funciones

Universidad Católica del Norte

Departamento de Matemática

Cecilia Alejandra Cabello Bugueño

1

3. FUNCIONES Una función es un tipo particular de relación.

Definición N°6: Función

Se llama función de a una relación , que cumple la siguiente propiedad:

Es decir, el dominio de la relación debe ser igual al conjunto de partida ( ), y cada elemento del

conjunto de partida debe tener una única imagen en el codominio.

Si es una función de se escribe

O bien, si , se escribe , esto es:

Esto quiere decir, que cada elemento del conjunto al aplicar la función a ese elemento

obtendremos un elemento en el conjunto , es decir, obtendremos

Si , se escribe , esto es:

El conjunto es llamado Conjunto de Partida o Dominio, mientras que el conjunto es llamado

conjunto de Llegada o Recorrido.

Ejemplo Nº 18:

a. Sean los conjuntos , y la relación que se muestra en la

figura 4.1, ¿Es la relación una función?




2

si es función, puesto que cada elemento del conjunto tiene una única imagen en el conjunto

, es decir,

ó

b. Sean los conjuntos y g la relación que se muestra en la figura 3.2.

¿Es la relación g una función?

si es función, puesto que cada elemento del conjunto tiene una única imagen en el conjunto

, es decir,

ó

c. Sean los conjuntos y la relación que se muestra en la figura 3.3.

¿Es una función?




3

NO es función, puesto que:

3.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCION

Definición Nº 7: Dominio de una Función.

El Dominio de una Función, al igual que en una relación son los valores de en los cuales está

definida esta. Además, el dominio de una función está contenido en el conjunto de partida.

Ejemplo Nº19:

a.

b.

c.

d.

Figura 3.3




4

Definición Nº8: Recorrido de una Función

El recorrido de una función, al igual que en una relación son los valores de , los cuales son

obtenidos a partir de , en los cuales está definida ésta. Además, el recorrido de una función está

contenido o puede que sea el mismo conjunto de llegada o codominio de dicha relación.

Ejemplo Nº18:

a.

b.

c.

d.




5

e.

f.

g. Dados

.

La función definida por

. Para todo




6

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Gráfico de la función

Figura 3.4

3.3 FUNCIONES CON DOMINIO RESTRINGIDO

Consideremos la figura:

Sea un subconjunto del conjunto y sea una relación. Notemos que:

1. no es función, pues 3 no tiene imagen.

2. es función.

Figura 3.5

Figura 3.6




7

Notemos que la relación no es función, ya que el elemento 1 del conjunto A tiene dos imágenes

Sea una función de , entonces . Sin embargo una relación de

puede ser una relación en puede ser una función definida en un dominio contenido en .

El dominio de la función se llama dominio restringido cuando pero .

Ejemplo Nº19:

Sea . Analicemos los siguientes diagramas sagitales.

es una función de , puesto que para elemento del conjunto de partida existe una imagen

en el conjunto .

; ; ;

es función, puesto que:

; ; ;

Figura 3.7

Figura 3.8




8

Notemos que del ejemplo c, se tiene que:

1. no es función de ya que no tiene imagen en el conjunto de llegada.

2. es una función con dominio restringido, es función de , puesto que:

;

no es función de puesto que:

no tiene imagen en el conjunto de llegada.

es función con dominio restringido, es función del conjunto

Ejemplo Nº20:

Analicemos los siguientes gráficos en el plano cartesiano y determinemos cuales de ellos son el

gráfico de una función.

a.- Figura 3.11. Ecuación de la recta

Figura 3.9

Figura 3.10




9

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

X

Y

b.- Figura 3.12. Semicircunferencia de centro radio

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

c.- Figura 3.13. Gráfica Función Valor Absoluto.

Notemos que es función,

puesto que cada elemento de

tiene una, y sólo una

imagen.

Notemos que es una función

de , puesto que cada

elemento tiene una, y sólo

una imagen




10

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

3.5. PROPIEDADES DE FUNCIONES

Ya estudiado el dominio y recorrido de funciones, podemos analizar estas, y observar algunos

tipos especiales que cumplen ciertas propiedades las cuales veremos a continuación.

a. FUNCION INYECTIVA O 1-1 (UNO A UNO)

Una función es una función inyectiva ó uno a uno si, y sólo si

Ejemplo Nº21:

a. Sea la función definida por

P.D

Notemos que es función,

puesto que cada elemento de

tiene una, y sólo una

imagen.




