Universidad nacional Jorge Basadre GrohmannTema : funciones inyectivas , sobreyectivas , biyectivas e inversas de funcionesIntegrantes:

Funcin: Es toda relacin donde a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del codominio.Una Funcin f de un conjunto X en otro Y es una correspondencia que asigna a cada elemento x de X exactamente un elemento y en Y. Diremos que y es la imagen de x bajo f denotado f (x), el Dominio de f es el conjunto X, y su Rango o Recorrido consta de todas las imgenes f (x) de los elementos x de X .

Trminos bsicos de una funcinDominio: Es el primer conjunto que intervienen en la funcin (conjunto A o X) tambin se le llama conjunto de partida. Se denota por DOM(f)

Condominio: Es el segundo conjunto que intervienen en la funcin (conjunto B o Y) tambin se le llama conjunto de Llegada. Se denota por COD(f).

Rango: los elementos de B que estn asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado Rango o Recorrido de la Funcin. Se denota por Ran(f)

EN UNA FUNCIN CADA ELEMENTO DEL DOMINIO SOLO PUEDE TENER ASOCIADO UN ELEMENTO NICO DEL CODOMINIOConcepto :

Funcin inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

f: AB inyectivaUna funcin es inyectiva si para dos valores iguales de la imagen le corresponden valores iguales en el dominiog(-2)=g(2) = 4 pero 2 2

Sea una funcin de A en B (f:AB). Si f(A)=B, es decir, si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, se dice entonces que f es una funcin sobreyectiva. g(x) = mx + ng: ; g()=f(x) = x2f: + ; f() = +

Una funcin f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.f: A Bf(a1) f(a2) entonces a1 a2 f(A) = B; luego f es biyectiva

Ejercicio 1Determina cules de las representa- ciones grficas siguientes son fun- ciones y de ellas cules son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Fundamenta.

Es funcinBiyectivaNo es funcinEs funcinBiyectivaNo es funcin

Es funcinsobreyectivaEs funcinInyectivaEs funcinsobreyectiva

Funcin inversaUna funcin inversa, es si solo es inyectivaA la funcin inversa de f denotaremos por f * f -1, la cul es definida en la formaSiguiente:

Dnde: Df* = Rf y Rf*. = DfConsideremos, la funcin: f = {(x, f (x)) / x e D f} con dominioD f y rango Rf entonces diremos que existe la funcin inversa de f. si y slo si. f es inyectva.

f * = { (f ( x) , x) / x D f }

Ejemplo.- Consideremos una funcin inyectiva f = {(1,3),(2,5),(4,7),(6,9),(8,11)}Entonces la funcin inversa de f es: f * = {(3,1), (5,2), (7,4), (9,6), (11,8)}donde Df * = {3,5,7,9,11} = Rf y Rf , = {1,2,4,6,8} = Df

GRFICO DE LA FUNCIN INVERSAConsideremos una funcin f y su inversa f *, el grfico de la funcin inversa f *es simtrica a la funcin f con respecto i la funcin identidad I(x) = x por tal motivo dicho grfico se obtiene por reflexin con respecto a la recta I(x) = x.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS Dada una funcin inyectiva f tenemos que F = { (x , y) / y = f(x) , x Dom f } y = f(x)f -1 = { (y : x )/ y = f(x) , x Dom F } x = f -1 (y) pues (y,x) f -1 x = f -1 (y) es decir , , Dom () As obtenemos la siguiente propiedad fundamental de las funciones inversas :La prueba de esta propiedad se sigue de (): x Dom F , f -1 (f(x)) = f -1 (y) = x y Ran f = Dom f -1 , f(f -1(y)) = y

f -1 (f(x)) = x , x Dom ff(f -1 (y) / y , y Ran f = Dom f -1

CALCULO DE LA FUNCIN INVERSA La relacin:

Indica el camino a seguir para hallar la regla de correspondencia de f -1 (y) en trminos de la variable (smbolo) y:Se parte de la regla de correspondencia de: y = f(x).Se despeja la variable x en trminos de la variable y ; y al resultado lo etiquetamos :X = expresin en trminos de la variable y = f -1 (y)Se calcula el rango (f) , el cual ser igual al Dom F -1 As, obtenemos tanto el dominio como la regla de correspondencia de f -1

FUNCIN INVERSA DE UNA COMPOSICIN Si dos funciones f y g son ambas universales, y si existe la funcin compuesta f o g , entonces esta tambin es univalente existiendo as una funcin inversa = f -1 (y)En tal caso, se siguiente: El orden es aqu muy importante Una o ambas de las funciones f y g pueden no ser universales y sin embargo existir la funcin:(f o g)-1Lo que ocurre en este caso es que ya no se aplica la relacin (f o g)-1 = g-1 o f -1Debido a que la composicin g-1 o f -1de la derecha no tiene sentido; pues al menos una de la funciones f -1, g-1 (o ambas) no existe. En cambio, si ambas inversas g-1 y f -1 existen, as como la composicin g-1 o f -1, entonces si es vlida la frmula: (f o g)-1 = g-1 o f -1

f -1 (y) = g-1 o f-1