funciones
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Funciones
Cristian Velandia M.Sc
Mapa de Navegación
Introducción
Función Lineal
Contenido
Función Cuadrática
Función Trigonométrica
Autoevaluación
Translación y cambio de Pendiente
Actividades
Objetivos
Conceptos Previos
TALLER – FUNCIONES
Translación Horizontal, Vertica, Vertice y Cortes en el Plano
Objetivos
Al finalizar esta tutoría conocerás y comprenderás el concepto de función matemática junto a sus
diferentes clasificaciones
TALLER – FUNCIONES
“No solo se pretende profundizar en contenidos
de matemáticas, sino llegar a comprenderlas como una gimnasia del
espíritu y una preparación para la filosofía.…”
Determinar las características de una función y expresarla como medio de
análisis matemático en la cotidianidad.
Aplicar el concepto de función lineal, cuadrática y trigonométrica.
IntroducciónTALLER – FUNCIONES
Podrías unir todos los puntos con 4 líneas rectas
“sin levantar la mano”:
IntroducciónTALLER – FUNCIONES
Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas en la cotidianidad,
problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de
química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que
relacionar variables.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones
requieren del uso de ecuaciones lineales para el análisis de ciertos fenómenos.
Cuando vas al centro comercial, constantemente relacionas un conjunto de
determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos; Esto con
el fin de conocer lo que puedes comprar; si lo llevamos al plano cartesiano, podemos escribir esta correspondencia en una
ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y"
IntroducciónTALLER – FUNCIONES
Las funciones se pueden aplicar en muchas situaciones cotidianas; por ejemplo en economía
los profesionales de esta área se basan en la linealidad y las leyes de la oferta y la demanda, que son dos de las relaciones fundamentales en
cualquier análisis económico.
Si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el
artículo esté disponible.
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de mucho interés NO sólo en matemática sino
también en física : La trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma
que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido,
cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.
IntroducciónTALLER – FUNCIONES
En ingeniería civil las funciones pueden ser aplicadas para resolver problemas tomando como punto de referencia una ecuación de
segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran
suspendidos por medio de cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para
estudiar los efectos nutricionales de los organismos.
En geología como ciencia se requiere del planteamiento de funciones logarítmicas
para el cálculo de la intensidad de un sismo.
¿Sabias que los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta
utilizan funciones logarítmicas? ciertos cálculos de carácter logarítmico les permite determinar la
brillantez y la magnitud.
Conceptos PreviosTALLER – FUNCIONES
Para iniciar nuestro estudio de funciones, imagina una máquina que tiene una entrada y una salida. Por ejemplo en una maquina de energia eólica su
entrada es el aire y su salida es la energia electrica.
En un motor la entrada es el combustible y la salida estará directamente relacionada
con el movimiento:
Máquina Energía Eólica
Entrada: El aire
Salida:
Electricidad
Entrada: Combustible
Salida: Movimiento
Una función matemática es muy similar. Ya que una función es una expresión matemática que relaciona una variable independiente (Entrada) con una variable dependiente (Salida). Las
funciones pueden ser analizadas y estudiadas de manera grafica y numérica.
TALLER – FUNCIONES
Analicemos la siguiente situacion cotidiana y generemos una función matemática. Un deportista analiza su peso y el índice de masa corporal (IMC) durante 6 meses.
La siguiente tabla relaciona el peso del deportista en cada mes:
Mes I II III IV V VI
Peso (Kg.) 74 72 69 71 68 70
Tomemos los valores registrados y generemos una gráfica de Peso con
respecto al tiempo (mensual):
66
70
68
72
74
76
1 2 3 4 5 6
Peso
Meses
Ahora como el índice de masa corporal esta en función del peso, el deportista puede obtener su
IMC aplicando la siguiente ecuación:
Peso (kg.)f (IMC) =Estatura (m)2
Observa que el IMC depende del peso y de la estatura; por lo tanto se dice que el IMC está en función del peso y de la estatura.
