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FUNCIONES: CONCEPTOS PRINCIPALES FUNCIONES LINEALES, CUADR ´ ATICAS Y TRIGONOM ´ ETRICAS Dra. Patricia Kisbye Dr. Elvio Pilotta Dra. M ´ onica Oddone

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FUNCIONES: CONCEPTOS PRINCIPALESFUNCIONES LINEALES, CUADRATICAS

YTRIGONOMETRICAS

Dra. Patricia KisbyeDr. Elvio Pilotta

Dra. Monica Oddone

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INTRODUCCION

En este Cuadernillo se presentan y discuten nociones fundamentales vinculadas con el con-cepto de funcion y se desarrollan las principales ideas relacionadas con funciones lineales,cuadraticas y trigonometricas. Si bien el cuadernillo retoma y recrea conocimientos presen-tes en los Disenos Curriculares para la Escuela Secundaria, se busca presentar con detalles lasideas principales de modo tal que los lectores puedan seguir la lectura de los mismos sin mayo-res dificultades.

La primer parte del cuadernillo aborda las primeras nociones relativas a funciones, defini-ciones relevantes y graficos de funciones. A partir de estos conceptos, se trabaja con tres casosparticulares de funciones: lineales, cuadraticas y trigonometricas. Finalmente, se plantean unconjunto de problemas de aplicacion de las principales ideas matematicas tratadas. Los con-ceptos y problemas discutidos en estas notas recuperan conocimientos ya trabajados en los doscuadernillos anteriores. En particular, las ideas relativas a conjuntos, pertenencia como ası tam-bien el uso de notacion simbolica, estan presentes en el desarrollo de las nociones basicas defuncion. Del mismo modo, a lo largo de los ejemplos y problemas presentados, se recuperan lasideas de numeros, operaciones y ecuaciones ya trabajadas en el segundo Cuadernillo.

Cabe mencionar que los contenidos presentados en este cuadernillo seran de gran utilidaden los cursos de Analisis Matematico e Introduccion a la Fısica de primer ano.

Monica OddoneElvio Pilotta

Patricia Kisbye

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Tabla de Contenidos

1. Funciones 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Graficos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Funciones Lineales y Cuadraticas 192.1. Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Funciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Funciones definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Trigonometrıa y Funciones Trigonometricas 373.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Razones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. La circunferencia trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Ejercicios 55

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Capıtulo 1

Funciones

1.1. Introduccion

En terminos matematicos, una funcion es una regla que asigna a cada elemento de un con-junto un unico elemento de otro conjunto. Por ejemplo, al ingresar a la Universidad, a cadaestudiante se le otorga un numero unico de legajo. Luego, podrıamos decir que legajo es unafuncion que le asigna a cada alumno un numero. Otro ejemplo serıa asignar a cada alumno sumes de cumpleanos, y ası mes de cumpleanos es una funcion del conjunto de alumnos al con-junto de meses del ano. El hecho que dos alumnos cumplan anos en el mismo mes no invalidaque sea una funcion, ya que a cada estudiante es posible asignarle solo un mes de cumpleanos.De este modo, al conjunto de alumnos de un curso en particular se le asigna uno de los 12 ele-mentos del conjunto meses del ano. Del mismo modo, la funcion legajo, a cada estudiante delconjunto Alumnos de la Facultad le asigna un unico numero del conjunto Numeros de legajo.

En este capıtulo daremos la definicion y ejemplos de funciones en general, pero luego nosconcentraremos particularmente con funciones entre conjuntos de numeros que seran las quemas se trabajaran al inicio de sus carreras.

1.2. Funciones

Definimos a las funciones de la siguiente manera:

Dados dos conjuntos A y B, una funcion de A en B es una regla que asigna a cadaelemento de A un unico elemento de B.

A se llama dominio de f , y B es el conjunto de llegada.En este texto denotaremos a las funciones con letras minusculas: f , g, h, . . . , En particular,

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Funciones

para indicar que f es una funcion del conjunto A en el conjunto B lo simbolizamos:

f : A 7→ B.

A cada elemento a de A le corresponde un unico elemento b de B. A este elemento b lollamamos imagen de a por f , y lo denotamos f(a).

Al subconjunto de B formado por todas las imagenes de los elementos de A se lodenomina imagen de f , y lo denotamos Im(f).

Ejemplo 1.2.1. Sean

A = {primavera, verano, otono, invierno}, B = {meses del ano}.

y la funcion h que a cada estacion del ano le asigna el mes en que comienza. Entonces, como laprimavera comienza en el mes de setiembre, escribimos:

h(primavera) = setiembre,

y para las demas estaciones tenemos

h(verano) = diciembre, h(otono) = marzo, h(invierno) = junio

El dominio de h es A, y la imagen de h es

Im(h) = {setiembre, diciembre, marzo, junio}.

En este caso, la imagen de h es un subconjunto de B.

Ejemplo 1.2.2. Sea A = {agosto, setiembre, octubre}, y B = {30, 31}. Consideramos lafuncion g que a cada mes le asigna su cantidad de dıas. Entonces la imagen de cada elementode A esta dada por:

g(agosto) = 31, g(setiembre) = 30, g(octubre) = 31.

Ası la imagen de g es el conjunto:

Im(g) = {30, 31},

es decir, en este caso la imagen de g coincide con el conjunto B.Notemos que los elementos agosto y octubre tienen la misma imagen, y que cada uno tiene

una unica imagen.

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Funciones

En los casos en queA yB son conjuntos de numeros, es frecuente que la regla que determinaa la funcion pueda ser expresada como una formula o expresion algebraica que indica cual esla correspondencia. Por ejemplo, si consideramos la funcion f que a cada numero le asigna sucuadrado, la regla se puede escribir:

f(x) = x2.

En esta formula, x representa a cualquier elemento de A. Entonces, la imagen de un numero enparticular se obtiene aplicando la formula:

h(3) = 9 dado que 32 = 9

h(−3) = 9 dado que (−3)2 = 9

h(−0,2) = 0,04 ya que (−0,2)2 = 0,04.

Ejemplo 1.2.3. Si f es la funcion que a cada numero natural le asigna su siguiente, tenemosque f es una funcion de N en N (f : N 7→ N), y la formula que define a la funcion f se puedeescribir como:

f(x) = x+ 1.

Ejemplo 1.2.4. Si g : R 7→ R es la funcion que a cada numero le asigna el doble de su cubo, laformula que define a g es:

g(x) = 2x3.

En los casos en que la funcion esta definida por una formula, se suele sobreentender que eldominio esta dado por el conjunto de numeros en el que la formula se puede aplicar.

Ejemplo 1.2.5. Consideremos la funcion f que a cada numero real le asigna su raız cuadrada:

f(x) =√x.

Como la raız cuadrada esta definida solo para los numeros positivos o el 0, entonces el dominiode f esta dado por

Dom(f) = {x | x ≥ 0}.

Ejemplo 1.2.6. Si g es la funcion que a cada numero le asigna su inverso:

g(x) =1

x,

entonces g(x) se puede calcular siempre que x sea distinto de 0. Recordemos que el 0 es elunico numero real que no tiene inverso.

LuegoDom(g) = {x | x 6= 0}.

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Funciones

Ejemplo 1.2.7. Si h es la funcion que a cada numero entero le asigna su opuesto,

h(x) = −x,

entonces h se puede calcular para cualquier numero entero. Por lo tanto

Dom(h) = Z.

1.3. Graficos de funciones

Si f es una funcion de A en B, y A y B son subconjuntos de numeros, entonces podemosrepresentar a la funcion f con un grafico en el plano R×R. Para ello consideramos un sistemade ejes coordenados que denominamos eje x y eje y, y por cada punto x del dominio dibujamosel par (x, f(x)).

Si A y B son conjuntos de numeros, y f : A 7→ B es una funcion, el grafico de festa determinado por todos los puntos del plano de la forma (x, f(x)), con x ∈ A.

Ejemplo 1.3.1. Si f es la funcion determinada por la formula f(x) = x2 − x, entonces paraencontrar algunos puntos del grafico elegimos puntos del dominio. Por ejemplo, elegimos −2,0, 1, 3

2. Con una tabla determinamos los puntos:

x f(x) (x, f(x))

−2 6 (−2, 6)

−1 2 (−1, 2)

0 0 (0, 0)

1 0 (1, 0)32

34

(32, 34)

Tabla 1.3.1: Tabla de valores de f

Los valores de la Tabla 1.3.1 estan representados en la Figura 1.3.1a.

En la Figura 1.3.1b se han representado muchos mas puntos del grafico de f . En general noes facil determinar el grafico de una funcion con solo marcar algunos puntos, a menos que ten-gamos otra informacion sobre la funcion. Por ejemplo, mas adelante veremos que determinadasfunciones, llamadas funciones lineales, tienen un grafico en forma de recta. Luego con marcardos puntos, ya conocemos todo el grafico.

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Funciones

(a) Puntos de la tabla (b) Mas puntos del grafico

Figura 1.3.1: Grafico de la funcion f

El grafico de una funcion puede ser una lınea curva, una poligonal, una combinacion deambas, o puntos aislados. Pero en ningun caso puede haber dos puntos con la misma coordenadax.

Algunos ejemplos de graficos de funciones estan dados en la Figura 1.3.2.

(a) (b) (c)

Figura 1.3.2: Graficos de funciones

Notemos que en la Figura 1.3.2c el dominio es un conjunto de numeros ({−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4})que no es un intervalo real, por eso su grafico es un conjunto de puntos aislados y no una lıneacontinua.

Veamos como mejorar esta idea. Si en un grafico hay dos puntos con la misma coordenadax, entonces no es el grafico de una funcion. Esto es ası pues si (a, b) y (a, c), con b 6= c,pertenecieran al grafico de una funcion f tendrıa que ser f(a) = b y f(a) = c, y esto no esposible pues, por definicion, f le asigna un unico valor a a. (Ver Figura 1.3.3)

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Funciones

(a) (b)

Figura 1.3.3: Graficos que no corresponden a funciones

Veamos algunos ejemplos de graficos de funciones.

Ejemplo 1.3.2. Consideremos la funcion f : [0, 3] 7→ R dada por

f(x) = 2.

Entonces el grafico de f son todos los puntos del plano de la forma (x, 2), con x ∈ [0, 3].Algunos de estos puntos son:

(0, 2), (3

2, 2), (3, 2).

y el grafico es como en la Figura 1.3.4:

Figura 1.3.4: Grafico de f(x) = 2

Ejemplo 1.3.3. Sea g : R 7→ R dada por g(x) = x.En este caso, no es posible representar a g completamente porque su dominio son todos los

numeros reales. Pero podemos dar el grafico de g para un intervalo, por ejemplo, para [−1, 3].

