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Funciones de conversin interoperacional y constantes asociadas Elaborado por Jaime Erwin Blanco Nio 1

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Resumen Las funciones de conversin operacional entre funciones de sumatoria y factorial se generan por el producto funcional de interconversion reciproca dada la proporcionalidad de las cantidades comparadas. Aqui se estudian constantes numricas asociadas a la recta de su cada o pendiente, los nmeros ureos y ecuaciones cuadrticas ureas. Algunas de estas funciones son semiexponenciales o semilogaritmicas. Las funciones de conversin de sumatoria a factorial pueden ser amplificadoras y las de factorial a sumatoria reductoras. 2

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Abstract Operational Conversion functions between summation and factorial functions are generated by the reciprocal interconversion of functional product given the proportionality of the quantities compared. Here we study numerical constants associated with the line of fall or slope, and quadratic equations Golden Numbers aureus. Some of these functions are semiexponenciales or semi-logarithmic. The conversion functions for factorial sum may be amplifying and reducing summation of factorial. 3

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Estudio de la funcin k-funcional entre dos funciones asociadas a x Y entre funciones de producto: potencial de 2, factorial y cuadrado de x, con estudio de valores de pendiente en recta de linealizacion, ecuacion cuadratica de numeros aureos y raices, contantes varias relacionadas a la conversion y/0 linealizacion asociada. 4

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Convertibilidad interfuncional 5

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Imagen de la funcin sumatoria a partir de valores del factorial de x 6

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Introduccin Concebir relaciones entre funciones de adicin y multiplicacin y procurar un expresin o interpretacin de las mismas a nivel grafico es un desafo poco corriente pero quiz hoy disponible gracias a los alcances de los nuevos sistemas de comunicacin y graficacin en Excel particularmente. Aqu se pretende demostrar que es posible interpretar algunas relaciones entre funciones de tipo aditivo o sumatorio y funciones multiplicativas de tipo factorial por ejemplo. 7

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Nocin de funcin sumatoria o aditiva Bsicamente se podra definir la funcin sumatoria como el resultado de sumarle los nmeros de sucesin natural a un guarismo determinado segn su magnitudas por ejemplo la funcin sumatoria o aditiva de 3 seria 1 + 2 +3en forma anloga a como se procede calculando el producto numrico con los factoriales segn el valor del numero calculado 8

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Tabla de la funcin sumatoria La funcin sumatoria o aditiva va creciendo porque a cada numero le suma los anteriores segn el orden natural, a semejanza de como opera la funcin factorial en cada numero. Es creciente y continua en este rango. x 11 23 36 410 515 9

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Grafica de la funcin sumatoria o aditiva La funcin sumatoria de x aparece como una cuerda y es creciente o continua en su rangosu recta tangente asociada le curta en dos puntos y tiene una pendiente de 3,5, es decir 7/2. 10

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Interpretacin de esta funcin x =x Es una funcin de sumatoria x o aditiva en x que crece con el valor de x de manera casi exponencialla pendiente asociada de la recta tangente a la cuerda vale m= 3,5 por lo que la curva asemeja en proporcionalidad bastante una recta. Pero los clculos de esta funcin siguen la forma: m =m = .( m-2 ) + (m 1 )- m segn el numero de sumandos que alcance a cubrir el numero calculado en cuestin.(Donde m=x) 11

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Relacin de la sumatoria con el potencial de 2. Siendo m= 7/2 se tiene que la funcin es casi lineal aunque hablando estrictamente no lo es. Un calculo aproximado de esta funcin sumatoria seria para x = 1 x = 2 ( 6 n ) ( siendo n = - 2 ) Para x=3 se tendra la formula : x = 2 ( 6 n ) - 2 o X = 2 ( 5 n ) ( siendo n = - 1 ) Para x=6 y x=10 se tendra la ecuacin: X = 2 ( 6 n ) ( siendo n un valor N entre [ 0, 1 ] ) Para x = 15 y x = 21 o subsiguientes se usara el algoritmo: X= 2 ( 6 n ) - 3 ( para n 2 estando n=N entre [ 2,3] ) y as sucesivamente se agregan sumandos en cada calculo de funcin sumatoriaverbigracia sumando s = 5 para n=4. As asumiendo que hay sumandos potenciales aqu se deduce que x =x =2 ( 6 n )s. 12

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Tabla de relacin sumatoria a potencial de 2 x2 12 34 68 1016 1532 2164 13

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Grafica de funcin potencial reflejo de sumatoria con pendiente m= 3. 14

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Funcin factorial ( x! ) xx! 01 11 22 36 424 15

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Datos de la funcin factorial Los valores de x reflejados en la funcin factorial nos llevaran a una funcin creciente quiz de tipo exponencial o potencial que mostrara continuidad y incremento paulatino segn el aumento de los valores de x.Una analoga podra establecerse con lo que sucede en la progresin geomtrica respecto de la aritmtica si se compara esta funcin con la sumatoria. As aunque esta es una funcin especial poco abordada en los textos es til para describir el comportamiento numrico y aumentar la comprensin del cosmos. 16

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Grafica de la funcin factorial 17

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Interpretacin de la pendiente asociada a la recta que corta la curva en 2 puntos La grafica muestra una funcin creciente que empieza siendo constante y al curvarse genera una concavidad en ngulo,pero la funcin tiende de manera continua hacia sus mayorantes cada vez masno obstante presenta una gran punta de arco o giba en ngulola pendiente de la recta promedio asociada a ella tiene un valor de 19,086 que concuerda justamente con e5. Es decir m = e5 18

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Tabla de valores de potencial de 2 reflejada desde factorial de x. x!2 11 12 24 68 2416 12032 72064 19

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Grafica de potencial imagen de factorial de x.Forma semilogaritmica 20

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Pendiente de la relacin factorial aplica a potencial, m= 0,0813. 21

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Pendiente de la recta asociada a la curva en esta funcin factorial aplica a potencial La pendiente de la recta de linealizacion asociada a la curva vale 0.0813 y al multiplicarla por genera como resultado 0.25541148273685 que es aproximadamente Con un delta = 0.00541148273685005. Es decir m =, de donde m= 1/ 4. 22

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Tabla de valores de potencial reflejada o aplicada en factorial 2x! 11 21 42 86 1624 32120 64720 23

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Funcin factorial de forma semi- potencial 24

