2o Congreso Internacional de Acstica UNTREF Septiembre 2010, Argentina

DISEO E IMPLEMENTACIN DE UN FILTRO ADAPTATIVO PARA CARACTERIZAR EN FRECUENCIA SALAS DE MEZCLA Y

MASTERIZACIN

ANTONIO ESCAMILLA 1 JENIFFER V. TORRES2

1 Magister en Tecnologas del sonido y de la msica Barcelona, Espaa. tonyducks@gmail.com

2 Universidad de San Buenaventura, Jefe de Lnea Acstica y tecnologa del Audio, Facultad de Ingeniera, Ingeniera de Sonido Medelln, Colombia.

jeniffer.torres@gmail.com Resumen El objetivo de esta investigacin es proponer un mtodo alternativo a las actuales mediciones acsticas, para obtener la respuesta en frecuencia de una sala de mezcla y/o masterizacin. Este mtodo se basa en la capacidad de los filtros digitales para adaptarse al paso del tiempo, gracias a un algoritmo gentico que genera una poblacin de filtros, caracterizados por sus coeficientes, y que logra, debido a la simulacin de procesos evolutivos, converger en la respuesta deseada que imita la respuesta en frecuencia de una sala de mezcla o masterizacin.

La caracterizacin a la que se pretende llegar, consiste en obtener el comportamiento en frecuencia de una sala de mezcla o masterizacin de manera objetiva, por medio de un reporte grfico. El prototipo de sistema de medicin busca implementar un filtro digital que logra adaptarse en el tiempo, a travs de un algoritmo gentico que consigue reducir el clculo del error entre la seal que pasa por la sala y la que pasa por el filtro, hasta que el filtro y el recinto se comporten de manera similar, y obtener de manera sencilla una caracterizacin en frecuencia del saln, gracias a los parmetros finales del filtro luego del proceso de adaptacin.

Abstract-The aim of this investigation is to propose an alternative method to the current acoustic measurements, in order to obtain the frequency response of a room for mixing and/ or mastering. This method is based on the aptitude of the digital filters to adapt themselves to the passage of time, thanks to a genetic algorithm that generates a population of filters which are characterized by their coefficients This is achieved due to the simulation of evolutionary processes, to converge on the wished response that imitates the response in frequency of a room of mixing or mastering.

Palabras claves:filtros digitales, algoritmos genticos, filtros adaptativos, caracterizacin de salas, salas de mezcla, salas de masterizacion, respuesta en frecuencia.

Key words: digital filters, genetic algorithms, adaptative filters, characterization of rooms, mixing rooms, mastering rooms, response in frequency.

1. INTRODUCCIN

Las salas de mezcla y masterizacin deben producir respuestas planas, que garanticen al ingeniero la percepcin de la seal de audio libre de las modificaciones que el recinto causa, debido a las reflexiones propias producidas por la disposicin arquitectnica (geometra) de este, y que afectan de manera directa el propsito de su uso.

El primer paso para corregir este tipo de problemas, consiste en hacer un diagnstico del comportamiento que presenta el recinto, para una determinada posicin del ingeniero de mezcla o masterizacin y de los monitores. Esto implica realizar mediciones de nivel de presin sonora en el punto de ubicacin del mismo, que permitan describir de manera objetiva cmo se est afectando la seal que emiten los monitores y proponer, segn los datos obtenidos, el acondicionamiento acstico que mejore el comportamiento de la sala.

La caracterizacin a la que se pretende llegar consiste en obtener el comportamiento en frecuencia de una sala de mezcla o masterizacin de manera objetiva, por medio de un reporte grfico que permita al ingeniero evaluar el recinto y realizar, en su arquitectura, las acciones correctivas necesarias, estas acciones consisten, generalmente, en redisear el acondicionamiento acstico a fin de lograr un comportamiento homogneo en frecuencia

A diferencia de una medicin acstica tradicional, el prototipo del sistema de medicin que se propone, implementa un filtro digital que se adapta en el tiempo a travs de un algoritmo gentico que reduce el clculo de error entre la seal que pasa por la sala y la que pasa por el filtro, hasta que se comporten de manera similar.

De este modo y de manera sencilla, se obtiene una caracterizacin en frecuencia del mismo mediante los parmetros del filtro al finalizar el proceso de adaptacin.