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Funciones

Su grafico esta conformado por todos los puntos del plano de la forma (x, x), es decir, quetienen las dos coordenadas iguales. Algunos de los puntos del grafico son (0, 0), (−1

2, 12), (2, 2):

(ver Figura 1.3.5)

Figura 1.3.5: Grafico de g(x) = x

Ejemplo 1.3.4. Consideremos la funcion dada por la formula

h(x) =1

x.

Los puntos del grafico seran de la forma (x, 1x). En principio no resulta simple darse cuenta cual

es la forma del grafico, ası que nos ayudamos con una tabla y representamos algunos puntos:

x h(x) (x, h(x))

−3 −13 (−3,−1

3)

−2 −12 (−2,−1

2)

−1 −1 (−1,−1)1 1 (1, 1)

2 12 (2, 12)

3 13 (3, 13)

Figura 1.3.6: Algunos puntos del graficoh(x) = 1

x

¿Alcanzan estos puntos para graficar toda la funcion? ¿Como es el grafico entre los puntos(−1,−1) y (1, 1)? Es conveniente considerar algunos puntos mas del dominio, por ejemplo−1

2,

−13, 13, 12, −0,001, 0,001. Continuando con la tabla, obtenemos algunos puntos mas del grafico:

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Funciones

x h(x) (x, h(x))

−1/2 −2 (−12 ,−2)

−1/3 −3 (−13 ,−3)

1/3 3 (13 , 3)

1/2 2 (12 , 2)

−0,001 −1000 (−0,001,−1000)0,001 1000 (0,001, 1000)

No hemos representado en el grafico los puntos(−0,001,−1000) y (0,001, 1000), pero nos ayu-da a comprender como los valores de la funcion sehacen muy grandes (positivos o negativos) cuandonos aproximamos al 0. Con una lınea continua seha representado el grafico de h: Figura 1.3.7: Grafico de h(x) = 1

x

Interpretacion de graficos: Mas adelante veremos como graficar determinadas funciones,como por ejemplo las funciones lineales, cuadraticas, trigonometicas. En estos casos, la formulaque define a estas funciones nos da suficiente informacion para dar un grafico bastante aproxi-mado.

Ahora bien, ¿por que querrıamos graficar una funcion? ¿Nos aporta alguna informacionimportante el grafico o alguna informacion que no se puede hacer evidente solo con la formulao regla de asignacion?

La respuesta es que sı. A partir del grafico y sin conocer su formula, podemos deducir variaspropiedades de la funcion. Por ejemplo, el grafico nos puede dar informacion sobre el dominio,la imagen, para que valores en el dominio la funcion es positiva, o negativa, o mayor que 1, oigual a −2, o cual es el valor maximo que alcanza la funcion, o el valor mınimo.

Ejemplo 1.3.5. Consideremos el grafico de una funcion f , como se muestra de la Figura 1.3.8a 1.3.12:

Figura 1.3.8: Grafico de f

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Funciones

Si bien no conocemos la formula de la funcion, observando el grafico podemos deduciralgunas propiedades:

1. El dominio de f : es el conjunto de puntos en el eje x que estan por debajo o por encimadel grafico. (Ver el trazo grueso sobre el eje x en la Figura 1.3.9). Ası, el dominio de f sevisualiza sobre el eje x, y en particular x esta en el dominio si la recta vertical que pasapor x corta al grafico.

Figura 1.3.9: Dominio de f = [−3, 2]

Por ejemplo, en la Figura 1.3.9 podemos observar que −2,5 pertenece al dominio de lafuncion, y en cambio 2,5 no pertenece.

2. La imagen de f : Determinar la imagen de una funcion a partir de su formula no suele seruna tarea sencilla. Pero el grafico nos permite visualizarlo como aquellos puntos sobreel eje y tales que si trazamos una recta horizontal esta corta al grafico de la funcion.Si trazamos rectas horizontales por los extremos del grafico, la imagen de la funcionquedara encerrada, en el eje y, entre dichas rectas. (Ver Figura 1.3.10)

Figura 1.3.10: Imagen de f = [−1,5, 1,5]

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Funciones

3. Los valores de x para los cuales f(x) ≥ 0: Para esto observamos las partes del grafico quecorresponden a f(x) ≥ 0, es decir, la segunda coordenada es positiva o cero. Los valoresque estamos buscando son aquellos x que quedan por debajo de esa parte del grafico:

Figura 1.3.11: {x | f(x) ≥ 0}

En la Figura 1.3.11 vemos que f(x) ≥ 0 si x pertenece al intervalo [−3,−1,5] o alintervalo [−0,5, 1].

En caso que quisieramos determinar para que valores de x se cumple f(x) > 0, tendremosque excluir los puntos donde la funcion vale 0. Como f(x) = 0 para x = −1,5, x = −0,5

y x = 1, resulta{x | f(x) > 0} = [−3,−1,5) ∪ (−0,5, 1).

Si ahora queremos ver para que valores de x se cumple f(x) = 0,5, trazamos la rectay = 0,5 y marcamos los puntos de interseccion con el grafico de f . En este caso, son lospuntos (0, 0,5) y (−2, 0,5). Luego f(x) = 0,5 para x = −2 y para x = 0. (Ver Figura1.3.12)

Figura 1.3.12: Imagen de g

Ejemplo 1.3.6. Consideremos una funcion g con el grafico de la Figura 1.3.13.

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Funciones

Figura 1.3.13: Grafico de la funcion g

En este grafico, la recta vertical x = −1/2 no interseca al grafico de g. Esto nos indica queel punto (−1/2) no pertenece al dominio de g.

(a) Dominio de g (b) Imagen de g

Figura 1.3.14: Dominio e imagen de g

En la Figura 1.3.14a vemos que

Dom(g) = [−3,−1

2) ∪ (−1

2, 2].

Con respecto a la imagen, recordemos que se visualiza sobre el eje y. En este ejemplo,observamos que si bien el grafico queda encerrado entre las rectas y = −2 e y = 2, los puntosentre (−1/3) y 3/4 no pertenecen a la imagen de g. La Figura 1.3.14b nos muestra que

Im(g) = [−2,−1

3) ∪ (

3

4, 2]

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Funciones

Por ultimo, si quisieramos conocer para que valores de x se cumple que g(x) = −12, pode-

mos proceder ası: trazamos la recta y = −1/2, y marcamos todos los puntos de interseccion conel grafico. En este caso hay un solo punto. La coordenada x de dicho punto (x = −2) verificag(−2) = −1/2.

Figura 1.3.15: g(−12) = −2

1.3.1. Desplazamientos y reflexiones de los graficos

Si conocemos el grafico de una funcion f , podemos determinar facilmente el grafico decualquiera de estas funciones:

g(x) = f(x) + c, h(x) = f(x)− c, (1.3.1)

k(x) = f(x+ c), l(x) = f(x− c) (1.3.2)

donde c es un numero positivo. En el caso (1.3.1), se trata de sumar o restar a los valores def(x) una constante positiva, mientras que en el caso (1.3.2) esta constante se suma o se resta alos valores de x. Para las funciones dadas en (1.3.1) y (1.3.2), se dice que el grafico se obtienepor un desplazamiento del grafico de f .

Tambien es sencillo determinar el grafico de las siguientes funciones:

g(x) = −f(x) y h(x) = f(−x). (1.3.3)

En este caso, la funcion g toma los mismos valores que f pero con diferente signo, mientrasque la funcion h evaluada en x toma el mismo valor que f en −x. Para las funciones dadas en(1.3.3), el grafico se trata de una reflexion del grafico de f respecto del eje x o del eje y.

Ilustraremos estas situaciones con el siguiente ejemplo.

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Funciones

Ejemplo 1.3.7. Consideremos el grafico de la Figura 1.3.16, que corresponde a f(x) = x3

3−

x+ 12

con dominio en [−2, 2].

Figura 1.3.16: f(x) = x3

3− x+ 1

2

Desplazamientos verticales

Si modificamos nuestra funcion sumandole una constante positiva c:

g(x) = f(x) + c

el grafico de la funcion g tendra la misma forma que la de f , pero desplazada c unidades haciaarriba.

Tomemos como ejemplo c = 1, de modo que

g(x) = f(x) + 1.

Vemos que f(2) = 76, por lo que el punto (2, 7

6) pertenece al grafico de f . Como g(2) =

f(2) + 1 = 136

, entonces el punto (2, 136

) esta en grafico de g.

Puntos en f Puntos en g

x f(x) g(x) = f(x) + 1 (x, f(x)) (x, g(x))

−1 7/6 13/6 (−1, 7/6) (−1, 13/6)0 1/2 3/2 (0, 1/2) (0, 3/2)

1/2 1/24 25/24 (1/2, 1/24) (1/2, 25/24)

1 −1/6 5/6 (1,−1/6) (1, 5/6)

Tabla 1.3.2: Puntos del grafico de f y del grafico g

En la Tabla 1.3.2, consideramos otros valores de x y los correspondientes puntos en elgrafico de f y en el grafico de g. Notemos que en cada fila los puntos del grafico de f y de gtienen la misma coordenada x, mientras que en la segunda coordenada difieren en una unidad.

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Funciones

En general, para un valor de c cualquiera, por cada punto (a, f(a)) en el grafico de f tenemosel punto (a, f(a) + c) = (a, g(a)) en el grafico de g. Ambos tienen la misma coordenada x perodifieren en c unidades en la segunda coordenada. (Ver Figura 1.3.17a).

Analogamente, el grafico de la funcion que se obtiene restando una constante positiva c a f :

h(x) = f(x)− c,

tiene la forma del grafico de f pero desplazada c unidades hacia abajo (Ver Figura 1.3.17b).Por ejemplo, si tomamos c = 3

2, entonces

h(x) = f(x)− 3

2.

Para x = 1, tenemos que f(1) = −16

y h(1) = f(1) − 32

= −53. Luego el punto (1,−1

6)

pertenece al grafico de f mientras que (1,−53) esta en el grafico de h.

En la Tabla 1.3.3 calculamos puntos del grafico de f para algunos valores de x, y los corres-pondientes puntos en el grafico de h:

Puntos en f Puntos en h

x f(x) h(x) = f(x)− 32 (x, f(x)) (x, h(x))

−1 7/6 −1/3 (−1, 7/6) (−1,−1/3)0 1/2 −1 (0, 1/2) (0,−1)

1/2 1/24 −35/24 (1/2, 1/24) (1/2,−35/24)1 −1/6 −5/3 (1,−1/6) (1,−5/3)

Tabla 1.3.3: Puntos del grafico de f y del grafico h

(a) g(x) = f(x) + 1 (b) h(x) = f(x)− 32

Figura 1.3.17: Desplazamientos verticales

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Funciones

Desplazamientos horizontales

Consideremos ahora la funcion k(x) = f(x+ c), y tomemos el caso en que c = 1:

k(x) = f(x+ 1).

Entonces, si calculamos k(−1), obtendremos el mismo valor que para f(0), pues

k(−1) = f(−1+1) = f(0).