Estatura: 1,65 m
TALLER – FUNCIONES
Vamos a obtener el índice de masa corporal de cada mes a partir del registro de datos de peso:
Mes I II III IV V VI
Peso (Kg.) 74 72 69 71 68 70
Los valores obtenidos del índice de masa corporal mensualmente son:
23
25
24
26
27
28
1 2 3 4 5 6
IMC
Meses
Peso (kg.)IMC I =
Estatura (m)2
74
1.65 2= = 27.1
Peso (kg.)IMC II =
Estatura (m)2
72
1.65 2= = 26.4
Peso (kg.)IMC III =
Estatura (m)2
69
1.65 2= = 25.3
Peso (kg.)IMC IV =
Estatura (m)2
71
1.65 2= = 26
Peso (kg.)IMC V =
Estatura (m)2
68
1.65 2= = 24.9
Peso (kg.)IMC VI =
Estatura (m)2
70
1.65 2= = 25.7
Mes I II III IV V VI
IMC (Kg/m2) 27.1 26.4 25.3 26 24.9 25.7
Has empezado a construir el concepto de función. Ya que a partir de una expresión matemática que relaciona una variable independiente (Peso) con una variable dependiente (IMC) generamos las
diferentes graficas de las funciones y desarrollamos su análisis matemático.
TALLER – FUNCIONES
Entonces en esta tutoría trabajaremos con funciónes (f) como una regla que asocia un objeto x con un valor único y. Entonces a nivel matemático para el ejercicio anterior el índice
de masa corporal para la deportista se representaria como:
Peso (kg.)IMC I =
Estatura (m)2
XY =
Estatura (m)2
donde x es el peso y y es el índice de masa corporal. Es importante indicar que y se
puede escribir como f(x).
Xf(x) =
Estatura (m)2
Contenido
TALLER – FUNCIONES
TALLER – FUNCIONES
En esta tutoría estudiaremos diferentes clases de funciones dentro de las que encontramos:
FUNCÍONES
1. Función Lineal2. Función Cuadrática
3. Función Trigonométrica
La función lineal es una expresión matemática cuya
grafica genera una línea recta que pasa por alguno de sus ejes
de coordenadas. La función lineal es de tipo:
La función cuadrática es una expresión matemática que relaciona dos varibles, cuya
grafica genera una parabola y es de tipo
Una función trigonométrica es una relación angular que buscan
apoyar la geometría de los triángulos y son de gran
importancia en astronomía, náutica, telecomunicaciones y en la representación de fenómenos
periódicos.
y senx
y mx b
y x 2 k
Función Lineal
TALLER – FUNCIONES
La función lineal es del tipo:
y = x
Su gráfica es una línea recta que pasa por alguno de sus ejes de coordenadas.
Observa que para la función y=x, el valor que toma x es el mismo de y.
Ubiquemos estos puntos en el plano y analicemos la función lineal.
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Y
X
Si a la funcion y = x sumamos o restamos un valor b de tal forma que obtengamos y = x ± b (b cualquier valor) se traslada cortando en b.
x -2 -1 0 1 2
y -2 -1 0 1 2
y = xy = x + 3y=x+3. si a x sumamos 3, la grafica de la función lineal se traslada hacia la
izquierda 3 unidades y corta en 3 en el eje y.
y = x - 4. si a x restamos 4, la grafica de la función lineal se traslada hacia la
derecha 4 unidades y corta en -4 en el eje y.
y = x - 4
Función Lineal
TALLER – FUNCIONES
Ya hemos analizado la función lineal cuando sumamos o
restamos un valor b. Ahora analicemos que pasa cuando
multiplicamos la variable x por un valor m, para obtener :
Tal como lo estudiamos en la tutoría anterior “geometría analítica” m representa la
pendiente de la recta.
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Y
X
Para la función y = ¼x, la relación la pendiente es 4
en x y 1 en y .
y = xy = 2x
Para la función y = x, la relación la pendiente es 1 en x y 1 en y .
Para la función y = 2x, la relación la pendiente es
1 en x y 2 en y .
y = ¼x
1
1
1
2
4
1y = mx ± b
f(x) = mx ± b
Ejemplo Función Lineal
TALLER – FUNCIONES
Para desarrollar la gráfica de una función lineal, debes igualar a cero la x para
obtener el valor de y; finalmente igualamos y a cero y obtenemos el valor
de x; de esta manera se hallan dos puntos, los cuales serán suficientes para graficar una función lineal. Por ejemplo.
