República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Aldea Bolivariana Ezequiel Zamora

San Carlos – Cojedes

Definición, Tipos y Características de Funciones

Triunfador:

Leonel Gamez

C.I.: V- 28.054.970

Diciembre, 2014

Introducción.

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.

De igual forma en el presente trabajo se desarrollaran los tipos de funciones y sus características el nos servirá como material instrucciones para nuestro estudio a la hora de realizar los diferente ejercicios o actividades practicas.

Definiciones.

Función Constante

Es una función del tipo f(x)=k, donde k es un número real cualquiera.

Fijémonos en que el valor de de f(x) es siempre k, independientemente del

valor de x.

Así, por ejemplo, si quisiésemos representar una cantidad que se

mantiene constante a lo largo del tiempo t, utilizaríamos una función

constante f(t)=k, en la que no aparece la variable t.

Las funciones constantes cortan el eje vertical en el valor de la constante

y son paralelas al eje horizontal (y por tanto no lo cortan).

Función Lineal

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números

reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya

expresión analítica es un polinomio de primer grado.

f: R —> R / f(x) = m.x+b donde m y b son números reales, es una función

lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a m.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4.

Función Polinòmica Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio

de polinomios. En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los

siguientes tipos de operaciones:

Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g)

(x) que corresponde a un polinomio obtenido como la suma de los

polinomios representativos de f (x) y g (x).

Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva

función (l × f) (x) determinada por el polinomio resultante de multiplicar

todos los coeficientes de f (x) por l.

Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g)

(x), cuyo polinomio representativo resulta del producto de los polinomios

que definen f (x) y g (x).

Función Cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: 

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática,

obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Función Racional

Una función racional es una función que puede escribirse como cociente

de dos polinomios. F(x)=N(x)

D(x)

Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la

función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones

racionales. En estas páginas sobre funciones racionales vamos a considerar

solamente funciones racionales cuyo denominador es un polinomio de grado

mayor que 0.

Función Exponencial

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f

(x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición,

toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los

números reales R.

Función logarítmica

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como

f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta

de 1.

Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y =

log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto

que el resultado sería 0.

Función trigonométrica

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se

define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la

variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis

clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y

su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una

de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno,

arco coseno, etcétera.

Función Seno

Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación

de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en

radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de

definición es el conjunto de todos los números reales.

Función Coseno

La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de

aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x

expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe

para todo el conjunto de los números reales.

Función Tangente

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta

de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha

variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la

variable independiente expresada en radianes.

Función Cotangente

La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier

ángulo indicado en radianes.

Función Secante

La función secante se determina como la inversa de la función coseno

para un ángulo dado expresado en radianes.

Función Cosecante

En un triángulo rectángulo, es la longitud de la hipotenusa dividida por la

longitud del lado opuesto. La abreviación es csc.

Características de la Función Lineal

Se representa por y = m · x ± b

m representa un número lR y se le llama pendiente.

b es un valor constante y pertenece al conjunto lR .

Si m tiene signo positivo, la función lineal crece.

Si m tiene signo negativo, la función lineal decrece.

El punto (0, b), es el punto donde la función corta el eje de las

ordenadas (y).

Características de la Función Polinomica

El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).

 Son siempre continuas.

 No tienen asíntotas.

 Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado

del polinomio.

 Cortan el eje Y en el punto (0, a0).

 El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al

grado del polinomio menos uno.

El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del

polinomio menos dos.

Característica de la Función Cuadrática

El dominio es el conjunto de los números reales.

Son continuas en todo su dominio.

Siempre cortan al eje Y en el punto (0, c).

Cortarán al eje X (en uno o dos puntos) o no, dependiendo de las

soluciones de la ecuación ax2+ bx + c = 0.

Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba y si a < 0 la parábola está

abierta hacia abajo.

Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola.

Tienen un vértice, punto donde la función alcanza un mínimo (a > 0) o

un máximo(a< 0).

Tiene un eje de simetría que es la recta vertical que pasa por el vértice.

Si a > 0, la función es creciente para valores de x a la derecha del

vértice y decreciente para valores a la izquierda del vértice.

Si a < 0, la función es creciente para valores de x a la izquierda del

vértice y decreciente para valores a la derecha del vértice.

Si a > 0 es convexa y si a < 0 es cóncava.

Características de la Función Racional

El dominio de las funciones racionales son los números reales menos

las raíces del denominador, es decir:

Dom(f) = R – { x € R tales que Q(x) = 0 }

Son discontinuas en los valores de   x   que son raíces del

denominador.

Tienen asíntotas verticales en cada raíz del denominador que no lo

sea del numerador, y pueden tener asíntotas horizontales y oblicuas.

Características de la Función Exponencial

El dominio de una función exponencial es R.

Su recorrido es   (0, +∞).

Son funciones continuas.

Como   a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto   (0, 1).

La función corta el eje Y en el punto   (0, 1)   y no corta el eje X.

Como   a1 = a , la función siempre pasa por el punto   (1, a).

Si   a > 1   la función es creciente.

Si   0 < a < 1   la función es decreciente.

Son siempre concavas.

El eje X es una asíntota horizontal.

Características de la Función Logarítmica

El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos:

Dom(f) = (0. + ∞) .

Su recorrido es R:    Im(f) = R .

Son funciones continuas.

Como   loga1 = 0, la función siempre pasa por el punto   (1, 0).

La función corta el eje X en el punto   (1, 0)   y no corta el eje Y.

Como   logaa = 1, la función siempre pasa por el punto   (a, 1).

Si   a > 1   la función es creciente.

Si   0 < a < 1   la función es decreciente.

Son convexas si   a > 1.

Son concavas si   0 < a < 1.

El eje Y es una asíntota vertical.

Característica de la Función Seno

Su dominio contiene a todos los reales. En cambio, su imagen es el

intervalo [-1,1], ya que el seno de un ángulo siempre se encuentra entre

estos valores.

Esta función se repite exactamente igual cada 2π; es decir, los valores

de la función en el intervalo del dominio [0,2π) son suficientes para

conocer la función en cualquier punto. Se dice, en este caso, que la

función es periódica, de período 2π.

La función se anula en los valores x iguales a kπ, siendo k un número

entero.

La función alcanza sus extremos máximos, es decir, los valores mayores

de la y, cuando el seno del ángulo es 1, es decir, cuando

la x es π2+2kπ, siendo k un número entero cualquiera. Sus

extremos mínimos, es decir, los valores menores de la y (cuando el seno

es -1), se encuentran cuando la x es 3π2+2kπ, siendo k cualquier

número entero.

Característica del la Función Coseno

Su dominio contiene a todos los reales. En cambio, su imagen es el

intervalo [-1,1], ya que el coseno de un ángulo siempre se encuentra

entre estos valores.

Esta función se repite exactamente igual cada 2π; es decir, los valores

de la función en el intervalo del dominio [0,2π) son suficientes para

conocer la función en cualquier punto. Así pues, es periódica, de período

2π.

La función se anula en π2+kπ, siendo k cualquier número entero.

La función alcanza sus extremos máximos, es decir, los valores mayores

de la y, cuando el coseno del ángulo es 1, es decir, cuando la x es 2kπ,

siendo k un número entero cualquiera. Sus extremos mínimos, es decir,

los valores menores de la y (cuando el coseno es -1), se encuentran

cuando la x es π+2kπ, siendo k cualquier número entero.

Conclusión

Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que

son muy importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la

vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería y

de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se

relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con

el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al

plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x"

como el precio y la cantidad de producto como "y".

Además a través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de

funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a

depender de cada tipo de función.