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FUNCIONES

FUNCIONES – FUNCION LINEAL Actividad 35. Página 110 y 111.Para cada una de las funciones que sigue se pide:a. Graficar. Indica Im f.b. Determinar y clasificar intervalos de monotonía (gráficamente)c. Estudiar la existencia de simetrías (gráficamente). Si existe, clasificar la función. d. Estudiar la existencia de inversa. Si existe dar dominio, codominio y ley de la misma. Graficar y analizar si

conserva las propiedades de la función de partida.

i. 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙ii. 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 ; 𝑫𝒇 = [−𝟐; 𝟐]iii. 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙iv. 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒v. 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒 ; 𝑫𝒇 = 𝕽+

vi. 𝒇 𝒙 =|𝒙|

𝒙

vii. 𝒇 𝒙 = ቊ𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ 𝟎, 𝟒

−𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎)

viii.𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ 𝟎, 𝟒

𝟏, 𝒙 = 𝟎𝒙, 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎)

ix.𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ (𝟎, 𝟒]

𝟎, 𝒙 = 𝟎𝒙 − 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎)

x. 𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ (𝟎, 𝟒]

𝟎, 𝒙 = 𝟎𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎)

𝒉𝒎 > 𝟎

𝒎: PENDIENTE DE LA RECTA

𝒉: ORDENADA AL ORIGEN

𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒉

FUNCIONESREPASO MONOTONÍA

FUNCIÓN LINEAL CRECIENTE ESTRICTA

PENDIENTE DE LA RECTA POSITIVA

FUNCIÓN LINEAL DECRECIENTEESTRICTA𝒎 < 𝟎

𝒉

PENDIENTE DE LA RECTA NEGATIVA

𝒇

FUNCIÓN LINEAL

FUNCIÓN LINEAL CONSTANTE𝒎 = 𝟎

PENDIENTE DE LA RECTA CONSTANTE𝒇

𝒉

𝒇

∀𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ 𝑫𝒇 / 𝒙𝟏< 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇 𝒙𝟏 < 𝒇(𝒙𝟐)

∀𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ 𝑫𝒇 / 𝒙𝟏< 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇 𝒙𝟏 > 𝒇(𝒙𝟐)

𝒙𝟐𝒙𝟏

𝒇(𝒙𝟐)

𝒇 𝒙𝟏

𝒙𝟐𝒙𝟏

𝒇(𝒙𝟐)

𝒇 𝒙𝟏

∀ 𝒙𝟏≠ 𝒙𝟐 ∈ 𝑫𝒇 ⇒ 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 𝒙𝟐 = 𝒉

FUNCIONES

i) a) b) Intervalos de monotonías de 𝒇:

c) Simetrías:

d) Existencia de inversa de 𝒇 :𝒇

𝒈

𝑫𝒇 =

𝑰𝒎𝒇 =𝑪𝒇 =

Gráfica

Sea 𝒈 𝒙 =𝒙

𝟐la Inversa de 𝒇 entonces:

• 𝒇 es inyectiva∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓; 𝑥1𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 𝑓(𝑥2)

Es decir, si trazamos líneas horizontales en la grafica de f, estas líneas cortan a f solamente en un punto.

• 𝒇 es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 = C 𝒇

Entonces 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa

𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙

∴ 𝒈 conserva las propiedades de 𝒇

𝑓 es Creciente estricta en su dominio, la pendiente es 2 y es positiva.

𝑓 es simétrica con respecto al origen de coordenadas 𝒇 es IMPAR −𝒙 = −𝒇 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇

- 𝒈 es estrictamente creciente- 𝒈 es impar

𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =𝑪𝒈 =𝑫𝒇 =

Ejercicio 35

𝒎 = 𝟐 ; 𝒉 = 𝟎La recta pasa por el origen

x

x

x

x

𝒇 es simétrica a 𝒈 con respecto a la recta 𝒚 = 𝒙

Ley de 𝒈: 𝒈 (y)=x (𝒙)=y𝒈 (y)= x 𝟐𝒙 =y𝒈 (y)= x 𝒙= y/2

𝒈(y)= y/2intercambiamos x por y para graficar

𝒈(𝒙)=𝒙/𝟐

FUNCIONES

ii) a)

𝒇

𝑫𝒇 =[−2 ; 2]𝑰𝒎𝒇 =[−4 ; 4]𝑪𝒇 =

𝒇 es inyectiva 𝒇 no es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 C𝒇

Entonces 𝒇 no es Biyectiva ⇒ 𝒇 no admite inversa

𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙

No existe la Inversa de 𝒇

Ejercicio 35

b) Intervalos de monotonías de 𝒇:

c) Simetrías:

d) Existencia de inversa de 𝒇 :

𝑓 es Creciente estricta en su dominio, la pendiente es 2 y es positiva.