Gráficas la siguiente función lineal:
Convertimos y = 0, y despejamos x:
y = 2x - 4
y = 2x - 4
0 = 2x - 4
= x+ 4 2
2 = x
Convertimos x = 0, y despejamos y:
y = 2x - 4
y = 2(0) - 4
y = -4
Los pares ordenados obtenidos son:
(0,-4) y (2,0)
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Y
X
y = 2x - 4. Esta función tiene un corte en -4.
y = 2x - 4
Para la función y = 2x - 4, la relación la pendiente es 2 en x y
4 en y. Es decir:y = 2x – 4 es igual a y = 4/2x – 4
Ejercicio Función Lineal
TALLER – FUNCIONES
Grafica la siguiente función lineal obteniendo los cortes en x y y, al igual que la pendiente. Tienes 1 minuto para desarrollarlo:
y = -3x + 6
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1 X
Solución Ejercicio Función Lineal
TALLER – FUNCIONES
Convertimos y = 0, y despejamos x:
y = -3x + 6
y = -3x + 6
0 = -3x + 6
= x-6 -3
2 = x
Convertimos x = 0, y despejamos y:
y = -3x + 6
y = -3(0) + 6
y = +6
Los pares ordenados obtenidos son:
(0,+6) y (2,0)
1
3
2
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1 X
y = -3x +6. Esta función tiene un corte en +6.
y = -3x + 6
Para la función y = -3x +6, la relación la pendiente
es 2 en x y 6 en y.
Función Cuadrática
TALLER – FUNCIONES
Una función cuadrática puede escribirse de la forma y = ax2 + b x + c; las letras a, b y c pueden ser
números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 . Algunos ejemplos de esta
función son:
Vamos a estudiar y = x2 que es la función base de nuestro análisis.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y +9 +4 +1 0 +1 +4 +9
f(x)= x2
f(x) = 2x2
f(x) = 5x2 + 3 x
f(x) = x2 + 2 x + 6;
Para generar la función y = x2 vamos a dar valores a x desde -3 hasta +3,
de la siguiente forma:
f(x)= x2
f(-3) = (-3)2 = +9f(-2) = (-2)2 = +4f(-1) = (-1)2 = +1
f(+3) = (+3)2 = +9f(+2) = (+2)2 = +4f(+1) = (+1)2 = +1
f(0)= 02 = 0
TALLER – FUNCIONES
Ubiquemos los puntos en el plano:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y +16 +9 +4 +1 0 +1 +4 +9 +16
8
12
10
14
16
20
-6
-2
-4
6
2
4
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
X
Vértice: Donde la función cambia de decreciente a
creciente.
Función Decreciente
Función Creciente
La función cuadrática genera una grafica
simétrica con el eje y.
TALLER – FUNCIONES
Analisemos dos funciones cuadráticas con respecto a la original. Comparemos las funciones
g(x) y f(x) como se muestra a continuación:
Función Cuadrática
g(x) = x2 – 4 f(x) = x2
x y
-2-1012
0-
3-
4-
30
x y
-2-1012
41014 g(x) = x2 – 4
f(x) = x2
- 2
(0.0) 1
(0.-4)
x
yCuando sumamos o
restamos una cantidad a la función y=x2 ± a, esta se desplaza en el eje “y”
hacia arriba o hacia abajo.
Vértice
Vértice
Translación Vertical
TALLER – FUNCIONES
Analisemos dos funciones cuadráticas con respecto a la original cuando se desplazan en el
eje x. Comparemos las funciones g(x) y f(x) como se muestra a continuación:
Función CuadráticaCuando sumamos o
restamos una cantidad a la función, y=(x ± a) 2, esta se desplaza en el eje “x” hacia
la derecha o hacia la izquierda.
g(x) = (x – 4)2 f(x) = x2
x y23456
0-3-4-30
x y-2-1012
41014 g(x) = (x2 – 4)2f(x) = x2
4
(0.0) (4,0)x
y
x = 4
Translación Horizontal
TALLER – FUNCIONES
Para obtener el vértice de una función cuadrática debes aplicar:
Vertice =
Para obtener los putos de corte de una función cuadrática con el eje y debemos
dar a x el valor de 0. Para obtener las intersecciones con el eje x de la función
cuadrática se debe aplicar:
Obtengamos el vertices, y las intersecciones de los ejes de la siguiente función:
x² - 4x + 3ax² - bx + c
a
acbab
44,
2
2
aacbb
242
Solución:Teniendo en cuenta que a=1, b=- 4 y c= 3
encontremos el vértice:
Vertice =
)1(4
)3)(1(4)4(,)1(2)4( 2
)1,2(44,
24
41216,
2)4
Ahora vamos a obtener las intersecciones en el eje x:
)1(2)3)(1(4)4()4( 2
224
244
212164
Los cortes en x se encuentra ubicados en:
326
224
1
x 122
224
2
x
Ejercicio Función Cuadrática
TALLER – FUNCIONES
Ubiquemos los puntos obtenidos en el vértice y en las intersecciones
con el eje x
4
6
5
7
8
9
-3
-1
-2
3
1
2
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Vértice: Donde la función cambia de decreciente a
creciente.
