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Funciones Trigonometricas yCoordenadas Polares

Araceli Guzman y Guillermo GarroFacultad de Ciencias

UNAM

Semestre 2017-1

Funciones Trigonometricas y Coordenadas PolaresContenido, duracion y fecha de examen

Contenido

1. Los Elementos de la Geometrıa.

2. El Quinto Postulado de Euclides: algunas equivalencias.

3. El Teorema de Thales. Semejanza de triangulos.

4. Razones trigonometricas.

5. Rectas y puntos notables de un triangulo.

6. Angulo central y angulo inscrito en una circunferencia.

7. Ley de los senos. Ley de los cosenos.

8. π.

9. Funciones e identidades trigonometricas. El cırculo trigonometrico.

10. Coordenadas polares. Curvas en coordenadas polares.

11. Curvas parametricas

12. Coordenadas esfericas

Duracion:

15 horas.

Fecha del examen

Miercoles 14 de septiembre.

Funciones Trigonometricas y Coordenadas PolaresReferencias

Referencias:

1. Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid’s Elements (2nd ed.[Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]) 3 Volumes.New York: Dover Publications.

2. Puertas C., Marıa L. (1991). Los elementos de Euclides. 3 Volumenes.(Introduccion de Luis Vega). Madrid: Editorial Gredos.

3. Borceux, Francis. (2014). Geometric Trilogy I: An Axiomatic Approach toGeometry. Berlin: Springer.

4. Borceux, Francis. (2014). Geometric Trilogy II: An Algebraic Approach toGeometry. Berlin: Springer.

5. Preston, G. C., & Lovaglia, A. R. (1971). Modern analytic geometry. New York:HarperCollins Publishers.

6. Ramırez-Galarza, Ana I. (2013). Geometrıa analıtica: una introduccion a lageometrıa. Mexico: Las Prensas de Ciencias, UNAM.

7. Greenberg, M. J. (1993). Euclidean and non-Euclidean geometries: Developmentand history. Macmillan.

8. Euclid’s Elements by David E. Joyce. Department of Mathematics and ComputerScience Clark University, site:http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

Ultima visita: Agosto de 2016.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

Funciones Trigonometricas y Coordenadas Polares

1. Los Elementos de la Geometrıa

Funciones Trigonometricas y Coordenadas Polares1. Los Elementos de la Geometrıa

Angulo

Segun Euclides, un angulo plano es la inclinacion mutua de dos lıneas que se encuentranuna a otra en un plano y no estan en lınea recta. (Los elementos, Libro I, Definicion 8).

Angulo rectilıneo: Dos rectas sobre un mismo plano. Cuatro angulos convexos.


Angulo


Dos cırculos que se tocan en dos puntos producen tambien cuatro angulos.


Angulo


Una recta y una circunferencia que se tocan en dos puntos producen tambien cuatroangulos.


Angulo


Pero... ¿que sucede si la recta y la circunferencia tocan en un solo punto (recta tan-gente)? (Horn angle o angulo cornicular). Segun D. E. Joyce, “Horn angles are infinitesimal

with respect to rectilinear angles, that is, no multiple of a horn angle is greater than any rectilinear

angle, or equivalently, no part (meaning fraction) of a rectilinear angle is less than a horn angle.

The contemplation of horn angles leads to difficulties in the theory of proportions that’s developed

in Book V.” Ver aquı.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII16.html


Angulo


O bien... ¿que sucede si los cırculos se tocan en un solo punto (cırculos tangentes)?


Angulo

Cuando las lıneas que comprenden el angulo son rectas, el angulo se llama rectilıneo(Definicion I-9). De otra forma, un angulo rectilineo es la “parte comun” de dossemiplanos.

La parte comun es un angulo convexo. Nosotros nos centraremos en los angulos rec-tilıneos. Ademas, excluimos, por ahora y siguiendo a Euclides, los angulos concavos.


Definicion

Cuando una recta levantada sobre otra recta forma angulos adyacentes iguales entresı, cada uno de los angulos es recto, y la recta se llama perpendicular a aquella sobrela que esta. (Euclides, Los Elementos, Libro I, Definicion 10). Si ` y `′ son rectasperpendiculares, a veces usaremos la notacion ` ⊥ `′.Angulo obtuso es el angulo mayor que un un angulo recto (Definicion I-11). Anguloagudo es el angulo menor que un angulo recto. (Definicion I-12).