11

Por lo tanto es una función inyectiva.

b. Sea una función definida por

. ¿ Es inyectiva?

P.D

Por lo tanto no es función inyectiva.

Vemos que para tener igual imagen no es necesario que sean iguales. Por ejemplo, si

, tenemos que con .

b. FUNCION SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA

Una función es Epiyectiva o Sobreyectiva si, y sólo si el recorrido es igual al conjunto ,

es decir:

Ejemplo Nº21:

Figura 3.14




12

a. Sea definida por . Demostraremos que es sobreyectiva.

Sea . Despejemos el valor de en función de , esto es:

Entonces,

Así

Por lo tanto es una función sobreyectiva.

Notemos que y


Figura 3.15




13

c. La Gráfica de la Función Cuadrática.

Figura 3.16. Gráfica función Cuadrática.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Sea la función definida por .

Notemos que el .


RESTRICCIONES PARA QUE UNA FUNCION SEA SOBREYECTIVA

Sea una función definida por:

Para demostrar que es una función sobreyectiva basta con verificar

Calculemos el recorrido:




14

Luego

Por lo tanto no es una función sobreyectiva.

Para que sea una función sobreyectiva, basta con restringir el conjunto de llegada al

recorrido obtenido, esto es:

c. FUNCION BIYECTIVA

Una función , es una función biyectiva si, y sólo si es inyectiva y sobreyectiva

simultáneamente.

Ejemplo Nº22:

a. Sea una función definida por:

Notemos que:

; ;


Además,


Figura 3.17




15

Por lo tanto es una función biyectiva.

d. FUNCIONES CRECIENTES

Sea una función real, es una función creciente si, y solo si

Es decir, a medida que el valor de x crece, su imagen también crece. La figura 3.18, muestra una

función creciente.

e. FUNCIONES DECRECIENTES

Sea una función real, es una función decreciente si, y solo si

Es decir, a medida que el valor de crece, su imagen decrece. La figura 3.19, muestra una función

decreciente.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Figura 3.18. Función

Creciente

Figura 3.19. Función

Decreciente




16

3.6. FUNCION INVERSA

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en

ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En

ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa de f.”

Una función tiene su correspondiente función inversa , si es una

función biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

Además si es una función biyectiva, entonces también será una función biyectiva.

Ejemplo Nº 23:

Notemos que es una función, pues:

I.

II.


Además, .

Por lo tanto es una función biyectiva.

Luego,

Figura 3.20




17

Para poder determinar la función inversa de una función biyectiva debemos seguir los

siguientes pasos:

i. Primero despejar la variable de la ecuación

ii. Luego, se deben intercambiar los valores de por la letra .

Ejemplo Nº24:

a. Sea una función biyectiva definida por

Hacemos , esto es:

Despejamos el valor de ,

Luego, donde este una variable , la cambiamos por la variable , esto es:

Así se define la inversa de la función por

Figura 3.16




18

b. Observemos la siguiente gráfica de la función biyectiva

Su función inversa es:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y




19

3.7 COMPOSICION DE FUNCIONES

En matemática, una función compuesta es una función formada por la

composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica

sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo

anterior se le aplica finalmente la función restante.

Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen d

está contenida en el dominio de g, se define la función composición

(g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.

A ) se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de

escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

La función compuesta, existe y puede ser calculada si y solo si ocurre que

En caso de que la condición no se cumpliese, se redefine la función para que ocurra dicha

condición.




20

Ejemplo Nº25:

b. Si y son las funciones definidas por

Entonces, queda definida de la siguiente manera:

Figura 3.23

Figura 3.24




21

Veamos la siguiente tabla con valores para :

1 5 8

2 10 13

3 15 18

Luego,

c. Sea funciones definidas por:

Si entonces




22

Si , entonces

Entonces busquemos

Notemos que,

i. , entonces

Luego,

ii. , entonces

Luego,

funciones

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