funciones exponenciales y logaritmicas
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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
FUNCIONES EXPONENCIALES
La función exponencial f con base a se define como: f(x)= ax
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le
hace corresponder la potencia ax
En donde x es cualquier numero real.
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:
1- a° = 12- a-n = 1/an
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y = A X
Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) 1. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1 2. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a 3. La función es positiva para cualquier valor de
x: f(x) >0. Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
4 . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
5. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente
EJEMPLO:
f(x) = 2x
La función es creciente a>1
x y= 2x
-3 1/8
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
EJEMPLO:
x y= (1/2)x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
La función es decreciente a<1
LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON BIUNÍVOCAS. Deben cumplir con las siguientes condiciones
1.- Si x1 = x2 entonces ax1 = ax2
2.- Si ax1 = ax2 entonces x1 = x2
Ejemplo: Resuelva la ecuación: 3 5x-8 = 9 x+2
3 5x-8 = 9 x+2
3 5x-8 = (32) x+2
3 5x-8 = 32x+4
5x-8 = 2x+4
5x -2x =4+8
3x = 12
x= 4
FUNCIONES LOGARÍTMICAS La inversa de una función exponencial de
base a, se llama logarítmica de base a y se representa por log ax
Se expresa de la siguiente manera:y =loga(x) Si y solo si x= ay
Formas Equivalentes
Forma Logarítmica Forma Exponencial
log5 u = 2 52 = u
logb 8 = 3 b3 = 8
r = logp q pr =q
w = log4 (2t + 3) 4w = 2t + 3
log3 x = 5 + 2z 35+2z = x
EJEMPLOS
Hallar los logaritmos de:
log10 100= 2 porque 102 = 100
log1/32 = -5 porque 2-5 = 1/32
log9 3 = ½ porque 91/2 = 3
log7 1= 0 porque 70 = 1 log3 (-2) no es posible porque 3y = -
2
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
EJEMPLO: f(x) = log2x
y =log 2x
2y = x (forma expo.)
y x
-3 1/8
-2 1/4
-1 01/2
0 1
1 2
2 4
3 8
Primer Caso
a >1
f(x)= log2x
El dominio es R+
El logaritmo de 1 es 0
El logaritmo de la base es 1. la curva pasa por el punto (a,1) Si a = 2 , pasa por el punto (2,1)
Los logaritmos de números mayores
Los logaritmos de número mayores que 1 son positivos y crecen indefinidamente en la medida que crece x
x > 1 f(x)> 0 (creciente)
Lo logaritmos de los numero menores que 1 son negativos y decrece indefinidamente al decrecer x
x < 1 f(x)< 0
Como al crecer x también crece f(x), decimos que la FUNCION ES CRECIENTE
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
EJEMPLO: f(x) = log1/2x
y =log1/2x
1/2 y = x (forma expo.)
y x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
Segundo Caso
0 < a < 1
f(x)= log
1/2x
Dominio R+
El logaritmo de la base es 1. la curva pasa por el punto (a, 1)
Si la base es 1/2 , la curva pasa por (1/2, 1)
El logaritmo de 1 es 0. la curva pasa por el punto (1,0) Los logaritmos de números mayores que 1 son negativos y
decrecen indefinidamente al crecer x x > 1 f(x)< 0
los logaritmos de los numero menores que 1 son positivos y crecen indefinidamente al decrecer x
x< 1 f(x) > 0
Como al crecer x, decrece f(x), decimos que la FUNCION ES DECRECIENTE
FUNCIONES INVERSAS
La función logarítmica tiene la forma general: f(x) = log ₐ XY su función inversa es : f ˉ¹(x) = aˣ
Ejemplo:La inversa de la función f (x )= log2 x es la función f ˉ¹(x) = 2 ˣRespecto a esto se arma una tabla de valores.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSAEJEMPLO:
fˉ¹(x) = 2ˣ
fˉ¹(x) = 2ˣ
x
2 1
4 2
8 3
f(x) = log2 x :f(x) = log2 x
x
1 2
2 4
3 8