funciones lineales

Instituto Superior

Dr. Bernardo Houssay

Capilla del Monte - Córdoba

Álgebra 1er Año

Tecnicatura Superior

en Análisis de Sistemas

Profesor Ing. Edmundo Kinast

Unidad 2

Funciones Lineales

Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales

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Funciones Lineales Ecuación Explícita de la Recta

Teniendo en cuenta que en la función polinómica de 1er grado f(x) = ax + b, siendo a y b números reales, se denomina pendiente al valor a y ordenada al origen al valor b. Representar gráficamente los siguientes grupos de funciones. En cada grupo hacer lo siguiente:

Escribir cuales son los valores de a y b.

Representar cada grupo en el mismo gráfico indicando a que función corresponde cada recta.

Confeccionar la tabla para valores de x e y con x 0 y 1

Mencionar que tienen de particular cada grupo en los ejercicios 1 y 2

Ejercicio 1

a) 32xy

b) 12xy

c) 22xy

d) xy 2

Ejercicio 2 a) 32xy

b) 3y x

c) 3 3y x

d) 3y x

Ejercicio 3

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, representarlo gráficamente, y marcar en el gráfico los valores de a, b y de x1 e y1 donde las rectas se cruzan. a) 4xy

b) 22xy


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Ejercicio 4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, representarlo gráficamente, y marcar en el gráfico los valores de a, b y de x1 e y1 donde las rectas se cruzan.

a) 2y x

b) 3 2y x

Ejercicio 5

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, representarlo gráficamente, y marcar en el gráfico los valores de a, b y de x1 e y1 donde las rectas se cruzan. a) 2y

b) 3 2y x

Ejercicio 6

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, representarlo gráficamente, y marcar en el gráfico los valores de a, b y de x1 e y1 donde las rectas se cruzan. a) 2y x

b) 3 2y x


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Ecuación Segmentaria de la Recta

Toda ecuación de la forma 1x y

m n representa una recta en forma

segmentaria. Los denominadores m y m representan a la abscisa y a la

ordenada al origen, respectivamente.

Dada la recta 3 2y x , para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria

se procede de la siguiente manera:

3 2y x 3 2x y 3 2

2 2

x y

31

2 2

yx 1

2 23

x y

Es decir que 2

3m y 2n

Para representar gráficamente la función en forma segmentaria, se determinan sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma.

Dada la recta 12 3

x y, para pasar de la ecuación segmentaria a la explícita se

procede de la siguiente manera:

12 3

x y 1

3 2

y x 3(1 )

2

xy

33

2y x . Donde la pendiente es

3

2a y la ordenada al origen es 3b

Ejercicios. 1) Hallar la ecuación segmentaria de cada una de las siguientes rectas

explícitas:

y

x

n

m


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a) 2 4y x

b) 1

32

y x

c) 2 1

3 2y x

d) 3 2y x

2) Hallar la ecuación explícita de cada una de las siguientes rectas

segmentarias:

a) 12 5

x y

b) 11 2

3

x y

c) 15 1

42

x y

d) 14 3

x y

3) Escribir las ecuaciones explícita y segmentaria de cada una de las

siguientes rectas:

a)

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2

3

4

5

6

7

8


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b)

c)

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2

3

4

5

6

7

8

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2

3

4

5

6

7

8


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d)

Ecuación de una Recta, Dadas la Pendiente y un Punto de la Misma

Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente a y un punto

perteneciente a la misma 1 1( , )x y :

1 1( )y y a x x

La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3) es:

3 2( 1)y x 3 2 2y x 2 2 3y x 2 1y x

Ecuación de una Recta, Dados dos Puntos de la Misma

La fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos

pertenecientes a ella 1 1( ; )x y y 2 2( ; )x y es:

1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x

La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es:

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2

3

4

5

6

7

8


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1 2

3 1 5 2

y x

1 2

2 3

y x

21 2( )

3

xy

2 41

3 3y x

2 41

3 3y x

2 4 3

3 3y x

2 1

3 3y x

Ejercicios:

1) Hallar las ecuaciones de las siguientes rectas dadas sus pendientes y un

punto por el que pasan:

a) a=2 (3;5)

b) a=1 (1;3)

c) a=3 (2;1)

d) a=-2 (1;3)

2) Hallar las ecuaciones de las siguientes rectas dados dos puntos de las

mismas:

a) (3;5) (1;3)

b) (2;1) (1;3)

c) (2;2) (4;1)

d) (1;3) (5;2)


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Instalación de un negocio de venta de empanadas.