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La pendiente de esta funcin =4e L a grafica tiene una forma semi exponencial o semi potencial y es funcin factorial o gamma con una recta asociada de pendiente m= 10.931 que equivale a 4e pues m/e = 4.02129017144504 25

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Tabla de datos de funcin conversora para a(x) desde x=0 xvalor de f(x)=a(x) 01 10.5 2 30.75 41.5 53.75 611.25 26

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Tabla de datos de funcin conversora amplificados por 100 xvalor de f(x) 0100 50 20050 30075 400150 500375 6001125 27

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Grafica de funcin conversora a(x) 28

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Examen de la pendiente de linealizacin en esta funcin: La pendiente m= 1.3661 dividida en genera el numero: m/ = 0.434843135515677, valor muy similar a log e que solo difiere de este en = 0.000548653612425287,es decir m/ log e = 0.000548653612425287, pues z= log e =0.434294481903252.Esto es m=z,que equivale a m = log e. Pero a su vez e = 0.423310825130748, existiendo escasa diferencia entre m/ - ( e ) = 0.0115323103849292 y entre : Log e ( - e )= 0.0109836567725048. As e +m/ = 0 equivale a e + log e = 0. Si se examina m= ( e ) + ( 11 / 1000) aproximadamente, de donde se infiere que: 29

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El valor de la pendiente de lineal asociada a funcin de conversin a(x) en funcin cuadrtica de - e + (11/1000 ) m = 0 de lo cual se deduce que: - ( e - 11/1000 ) m = 0 que generara Las races: = [ ( e - 11/1000 ) + (( e - 11/1000 ) + 4 m ) ] / 2 = [ ( e - 11/1000 ) - ( ( e - 11/1000 ) + 4 m )] / 2, En donde si obviamos el decimal de la fraccin 11 milesimales tendramos una expresin como : = [ e + ( e + 4 m ) ] / 2 = [ e - ( e + 4 m )] / 2, donde m es la pendiente de linealizacin de una funcin de conversin para funcin potencial que aplica en factorial. Y donde m estara en la ecuacin cuadrtica: - e - m = 0, esto es m= - e . 30

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Ecuacin cuadrtica para con 10 a la contante z y la pendiente m de la funcin conversora de a(x) a x! Y dado que z = log e se tiene : 10 = e, pero como log e = e aproximadamente entonces : z = ( e ), es decir: - e - m = 0 se transforma en : - 10 - m = 0 (ecuacin cuadrtica para con potencia de 10 en coeficiente de variable) con soluciones : = [10 + (10 + 4 m )] / 2 = [10 - (10 + 4 m )] / 2, pero log z = -w y log w = - z, donde z y w son los nicos nmeros inversos que cumplen con las formulas z = 10 y w = 10 entonces 31

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Valor de desde potencia de 10. z = 1 / 10 y en consecuencia z 10 = 1 es decir 10 = z de donde w = log ( 1 / z ).a su turno w= |log z |= 0.362215688699463 similar a 1/e =0.367879441171442 pues hay solo una diferencia nfima de = w = 10 , lo que significa que w = 1/ 10 , es decir W 10 = 1, de donde 10 = 1/w que sugiere que z= log w = log (1/w) entonces 10 = 10 = 1/w = w De donde - 10 - m = 0 se convierte en -w -m = 0 0.00566375247197931 32

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Valor de desde w y m Que genera las soluciones : = [w + ( w + 4 m )] / 2 = [w - (w + 4 m )] / 2, donde siendo e = 10 = w = 1/ 0.367879441171442 la ecuacin de e bien podra transformarse en: ( 10 ) e = 10, (siendo loge + logw =0 ) = [w (w + 4m) ]/ 2si se reemplaza e = w , 10 2 [ 10 ] = [10 ( 10 + 4m ) ] / 2 33

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Progresin de adicin y producto factorial- teorema sumatorio Existe una manera de convertir una cantidad aditiva en otra factorial mediante la constante de conversin apropiada. Teorema 1: De manera general se tendra para n>o,o, n positivo o natural : x = n + 2 ( n 1 ) para n< 3 ; 0 = 1 v 0 = 1; 1 = 1 v 1=1; As n = 1, n= 1, n=3, n= 6, n= 10, n= 15, etc. En donde para n>3 se debe aadir un sumando de potencia de 3 as: x = x = n + 2 ( n - 1 ) + 3 ( aqu m=0 y m=1 hasta n = 15 )En general: x = x = n + 2 ( n - 1 ) + [ (n-1) (n-2) (n-3) ] 3 y as sucesivamente en cadena segn el grado de complejidad en n o ensimo.(Formula general hasta n) Existe una manera de convertir una cantidad aditiva en otra factorial mediante la constante de conversin apropiada. Teorema 1: De manera general se tendra para n>o,o, n positivo o natural : x = n + 2 ( n 1 ) para n< 3 ; 0 = 1 v 0 = 1; 1 = 1 v 1=1; As n = 1, n= 1, n=3, n= 6, n= 10, n= 15, etc. En donde para n>3 se debe aadir un sumando de potencia de 3 as: x = x = n + 2 ( n - 1 ) + 3 ( aqu m=0 y m=1 hasta n = 15 )En general: x = x = n + 2 ( n - 1 ) + [ (n-1) (n-2) (n-3) ] 3 y as sucesivamente en cadena segn el grado de complejidad en n o ensimo.(Formula general hasta n) 34

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Deduccin de la funcin conversin por despeje de la formula x!=fv x (donde fv ser la funcin de conversin o funcin variante ) 35

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Tabla de la relacin de funciones sumatoria y factorial x = xx! 01 11 32 66 1024 15120 21720 36

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Proporcionalidad interfuncional 37

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Proporcionalidad interfuncional 38

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Interpretacin de la proporcionalidad o relacin interfuncional y su recta asociada La pendiente de la recta tangente asociada es 28,052 pero existe patrn de funcin antes que de proporcionalidad lineal estricta, adems se observa una curva con bastante vejiga lo que muestra una gran fluctuacin de la funcin y un patrn irregular antes y despus del valor de 2 en que la coordinacin de progresividad de los valores de ambas funciones se altera ya que si bien factorial es mayorante respecto de sumatoria antes del valor de 2 no lo es, sino que se muestra como minorante mientras sumatoria parecera mayorante..este punto de inflexin hace verificar que la proporcionalidad varia y no se mantiene constante y que por tanto quiz las funciones asociadas de conversin tendrn esta fluctuacin de manera inmanente a su comportamiento numrico. Y ello marcara el cambio decisivo en las relaciones de proporcionalidad interfuncional. 39