Del mismo modo, podemos ver que k(−3) es igual a f(−2) y que k(−12) es igual a f(1/2):

k(−3) = f(−3+1) = f(−2), y k(−1

2) = f(−1

2+1) = f(

1

2).

Resumimos esto en la Tabla 1.3.4.

x Valores de f en x Valores de k en x− 1

0 f(0) = 1/2 k(−1) = 1/2

1/2 f(1/2) = 1/24 k(−1/2) = 1/24

−2 f(−2) = −1/6 k(−3) = −1/6

Tabla 1.3.4: Valores de f y k

En general, el valor que toma f en un punto a es el mismo que toma k en el punto a − 1,pues

k(a− 1) = f((a− 1)+1) = f(a).

Ası, como f(0) = 1/2, entonces el punto (0, 1/2) esta en el grafico de f y el punto (−1, 1/2)

esta en el grafico de k. Analogamente, como f(−2) = −1/6, entonces (−2,−1/6) esta en elgrafico de f y (−3,−1/6) pertenece al grafico de k. Notemos que el punto (−1, 1/2) se obtienedesplazando al punto (0, 1/2) una unidad hacia la izquierda, porque se le resta a la coordenadax una unidad. Algo similar ocurre con los puntos (−2,−1/6) y (−3,−1/6).

Esto hace que el grafico de k tenga la misma forma que el de f pero desplazado una unidadhacia la izquierda. (Ver Figura 1.3.18a).

Analogamente, si ahora restamos a los valores de x una constante positiva

l(x) = f(x− c),

entonces el valor que toma f en un punto a es el mismo que toma la funcion l en el punto a+ c,pues

l(a+ c) = f((a+ c)− c) = f(a).

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Funciones

(a) k(x) = f(x+ 1) (b) l(x) = f(x− 3)

Figura 1.3.18: Desplazamientos horizontales

Por esto, el grafico de l tiene la misma forma que el de f pero desplazada c unidades hacia laderecha. (Ver Figura 1.3.18b)

Con el Ejemplo 1.3.7 hemos ilustrado el desplazamiento del grafico de una funcion segunsumemos o restemos una constante a los valores de f(x) o a los valores de x. Resumimos estoen la siguiente conclusion.

Si f es una funcion, y c es una constante positiva, entonces:

El grafico de g(x) = f(x) + c es el grafico de f desplazado c unidades hacia arriba.

El grafico de h(x) = f(x)− c es el grafico de f desplazado c unidades hacia abajo.

El grafico de k(x) = f(x+c) es el grafico de f desplazado c unidades hacia la izquierda.

El grafico de l(x) = f(x− c) es el grafico de f desplazado c unidades hacia la derecha.

Reflexiones

Nos resta ver que relacion existe entre el grafico de f y los graficos de las funciones dadaspor g(x) = −f(x) y h(x) = h(−x).

Comencemos con la funcion g:g(x) = −f(x).

Debe notarse que el signo menos no indica que g sea negativa, sino que los valores que toma gtienen el signo opuesto a los que toma f . Por ejemplo, como f(0) = 1/2 entonces g(0) = −1/2.Luego (0, 1/2) esta en el grafico de f y (0,−1/2) esta en el grafico de g. Del mismo modo,

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Funciones

como f(1) = −1/6, entonces g(1) = 1/6. Ası, (1,−1/6) pertenece al grafico de f y (1, 1/6)

pertenece al grafico de g.

En general, si consideramos un punto (a, f(a)) en el grafico de f , como g(a) = −f(a) secumple que (a,−f(a)) esta en el grafico de g. Ası, si f(a) es positivo, entonces (a, f(a)) esun punto por encima del eje x y (a, g(a)) esta por debajo del eje x. Recıprocamente, si f(b) esnegativo, entonces (b, f(b)) esta por debajo del eje x y (b, g(b)) esta por encima. (Ver Figura1.3.19)

Figura 1.3.19: g(x) = −f(x)

Esto hace que el grafico de g sea como el grafico de f pero reflejado con respecto al eje x.(Ver Figura 1.3.21a).

Consideremos ahora la funcion

h(x) = f(−x).

Insistimos nuevamente en que −x denota el opuesto de x. Ası por ejemplo, −1 es el opuestode 1, y 1/2 es el opuesto de −1/2. Por lo tanto, para calcular h(1) necesitamos conocer f(−1),y para h(−1/2) debemos conocer f(1/2). Ası, h(1) = 7/6 pues f(−1) = 7/6, y h(−1/2) =

1/24 pues f(1/2) = 1/24. Esto en particular implica que el punto (−1, 7/6) esta en el graficode f y (1, 7/6) en el grafico de h. Estos dos puntos tienen la misma coordenada y pero suscoordenadas x tienen diferente signo. Analogamente, (1/2, 1/24) y (−1/2, 1/24) son puntosdel grafico de f y h respectivamente, con la misma coordenada y pero con distinto signo en lacoordenada x. (Ver Figura 1.3.20)

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Funciones

Figura 1.3.20: h(x) = f(−x)

En general, por cada punto (x, f(x)) en el grafico de f , el punto (−x, f(x)) esta en el graficode h. Luego el grafico de h se obtiene a partir del grafico de f reflejando respecto al eje y.

La Figura 1.3.21b ilustra comparativamente los graficos de f con g, y f con h, para esteejemplo.

(a) g(x) = −f(x) (b) h(x) = f(−x)

Figura 1.3.21: Reflexiones respecto al eje x y al eje y

Si f es una funcion, entonces:

El grafico de g(x) = −f(x) es el grafico de f reflejado respecto del eje x.

El grafico de h(x) = f − (x) es el grafico de f reflejado respecto del eje y.

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Capıtulo 2

Funciones Lineales y Cuadraticas

2.1. Funciones lineales

En la naturaleza y en la vida diaria existe una gran cantidad de fenomenos que pueden ex-plicarse y representarse mediante una funcion lineal. Del mismo modo, las funciones linealespueden ser aplicadas a una diversidad de contextos. En este sentido, surge la necesidad e impor-tancia de estudiar funciones lineales buscando reconocer las expresiones de las mismas comosu representacion grafica. Con ese fin, a continuacion se define y caracterizan tales funciones.

Una funcion de la forma f(x) = ax+ b, con a y b numeros reales fijos, es llamadauna funcion lineal. La constante a es llamada pendiente y la constante b es laordenada al origen.

Ejemplos de funciones lineales:

a) f(x) = x;

b) f(x) = 2x;

c) f(x) = 2x+ 1;

d) f(x) = −x;

e) f(x) = −12x+ 3

f) f(x) = 3.

De acuerdo a la definicion dada, todas estas expresiones tienen la forma descripta antes y enese sentido todas seran funciones lineales. Si ahora observamos el ejemplo b) podemos afirmarque a = 2 y que b = 0, en el ejemplo e) a toma el valor -1/2 y b es igual a 3. ¿Cuales son losvalores de a y b en los otros ejemplos?

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Funciones

Es claro que la expresion de una funcion lineal es valida para cualquier numero real y de esamanera podrıamos afirmar que el dominio de cualquier funcion lineal es el conjunto de todoslos numeros reales: R.

Observacion: en algunos textos, se suele denominar funcion de proporcionalidad a unafuncion de la forma f(x) = ax (con b = 0) y funcion afın a f(x) = ax + b, con b diferentede 0. Sin embargo, nosotros denominamos funcion lineal a f(x) = ax+ b, independientementedel valor que tome b, como se definio anteriormente.

Tambien podemos asociar a una funcion lineal f(x) = ax + b con la ecuacion linealy = ax+ b (ecuacion de la recta), donde la variable x se denomina variable independiente ey variable dependiente.

funcion lineal: f(x) = ax+ b←→ ecuacion de la recta: y = ax+ b.

El grafico de una funcion lineal f(x) = ax + b en un sistema de coordenadas cartesia-nas esta determinado por el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen y = f(x), es decir, quesatisfacen la ecuacion lineal y = ax+ b.

Veamos algunos ejemplos de graficos de funciones lineales:

Ejemplo 2.1.1. Sea f(x) = x− 2, donde a = 1 y b = −2.Para graficar, por ahora, tomemos como ayuda una tabla de valores de puntos en el plano

como la que esta a continuacion:

x y = f(x) (x,y)-2 -4 (-2,-4)-1 -3 (-1,-3)0 -2 (0,-2)1 -1 (1,-1)2 0 (2,0)

De acuerdo con los valores presentados en la tabla anterior, notar que, si la abscisa (estoes, x) aumenta una unidad, la ordenada (esto es, y) tambien aumenta una unidad. Si la abscisaaumenta dos unidades, la ordenada aumenta dos unidades, como se evidencia en las Figuras2.1.1 (a) y (b) respectivamente.

Notar en los calculos de abajo que los cocientes entre la variacion de la ordenada (en estecaso 1 o 2) y la variacion de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente.

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Funciones

(a) (b)

Figura 2.1.1: (a) aumentos de una unidad en x, (b) aumentos de dos unidades en x.

1

1=

2

2=

3

3= 1 = a.

Ejemplo 2.1.2. Sea f(x) = −2x+ 1, donde a = −2 y b = 1, con una tabla de valores como lasiguiente y grafico tal como se muestra en las Figuras 2.1.2 (a) y (b).

x y = f(x) (x,y)-2 5 (-2,5)-1 3 (-1,3)0 1 (0,1)1 -1 (1,-1)2 -3 (2,-3)

Observar en este caso que si la abscisa crece una unidad, la ordenada decrece dos unidades.Si la abscisa crece dos unidades, la ordenada decrece cuatro unidades.

Nuevamente, notemos que los cocientes entre la variacion de la ordenada (- 2, -4 o -6 eneste caso) y la variacion de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente.

−2

1=−4

2=−6

3= −2 = a.

Ejemplo 2.1.3. Sea f(x) = 2, donde a = 0 y b = 2. (Recordar el Ejemplo 1.3.2).

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Funciones

(a) (b)

Figura 2.1.2: (a) aumentos de una unidad en x, (b) aumentos de dos unidades en x.

x y = f(x) (x,y)-2 2 (-2,2)-1 2 (-1,2)0 2 (0,2)1 2 (1,2)2 2 (2,2)

Figura 2.1.3: grafico de f(x) = 2.

Observar en este ejemplo, que, si la abscisa crece una unidad, la ordenada se mantiene igual(dicho de manera grafica no sube ni baja). Si la abscisa crece dos unidades, la ordenada tambiense mantiene igual.

Ahora calculamos los cocientes entre las variaciones de la ordenada (siempre sin cambio ocambio nulo) y la abscisa (1, 2 o 3 en este caso), notamos otra vez que son constantes e igualesal valor de la pendiente:

0

1=

0

2=

0

3= 0 = a.

