funciones de redes
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FUNCIONES DE REDES
CAPITULO 6
Introducción
Una función de red se define como la razón entre la transformada de Laplace del voltaje o de la corriente y la transformada de Laplace del voltaje o la corriente en un mismo punto de una red o entre puntos diferentes de la misma.
Las funciones de redes se dividen básicamente en dos grupos: – (1) funciones de punto impulsor, y – (2) funciones de transferencia
FUNCIONES DE PUNTO IMPULSOR
La función de punto impulsor es la relación entre el voltaje o la corriente en un punto con la corriente o el voltaje en el mismo punto
Las funciones de punto impulsor pueden ser impedancias o admitancias. La impedancia de punto impulsor se define como
)(
)()(
sI
sVsZ
x
xd
FUNCIONES DE PUNTO IMPULSOR
La admitancia de punto impulsor es la inversa de la impedancia de punto impulsor y se define como
Comúnmente se habla de immitancia de punto impulsor para referirse a la función de punto impulsor, bien sea ésta la función de impedancia o la de admitancia
)(
1
)(
)(
sZsV
sIY
dx
xd
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
La función de transferencia se usa para describir redes que tienen por lo menos dos puertos
La función de transferencia relaciona la transformada de una variable (voltaje o corriente) en un puerto con la transformada de otra variable (voltaje o corriente) en otro puerto.
Las formas posibles de las funciones de transferencia son:– La función impedancia de transferencia,
)(
)()(
1
221
sI
sVsZ
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
– La función admitancia de transferencia
– La función voltaje de transferencia
– La función corriente de transferencia
)(
)()(
2
112
sV
sIsY
)(
)()(
1
221
sV
sVsG
)(
)(
1
221 sI
sI
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
EJEMPLO 1 En la red de la Fig. 6.1, calcular las funciones de impedancia y
admitancia de punto impulsor y las funciones de transferencia Z41(s), G41(s), Y41(s) y a41(s).
1 2 H
1 F3 3I1
I1I3 I4
V4V2
+
V1
I2
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
1 2 H
1 F3 3I1
I1 I3 I4
V4V2
+
V1
I2
s
IVIII
s
V
s
VIIIVVVI 4
413442
3312211 3 22
33
1I1V 2V s11
1
3
s21 3I 4I
s21
4V3 1
3
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
1I1V 2V s11
1
3
s21 3I 4I
s21
4V3 1
3
2
2
222 2
1338
2
3
2
9
2
1
2
331
s
ss
ssss
)(1338
132)(
2
1
2
31
1338
2)( 12
2
122
2
1 sVss
sssV
ssss
ssI
)(1338
126)(
2
313
2
3
1338
2)( 12
2
12
2
4 sVss
sssV
ssss
ssI
)(1338
126)( 124 sV
ss
ssV
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
132
1338
)(
)()(
2
2
1
1
ss
ss
sI
sVsZd
1338
132
)(
)()(
2
2
1
1
ss
ss
sV
sIsYd
132
126
)(
)()(
21
441
ss
s
sI
sVsZ
1338
126
)(
)()(
21
441
ss
s
sV
sVsG
1338
126
)(
)()(
2
2
1
441
ss
ss
sV
sIsY
132
126
)(
)()(
2
2
1
441
ss
ss
sI
sIs
POLOS Y CEROS
Las funciones de redes para redes lineales, invariables en el tiempo y con elementos concentrados son todas funciones racionales
En general, las funciones de redes pueden representarse como cocientes de polinomios en s de la forma
Puesto que H(s) es una función racional, los polinomios del numerador y del denominador pueden expresarse como productos de factores lineales, esto es, podemos escribir a H(s) en la forma
011
1
011
1
)(
)()(
bsbsbsb
asasasa
sq
spsH
mm
mm
nn
nn
m
j
j
n
i
i
m
n
ps
zsK
pspsps
zszszsK
sq
spsH
1
1
21
21
)(
)()(
z, cerosp, polos
POLOS Y CEROS
EJEMPLO 3 Grafique los polos y ceros de la función
ssss
sssH
202910
72364)(
234
2
)5)(4)(1(
)6)(3(4)(
ssss
sssH
5 3 1 0
1
3
3
71
POLOS Y CEROS
EJEMPLO 4 Grafíquese los polos y los ceros de la función
13174
4050305)(
23
23
sss
ssssH
)32)(32)(1(
)1)(1)(4(5)(
jsjss
jsjsssH
1
3
7 5 3 11
3
0
DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UNA
FUNCIÓN DE RED
Una función de la red relaciona la respuesta Y(s) en un punto de la red con la excitación U(s) en el mismo punto o en otro punto diferente de la red
La respuesta transitoria de la red es simplemente la solución de la
ecuación diferencial homogénea
la cual corresponde a la ecuación diferencial que describe la red con la excitación igual a cero
011
1
011
1
)(
)()(
bsbsbsb
asasasa
sU
sYsH
mm
mm
nn
nn
)( )( 011
1011
1 sYbsbsbsbsUasasasa mm
mm
nn
nn
0)( 011
1
1
tybdt
db
dt
db
dt
db
m
m
mm
m
m
DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UNA
FUNCIÓN DE RED
Suponiendo una solución de la forma
se obtiene así la ecuación característica
La respuesta natural o transitoria tiene entonces la forma
los polos de la función de la red son, en este caso, los exponentes de las funciones exponenciales que dan la respuesta natural.
