funciones (calculo)

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  • 1. Departamento de Matemticas. Universidad de Sonora Universidad de SonoraDivisin de Ciencias Exactas yNaturalesDepartamento de Matemticas.Problemas Resueltos de Funciones Para: Clculo Diferencial Qumico Bilogo Dr. Jos Luis Daz Gmez1 Jos Luis Daz Gmez

2. Departamento de Matemticas. Universidad de SonoraProblemas Resueltos de Funciones ContenidoProblemas Resueltos de Funciones ............................................................... 11. Definicin y Notacin Funcional. ............................................................. 32. Dominio y Rango. ..................................................................................... 63. Graficacin. ............................................................................................... 8 A. Informacin acerca de las rectas...................................................................... 9 B. Informacin acerca de las cuadrticas ........................................................... 11 C. Asntotas verticales y horizontales................................................................. 16 D. Funciones Pares e Impares. ........................................................................... 174. Grficas y Transformaciones. ................................................................. 18 A. Traslaciones verticales................................................................................... 18 B. Traslaciones horizontales............................................................................... 18 C. Expansiones y Contracciones ........................................................................ 195. Operaciones con funciones. .................................................................... 206. Composicin de Funciones. .................................................................... 227. Funciones Uno a Uno (Inyectivas).......................................................... 258. Funciones Inversas. ................................................................................. 269. Funciones Exponenciales y Logartmicas............................................... 2710. Funciones Trigonomtricas. .................................................................. 32 A. Una forma distinta para graficar funciones senos y cosenos......................... 3411. Problemas para resolver ........................................................................ 372Jos Luis Daz Gmez 3. Departamento de Matemticas. Universidad de Sonora1. Definicin y Notacin Funcional.Problema. 1.La palabra funcin se usa con frecuencia para indicar una relacin o dependencia de unacantidad respecto de otra, estudia los siguientes ejemplos:a) El rea de un crculo es una funcin de su radio. Es decir el rea depende delvalor del radio.b) El volumen de una caja cbica es una funcin de la longitud de uno de sus lados.Es decir, el volumen depende del valor de la longitud de uno de sus lados.c) La fuerza entre dos partculas con carga elctrica opuesta es una funcin de sudistancia.d) La intensidad del sonido es una funcin de la distancia desde la fuente sonora.Problema. 2.La distancia que recorre un avin que viaja a una velocidad de 500 millas por hora(mph) es una funcin del tiempo de vuelo. Si s representa la distancia en millas y t es eltiempo en horas, entonces la funcin es: s (t) = 500t.Problema. 3.La circunferencia de un crculo es una funcin de su radio. Esto se suele expresar pormedio de la expresin: C(r) = 2r.Problema. 4.Los impulsos en las fibras nerviosas viajan a una velocidad de 293 pies/segundo. Ladistancia recorrida en t segundos est dada por la funcin: d (t) = 293t.Problema. 5.Si se sustituye la x por un nmero en la ecuacin y = x3 + 6x2 -5, entonces se obtiene unnico valor de y. Por lo tanto la ecuacin define una funcin cuya regla es: asigne a unnmero x en el dominio un nico nmero y tal que y = x3 + 6x2 -5. La regla de lafuncin tambin se puede describir de la siguiente manera f(x) = x3 + 6x2 -5. Por lotanto:f(0) = 03 + 6(0)2 -5 = -5 y ,f(2) = 23 + 6(2)2 -5 = 27Problema. 6.xLa funcin f ( x ) = + 72es la regla que toma un nmero, lo divide por 2 y luego le suma 7 al cociente. Si se daun valor para x, ese valor se sustituye en x en la frmula, y la ecuacin se resuelve paraf(x), entonces estamos evaluando la funcin en un valor de su dominio. Por ejemplo, six = 4, 4 f (4) = + 7 = 9 2 6Si x = 6,f (6) = + 7 = 10 2Problema. 7.Si f(x) = x2 + x -2. Calcular f(-x) y f(x).f(-x) = (-x)2 + (-x) -2 = x2 - x -2En este caso f (-x) no es lo mismo que f(x), porque f(x) es el nmero negativo de f(x),es decir-f(x) = -(x2 + x -2) = -x2 - x +23 Jos Luis Daz Gmez 4. Departamento de Matemticas. Universidad de SonoraProblema. 8.Si x representa el lmite de velocidad en millas por hora, entonces el lmite de velocidaden kilmetros por hora es una funcin de x, representada por f(x) = 1.6094x. Si el lmitede velocidad en los Estados Unidos es de 55 mph, su equivalente en kilmetros porhora, cuando se redondea al entero ms prximo, es f(55) = 1.6094(55) = 89 km/hSi x = 60 mph, f(60) = 1.6094(60) = 97 km/hProblema. 