Teniendo en cuenta esta relacion entre la funcion lineal f(x) = ax + b y la ecuacion de larecta y = ax+b, concluimos que el grafico de una funcion lineal es una lınea recta con pendiente

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Funciones

igual a a y que pasa por el punto P = (0, b) pues f(0) = b (lo que es equivalentemente a decirque el punto (0, b) satisface la ecuacion de la recta).

En los graficos presentados en las Figuras 2.1.4 (a), (b) y (c) podemos observar las repre-sentaciones graficas de tres funciones lineales distintas y como se pone en evidencia la relacionentre el valor de la pendiente a y el tipo de grafico. Ası, cuando a > 0, el angulo entre el graficode la funcion lineal y el eje x sera agudo (menor a 90 grados), en cambio si a < 0 el anguloentre el grafico de la funcion lineal y el eje x sera obtuso (mayor a 90 grados). Por ultimo sia = 0, el grafico de la funcion lineal sera una recta paralela al eje x.

(a) (b)

(c)

Figura 2.1.4: (a) a > 0, (b) a < 0, (c) a = 0.

A partir de los ejemplos anteriormente tratados podemos observar que, dados dos puntosarbitrarios P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) sobre una recta, con x1 distinto de x2, es posibledeterminar la pendiente correspondiente de esta manera:

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Funciones

a =y2 − y1x2 − x1

.

Si bien no lo vamos a tratar aquı, esta relacion se puede deducir usando semejanza de triangulos.

Recordemos que la ecuacion de una recta vertical, paralela al eje y y que pasa por (x1, y1)

esta dada por x = x1 (esto vale para cualquier valor de y), sin embargo es importante notar quetal recta no representa el grafico de una funcion pues no satisface la definicion de funcion, talcomo fue tratada en la Seccion 1.2.

Otra forma util de representar la ecuacion de una recta se obtiene conociendo la pendientede la recta y un punto por donde pasa la recta. Por ejemplo, supongamos que se tiene una rectaque tiene pendiente a = 2/5 y pasa por el punto P = (3, 2) entonces cualquier otro punto sobreesa recta tiene la forma Q = (x, y) y debe cumplir que:

y − 2

x− 3=

2

5,

y despejando obtenemos:

y − 2 =2

5(x− 3),

o lo que es equivalente

y =2

5(x− 3) + 2.

En general, la ecuacion de la recta que pasa por un punto dado (x1, y1) y tiene pendiente aesta dada por:

y − y1 = a(x− x1) o y = a(x− x1) + y1.

Ahora, dados dos puntos de una recta no vertical (x1, y1) y (x2, y2) podemos determinar lafuncion que define esa recta. Para determinar la funcion que define esa recta basta encontrar elvalor de la pendiente a y usar la observacion anterior con alguno de los puntos dados:

f(x) = a(x− x1) + y1

f(x) =y2 − y1x2 − x1

(x− x1) + y1.

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Funciones

Sabiendo que el grafico de una funcion lineal se corresponde con una recta en el plano, cabepreguntarse, ¿Como graficar una funcion lineal f(x) = ax+ b utilizando la menor cantidad depuntos posibles?

Sabemos que dados dos puntos cualesquiera en el plano, por ellos pasa una unica recta, porlo tanto es suficiente evaluar la funcion en dos valores x1 y x2, marcar los puntos (x1, f(x1) y(x2, f(x2) en el plano y por ultimo, trazar la recta que pasa por ellos. Un punto posible puedeser (0, f(0)) = (0, b).

Por ejemplo: para graficar la funcion lineal f(x) = 3x − 2 podemos considerar x1 = 0

y x2 = 1, obteniendo ası los puntos (0,−2) y (1, 1). Marcamos estos dos puntos en el planocartesiano y finalmente trazamos la recta que los contiene a ambos o que pasa por ellos dos.Esto es, trazamos la recta correspondiente tal como se muestra en la Figura 2.1.5 y finalmentetrazamos la recta correspondiente.

Figura 2.1.5: grafico de f(x) = 3x− 2.

Rectas paralelas y perpendicularesEn esta seccion analizaremos relaciones entre dos rectas. Particularmente estudiaremos rec-

tas paralelas y rectas perpendiculares.

Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

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Funciones

Por ejemplo, las rectas y = 2x + 1 e y = 2x + 3, correspondientes a las funciones linealesf(x) = 2x+ 1 y g(x) = 2x+ 3 respectivamente, son paralelas pues tienen la misma pendientea = 2. El grafico de la segunda recta esta 2 unidades mas arriba que el de la primera.

Notar que las ecuaciones de las rectas: −2x + 3y + 12 = 0 y 4x − 6y = 5 tambien sonparalelas, pues si se calculan sus pendientes se puede verificar que son iguales (para ambasrectas a=2/3). Ver Figura 2.1.6 (a).

Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si sus pendientes sonrecıprocas negativas una de la otra.

Por ejemplo, las rectas y =3

4x e y = −4

3x son perpendiculares, pues −4/3 es el recıproco

negativo de 3/4. Ver Figura 2.1.6 (b). Tambien es facil ver que las rectas 2x − 3y = 5 y3x+ 2y = −4 son perpendiculares calculando las pendientes correspondientes.

(a) (b)

Figura 2.1.6: (a) 2 rectas paralelas, (b) 2 rectas perpendiculares.

2.2. Funciones cuadraticas

Al igual que las funciones lineales, las funciones cuadraticas aparecen frecuentemente enmuchos problemas de la vida diaria (trayectoria de una pelota que es lanzada hacia arriba, arcode un puente, etc.) y en otros problemas mas complejos, por lo que es muy importante sabergraficarlas e interpretarlas con cuidado.

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Funciones

Las funciones cuadraticas estan definidas por un polinomio de grado 2:f(x) = ax2 + bx+ c, con a, b, c numeros reales y a 6= 0.

Es claro que el dominio de las funciones cuadraticas es el conjunto de todos los numerosreales.

El grafico de las funciones cuadraticas es una curva llamada parabola. Para graficar lasfunciones cuadraticas vamos a comenzar considerando un caso muy simple en el que a = 1,b = 0 y c = 0: f(x) = x2 cuando x toma valores en el intervalo [−3, 3].

Primero marquemos algunos puntos en el sistema de ejes cartesianos evaluando la funcionen algunos valores de x en el intervalo dado. Podrıa ser tentador unir esos puntos por segmentosde rectas pero eso no corresponderıa al grafico de una parabola. Evaluando la funcion en maspuntos en el intervalo [−3, 3] y uniendolos con una curva suave en la Figura 2.2.1 podemosobservar que el grafico de la parabola y = f(x) = x2 tiene la forma siguiente:

x y = x2 (x, y)

−3 9 (−3, 9)−5/2 25/4 (−5/2, 25/4)−2 4 (−2, 4)

-3/2 9/4 (-3/2,9/4)-1 1 (-1,1)

-1/2 1/4 (-1/2,1/4)0 0 (0,0)

1/2 1/4 (1/2,1/4)1 1 (1,1)

3/2 9/4 (3/2,9/4)2 4 (2,4)

5/2 25/4 (5/2,25/4)3 9 (3,9)

Figura 2.2.1: grafico de f(x) = x2.

Si ahora consideramos la misma funcion cuadratica f(x) = x2 al hacer variar x en el interva-lo [−5, 5] o [−10, 10] observamos que la forma de la parabola se mantiene, por lo que podemossuponer que tambien se mantiene este comportamiento si extendemos el grafico evaluando endiferentes puntos de la recta real.

Para ilustrar con mas detalles lo referido a funcion cuadratica, a continuacion considerare-mos ejemplos que pueden ser vistos como variantes de la parabola graficada en la Figura 2.2.1.

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Funciones

Ejemplo 2.2.1. Sea g(x) = −x2Para graficar esta funcion solo se debe reflejar el grafico de f(x) = x2 con respecto al eje x

(recordar que esta idea de reflejar un grafico ya fue discutida en secciones anteriores) tal comose muestra en la Figura 2.2.2.

Figura 2.2.2: grafico de f(x) = −x2.

Observacion: el signo de a, el coeficiente que acompana a x2, indica hacia donde apuntanlas ramas de la parabola: si a > 0 entonces las ramas de la parabola apuntan hacia arriba (comoen f(x) = x2), en cambio si a < 0, las ramas de la parabola apuntan hacia abajo (como eng(x) = −x2). Ademas, si 0 < a < 1 (ver grafico de g(x), en Figura 2.2.3) las ramas de laparabola seran mas abiertas que en el caso a = 1 y si a > 1 (ver grafico de h(x), en Figura2.2.3) las ramas de la parabola seran mas cerradas que en el caso a = 1.

Ejemplo 2.2.2. Sea g(x) = x2 + 2

Para graficar esta funcion solo se debe trasladar el grafico de f(x) = x2 dos unidades haciaarriba. Ver Figura 2.2.4 (a) (recordar lo visto en secciones anteriores sobre desplazamientos yreflexion de graficos).

Ejemplo 2.2.3. Sea g(x) = (x− 2)2

Para graficar esta funcion solo se debe trasladar el grafico de f(x) = x2 dos unidades haciala derecha, pues cuando x = 2, tenemos g(2) = 0. Recordar el apartado sobre desplazamientode gr´aficos dado en secciones anteriores. Ver Figura 2.2.4 (b).

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Funciones

Figura 2.2.3: grafico de f(x) = x2, g(x) = 110x2 y h(x) = 10x2.

(a) (b)

Figura 2.2.4: (a) g(x) = x2 + 2, (b) g(x) = (x− 2)2.

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Funciones

Ejemplo 2.2.4. Sea g(x) = x2 − 4x+ 4

Para graficar esta funcion basta notar que x2 − 4x+ 4 = (x− 2)2, es decir que es la mismafuncion cuadratica del ejemplo anterior, por lo tanto, el grafico sera el mismo.

Ejemplo 2.2.5. Sea g(x) = x2 − 4x+ 6

Para graficar esta funcion basta notar que si completamos cuadrados:

x2 − 4x+ 6 = x2 − 2 · 2 · x+ 6 = x2 − 2 · 2 · x+ 4− 4 + 6 = (x− 2)2 + 2,

y tomando en cuenta los Ejemplos 2 y 3, podemos graficar g desplazando la parabola de f(x) =

x2 dos unidades hacia arriba y dos unidades hacia la derecha.

Figura 2.2.5: grafico de g(x) = x2 − 4x+ 6.

En general, para graficar una funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c se deben tener encuenta algunos puntos caracterısticos:

- la interseccion con el eje de las ordenadas: el punto (0, f(0)).

- la interseccion con el eje de las abscisas. Estos puntos corresponden a las raıces de f(x) =

0. Recordemos que una ecuacion cuadratica puede tener: i) dos raıces reales y distintas (elgrafico de la cuadratica debe atravesar el eje x); ii) dos raıces reales e iguales (el graficode la cuadratica toca el eje x pero no lo atraviesa); o iii) dos raıces complejas conjugadas

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Funciones

(a) (b) (c)

Figura 2.2.6: (a) 2 raıces reales y distintas, (b) 2 raıces reales iguales, (c) 2 raıces complejasconjugadas.