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Influjo probable de la funcin de conversin en la relacin interfuncional.As pues verificamos mas bien una inversin de la proporcionalidad en las relaciones entre funciones especiales que procederan del producto de otras dos funciones, una de las cuales actuaria como constante k- funcional de convertibilidad para generar la otra funcin de mayorante relativo o minorante relativo segn el caso..en esto lo mas interesante ser observar el patrn de la funcin asociada de conversin y su variacin o inflexin en valores para generar los mayorantes o minorantes funcionales relativos de orden especial, como parte de estas funciones procedentes del producto de funciones 40

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Valor de la pendiente de la recta asociada a la relacin interfuncional El valor de la pendiente de la recta asociada a la curva de relacin interfuncional que es m= 28.052 parece estar relacionado con el duplo del producto de 3 constantes a saber: m= 2 e = 28.052 pero en realidad es algo mas del duplo, es 2.03016733312156, que es aproximadamente la raz sexta de 70, entonces: m=( 70) e, donde = 1,61803398874989 ( numero ureo el cual elevado a la 3 y disminuido en 1 configura una constante k que a su vez elevada a la 6 y aumentada en 1 genera el numero e as: - = k = 1,09447532390996, de donde k + 1 = e; adems dado que k= (e -1) se tiene =+k = + ( e 1 ), es decir : = [ + ( e 1 )], lo cual 41

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La pendiente de la recta en la curva factorial en trminos de e y Generara la expresin: m = ( 70) e [ + ( e 1 )] aproximadamente donde ya no aparecera pues cantidades como y e estaran por dentro y por fuera del radical en el calculo de la pendiente. No obstante el relacionar un numero de oro como presente en la naturaleza y aqu en nuestro mundo ideal de rectas y curvas funcionales resulta un punto mas a favor de la presencia de en nuestro mundo aparte de que: = + 1 y consecuentemente: - 1 = 0, que configura las races cuadrticas : 42

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Valores hallados del numero ureo = [1 + 1 + 4 ]/ 2, de donde: = [1 + 5 ]/2 y = [ 1 - 5]/2, es decir = 1.61803398874989 y = -0.618033988749895, que es igual a ( 1 ), esto es: = ( 1 ), de donde se genera + ( 1 )= 0 lo que equivale a sostener que: = 1 - , lo que configura que la suma de estas races da 1, siendo una de ellas el numero ureo descrito y evidenciado en los clculos de los datos de esta curva, as: + = 1, donde = que como nmeros de reflexin mutua no son mas que el numero dorado y una de las races cuadrticas de la funcin cuadrtica descrita previamente arriba mientras que la segunda raz difiere del numero ureo pero mantiene cierta simetra aurea con el 1 al ser el sustraendo de la unidad que configura el minuendo ureo, es decir al ser un cierto minorante negativo respecto del mayorante ureo..aqu la suma de este mayorante y minorante configuran la unidad por cuanto uno de los dos nmeros es negativoes como si el segundo numero fuera el numero antiaureo u opuesto funcional que existe como raz cuadrtica en la funcin del nombre y que igual anula el valor total al aplicarse como valor variable en la funcin cuadrtica asociada a nmeros ureos as. 43

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El ureo negativo, inverso de un anti-ureo El numero - 1.61803398874989 que es surge del inverso de , es decir = 1/ , que equivale a : - = 1, que a su vez seria: - = 1 de donde se obtiene: 1 + = 0 que tambin se expresara: 1 + = 0. Por otra parte dado que + -1 = 0 se tiene que : 1 + = + - 1 de lo cual se infiere que: 1 + - = - 1, y, ( - 1) - ( - 1) + 1 = 0, por lo cual: ( 1 ) ( - 1) + 1 = 0,asi: ( 1 ) ( - 1) + 1 = 0.Y entonces: - - + 1 +1 = 0, es decir: - + 2= 0 que equivale a - (+ ) + 2= 0 44

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Numero ureo, relaciones especiales - ( + ) + 2= 0 de lo que puede deducirse que: - = 2.Y factorizando + - = 2 puede suponerse que: ( 1 - ) = (2 - ) y concluirse que: =( 2 - ) / ( 1 - ) mientras que : ( 1 - ) = (2 ) Que equivale a : = ( 2 ) /(1 - )en todo esto se observara que aunque no hay sino un solo numero ureo en realidad este se define indirectamente tambin a partir de la resta de 1 menos ,la segunda raz aurea as: = 1 - , es decir = 1 - ( 2 ) /(1 - ), que equivale a : ( 2 ) /(1 - ) + 1 = 0 que generara una nueva ecuacin cuadrtica aurea de la forma:- + + 1 = 0. 45

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Soluciones cuadrticas ureas Que configura las races cuadrticas: = [-1 + 1 + 4 ]/ - 2 con races anlogas a las de la anterior ecuacin de este tipo y .Donde = [-1 5 ]/ - 2 = 1.61803398874989 y en que = = [-1 + 5 ]/ - 2 = -0.618033988749895 46

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La presencia del numero ureo En una segunda instancia tenemos que : - = k, y k + 1 = e, con lo cual se tiene que: ( - ) + 1 = e, lo cual supondra que podemos despejar el numero ureo en termino de otros numero y viceversa o igualar a cero as: ( - ) - e + 1 = 0 (ecuacin para 3 algunas constantes clsicas).Si se despeja la constante por ejemplo el calculo podra introducirse en ecuaciones en que no figura el numero ureoen este caso: - = (e 1) de lo cual: = - (e 1) y al mismo tiempo e = ( - ) + 1. Ntese que = (1 + 5 ) / 2 = 1 [ (1 - 5 )/2 ] (numero ureo ) y que esta proporcin cabe en estas regularidades. 47

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Tabla de datos para la imagen de factorial en sumatoria x!x = x 10 11 23 66 2410 12015 72021 48

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Imagen de la funcin sumatoria a partir de valores del factorial de x 49

