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Física Moderna y Cosmología

Rubén M. CabezónJordi Òrrit

Dept. Física e Ingeniería NuclearUPC

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FÍSICA MODERNA Y COSMOLOGÍA

Tipo de asignatura: Libre elecciónCréditos: 4.5 (Teóricos: 3, Prácticos: 1.5)Departamento responsable: Física e Ingeniería Nuclear.Coordinación: Rubén Cabezón, Jordi ÒrritSemestre: 2º

OBJETIVOS DOCENTES

El objetivo de esta asignatura es presentar de forma sencilla los conceptos pilares en los que se sustenta elconocimiento científico actual de nuestro universo. Se proporcionarán los conocimientos esenciales en lasmaterias de física cuántica, física nuclear, astrofísica y cosmología; siempre en un marco cualitativoevitando, en lo posible, las complejidades inherentes a la materia. La finalidad última es que el alumnoadquiera una capacidad de análisis crítico frente a las noticias y desarrollos científicos que se encuentreen el día a día.

CONTENIDOS

BLOQUE I: Física Moderna

1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

2. FÍSICA CUÁNTICARadiación de cuerpo negro. Ley de Planck. Cuantización. Aplicaciones: microscopio de efecto túnel.Parejas EPR y teleportación cuántica.

3. FÍSICA NUCLEAR Y DE PARTÍCULASPartículas elementales. Leyes de conservación. Reacciones nucleares. Aceleradores de partículas.

4. FÍSICA MODERNATeorías de unificación. Supercuerdas y Física Multidimensional.

BLOQUE II: Astrofísica y Cosmología

1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

2. FÍSICA ESTELARLas estrellas. Diagrama H-R. Nacimiento y evolución. Objetos compactos y variables cataclísmicas.

3. ASTRONOMÍA GALÁCTICA Y EXTRAGALÁCTICACatálogos históricos. Cúmulos estelares, nebulosas y galaxias. Indicadores de distancia.

4. COSMOLOGÍATeoría Newtoniana de la Gravitación. La Relatividad General. El Principio Cosmológico. La Ley deHubble. La Radiación de Fondo. Modelo inflacionario. Historia de la evolución del universo.

5. ASTROFÍSICA Y COSMOLOGÍA DEL S. XXIMateria y energía oscura. Ondas gravitatorias. GRB. ¿“Antes” del Big Bang?. Astrobiología. El viajeinterestelar.

EVALUACIÓN50% - Exposición oral de un trabajo bibliográfico.50% - Examen escrito tipo test.

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Propuestas para posibles trabajos

• GRAN T-CAN. El nuevo telescopio en canarias.• Instrumentación en Astrofísica y repercusión en el avance científico.• El Large Hadron Collider (LHC). Estado actual y perspectivas de futuro.• La partícula de Higgs.• Agujeros negros supermasivos.• Supernova Cosmology Project y el futuro del universo.• La evolución de los aceleradores de partículas y perspectivas de futuro.• Detectores de ondas gravitatorias.• Interferometría óptica.• Métodos de propulsión. Presente y futuro.• Próximas misiones espaciales y proyectos de investigación astrofísica y/o cosmológica.• Reacciones nucleares como fuente de energía.• Fusión Nuclear: ¿La energía del futuro?• El Ordenador Cuántico• De Hiroshima a la Bomba de Hidrógeno: El peligro de una guerra nuclear.• M-Theory: ¿La teoría última?

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Índice

• Bloque I: Física Moderna y de Partículas ............................. 5• El Modelo Estándar. Historia acelerada 6• Radiación de Cuerpo Negro 7• Ley de Planck 10• Cuantización 11• El modelo Estándar 20• Números Cuánticos 23• Reacciones Nucleares 24

• Bloque II: Astrofísica y Cosmología .................................. 29• Física Estelar 30• Ecuación de equilibrio hidrostático 34• Ecuaciones de Friedmann 36• Derivación clásica de las Ecuaciones de Friedmann 38• Definiciones de parámetros cosmológicos y relaciones 40• Modelo de Friedmann-Robertson-Walker 41• Cronología del Universo 42• Breve historia de la Cosmología clásica 43

• Cuestiones y Problemas ....................................................... 48

• Glosario ................................................................................ 57

• Biografías ............................................................................. 67

• Anexos.................................................................................. 81• Anexo I: Factores de conversión 82• Anexo II: Constantes físicas 83• Anexo III: Ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio 84• Anexo IV: Modelos particulares e históricos del Universo 86

• Bibliografía .......................................................................... 88

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Bloque I:Física Moderna y de

Partículas

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El Modelo Estándar: historia acelerada.

