GEOMETRA ANALTICA

Rama de la geometra en la que las lneas rectas, las curvas y las figuras geomtricas se representan mediante expresiones algebraicas y numricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

En general, una lnea recta se puede representar siempre utilizando una ecuacin lineal en dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De la misma manera, se pueden encontrar frmulas para la circunferencia, la parbola, la elipse y la hiprbola.

PLANO CARTESIANO 1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: La

distancia entre dos puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2); puede encontrarse usando la frmula:

2122

12 yyxxd 2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Sean los

puntos extremos del segmento P1(x1; y1) y P2(x2; y2); el punto medio se calcula usando la frmula:

3. BARICENTRO DE UN TRINGULO: Sean los vrtices del tringulo A(x1;y1); B(x2;y2) y C(x3;y3), las coordenadas del baricentro son:

33

321321 yyyyxxx

x

4. DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: Dado el segmento de extremos A y B, cuyas coordenadas son A = (x0;y0), B = (x1;y1) y M es un punto de AB, tal que: M = (x;y). Luego las coordenadas del punto M se determinaran mediante: Considere: AM = r MB

5. REA DE UN TRINGULO. Puede

calcularse dados las coordenadas de sus vrtices.

P R A C T I Q U E M O S 1. Uno de los extremos de un segmento

rectilneo de longitud 5 cm es el punto P (3, -2). Si la abscisa de un extremo es 6. Hallar su ordenada.

2. El segmento PQ tiene extremos P( 6 ; y ) y

Q( x; 20) y las coordenadas de su punto medio son ( 10; 14). Calcular ( x+y )

3. Calcule el rea de un cuadrado cuyo centro

es el origen y dos de sus vrtices son: (2;0) y (0; -2)

4. Se dan las coordenadas de los vrtices de un tringulo ABC; A=(-2;-1), B=(4;7) y C=(10;-1) Hallar el permetro del tringulo

5. Los puntos A(-3;1), B (1;5), C (7;3), son los

vrtices del tringulo ABC. Calcular la medida de la altura ms corta

6. En el tringulo dos de sus vrtices son

A(1;3); B(7;1); adems el baricentro es G(5;0) Cul es la coordenada del vrtice?

7. Los puntos A(-4;-3); B(-1;5); C(10;9) y D(7;1)

son los vrtices de un paralelogramo. Cules son las coordenadas del punto de interseccin de sus diagonales?

8. Dos vrtices de un tringulo equiltero ABC,

son los puntos A(-1, -5) y B(-4,2). Hallar su rea.

9. Hallar el rea del polgono cuyas

coordenadas de los vrtices son: A(1,5), B(-2, 4), C(-3, -1), D(2, -3), E(5, 1).

10. ABC es un tringulo equiltero. Las

coordenadas de B y C son respectivamente: (8; 5) y (14; 5). Halle las coordenadas de A

11. Dado el rombo ABCD de lado 5x10 y dos de

sus vrtices opuestos: A(4;9); C(-2;1). Hallar su rea

12. Los puntos A(-8;-5), B (-2;6), C (4;0), son los

vrtices del tringulo ABC. Calcular la medida de la mediana ms corta

13. Los vrtices de un tringulo ABC son A(2;7), B(5;1) y C(x;3); si su rea es 18 u2 determinar el valor de la abscisa de C.

14. A(3;1); B(1;-3) son las coordenadas de dos

vrtices de un tringulo de 3cm2; si el baricentro pertenece al eje de las abscisas. Halle el vrtice C

15. Si A(-3;4); B(4;5) y C(1;-4) son vrtices de un

tringulo; encontrar las coordenadas del circuncentro del tringulo.

16. Las ciudades A, B y C estn localizadas en (0;0) , ( 288 ; 120 ) y ( 408 ; 345 ) , respectivamente, con las distancias en kilmetros. Hay carreteras rectas entre A y B y entre B y C, pero solo la ruta area va directo de A a C. Cuesta $ 0,5 por kilmetro enviar un paquete en camin y $ 0,8 por kilmetro en avin. Calcule la forma ms barata que hay para enviar paquetes de A a C y determinar cunto dinero se ahorra eligiendo esta forma de envo.

ECUACIN DE LA RECTA

Es una expresin matemtica que slo se verifica o satisface para los puntos de la recta.

De acuerdo a la forma de la ecuacin se tiene la ecuacin punto-pendiente y la ecuacin general.

Ecuacin Punto Pendiente

Ecuacin General: ax + by + c = 0

INSTITUCIN EDUCATIVA PARTICULAR " MUNDO MEJOR" Dirigido y promovido por:

La Congregacin de Hermanos Cristianos en el Per ALUMNO(A).................................................................................. FECHA:.................... TEMA: GEOMETRA ANALTICA GRADO: CUARTO: ARV PROF: CARLOS VILLAR

2;

22121 yyxxM

(0,b)

(a,0) 0

bmxy:L

L

x

y

X = X0 +r X1

1+r

Y = Y0 + rY1

1+r

Recta que pasa por el origen de coordenadas

RECTAS PARALELAS

Dadas dos rectas que responden a las siguientes ecuaciones:

y1 = m1 x + b1 y2 = m2 x + b2

Dichas rectas sern paralelas si: m1 = m2

RECTAS PERPENDICULARES Dadas dos rectas y1 , y2 que responden a las siguientes ecuaciones: y1 = m1 x + b1 Y2 = m2 x + b2

Si: m1 = 2m

1

las rectas sern perpendiculares.

