funciones-matematicas01

FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc.

Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador

1

Captulo I FUNDAMENTOS MATEMTICOS DE LAS FUNCIONES Y

MATRICES 1.1 CONJUNTOS NUMRICOS:

Conforme el ser humano fue incrementando la complejidad de su pensamiento matemtico, aparecieron tipos de nmeros que respondieron a esa evolucin. La agrupacin de aquellos nmeros, con caractersticas similares, dio lugar a los conjuntos numricos. a. NMEROS NATURALES:

Los primeros tipos de nmeros surgieron del proceso de conteo (1, 2, 3, ..). Recibieron la denominacin de Conjunto de los Nmeros Naturales, que matemticamente se representa:

{ }...,5,4,3,2,1N = Los puntos suspensivos indican que existen ms nmeros naturales (existen infinitos nmeros naturales). b. NMEROS ENTEROS:

Para realizar las operaciones de suma y resta (particularmente la segunda), se hizo necesario ampliar el conjunto de los nmeros, e incluir el 0 y los nmeros negativos, con lo que se conform el Conjunto de los Nmeros Enteros:

{ }...,3,2,1,0,1,2,3,...E - - - = Existen infinitos nmeros enteros. c. NMEROS RACIONALES:

La operacin de divisin entre enteros (especialmente cuando no es exacta) requiri la incorporacin de los Nmeros Fraccionarios o Nmeros Racionales:

- - - - = ,3,,

89

,,2,,23

,,45

,,1,,71

,,0,,31

,,1,,23

,2,Q

Es importante notar que los nmeros enteros tambin son nmeros racionales, pues pueden provenir de la divisin de 2 nmeros enteros:

12

24

36

2 -=-

=-

=-

Otro aspecto que se debe mencionar es que entre 2 nmeros racionales diferentes existen infinitos nmeros racionales:

1,,78

,,67

,,56

,,45

,,34

,,23

,,2



2

1,,8

10,,

79

,,68

,,57

,,46

,,35

,,2

En los casos anteriores se han listado los nmeros racionales de mayor a menor, entre 2 y 1, para facilitar la comprensin de la aseveracin previa.

Los nmeros que tienen decimales finitos (contables) siempre pueden ser reemplazados por una fraccin equivalente, por lo que forman parte de los nmeros racionales. Problema Resuelto 1:

Encontrar la equivalencia fraccionaria del nmero 2.386.

Solucin:

10002386

386.2 = Solucin

Se puede simplificar la fraccin obtenida y el resultado es una solucin equivalente a la anterior.

5001193

10002386

386.2 == Solucin

Problema Resuelto 2:

Encontrar la equivalencia fraccionaria del nmero -1.17.

Solucin:

100117

17.1-

=- Solucin

Aquellos nmeros con infinitos decimales, que se repiten peridicamente (nmeros decimales peridicos), pueden ser representados mediante fracciones por lo que constituyen nmeros racionales. Problema Resuelto 3:

Encontrar la equivalencia fraccionaria del nmero 2.33333 ( 3.2 ).

Solucin:

Se representa al nmero decimal por x:

.....333333.2x =

Se multiplica por 10 la expresin anterior:

.....33333.23x10 =

Se restan miembro a miembro las dos ltimas expresiones:



3

.....)33333.2(.....)33333.23(xx10 -=-

Se simplifican ambos miembros:

21x9 =

Es importante notar que los infinitos decimales de las 2 expresiones del miembro derecho se anularon pues son exactamente iguales.

Se despeja x:

921

x =

Se simplifica la expresin:

37

x = Solucin

NOTA: El nmero 3 con el guin superior ( 3 ) significa que, luego del nmero 2 y el punto decimal, el 3 se repite infinitas veces. Problema Resuelto 4:


Solucin:

Se representa al nmero decimal por x:

.....171717.1x =

Se multiplica por 100 la expresin anterior:

.....1717.117x100 =

Se restan miembro a miembro las dos ltimas expresiones:

.....)1717.1(.....)1717.117(xx100 -=-

Se simplifican ambos miembros:

116x99 =

Los infinitos decimales de las 2 expresiones del miembro derecho se anularon pues son exactamente iguales.