2. METODOLOGA

2.1 Implementacin del filtro digital Adaptativo [1]

Un filtro adaptativo es aquel que intenta encontrar los coeficientes ptimos que provean

el mnimo valor para una superficie de error y cuya geometra est definida ortogonalmente por el peso de los propios coeficientes.

El sistema ortogonal permite que el gradiente de la superficie de error sea establecido individualmente para cada coeficiente y, de esta manera, la direccin del descenso del gradiente pueda ser monitoreada para cada uno de ellos, los cuales puedan, adems, ser ajustados de acuerdo a un valor fijo.

Las ecuaciones siguientes explican el proceso, en las que se tiene un filtro adaptativo definido por el conjunto de coeficientes k, salida y[n] y la seal deseada d[n]:

(1)

(2)

(3)

Los filtros adaptativos tienen la propiedad de la auto-optimizacin y consisten, principalmente, en un elemento que vara con el transcurrir del tiempo, caracterizado por un conjunto de coeficientes ajustables y un algoritmo recursivo que actualiza estos coeficientes segn la informacin estadstica que se pueda obtener de las seales relevantes en el proceso.

La respuesta deseada d(n), que es la respuesta de la sala directamente relacionada con la seal de entrada x(n), debe estar disponible para su anlisis por parte del mecanismo de adaptacin. Las caractersticas del filtro adaptativo son luego modificadas para que su respuesta a la salida y(n), se asemeje a d(n) tanto como sea posible. La diferencia entre la seal deseada y la respuesta del filtro adaptativo se llama error e(n).

Un filtro adaptativo puede ser topolgicamente configurado de varias maneras segn las metas que se quieran cumplir. Como el objetivo de este trabajo es caracterizar la respuesta en frecuencia de una sala de mezcla o masterizacin a travs de la adaptacin de un sistema FIR (respuesta impulso finita), el filtro adaptativo es estructurado con una topologa comnmente usada en tareas de Identificacin

de Sistemas, como se puede ver en la figura 1. La configuracin es determinada por la manera en la cual la seal deseada es obtenida.

En el caso de la caracterizacin de estos recintos, se enva una seal (ruido rosa) simultneamente a una caja negra, la cual representa el sistema a identificar, y al filtro construido a partir de los coeficientes adaptativos. Mientras el filtro se adapta con mtodos en el dominio del tiempo, el ruido rosa garantiza que las caractersticas espectrales del sistema (recinto acstico) sean validas en el filtro adaptado.

Debido a la propiedad acstica del ruido rosa de estado estacionario, las salidas de cada coeficiente son no correlacionadas y por ende matemticamente ortogonales.

Fig. 1. Identificacin del sistema adaptativo.

Idealmente, el proceso de adaptacin se resume en llevar el error a cero. Sin embargo, en la prctica esto puede no ser siempre posible y por ello se hace necesario emplear un criterio de optimizacin, el cual, en el marco de esta investigacin, implementa un mtodo de optimizacin natural. Este tipo de algoritmos sobresalen por que generan nuevos puntos en el espacio de bsqueda, al aplicar operadores a los puntos actuales para moverse estadsticamente hacia lugares ms ptimos en el espacio de bsqueda. Estos algoritmos dependen de una bsqueda inteligente en un largo pero finito espacio de bsqueda, usando mtodos estadsticos, que no requieren del clculo de derivadas de la funcin de costo, sino que simulan procesos evolutivos de la naturaleza que han demostrado ser exitosos.

2.2 Mecanismo de adaptacin

La fortaleza de un Algoritmo Gentico (AG) [2], se deriva de su aleatoriedad inherente, lo que lo diferencia de otros mtodos de optimizacin tpicos en ingeniera que tienden a ser definidos en forma ms concreta y rigurosa. Esa aleatoriedad en un AG se da gracias a su modo de operar, quedando reflejado en la manera como se mejoran gradualmente las soluciones a travs de un principio evolutivo. El flujo bsico del programa para el Algoritmo Gentico desarrollado, se muestra en la Fig. 2.

Fig. 2. Diagrama de flujo del Algoritmo Gentico.

En la primera etapa del diagrama de flujo del Algoritmo Gentico se definen, adems, los parmetros que determinan su comportamiento.