𝒎 = 𝟐 ; 𝒉 = 𝟎La recta pasa por el origen

Gráfica

Si 𝑰𝒎𝒇 = C𝒇 ⇒ 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa

Sea 𝒈 𝒙 =𝒙

𝟐la Inversa de 𝒇 Ídem i)

𝒈

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =[−4 ; 4]𝑪𝒈 =𝑫𝒇 =[−2 ; 2]

- 𝒈 es estrictamente creciente- 𝒈 es impar ∴ 𝒈 conserva las propiedades de 𝒇

FUNCIONES

iii) a)

𝒇

𝒈

Sea 𝒈 𝒙 = −𝒙

𝟐la Inversa de 𝒇 ⇒

𝒇 es inyectiva 𝒇 es suryectiva ⇒ 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa

𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙


𝑔 conserva las propiedades de 𝑓- 𝒈 es estrictamente creciente- 𝒈 es impar

Ejercicio 35


c) Simetrías:


𝑓 es Decreciente estricta en su dominio, la pendiente es -2 y es negativa.


𝑫𝒇 =𝑰𝒎𝒇 =𝑪𝒇 =

𝒎 = −𝟐 ; 𝒉 = 𝟎La recta pasa por el origen

Gráfica


Ley de 𝒈: 𝒈 (y)=x (𝐱)=y𝒈 (y)=x −𝟐𝐱 =y𝒈 (y)=x x= -y/2

𝒈(y)= -y/2

𝒈(𝒙)=-𝒙/𝟐

intercambiamos x por y para graficar

FUNCIONES

iv) a)

𝒇

𝒈

Sea 𝒈 𝒙 = 𝟐 −𝒙

𝟐la Inversa de 𝒇 ⇒

𝒇 es inyectiva 𝒇 es suryectiva ⇒ 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa

𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒

𝑔 conserva las propiedades de 𝑓

𝑓 no tiene simetrías, no tiene paridad


- g es Decreciente estricta- g no tiene simetrías

Ejercicio 35

𝑫𝒇 =𝑰𝒎𝒇 =𝑪𝒇 =

𝒎 = −𝟐 ; 𝒉 =4Los puntos (𝟎, 𝟒) 𝒚 (𝟐, 𝟎) ∈ 𝑮𝒇

Gráfica


c) Simetrías:




Ley de 𝒈: 𝒈 (y)=x (𝒙)=y𝒈 (y)= x −𝟐𝒙 + 𝟒 =y𝒈 (y)= x 𝒙= (-y+4)/2𝒈 (y)=x 𝒙= 2-(y/2)

𝒈(y)= 2-(y/2)

𝒈(𝒙)=2 –(𝒙/𝟐)


-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

FUNCIONES

𝒇

𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒

𝑫𝒇= +

𝑰𝒎𝒇 = ( −∞;𝟒)𝑪𝒇 =

Ejercicio 35

Gráfica

𝒎 = −𝟐 ; 𝒉 =4Los puntos (𝟎, 𝟒) 𝒚 (𝟐, 𝟎) ∈ 𝑮𝒇

v) a) b) Intervalos de monotonías de 𝒇:

c) Simetrías:





Sea 𝒈 𝒙 = 𝟐 −𝒙

𝟐la Inversa de 𝒇 Ley de 𝒈: 𝒈 (y)=x (𝒙)=y

𝒈 (y)=x −𝟐𝒙 + 𝟒 =y𝒈 (y)=x 𝒙= (-y+4)/2𝒈 (y)=x 𝒙= 2-(y/2)

𝒈(y)= 2-(y/2)

𝒈(𝒙)=2 –(𝒙/𝟐)

∴ 𝒈 conserva las propiedades de 𝒇

𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =( − ∞; 𝟒)𝑪𝒈 = 𝑫𝒇 = +

𝒈





FUNCIONES

vi) a)

𝒇 𝒙 =𝒙

𝒙= ቐ

𝟏 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎

−𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎

𝑓 es constante por secciones

𝑓 es simétrica con respecto al eje 𝑦𝒇 es IMPAR −𝒙 = −𝒇 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇

𝑫𝒇 =− 𝟎𝑰𝒎𝒇= −1; 1𝑪𝒇 =

𝑓(𝑥) = 1 cuando 𝑥 ∈ (0 ; +∞)𝑓 𝑥 = −1 cuando 𝑥 ∈ (−∞ ;0)

𝒙𝟐𝒙𝟏

𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇(𝒙𝟐)

Ejercicio 35


c) Simetrías:


Gráfica

𝒇 no es inyectivaSean 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓: 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 resulta 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 𝒙𝟐Es decir, si trazamos líneas horizontales en la grafica de f, estas líneas cortan a f en más de un punto𝒇 no es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 C𝒇

x x

Entonces 𝒇 NO es Biyectiva ⇒ 𝒇 NO admite inversa


FUNCIONES

vii) a)

𝒇

𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ [𝟎 ; 𝟒]

−𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)

𝑫𝒇 =[−𝟒 ;𝟒]𝑰𝒎𝒇=[𝟐; 𝟔]𝑪𝒇 =

𝑓 es Estrictamente Decreciente en −𝟒 ; 𝟎𝑓 es Estrictamente Creciente en [𝟎 ; 𝟒]