Tambin se debe mencionar que se multiplic por 100 al nmero decimal peridico porque para anular los infinitos decimales se requera que el punto decimal recorra 2 cifras, que son las cifras de periodicidad.

Se despeja x:

99116

x = Solucin

NOTA: El nmero 17 con el guin superior (17 ) significa que, luego del nmero 1 y el punto decimal, el 17 se repite infinitas veces.



4

d. NMEROS IRRACIONALES:

Existen nmeros que no pueden ser representados mediante fracciones finitas, y reciben el nombre de nmeros irracionales. Se los puede representar como nmeros con infinitos decimales no peridicos.

Algunos de esos nmeros son:

.....141592.3=p

.....718281.2e = ......41421.12 =

......3010299956.0)2log( =

El Conjunto de los Nmeros Irracionales se representa:

{ } - - - p- = ,10,,e,,5,,3,),3log(,),2log(,,2,,e,,*Q El conjunto de los nmeros irracionales tiene infinitos elementos. El Nmero p :

El nmero p es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su dimetro.

DC

=p

La expresin equivalente en funcin del radio de la circunferencia es:

R2C

=p

Curiosidad Matemtica: Una de las alternativas de clculo del valor del nmero p consiste en la utilizacin de polgonos regulares inscritos en una circunferencia (polgonos dibujados dentro de la circunferencia), tomados en su permetro como una aproximacin a la propia circunferencia. El nmero de lados del polgono debe crecer progresivamente hasta parecerse a la circunferencia. El punto de partida para el clculo numrico de p, mediante aproximaciones sucesivas, es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio unitario (el cuadrado queda dentro de la circunferencia), cuyo permetro es 24 , como se demuestra en el siguiente grfico:



5

Al dividir el permetro del polgono inscrito en la circunferencia, para 2 veces el radio (para 2R) se tiene una primera aproximacin al valor de p .

222

24=p

...8284.2p

Una segunda aproximacin se consigue al reemplazar el cuadrado inscrito por un octgono (polgono de 8 lados). Para el efecto, cada lado del cuadrado se divide en 2 segmentos iguales que se proyectan sobre la circunferencia, por dentro.

Del grfico se puede deducir que el permetro calculado con el cuadrado inscrito debe corregirse dividiendo para el Cos(22.5), cuyo ngulo es la mitad del ngulo interno definido para cada segmento recto del polgono (45).

245

Cos

22p

...0614.3p

Se divide cada lado del polgono anterior en dos, y se proyectan los nuevos segmentos contra la circunferencia:



6

Es fcil deducir que la nueva aproximacin de p ser:

445

Cos245

Cos

22p

...1214.3p

De igual manera puede calcularse p , cada vez con mayor aproximacin, mediante las siguientes expresiones definidas para polgonos regulares inscritos de 32, 64, 128, 256, . lados dentro de la circunferencia de radio unitario:

...1365.3

845

Cos445

Cos245

Cos

22=

p

...1403.3

1645

Cos8

45Cos

445

Cos245

Cos

22=

p

...1412.3

3245

Cos16

45Cos

845

Cos445

Cos245

Cos

22=

p

=

6445

Cos32

45Cos

1645

Cos8

45Cos

445

Cos245

Cos

22p

Cada funcin Coseno adicional en el denominador significa duplicar el nmero de lados del polgono inscrito.

Para el clculo de cada una de las funciones Coseno se puede recurrir a la frmula del Coseno del ngulo Mitad que se expresa de la siguiente manera:

2)x(Cos1

2x

Cos+

=



7

Para el clculo de los diferentes factores del denominador se puede partir de:

22

)45(Cos =

Si se toma un nmero suficiente de factores en el denominador, p tiene el siguiente valor:

= p 141592.3

p tiene infinito nmero de decimales. El Nmero e:

El nmero e es la base de los logaritmos naturales y se puede calcular mediante la siguiente serie:

+ + + + + + + = !6

1!5

1!4

1!3

1!2

1!1

1!0

1e

Donde:

n)1n(321!n - = 1!0 = 1!1 =

Si se desarrollan los factoriales de la serie, se tiene:

+

+

+

+

+

+ + = 654321

154321

14321

1321

121

111

11

e

+ + + + + + + + = 5040

1720

1120

1241

61

21

11e

= 718281.2e

Curiosidad Matemtica: e tiene infinito nmero de decimales y su valor aproximado, con un nmero finito de decimales, se lo suele calcular en base a la Teora de Lmites y a una expansin del Binomio de Newton (as se obtuvo la expresin anterior).

x

x x11lme

+ =

+

--+

-+

+ = ---

33x

22x1xx

x x11

32)2x)(1x(x

x11

2)1x(x

x11x1lme

+

---+

+-

+-

+

+

= ----

1x432

x6x7x6x1

x32x2x3x

1x2

xxx1

1x1lme

4x4

2343x

3

232x

2

21xx

x

+

+

+

+

+++ = 65432

15432

1432

132

121

11e



8

La raz de 2:

La raz de 2 tambin tiene infinitos decimales, pero se la suele aproximar a:

.....41421356.12 =

Curiosidad Matemtica: La raz de 2 puede ser calculada mediante la expansin del Binomio de Newton.

2/1)11(2 +=

Si se desarrolla la expresin derecha mediante el binomio de Newton, se obtiene lo siguiente:

+

-

-

-

-

-

+

-

-

-

-

+

-

-

-

+

-

-

+

-

+

+=

-

--

---

654321

)1()1(29

27

25

23

21

21

54321

)1()1(27

25

23

21

21

4321

)1()1(25

23

21

21

321

)1()1(23

21

21

21

)1()1(21

21

1

)1()1(21

)1(2

62/11

52/942/7

32/522/312/1

2/1

Se simplifica la expresin:

+

-

-

-

-

-

+

-

-

-

-

+

-

-

-

+

-

-

+

-

+

+=

65432129

27

25

23

21

21

5432127

25

23

21

21

432125

23

21

21

32123

21

21

2121

21

121

12

+

-

+

-

+

-+=

)654321.(297531

)54321.(27531

)4321.(2531

)321.(231

)21(21

21

12

6

5432

Se reemplazan los productos consecutivos por los factoriales respectivos:

+

-

+

-

+

-+=!6.2

97531!5.2

7531!4.2531

!3.231

!221

21

1265432

Se multiplican numeradores y denominadores por los nmeros que permiten completar los factoriales:

+

-

+

-

+

-+=

)8642(!6.2)8642()97531(

)642(!5.2)642()7531(

)42(!4.2)42()531(

)2(!3.2)2()31(

!221

21

12

6

5432



9

Se introducen ordenadamente los nuevos factores en los numeradores:

+

-

+

-

+

-+=

)8642(!6.2987654321

)642(!5.27654321

)42(!4.254321

)2(!3.2321

!221

21

12

6

5432

Se escriben los factoriales del numerador:

+

-

+

-

+

-+=)8642(!6.2

!9)642(!5.2

!7)42(!4.2

!5)2(!3.2

!3!22

121

1265432

Se factora el valor 2 en todos los productos sucesivos del denominador:

[ ]

[ ] [ ] +-

+

-

+

-+=

)42()32()22()12(!6.2!9

)32()22()12(!5.2!7

)22()12(!4.2!5

)12(!3.2!3

!221

21

12

65

432

[ ] [ ]

[ ] +

-

+

-

+

-+=

)43212!6.2!9

3212!5.2!7

212!4.2!5

12!3.2!3

!221

21

12

46

3524132

Se reemplazan los productos sucesivos de los denominadores por los factoriales correspondientes:

+

-

+

-

+

-+=!42!6.2

!9!32!5.2

!7!22!4.2

!5!12!3.2

!3!22

121

12463524132

Se agrupan las potencias de 2 de los denominadores:

+

-

+

-

+

-

+

-+=

!6!8.2!13

!5!7.2!11

!4!6.2!9

!3!5.2!7

!2!4.2!5

!1!3.2!3

!221

21

12

14

12108642

Se desarrollan las potencias y los factoriales de la expresin anterior:

+

-

+

-

+

-

+

-+=

)720()40320).(16384(6227020800

)120()5040).(4096(39916800

)24()720).(1024(362880

)6()120).(256(5040

)2()24).(64(120

)1()6).(16(6

)2()4(1

21

12

= 414213.12 e. NMEROS REALES:

El conjunto de los nmeros reales est constituido por todos los nmeros racionales e irracionales.