De entre las figuras trilateras, triangulo equilatero es la que tiene tres lados iguales,isoceles la que tiene solo dos lados iguales, y escaleno la que tiene los tres lados de-siguales. (Definicion I-20).

Ademas, de entre las figuras trilateras, triangulo rectangulo es la que tiene un angulorecto, obtusangulo la que tiene un angulo obstuso, acutangulo la que tiene los tresangulos agudos. (Definicion I-21).

Un cırculo es una figura plana comprendida por una sola lınea (llamada circunferencia)de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de losque estan dentro de la figura son iguales entre sı. (Definicion I-15). Y el punto se llamacentro del cırculo. (Definicion I-16).

etc...


Advertencias y aclaraciones:

1. Debemos comprender que un angulo (rectilıneo, en nuestro exclusivo caso) no esun objeto, sino una relacion entre dos rectas que se cortan, una inclinacion mutua,como dice Euclides. Mantendremos esta idea por el momento aunque parezcacarente de rigor.

2. Hasta este momento, no contamos con una unidad de medida angular. No podemosreferirnos a ningun angulo en terminos de grados o radianes. Pero la idea esconstruir esta medida, lo que sera posible una vez que sea introducida de maneraapropiada la constante π. Ası que para denotar un angulo usaremos el sımbolo ∠,en lugar del tıpico ], con ello queremos hacer patente esta sutileza.

3. No abstante, de las definiciones anteriores, se desprende que los angulos rectosson la referencia especıfica para distinguir y clasificar angulos. En cierto sentidopodemos pensar que el angulo recto es una especie de medida angular, pero decaracter cualitativo y no cuatitativo, como los radianes o los grados (ver Postulado4◦). Por tanto, y como un acuerdo en vigor unicamente para este curso, usaremosla notacion para cualquier angulo recto (esta notacion la mantendremos despuesde introducir la medida angular).


Angulos iguales y como sumar y restar angulos

Para la geometrıa clasica, dos angulos son iguales (congruentes), si podemos hacerloscoincidir.



Para la geometrıa clasica, sumar dos angulos consiste en colocar un angulo sobre otro.



Restar dos angulos, el menor del mayor:


Postulados

1◦ Por dos puntos diferentes pasa una sola lınearecta.

2◦ Cualquier segmento de recta, puede extenderseindefinidamente.

3◦ Dados un centro y un radio, existe un solo cırculocon ese centro y ese radio.

4◦ Todos los angulos rectos son iguales.

5◦ Si una recta secante corta a dos rectas formandoa un lado angulos interiores, la suma de los cualeses menor que dos angulos rectos; las dos rectas,suficientemente alargadas se cortaran en el mismolado.

DefinicionSon rectas paralelas las que estando en el mismoplano y siendo prolongadas en ambos sentidos,no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.(Definicion I-23).Notacion: Si una recta ` es paralela a otra recta`′, usaremos la notacion ` ‖ `′. Y si `′ no esparalela a `, entonces usaremos `′ ∦ `.

Imagen de la Wikipedia

https://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides


Algunas (pocas) equivalencias del Quinto Postulado.

Las siguientes proposiciones son equivalentes:

(v.0) El Quinto Postulado.

(v.1) Dadas dos rectas paralelas y unatransversal a ellas, los respectivosangulos alternos son iguales, y la sumade los angulos internos (externos) porel mismo lado, es igual a dos angulosrectos.

(v.2) Dos rectas paralelas a una tercera, sonparalelas entre sı.

(v.3) Dada una recta y un punto fuera deella, hay una unica recta paralela a talrecta que pasa por dicho punto.

(v.4) Cualesquiera dos paralelas tienen rec-tas perpendiculares comunes.

(v.5) La suma de los angulos (internos)de cualquier triangulo es igual a dosangulos rectos.

(v.6) Dado un triangulo cualquiera,existe otro triangulo semejante no con-gruente.

(v.7) Existe un triangulo de area mayor acualquier otra area dada (las areas delos triangulos no tienen lımite supe-rior).

(v.8) El Teorema de Pitagoras.