Arquitectos Fecha Partículas Fuerzas ComentarioTales(milesio)

600 a.C. Agua No se mencionan Fue el primero en explicar elmundo mediante causasnaturales, no mediante losdioses. En el lugar de lamitología puso la lógica.

Empédocles(de Agrigento)

460 a.C. Tierra, aire, fuegoy agua

Amor y discordia Aportó la idea de que haymúltiples partículas que secombinan para formar todos lostipos de materia.

Demócrito(de Abdera)

430 a.C. El átomos invisiblee indivisible, o á-tomo.

El movimiento violentoconstante

Su modelo requería demasiadaspartículas, cada una con unaforma diferente, pero su ideabásica de que hay un á-tomoque no puede ser partido siguesiendo la definición básica departícula elemental.

Isaac Newton(inglés)

1687 Átomos duros, conmasa,impenetrables.

La gravedad (para elcosmos). Fuerzasdesconocidas (para losátomos)

Le gustaban los átomos, pero nohizo que su causa avanzase. Sugravedad es un dolor de cabezapara los peces gordos en ladécada de 1990.

Roger J. Boscovich(dálmata)

1760 “Puntos de fuerza”,indivisibles y sinforma o dimensión.

Fuerzas atractivas yrepulsivas que actúanentre puntos

Su teoría era incompleta,limitada, pero la idea de quehay partículas de radio “nulo”,puntuales, que crean “camposde fuerza”, es esencial en lafísica moderna.

John Dalton(inglés)

1808 Los átomos, lasunidades básicasde los elementosquímicos: elcarbono, eloxígeno, etc...

La fuerza de atracciónentre los átomos

Se precipitó al resucitar lapalabra de Demócrito –el átomode Demócrito-, pero dio unapista al decir que los átomosdiferían en peso, no en suforma, como pensabaDemócrito.

Michael Faraday(inglés)

1820 Cargas eléctricas Electromagnetismo (másla gravedad)

Aplicó el atomismo a laelectricidad al conjeturar quelas corrientes estaban formadaspor “corpúsculos deelectricidad”, los electrones.

Dmitri Mendeleev 1870 Más de cincuentaátomos, dispuestosen la tablaperiódica de loselementos.

No hace cábalas sobrelas fuerzas

Tomó la idea de Dalton yorganizó todos los elementosquímicos conocidos. En su tablaperiódica apuntaba con claridaduna estructura más profunda ysignificativa.

Ernest Rutherford(neozelandés)

1911 Dos partículas:núcleo y electrón

La fuerza nuclear(fuerte), más elelectromagnetismo y lagravedad.

Al descubrir el núcleo, revelóuna nueva simplicidad dentrode todos los átomos de Dalton.

Bjorken, Fermi,Friedman, Gell-Mann, Glashow,Kendall, Lederman,Perl, Ritcher,Schwartz, Steinberg,Taylor, Ting, más unreparto de miles

1992 Seis quarks y seisleptones, más susantipartículas. Haytres colores dequarks.

El electromagnetismo, lainteracción fuerte, ladébil: doce partículas quellevan las fuerzas, más lagravedad.

Incompleto.

“La partícula divina” – Leon Lederman.

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Física Cuántica

1.- Radiación del cuerpo negro.