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Variacin de la pendiente de la recta promedio de esta proporcionalidad interfunciones La pendiente de la recta tangente a la curva de proporcionalidad corta en 2 puntos la funcin y vale 0,0241no obstante como la relacin no es lineal sino funcional nos hallamos ante una funcin sumatoria que procede del producto de 2 funciones una la factorial y otra quiz la de conversin inversa por cuanto estamos reduciendo de una funcin de mayor magnitud a otra de menor valor, es decir la funcin factorial es ordinariamente mayorante respecto de la sumatoriaexceptuando el valor 2! = 2 que altera la coordinacin de proporcionalidad ordinaria por cuanto 2 = 2 = 3 por lo cual observamos una fluctuacin de concavidad o protuberancia en la curva que difiere el patrn general antes y despus del valor de 2. 50

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Interpretacin del valor de la pendiente asociada a la recta tangente a la curva de relacin Sea m= 0,0241 la pendiente tenemos que 1/me = /2 As esta pendiente que podra ser por ejemplo m = se describira por la ecuacin: = 2 / e pero =31 aproximadamente, as que = 2/ 31 e. Esta pendiente no es segura sin embargo porque la relacin de nuevo oscila entre mayorante y minorante de la imagen de factorial antes y despus de los valores funcionales para x= 2.Asi las cosas hay de nuevo fluctuacin aun al examinar la conversin operacional inversa de funcin de multiplicacin factorial a sumatoria. 51

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Posible influjo de la funciones de conversin en las fluctuaciones de relacin interfuncional: Inferencia: De todo lo anterior se infiere que la funcin conversin ser una funcin que actu generando cierta proporcionalidad a la manera de una constante entre las dos operaciones de adicin y producto que generan las funciones sumatoria y factorial..Esta funcin llamada aqu k- funcional en realidad es muy semejante a las otras funciones descritas aqu aunque con variamientos en la pendiente asociada que alteraran la proporcionalidad generando un cambio en la misma o fluctuacin a partir de cada posible caso as: 52

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La funcin de conversin o k- funcional- Tabla de datos xk-funcional 11 20,66 31 42,4 58 53

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Funcin de conversin interfuncional de operaciones 54

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Interpretacin de la funcin de conversin k La funcin de conversin tiene una leve cada por debajo de su ecuador o punto de equilibrio en 1 y vuelve a ascender sutilmente hasta 1, lo que probablemente le infiere parte de la variacin funcional a las proporciones entre la funcin sumatoria y factorial..de ah la forma de arco que adquiere la cuerda con gran vejiga de esta funcin de conversin interfuncionalcuya recta tangente le corta en 2 puntos y tiene una pendiente de 1, 574, numero que estara asociado con la mitad de y con la divisin e/3, es decir que: 55

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La pendiente de la tangente a la curva de conversin k e / 3 = / 2 de donde se obtiene que = 2 e / 3. Se vern simetra de esta cuerda o arco y decaimiento y ascenso alrededor de determinado limite numrico por lo cual la pendiente de la recta asociada a la curva de conversin no puede tomarse como esttica sino como un valor relativo o promedio sobre la cada de dicha lnea promedio. Y resulta bastante curioso que un numero tan clsico como pudiera asociarse con esta funcin al ser la pendiente de la recta tangente a la curva, cuerda o arco inclinado de aproximadamente / 2 o al ser e / 3 pues en realidad la ecuacin de la recta solo se cumple en la recta tangente pues las funciones serian de mayor complejidad de calculo. 56

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Tabla de datos de k-funcional con x=6 xk-funcional 11 20,66 31 42,4 58 634 57

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Funcin k-funcional hasta x=6 58

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La pendiente de la funcin conversora El valor de m= 5.4234 en la recta asociada a la funcin conversora k-funcional supone que m= 2 e pues se tratara de una nfima diferencia el resultado real de la divisin de m/e que nos dara 1.9951573612492 y al restarle 2 a este resultado el margen de la diferencia seria de tan solo = -0.00484263875079982. Por otra parte se tiene que m= 3 pues m/ = 1.726321836712917 que es una valor muy aproximado a 3 = 1.73205080756888 y al restar de esta razn la raz de 3 se obtiene un diferencial nfimo de tan solo = - 0.00572897083970747 59

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Analogas de m con constantes y relaciones bsicas entre constantes El valor de 2e = 5.43656365691809 indica que hay una diferencia con la pendiente grafica 5.4234 de aproximadamente = 0.0131636569180902, un valor realmente insignificante que marca que la pendiente grafica se acerca mas por defecto a su limite en 2e. A su vez 3 = 5.44139809270265 y al restarle m=5.4234 se genera una diferencia nfima de: = 0.0179980927026522,donde m se acerca menos por defecto a su limite en 3 Con todo se tiene que 3 > 2e solo ligeramente pues = 0.004834435784562 ( difieren en 4 milsimas ) 60

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Relacin entre constantes clsicas asociadas a la funcin conversin Dado que 3 = 2e en lneas generales se tiene que = 2e / 3 y a su vez e = 3 / 2 ( aproximadamente ), donde = m / 3 ( constante definida por la pendiente de una recta asociada a la funcin de conversin dividida entre la raz de 3 ) o donde e = m / 2 ( constante e definida por la mitad de la pendiente de la tangente promedio asociada a la funcin de conversin ). Si revisamos = 4.23606797749975 = 2 + 5, de donde = ( 2 + 5 ) = ( 1 + 5 )/2 y as: = ( 2 + 5 ) = [ ( 1 + 5 )/2] 61

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Presencia del numero ureo en pendiente de funcin conversora Si dividimos m =5.4234 ente se obtiene: m/ = 3.35184553458619 que dividido en e seria igual a 1.23307506215656 el cual incrementado en 1 -igual aproximadamente a 5 pues 2 ( 2.23307506215656 ) es igual a 4.98662423322553, es decir 5 aproximadamente, as: m/e + 1= 5 de donde se tiene que m = e ( 5 1) aproximadamente ( aparece el numero ureo en la pendiente de la funcin de conversin ). Adems : = ( 1 + 5 ) / 2 pero despejando 5 en se tiene: = [ 1 + (m/e + 1)]/2 de donde 2 -2 = m / e y as: m = 2 e ( 1) ( el numero ureo en otra relacin aqu) Igualando y se tiene : e ( 5 1) = 2 e ( 1) de lo cual 62

