Funciones

Continuidad de una función

Tipos de discontinuidad

Funciones definidas a trozos

Continuidad de Funciones 1

Una función f(x) es continua en un punto x = a si cumple:

Continuidad de Funciones

1. Existe f(a)

Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos que la función es discontinua en x = a

limx a f (x) limx a

f (x) limx a f (x)2. Existe

limx a f (x)3. Se cumple que f(a) =

Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función

lim

x 2

x21x 2 5

0

3Continuidad de Funciones

f (x)x21

x 2

Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad.

Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos.

Evidentemente no existe f(2)No se puede dividir por 0

lim

x 2x21x 2 5

0

Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2

Números muy pequeños pero negativos:1,90 – 2 = - 0,11,99 – 2 = - 0,01

Números muy pequeñospero positivos:2,1 - 2 = 0,12,01 - 2 = 0,01

Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito

4Continuidad de Funciones

Veamos la gráfica de la función: f (x)x21

x 2

Cuando me acerco a 2-

la función va hacia -∞

Cuando me acerco a 2+

la función va hacia +∞

Aquí tendremosUna Asíntota verticalDe ecuación x=2

5Continuidad de Funciones

Veamos el siguiente ejemplo con una funcióndefinida a trozos:

f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5

Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es continua en su intervalo de definición.

Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo de definición.

Aquí tenemos una recta. Siempre es continua en su intervalo de definición.

Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la continuidad

6Continuidad de Funciones

Si nos fijamos en la gráfica de esta funciónveremos que:

Discontinua

de 1ª especie

en x = 2 con

salto de 3 u.

Continua en

x = 5

7Continuidad de Funciones

Estudiamos analíticamente el caso de x = 2

lim

x 255

f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5

lim

x 2x2 6x102

f (2)5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades.

8Continuidad de Funciones

Estudiamos analíticamente el caso de x = 5

lim

x5x2 6x105

f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5

lim

x54x 155

f (5)5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

9Continuidad de Funciones

Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable”

f (x)x2 3x2

x 1 Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }

Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1

1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio

2. limx1

x2 3x2x 1 0

0 lim

x1

x 1 x 2 x 1 lim

x1x 2 1

limx1

x2 3x2x 1 0

0 lim

x1

x 1 x 2 x 1 lim

x1x 2 1

Como los límites izquierda y derecha son iguales tenemos que existe el límite x 1

limx 1

f (x) f (1) que no existe

10Continuidad de Funciones

Veamos ahora la gráfica de la función

Tenemos un agujero para x = 1

11Continuidad de Funciones

Otro ejemplo de una función con discontinuidad “de 1ª Especie con salto ∞”

f (x)x2 3x2

x 3 Tenemos que Dominio de f = R - { 3 }

Solo tendríamos que estudiar el caso x = 3

1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio

2 23 2lim 3 032. x x

xx

2 23 2lim 3 03x x

xx

Como los límites izquierda y derecha son Distintos tenemos que no existe el límite x 1

f(x) es discontinua de 1ª especie con Salto infinito

12Continuidad de Funciones

Veamos ahora la gráfica de la función