(v.9) El recıproco de Teorema de Pitagoras:Si en un triangulo resulta que la sumade los cuadrados de dos de sus lados esigual al cuadrado del tercero, entoncesel triangulo es rectangulo.

(v.10) Sobre cualesquiera tres puntos no co-lineales, pasa un cırculo.

(v.11) Todos los cırculos son semejantes: Lasareas de dos cırculos cualesquiera sonproporcionales a una misma constante.


Estructura logica de los Elementos de Euclides: las “nociones comunes”:

1. Las cosas iguales a una misma cosa son iguales entres sı:

∀x∀y∀z((x = z ∧ y = z)⇒ x = y).

2. Si a cosas iguales se anaden cosas iguales, los totales son iguales tambien:

∀x∀y∀z(x = y ⇒ x+ z = y + z).

O tambien∀w∀x∀y∀z((w = y ∧ x = z)⇒ w + x = y + z).

3. Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales tambien.

∀x∀y∀z(x = y ⇒ x− z = y − z).

O tambien∀w∀x∀y∀z((w = y ∧ x = z)⇒ w − x = y − z).

4. Las cosas que coinciden entre sı, son iguales entre sı.

5. El todo es mayor que la parte


Comentarios y aclaraciones:

A lo largo de toda la obra, es frecuente el uso de otras “reglas”, por ejemplo:

1a. Si dos cosas son desiguales, entonces la primera es mayor que la segunda, o lasegunda es mayor que la primera:

∀x∀y(x 6= y ⇒ x > y ∨ y > x).

2a. Si a cosas desiguales se anaden cosas iguales, los totales son desiguales

∀x∀y∀z(x < y ⇒ x+ z < y + z).

3a. Los dobles de una misma cosa son iguales entre sı:

∀x∀y(x = y ⇒ 2x = 2y).

4a. Las mitades de una misma cosa son iguales entre sı:

∀x∀y(2x = 2y ⇒ x = y).



En cuanto a la nocion comun numero 4:

Las cosas que coinciden entre sı, son iguales entre sı.

siguiendo a D. E. Joyce:

requires interpretation. On the face of it, it seems to say that if two thingsare identical (that is, they are the same one), then they are equal, in otherwords, anything equals itself. But the way it traditionally is interpreted is asa justification of a principle of superposition, which is used, for instance, inproposition I.4. Using this principle, if one thing can be moved to coincidewith another, then they are equal. Ver aquı.

De modo que asumiremos este principio como una definicion de congruencia.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/cn.html



Y en cuanto a la nocion comun numero 5:

El todo es mayor que la parte.

siguiendo a D. E. Joyce:

the whole is greater than the part, could be interpreted as a definition of“greater than”. To say one magnitude B is a part of another A could betaken as saying that A is the sum of B and C for some third magnitude C,the remainder. Symbolically, A > B means that there is some C such thatA = B + C. At any rate, Euclid frequently treats these two conditions asbeing equivalent. Ver aquı.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/cn.html


Teorema : Proposicion I-1

Construir un triangulo equilatero sobre un segmento dado.



Construir un triangulo equilatero sobre un segmento dado.

Objecion

¿Como sabemos que los cırculos se intersectan? Pincipio de Continuidad de Dedekind.The thirteen books of Euclid’s Elements, de Thomas L. Heath, Vol 1, pags. 234-240.


Definicion

Dos triangulos 4ABC y 4A′B′C′ son congruentes si sus lados correspondientes soniguales y sus angulos correspondientes tambien. Escribimos 4ABC ≡ 4A′B′C′.

Dibujo de Bernardo Feijoo Perez

http://prof.usb.ve/bfeijoo/dat/MA0103/201104_MA0103_CIU_Guia_sem02.pdf


Teorema : Criterios de congruencia de triangulos

Dos triangulos son congruentes si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

(LAL) Tienen dos lados y el angulo comprendido entre ellos iguales. (Euclides,Los Elementos, Libro I, Proposicion 4).

(LLL) Tienen sus tres lados iguales (Proposicion I-8).

(ALA) Tienen un lado y los angulo adyacentes iguales (Proposicion I-26).


Prueba de LAL

Sean 4ABC y 4A′B′C′ dos triangulos con dos lados AC y AB iguales a A′C′ yA′B′ respectivamente, y el angulo BAC igual al angulo B′A′C′.

