República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre

Extensión San Felipe

Integrantes:

Adolfo Aldana CI 19.973.372

Álvarez Wilmer CI 24.165.222

Querales Jair CI 22165.131

Esc. 70

Prof. Marienny Arrieche

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Y RESPUESTA EN

FRECUENCIA

Enero 2015

Respuesta en Frecuencia

La respuesta de frecuencia es una característica de un sistema que tiene una

respuesta medida que es el resultado de una entrada conocida aplicada. En el

caso de una estructura mecánica, la respuesta de frecuencia es el espectro de

la vibración de la estructura, dividido entre el espectro de la fuerza de entrada

al sistema. Para medir la respuesta de frecuencia de un sistema mecánico, hay

que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta de

vibración .Esto se hace más fácilmente con un analizadorTRF.Las mediciones

de respuesta de frecuencia se usan mucho en el análisis modal de sistemas

mecánicos.

La función de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que

consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso una gráfica verdadera de

ella necesita tres dimensiones, lo que es difícil de representar en papel. Una

manera de realizar esto es la llamada gráfica de Bode, que consiste en dos

curvas, una de amplitud vs frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Otra

manera de ver la función es de resolver la porción de fase en dos componentes

ortogonales, una parte en fase (llamada la parte real) y una parte 90 grados

fuera de fase (llamada la parte imaginaria o parte de la cuadratura).

Bode

Un diagrama de Bode consta de dos gráficas, una para la amplitud de

salida y otra para el desfase de salida. Se los denominará respectivamente

diagrama de ganancias y diagrama de fases. Los dos diagramas representan

las frecuencias de forma logarítmica en el eje de abscisas empleando rad/s. El

diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la

señal de salida transformados a decibelios. El diagrama de fases representa en

el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados.

En realidad, el uso de los decibelios como unidad de medida es una forma

solapada de representar la amplitud de salida en escala logarítmica. Conviene

resaltar que los logaritmos son siempre decimales, no neperianos. El factor 20

de la (ecu.1) se debe en parte al uso de la fracción del belio y en parte al

empleo de la potencia de la señal, lo que hace que haya que elevar al

cuadrado la amplitud dentro del logaritmo y salga fuera de él como un factor de

dos. En el eje logarítmico de frecuencias se denomina década a cualquier

intervalo que va desde una determinada frecuencia hasta otra diez veces

mayor. Se denomina octava a cualquier intervalo que va desde una frecuencia

hasta su doble. Trazas de Bode Trazas de esquina o trazas asintóticas El

diagrama de Bode ha recibido también los nombres de trazas de esquinas o

trazas asintóticas ya que las trazas de Bode se pueden construir empleando

aproximaciones en línea recta que son asintóticas a la gráfica real. En términos

simples las trazas de Bode tienen las siguientes características: 1. El diagrama

de bode consta de dos trazados los mismos que están representados en

función de la frecuencia en escala logarítmica. Diagrama del logaritmo del

módulo de una función de transferencia Diagrama del ángulo de fase 2. La

representación común de la magnitud logarítmica de G (jw) es 20logG (jw),

donde la base del logaritmo es 10. En la representación logarítmica se dibujan

con escala logarítmica para la frecuencia y la escala para cualquier magnitud

(en decibelios) o el ángulo de fase (en grados). 3.

En los diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos

de octavas o décadas. a. Una octava es una banda de frecuencia de w1 a 2

w1, donde w1 es cualquier frecuencia.

Una década es una banda de frecuencia de w1 a 10 w1, donde w1 es cualquier

frecuencia. 4. Ya que la magnitud de G (jw) en las trazas de Bode se expresa

en dB, los factores de producto y división de G (jw) se vuelve adiciones y

sustracciones, respectivamente. Las relaciones de fase también son sumadas y

restadas entre sí de manera algebraica como se indicó en la propiedad de los

logaritmos expuesta al principio del ensayo. 5. La gráfica de magnitud de las

trazas de Bode de G (jw) se puede aproximar mediante segmentos de línea

recta, lo que permite el simple bosquejo de las trazas sin cálculos detallados. 6.

El diagrama de Bode de una función de transferencia G(s), que contiene varios

ceros y polos, se obtiene sumando la gráfica debida a cada polo y cero

individuales. La magnitud asintótica total se puede dibujar sumando las

asíntotas debidas a cada factor. La característica de fase total, ϕ (w), se

obtiene sumando la fase debida a cada factor.

