funciones continuas. contenidos definición de continuidad funciones discontinuas teoremas ejemplos

Funciones Continuas

Contenidos

Definición de Continuidad Funciones Discontinuas Teoremas Ejemplos

Concepto de Continuidad

Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes

f a exista

x aLim f x

exista

,x aLim f x f a

a)

b)

c)

Graficamente

Funcion Continua Funcion Discontinua

Teoremas de Continuidad

a)

Toda Función polinómica es continua en su dominio

Si es impar,n f

Teorema 1

Teorema 2

Toda Función racional es continua en su dominio

Teorema 3

Si n Z y nf x x entonces

es continua en todo numero

b) Si es par,n f es continua en todo numero positivo

son dos funciones continuas en un numero a, entonces

Teorema 4

gf

f g

f g

f

g

es continua en el numero a



es continua en el numero a 0g a

Si yf g

es continuas en

Teorema 5

g f es continua en el numero

Si la función ges continua en a y la funciónf ,f a

entonces la función compuesta a

a f a g f a

f g

g f

A B C

Volver

Funciones Discontinuas

La Discontinuidad Reparable

La Discontinuidad Irreparable

f a exista

x aLim f x

exista

x aLim f x f a

a)

b)

c)

x aLim f x

No exista

f a No exista

x aLim f x

a)

b) exista

Caso I Caso II

Grafica de Funciones Discontinuas

La Discontinuidad Reparable

Caso I Caso II

La Discontinuidad Irreparable

Volver

Ejemplos

¿Es continua en los relaes?. Si no lo es defina su Dominio

1.- Sea la funcion 3

62

x

xxxf

SolucionEsta funcion presenta discontinuida es 0 3x

No existe 3f a)

b) 2

3 3 3 3

3 262 5

3 3x x x x

x xx xLim f x Lim Lim Lim x

x x

Para que sea continua la funcion debera ser definida como

2 63

3

5 3

x xsi x

xf x

si x

¿Es continua en los relaes?. Si no lo es redefina


4f x

x

Solucion

Esta funcion presenta discontinuida es 0 4x

No existe 4fa)

b) 4 4 4

5 15

4 4x x xLim f x Lim Lim

x x

Por lo tanto esta funcion es discontinua irreparable

¿Es continua en los relaes?. Si no lo es redefina su dominio

3.- Sea la funcion

12

2

0 2

si xx

f x

si x

Solucion

Esta funcion presenta discontinuida es 0 2x

existe 2 0f a)

b) 2 2

1

2x xLim f x Lim

x

Por lo tanto esta funcion es discontinua irreparable



4

4

16

xf x

x

Solucion


5.- Sea la funcion

1 0

0 0

0

si x

f x si x

x si x

Solucion



0

1 0

x si x

f x

x si x

Solucion


7.- Sea la funcion

Solucion

29 4

3 2

xf x

x


8.- Sea la funcion 29 2

3 2 2

t si t

f t

t si t

Solucion


9.- Sea la funcion

Solucion

2

2

12

2 3

x xf x

x x



2 3

x si x

f x

si x

Solucion

¿Es continua en los relaes?. Si no lo es redefina su domnio

12.- Sea la funcion

5 52

2

xsi x

xf x

x si x

Solucion


13.- Sea la funcion 3 1 1x

f xx

Solucion

¿Es continua en los relaes?. Si no lo es redefina su domnio

14.- Sea la funcion 22 3f x x x

Solucion

¿Es continua en los relaes?. Si no lo es, redefina su domnio


xf x

x

Solucion



2 5

xf x

x

Solucion



2

7

4

xf x

x

Solucion


18.- Sea la funcion

Solucion

3 1 2

2

x si x

f x

x si x

¿Es continua en los relaes?. Si no lo es redefina su Dominio

19.- Sea la funcion

Solucion

12

2

12

si xx

f x

si xx

¿Es continua en los relaes?. Si no lo es redefina su DOmnio

20.- Sea la funcion

Solucion

14

1

4 4

si xx

f x

x si x

21.- Sea la función

01

03 xsix

xsixxf

¿Es continua en su Domini?. Si no lo es redefina su Dominio

22.- Sea la función parte entera xxf

¿Es continua en los reales?.

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