,)( stBety
0 011
1
1
st
m
m
mm
m
m Bebdt
db
dt
db
dt
db 0 01
11
stmm
mm Bebsbsbsb
0 011
1 bsbsbsb m
mm
m
0 21 mm pspspsb
tpm
tptp meBeBeBty )( 2121
DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UNA FUNCIÓN DE RED
Si la excitación es una corriente y la respuesta buscada es un voltaje en el mismo punto, entonces la función de punto impulsor es de la forma
En este caso, la respuesta transitoria para el voltaje se determina haciendo la excitación igual a cero, y ella es
p1, p2,…, pm, son los polos de la función de punto impulsor H(s).
011
1
011
1
)(
)()()(
bsbsbsb
asasasa
sI
sVsZsH
mm
mm
nn
nn
s
sd
tpm
tptp meBeBeBtv )( 2121
DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UNA FUNCIÓN DE RED
Si la excitación es un Voltaje y la respuesta buscada es una corriente en el mismo punto, entonces la función de punto impulsor es de la forma
En este caso, la respuesta transitoria para la corriente se determina haciendo la excitación igual a cero, y ella es
z1, z2,…, zm, son los ceros de la función de punto impulsor H(s).
011
1
011
1
)(
)()()(
asasasa
bsbsbsb
sV
sIsYsH
nn
nn
mm
mm
s
sd
tzn
tztz neAeAeAti )( 2121
DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UNA FUNCIÓN DE RED
Toda red pasiva es estable bajo cualquier circunstancia y, por ello, su respuesta transitoria tiende a cero conforme el tiempo aumenta
Para las funciones de punto impulsor los polos y ceros tienen que estar obligatoriamente en la parte izquierda del plano complejo, aun cuando se permiten polos y ceros en el eje imaginario en el caso de redes sin pérdidas, pero ellos deben ser sencillos
Los polos de una función de transferencia deben estar en la parte negativa del plano complejo. Sin embargo, sus ceros pueden estar en cualquier parte del plano.
Lo dicho para la función de punto impulsor con respecto a polos en el
eje imaginario también se cumple para las funciones de transferencia.
DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UNA FUNCIÓN DE RED
EJEMPLO 7
Determinar la respuesta transitoria para la corriente i(t) en la red de la Fig. 6.12.
+
_
2
)(ti)(tv 4 F41
1
)3(24
4
44
2)(
)()(
s
s
s
ssI
sVsZd
)()1()()3(2 sVssIs
la ecuación característica correspondiente a la condición V(s) = 0
03 s
tAeti 3)(
DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UNA FUNCIÓN DE RED
EJEMPLO 10
En la red de la Fig. 6.15, calcular la respuesta transitoria de v(t) si la excitación es e(t).
