela. El cervatillo tiene generalmente, una conformación mas ligera y elegante. ¿Puede usted imaginarse cuán diferentes deben haber sido los liliputienes de los hombres de tamaño normal?

Galileo escribió muy claramente sobre este punto. Impugnado la posibilidad de un

Brobdingnag, o de cualquier otro gigante semejante: “si uno desea mantener un gran

gigante la misma proporción hallada en los miembros de un hombre ordinario aquel debe

tener un material más fuerte y resistente para la formación de sus huesos, o debe admitir

una disminución de fuerza en comparación con los hombres de estatura mediana: porque si

su altura es aumentada desordenadamente, caerá y se aplastará bajo su propio peso.

Mientras que, si el tamaño de un cuerpo es disminuido, la fuerza de este cuerpo no es

disminuida en la misma proporción; indudablemente, mientras más pequeño sea el cuerpo,

mayor es su fuerza relativa. Así pues, un perro pequeño podría probablemente llevar sobre

su lomo dos o tres perros de su propio tamaño, pero yo creo que un caballo no podría ni aún

llevar uno de su propio peso”. El esquema de la fig. 4.8 es tomado de Galileo, quien lo

dibujo para ilustrar el parágrafo aquí citado.


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Un elefante es ya tan grande que sus miembros están groseramente engrosados. Sin

embargo, una ballena, el más grande de todos lo animales puede tener 40 veces el peso de

un elefante; y, aun así, los huesos de la ballena no son engrosados proporcionalmente. Ellos

son suficientemente fuertes, porque la ballena es soportada por el agua. ¿Cuál es el porvenir

de una ballena que ha encallado?. Sus costillas se rompen, algunos de lo dinosaurios de la

edad prehistórica fueron animales de tamaño semejante al de la ballena. ¿Cómo hicieron

ellos par mantenerse erguidos?.

Figura 1.9. dibujo hecho por Galileo como ilustración de las escalas. Hace más de 300 años Galileo

escribió que un hueso de mayor longitud debe ser aumentado en espesor en proporción mucho más

grande a fin de que los dos modelos tengan comparativamente la misma resistencia. El hueso más grande

en esta ilustración tomada de su libro es alrededor de tres veces más largo que el hueso pequeño y casi

nueve veces más grueso. El hueso grande sólo debe tener un espesor de 5,2 veces el de el pequeño. ¿Está

usted de acuerdo? ¿Por qué?

Siguiendo a Galileo, hemos investigado los problemas de escala, hasta incluir los gigantes.

Vamos ahora a dar una mirada a algunos de los problemas que nacen cuando descendemos

en la escala.

Cuando usted sale de una piscina, mojado y goteando, hay una pequeña película de agua

sobre su piel. Sus dedos no están menos mojados que su antebrazo; el espesor de la película

es casi igual sobre todo su cuerpo. Aproximadamente, por lo menos, la cantidad de agua

que usted saca es proporcional a la superficie de su cuerpo. Usted puede expresar esto con

la relación

Cantidad de agua L² α

Donde L es su altura. La carga original sobre su esqueleto es, como antes, proporcional a

su volumen. Así pues, la razón original carga

extra carga es proporcional a 3

2

LL , o sea

L1 . Quizás


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usted saque de la piscina algo así como lo equivalente a un vaso lleno de agua, lo cual

corresponde a un aumento de alrededor de 1 por ciento sobre lo que usted tiene que mover;

pero un Liliputiense sacaría alrededor del 12% de su peso, lo cual equivaldría a un pesado

vestido de invierno, con sobretodo. La salida de la piscina, en estas circunstancias, no seria

muy divertida. Si una mosca se moja, el peso de su cuerpo se duplica y toda ella quedara

aprisionada por una gota de agua.

Hay todavía un efecto más importante en la escala de los seres vivientes. Su cuerpo pierde

calor principalmente a través de la piel (y un poco a través de la respiración al exhalar el

aire caliente). Es muy fácil creer –y puede ser comprobado experimentalmente- que la

perdida de calor es proporcional al área de la superficie, así que

perdida de calor L² α

manteniendo constantes otros factores tales como la temperatura, naturaleza de la piel, etc.