(el grafico de la cuadratica no toca al eje x). En la Figura 2.2.6 se ilustran los tres casosanteriores.

- el vertice (mınimo o maximo) de la cuadratica. Las coordenadas de este punto son:

(xv, yv) =

(− b

2a,− b

2

4a+ c

)

Las coordenadas del vertice pueden deducirse completando cuadrados:

ax2 + bx+ c = a(x2 + b

ax+ c

a

)= a

(x+ b

2a

)2 − b2

4a+ c

Si a > 0, el vertice sera denominado el mınimo de la parabola y se alcanza cuandoxv = − b

2ay yv = f(xv) = − b2

4a+ c. Por otro lado, si a < 0, el vertice sera denominado el

maximo de la parabola y se alcanza cuando xv = − b2a

y yv = f(xv) = − b2

4a+ c. Es facil

ver que la coordenada xv determina el eje de simetrıa de la parabola (x = xv)y puedeobtenerse tambien como el promedio de las raıces:

xv =x1 + x2

2.

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Funciones

Ejemplo 2.2.6. Para la funcion f(x) = x2 − 3x + 3 determinar las coordenadas del vertice, eleje de simetrıa y realizar el grafico de f .

Respuesta:Completando cuadrados, podemos escribir:

f(x) = x2 − 3x+ 3 = x2 − 3x+9

4− 9

4+ 3 =

(x− 3

2

)2

+3

4.

Notemos que como el coeficiente de x2 es positivo, el grafico de f tendra las ramas hacia arribay por lo tanto el vertice sera un mınimo de la parabola. Ademas, hemos escrito a f como unasuma de dos terminos: (x − 3

2)2 el cual es mayor o igual a cero y otro termino 3

4, el cual es

positivo. Por lo tanto, el menor valor de f se alcanzara cuando el primer termino sea igual acero, y esto ocurre si x = 3

2, y en este caso, f(3

2) = 3

4. Utilizando la formula dada arriba, se

puede comprobar que(32, 34

)corresponde a las coordenadas del vertice.

Luego, el eje de simetrıa es x = xv = 32.

Para realizar el grafico de f , calculemos el discriminante de la cuadratica: ∆ = b2 − 4ac =

9 − 12 = −3 < 0, por lo tanto la cuadratica no tiene raıces reales y no cortara el eje de lasabscisas. Luego para dibujar la cuadratica basta utilizar el eje de simetrıa (x = 3

2) junto con el

punto determinado por la interseccion con el eje de las ordenadas: (0, 3). Precisamente, debidoa la propiedad de simetrıa podemos determinar que la parabola tambien debe pasar por el punto(3, 3). Con toda esta informacion podemos realizar el grafico de f , como se muestra en la Figura2.2.7.

Figura 2.2.7: grafico de g(x) = x2 − 3x+ 3.

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Funciones

Ejemplo 2.2.7. Hallar la interseccion de la parabola y = 2x2 − 3x+ 2 y la recta y = 3x− 2.Respuesta:Como los primeros miembros de las dos ecuaciones son iguales, por un lado: y = 2x2 −

3x+ 2 y por otro: y = 3x− 2, entonces los segundos miembros tambien lo son, es decir:

2x2 − 3x+ 2 = 3x− 2.

Luego, agrupando todos los terminos en el lado izquierdo obtenemos:

2x2 − 6x+ 4 = 0.

Resolviendo esta ecuacion de segundo grado obtenemos las raıces: x1 = 1 y x2 = 2. Es-tas numeros corresponden a las primeras coordenadas de los puntos de interseccion entre laparabola y la recta. Para determinar las respectivas segundas coordenadas es suficiente evaluarx1 y x2 en las ecuaciones que definen la parabola o la recta. Es decir, si x1 = 1, entoncesy1 = 3(1) − 2 = 1, y si x2 = 2 entonces y2 = 3(2) − 2 = 4. Luego las coordenadas de lospuntos de interseccion son (x1, y1) = (1, 1) y (x2, y2) = (2, 4). Graficamente

Figura 2.2.8: graficos de y = 2x2 − 3x+ 2 e y = 3x− 2.

2.3. Funciones definidas por partes

Una funcion definida por partes es una funcion donde la regla que la define cambia depen-diendo del valor de la variable independiente. Formalmente, su definicion esta dada sobre variosconjuntos disjuntos de su dominio.

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Funciones

Ejemplo 2.3.1. Un ejemplo conocido de una funcion definida por partes es la funcion valorabsoluto, cuyo dominio es el conjunto de los numeros reales R:

f(x) = |x| ={−x si x < 0

x si x ≥ 0

Ası para valores de x menores que 0 la funcion f se define como f(x) = −x, en cambio paravalores de x mayores o iguales que 0, se define f(x) = x. Ver el grafico que se presenta en laFigura 2.3.1.

Figura 2.3.1: grafico de f(x) = |x|.

Veamos otros ejemplos:

Ejemplo 2.3.2. Sea

g(x) =

{−x+ 2 si x < 1

x2 + 1 si x ≥ 1

En este caso, la funcon g esta definida como una recta para los valores de x menores que 1 ycomo una parabola para los valores de x mayores o iguales a 1. (Ver el grafico en la Figura 2.3.2(a)).

Ejemplo 2.3.3. Por ultimo, veamos un ejemplo de una funcion definida por partes, donde laregla que define la funcion cambia en un unico punto.

h(x) =

{x2 si x 6= 0

1 si x = 0

34

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Funciones

Notemos que el grafico de la funcion corresponde a una parabola excepto en el punto x = 0,donde h vale 1. (Ver el grafico en la Figura 2.3.2 (b)).

(a) (b)

Figura 2.3.2: (a) Ejemplo 2.3.2. (b) Ejemplo 2.3.3.

35

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Funciones

36

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Capıtulo 3

Trigonometrıa y FuncionesTrigonometricas

3.1. Introduccion

La historia de la Trigonometrıa se remonta a las matematicas producidas por las culturasEgipcias y Babilonicas, siendo los Egipcios los primeros en usar la medida en grados, minutosy segundos para la medida de angulos. Fue iniciada por Hiparco, un astronomo de Nicea (ciudadubicada en la actual Turquıa) aproximadamente en el ano 150 A.C., tiempo despues Tolomeo(cientıfico greco-egipcio) siguio con estos estudios, para crear su sintaxis Matematica llamada“Almagesto”1. Entre las numerosas aplicaciones se encuentran las tecnicas de triangulacionque son usadas en: astronomıa para medir distancias a estrellas proximas, en la medicion dedistancias entre puntos geograficos, y en los sistemas global de navegacion por satelites.

Etimologicamente, la palabra trigonometrıa significa “medicion de triangulos”. En terminosgenerales, la trigonometrıa es una rama de la matematica que estudia las llamadas razonestrigonometricas”, estas son: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Las dosramas fundamentales de la trigonometrıa son la trigonometrıa plana, que se ocupa de figurascontenidas en un plano, y la trigonometrıa esferica, que se ocupa de triangulos que formanparte de la superficie de una esfera. Interviene directa o indirectamente en las demas ramas dela matematica y se aplica en todos aquellos ambitos donde se requieren medidas de precision.

1Almagesto es el nombre arabe de un tratado astronomico escrito y contiene el catalogo estelar mas completode la antiguedad que fue utilizado ampliamente por los arabes y luego por los europeos hasta la alta Edad media, yen el que se describen el sistema geocentrico y el movimiento aparente de las estrellas y los planetas.

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Funciones

3.2. Razones trigonometricas

La nocion de razon trigonometrica se refiere a vınculos que pueden establecerse entre doslados de un triangulo rectangulo en relacion con cada uno de sus angulos agudos. Recordemosque en los triangulos rectangulos, uno de sus angulos es de 90◦. En el triangulo rectangulo quese muestra en la Figura 3.2.1, el angulo A es el angulo de 90◦ o recto mientras que los angulosB y C serıan agudos (cada uno mide menos de 90◦).

Figura 3.2.1: Triangulo rectangulo.

La razon trigonometrica (o) seno de un angulo (del triangulo) es la razon numerica entrela medida del cateto opuesto a dicho angulo y la medida de la hipotenusa (recordar que lahipotenusa es el lado del triangulo que se opone al angulo de 90◦). El coseno del mismo anguloes la razon numerica entre la medida del cateto adyacente al angulo y la medida de la hipotenusa.

Ejemplo 3.2.1. En el triangulo de la Figura 3.2.1, el lado a mide 5,8 cm, el lado b mide 2,8 cmy el lado c mide 5,2 cm. Calcular el seno y el coseno de los angulos B y C.

Lo primero que tenemos que hacer es identificar cual sera el cateto adyacente y cual el catetoopuesto para cada angulo. En el caso del angulo B, el cateto adyacente es el lado c y el catetoopuesto es el lado b; mientras que para el angulo C el cateto adyacente es el lado b y el catetoopuesto es el lado c. La hipotenusa es el lado a. Entonces :

sen(B) =cateto opuesto

hipotenusa=b

asen(C) =

cateto opuestohipotenusa

=c

a

cos(B) =cateto adyacente

hipotenusa=c

acos(C) =

cateto adyacentehipotenusa

=b

a

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Funciones

Por lo que resulta:

sen(B) =2,8cm

5,8cm= 0,48 sen(C) =

5,2cm

5,8cm= 0,89

cos(B) =5,2cm

5,8cm= 0,89 cos(C) =

2,8cm

5,8cm= 0,48

sen(B) = 0,48 cos(B) = 0,89 sen(C) = 0,89 cos(C) = 0,48

Asociadas a estas dos razones trigonometricas basicas se definen otras cuatro razones tri-gonometricas. Ellas son: tangente (razon existente entre el cateto opuesto al angulo y el catetoadyacente al angulo), cotangente (razon entre el cateto adyacente al angulo y el cateto opuestoal angulo), cosecante (razon entre la hipotenusa y el cateto opuesto al angulo) y secante (razonentre la hipotenusa y el cateto adyacente al angulo). Las razones trigonometricas para el anguloB, resultan:

Funcion Recıproca

sen(B) =cateto opuesto

hipotenusa=b

acosec(B) =

hipotenusacateto opuesto

=a

b

cos(B) =cateto adyacente

hipotenusa=c

asec(B) =

hipotenusacateto adyacente

=a

c

tan(B) =cateto opuesto

cateto adyacente=b

ccotan(B) =

cateto adyacentecateto opuesto

=c

b

Tabla 3.2.1: Razones trigonometricas

Si prestamos atencion, veremos que las razones trigonometricas cotangente, secante y cose-cante son las recıprocas de la tangente, coseno y seno, respectivamente; es decir,

cot(B) =1

tangente=c

bsec(B) =

1

coseno=a

ccosec(B) =

1

seno=a

b

Resolucion de triangulos rectangulos

Resolver un triangulo rectangulo implica obtener la medida de todos sus angulos y de todaslas longitudes de sus lados. Para ello se utilizan las razones trigonometricas y el teorema dePitagoras, el cual se enuncia ası: “en todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de sus catetos”. Por ejemplo, en el triangulo de la Figura 3.2.1,

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Funciones

el lado a es la hipotenusa y los lados b y c son los catetos, entonces por el teorema de Pitagorasla relacion entre las longitudes de los lados del triangulo rectangulo resulta: a2 = b2 + c2.