Casos particulares: Si: m = 0 resulta y = b = constante

ser una recta paralela al eje x.

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos

Dadas las coordenadas de dos puntos de una recta es posible encontrar la ecuacin de la recta que determine. Dados Po (xo ; yo) y P1 (x1 ; y1), dos puntos cualesquiera, representamos ambos en el plano:

de donde; y yo = o1

o1

xy

yy

(x xo)

17. Halla la ecuacin principal de la recta que pasa por los puntos P(- 3, 2) y Q(4, 5).

18. Encuentra la ecuacin de la recta que tiene

pendiente m = 3 y pasa por el punto P(1, -1). 19. Halle la ecuacin general de la recta que

pasa por el punto P(2, 5) y corta al eje X en el punto que la recta de ecuacin y = x - 4.

20. Verifica analticamente si los puntos A(2, 3),

B(-1, -3) y C(0, -1) son colineales.

21. Una recta es paralela a la recta que pasa por los puntos P(2, 3) y Q(4, -2). Determina su ecuacin general, sabiendo que la recta pasa por el origen.

22. Los puntos P(0, 1), Q(2, 7) y R(a, -2) son

colineales. Calcula el valor de a.

23. Sabiendo que P = ( a, a +2 ) pertenece a la recta de ecuacin 2x + 3y -1 = 0, Calcular las coordenadas de dicho punto.

24. Sean los puntos A ( 3,5 ), B ( 7, -1), C ( 0,0 )

y D (12, 8 ). Es AB // CD?

25. Determinar el valor de p, de forma tal que: px y 1 = 0 y ( p1)x + py + 10 = 0 sean perpendiculares.

26. Escribir la recta que pasa por ( 8, -2 ) y que

es perpendicular a la recta 5x 3y = 7.

27. Las coordenadas de 3 de los vrtices de un rombo ABCD son A(-2,3); B(-5,1); C(-2,-1). Cules son las coordenadas del vrtice D?

28. Los puntos medios de los lados de un

tringulo son (2,5); (4,2) y (1,1). Hallar la suma de las coordenadas de los tres vrtices.

29. El baricentro del tringulo ABC es (3, -2) y el

punto medio del lado BC es (7; 1) Calcular la longitud de la mediana relativa a dicho lado.

30. Los vrtices opuestos de un rectngulo son

los puntos A(2; -3) y C(-6; 3). Si permetro es 24. Calcular el valor de su rea.

31. Dados los puntos P(2;3) y Q(-1;0), hallar la ecuacin de la recta que pasa por Q, perpendicular al segmento PQ

32. Determine la ecuacin de la mediatriz del

segmento. Si: A (2,3) y B (5,8)

33. El rea de un tringulo es 8 u2; dos de sus vrtices son los puntos A(1;-2), B(2;3) y el tercer vrtice C est en la recta: 2x + y 2 = 0. Halle las coordenadas del vrtice C.

34. Dados los vrtices de un tringulo A(1;-1),

B(-2;1) y C(3;5), hallar la ecuacin de la recta perpendicular trazada desde el vrtice A a la mediana trazada desde el vrtice B.

35. Dos rectas se intersectan formando un

ngulo de 135, sabiendo que la recta final tiene pendiente igual a -3. Calcular la pendiente de la recta final.

36. Calcular la distancia de la recta:

3x + 4y + 4 = 0 al punto A (1; 2)

37. Hallar el rea del tringulo formado por los ejes coordenados y al recta: Y = 3x - 12

38. La recta: L1: x y 6 = 0 es perpendicular a

la recta L2 que pasa por el punto M(1;2). Calcular las coordenadas del punto de interseccin de dichas rectas

39. Calcular la ecuacin de la recta, cuyos

puntos equidistan de las rectas: L1: 12x 5y +20 =0 L2: 12x 5y 10 =0

40. Hallar las ecuaciones de los lados de un

tringulo ABC conociendo uno de sus vrtices C(4;-1) y las ecuaciones de una de las alturas 2x-3y + 12 = 0 y la mediana.

41. El punto A(-4; 5), es un vrtice del cuadrado, cuya diagonal est en la recta L1 : 7x y +8 =0. Hallar la ecuacin de la segunda diagonal

42. Dadas las rectas perpendiculares L1 y L2, secantes en el punto A(4; 5) y forman con el eje Y una regin triangular de rea 16 u2. Hallar las coordenadas del punto de interseccin de L2, cuya pendiente es negativa con el eje Y.

43. Hallar el rea del tringulo formado por las

rectas 1L

: y = 4x 3 2L

: y = 3x - 4

3L

: y = 2x-6

44. Una recta pasa por el punto de interseccin

de las rectas: 2x 3y 5 = 0 y x + 2y 13 = 0 y el segmento que determina sobre el eje X es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuacin de dicha recta.

45. Determinar los valores de k1 y k2 para que

las dos ecuaciones: k1x 7y + 18 = 0 y 8x k2y + 9k1 = 0 Representan la misma recta

46. Una recta L1, de pendiente negativa cuya

ordenada en el origen es 5, forma con el eje de ordenadas y con la recta L2 : 7x y 19 = 0, un tringulo de rea 36 u2. Determinar la ecuacin general de la recta L1.

47. Hallar la ecuacin de una recta L de

pendiente positiva que intercepta al eje X en un punto A y a la recta L1 : x = 6 es un punto B de ordenada 8, si se sabe adems que L, L1 y el eje X determinan un tringulo de rea igual a 48 u2.