Al calentar un cuerpo éste desprende radiación electromagnética. Consideremos uncuerpo; por el Principio de Conservación de la Energía podemos escribir:

Ei (energía recibida) = Er (energía reflejada) + Ea (energía absorbida) + Et (energíatransmitida)

Las energías en S.I. se miden en Joules (J).Los casos relevantes son los estados de equilibrio, Ea = Erad (energía radiada), ya quesolo entonces se puede medir la temperatura (T). Para estudiar las características de loscuerpos se pueden definir los siguientes coeficientes

E

E r

i

r= Poder Reflector

i

a

E

E a = Poder Absorbente

i

t

E

E t = Poder Transmisor

Casos particulares

r = 1 ; a ≈ t ≈ 0 ; buen reflector

t = 1 ; a ≈ r ≈ 0 ; buen transmisor

a = 1; r ≈ t ≈ 0 ; buen absorbente → Cuerpo Negro

Dichos coeficientes cumplen: r + a + t =1

Por lo tanto, toda la luz que llega a un cuerpo negro es absorbida por éste. Si, además elcuerpo se encuentra en equilibrio térmico, la energía absorbida por el cuerpo es liberadaposteriormente en forma de radiación térmica (Erad). La Ea calienta el cuerpo y ellohace que el cuerpo emita radiación. Para que la radiación emitida se encuentre en elrango del visible la temperatura a la que llegue el cuerpo debe ser suficientementeelevada (∼600 K).

Para un análisis más real, los poderes deberían medirse para cada frecuencia diferente.Por lo tanto, el método más correcto es tomar como variables la frecuencia (ν), y latemperatura (T).

Definimos la radiación térmica

t Se E rad ⋅⋅=

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donde e es el Poder Emisor (W/m2), S la superficie (m2) y t (s) el tiempo. Aunque cadacuerpo tiene diferentes e para cada ν y cada T, se puede hacer una aproximación en quee tenga el mismo valor para cualquier ν y T.e se relaciona con a de la siguiente forma

TR ae

= (E. R. Kirchoff (1824-1887))

donde RT es la Radiancia Total (W/m2) para una cierta temperatura T. Esta relación esuniversal (es la misma para todos los cuerpos). Esta ley implica que los buenosabsorbentes son también los buenos emisores.

El cuerpo negro es el absorbente/emisor perfecto:

e0 = R (a0 = 1)

Ejemplos:

Cobre: 0e

e= 0,04

Hierro:0e

e= 0,70

Madera:0e

e= 0,90

donde e0 es el poder emisor del cuerpo negro.

RT puede ser calculada integrando la Radiancia Espectral o Densidad de RadianciaRT(ν) para todo el espectro de frecuencias.

Ley de Stefan-Boltzmann

4TRT ⋅= σ

σ (constante de Stefan-Boltzmann) = 5,670·10-8 W/m2K4

el estudio práctico (debido a Stefan) se realiza a través de la radiancia y el teórico(realizado por Boltzmann) a través de la densidad de energía almacenada en el cuerpo.

Densidad de Energía, ρρT: Energía por unidad de volumen a una cierta temperatura T.Unidades: J/m3.

R R dT T=∞z ν νb g

0

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4 R T

cTρ=

donde c es la velocidad de la luz, c = λν (λ: longitud de onda). Análogamente al caso dela radiancia podemos escribir:

∫∞

=0

)( ννρρ dTT (ρT(ν ): Densidad de Energía Espectral)

Llegados a este punto, la cuestión fundamental es determinar la función que relacionaρT(ν) con ν y T. Esta cuestión fue tratada ampliamente a finales del siglo XIX-principios del siglo XX.

Primera ley de Wien o Ley del desplazamiento

W.Wien dedujo que la función debía ser de la forma ρT(ν) = ν3·f(ν/T) (1893), aunqueno determinó f(ν/T). Sin embargo, de este modo conseguía reducir el problema a unafunción de una variable (ν/T). Además, dedujo que la función tenía un máximo y que laposición de éste se desplazaba con la temperatura (Ley del desplazamiento de Wien)

kcmT ⋅=⋅ 29,00λ

donde λ0 es la longitud de onda que hace máxima la densidad espectral de energía. Sitenemos en cuenta que ν0 = c/λ0 podemos ver que la posición del máximo de densidaden un diagrama ρT - ν/T se desplaza a la derecha a medida que aumentamos latemperatura del cuerpo.

Segunda ley de Wien

En 1896, W.Wien, en función del comportamiento observado, propuso la siguientefunción

TT

νβ

νανρ−

⋅⋅= l3)(

donde α y β son dos constantes. Comparando con las medidas obtenidasexperimentalmente, se puede observar que los puntos experimentales se ajustan bastantebien a lo que predice la teoría en la parte alta del espectro (Zona de Wien), parafrecuencias tales que ν > ν0, sin embargo existe bastante discrepancia para frecuenciaspor debajo de la frecuencia que hace máxima la densidad de energía(ν0).