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aparece en la funcin conversora ( 5 1) = 2 ( 1) y despejando se deduce que : = 1 + ( 5 1 ) / 2, de donde se infiere que: 1 = ( 5 1 ) / 2 y dado que | | = 1 se tiene que : 2 | | = ( 5 1 ) pero como ( 5 1) = m/ e entonces se infiere que: 2 | | =m/ e de donde se llega a la deduccin de que m = 2 ||e ( aparece el producto de races ureas de una ecuacin cuadrtica aurea o el producto de nmeros ureos por el duplo de e en la pendiente m). De donde = m/2 ||e que equivale a suponer que: = m/ 2 | |e ( definicin del numero ureo desde la pendiente lineal asociada a la funcin de conversin k. El producto ureo es igual a 1 de la forma || = 1 ). 63

Diapositiva 64

aparece en la funcin conversora = 1 + ( 5 1 ) / 2 y dado que | | = 1 se tiene que : m = 2 | |e ( aparece el producto de races ureas de una ecuacin cuadrtica aurea o el producto de nmeros ureos por el duplo de e en la pendiente m).De donde = m/ 2 | |e ( definicin del numero ureo desde la pendiente lineal asociada a la funcin de conversin k. El producto ureo es igual a 1.Naturalmente que la diferencia de los ureos genera un numero de inters as: - = 5 es decir : ( - )= 5 que genera la ecuacin cuadrtica : -2 + ( - 5 )= 0 Dado que = 0.381966011250108 ( - 5)= -4.61803398874989 ( valor de C = ( - 5 ) ) y as: -2 -4.61803398874989 = 0 pero 22 = 64 4.69041575982343

Diapositiva 65

Redefiniendo la ecuacin cuadrtica con 3 ureos-diferentes Que es un valor mucho mayor al valor de C en esta ecuacin cuadrtica, cuyo cuadrado real es alrededor de 21.32.Cuando dividimos este numero C, decimal entre obtenemos | | es decir: C = | | de donde podemos reescribir la ecuacin cuadrtica asi: -2 - C = 0 -2 - | | = 0 esto es : - ( 2 + | |) + 0 = 0 es decir: = ( 2 + | |) donde = ( 2 + | |) que significa que la suma del duplo de una raz aurea negativa- y del valor absoluto de otra raz aurea ambas de ecuaciones diferentes de orden cuadrtico y ureo generan el numero dorado, de oro o de la proporcin divina. Y que la mitad de | | es casi la raz de 2, es decir | | = 2 2 pues [| |/2]= 2.03644453162573 es decir hay un diferencial de solo 36/1000 entre 2 y esta cantidad decimal, o delta de 3 centesimales en principio 3/100.Es decir podramos escribir | | = 2 ( 2 + 3/100 ) Donde difiere poco: - 2.85410196624969 +2.8540 8096004702 = - 0.000021006202670204 Es decir - 2 - | | = 0, y como = , - 2 - | | = 0, o lo que es Igual - 2 + = 0, usando la raz reflexiva = seria - 2 + = 0. = 2 - pues es un numero negativo. = el ureo es reflexivo con su raz 65

Diapositiva 66

Calculo del valor de la tercera raz de solucin cuadrtica aurea asociada a estas funciones = ( 2 + 1.52786404500043 + 18.4721359549996 )/2 =( 2 + 20 ) / 2 y como 20 = 2 5 se tiene : = 2 ( + 5 ) / 2 y simplificando por 2 se obtiene: = + 5 en donde = + 5 = 1.61803398874989 Que es el numero ureo o numero dorado y = - 5 = - 2.85410196624969 es una solucin cuadrtica de un tercer numero cuadrtico de solucin aurea el cual tiene un inverso negativo semejante a -2( e) = -0.35838410934575 que es en realidad : 1/-2.85410196624969 = -0.350372906022698 que genera un delta o diferencia de solo =0.00801120332305205 que hace suponer con bastante aproximacin que: -2( e) = 1/ , es decir que = 1/ -2( e) que genera: + 1/ 2( e) = 0.Dado que loge= e- se puede escribir -2 (-loge) = 1/ , esto es: = -1/2(loge) De lo cual se infiere que: + 1/2(loge) = 0, a partir de lo cual puede 66

Diapositiva 67

El valor de e relacionado con deducirse que : 1/2(log e)= - , de lo cual se sigue que: -1/2 =(log e) y de aqu se deduce que: -1/2 = log e y elevando 10 al factor con el radical se consigue: -1/2 e = 10 puesto que es un numero negativo. Es decir que dar positiva la raz. Si se usa valor absoluto de tambin puede escribirse: 1 /2| | e= 10 es decir que esta raz cuadrtica aurea se encontrara asociada en la naturaleza o en el numero e quiz como sucede posiblemente con el numero ureo o proporcin divina pues despus de todo esta raz hace parte de una ecuacin con logaritmo de la forma: : + 1/2(loge) = 0 o lo que es igual | | - 1/2(loge) = 0 puesto que | | = 1/2(loge) ( donde es raz de ecuacin cuadrtica con races aureasdiferentes entre si y diferentes a ). 67

Diapositiva 68

Valor adicional para la funcin de conversin xk-funcional 11 20,66 31 42,4 58 634.28571428 68

Diapositiva 69

Funcin de conversin k-funcional 69

Diapositiva 70

Datos para la funcin conversora,vista 2 Columna1Columna2 xk-funcional 0.1 0.20.066 0.30.1 0.40.24 0.50.80 0.63.428 70

Diapositiva 71

Grafica de la funcin conversora interoperacional con valores de escala divididos por 10. 71

Diapositiva 72

Interpretacin de la pendiente de la recta asociada a la funcin conversora k semi-exponencial La pendiente es de solo m= 367.29 equivaldra aproximadamente a m = 43 e que resulta un valor bastante exacto a juzgar por los 9 milsimos de diferencia que guardara el guarismo 43 con el numero real de divisin obtenido a partir de nuestra calculadora cientfica del navegador de Google m/e = 43.0095352411342 y por cuanto esta grafica tiende a ser la mas real y exacta para descripcin de la funcin conversora k en lo que tiene que ver con su recta asociada graficada por Excel 72

Diapositiva 73

Lneas de cuadricula muestran el corte de la tangente en la curva 73

Diapositiva 74

La imagen de los datos de conversin en x mostrara otra funcin k-funcionalx 11 0,662 13 2,44 85 74