Recordemos que existen tres unidades que emplea la trigonometrıa para la medicion deangulos: el radian2, considerada como la unidad natural de los angulos, establece que unacircunferencia completa puede dividirse en 2π radianes; el gradian o grado centesimal, quepermite dividir la circunferencia en cuatrocientos grados centesimales; y el grado sexagesimal,que se usa para dividir la circunferencia en trescientos sesenta grados sexagesimales.

Para convertir grados sexagesimales en radianes o viceversa, recordemos que un angulo de360◦ equivale a 2π radianes; un angulo de 180◦ equivale a π radianes. Entonces partiendo deque 180◦ equivalen a π radianes; si luego planteamos una regla de tres, podemos resolver elsistema para hallar la incognita como se muestra a continuacion.

Ejemplo 3.2.2. Convertir 38◦ a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Notese que la x va arriba, en la posicion de los radianes.

π

180◦=

x

38◦

Despejamos x, tambien simplificamos.

x =38◦π

180◦=

19π

90

Por ultimo obtenemos el equivalente decimal:x = 0, 6632radianes

.

Ejemplo 3.2.3. Determinar el valor de la hipotenusa y del angulo B del triangulo de la Figura3.2.1, si los catetos miden 3 cm y 4 cm, respectivamente y el angulo C es de 36,87◦.

Para obtener el valor de la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitagoras:a2 = b2 + c2 a2 = (3 cm)2 + (4 cm)2

a2 = 9 cm2 + 16 cm2

a2 = 25 cm2

a =√

25 cm2

a = 5 cm

21 radian es el angulo al que le corresponde un arco con igual longitud que el radio.

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Funciones

Para calcular el valor del angulo B, basta recordar que la suma de los angulos interiores deun triangulo rectangulo es igual a 180◦, es decir que B +C + 90◦=180◦, despejando se obtieneB = 53,13◦

Ejemplo 3.2.4. Supongamos que los lados de un triangulo rectangulo valen 2 cm, 4 cm y 6 cm,como se muestra en la Figura . ¿Como harıas para determinar el valor de los angulos agudos?.

De las relaciones trigonometricas obtenemos el valor del seno, coseno o tangente, pero no elvalor del angulo. ¿Se puede entonces saber cuanto vale el angulo? La respuesta es si y se utilizanlas relaciones inversas. Cada relacion trigonometrica tiene su inversa, por ejemplo la inversa deseno se denomina arcsen, la del coseno se denomina arccos. La idea de funcion inversa noes facil pero, para lo que nosotros vamos a trabajar, la calculadora sera de gran ayuda3. Porejemplo, uno se pregunta: ¿cual es el angulo cuyo seno es 0.5?, la respuesta es 30◦, de ese modoescribimos que el arcsen(0,5) = 30◦.

Simbolicamente:

Si sen(a) = b entonces a = arcsen(b)

Si cos(a) = b entonces a = arccos(b)

Si tan(a) = b entonces a = arctan(b)

Si sec(a) = b entonces a = arcsec(b)

Si cosec(a) = b entonces a = arccosec(b)

Si cotan(a) = b entonces a = arccotan(b)

La resolucion de triangulos rectangulos es una herramienta muy util paras resolver proble-mas de la realidad y muchas veces se recurre a ellos en la resolucion de triangulos acutangulos(todos sus angulos son agudos) u obtusangulos (uno de sus angulos mide mas de 90◦), comoveremos en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3.2.5. Juan y Pedro ven desde las puertas de sus casas una torre, bajo angulos de 45◦

y 60◦. La distancia entre sus casas es de 126 m y la torre esta situada entre sus casas. Hallar laaltura de la torre. Generalmente resulta util realizar un dibujo con los datos del problema, deesta manera es mas facil comprender la situacion planteada y la/s incognita/s que nos piden. VerFigura 3.2.2.

Al trazar la altura (recordar que la altura correspondiente al lado de un triangulo es el seg-mento perpendicular a dicho lado que interseca al vertice opuesto) de la torre se originan dos

3En la calculadora o en algunos textos se utiliza la notacion: a = sen−1(b)

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Funciones

Figura 3.2.2: Dibujo de la situacion.

triangulos rectangulos. Si llamamos x a la distancia de uno de los observadores al pie de latorre, la distancia del otro debe ser 126m− x.

Ya que ambos triangulos tienen en conun un cateto que es la altura de la torre, podemosutilizar las tangentes en ambos triangulos rectangulos para plantear un sistema de ecuacionesen donde aparezca nuestra incognita y luego resolverlo.

tan(45◦) = h126m−x

tan(60◦) = hx

h = (126m− x) tan(45◦)

h = x tan(60◦)

Si resolvemos el sistema de ecuaciones por igualacion, y tomamos la tangente de 60◦ iguala 1.73, tenemos

(126m− x) = x1,73⇒ 1,73x+ x = 126m⇒ 2,73x = 126m

x =126m

2,73= 46,15m⇒ x = 46.15 m

.

Ahora podemos calcular h.

h = x tan(60◦)⇒ h = 1,73x⇒ h = 1,73× 46,15m = 79,83m⇒h = 79,83m

.

Ejemplo 3.2.6. En un cierto instante de tiempo, cuando un avion esta directamente arriba deuna carretera recta que une a dos pueblos, y a una altura de 9 km; los angulos de elevacion conrespecto a estos pueblos son 21◦ y 35◦. Determinar las distancias del avion a cada uno de lospueblos en dicho instante, considerando una separacion de 7 km entre los puntos representativosde los pueblos.

Volviendo a la utilizacion del grafico para ayudarnos en la resolucion del problema (Figura3.2.3), en este caso nos piden la hipotenusa de cada uno de los triangulos rectangulos que

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Funciones

quedaron formados. Valiendonos de las relaciones para el seno tenemos:

sen(21◦) =h

AC⇒ AC =

h

sen(21◦)⇒ AC = 25,11 km

sen(35◦) =h

BC⇒ BC =

h

sen(35◦)⇒ BC = 15,69 km

Figura 3.2.3: Dibujo de la situacion.

En otros casos, ademas de utilizar triangulos rectangulos, podrıamos tambien recurrir a losteoremas del seno y del coseno para resolver los problemas de triangulos mas generales. Dadoel triangulo de la Figura 3.2.1, el teorema del seno establece una relacion de proporcionalidadentre las longitudes de los lados de un triangulo y los senos de los angulos respectivamen-te opuestos, mientras que el teorema del coseno establece una relacion entre los 3 lados deltriangulo y un angulo. Matematicamente esto se representa:

Teorema del seno

a

sen(A)=

b

sen(B)=

c

sen(C)

Teorema del cosenoEn un triangulo el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos menos el doble producto del producto de los otros dos por el coseno del angulo queforman.

a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)

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Funciones

Ejemplo 3.2.7. Queremos resolver un triangulo con los siguientes datos: a = 1200 cm, c =700 cm y B = 108◦

Primero dibujamos el triangulo, nos dan como datos 2 lados y el angulo que forman, pode-mos calcular el lado b, usando el teorema del coseno:

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)

b2 = (1200 cm)2 + (700 cm)2 − 2(1200 cm)(700 cm) cos(108◦)

b2 = 1440000 cm2 + 490000 cm2 − 1680000 cm2 cos(108◦)

b2 = 2449148 cm2 ⇒ b =√

2449148 cm2 ⇒ b = 1564.97 cm

Con c y b conocidos podemos calcular el angulo C, utilizando el teorema del seno y luegodespejando

c

sen(C)=

b

sen(B)⇒ sen(C) =

c× sen(B)

b

sen(C) =700 cm sen(108◦)

1564,97 cm⇒ sen(C) = 0,42

C = arc sen(0,42)⇒C = 25,17◦

Y finalmente, podemos calcular el angulo A, recordando la propiedad de los angulos inte-riores de un triangulo.

A+B + C = 180◦⇒ A = 180◦ −B − C ⇒A = 46,83◦

3.3. La circunferencia trigonometrica

La circunferencia unitaria, trigonometrica, o “cırculo unidad” es una circunferencia de radiouno, con centro en el origen de coordenadas (0, 0) de un sistema cartesiano y es representada porC1. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar facilmente las variaciones de lasrazones trigonometricas y las funciones trigonometricas, mediante la representacion de triangu-los rectangulos auxiliares. En realidad, la circunferencia trigonometrica es una herramienta quenos permite relacionar las razones trigonometricas con angulos.

Sea P un punto de la circunferencia unidad, de medidas que van de 0◦ a 360◦, con coordena-das (x, y) y sea t la longitud del arco de circunferencia medido en sentido antihorario (contrarioa las agujas del reloj) sobre la circunferencia desde el punto A (1,0) hasta P (Fig. 3.3.1). De estamanera, existe una relacion entre P y t dada por: P(t) = (x, y) = (x(t), y(t)). Esto es, para cada

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Funciones

arco de circunferencia podre determinar un punto P, de coordenadas (x,y). Para enfatizar queP depende del t que tome, escribo P(t) y sus coordenadas como (x(t), y(t)). Del mismo modo,a un punto sobre la circunferencia le correspondera un arco t. Recordemos que existe ademasuna relacion entre la longitud del arco t y el angulo que abarca dicho arco, en otras palabras simiramos la Figura 3.3.1, t = rθ, donde el angulo esta expresado en radianes.

Figura 3.3.1: Circunferencia unitaria.

Ejemplo 3.3.1. Un faro barre con su luz un angulo plano de 128◦. Si el alcance maximo delfaro es de 7 millas, ¿cual es la longitud maxima en metros del arco correspondiente? (1 milla =1.852 m).

La longitud maxima del arco resulta igual al producto del angulo en radianes por el alcancedel faro, pues en este caso el alcance del faro juega el papel del radio en la circunferencia.Primero debemos pasar el angulo a radianes, para ello

π

180◦=

x

128◦

Despejamos x, tambien simplificamos.

x =128◦π

180◦=

64π

90

Por ultimo obtenemos el equivalente decimal: x = 0, 711radianes.Luego L = 0,711× 7millas = 0,711× 7× 1,852m

L = 9217, 48m.