Los alimentos que tomamos suplen este calor, así como también nos proporcionan la

energía que usamos al movernos. Así pues, las necesidades mínimas de alimentación son

proporcionales a L². Si un hombre como Gulliver puede vivir de una pierna de cordero y

una hogaza de pan por uno o dos días, un Liliputiense con la misma temperatura necesitara

un volumen de alimentación de solo 2

121

de aquella. Pero su pierna de cordero, puesto en

escala con respecto a su mundo, será más pequeña en volumen por un factor de3

121

. Por

consiguiente, él necesitaría una docena de asados y hogazas para sentirse tan bien

alimentado como se sentiría Gulliver con una. Los Liliputienses tendrían que ser un grupo

hambriento, ágiles, activos y llenos de gracia, pero fácilmente podrían morir ahogados. Es

posible reconocer estas cualidades en muchos mamíferos pequeños, tales como los ratones.

Podemos ver que no hay animales de sangre caliente mucho más pequeños que el ratón.

Los pescados, las ranas y los insectos pueden ser mucho más pequeños, porque sus

temperaturas no son mucho más altas que la del medio que los rodea. De acuerdo con las

leyes de las escalas de áreas y volúmenes, los pequeños animales de sangre caliente

necesitan relativamente una gran cantidad de alimentos; realmente los animales pequeños


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no podrían recoger, no aun digerir, tan enorme cantidad. Indudablemente la agricultura de

los Liliputienses no podría sostener un reino como el descrito por Gulliver.

Ahora vemos por que ni Brobdingnag ni Liliput pueden ser realmente modelos a escala de

nuestro mundo. Pero ¿Qué tienen estas conclusiones que ver con la física?.

Vamos a partir de nuevo de lo muy grande. A medida que agrandamos a escala cualquier

sistema, la carga eventualmente se hace mucho más grande que la resistencia de la

estructura. Este efecto se aplica, naturalmente, no solo a los animales: si no a todos los

sistemas físicos. Los edificios pueden ser muy grandes porque sus materiales son mas

fuertes que lo huesos, sus formas son diferentes, y ellas no se mueven. Estos efectos

determinan las constates como k en la ecuación

Resistencia L² k=

Pero rigen las mismas leyes. No puede construirse ninguna edificación que se asemeje al

“Empire State”, pero que sea tan alto como una montaña, digamos 10.000 metros. Las

montañas son estructuras sólidas, en su mayor parte, sin cavidades interiores. Exactamente

como los huesos de un gigante deben ser gruesos, un objeto del tamaño de una montaña

sobre la tierra debe ser todo sólido o construído de materiales nuevos a un desconocidos.

Nuestros argumentos no están restringidos a la superficie de la tierra. Podemos imaginarnos

la construcción de una tremenda estructura en el espacio remoto alejada de la fuerza

gravitacional terrestre. El peso no esta dado, por consiguiente, por la fuerza gravitatoria

terrestre; pero a medida que la estructura se hace más y más grande, cada una de las partes

atrae gravitacionalmente a la otra y pronto la parte externa de la estructura es atraída hacia

el centro con gran fuerza. El interior construido con materiales ordinarios es comprimido,

grandes protuberancias asoman a la superficie y grandes porciones se hunden. Como

resultado, cualquier estructura grande como un planeta tiene una forma simple y, si es

suficientemente grande, la forma se acerca a la de una esfera. Cualquier otra forma será

incapaz de soportarse por sí misma. Esta es la razón esencial por la cual los planetas y el sol

tienden a ser esféricos. La fuerza de gravedad es importante para nosotros sobre la tierra

pero, a medida que extendemos el alcance de las dimensiones que estudiamos, ella viene a


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ser absolutamente dominante en lo muy grande. Unicamente el movimiento puede cambiar

este resultado. Las grandes masas de gas, como las nebulosas, por ejemplo están cambiando

con el tiempo, y ello modifica la ley de que los grandes objetos deben ser de forma simple.