Superponemos el 4ABC sobre el 4A′B′C′ de tal manera que A coincide con A′, ellado AC queda a lo largo de A′C′ y el lado AB queda del mismo lado de A′B′.

Entonces, como AC es congruente con A′C′, el punto C queda encima de C′; por lacongruencia del angulo BAC con el angulo B′A′C′, el lado AB queda a lo largo deA′B′, y por la congruencia de estos lados, el punto B queda encima de B′. Por lotanto el lado BC coincide con el lado B′C′ ya que dos puntos pueden conectarse conuna unica recta. Y ası los triangulo completos se identifican uno sobre otro. Luego, soncongruentes.



Dividir en dos partes iguales (bisectar) un angulo (rectilıneo) dado.



Trazar una recta perpendicular a un segmento dado desde un punto del mismosegmento.



Si se levanta una recta sobre otra recta, la suma de los angulos ası obtenidos esigual a dos angulos rectos.

Demostracion.

Dada la recta AB, un punto C en esta, yla recta CD sobre AB, sea CE una rectaperpendicular a AB.

Los angulos ∠ACE y ∠ECB son rectos,y ademas

∠ACD + ∠DCB = ∠ACE + ∠ECB.

De modo que

∠ACD + ∠DCB = 2 .



Si dos rectas se cortan, producen angulos opuestos por el vertice iguales.

Demostracion.

Sean AB y CD dos rectas que se cortanen E.

Los angulos ∠AED y ∠DEB suman dosangulos rectos, y lo mismo puede decirsede los angulos ∠CEA y ∠AED. Luego,

∠AED + ∠DEB = ∠AED + ∠CEA,

por tanto,

∠DEB = ∠CEA.



En cualquier triangulo, si se alarga uno de los lados, el angulo exterior es mayoro igual que el angulo interior y los angulos opuestos.

Demostracion.

Sea G un punto sobre la extension del ladoAC del triangulo 4ABC. Bisectamos ellado AC en E. Extendemos BE hasta Fde tal manera que BE = EF , y trazamosFC. Note que ∠AEB = ∠FEC. Por

tanto 4AEB ≡ 4FEC, y en consecuen-cia el resto de los angulos respectivos soniguales: ∠BAE = ∠ECF y ∠ABE =∠EFC. Luego,

∠ACD = ∠ECD > ∠ECF = ∠BAE.

De la misma manera se prueba que∠BCG > ∠ABC, y como ∠BCG =∠ACD, se sigue

∠ACD > ∠ABC.

Objecion:

¿Por que CF “cae” siempre “dentro” delangulo ∠ACD? Ver aquı

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI16.html



Si una recta al cortar dos rectas hace los angulos alternos iguales, las dos rectasseran paralelas.

Demostracion.

Sea EF transversal a AB y CD, tal que∠AEF = ∠EFD

Si AB y CD no son paralelas, en-tonces prolongadas suficientemente se en-contraran ya sea en sentido derecho oizquierdo. Supongamos que lo hacen ensentido derecho y que se encuentran en unpunto G.

Entonces, en el triangulo4GEF el anguloexterior ∠AEF , es igual al angulo interiory opuesto ∠EFG = ∠EFD. Lo cual esimposible en vista de la Proposicion I-16.



Construccion de una recta paralela a una dada por un punto dado.

Demostracion.

Sea A un punto cualquiera dado, y seaBC una recta cualquiera dada. Sea Dcualquier punto en BC. Trazamos AD.Construimos el angulo ∠DAE igual alangulo ∠ADC sobre la recta DA y sobreel punto A (Proposicion I-23, de tarea).Extendemos EA hasta F .

De la Proposicion I-27, se sigue que BCes paralela a EF .



Si una transversal sobre dos rectas hace el angulo externo igual al interno yopuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos angulosrectos, las rectas seran paralelas.

Demostracion.

Sea EF transversal a AB y CD tal que elangulo exterior ∠EGB es igual al angulo

interior y opuesto ∠GHD.

Como ∠AGH = ∠EGB (opuestos por elvertice), se sigue que ∠AGH = ∠GHD,y dado que estos utimos angulos son alter-nos, se sigue que AB y CD son paralelas,en vista de la Proposicion I-27.