10
2 H
5
1 F
e(t)
i1 i2
+ v(t)
15
)(1
5
)()(
210
)()( 21
s
ssE
s
sEsI
s
sEsI
)15)(102(
)(1010
15
)(
102
)(2)(
1)(2)(
2
21
ss
sEs
s
sE
s
ssEsI
sssIsV
)2.0)(5(
)1)(1(
)15)(102(
1010
)(
)()(
2
ss
ss
ss
s
sE
sVsH
tt eAeAtv 2.02
51)(
SOLUCIÓN PERMANENTE DE LAS RESPUESTAS DE UNA FUNCIÓN DE RED
La función de transferencia, expresada en términos de la excitación y la respuesta a esa excitación es de la forma
Es muy sencillo demostrar que cuando un sistema lineal e invariable en el tiempo es excitado por una función exponencial de la forma Aexp(jwt) , la respuesta es simplemente de la misma forma modificada por el factor de amplitud H(s) evaluado en s = jw; esto es,
)(
)()(
sE
sRsH
jstj sHAejR )()(
SOLUCIÓN PERMANENTE DE LAS RESPUESTAS DE UNA FUNCIÓN DE RED
EJEMPLO 18
En la red de la Fig. 6.16 calcular:
a) La función de transferencia
(b)El voltaje de régimen permanente v(t) si la función de excitación es e(t) = 2.0 V.
b) El voltaje de régimen permanente v(t) si la función de excitación es e(t)=10Cos(2t)
(a) De la figura se obtiene
100 1 H
1 k0.01 F+
v(t)
e(t)
1101.100
100
)110(1000100
)110(1000)(
2
ssss
ssH
SOLUCIÓN PERMANENTE DE LAS RESPUESTAS DE UNA FUNCIÓN DE RED
(b) Para w=0
(c) Para w=2
100 1 H
1 k0.01 F+
v(t)
e(t)
110
100)0( H
V 818.1110
1002)0( V
Vtv 818.1)(
1.62441.02.200106
100
110)2(1.100)2(
100)2(
2 jjjjH
1.6241.41.62441.010V
)1.622cos(41.4)( ttv
SOLUCIÓN DE LA RESPUESTA FORZADA A PARTIR DEL GRÁFICO DE POLOS Y CEROS
La respuesta forzada de un sistema en el dominio del tiempo puede determinarse también a partir del gráfico de los polos y ceros en el plano s de la función de la red correspondiente y del gráfico de los polos y ceros de la transformada en el mismo plano de las fuentes aplicadas
m
n
pspsps
zszszsKsH
)(
21
21
1p
2p
1z
2z
3z
s
1p
2p
1z
2z
3z
s
SOLUCIÓN DE LA RESPUESTA FORZADA A PARTIR DEL GRÁFICO DE POLOS Y CEROS
La magnitud de la función de la red se determina multiplicando las magnitudes de los vectores en el numerador y dividiendo por las magnitudes de los vectores en el denominador
El ángulo de la función se calcula sumando los ángulos de los vectores en el numerador y restando los ángulos de los vectores en el denominador.
1p
2p
1z
2z
3z
s1ps
2ps
1zs 2zs
3zs
SOLUCIÓN DE LA RESPUESTA FORZADA A PARTIR DEL GRÁFICO DE POLOS Y CEROS
EJEMPLO 13
Se desea determinar la respuesta forzada para la función de transferencia
22
)2(5)(
2
sss
ssH .3sen2)( ttu
)1)(1(
)2(5)(
jsjss
ssH
1H2H
3H4H
-1-2-3
j3
-j
4.632.2 761.4 903 3.566.3 4321 HHHH
1.16364.0
432
1
HHH
HKH
1.16328.11.16364.02Y
1.1633sen28.1)( tty
CURVAS DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA CON EXCITACIÓN SINUSOIDAL
EJEMPLO 14
En la red de la Fig., dibujar las curvas de las respuestas de frecuencia de la función de transferencia
)(
)()( 0
jE
EjH
i1
0.5F
+
v(t)
e(t)
2
2
21
2
)(
)()( 0
ss
s
sE
sEsH
i
-1-2
j
2s
0
CURVAS DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA CON EXCITACIÓN SINUSOIDAL
EJEMPLO 14
w H(jw) w H(jw)
0 1.00 12 0.16480.5
2 0.70745 14 0.14181.9
4 0.44763.4 16 0.12482.9
6 0.31671.6 18 0.11083.7
8 0.24376.0 20 0.10084.3
10 0.19678.7 090
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
)( jH
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
)( jH
CURVAS DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA CON EXCITACIÓN SINUSOIDAL
EJEMPLO 15
Para la red de la Fig. 6.23, determínese las curvas de respuesta de frecuencia de la función
)(
)()(
jI
jEjH
8 1 H
0.04 FEI s
jsjs
s
ss
ss
sI
sEsZsH d
)34)(34(258258
)(
)()()(
2
-5 -4 -3 -2 -1 0
3
2
1
-1
-2
-3