Vertice =
Corte en el eje x: x=3
x² - 4x + 3
326
224
1
x
122
224
2
x
TALLER – FUNCIONES
Ejercicio Función Cuadrática
Grafica la siguiente función, encontrando vértice y los cortes en el eje x y y. Tienes 1 minuto para desarrollarlo
x² - 2x - 3
TALLER – FUNCIONES
8
12
10
14
16
18
-6
-2
-4
6
2
4
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Vertice
Corte en el eje x: x= -3
x² - 2x + 3
Solución Ejercicio Función Cuadrática
x² - 2x - 3Teniendo en cuenta que a=1, b=- 2 y c= 3
encontremos el vértice:
)1(4
)3)(1(4)2(,)1(2)2( 2
)4,1(416,
22
4124,
2)2
Ahora vamos a obtener las intersecciones en el eje x:
)1(2)3)(1(4)2()2( 2
242
2162
21242
Los cortes en x se encuentra ubicados en:
326
242
1
x 122
242
2
x
TALLER – FUNCIONES
Funciones TrigonométricasAlguna ves has escuchado la
función seno, coseno, tangente, arcotangente, seno hiperbolico etc … pero … ¿sabes para que sirven, y
que podemos hacer con ellas?.
Para comprender a profundidad las funciones trigonométricas debemos recordar que un ángulo es la
parte del plano comprendida entre dos rectas.
Las funciones básicas son seno y coseno. De alli se
desprenden todas las funciones trignometricas.
ángulo ángulo ángulo
Ahora ubiquemos en el plano cartesiano un círculo que tiene el
radio igual a 1. A este círculo se le llama círculo unitario. Se muestra
a continuación:
Ahora imagina que trazamos una línea
desde el centro hasta un extremo
La distancia en el eje x se le llama
coseno.
La distancia en el eje y se le llama
seno.
TALLER – FUNCIONES
Funciones Trigonométricas
Ahora puedes observar a continuación la distancia que
hay desde un punto del círculo hasta un eje en el plano. Es decir puedes observar los valores de
seno y de coseno para cada posición del punto en la
circunferencia.
A partir de este concepto basaremos todo el estudio de la trigonometria, dado que el seno y coseno nos permiten conocer la distancia, y características de
los triángulos formados en el eje y y el eje x.
TALLER – FUNCIONES
Funciones TrigonométricasEl análisis de las funciones trigonométricas te dara bases sólidas para el estudio
de la trigonometría. El estudio de las funciones trigonométricas comienza cuando se quiere plasmar en el plano cartesiano la trayectoria de un punto que
recorre un círculo, tal como se muestra a continuación:
De alli se desprenden las diferentes funciones trigonométricas, las cuales partir de su aplicación nos pueden ayudar en resolución de triángulos de manera rigurosa.
Esto lo aplicaremos en la siguiente tutoría .
Funcion Seno y Coseno
TALLER – FUNCIONES
Ejercicio Funciones Trigonométricas
Angulo 70ª
Halla la distancia de a y b para un círculo unitario. Su radio es 1 m. Tienes 1 minuto para desarrollarlo
a
b
Angulo 135ªa
b
1m1m
TALLER – FUNCIONES
Solución Ejercicio Funciones Trigonométricas
Angulo 70ª
Seno de 70ª = 0,93
Coseno de 70ª = 0,34
Ahora con la ayuda de la calculadora calculamos el seno y coseno de los ángulos dados. Y obtenemos;
a
b
Angulo 135ª
Seno de 135ª = 0,707 m
Coseno de 135ª = 0,707 m
a
b
1m1m
TALLER – FUNCIONES