Observacion

Hasta este momento no se ha usado elQuinto Postulado. Euclides lo usa porprimera vez hasta la Proposicion I-29.



Si una recta corta a dos paralelas, los angulos alternos son iguales, los angulosexternos iguales a los internos y opuestos, y la suma de los angulos internos delmismo lado es igual a dos angulos rectos.

Demostracion.

Supongamos que ∠AGH > ∠GHD.

Entonces

∠AGH + ∠BGH > ∠GHD + ∠BGH.

Pero la suma de ∠AGH y ∠BGH es iguala dos angulos rectos (Proposicion I-13), demodo que la suma de ∠GHD y ∠BGH esmenor a dos angulos rectos.

Luego, AB y CD no son paralelas (Postu-lado 5). Una contradiccion.

De forma analoga, llegamos a una con-tradiccion si suponemos que ∠GHD >∠AGH.

Es entonces ∠GHD = ∠AGH.


2. El Quinto Postulado de Euclides: algunas

equivalencias.

Funciones Trigonometricas y Coordenadas Polares2. El Quinto Postulado de Euclides: algunas equivalencias.

Algunas (pocas) equivalencias del Quinto Postulado.

Las siguientes proposiciones son equivalentes:

(v.0) El Quinto Postulado: Si una recta secante corta a dos rectas formando a un ladoangulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos angulos rectos; las dosrectas, suficientemente alargadas se cortaran en el mismo lado.

(v.1) Dadas dos rectas paralelas y una transversal a ellas, los respectivos angulos alternosson iguales, y la suma de los angulos internos (externos) por el mismo lado, es iguala dos angulos rectos.

(v.2) Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sı.

(v.3) Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una unica recta paralela a tal rectaque pasa por dicho punto.

(v.4) Cualesquiera dos paralelas tienen rectas perpendiculares comunes.

(v.5) La suma de los angulos (internos) de cualquier triangulo es igual a dos angulosrectos.


“Demostracion” de las equivalencias de (v.0), (v.1), (v.2), (v.3), (v.4) y (v.5).(O de como convencernos con dibujos).

[(v.0)⇒ (v.1)] Es la Proposicion I-29, que ya probamos antes.

[(v.1)⇒ (v.0)] Es la Proposicion I-28, que ya probamos antes.

Corolario : Recıproco del 5◦ Post.

Si dos rectas se cortan en un punto,entonces la suma de los angulosinternos formados por una rectatransversal del mismo lado donde secortan las rectas, es menor a dosangulos rectos.

Corolario : 5◦ Postulado

Dos rectas se cortan en un punto,si y solo si, la suma de los angulosinternos formados por una rectatransversal del mismo lado donde secortan las rectas, es menor a dosangulos rectos.


Dos rectas son paralelas, si y solosi, la suma de los angulos internosformados por una recta transversaldel mismo lado donde se cortan lasrectas, no es menor a dos angulosrectos.


Dos rectas son paralelas, si y solosi, la suma de los angulos internosformados por una recta transversaldel mismo lado donde se cortan lasrectas, es igual a dos angulos rectos.


“Demostracion” de las equivalencias de (v.0), (v.1), (v.2), (v.3) y (v.4). (O de como

convencernos con dibujos).

[(v.0)⇒ (v.2)]

Vamos a requerir de otro resultado que Euclides no especifica en ninun lado, pero queusa implıcitamente.

Lema : Proclo

Si ` y `′ son rectas paralelas, y una recta d corta a `, entonces corta a `′.

Eudemo de Proclo (410-485 dC) es uno de los comentaristas mas antiguos de losElementos, y en general de la geometrıa griega. Para una discusion breve de este resul-tado ver aquı, o bien, para una revision mas completa (junto con todas sus complica-ciones) consultar el excelente libro de Marvin J. Greenberg, Euclidean and non-Euclideangeometries, que pueden encontrar en el sitio del curso.

Como hemos dicho, vamos a usar este lema, de forma implıcita, no solo en la pruebade esta implicacion, sino en algunas de las que le siguen.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI30.html

https://doyouwantmektalwar.wordpress.com/libreria/




[(v.0)⇒ (v.2)]

Lema : Proclo


Argumento de Proclo.