CURVAS DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA CON EXCITACIÓN SINUSOIDAL
EJEMPLO 15
)( jH )( jH
w H(jw) w H(jw)0 90 9 10.137.9
1 25.571.6 10 11.043.2
2 13.252.7 11 11.847.5
3 9.633.7 12 12.751.1
4 8.315.7 14 14.656.8
5 8.00 16 16.561.0
6 8.212.9 18 18.564.3
7 8.723.2 20 20.466.9
8 9.431.2 90
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 16 20
-100
-60
-20
20
60
100
0 2 4 6 8 10 12 16 20
)( jH )( jH
GRÁFICOS POLARES
El gráfico polar representa en una sola curva en el plano complejo, la magnitud y el argumento de la función. En general, la forma polar de la función de la red es
Para dibujar estas gráficas, se toma la frecuencia w como parámetro variable y en el plano complejo se considera a H(jw) como un fasor que se desplaza conforme w varía, y se gráfica determinando los valores
El trazado aproximado de estas curvas se consigue usando solamente valores de w en cero y en infinito y observando el comportamiento de la función para valores intermedios de la frecuencia
)()()( jXRjH
)(
)(tan)(y )()()( 122
R
XjHXRjH
GRÁFICOS POLARES
EJEMPLO 18
Determínese el gráfico de la función de transferencia)(
)()(
jE
jVjH
+
_
+
_
1
E VF2
1 2
2
)(
)()(
ssE
sVsH 22 4
2
4
4
2
2)(
j
jjH
2tan)( ,
4
2)( 1
2jHjH
0 0.5 1
GRÁFICOS POLARES
EJEMPLO 20
Dibujar el gráfico polar para la siguiente función de red:
para y para Observe también que el argumento de H(jw) siempre se mantiene negativo para w creciente.
)101)(51)(21(
5)(
jjjjH
;05)( ,0 jH .2700)( , jH
DIAGRAMAS DE BODE
En esta sección estudiaremos otro método para obtener un gráfico aproximado de las variaciones de la amplitud y el argumento de la función de la red en función de la frecuencia w.
Las curvas de respuesta aproximada se conocen como diagramas de Bode y conforman un gráfico particularmente importante y útil en el análisis y diseño de circuitos de control y en la visualización de la respuesta de frecuencia de sistemas lineales
Los diagramas utilizan una escala logarítmica de frecuencia para la abscisa, y para la magnitud también usan unidades logarítmicas denominadas decibelios (dB), y consisten de dos gráficos: uno correspondiente al módulo de la función expresado en decibelios versus la frecuencia, y otro correspondiente al argumento de la función en grados versus la frecuencia.
OCTAVAS, DÉCADAS Y DECIBELIOS
Una octava es una banda de frecuencias entre, digamos, f1 y f2 donde f2/f1 = 2. Por ejemplo, el número de octavas en la banda de frecuencias de f1 a f3 es
Una década es una banda de frecuencias entre f1 y f2, donde f2/f1 = 10. El número de décadas en la banda de frecuencias de f1 a f3 es
1313 log322.3
2log
logff
ff
1313 log
10log
logff
ff
OCTAVAS, DÉCADAS Y DECIBELIOS
La magnitud en decibelios (dB) de una función de red H(jw) se define como
)(log20dB jHH
dB 46 0.200)( dB 0 0.1)(
dB 40 0.100)( dB 6 5.0)(
dB 20 0.10)( dB 20 1.0)(
dB 6 0.2)( dB 40 01.0)(
dBdB
dBdB
dBdB
dBdB
HjHHjH
HjHHjH
HjHHjH
HjHHjH
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
Cuando tenemos la función de la red en función de la variable compleja s, para obtener los diagramas de Bode la reemplazamos por jw y los factores que aparecen en la función son de la siguiente forma:
– La constante K.– El factor – El factor de primer orden – El factor de segundo orden
.)( nj .)1( nTj
2)( 21 TjTj
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
La Constante K
Puesto que la constante K no varía con la frecuencia, sus gráficos de Bode son: el correspondiente a 20logK dB es una línea recta de valor constante; si K es positiva, el ángulo es 0, y si es negativa es 180.