El siguiente ejercicio pretende mostrar los elementos a tener en cuenta para la

instalación de un negocio, en este caso de venta de empanadas, y la aplicación de la

ecuación general de la recta.

Se tienen en cuenta dos factores los Costos y los Ingresos.

Costos: Para el cálculo de los costos de operación del negocio se deben analizar dos

elementos a saber:

Los que tienen que ver directamente con el producto a vender. Es decir todo lo

que necesito para fabricar las empanadas, llamados Costos Directos, como ser:

o Carne

o Cebollas

o Tapas de empanadas

o Condimentos

o Huevos

o Aceite

o Gas (la parte que tiene injerencia en la fabricación)

o Etc.

Los que tiene que ver con la operación del negocio y que son independientes de

la cantidad de empanadas que venda, llamados Costos Indirectos o Fijos, Como

ser:

o Alquiler

o Monotributo

o Electricidad (EPEC)

o Impuestos municipales (Habilitación, etc.)

o Honorarios contador

o Elementos de limpieza

o Honorarios personal de limpieza

o Gas (la parte que tiene injerencia en el funcionamiento Ej: Calefacción)

o Etc.

Los costos se reflejarán en una ecuación que tendrá la siguiente forma:

. .Costos CostosVariables Cantidad Unidades CostosFijos Que como puede verse

tiene el mismo aspecto que la ecuación general de la recta .y a x b . Donde podemos

ver las siguientes equivalencias:

Ordenada al origen b = CostosFijos

Pendiente a = CostosVariables

Variable independiente x = .Cantidad Unidades

Variable dependiente y = Costos


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Cálculo de los Costos Fijos:

Para el cálculo de los costos fijos se deberán sumar los valores de todos los elementos

que se consideren en pesos, Alquiler, Monotributo, Electricidad, etc. Se deberá tener en

cuenta que algunos de estos ítems son mensuales, otros bimestrales, etc. Hay que

encontrar el valor mensual de cada uno, por ejemplo: Si la factura de EPEC es bimestral

y tiene un valor de $ 200, el valor mensual equivalente es de $ 100. Y así se procede

con todos los ítems y finalmente se suman. Supongamos que nuestra cuenta nos da un

resultado final de $2800CostosFijos .

Cálculo de Costos Variable:

Los Costos Variables llevan ese nombre pues a diferencia de los Costo Fijos, estos

dependen de la cantidad fabricada/vendida. Cuanto mayor sea la cantidad de empanadas

que fabrique más materia prima tengo que comprar, de allí que se llame variable.

Aquí tenemos que sumar el costo de todos los elementos para fabricar una cantidad dada

de empanadas, por ejemplo tomar 2 Kgr. de carne y todos los demás elementos para

fabricar las empanadas. Asumiendo que se puedan fabricar 6 docenas de empanadas, al

sumar los costos de todos los elementos y dividirlos por 72 (6 docenas) obtenemos el

costo por empanada. Supongamos que es de $ 1 por unidad. Entonces

$1CostosVariablesUnidad

.

Resultando entonces la ecuación de la recta de Costos en:

$1 . . $2800Costos Cantidad UnidadesUnidad

Ingresos:

Ahora debemos proceder al cálculo de los ingresos que se obtendrán de la venta de las

empanadas. Este caso es mucho más sencillo. Los ingresos por venta dependen

simplemente de la cantidad vendida y del precio de venta, es decir:

Ingresos = Precio de Venta.Cantidad.Unidades

Que como podemos ver tiene la estructura de una recta que pasa por el origen y ax ,

donde:

y Ingresos

a Precio de Venta

.x Cantidad Unidades


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Ahora ya estamos casi en condiciones de graficar las dos rectas solo nos faltan dos

elementos:

1. El Precio de Venta que lo vamos a definir nosotros de acuerdo al

mercado, si lo fijamos muy alto nadie nos va a comprar, si es muy bajo

vamos a ganar muy poco y no sobreviviremos. Supongamos que

elegimos un Precio de Venta = $ 2,50.