Ley de Rayleigh-Jeans

J.H. Jeans y J.W.S. Rayleigh propusieron lo siguiente

TNR

cT 3

28)(

πννρ =

donde NA es el número de Avogadro (=6,022·1023 mol-1 ) y R la Constante de los Gases

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Ideales (= 8,314 J/K·mol). Por otro lado, R/NA = K (Constante de Boltzmann =1,381·10-23 J/K).

Esta ecuación se dedujo mediante la física clásica. Sin embargo no tiene máximo y paraaltas frecuencias diverge, con lo que al integrar se obtiene una densidad de energíainfinita. A este problema se la llamó catástrofe del ultravioleta.Por otro lado, para bajas frecuencias, ν < ν0, la función se ajusta bastante a lo observadopor lo que a esta zona del espectro se la conoce como Zona de Rayleigh-Jeans.

Espectro electromagnético

2.- Ley de Planck.

En octubre de 1900 M.K.E.L.Planck propuso la siguiente fórmula

1

18)(

3

3

−=

KT

hT c υ

πνυρ

l

donde h era una constante universal nueva, la Constante de Planck (h = 6,626·10-34 J·s= 4’1357·10-15 eV·s)

Ésta se ajusta a los valores obtenidos experimentalmente para todo el espectro. Además,las leyes de Wien y Rayleigh-Jeans se pueden obtener de ésta mediante aproximacionespara bajas o altas frecuencias.

En diciembre del mismo año, Max Planck presentó una demostración teórica de esta leyen la cual hacía una polémica suposición que él llamó “acto de desesperación”. Estasuposición consistió en la Hipótesis Cuántica, por la cual establecía que

nhEabsem ⋅⋅= ν

donde el producto hν (Constante de Planck por frecuencia) es conocido como cuantum(o cuanta) de energía, la energía mínima necesaria para que se produzca emisión o

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absorción de radiación. Por otro lado, n determina el grado de la energía o el número decuantums que son absorbidos o emitidos por el cuerpo, es decir, la energía radiativaintercambiada entre un cuerpo negro y su entorno es siempre un múltiplo de hν. Elmodelo que Planck propuso para basar dicha demostración describía el comportamientode un conjunto de partículas cargadas o resonadores que oscilaban entorno a un puntode equilibrio (así es como se describía la materia por aquel entonces). Sin embargo, lanovedad que Planck introdujo fue el hecho de que aquellos resonadores o péndulosdiminutos variaban su energía a saltos (cuantums) en lugar de hacerlo de forma continuacomo establecía la física clásica ( Resonadores de Planck). El hecho de que la energíapudiera ser discreta en lugar de continua representaba una profunda ruptura con laconcepción clásica de la física.

3.- Cuantización.

Interacción Radiación-Materia

Efecto fotoeléctrico: Ocurre para radiación del tipo visible o ultravioleta (hν ∼ 1eV)

En 1887, E.Hertz observó que las descargas eléctricas entre dos electrodos eran másvistosas y se producían más fácilmente si incidía luz ultravioleta en el cátodo.P.E.A.Lenard demostró que esto sucede debido a que la radiación ultravioleta liberaelectrones del metal. A este fenómeno se le llamó efecto fotoeléctrico.

En 1905, A.Einstein propuso una teoría en la que iba más allá de lo que había postuladoPlanck en 1900 al afirmar que la radiación no sólo era emitida de forma cuantizada porelectrones oscilantes en un cuerpo negro, sino que, además, la radiación en si mismaestaba discretizada en paquetes o cuantums de energía E = hνν (que más tarde recibieronel nombre de fotones). De este modo la luz, además de tener propiedades ondulatorias(como ya se había demostrado anteriormente), presentaba propiedades corpusculares.Para apoyar esta teoría y basándose en el trabajo anterior de Lenard, Einstein citó elefecto fotoeléctrico. Según Einstein, en el efecto fotoeléctrico un fotón escompletamente absorbido por un electrón del fotocátodo, el cual, al escapar del metal,tiene una energía cinética que viene dada por

whEcin −= ν

donde w es la Función Trabajo o energía necesaria para liberar un electrón y dependede cada material. De esto se desprende que la energía cinética de los portadores de cargaliberados depende de la frecuencia de los fotones y, por lo tanto, del color de laradiación incidente. Esto contradecía la teoría ondulatoria por la cual la Ecin dependía dela intensidad. Además, existe una frecuencia mínima ν = w/h por debajo de la cual unfotón no tiene la energía necesaria para arrancar un electrón del cátodo.