EJEMPLO 22 Se desea determinar los diagramas de Bode de la función .30)( jH
0( 30db 54.2930log20dB jHH
0
10
20
30
40
1 10 100 1000 Frecuencia (rad/s
-4
-2
0
2
4
1 10 100 1000
Frecuencia (rad/s)
H db Áng H
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
El Factor jw
El factor jw puede aparecer en la función de la red H(jw) en el numerador o en el denominador. Si el factor está en el numerador, vale decir,
• De esta expresión se obtiene que cada vez que se aumenta la frecuencia por un factor de 2, la magnitud se incrementa en 6 dB, y si la frecuencia se aumenta por un factor de 10, la magnitud se incrementa en 20 dB; esto es, se tiene una recta con una pendiente de 6 dB/octava o, equivalentemente, de 20 dB/década y para w=1 rad/s, HdB = 0 db
jjH )(
log20 log20dB jH
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
El Factor jw
-20
0
20
40
0,1 1 10 100
Frecuencia (rad/s )
0
50
100
0,1 1 10 100 Frecuencia (rad/s)
HdB Áng H
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
El Factor jw
Si el factor jw está en el denominador, entonces
log201
log20dBj
H
-40
-20
0
20
40
0.1 1 10 100
Frecuencia (rad/s )
Decibelios
-100
-50
0 0.1 1 10 100
Frecuencia (rad/s)
Ángulo (grados)
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
El Factor jw
Si el factor jw está elevado a la potencia m, o sea , entonces el gráfico de magnitud tiene una pendiente de 6m dB/octava o 20m dB/década, pasando por el punto de 0 dB para w = 1; el ángulo es constante e igual a m90.
-200
-100
0
100
200
0,1 1 10 100 1000
m=1
m=2m=3
m=-1
m=-2
m=-3
Hdb
-300
-200
-100
0
100
200
300
0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (rad/s)
Ángulo (grados)
m=3
m=2
m=1
m=-1
m=-2
m=-3-200
AngH
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
Factor 1 + jwT
El factor 1+jwT aparece en la función de red si la red tiene un cero o un polo en el eje real. Si el factor aparece en el numerador, lo cual significa que la función tiene un cero en el eje real, la magnitud en decibelios es
para wT<<1
y para wT>>1
2222dB 1log101log201log20 TTTjH
01log20dB H
TH log20dB
-20
0
20
40
0.1/T 1/T 10/T 100/T
Frecuencia (rad/s)
H db
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
Factor 1 + jwT
Si el factor 1+jwT aparece en el denominador, la magnitud en decibelios es
22db 1log20
1
1log20 T
TjH
-40
-20
0
20
Frecuencia (rad/s )
0.1/T 1/T 10/T 100/T
H db
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
Factor 1 + jwT
La aproximación de la curva correspondiente al ángulo de fase de la función de red versus la frecuencia para el cero 1+jwT es un poco más difícil. El ángulo de la función es
aproximando
se construye la otra asíntota que va desde 0 en w=0.1/T, hasta 90 en w=10/T. La pendiente de esta recta en escala logarítmica es
TTjjH 1tan)1()(
1.0 para ,0)( TjH
10 para 90)( TjH
década45100log
90
1.0log10log
090
m
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
Factor 1 + jwT
La curva asintótica se muestra
0
45
90
135
Frecuencia (rad/s) 0.1/T 1/T 10/T
ang H(j )
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
EJEMPLO 24
Se desea determinar los diagramas de Bode de la función de red
101)( jjH
-20
0
20
40
Frecuencia (rad/s )
0.01 0.1 1 10
Hdb
0
45
90
135
Frecuencia (rad/s)0.001 0.01 0.1 1 10
angH(j )
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
EJEMPLO 25
Determinar los diagramas de Bode de la función
21
1)(
jjH
-40
-30
-20
-10
0
0.05 0.5 5 50Frecuencia (rad/s)