El diagrama de Bode de un factor de cero (1+jwτ) se obtiene de la misma forma

que para el del polo. Sin embargo, la pendiente es positiva en 20 dB/década y

el ángulo de fase es ϕ (w)=tan-1wt. 8. Ya que la aproximación en línea recta de

las trazas de Bode es relativamente fácil de construir, los datos necesarios para

otras trazas en el dominio de la frecuencia, tales como la traza polar y la traza

de magnitud-fase, pueden ser fácilmente generados a partir de las traza de

Bode. Ventajas de las trazas de Bode En ausencia de una computadora, las

trazas de Bode se pueden bosquejar por la aproximación de magnitud y fase

con segmentos de línea recta. El cruce de ganancia, el cruce de fase, el

margen de fase se determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la

traza de Nyquist.

Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus

parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que

sobre la traza de Nyquist.

La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode

Es que la multiplicación de magnitudes se convierte en suma. Cuenta con un

método simple para dibujar una curva aproximada de magnitud logarítmica

Desventajas de las trazas de Bode La estabilidad absoluta y relativa de

sistemas de fase mínima se puede determinar desde las trazas de Bode. No es

posible dibujar las curvas hasta frecuencia cero, debido a la frecuencia

logarítmica (log 0=-∞).

Pasos para Construir el Diagrama de Bode

En un diagrama de Bode se representa por un lado el módulo de la función y

por otro la fase . La figura 1 muestra como ejemplo el diagrama de Bode de un

filtro paso baja de primer orden, cuya función de transferencia es: Figura 1:

Diagrama de bode de un filtro paso baja de primer orden A la hora de elaborar

un diagrama de Bode hay que prestar atención al hecho de que la escala

correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica. ¿Qué es una escala

logarítmica y por qué usarla? Las escalas logarítmicas se emplean cuando se

quieren representar datos que varían entre sí varios órdenes de magnitud

(como en el ejemplo de la figura 1, en el que la frecuencia varía entre 1 rad/s y

106 rad/s). Si hubiésemos empleado una escala lineal, sólo apreciaríamos bien

los datos correspondientes a las frecuencias mayores mientras que, por

ejemplo, todos los puntos por debajo de 104 rad/s se representarían en la

centésima parte del eje de abscisas.

Módulo de la función de transferencia empleando una escala lineal en el eje de

frecuencias Para evitar este problema se usan las escalas logarítmicas, que

permiten representar en un mismo eje datos de diferentes órdenes de

magnitud, separándolos en décadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el eje

la posición del dato que queremos representar se marca la de su logaritmo

decimal. Esto se hace aprovechando la siguiente propiedad de los logaritmos:

De este modo, el orden de magnitud (D) establece un

desplazamiento,separando una década (D = i) de la siguiente (D = i + 1) y los

puntos correspondientes a un mismo orden de magnitud (década) tienen el

mismo espacio para ser representados que los pertenecientes a una década

superior. Como ejemplo, en la figura 3 se indica dónde se ubicarían en un eje

logarítmico los puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.

representación de puntos en una escala logarítmica Obsérvese que otra

particularidad del diagrama de Bode en módulo es que se representa en dB. Es

decir, en lugar de representar se representa 20 log . Ésta es otra forma de

poder visualizar también funciones de transferencia que pueden variar en

varios órdenes de magnitud.

NOTA IMPORTANTE: no confundir representar los datos en escala logarítmica

(como se hace con el eje de frecuencias del diagrama de Bode) con

representar el logaritmo de los datos, o algo proporcional (como en el eje de

ordenadas del diagrama de Bode en módulo). Cuando se usa una escala

logarítmica se cambia la posición de los puntos respecto de una escala lineal,

pero se siguen etiquetando con su valor (10, 60, 100, 600,… en la figura 3).