9.Sea t el tiempo en segundos y d(t) la distancia en metros que una piedra cae despus det segundos. La frase la distancia que cae la piedra despus de t segundos es 5t2metros se puede escribir como d(t) = 5t2. Por ejemplo, d(1) = 5(1)2 = 5significa la distancia que la piedra cae despus de 1 segundo es 5 metrosd(4) = 5(4)2 = 80significa la distancia que la piedra cae despus de 4 segundos es 80 metrosProblema. 10.Encuentre el valor de la funcin f(x) = 2x2 4x + 1, cuando x = -1, x = 0, y, x = 2.Solucin.Cuando x = -1, el valor de f est dado por Con los datos de la izquierda sef(-1) = 2(-1)2 4(-1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 puede construir la siguiente tabla:Cuando x = 0, el valor de f est dado por x f(x)f(0) = 2(0)2 4(0) + 1 = 1-1 7Cuando x = 2, el valor de f est dado por 01f(2) = 2(2)2 4(2) + 1= 8 -8 + 1 = 1 21Problema. 11.Para f (x) = x2-2x, encuentre y simplifique: (a) f (4), (b) f (4 + h), (c) f (4 + h) f (4), (d)f (4 + h) f ( x)hSolucin.(a) f(4) = 42 2(4) = 16 8 = 8(b) f(4 + h) = (4 + h)2 2(4 + h) = 16 + 8h + h2 8 2h = 8 + 6h + h2(c) f(4 + h) f(4) = 8 + 6h + h2 8 = 6h + h2f (4 + h) f (4) 6h + h 2 h(6 + h)(d) === 6+h hhhProblema. 12. 1g ( a + h) g ( a )Para g(x) = , encuentre y simplifique x hSolucin: 1 1 a ( a + h) g ( a + h) g ( a ) a + h a( a + h)a = =hhhh1 1 1 = . == 2 (a + h)a h (a + h)a a + ah4Jos Luis Daz Gmez 5. Departamento de Matemticas. Universidad de SonoraProblema. 13.Una funcin se caracteriza geomtricamente por el hecho de que toda recta vertical quecorta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca ms de un puntode la grafica, esta no representa a una funcin.y y4 y5 54 433 322 2 11 x 1 xx 42 12 4 64 2 1 2 4 6422 412 23 3 24 4 35 5 4 66(a) No es funcin. (b) Si es funcin. (c) No es funcin.y yy33 22 2 11x x1 x422 4 2 4 1 2 2 411 222 343 3(d) Si es funcin. (e) No es funcin. (f) Si es funcin.Problema. 14. Cules de las siguientes ecuaciones son funciones y por qu? (a) y = - 2x + 7 (b) y2 = x(c) y = x2 - 2 (d) x = 2(e) x2 + y2 = 16(f) y = 1 Solucin:(a) y = -2x + 7 es una funcin porque para cada valor de la 8 yvariable independiente x existe un valor y slo uno de la 6variable dependiente y. Por ejemplo, si x = - 2(1) + 7 = 5, 4la grfica se muestra a la derecha. 2 x2(b) y = x, que es equivalente a y = x, no es una 2 4 68 10 2funcin porque cada valor positivo de x, hay dos valores de 4y. Por ejemplo, si y2 = 1, y = 1. La grfica es como la 6figura del inciso (e) del problema 12.8(c) y = x2 - 2 es una funcin. Para cada valor de x existe un solo valor de y. Ejemplo,si x = - 5, y = 23. Esto no importa mientras tambin se d que y = 25 cuando x = 5. Ladefinicin de una funcin simplemente exige que cada valor de x haya un solo valorde y, no, que para cada valor de y hay un solo valor de x. La grfica sera como lafigura (f), del problema 12. Demostrando que una parbola con eje paralelo al eje delas y es una funcin.y(d) x = 2 no es una funcin. La grfica de x = 2 es una lneavertical. Esto significa que en x = 2, y tiene muchos 2valores. La grfica se muestra a la derecha.(e) x + y = 16 no es una funcin. Si x = 0, y = 16 y y = +x4. La grfica es un crculo, similar a la figura (a) del4 2 2 46problema 12. Un crculo no pasa la prueba de lnea vertical.y(f) y = 1 es una funcin. La grafica de y = 1 es una lneahorizontal. Esto significa que al valor de y = 1 se le asignan2muchos valores de x. La grafica se muestra a la derecha.x 4 22 4 65Jos Luis Daz Gmez 6. Departamento de Matemticas. Universidad de Sonora2. Dominio y Rango.La regla de correspondencia es el corazn de una funcin, pero esta no quedadeterminada por completo sino hasta cuando se especifica su dominio. El dominio deuna funcin es el conjunto de objetos a los que la funcin asigna valores. El rango es elconjunto de valores obtenidos.Cuando no se especifica el dominio para una funcin, siempre supondremos que es elmayor conjunto de nmeros reales para los que la regla de la funcin tenga sentido y dvalores de nmeros reales. A este dominio se le llama el dominio natural.Problema. 15.Considrese la funcin f(x) = x2 +1. Encontrar su dominio y rango.Los valores de la funcin se obtienen sustituyendo la x en esta ecuacin. Por ejemplo,f(-1) = (-1)2 + 1 = 1 + 1 = 2, f(2) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5.Evaluando la funcin en distintos valores obtenemos la siguiente tabla y diagrama. x f(x) = x2 + 1 310De aqu observamos que el dominio de la 2 5funcin son todos los nmeros reales, ya 1 2que para cada valor de x real su imagen es 0 1siempre un nmero real. En cambio el -12rango es el intervalo [1, +). Ya que -25nunca vamos a obtener para un nmero -3 10real x un valor menor de 1.Problema. 16.Si se define una funcin f como: f(x) = x2 + 1 con -3 x 3.Entonces el dominio de f est dado como el intervalo cerrado [-3, 3]. Observa que laexpresin algebraica es la misma que la del ejemplo anterior, solo que en este caso, seest limitando el dominio de la funcin a los valores de x compren

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