El algoritmo diseado tiene como parmetros: el nmero de cromosomas, el nmero de coeficientes para el filtro, el nmero de bits por coeficiente, el nmero de bits por cromosoma, la relacin de seleccin y mutacin, el nmero de

mutaciones y el nmero mximo de iteraciones. Todos son parmetros que condicionan en mayor o menor grado la estabilidad y los tiempos de convergencia para cada ejecucin del algoritmo.

Una vez que se define el nmero de cromosomas (M) y el nmero de bits por cromosoma (N) (producto entre el nmero de coeficientes y el nmero de bits por coeficiente), se puede iniciar la poblacin generando una matriz de nmeros aleatorios de dimensiones MxN, distribuidos uniformemente en el intervalo (0.0, 1.0).

Luego de la etapa de cuantificacin e inicializacin, el algoritmo de forma recurrente evala una funcin de costo sobre la poblacin de filtros, definiendo as un valor del desempeo de cada individuo dentro de la poblacin y gracias al cual se definen las parejas con las que se hace el apareamiento que forma nuevas generaciones de filtros. Finalmente de manera aleatoria se introduce un operador de mutacin en algunos de los elementos de la poblacin y se verifica la convergencia del algoritmo.

La funcin de costo (fitness) [3], es tal vez el aspecto ms aleatorio del diseo de un Algoritmo Gentico, ya que con cada iteracin, el algoritmo cambia la poblacin o realiza una nueva generacin. Este es el componente especfico que se relaciona directamente con la aplicacin del algoritmo.

El error cuadrtico medio es una opcin muy comn para establecer una medida del desempeo de la poblacin. En el caso del diseo de filtros, esto se aplica con frecuencia a una respuesta de magnitud deseada, caso en el cual, es de utilidad usar un error cuadrtico medio (MSE) ponderado para ciertas bandas de frecuencias.

Sin embargo, una funcin de costo con un enfoque en el domino del tiempo y con menos ambigedad en respuesta de fase, ha sido implementada siguiendo los lineamientos de un trabajo similar realizado por D. Padden [4] en su tesis de maestra, en el que se adapt un filtro con un AG, para lograr la localizacin de un sonido en el espacio libre, con resultados positivos.

Segn lo anterior, se puede decir que a partir de un sistema deseado h[n] y una solucin s[n] con respuestas impulsivas de tamao N, la funcin de costo fs es determinada a partir de la siguiente expresin:

(4)

(5)

El apareamiento en un AG [5] es un proceso de dos pasos: en primer lugar, se debe escoger un mtodo para la seleccin de las parejas y luego se debe usar un procedimiento adicional para realizar el apareamiento de las parejas escogidas (crossover).

El modo de seleccin ejecutado por el prototipo es elitista, ya que, a diferencia de otros mtodos, no calcula probabilidades de escogencia segn su desempeo, como en el caso de la ruleta o por torneo. Por el contrario, los cromosomas son simplemente organizados de mayor a menor segn su funcin de costo y apareados formando parejas con cromosomas consecutivos, segn el orden en que hayan quedado, hasta abarcar la mitad de la poblacin de los mismos. El resto de la poblacin ser entonces descartada por su bajo rendimiento, permitiendo as el nacimiento de nuevas generaciones de soluciones.

Las mutaciones aleatorias alteran cierto porcentaje de bits en el conjunto de cromosomas y son la segunda manera con que cuenta un Algoritmo Gentico para explorar una superficie de costo. La mutacin puede introducir soluciones que no estn presentes en la poblacin original, permitindole de esta manera al AG no convergira demasiado rpido, lo que le privara de explorar gran parte de la superficie de costo. Las mutaciones en un solo punto dentro de un vector para cada cromosoma, significan cambiar un 1 por un 0 y viceversa. Los puntos de mutacin son escogidos aleatoriamente del nmero total de bits en la matriz de poblacin que est compuesta de vectores que representan cada cromosoma. Una particularidad de la implementacin de la mutacin dentro del prototipo, es que el mejor candidato de la matriz de cromosomas es preservado sin alteraciones, hacindolo inmune a la mutacin, ya que es una tcnica, dentro del

elitismo, no alterar al candidato que mejor desempeo est mostrando.