Diapositiva 75

Valores funcionales de factores de conversin contra la variable x 75

Diapositiva 76

Interpretacin de la pendiente en la segunda disposicin de k La pendiente aqu no corresponde con el inverso de la mitad de pi sino que es un valor muy diferenteel cual al parecer interacta con pi y con e en una relacin particular cuya ecuacin terica-no demostrada- seria: x = 1/log e = 1,525252, de donde : = [ ( 1/ loge )/ x ] pues la pendiente m= x es igual a : x = [( 1/log e )/ ], lo que significara que este tipo de curvas estn asociadas a constantes esenciales de la matemtica y que si bien el patrn no 76

Diapositiva 77

La constante k y x= k/ es lineal, un promedio estimado relaciona ampliamente los valores lineales con los de curvas o constantes de curvas como los valores de pi y de e. En nuestro caso hemos encontrado un numero bastante curioso por su periodicidad decimal en 52 tres veces luego de el 1 y de la coma y porque luego se suceden otros decimales de aproximacin en cada calculo as: 1,525252166113448 en un caso y 1,52525267439167 en otro para dos clculos bastante anlogos que generaran una constante similar a la de e que repite periodo en 1828 dos veces antes de seguirse por otros decimales como aqu: e 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... As nuestra constante ser en principio aqu k=1,525252mientras se resuelve un poco la ambigedad en nmeros decimales. Y k=x = 1/log e = 1,525252 es lineal, un promedio estimado relaciona ampliamente los valores lineales con los de curvas o constantes de curvas como los valores de pi y de e. En nuestro caso hemos encontrado un numero bastante curioso por su periodicidad decimal en 52 tres veces luego de el 1 y de la coma y porque luego se suceden otros decimales de aproximacin en cada calculo as: 1,525252166113448 en un caso y 1,52525267439167 en otro para dos clculos bastante anlogos que generaran una constante similar a la de e que repite periodo en 1828 dos veces antes de seguirse por otros decimales como aqu: e 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... As nuestra constante ser en principio aqu k=1,525252mientras se resuelve un poco la ambigedad en nmeros decimales. Y k=x = 1/log e = 1,525252 77

Diapositiva 78

Valores amplificados de k contra x k-funcionalx 10 620 1030 2440 8050 34360 78

Diapositiva 79

Valores de la funcin conversora k en otra disposicin 79

Diapositiva 80

Forma exponencial de esta disposicin a escala mltiplo de 10 80

Diapositiva 81

Constantes en conversin en funcin semi-logartmica o de distribucin La pendiente en esta disposicin varia ligeramente quiz por los datos amplificados y la variacin de escala de graficacin..se observa la forma exponencial que asume la curva de conversin. Aqu mientras los valores de k funcional decaen y aumentan,los valores de x siempre se estn incrementando. Esta oscilacin hace que la curva no sea de un incremento hacia la derecha de su origen sino tambin un poco hacia su izquierda formando una gran vejiga. La pendiente vale m= 0.1086. Si se multiplica m por las constantes e se obtiene: m e = 1.50058921267137 es decir 3/2 aproximadamente de lo cual se infiere que m= 3/2 e 81

Diapositiva 82

Funcin conversin k-funcional de reduccin de producto x! a adicin xk2 10 2015 3010 404 501 600 82

Diapositiva 83

Grafica de la funcin de conversin k 83

Diapositiva 84

Grafica de la funcin de conversin reductora k2 con pendiente asociada 84

Diapositiva 85

La pendiente de la funcin reductora y la constante k El valor de m=-0.28 en la pendiente podra estar asociado con funciones trascendentes o esfricas como en la siguiente formula: ( 2 e )+ log e = -0.283987346555793 ; adems ln k = -k, cuan k = 0.567 aproximadamente pues ln o.567 = -0.567395975254385 y la mitad del numero k seria -0.56/2 = -0.28, es decir que la pendiente m en este caso seria m= -k/2, siendo k una constante de logaritmo natural de la forma e = k, pero k = 2m, entonces e = k, y, 2m = ln k, o m= ln k 85

Diapositiva 86

Disposicin de k2 contra x- Tabla de datos k2x 10 1520 1030 440 150 060 86

Diapositiva 87

Grafica de la imagen en x de la funcin de conversin reductora 87

Diapositiva 88

Interpretacin de esta disposicin de k2 L a funcin flucta nuevamente en torno a un punto de inflexin casi estreo espacial doblemente bidimensional en aparienciadecrece continuamente en cuanto factor de conversinpero a medida que x decae k parece aumentar hasta cierto limite hasta cuando retrocede para disminuir en el punto x = 20. La fluctuacin es alta y hay hasta 3 puntos de corte con la recta promedio o lineal asociada a la curva cuya pendiente se aproxima por escasos milesimales a e. la curva pareciera decaer constantemente haciendo una s estreo espacial que semeja una serpiente y con una concavidad corta y pronunciada en comparacin con la otra alargada y poco protuberante. En la recta tangente m = -e aproximadamentelo que configura una ecuacin de la forma: y = -e x + 53.694 aproximadamente. Aqu e=-m y por tanto ln e = ln (m), es decir 1= ln( m ), o, e = -m, y consecuentemente e+m=0 aproximadamente. 88

Diapositiva 89

Apndice de datos de salto tcnico graficados por Excel hasta x=6 Los detalles del salto tcnico muestran un ascenso inusitado en la curva que semeja la otra funcin cambiada a escala decimal pero subsisten mnimas diferencias de graficacin por el punto de corte de recta con la funcin entre x=2 y x=3 a la manera en que una pelota de tenis rebotase antes o despus de la mitad de dicho intervalo segn las dos graficas: la del salto tcnico o la de escala decimal para la funcin conversora k funcional. 89

Diapositiva 90

Datos para la funcin conversora,vista 2 Columna1Columna2 xk-funcional 0.1 0.20.066 0.30.1 0.40.24 0.50.80 0.63.428 90

Diapositiva 91

Grafica de la funcin conversora interoperacional con valores de escala divididos por 10. 91

Diapositiva 92

Las funciones factorial negativas de -x Cuando los valores de x son negativos los valores de la funcin de adicin o sumatoria son todos negativos mientras que los de factorial se alternan unos negativos y otros positivos, as que sesto altera la percepcin de algunas relaciones en estas funciones y en las funciones de conversin asociadas a ellas as: 92