Las magnitudes que definen un fotón son las siguientes:

Masa en reposo: m = 0

Velocidad: c (en el vacío)

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Energía: ωνε h== h ; π2h

=h

Cantidad de movimiento:c

hp

ν=

Efecto Compton: Ocurre para radiación del tipo rayos X (hν ∼ 1KeV)

A.H.Compton descubrió en 1923 que al hacer incidir rayos X de longitud de onda λ0

conocida sobre grafito aparecían dos picos de dispersión, uno de fotones de longitud deonda λ0 y otro de fotones de longitud de onda λ1, en lugar de uno sólo de λ0 que es loque la teoría clásica predecía. Para explicar este resultado es necesario considerar dosprocesos. En un proceso un fotón choca elásticamente con un electrón cediéndole unapequeña cantidad de su energía. Como consecuencia el fotón dispersado tendrá menorenergía que antes de colisionar y, por lo tanto, una longitud de onda más grande λ1. Larelación entre λ0 y λ1 viene dada por

))(cos1(01 ϑλλλλ −=−=∆ C

donde ∆λ es el corrimiento Compton, λ1 es la longitud de onda del fotón dispersado,λ0 es la longitud de onda del fotón incidente, λC = h/mec = 0,02426 Α es la Longitud deOnda de Compton y me la masa del electrón .

En este proceso hemos considerado que el fotón incidente choca con un electrón libre ocon un electrón cuya energía de enlace es mucho menor que la energía cinética del fotóny por lo tanto queda libre después del choque. Sin embargo, si el electrón está muyfuertemente ligado al átomo el fotón no consigue arrancarlo y, debido a la atracciónnúcleo-electrón, es el átomo entero el que retrocede al colisionar con el fotón. Así pues,se debe considerar que el fotón choca contra todo el átomo, por lo cual debemossubstituir me por la masa atómica M, M >> me. En este caso el corrimiento Compton esmuy pequeño, ∆λ ∼ 0, y los fotones dispersados dan lugar a un pico de dispersión conlongitud de onda prácticamente igual al de los fotones del haz incidente. Este proceso seconoce con el nombre de dispersión Thomson. La mayor o menor intensidad de unpico respecto otro dependerá de la energía (y por lo tanto de la frecuencia y de lalongitud de onda) de los fotones incidentes.

En toda la descripción anterior del efecto Compton hemos considerado la radiaciónelectromagnética como un haz de partículas o fotones, lo que en su tiempo vino aconfirmar el comportamiento corpuscular de la luz. En este experimento se combinabanrelatividad y física cuántica por primera vez lo cual confirmaba de algún modo las dosteorías.

Creación y de Pares: Ocurre para radiación del tipo rayos γ (hν ∼ 1MeV)

Se ha observado que cuando un fotón con una energía suficientemente elevada incidesobre un núcleo, desaparece dando lugar a la creación de un electrón y un positrón(antipartícula que tiene las mismas propiedades que un electrón pero su carga tienesigno opuesto).

El proceso inverso es la aniquilación de pares. En este caso un electrón y un positrón

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inicialmente en reposo se combinan hasta que terminan colapsando el uno contra el otro.Durante esta proceso forman lo que se conoce como positronio, que se comporta deforma parecida al átomo de hidrógeno, y que tiene una vida media de 10-10

segundos. Enla aniquilación se deben formar al menos dos fotones (en algunos casos se forman tres)para no violar la conservación del momento cinético.