10

---p-= ,...

38

,...,10,...,e,...,2,...,23

),...,3log(,...,0,...,1,...,2,...,12

,...,...,R

El conjunto de los nmeros reales tiene infinitos elementos.

Reales

Racionales

Irracionales

Enteros

Fraccionarios Propios

Enteros Positivos

Enteros Negativos

Naturales

0

1.2 RECTA REAL:

Una manera grfica de representar al conjunto de los nmeros reales es mediante la Recta Real, que es una lnea horizontal en la que cada punto representa a un nmero, y los nmeros crecen de izquierda a derecha.

Si se incluyeran algunos nmeros racionales e irracionales, se podra obtener una representacin grfica como la siguiente:

Para el efecto se aprovecha el hecho de que, por definicin, un punto no tiene dimensin, por lo que entre dos puntos separados, que forman parte de un grfico, se pueden colocar infinitos puntos, y en una recta tambin se pueden definir infinitos puntos.



11

Existe una analoga entre las relaciones entre 2 puntos diferentes en una recta y las relaciones entre 2 nmeros reales diferentes (infinitos puntos e infinitos nmeros intermedios). 1.3 CONSTANTES Y VARIABLES: Constantes:

Se denominan constantes a aquellas expresiones que no cambian de valor numrico.

32

,71

,0 ),2log( ,e , ,1 ,3 ,7 ,2 - p - - -

Las primeras letras minsculas del alfabeto generalmente son utilizadas para identificar a las constantes.

d ,c ,b ,a

Cuando se requieren ms constantes genricas se puede recurrir a expresiones subindicadas (expresiones con subndices).

,a ,a ,a ,a ,a 54321 ,b ,b ,b ,b ,b 54321

Ocasionalmente se utilizan las primeras letras maysculas del alfabeto como constantes.

D ,C ,B ,A ,A ,A ,A ,A ,A 54321

,B ,B ,B ,B ,B 54321 Variables:

Se llaman variables a las expresiones que cambian de valor numrico. Generalmente se utilizan las ltimas letras del alfabeto para identificar a las variables.

w ,z ,y ,x

Cuando se requiere un nmero mucho mayor de variables se puede recurrir a expresiones subind icadas.

,x ,x ,x ,x ,x 54321 ,y ,y ,y ,y ,y 54321

Problema Resuelto 5:

Identificar como constantes o variables a los diferentes componentes de la siguiente expresin:

7y3x2 = +

Solucin:

2: Constante



12

3: Constante 7: Constante x: Variable y: Variable Problema Resuelto 6:


0cy.bx.a = + +

Solucin:

a: Constante b: Constante c: Constante x: Variable y: Variable Problema Resuelto 7:


cx.bx.ay 2 + + =

Solucin:

a: Constante b: Constante c: Constante 2: Constante x: Variable y: Variable Problema Resuelto 8:


222 ayx =+

Solucin:

a: Constante 2: Constante x: Variable y: Variable



13

Dependiendo del contexto de las expresiones, las letras intermedias del alfabeto pueden representar indistintamente constantes o variables.

As mismo, previa definicin dentro del problema, las letras convencionalmente asociadas a las constantes pueden simbolizar variables, y las letras generalmente destinadas a representar a las variables pueden simbolizar constantes. 1.4 PROBLEMAS PROPUESTOS: Problema Propuesto 1:


Solucin: 925

x =

Problema Propuesto 2:


Solucin: 55277

9904986

x ==


Representar sobre la Recta Real los nmeros 3.5, 11- , 2/p , y -log(20).

Ayuda: Ubicar a escala los nmeros proporcionados.



116

)by(25

)ax( 22=

-+

-

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