Sea P el punto donde se cortan ` y d. SeaP ′ en `′ el pie de la perpendicular a `′ hastaP (Prop. I-12, de tarea). Si d = PP ′, yaacabamos. Si no, elegimos un punto Yen d que este entre ` y `′ y elegimos Qen ` como el pie de la perpendicular a `hasta Y . Si hacemos “crecer” desde P elsegmento (dirigido) PY indefinidamente,el segmento QY crece tambien indifinida-mente. En algun momento la longitud deQY sera superior a la distancia que hay en-tre ` y `′ (o sea PP ′), por tanto, deberatocar a `′ en un punto X.




[(v.0)⇒ (v.2)]

Lema : Proclo


El argumento de proclo depende de con-ceptos “dinamicos” y de continuidad, loscuales no estan contemplados en los Ele-mentos. Agregamos entonces:

Axioma de Aristoteles

Dado un angulo agudo arbitrario, para unsegmento cualquiera AB, existe un puntoX en uno de los lados del angulo, tal quesi Q es el pie de la perpendicular de Y alotro lado del angulo, entonces QY > AB.




[(v.0)⇒ (v.2)]

Lema : Proclo


Lo que Proclo intenta asegurar es queno existen, en la geometrıa ecuclıdea,“rectas asintoticas”, lo que podrıa im-plicar que dadas dos rectas paralelas, noexiste ninguna recta transversal a ellas, oal menos, no resultarıa trivial hayar una.

Del Lema de Proclo se sigue inmediata-mente:

Corolario : Proclo

Dadas dos rectas paralelas, existeuna transversal a estas.




[(v.0)⇒ (v.2)] Ahora sı...

Sean `, `′ y `′′ rectas tales que `′ ‖ ` y`′′ ‖ `, y sea d una transversal de `′ y `′′.

`′ ‖ `⇒ ∠α+ ∠β ≮ 2 (5◦ Post. o sea (v.0))

`′′ ‖ `⇒ ∠β = ∠β′ y ∠α = ∠α′ (Prop. I-29)

∴ ∠α′ + ∠β′ ≮ 2

∴ `′ ‖ `′′.

ObservacionEl Lema de Proclo nos asegura que, siendod una transversal de las paralelas `′ y `′′,entonces d es tambien una transversal delas paralelas ` y `′, y de las paralelas ` y `′′.Este es el modo tıpico en que aparece elLema de Proclo subyacentemente en mu-chos resultados de la geometrıa.




[(v.2)⇒ (v.3)]

Sea P un punto fuera de la recta `.Supongamos que `′ y `′′ son dos rectasparalelas a ` que pasan por P . Se sigueen particular que `′ y `′′ son paralelas (por(v.2)). Y como se cortan en P , de hecho`′ = `′′ (de otra forma, no podrıan cortarseen ningun punto).




[(v.3)⇒ (v.4)] Sean ` y `′ rectas paralelas, y sea d unaperpendicular a ` (en el dibujo ∠α = ).Sea P el punto donde `′ y d se cortan(Proclo). Supongamos que `′ no es per-pendicular a d (en el dibujo, ∠β 6= ).

Desde P tracemos una perpendicular `′′ ad (en el dibujo ∠α′ = ) (Prop. I-11).

Se sigue entonces que `′′ ‖ `, puesto que∠α+∠α′ = 2 (Prop. I-28). Ası que hayal menos dos rectas paralelas a ` que pasanpor el mismo punto P . Esto es imposiblebajo la hipotesis (v.3).




[(v.4)⇒ (v.2)]

Supongamos que `′ ‖ ` y `′′ ‖ `. De lahipotesis (v.4), se desprende:

d ⊥ `′ ⇒ d ⊥ `⇒ d ⊥ `′′.

Ası que la suma de los angulos internos for-mados por las rectas `′ y `′′, de cualquierade los lados, es igual a dos angulos rectos.Luego, `′ ‖ `′′ (Prop. I-28).




[(v.4) –y (v3)–⇒ (v.5)]

Sea 4BAC un triangulo rectangulo (con∠BAC = ).

Sobre el punto C, trazamos la paralela ` aAB (Prop. I-31).

Entonces AC es perpendicular a ` (por(v.4)), puesto que lo es respecto a AB.

Supongamos que

∠α+ ∠β < .