Modelos Atómicos

J.J.Thomson (1903)

En el modelo atómico que propuso los electrones se encontraban dentro de unadistribución continua de carga positiva. Por su analogía éste modelo fue conocido como“pastel de pasas” o “sandía”. En átomos excitados los electrones vibrarían alrededor desus posiciones de equilibrio, lo que explicaría, por ejemplo, la radiación emitida por unmaterial el ser calentado. E.Rutherford (1911)

Observó que cuando un haz de partículas α (núcleos de He) incidía en una lámina deoro, algunas partículas se desviaban y otras no. Del análisis de la dispersión observadadedujo que toda la carga positiva del átomo y prácticamente toda su masa se debíanconcentrar en un núcleo situado en el centro del átomo y mucho más pequeño que éste(Modelo Planetario). Las magnitudes atómicas que él predijo se acercan bastante a loobservado (Rátomo ∼ 10-10, Rnúcleo ∼ 10-14).

Modelos espectrales

J.Balmer, en 1885, encontró una fórmula empírica que predecía el comportamiento delas líneas espectrales de emisión observadas hasta entonces en el Hidrógeno:

46,3645

2

2

−=

n

nλ

Con esta fórmula obtenemos la longitud de onda en Amstrongs de las líneas espectralesque se observan para una parte determinada del espectro (serie de Balmer), las cualesvienen determinadas por n (n=3 (Hα), 4 (Hβ), 5 (Hγ), 6 (Hδ)… y así hasta las nueveprimeras líneas de la serie, que eran las que se conocían hasta entonces.).

En 1890, J.R.Rydberg propuso una fórmula más general que la de Balmer

)()(

1bn

R

am

R HH

+−

+=

λ

donde RH = 10967757,6 ± 1,2 m es la Constante de Rydberg para el hidrógeno, a y bdependen del material, y m y n nos definen la línea del espectro que se quiera obtener.

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En el caso del hidrógeno obtenemos la fórmula de Balmer substituyendo a = b = 0, RH =

K4

y m = 2.

Así pues, mediante esta fórmula y haciendo a = b = 0, podemos deducir las series delíneas espectrales del hidrógeno:

Nombres Intervalos de λλ (m,n)

Lyman Ultravioleta m = 1; n = 2,3,4,…

Balmer UV cercano y visible m = 2; n = 3,4,5,…

Pashen Infrarrojo m = 3; n = 4,5,6,…

Brackett Infrarrojo m = 4; n = 5,6,7,…

Pfund Infrarrojo m = 5; n = 6,7,8,…

N.Bohr (1913)

Bohr introdujo un modelo fundamentándose en la estabilidad atómica y de forma queestuviera de acuerdo con ciertos resultados espectroscópicos. Al desarrollar estemodelo, Bohr se basó en las nuevas teorías de interacción radiación-materia y introdujopropiedades cuánticas de manera que su modelo mezcla la física clásica con la física noclásica. Los postulados sobre los cuales se sustenta el modelo de Bohr son lossiguientes:

1. Un electrón se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo bajo la influenciade la atracción de Coulomb entre el electrón y el núcleo, sujetándose a las leyes dela mecánica clásica.

2. En lugar de una infinidad de órbitas que serían posibles en la mecánica clásica,para un electrón sólo es posible moverse en una órbita para la cual su impulsoangular orbital L es un múltiplo entero de h , la constante de Planck dividida entre2π. ( hnL = ; n = 1, 2, 3,…)

3. A pesar de que el electrón se acelera constantemente cuando se mueve en una deestas órbitas permitidas, no radía energía electromagnética. Entonces, su energíatotal E permanece constante.

4. Se emite radiación electromagnética si un electrón, que inicialmente se mueve enuna órbita de energía total Ei , cambia su movimiento de manera discontinua paramoverse en una órbita de energía total Ef . La frecuencia de la radiación emitida ννes igual a la cantidad (Ei - Ef) dividida entre la constante h de Planck.