Entonces 𝒇 NO es Biyectiva ⇒ 𝒇 NO admite inversa

𝒇 no es inyectivaSean 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓: 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 resulta 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 𝒙𝟐Es decir, si trazamos líneas horizontales en la grafica de f, estas líneas cortan a f en más de un punto𝒇 no es suryectiva𝑰𝒎𝒇 C𝒇

Ejercicio 35

𝒙𝟐𝒙𝟏


c) Simetrías:

d) Existencia de inversa de 𝒇 :𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇(𝒙𝟐)

𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ [𝟎 ; 𝟒] ; 𝒎 = −𝟏 si 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)

𝒉 = 𝟐 𝑓 es simétrica con respecto al eje 𝑦𝒇 es PAR −𝒙 = 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇Gráfica

𝒇 es monótona por secciones

xx


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

FUNCIONES

viii) a)

𝒇

𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟏 𝒙 = 𝟎𝒙 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)

𝑫𝒇 =[−𝟒 ;𝟒]𝑰𝒎𝒇= −𝟒;𝟎 ∪ 𝟏 ∪ 𝟐 ; 𝟔𝑪𝒇 =

𝒇 no es monótonaCreciente estricta en [−𝟒; 𝟎) ∪ (𝟎; 𝟒]


Ejercicio 35

Gráfica

𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ [𝟎 ; 𝟒] ; 𝒉 = 𝟐

𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ [−𝟒; 𝟎) ; 𝒉 = 𝟎


c) Simetrías:

Sea 𝒈 𝒙 = la Inversa de 𝒇 ⇒


൞

𝒙 + 𝟐 = y 𝑥 = 𝑦 − 2 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟏 = 𝒚 𝒙 = 𝟎𝒙 = 𝒚 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)

Ley de 𝒈 :

𝒈 𝒙 = ቐ𝒙 − 𝟐 𝒙 ∈ (𝟐 ; 𝟔]𝟏 𝒙 = 𝟎𝒙 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)

𝒈

𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =[−𝟒;𝟎)∪ 1 ∪(𝟐 ;𝟔]

𝑔 conserva las propiedades de 𝑓 𝑪𝒈 =𝑫𝒇 = [−𝟒 ;𝟒]







𝒈 (y)=x (𝒙)=y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

FUNCIONES

ix) a)

𝒇

𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟎 𝒙 = 𝟎

𝒙 − 𝟐 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)

𝑫𝒇 =[−𝟒 ;𝟒]𝑰𝒎𝒇=[−𝟔;−𝟐) ∪ 𝟎 ∪ (𝟐 ; 𝟔]𝑪𝒇 =

𝒇 no es monótonaCreciente estricta para el intervalo [-4; 0) (0;4]

Ejercicio 35


𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒] ; 𝒉 =2

𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ [−𝟒; 𝟎) ; 𝒉 =-2


c) Simetrías:

𝑓 es simétrica con respecto al origen de coordenadas 𝒇 es IMPAR −𝒙 = −𝒇 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇Gráfica

Sea 𝒈 𝒙 = la Inversa de 𝒇 ⇒


൞

𝒙 + 𝟐 = y 𝑥 = 𝑦 − 2 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟎 = 𝒚 𝒙 = 𝟎

𝒙 − 𝟐 = 𝒚𝒙 = 𝒚 + 𝟐 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)

Ley de 𝒈:

𝒈 𝒙 = ቐ𝒙 − 𝟐 𝒙 ∈ (𝟐 ; 𝟔]𝟎 𝒙 = 𝟎𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ [−𝟔 ;−𝟐)

𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =[−𝟔;−𝟐) ∪ 𝟎 ∪ (𝟐 ; 𝟔]𝑪𝒈 =𝑫𝒇 = [−𝟒 ;𝟒]

𝑔 conserva las propiedades de 𝑓

𝒈






𝒈 (y)=x (𝒙)=y

FUNCIONES

x) a)

𝒇

𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟎 𝒙 = 𝟎𝟐 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)

𝑫𝒇 =[−𝟒 ;𝟒]𝑰𝒎𝒇= 𝟎 ∪ 𝟐 ;𝟔𝑪𝒇 =

𝒙𝟐𝒙𝟏

𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇(𝒙𝟐)Por lo tanto 𝒇 NO es Biyectiva ⇒ 𝒇 NO admite inversa

𝒇 es no es monótona𝒇 Creciente estricta para el intervalo (𝟎; 𝟒]


𝒇 no es inyectivaSean 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓: 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 resulta 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 𝒙𝟐Es decir, si trazamos líneas horizontales en la grafica de f, estas líneas cortan a f en más de un punto𝒇 no es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 C𝒇

Ejercicio 35


c) Simetrías:


𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒] ; 𝒉 =2

𝒎 = 𝟎 si 𝒙 ∈ [−𝟒; 𝟎) ; 𝒉 =2

Gráfica

xx

x


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