Ahora bien, ¿cuanto puede valer t? ¿como puedo medir ese arco? Como sabemos, la longitudde la circunferencia C1 es 2πr, pero como el radio es igual a 1, la longitud de C1 es 2π; entonces

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Funciones

t puede ser 0 (cuando A y P coindicen) o a lo sumo tomar el valor 2π (cuando A y P de nuevocoinciden luego de dar una vuelta completa). Ası, para cada t tal que 0 ≤ t ≤ 2π, tenemos unpunto en C1. Recıprocamente, todo punto de C1 es P(t) para algun t que cumple 0 ≤ t ≤ 2π.Si tomamos 2π ≤ t ≤ 4π, volvemos a recorrer nuestra circunferencia. Mas aun cada vez que ttoma un valor de la forma 2kπ, el punto P(t) vuelve a empezar a recorrer la circunferencia ensentido antihorario y da una vuelta completa cuando t recorre el intervalo [2kπ, 2(k + 1)π].

Podemos ahora extender la definicion de nuestra funcion P(t) a todos los numeros reales.Nos falta definir P en los t ≤ 0, en este caso, definimos P(t) como el punto en C1 cuyo arcotiene longitud | t |, medido desde (1,0) en sentido horario sobre C1 (Fig. 3.3.2).

Figura 3.3.2: Recorrido en la circunferencia.

Veamos algunos ejemplos en los que se da la medida de un arco t y queremos conocer lascoordenadas del punto P(t):

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Funciones

t P (t) = (x(t), y(t))

0 (1,0)π4

( 1√2, 1√

2)

π3

(12,√32

)π2

(0,1)π (-1,0)3π2

(0,-1)2π (1,0)−π4

( 1√2, −1√

2)

−π3

(12, −√3

2)

−π2

(0,-1)

Tabla 3.3.1: Razones trigonometricas

Si P(t) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son laslongitudes de los catetos de un triangulo rectangulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicandoel teorema de Pitagoras, x e y satisfacen la ecuacion:

x 2 + y2 = 1 = radio2 = hipotenusa2 este hecho se puede observar en la Figura 3.3.2.

Si recordamos las definiciones que empleamos de las razones trigonometricas seno y co-seno en la seccion anterior, y las aplicamos al angulo α formado por el eje de las abscisas y elsegmento que une el origen de coordenadas con el punto P(t), las coordenadas x(t) e y(t) sonlas llamadas razones trigonometricas coseno y seno, respectivamente.

Figura 3.3.3: Representacion del seno y co-seno.

El seno y el coseno de un angulo vienenrepresentados por la ordenada y la abscisa deun punto P sobre la circunferencia unitaria:

P (x, y) = (cos(α), sen(α)).

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Funciones

La relacion que acabamos de ver entre las coordenadas de un punto y las razones seno ycoseno, permite conocer facilmente el signo de estas razones en cada cuadrante4, tal y como semuestra en la Figura 3.3.4. Un punto del primer cuadrante tiene las dos coordenadas positivas,mientras que un punto del segundo cuadrante tiene la coordenada x negativa y la coordenada ypositiva. A su vez un punto del tercer cuadrante tiene las dos coordenadas negativas mientrasque un punto del cuarto cuadrante tiene la coordenada x positiva y la coordenada y negativa.

(a) Cuadrantes (b) Signos

Figura 3.3.4: Cuadrante y signos de las razones trigonometricas.

Representacion grafica de las razones trigonometricas

Ası como al coseno y al seno los podemos marcar en la circunferencia unidad sobre los ejesx e y respectivamente, veamos como podemos representar las otras razones trigonometricas quemencionaramos en la seccion anterior.

Para representarlas nos valemos de triangulos rectangulos auxiliares, como se muestra en laFigura 3.3.5.

En el caso de la tangente utilizamos el triangulo AED que por construccion es semejante altriangulo ACB, de donde resulta:

tan(α) =long(BC)

long(AC)=long(ED)

long(AD)=long(ED)

1= ED

De aquı en adelante hemos convenido en notar a la longitud del segmento AC, simplementecomo AC. De la misma manera se puede jugar con los otros triangulos para obtener las restantesrazones trigonometricas. Usando el triangulo AED, y Pitagoras podemos obtener la hipotenusa:

4Recordemos que el plano cartesiano esta formado por cuatro regiones llamadas cuadrantes I, II, III y IV.

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Funciones

Figura 3.3.5: Representacion grafica de las razones trigonometricas.

Calculo la hipotenusa por Pitagoras AE2 = AC2 + ED2

por lo visto anteriormente AE2 = 1 + tan2(α)

sumamos fracciones AE2 =cos2(α) + sen2(α)

cos2(α)

usando la propiedad cos2(x) + sen2(x) = 1 AE2 =1

cos2(α)

obtenemos lo buscado AE =1

cos(α)= sec(α)

Del triangulo AFG obtenemos las dos razones trigonometricas que quedan, asi la cotangenteresulta:

cotan(α) =GF

AG=GF

1= GF

Usando el triangulo AFG, y Pitagoras realizamos las mismas operaciones para llegar a la cose-

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Funciones

cante:

AF 2 = AG2 +GF 2

AF 2 = 1 + cotan2(α)

AF 2 =sen2(α) + cos2(α)

sen2(α)

AF 2 =1

sen2(α)

AF =1

sen(α)= cosec(α)

En la tabla de la Figura 3.3.6 se dan los valores de las razones trigonometricas para ciertosangulos elementales.

Figura 3.3.6: Valores de las razones trigonometricas de angulos elementales.

3.4. Funciones trigonometricas

En matematica, las funciones trigonometricas son las funciones establecidas con el fin deextender la definicion de las razones trigonometricas a todos los numeros reales y complejos.

Las funciones trigonometricas son de gran importancia en fısica, astronomıa, cartografıa,nautica, telecomunicaciones, la representacion de fenomenos periodicos, y otras muchas apli-caciones.

La funcion cos(t) es la abscisa correspondiente al punto P(t) en la circunferencia unitaria.A todo valor real t, la funcion coseno t le asigna un valor del intervalo [-1, 1]. Por lo tanto el

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Funciones

dominio de la funcion f(t) = cos(t) es el conjunto de los numeros reales o sea todo el eje X,que se “enrolla” en la circunferencia unitaria. Su imagen es el intervalo [-1, 1]. La funcion cos(t)es una funcion par, es decir que cos(−t) = cos(t), por consiguiente solo habra que cambiar elsigno a todos los valores de t y conservar los mismos de cos(t), en las tablas anteriores, paratener los valores del intervalo [−2π , 0]

La funcion sen(t) es la ordenada correspondiente al punto P(t) en la circunferencia unitaria.A todo valor real t, la funcion seno t le asigna un valor del intervalo [-1, 1]. Por lo tanto eldominio de la funcion f(t) = sen(t) es el conjunto de los numeros reales o sea todo el ejeX, que se “enrolla” en la circunferencia unitaria. Su imagen es nuevamente el intervalo [-1, 1].La funcion sen(t) es una funcion impar, o sea que sen(−t) = −sen(t), por consiguiente solohabra que cambiar el signo a todos los valores de t y de sen t para tener los valores del intervalo[−2π , 0]

La funcion f(t) = tan(t) es creciente y con perıodo π, su primer intervalo completo es−π

2< t < π

2. Ademas, la funcion tan(t) es impar porque tan(−t) = sen(−t)

cos(−t) = −sen(t)cos(t)

de manera que solo habra que cambiar signo a todos los valores tabulados para graficar las otrasramas correspondientes a tan(t) en los reales negativos.

Las funciones seno y coseno (Fig. 3.4.1 y Fig. 3.4.2) son funciones periodicas, deperıodo 2π, definidas para todo los reales y cuyas imagenes pertenecen al intervalo

[-1,1].

Por su parte, las funciones tangente y cotangente tienen perıodo π, no estandefinidas cuando el coseno y el seno se anulan (respectivamente) y sus imagenesson todos los numeros reales. A su vez, las funciones secante y cosecante tienenlos mismos dominios que la tangente y cotangente, respectivamente. Tienen un

perıodo de 2π, y sus imagenes pertenecen al intervalo (−∞,−1) ∪ (1,∞)

(Fig. 3.4.3).

51

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Funciones

Figura 3.4.1: Grafico de la funcion coseno.

Figura 3.4.2: Grafico de la funcion seno.

Identidades trigonometricas

Una identidad trigonometrica es una igualdad entre expresiones que contienen funcionestrigonometricas y es valida para todos los valores del angulo en los que estan definidas las fun-ciones (y las operaciones aritmeticas involucradas).

Suma y diferencia de angulos

Pueden demostrarse mediante la proyeccion de angulos consecutivos. La identidad de latangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recıproca correspondiente.

sen(x± y) = sen(x) cos(y)± cos(x)sen(y)

cos(x± y) = cos(x) cos(y)∓ sen(x)sen(y)

tan(x± y) =tan(x)± tan(y)

1∓ tan(x) tan(y)

52

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Funciones

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 3.4.3: Grafico de las funciones trigonometricas.53

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Funciones

Angulos suplementarios (Fig. 3.4.4)

sen(π ± x) = ∓sen(x)

cos(π ± x) = − cos(x)

tan(π ± x) = ∓ tan(x)

cosec(π ± x) = ±cosec(x)

Figura 3.4.4: Angulos suplementarios.

Angulos complementarios (Fig. 3.4.5)

sen(π

2− x)

= cos(x)

cos(π

2− x)

= sen(x)

tan(π

2− x)

= cotan(x)

cosec(π

2− x)

= sec(x)

sec(π

2− x)

= cosec(x)

cotan(π

2− x)

= tan(x)

Figura 3.4.5: Angulos complementarios.

Angulos opuestos (Fig. 3.4.6)

sen (−x) = −sen (x)

cos (−x) = cos (x)

tan (−x) = − tan (x)

cosec (−x) = −cosec (x)

sec (−x) = sec (x)

cotan (−x) = −cotan (x)

Figura 3.4.6: Angulos opuestos.

54

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Capıtulo 4

Ejercicios

1. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x+ 7

b) g(x) = 2x+ 7, 0 ≤ x ≤ 6

c) h(x) =2

3x− 5

d) j(x) =3x− 5

x2 + x+ 1

e) s(x) =√

1− x

f ) r(x) =√

1− x2

g) k(x) =√

(x− 1)(x− 2)

h) l(x) =√|x|

i) m(x) = 1−√x

j) n(x) =x

x2 − 4

k) i(x) =x− 2

x2 − 4

l) p(x) =1√

1− x

2. Dadas las siguientes funciones, evaluar cada una de ellas en el punto indicado a:

f(x) =√x

g(x) =1

x+ 5

h(x) = x+ 1

l(x) =1

x

m(x) = 3x− 2

t(x) = x2

a =1

4

a =1

4a = −1

a =2

3a = 0

a = −4

3

3. La Figura 4.0.1 muestra el grafico de una funcion f . A partir de este grafico determinar:

a) El dominio de f .