La eleccin de una tasa de probabilidad ptima para el crossover y la mutacin, es tema de debate para investigadores tericos y empricos, ya que son los parmetros que afectan de manera directa la estabilidad del Algoritmo Gentico.

El aumento de la probabilidad de crossover, incrementa el descarte de cromosomas buenos. Por otra parte, con valores altos de probabilidad de mutacin se puede correr el riesgo de incurrir en una bsqueda aleatoria que no tenga una tendencia fija.

2.3 Medicin de salas

La identificacin de sistemas con filtros adaptativos se da cuando, a partir de una seal de referencia que ingresa al filtro, se logra modelar el sistema obteniendo una salida lo ms similar posible a la respuesta del mismo cuando este es excitado con la misma seal de referencia. De lo anterior se desprende qu tipo de seales deben estar disponibles para la ejecucin del algoritmo, tal que sean capaces de adaptar los coeficientes del filtro, a fin de lograr la identificacin del sistema.

La seal de referencia usada (ruido rosa) es reproducida por el sistema electro-acstico de la sala, tal y como est conectado, segn el diseo propio de cada recinto, para garantizar que esta tendr el mismo flujo que tendra cualquier seal de audio dentro del cuarto de control, a la hora de trabajar dentro del mismo. Lo anterior implica pasar por la consola, interfaz de audio o cualquier otro hardware,segn el tipo de aplicacin de la sala, antes de ser reproducido por los altavoces.

La captura de la seal que viaja a travs de la sala y que sale de los monitores, se le denomina seal deseada, ya que esta ser la seal que el filtro adaptativo tiene que modelar por medio de las modificaciones que se hagan de sus coeficientes. Segn los diseos acsticos de salas de mezcla y/o masterizacin, el acondicionamiento est pensado para tener su mejor desempeo en el punto donde se sienta el operador, dado que es este quien toma las decisiones, basado en la percepcin de las

seales en ese punto de la sala. De lo anterior se desprende el hecho de que solo se hayan llevado a cabo mediciones en ese punto, a la altura promedio de una persona sentada y con un micrfono de medicin omnidireccional.

Fig. 3. Diagrama de conexiones para las mediciones en salas de mezcla.

En el caso de las salas de control de los estudios de grabacin de la Universidad de San Buenaventura, se utiliz como sistema de reproduccin y registro de seales el sistema de conversin A/D muestreado a 44100HZ conocido en el mercado comoDigi 002, para este caso se muestra la caracterizacindel estudio Anlogo.

La seal de prueba se calibro emitiendo un tono puro de 1Khz, y tomando una lectura con el sonmetro Svantek 943 A de 94 dB en la posicin del micrfono, y as dejando ese nivel de ganancia de los monitores fijo durante la emisin de seal (la seal con la que se caracterizo fue ruido rosa )

Es importante mencionar que se utiliz el programa ProToolssoftware de edicin de audio con el que cuenta la sala, respetando las configuraciones de conexionado del control room del estudio, (Fig. 3), y aprovechando la facilidad que implica trabajar con un formato de captura y reproduccin .wav, el cual es ledo de manera sencilla por el algoritmo soportado por

el softwarede procesamiento de datos MATLAB.

2.4 La caracterizacin de las salas [6]

Segn lo expuesto anteriormente, la caracterizacin de la sala se logra una vez que se tienen dos seales: una de referencia y una medida.

Ambas seales, en formato .wav, son ledas por el algoritmo y analizadas a conveniencia por el filtro adaptativo, hasta lograr la adaptacin del prototipo y obtener as una respuesta similar de la sala, por medio de una funcin de transferencia.

Una vez finalizado el proceso de adaptacin, el algoritmo muestra informacin que permite hacer un anlisis del proceso que acaba de terminar y que posibilita al usuario sacar conclusiones propias de la efectividad del mtodo propuesto.El algoritmo reproduce tres seales de audio que facilitan hacer un anlisis perceptible, al comparar las diferencias entre cada seal, segn hayan sido percibidas por el usuario.

La primera es la seal de referencia, la segunda es la respuesta de la sala a la primera seal y la ltima es la modificacin que hace el filtro a la seal de referencia, la cual deber ser lo ms parecida posible a la seal deseada (respuesta de la sala).