0.05 0.5 5 50
Hdb
-90
-70
-50
-30
-10
0.005 0.05 0.5 5 50Frecuencia (rad/s)
0.05 0.5 5 500.005
AngH(j )
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
EJEMPLO 26Construir los diagramas de Bode de la función
El método más utilizado para representar la función en términos de sus diagramas de Bode consiste en representar cada factor por separado y luego sumar los diagramas individuales para obtener la representación final. Para la función de red dada, tenemos que
Así que el diagrama consiste de tres factores:– El factor correspondiente a la constante 5 dB – El factor correspondiente al cero– El factor correspondiente al polo
j
jjH
1
)1001(5)(
jjH 1log201001log205log20dB
145log20 1001log20 :1001 jj
.1log20 :1 jj
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
EJEMPLO 26
jjH 1log201001log205log20dB
-60
-40
-20
0
20
40
60
0,01 0,1 1 10 100
Frecuencia (Rad/s)
Hdb
a
b
c
Resultante
-100
-50
0
50
100
0,001 0,01 0,1 1 10 100
Frecuencia (Rad/s)
a
b
c
Resultante
Ang H(j )
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
EJEMPLO 27Construir los diagramas de Bode de la función
El diagrama consiste de cuatro factores:a. El factor 4: 20log 4=12 dB.b. El factor 1+j0.1wc. El factor jwd. El factor 1+j10w
)101(
)1.01(4)(
jj
jjH
-80
-40
0
40
80
0,001 0.01 0.1 1 10 100 Frecuencia (Rad/s)
H db
a b c
d
Resultante
-200 -150 -100 -50
0 50
100
0,001 0.01 0.1 1 10 100 1000 Frecuencia (Rad/s)
Ang H(j )
b d
c
Resultante
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
El Factor
El factor aparece en la función de red si ella tiene ceros o polos complejos conjugados.
La cantidad ζ se conoce como el factor de amortiguamiento. Si el factor aparece en el numerador, lo cual significa que la función tiene ceros en el plano complejo, la respuesta de magnitud en dB es
- Para valores pequeños de w tales que wT<<1,- Si wT>>1,
2)(21 TjTj
2)(21 TjTj
2
2dB
)(21log20
)(21 log20
TTj
TjTjH
db. 01log20dB HTTH log40)(log20 2
dB
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
El Factor
Si el factor aparece en el denominador de la función, lo cual significa que existen polos en el plano complejo, la magnitud en decibelios es
2)(21 TjTj
-10
40
90
Frecuencia (Rad/s)
0.1/T 1/T 10/T 100/T
Hdb
2)(21 TjTj
2
2dB
)(21log20
)(21 log20
TTj
TjTjH
FACTORES QUE INTERVIENEN EN LOS DIAGRAMAS DE BODE
El Factor El ángulo de fase de la función es
El diagrama de Bode correspondiente al ángulo se aproxima por una recta con un valor de 0 hasta w=0.1T, una segunda recta con valor de 180 que comienza en w=10/T y una línea recta con pendiente 90/década que pasa por 90 cuando w=1/T. El diagrama se muestra en la Fig.; la curva indicada con una “a” corresponde al factor en el numerador y con una “b” al factor en el denominador.
2)(21 TjTj
221
1
2tan)(
T
TjH
-200
-100
0
100
200
Frecuencia (rad/s)
Ang H(j )
a
b
0.01/T 0.1/T 1/T 10/T 100/T
DIAGRAMAS DE BODE
EJEMPLO 28Construir el diagrama de Bode para la función
La función está conformada por cuatro factores:a) La constante 10.b) El factor 1+jw en el numerador; éste corresponde a un cero.c) El factor (jw)2 correspondiente a un polo doble en el eje imaginario.d) El factor correspondiente a dos polos complejos
conjugados.
22 10101)(
)1(10)(
jjj
jjH
,)10(101 2 jj
-150
-75
0
75
150
Frecuencia (rad/s)
Hdb
0.1 1 10 100 1000
Resultante
12
3
4
-300
-225
-150
-75
0
75
0.01 0.1 1 10 100 1000
Frecuencia (rad/s)
)( jangH
12
3
4Resultante