Cuando pasamos de nuestro tamaño normal a lo muy pequeño, los efectos gravitacionales

dejan de ser importantes. Pero, como, lo vimos al estudiar a Liliput, los efectos de

superficie vienen a ser importantes. Si vamos suficientemente lejos hacia lo muy pequeño,

las superficies no aparecen ya suaves, si no que son tan abruptas, que tendremos dificultad

para definir una superficie. Deben usarse otras descripciones. En todo caso, no será una

completa sorpresa el encontrar que en el dominio del átomo, lo muy pequeño, los factores

de comparación a escala demuestran que la atracción dominante es una fuerza que no es

fácilmente observada en la experiencia diaria.

Argumentos como éstos se encuentran a través de toda la física. Como las mediciones por

el sistema de ordenes de magnitud, ellos son extremadamente valiosos cuando empezamos

el estudio de cualquier sistema físico. Con frecuencia la mejor guía para un análisis

detallado, es saber cómo cambiará el comportamiento de un sistema al variarse la escala de

sus dimensiones, su movimiento, etc.

Aún más, es debido al estudio de sistemas construidos sobre muchas escalas poco comunes,

como los físicos han podido descubrir relaciones físicas insospechadas. Cuando se cambia

la escala, un aspecto del mundo físico puede ser realzado, mientras que otro puede hacerse

mínimo. En esta forma podemos descubrir o al menos adquirir una visión más clara de las

cosas que son menos obvias en nuestra acostumbrada escala experimental. Esta es

principalmente la razón por la cual los físicos examinan dentro y fuera de sus laboratorios,

lo muy grande y lo muy pequeño, lo lento y lo rápido, lo caliente y lo frío, y todas las otras

circunstancias inusitadas que ellos pueden imaginar. Al examinar lo que sucede en estas

circunstancias usamos instrumentos, tanto para producir las situaciones poco comunes,

como, para extender nuestros sentidos al efectuar las mediciones.

Es difícil resistirnos a indicar cuanto afecta la escala del tamaño del hombre la manera

como él ve el mundo. Por mucho tiempo ha sido tarea de la física tratar de formar un

cuadro del mundo que no dependa de la manera cómo nosotros hemos sido formados. Pero


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es difícil librarnos de los efectos de nuestra propia escala. Podemos construir grandes

carreteras y puentes que sean largos y angostos, pero, estas no son esencialmente

estructuras complejas tridimensionales, las cosas más grandes que podemos hacer dotadas

de alguna redondez, completamente tridimensionales, son los edificios y los grandes

barcos. Sin embargo, estas construcciones están bastante lejos de tener sus dimensiones

lineales mil veces más grandes que las de los hombres.

Todavía no podemos construir nada tan complejo como un reloj o un tubo de radio cuya

escala sea inferior a 10-3 de nuestra propia longitud. En este margen de magnitudes

descansa toda nuestra ingeniería. La física va mucho más allá, más lejos de las galaxias y se

adentra hacia el núcleo del átomo. La extensión de nuestra ingeniería tecnológica hacia lo

muy pequeño y hacia lo realmente gigante pertenece al futuro. Plantas motrices de una de

altura, o circuitos de radio construidos en la cabeza de un alfiler, representarían nuevas y

enormes posibilidades para la tecnología. Ellos pueden venir, pero para el futuro inmediato,

la escala humana fijará la naturaleza física de la mayor parte de nuestros esfuerzos.

Aun dentro de la tecnología actual son importantes nuestros argumentos de las escalas. Si

proyectamos un nuevo objeto de tamaño grande, sobre la base de uno pequeño, estamos

advertidos de que nuevos efectos, demasiados pequeños para ser detectados en nuestra

escala, puedan hacerse presentes y aún llegar a ser las cosas más importantes por

considerar. No podemos agrandar o reducir a escala a ciegas, geométricamente; pero

tomando las escalas a la luz de razonamientos físicos, podemos algunas veces prever los

cambios que ocurrirán. En esta forma podemos emplear las escalas por ejemplo, en el

diseño inteligente de un aeroplano, y no salir con un transporte de retropropulsión que se

parezca a una abeja y no pueda volar.

funciones y escala -...

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