Análisis de Estabilidad utilizando el Diagrama de Bode

resume el concepto de estabilidad absoluta en un sistema identificado con una

función de transferencia Gs y un controlador con una función de transferencia

Gc. Rompiendo el lazo cerrado y aplicando una señal senoidal A y consigna U

igual a cero, se transmite por el otro extremo una señal B que es opuesta a la

realimentación o señal de medida Y, ya que Y cambia de signo en el nudo de

señales. En estas condiciones, el sistema convierte la señal A en otra señal Y

que tendrá un determinado retraso de fase. Si el retraso de Y respecto de A no

puede llegar a 180º para ninguna frecuencia, entonces puede cerrarse el lazo,

uniendo B con A, sin que las oscilaciones aumenten, porque B

también tendrá desfase respecto de A y por lo tanto se amortiguan en un cierto

grado, es decir, el sistema consume energía y las oscilaciones disminuyen. Por

el contrario, si el retraso de Y respecto de A sí puede llegar a 180º, entonces

las señales A y B no tendrán desfase, tal como vemos en la figura. En estas

condiciones, la estabilidad depende de la amplitud de la señal Y o la de B, que

serán iguales. Si la amplitud de B es menor que la de A y se cierra el lazo,

resultará un sistema estable, porque la señal A irá perdiendo amplitud, ya que

se iguala con B. Al contrario, si la amplitud de B es mayor o igual que la de A,

resultará un sistema inestable, porque la señal A se mantiene o se incrementa,

ya que se iguala con B. Es verdad que pueden evitarse señales con una

frecuencia tal, que el retraso no alcance los 180º, pero en la práctica no es

aceptable porque toda señal es siempre una superposición de muchas otras,

llamadas armónicos, de modo que alguna de ellas puede coincidir o acercarse

demasiado a la frecuencia que lo inestabiliza, ese armónico será amplificado

por el sistema y terminará dominando la respuesta. Tampoco ha de olvidarse la

influencia de perturbaciones ajenas al sistema. Este concepto de estabilidad

absoluta solo nos dice si el sistema es estable o no lo es, pero no nos aporta

una medida de la estabilidad. Con los diagramas de Bode también se puede

determinar la estabilidad relativa como se representa en la siguiente figura. Se

conoce como frecuencia de corte (en lazo abierto) a la frecuencia con la que se

anula el módulo (expresado de decibelios), o, lo que es

Igual, a la frecuencia con la que la ganancia es igual a 1, ya que el logaritmo de

1 es cero. Con frecuencias mayores a la de corte, el módulo es negativo y la

ganancia menor de 1, de modo que el sistema atenúa las oscilaciones de

frecuencias mayores a la de corte. Si el retraso de 180º se alcanza a mayor

frecuencia que la de corte, entonces el sistema es estable porque, como se

acaba de decir, la ganancia es menor de 1. El margen de fase y el margen de

ganancia, marcados en la figura, son una medida de la estabilidad relativa y

miden, respectivamente, el número de grados y el número de decibelios que

faltan para llegar a la inestabilidad. En el ejemplo representado como inestable,

se observa que con el retraso de 180º tenemos un módulo mayor que cero, por

lo que la ganancia será mayor de 1 y si se cierra el lazo (uniendo B con A como

en la figura anterior) aumentarán las oscilaciones. En lazo cerrado se denomina

"banda pasante" al intervalo de frecuencias entre las que el sistema mantiene

buena ganancia, concretamente se corresponde con una pérdida en módulo de

3 dB. En esta banda de frecuencias responde con rapidez a las exigencias de

control y lógicamente, interesa que la banda pasante sea grande para que

mantenga la capacidad de reaccionar con altas frecuencias. La banda pasante

(en lazo cerrado) coincide aproximadamente con la frecuencia de corte (en lazo

abierto), por lo tanto, aumentar la frecuencia de corte significa aumentar la

velocidad de respuesta del sistema. Sin embargo, a medida que se

aumenta la frecuencia de corte disminuyen los márgenes de fase y de

ganancia, acercándose a la inestabilidad. Para mejorar la respuesta se

necesita, en consecuencia, aumentar la frecuencia de corte a la vez que se

disminuye el retraso de fase, de forma que el módulo siempre sea menor de

cero cuando se alcance el retraso de 180º. En el siguiente tema veremos los

diferentes bloques o comportamientos que caracterizan a todo sistema y a

cualquier regulador. Cada bloque tiene su propio diagrama de Bode

característico, de forma que podemos configurar el regulador o controlador con

los bloques que mejor se adapten para mejorar la respuesta del sistema. Como

el controlador y el sistema estarán en serie, sus correspondientes diagramas

de Bode pueden sumarse, lo que permite probar diferentes configuraciones de

control hasta alcanzar el objetivo: Aumentar la frecuencia de corte y disminuir el

retraso de fase sin que se pierda la estabilidad. Para garantizar en la práctica

un comportamiento satisfactorio, el margen de fase debe estar entre 30º y 60º y

el margen de ganancia ser superior a 6 dB.