Como ∠α′+∠β = (Prop I-13), se sigueque

∠α+ ∠β < ∠α′ + ∠β,

y por tanto ∠α < ∠α′.

Sobre el lado CB, construimos en el puntoC la recta `′ con un angulo ∠α (Prop. I-23, de tarea).

Note que `′ y AB son paralelas (Prop. I-27) y desde luego ` 6= `′. Pero por (v.3),no es posible que exista mas de una para-lela al segmento AB. Tarea: hacer caso general




[(v.5)⇒ (v.4)]

Sean ` y `′ rectas paralelas y supongamosque d es una recta perpendicular a ` (enel dibujo ∠α = ). Sean P y P ′ los pun-tos en ` y `′, resp., que cortan a d (Pro-clo). Supongamos que d no es perpen-dicular a `′. Esto significa que al menosuno de los angulos adyacentes sobre `′ for-mados por d (en el dibujo, ∠β y ∠β′), esmayor que un angulo recto (se sigue de

la Prop. I-13, pero.. ¿por que?). En eldibujo ∠β > . Ası que nos situamos dellado de β. Trazamos la perpendicular d′

a d que pasa por P ′ (Prop. I-11). En eldibujo, ∠δ = . Sea Q el punto donde d′

y ` se cortan (Proclo). Se ve entonces queP ′Q esta entre `′ y `. Hemos construidoel triangulo 4PP ′Q. Por (v.5),

∠α+ ∠δ + ∠γ = 2 ,

pero∠α+ ∠δ = 2 ,

de donde< .

Lo cual esta en contradiccion con el 4◦

Postulado.




[(v.5) –y (v4)–⇒ (v.1)]

Sea d una transversal a dos rectas parale-las ` y `′ (Proclo). Si Q es el pie en ` de laperpendicular QP ′ que pasa por P ′ (Prop.I-11), entonces `′ es perpendicular a QP ′

(por (v.4)). De donde ∠β + ∠β′ = .Pero ∠α + ∠β′ = (por (v.5)), ası que∠α = ∠β.


3. El Teorema de Thales. Semejanza de

triangulos

Funciones Trigonometricas y Coordenadas Polares3. El Teorema de Thales. Semejanza de triangulos

Teorema de Thales (Euclides, Los Elementos, Libro VI, Proposicion 2)

Si se traza una recta paralela a uno de los lados de un triangulo, cortara propor-cionalmente los lados del triangulo. (Y si se cortan proporcionalmente los lados deun triangulo, la recta que une los puntos de seccion sera paralela al lado restante deltriangulo.)

O en otras palabras...

Teorema : Thales

Si el triangulo ABC (de la figura) escortado por una recta B′C′ paralela ala base BC, entonces

AB′

B′B=

AC′

C′C.


Demostracion.

Trazamos los segmentos B′C y C′B


Demostracion.


Entonces, el area del triangulo B′BC′


Demostracion.


Entonces, el area del triangulo B′BC′ esigual al area del triangulo C′B′C


Demostracion.



puesto que tienen la misma base: B′C′; yla misma altura: la distancia h entre lasparalelas B′C′ y BC.


Demostracion.




Igualmente, el area del triangulo B′BC esigual al area del triangulo C′BC, puestoque comparten misma base BC y mismaaltura h.


Demostracion.




Igualmente, el area del triangulo B′BC esigual al area del triangulo C′BC, puestoque comparten misma base BC y mismaaltura h.

En consecuencia, el area del trianguloABC′, es igual al area del trianguloAB′C,


Demostracion.

Sea h1 la altura del triangulo ABC′, desdela base AC′. Entonces,

Area(4ABC′) =1

2AC′ h1.

Y del mismo modo, sea h2 la altura deltriangulo AB′C desde la base AB′. En-tonces

Area(4AB′C) =1

2AB′ h2.

De donde,

1

2AC′ h1 =

1

2AB′ h2,

y por tanto

AB′

AC′=

h1

h2.


Demostracion.

Pero h1 es tambien la altura del trianguloC′BC, desde la base C′C. Y h2 es laaltura del triangulo B′BC, desde la baseB′B. Entonces,

Area(4C′BC) =1

2C′C h1.

Area(4B′BC) =1

2B′B h2.

De donde,

1

2C′C h1 =

1

2B′B h2,

y por tanto

B′B

C′C=

h1

h2.