Grficamente, se muestra la respuesta en el tiempo de las tres seales objeto de anlisis. Un primer grfico muestra en la figura 4.a la seal de referencia acompaado con la respuesta de la sala, la figura 4.b muestra la respuesta de la sala acompaada de la respuesta del filtro, permitiendo hacer comparaciones entre estas dos ltimas de tal manera de permitir juzgar el xito del proceso de adaptacin del filtro la respuesta de la sala y la del filtro, vale la pena aclarar que cuanto ms parecida sean las respuesta de la sala y la respuesta del filtro, mejor ser la caracterizacin de la misma.

Fig. 4. Respuesta en el tiempo de la seal medida (a) y la seal adaptada (b), en el

estudio Anlogo.

Se puede hacer un tercer anlisis comparando los grficos de la respuesta en frecuencia para las tres seales que el algoritmo manipula. Este tipo de grfico muestra la magnitud de la FFT en una escala en dB para cada seal, lo que facilita la comprensin del contenido espectral de cada seal. Este grfico pone en evidencia, matemticamente, las diferencias que se debieron percibir auditivamente en primera instancia, entre las respuestas de la sala y el filtro, dentro de la ejecucin del programa.

Finalmente, lo que permite caracterizar la sala objeto de este estudio, es el grfico de la respuesta en frecuencia del filtro, es decir, el grfico de la funcin de transferencia, con los coeficientes que acaban de ser sometidos a un proceso de adaptacin.

3. PRESENTACIN Y ANLISIS DE RESULTADOS

En este proceso de investigacin, el anlisis se hizo para dos salas de mezcla [7] y una de masterizacin.

En este captulo se muestra el proceso que realiza el algoritmo y la comprobacin del mecanismo de adaptacin que el filtro ejecuta luego de ser probado en el estudio Anlogo de la Universidad de San Buenaventura, sede Bogot.

Las medicionesen dicho estudio, presentaron un buen desempeo luego de ser introducidas al prototipo, lo que se evidencia en las grficas de tiempo. Como se observa en la Fig. 4, el objetivo se cumple de manera aceptable ya que la respuesta del filtro es muy similar a la respuesta de la sala.

La grfica superior muestra sobre los mismos ejes, en azul, la seal de referencia, y en verde, la respuesta de la sala; mientras que al inferior se muestran, en verde, la respuesta de la sala y en color rojo, la respuesta del filtro. Dicha grfica de amplitud vs tiempo representa valores normalizados de amplitud y en el eje horizontal valores de muestras de un mismo intervalo de tiempo para cada seal. Se tomaron solo 500 muestras para realizar las grficas de tiempo, lo que representa, segn la frecuencia a la que fue muestreada la seal (44100Hz), un intervalo de 11,33 ms, teniendo como nico criterio para la eleccin del nmero de muestras el que la grfica pudiera visualizarse fcilmente, cosa que no se logra al tratar de tomar ms

Un anlisis en el dominio de la frecuencia permite ver otro tipo de comportamiento en las seales involucradas, al punto de poder decir en qu rangos de frecuencia fue efectivo o no el proceso de adaptacin. Este tipo de grficas muestra el espectro de potencia, al calcular el logaritmo en base 10 de la magnitud de la transformada discreta de Fourier entre 20Hz y 20KHz en una escala logartmica en el eje x.

La respuesta en frecuencia expuesta en la Figura 5,indica las falencias del prototipo y es claro que la adaptacin no es totalmente exitosa.

Fig. 5. Anlisis de Fourier para las respuestas de la sala y el prototipo.

El anterior grafico ensea en azul la respuesta de la sala, en donde se evidencia un problema grave en bajas frecuencias que el filtro no logra emular ya que su respuesta (grfica en rojo), no ensea toda la atenuacin que s est presente en la respuesta de la misma. Otra diferencia notable se presenta en frecuencias de alrededor de 100Hz, en donde un pico alcanza un valor mximo en la respuesta de la sala en un rango pequeo entre 80Hz y 200Hz, hacindose muy difcil para el filtro adaptarse ante variaciones tan grandes en un rango tan angosto de frecuencias. Lo que el filtro intent hacer;consisti en agrupar un mayor rango de frecuencias y asignarles una ganancia similar.