Diapositiva 93

Datos de la funcin sumatoria de -x valor -xvalor -x -2-3 -6 -4-10 -5-15 -6-21 93

Diapositiva 94

Grafica de la funcin sumatoria en -x 94

Diapositiva 95

Tabla de datos para factorial de -x valor -xvalor - x! -22 -3-6 -424 -5-120 -6720 95

Diapositiva 96

Grafica de la funcin factorial de -x 96

Diapositiva 97

Presencia de cuadrados y constantes en la pendiente factorial negativa La pendiente de esta factorial negativa dividida entre (2 e ) genera el numero -0.664886282211 muy similar a -2/3 = -0.666666666666667..As pues puede aducirse que m/ (2 e ) = -2/3 es decir m= -4/3 (e ) aproximadamente pues habra un diferencial de - 93.6500997728604 - (- 93.4)= - 0.250099772860381 es decir aproximadamente -1/4 valor este que restado a la razn anterior generara m real as: m = -4/3 (e ) + 97

Diapositiva 98

Valores de factorial ampliados en x valor -xvalor - x! -22 -3-6 -424 -5-120 -6720 -7-5040 98

Diapositiva 99

Grafica de factorial negativa para un rango mayor 99

Diapositiva 100

Pendiente de lineal asociada a factorial negativa La pendiente m aqu seria m= 492.68 = ( 7 ) aproximadamente. 100

Diapositiva 101

Relacin entre sumatoria y factorial valor -xx! -32 -6 -1024 -15-120 -21720 101

Diapositiva 102

Funcin sumatoria negativa reflejada en factorial negativo 102

Diapositiva 103

La pendiente con aproximaciones a constantes aparece en f ( ) La pendiente equivale a e pues al dividir m/ e =3.13721707273607 que es casi con un delta de tan solo: = 0.00437558085372247 es decir 4/1000 lo que equivale a suponer que m= e ( - 4/1000 ) aproximadamente. Haciendo la expresin anterior m = e ( - ) se tiene la ecuacin cuadrtica: e - e m = 0, de donde: = [e ((e ) + 4 e m )]/ 2e pero |log 1/e|= log e = z =0.434294481903252 donde = z/100 ya que 100 - z = 0.00326360346899507 y z - |log 1/e|= 3.33066907387547*10^(-16), z = |log w| Siendo = z /100, se tiene: = [e z/100 ((e z/100 ) + 4 e m )]/ 2e aproximadamente. = [e |log w| /100 ((e |log w| /100 ) + 4 e m )]/ 2e 103 f ( ) es una funcin cuadrtica de

Diapositiva 104

Datos de relacin x! = k -x x!valor -x 2-3 -6 24-10 -120-15 720-21 104

Diapositiva 105

Grafica de funcin factorial negativa reflejada en sumatoria de x. 105

Diapositiva 106

La pendiente de la recta lineal asociada a este tipo de funcin reductora de factorial a sumatoria La pendiente m= - 0.0165 parece aproximarse bastante al calculo m= - 1 / ( e ) ln 7. De nuevo se observan algunas constantes entre ellas la constante aurea presente en la pendiente de la funcin lineal asociada a la funcin de conversin reductora. 106

Diapositiva 107

Valores de k funcional En este caso hemos dividido cada valor de la imagen entre su variable funcional coordinada en el rango negativo as: -1/-1 = 1, -2/3 = -0.666, -6/-6= 1, 24/-10= - 2.4, -120/-15 = 8, 720/ -21 = - 34.2857142857143Estos valores de constantes sern la imagen reflejada de nuestra variable x para calcular la funcin de conversin asociada a las funciones factorial y sumatoria en el rango negativo del actual estudio segn la siguiente tabla de datos: 107

Diapositiva 108

Tabla de datos para k -xkk 1 -2-0.666666666666667 -31 -4-2.4 -58 -6-34.2857142857143 108

Diapositiva 109

Valores amplificados por 100 para evitar la limitante de la correccin circular en Excel valor de -xfuncin k -100100 -200-66 -300100 -400-240 -500800 109

Diapositiva 110

Funcin conversora k 110

Diapositiva 111

Interpretacin de la pendiente La pendiente de la funcin lineal asociada a la curva de conversin amplificadora en factoriales negativos tiene una cada equivalente al siguiente calculo aproximadamente: m= 2 e 10 . El resultado de la divisin de m entre todas las constantes es - 2.04397983907945 que es bastante aproximado a 2. 111

Diapositiva 112

Datos de la funcin conversora k4 Los valores de la constante reductora provendrn de las divisiones : -1/-1 = 1, -3/ 2 = -1.5, -6/-6= 1, -10/ 24= -0.416666666666667, -15/-12o= 0.125, -21/ 720 = -0.0291666666666667. Las imgenes de la divisin de sumatoria de x entre factorial de x se vern reflejadas a partir de variables de x asociadas en cada caso. 112

Diapositiva 113

Datos de parmetros de x y k amplificados hasta 10 xk -100000100000 -200000-150000 -300000100000 -400000-41600 -50000012500 -600000-2916 113

Diapositiva 114

Funcin conversora k de reduccin en factoriales negativos 114

Diapositiva 115

El valor de la pendiente asociada en k La pendiente de 0.0482 multiplicada por e es igual a 0.666007366949905 que es aproximadamente igual a 2/3 = 0.666666666666667 pues el margen de diferencia es nfimo siendo de: = 0.000659299716762041, es decir m= 2/ 3 e aproximadamente. 115

Diapositiva 116

Definicin matemtica de las funciones de conversin En resumen: K = x!/x K = x/x! K = - x!/-x k = -x/- x! F(x) = k g (x ) pero k es una funcin conversora, entonces X! = ( X!/ x ) x Por ejemplo donde cada razn de funciones definidas como k sub n representa una funcin conversora ( amplificadora o reductora interfuncional ). 116

Diapositiva 117

Tabla de datos para x y x xx 11 34 69 1016 1525 2136 117

Diapositiva 118

Grafica de relacin sumatoria al cuadrado de x 118

Diapositiva 119

El valor de la pendiente lineal Cuando se tiene una pendiente lineal de proporcionalidad como: m= 1.7581 se calcula su producto por e y se divide por as: m e / = 1.52120653743987 que es un numero bastante parecido a x = 1.5252 52, con un diferencial delta de: m =( x ) / e m = x / e donde x = m = 0.4133 para el lineal de k reflejado en x. Y donde x = [( 1/log e )/ ]. Entonces m = [( 1/log e )/ ] ) / e pero como se eliminan se tiene m= ( 1/log e ) / e. Y dado que x= k/ , esto es : x= k/ se tiene m= ( k/ ) / e = k /e, es decir : m = k/e Esto es : m = 1.52 /e 0.00404546256013028 119