2. La Cantidad Vendida va a depender del mercado, es decir cuantas

empanadas venderemos.

Entonces nuestros ingresos quedan así:

$2,50 . .Ingresos Cantidad UnidadesUnidad

Ahora tenemos un sistema conformado por dos ecuaciones, los Costos y los Ingresos.

Son dos rectas que sabemos que se van a cortar en algún punto dependiendo de la

Cantidad Vendida, así:

$1 . . $2800Costos Cantidad UnidadesUnidad

$2,50 . .Ingresos Cantidad UnidadesUnidad

El punto donde se cortan ambas rectas es donde los Costos y los Ingresos se equilibran,

en ese único punto Costos Ingresos , entonces allí se cumple que:

$ $1 . . $2800 2,50 . .Cantidad Unidades Cantidad UnidadesUnidad Unidad

De donde se obtiene despejando:

$ $$2800 2,50 . . 1 . .Cantidad Unidades Cantidad UnidadesUnidad Unidad

$$2800 1,50 . .Cantidad UnidadesUnidad

$2800

$1,50Cantidad

1867Cantidad empanadas

Esto significa que la cantidad mínima de venta mensual de empanadas es de 1867. Si no

vendemos esto no cubrimos los costos mensuales. Recién a partir de este valor

comenzamos a ganar dinero a razón de $ 1,50 por empanada.

En la página siguiente podemos ver ambas rectas graficadas.


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$

Cantidad

1000 2000 3000 4000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Costos

Ingresos

Ganancia

Pérdida

1867


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Corolarios:

De observar el gráfico resultante, y de los valores obtenidos podemos sacar varias

conclusiones, a saber:

1. El punto de equilibrio de este negocio pasa por las 1867 empanadas, lo que

equivale aproximadamente a 156 docenas. Recién a partir de este punto

comenzamos a ganar dinero a razón de $ 1,50 por empanada. Antes de este valor

estamos trabajando a pérdida.

2. Si queremos reducir este número a un valor menor para empezar a ganar dinero

antes, tenemos tres opciones:

a. Bajar los costos fijos (la ordenada al origen).

b. Bajar el costo de la empanada, costo variable, (la pendiente de la recta

de costos).

c. Aumentar el precio de la empanada (la pendiente de la recta de

ingresos).

3. Bajar los Costos Fijos. Al hacer esto lo que sucede es que la recta de costos

tiene una ordenada al origen menor, es decir “arranca” más abajo en el gráfico y

por lo tanto corta a la recta de Ingresos antes, es decir con una cantidad menor

(un valor menor de x). Para bajar los costos debemos trabajar en los elementos

de costo asociados y ver como se pueden reducir. Por ejemplo, si trabajamos en

un local propio no tenemos que pagar alquiler disminuyendo de este modo en

forma considerable el costo fijo.

4. Bajar los Costos Variables. Para bajar este costo tenemos que poder bajar el

costo de fabricar cada empanada y podemos hacerlo de diversas maneras y cada

una tiene sus consecuencias.

a. Podemos poner menor cantidad de relleno en cada empanada (bajamos la

calidad).

b. Podemos poner ingredientes más económicos (bajamos la calidad).

c. Podemos buscar otros proveedores que tengan mejores precios para la

misma calidad.

5. Aumentar el Precio de la Empanada. Esto lo que logrará es aumentar la

pendiente de la recta de Ingresos con lo que el punto de cruce se correrá a la

izquierda.

Como vemos son varios los factores sobre los que se puede trabajar para mejorar el

rendimiento del negocio.

No se tuvieron en cuenta aquí los gastos iniciales de instalación, ni la amortización

correspondiente.

El análisis realizado, sirve como marco general. Podemos analizar por ejemplo un

emprendimiento de fabricación de ladrillos en bloques de cemento. Las empanadas son

reemplazadas por bloques y todas las otras consideraciones son las mismas en lo

referente a costos fijos, variables, o ingresos.

Este análisis, como toda modelización no es exacto, pero nos da una aproximación

muy buena sobre los posibles resultados, sin haber invertido nada más que nuestro

tiempo y un poco de esfuerzo, no se hizo ninguna inversión para encontrarnos luego

en un fracaso comercial.

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