Como ltimo recurso, el algoritmo muestra la magnitud de la respuesta en frecuencia del filtro luego del proceso de adaptacin. Con la presentacin de dicha respuesta, se pretende caracterizar la sala que fue sometida a anlisis y es el objeto final del diseo y la implementacin que se proponen.

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La integracin de los Algoritmos Genticos con otras tecnologas emergentes como las Redes Neuronales Artificiales y los sistemas de Lgica Difusa pueden ser un rea de inters. La combinacin de estas tcnicas de inteligencia Artificial puede no solo implicar el uso de un AG como una ayuda a las otras dos, sino que puede resultar en un AG que tiene como herramientas de clculo, las otras tcnicas mencionadas.

La implementacin del algoritmo en un Procesador Digital de Seales (DSP),puede llevar a un sistema reproducible y con la capacidad en tiempo real, derealizar la reproduccin, captura y adaptacin de las seales que influirn en lacaracterizacin de la sala.

El Algoritmo Gentico necesita ser modificado para lograr resultados msrpidamente, ya que varios cientos de generaciones requieren tiempo para unaaplicacin prctica. Ciertamente, el hacer ajustes en los operadores genticos y enel nmero de coeficientes del filtro puede significar una mejora apreciable para elprototipo.

Los algoritmos genticos han sido aplicados con xito como solucinal problema de adaptacin de los filtros de respuesta infinita al impulso (IIR). En 1982, D. M. Etteret al, propusieron por primera vez un algoritmo gentico como mecanismo de adaptacin de un filtro recursivo demostrando as su efectividad en la identificacin de sistemas desconocidos a travs de la aplicacin del filtro. Posteriores implementaciones por Kristinsonn&Dumont en 1992, solucionando un problema de control y otra por R. Nambiaret al, en el mismo ao, con la implementacin de un algoritmo autmata gentico aportaron a la confiabilidad sobre la capacidad de los algoritmos genticos como mtodo de adaptacin para filtros digitales.

Implementaciones mas recientes de filtros adaptativos y algoritmos genticos han sido aplicadas en trascripcin musical y ecualizacin de canales de comunicaciones. David Lu, en 2006 present su trabajo sobre trascripcin musical utilizando sntesis de sonido y un algoritmo gentico que produce generaciones de posibles transcripciones y a las que se les evala su fitnessal comparar el audio original con el

audio generado con las transcripciones; tras compartir y modificar el material gentico de miles de transcripciones, el algoritmo llega a una solucin similar a la del audio original. A. Esparcia-Alcazar & K. Sharman construyeron un sistema que se adapta para compensar las imperfecciones en un canal de comunicaciones y cuyo principal objetivo fue la reconstruccin de secuencias de datos binarios transmitidos a travs de un canal con distorsin.

4. CONCLUSIONES

El enfoque de esta investigacin, que segn lo anotamos al inicio, es lograr la adaptacin de los coeficientes del filtro digital a travs de un algoritmo gentico, prob ser efectivo a la hora de identificar un sistema desconocido, partiendo de una seal de referencia y de la respuesta de ese sistema a dicha seal. La fortaleza del prototipo queda demostrada por medio de los resultados observados en las grficas que el algoritmo arroja y que sirven para caracterizar en frecuencia salas de mezcla o masterizacin.

El proceso de adaptacin, cuyo objetivo es hacer que la diferencia entre la seal medida y la seal deseada sea cero, en la prctica no siempre puede lograrse; razn por la cual se hace necesario emplear un criterio de optimizacin estadstico, tal como el Error Cuadrtico Medio o alguna otra medida del desempeo del filtro.

El Test de Anlisis de la Varianza permiti conocer los valores de la suma de cuadrados (MS), que indicaron la poca variabilidad total de la muestra, ya que se pretenda saber la relacin entre la seal deseada como variable independiente y la seal adaptada como variable dependiente, para demostrar que s se cumple la hiptesis de igualdad de medias.

El nmero de recintos sometidos a anlisis y el mtodo de comprobacin utilizado, permitieron, de manera objetiva, dar validez a las caracterizaciones que el prototipo ejecut en las diferentes salas de mezcla, pues los resultados fueron muy similares a los arrojados por el software SmaartLive.

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