Diapositiva 120

Proporcin entre x! y x x!x 11 24 69 2416 12025 72836 120

Diapositiva 121

Grafica de proporcin entre x! y x 121

Diapositiva 122

Valor de la pendiente de proporcionalidad lineal La pendiente m= 0.0392 se multiplica por y da 0.12315043202072 y si se multiplica por genera: 0.199261584738758 e decir aproximadamente 0.2 es decir 2/10..es decir m = 2/10 de donde se obtiene: m = 2/ 10 122

Diapositiva 123

Datos de x aplica en factorial de x xx! 01 11 42 96 1624 25120 36720 123

Diapositiva 124

Grafica de x aplica en x! 124

Diapositiva 125

Pendiente de la recta asociada a la funcin factorial imagen de x. La pendiente m= 16.488 se derivara del siguiente calculo m = 6e pues m/e = 6.06559622603474 aproximadamente. Si se escribe 6/100 la diferencia decimal entonces m= 6e + 6/100 de donde m= 6 ( e + 1/100 ) aproximadamente. Se observa que los valores de factorial reflejados desde x son minorantes con relacin a x hasta la imagen de x=3 pero de ah en adelante son en todo momento mayorantes con respecto a x, por ello la necesidad de graficar la funcin y enlizarla de esta manera ante esta variacin, fluctuacin u oscilacin anloga a la que experimenta el factorial con el potencial de 2, para evidenciar la necesidad de f-conversin. 125

Diapositiva 126

Tabla de datos para la funcin conversora de x a factorial. valor de xvalor de k 11 20.5 3o.66 41.5 54.8 620 126

Diapositiva 127

Tabla de datos de funcin conversora de productos x a x! ampliada por 100 valor de xvalor de k 100 20050 30066 400150 500480 6002000 127

Diapositiva 128

Amplificacin de datos de funcin conversora de productos Para evitar el error de circularidad se hace preciso ampliar por 100 los datos pues de otra manera no se hubieran podido graficar. Al hacerlo se arroja una pendiente de m= 3.1069 que es equivalente a /10. As m= /10 aproximadamente. De esto se infiere que = (10 m ) es decir = ( 10 m ) ( cuando m es la pendiente de la recta de linealizacin una funcin conversora de cuadrado de x a factorial ). 128

Diapositiva 129

Grafica de la funcin conversora k 129

Diapositiva 130

El producto de funciones genera una nueva funcin: y = f(x) g(x), donde f(x) = k = y/g(x) En esta grafica se observan descensos hasta x=2 y luego ascensos inexorables a partir de x=2 en la funcin. Esto se debe a que los valores de la funcin cuadrado de x eran mayorantes con respecto a factorial hasta la imagen de x=3 pero luego eran minorantes respecto de factorial y esta variacin comparativa hace que la funcin conversora tambin tenga una vejiga al decrecer antes de la imagen de x=3 y crecer luego despus de la imagen x=3.De aqu que y= f(x) g(x).(Un producto de funciones genera una funcin donde f(x) =k es funcin conversora). 130

Diapositiva 131

Tabla de datos de potencial de 2 aplica en cuadrado de w ( w=x ) 2 10 21 44 89 16 3225 6436 131

Diapositiva 132

Funcion w imagen de 2 132

Diapositiva 133

Comportamiento de funcion y grafica de 2 aplica en w. La funcin cuadrado de w tenia minorantes desde la imagen de x=o hasta x= 2 en que se iguala con la funcin factorial, luego de x=2 ( en que hay imagen de inflexin en ambas funciones), la funcin w es mayorante respecto a potencial en la imagen de potencial de 2 hasta x= 4, valor en que se igualan las pendientes al,mismo tiempo. Para la imagen de x>4 el comportamiento de la funcin cuadrado de w es minorante respecto de potencial. 133

Diapositiva 134

Tabla de f conversora hacia cuadrado de w desde potencial 2 xf2 00 10050 200100 300112 400100 50078 60056 70038 80050 134

Diapositiva 135

Funcin conversora a w desde potencial de 2 M = 7/1000 muestra fluctuaciones,ayorantes y minorantes alternados.135

Diapositiva 136

Tabla de datos para w aplica en potencial de 2 . 2 01 12 44 98 16 2532 3664 49128 136

Diapositiva 137

Funcin potencial de 2 imagen de w 137

Diapositiva 138

Interpretacion de esta relacion La funcin potencial varia siendo mayorante, minorante, mayorante respecto del cuadrado de w. La pendiente vale 2.3628. 138

Diapositiva 139

Tabla de datos de f conversora de cuadrado de w a potencial 2 valor de xvalor de f 1020 10 308 4010 5012 6017 7026 139

Diapositiva 140

Grafica de f conversora de w a 2 140

Diapositiva 141

Tabla de datos de potencial contra inversa de x=h. 2 1/h 200100 40050 80033 160025 320020 640016 141

Diapositiva 142

Grafica de 2 aplica en 1/h 142

Diapositiva 143

Tabla de datos para f-conversora xfc= 1/h2 1500 2125 341 415 56 62 143

Diapositiva 144

Grafica para la funcin conversora 144

Diapositiva 145

Tabla de datos para potencial de 2 imagen de 1/h. 1/h2 100200 50400 33800 251600 203200 166400 145

Diapositiva 146

Grafica de funcion potencial 2 imagen de 1/h 146

Diapositiva 147

Tabla para funcion conversora Fc=h2 xFc= h2 12 28 324 467 5160 6400 147

Diapositiva 148

Grafica para funcin conversora Fc=h2 148

Diapositiva 149

El correo de las inquietudes Fin: gracias, cualquier inquietud remitirla a jaimee1401@gmail.com /mi portal en www.fisica.ru Direccin: calle 33 9 A- 20 Sabana Los Patios, Norte de Santander Elaborado por : Jaime Erwin Blanco Nio, Lic. Espaol- Ingles, docente colegio Jos Aquilino Duran, Ccutaex. estudiante de ingeniera elctrica 4 semestre Universidad de Pamplona, ncleo Villa del Rosario 149