Demostracion.

Luego,

AB′

AC′=

h1

h2=

B′B

C′C,

de donde,

AB′

B′B=

AC′

C′C.


Corolario : Thales

Si el triangulo ABC (de la figura) escortado por una recta B′C′ paralela ala base BC, entonces

AB

AB′=

AC

AC′=

BC

B′C′.


Demostracion.

Note que

AB

AB′=

AB′ +B′B

AB′

= 1 +B′B

AB′

= 1 +C′C

AC′

=AC′ + C′C

AC′

=AC

AC′.

De forma analoga, puede probarsetambien,

AB

B′B=

AC

C′C.


Demostracion.

Trazamos una recta paralela al lado ACque pase por el punto B′.

Esta recta corta el lado BC por el puntoC′′.

Luego,

BA

B′A=

BC

C′′C,

pero, C′′C = B′C′, de modo que

AB

AB′=

BC

B′C′.


Definicion

Dos triangulos 4ABC y 4A′B′C′ son semejantes, lo que denotamos como

4ABC ∼ 4A′B′C′,

si tienen sus lados correspondientes proporcionales, y sus angulos correspondientesiguales.

En la figura

α = α′, β = β′, γ = γ′

a

a′=

b

b′=

c

c′.


Teorema : Criterio de Semejanza de Triangulos

(AAA) Dos triangulos son semejantes si y solo si tienen sus anguloscorrespondientes iguales.(Euclides, Los elementos, Libro VI, Proposicion 4).

Demostracion.

⇒] Es obvio (por definicion) que si dos triangulos son semejantes, entonces los anguloscorrespondientes son iguales.

⇐] Sean ahora 4ABC y 4DCE dos triangulos con angulos correspondientes iguales,cuyas bases se encuentran sucesivamente sobre la misma lınea BE, de tal manera quelos angulos iguales adyacentes a las bases, estan en sucesion.

Queremos probar que tales triangulos son semejantes. Basta probar que los lados cor-respondientes son proporcionales.


Demostracion (continuacion).

Sea F la interseccion de las rectas BA y ED.

Dado que el angulo ]BCA es igual al angulo ]CED, las rectas AC y FE son paralelas.Y como ]CBA = ]ECB, se tiene que las rectas AF y CD son paralelas tambien. Enconsecuencia, FACD es un paralelogramo, ası que AC = FD y CD = AF .

Por otro lado, por Thales,BC

CE=

BA

AF=

BA

CD.



Por Thales nuevamente,BE

BC=

EF

CA,

peroBE

BC=

BC + CE

BC= 1 +

CE

BC,

en tanto queEF

CA=

ED +DF

CA=

ED + CA

CA=

ED

CA+ 1,

de dondeBC

CE=

CA

ED.


Corolario : Criterios de Semejanza de Triangulos

Dos triangulos son semejantes si y solo si se cumple alguna de las siguientescondiciones:

(AA) Tienen dos angulos iguales.

(LLL) Tienen sus lados correspondientes proporcionales. (Proposicion VI-5).

(LAL) Tienen un angulo igual y los lados adyacentes proporcionales. (ProposicionVI-6).

Demostracion.

(AA) Se sigue del hecho de que la suma de los angulos interiores de cualquier trianguloes igual a dos angulos rectos:



(LLL) Consideremos dos triangulos ABCy A′B′C′ (como se muestra en la figura)tales que

AB

A′B′=

BC

B′C′=

CA

C′A′.

Construimos el triangulo A′B′C′′ tal que

]ABC = ]A′B′C′′ y ]BAC = ]B′A′C′′.

Los triangulos A′B′C′′ y ABC tienensus correspondientes lados porporcionales(AA).

Por hipotesis, los triangulo ABC y A′B′C′

tienen sus lados correspondientes propor-cionales.

En consecuencia, los triangulos A′B′C′′ yA′B′C′ tienen sus lados correspondientesproporcionales.

Pero dado que estos dos triangulo tienenun lado comun A′B′, ambos triangulos,A′B′C′′ y A′B′C′ tienen todos sus ladoscorrespondientes iguales.

Por tanto son congruentes, y sus anguloscorrespondientes son iguales.

Consecuentemente, los triangulos ABC yA′B′C′ son semejantes (AA).

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