55

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Funciones

b) La imagen de f .

c) f(3)

d) Los valores de x donde f(x) ≤ 3.

e) Los valores de x donde f(x) > 3.

Figura 4.0.1: Grafico de f . Ejercicio 3

4. A partir del grafico de la funcion f(x) =1

x, visto en el Ejemplo 1.3.4, esbozar el grafico

de las siguientes funciones:

a) g(x) =1

x− 2b) h(x) =

2

x− 1c) z(x) =

x+ 1

x

5. A partir del grafico de la funcion g dada en la Figura 4.0.2, esbozar los graficos de lasfunciones:

a) f(x) = g(−x)

b) h(x) = −g(x)

c) k(x) = g(x+ 1)

d) p(x) = g(x) + 1

6. Realizar el grafico de las siguientes funciones lineales:

a) f(x) = 3x+ 1 b) g(x) = −2x+ 5 c) h(x) = −x

7. Graficar el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes ecuaciones. Indicar en que ca-sos este grafico es una recta, y en que casos se corresponde al grafico de una funcionlineal.

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Funciones

Figura 4.0.2: Grafico de g. Ejercicio 5

a) y − 1 = 3x

b) y = |x|+ 1

c) y = 3

d) x = 2

e) x+ 1 = 2y

f ) |y| = |x|

8. Escribir la ecuacion de la recta que pasa por los puntos P = (−5, 0) y Q = (0, 2).Determinar la pendiente y la ordenada al origen.

9. El grafico de la funcion lineal f(x) = ax+ b pasa por los puntos (1,−3) y (3, 1). Deter-minar los coeficientes a y b.

10. Las rectas determinadas por las ecuaciones y = ax + 16 e y = −7x + b se intersecan enel punto (−3, 17).

a) Calcular los coeficientes a y b para cada una de estas rectas.

b) Graficar ambas rectas.

11. Considerar la recta dada por la ecuacion y = 3x+ 23:

a) Escribir la ecuacion de la recta perpendicular a la dada y que pasa por el puntoP = (4,−1).

b) Determinar el punto de interseccion entre ambas rectas.

12. a) Escribir la ecuacion de la funcion lineal f tal que f(1) = 0 y f(−1) = 2.

b) Determinar para que valor de x se cumple f(x) = 4.

c) Indicar si la recta determinada por y = f(x) es perpendicular a la recta y =1

2x.

d) Esbozar un grafico de cada una de las rectas.

13. Dada la recta con ecuacion y =3

4(1− x):

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Funciones

a) Escribir la ecuacion de la recta paralela que pasa por el punto (1,−1).

b) Dar la ecuacion de la recta perpendicular que pasa por (1,−1).

14. Para cada una de las siguientes funciones determinar

a) Las coordenadas de los puntos de interseccion del grafico con los ejes coordenados.

b) La ecuacion de la recta que es eje de simetrıa de la parabola.

c) Las coordenadas del vertice de la parabola.

a) f(x) = x2 − 5x+ 4

b) g(x) = −2x2 + x+ 3

c) h(x) = 2x2 + 2 + 4x

d) F (x) = −(x− 1) (x+ 2)

e) G(x) = −x2 − 1

f ) H(x) = (x− 2)2 + 3

15. El grafico de la funcion cuadratica f(x) = −3x2 + b x+ 2 corta al eje x en −1

3y 2.

a) Dar las coordenadas del vertice del grafico de f .

b) Calcular el valor de b.

c) Dibujar el grafico de f .

16. Para la funcion cuadratica f(x) = 5x2 + 3x.

a) Dar las coordenadas (xv, yv) del vertice de la parabola y las coordenadas (x, y) delos puntos de interseccion de la parabola con el eje x y con el eje y.

b) Indicar si el punto (−1, 2) pertenece o no al grafico de la parabola.

c) Con la informacion obtenida en 16a), realizar un grafico a escala de la funcioncuadratica.

17. La funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c determina una parabola que pasa por lospuntos (0, 2) y (4, 2), y su vertice tiene coordenadas (xv, 0).

a) Calcular la coordenada xv del vertice de la parabola.

b) Calcular los coeficientes a, b y c.

c) Indicar si f tiene dos raıces distintas, una o ninguna.

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Funciones

d) Con la informacion obtenida, esbozar el grafico de la parabola.

18. El grafico de la funcion cuadratica f(x) = ax2 + 2x tiene vertice en (1, 1).

a) Dar los puntos de interseccion del grafico con los ejes coordenados.

b) Calcular el valor de a.

c) Trazar el grafico de f .

19. Determinar el dominio de las siguientes funciones y realice su grafico:

a) f(x) =

{x+ 2 si x < 1

2x+ 1 si x ≥ 1

b) g(x) =

{−x+ 2 si x < 3

x+ 1 si x > 3

c) h(x) =

{−x si x < 0

x si x ≥ 0

d) f(x) =

{−x+ 3 si x < 1

x2 + 1 si x ≥ 1

e) g(x) =

{x2 si x 6= 0

1 si x = 0

f ) h(x) =

−1 si x < 1

x si − 1 ≤ x ≤ 1

1 si x > 1

g) f(x) =

{−x2 si x ≤ 0

x2 si x ≥ 0

h) g(x) =

−1 si x < −2x2

si − 1 ≤ x ≤ 1

x2 si x > 2

20. Considerar la siguiente funcion definida por partes:

f(x) =

−4 si x < 423x si 4 ≤ x ≤ 7

x2 si x > 7

a) evaluar f(−10), f(4), f(9/2), f(31/5), f(7) y f(10).

b) determinar el dominio de f y realizar su grafico.

21. Obtener la interseccion de las siguientes funciones y dibujar la region encerrada por ellas:

a) f(x) = x2 − 2x+ 6 y g(x) = x+ 10

b) f(x) = (x− 2)(x+ 1) y g(x) = −x(x− 3)

c) f(x) = 2x+ 1, g(x) = −x+ 3 y h(x) = 1

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Funciones

d) f(x) = 2x, g(x) = x y h(x) = −x+ 6

22. Los propietarios de una casa quieren convertir en una rampa los escalones que llevandel suelo al porche (Figura 4.0.3). El porche esta a 3 metros sobre el suelo, y debidoa regulaciones de construccion, la rampa debe empezar a 12 metros de distancia conrespecto al porche. ¿Que tan larga debe ser la rampa?

Figura 4.0.3: Rampa.

23. Calcula la altura de la torre si una persona esta a 7 m de la base de la torre, el angulocon el que esta observando la cuspide es de 60◦ y sostiene el instrumento para realizar lasobservaciones a una altura de 1.5 m. (Figura 4.0.4.)

Figura 4.0.4: Torre.

24. ¿Cual es su altura de la torre Eiffel, si una persona que mide 1.8 m. de estatura, y se hallaa 50 metros de ella, al mirar la punta mide un angulo de elevacion de 85.4◦? Realizar unesquema para su ayuda.

25. Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicacion con un avion queva a aterrizar. En ese momento el avion se encuentra a una altura de 1200 m y el angulode observacion desde la torre es de 30◦. A que distancia esta el avion del pie de la torre siesta mide 40 m de altura.

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Funciones

26. Desde dos puntosA yB separados 800 m, observamos un globo con angulos de elevacionde 30◦ y 75◦, respectivamente. Hallar la altura a la que se encuentra el globo.

27. ¿A que distancia se encuentra el pie de la escalera de la pared y cuanto mide el anguloque forma la escalera con el suelo? Ver Figura 4.0.5 a continuacion.

Figura 4.0.5: Escalera.

28. Calcular la altura del faro que se muestra en la Figura 4.0.6 a continuacion.

Figura 4.0.6: Faro.

29. Calcular el largo aproximado de la base del barco que se muestra en la Figyra 4.0.7 acontinuacion.

30. Determinar el angulo que subtiende la sombra proyectada por el senor de la Figura 4.0.8.

31. Dos postes de luz de 15 metros de altura ubicados a una distancia de 60 metros iluminanuna calle como lo muestra la Figura 4.0.9. Determinar la longitd del segmento que quedailuminado por los dos postes.

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Funciones

Figura 4.0.7: Barco.

Figura 4.0.8: Hombre.

Figura 4.0.9: Postes de luz.

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Funciones

32. Determinar las coordenadas de cada uno de los siguientes puntos de la circunferenciaunidad:

a) P (3π) b) P (11π2

) c) P (−7π4

) d) P (5π4

)

33. Encontrar los valores de las seis funciones trigonometricas de los arcos t cuyos puntoscirculares P(t) son los siguientes:

a) (−35, 45) b) ( 1√

3,√

23) c) (−1

3, 23

√2)

34. Calcular cos( π12

). (Ayuda: calcular (π4− π

6))

35. Encontrar las coordenadas del punto P( 712π).

36. Si sen(t) = 25, calcular las restantes 5 funciones trigonometricas para cada uno de los

siguientes casos:

a) cos(t) > 0 b) cos(t) < 0

37. Sabiendo que sen(t) = −13

y cos(t) = 2√2

3:

a) Indicar en que cuadrante se encuentra P (t).

b) Calcular sen(−t) y cos(π − t).

38. Sabiendo que α esta en el cuarto cuadrante y que senα = −√

8

3, calcular las restantes 5

funciones trigonometricas para α.

39. Sabiendo que cos(42◦) = 0, 74. Calcular: sen(222◦), tan(138◦), cos(48◦), sen(318◦) ysen(132◦).

40. El seno de cierto angulo α del segundo cuadrante vale 0,45. Calcular el coseno y la tan-gente de α.

41. Calcular las distancias d(P(0),P(π2)) y d(P(π

2),P(−π))

42. Calcular:

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Funciones

a) cos(π3− π

4)

b) sen(π3

+ π4)

c) cos(π8)

d) sen(53π)

43. Dibujar los graficos de las siguientes funciones de en el intervalo −2π < t < 2π.

a) f(t) = cos(π − t)b) f(t) = cos(π + t)

c) f(t) = cos(π2

+ t)

d) f(t) = sen(2t)

e) f(t) = cos( t2)

f ) f(t) = 3 cos(t)

g) f(t) = − sen(t)

h) f(t) = 12

sen(t)

44. Calcular el menor valor positivo t para el cual sen(2t) = sen(t).

45. Obtener todas las soluciones de las siguientes ecuaciones

a) senx = −12

b) senx = sen(2)

c) cosx = 1

d) cosx = cos(1)

e) cotx =√

3

f ) tanx = tan(1)

46. Resolver las siguientes ecuaciones

a) cosx senx = 0

b) sen2 x+ cosx = 54

c) sen(2x) = senx

d) cos(5x) =√32

e) 1− sen2 x = 14

f ) sen(

2x− π

4

)= 1

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