(h

EE fi −=ν )

Bohr presentó un modelo para el átomo de hidrógeno con la intención de que pudieraaplicarse a átomos más pesados. Aunque para átomos mayores el modelo es demasiadosencillo y se hace necesaria la introducción de correcciones o la aplicación de métodos

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aproximados, para el átomo de hidrógeno e iones o isótopos monoelectrónicos funcionacorrectamente. Algunos resultados para el átomo de hidrógeno que se obtienen medianteeste modelo son los siguientes:

Radio mínimo: rmin ≈ 0,5 fi

Velocidad máxima: vmax ≈ 2·106 m/s

Energía del 1er nivel: E1 ≈ -13,6 eV (energía de ionización)

Reglas de cuantización de Sommerfield

En 1916, Wilson y Sommerfield enunciaron un conjunto de reglas para sistemasperiódicos que generalizaban los diferentes conceptos de cuantización de la energía y elmomento angular de sistemas físicos introducidos hasta entonces.

Para cualquier sistema físico en el cual las coordenadas sean funciones periódicas deltiempo existe una condición cuántica para cada coordenada. Estas condicionescuánticas son

∫ = hndqp qq

donde q es una de las coordenadas, pq es el impulso asociado con esa coordenada, nq

es un número cuántico que toma valores enteros y ∫ significa que la integración se

toma sobre un período de la coordenada q.

Dualidad Universal Onda-Corpúsculo

Postulado de de Broglie

En 1924, L. de Broglie postuló el comportamiento dual onda-partícula de la materia,análogo al comportamiento ya demostrado de la radiación. De Broglie se basaba en lasimetría existente en la naturaleza. Por lo tanto, si la luz presentaba dualidad onda-corpúsculo, era de esperar que ocurriera lo mismo para la materia. De esta forma,podemos considerar una partícula material en movimiento como una onda de materiaque se propaga. Las relaciones entre las magnitudes típicas que describen el movimientocorpuscular (E, p) y las que describen el ondulatorio (ν, λ) son las siguientes

νhE =

λhp =

donde λ = h/p es conocida como longitud de onda de de Broglie de una onda demateria con momento lineal p.

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Principio de Complementariedad

En 1927, Bohr introdujo el Principio de Complementariedad que apoyaba la dualidadonda-corpúsculo como un comportamiento inherente a la naturaleza:

1. Los aspectos ondulatorio y corpuscular forman parte de la física en sí.2. No son excluyentes.3. Son complementarios en el sentido que en algunos casos para explicar la realidad

sirve un modelo y en otros sirve el otro.

Principio de Incertidumbre

El Principio de Incertidumbre de Heisenberg nos da una cota máxima de la precisióncon la que podemos medir dos variables canónicas conjugadas en física cuántica. Segúneste principio en un experimento no se puede conocer simultáneamente el valor exactode una componente del momento lineal y, a la vez, el valor exacto de la coordenada deposición correspondiente. El límite de precisión que el principio establece es elsiguiente

2/h≥∆∆ φφp φ = x, y, z

donde ∆pφ es la incertidumbre en la medida de la componente φ del momento lineal y∆φ es la incertidumbre en la coordenada φ. El principio también se puede aplicar para Ey t

2/h≥∆∆ tE

donde ∆E es la incertidumbre en la energía de un sistema y ∆t es el tiempo característicode un estado del sistema o su vida media.

El Principio de Incertidumbre no tiene en cuenta la precisión instrumental o laindeterminación propia del experimento con el que se pretenden medir las propiedadesde un sistema (las cuales, en un caso ideal podemos tomar tan pequeñas comoqueramos) sino que se fundamenta en el hecho de que al observar un sistema lo estamosperturbando. Por ejemplo, suponiendo que se tuviera un equipo tan preciso que sepudiera medir la coordenada x de un cuerpo de forma totalmente exacta, ∆x = 0,entonces no se podría conocer de forma simultánea la componente x del momentolineal, px, ya que su indeterminación sería infinita, ∆px = ∞, independientemente de laprecisión instrumental que se tuviera para medir las componentes de p. Por otra parte, elPrincipio de Incertidumbre de Heisenberg se desprende de forma natural de losconceptos sobre el comportamiento ondulatorio de la materia y la radiación introducidospor Einstein y de Broglie.

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Mecánica Cuántica

Erwing Schrödinger, en 1925, elaboró su teoría de la mecánica cuántica, la cualgeneralizaba lo establecido por de Broglie anteriormente y le daba consistencia. Todo lorelativo a la física cuántica realizado hasta entonces recibe el nombre de teoríacuántica antigua y, aunque había dado muy buenos resultados y todavía hoy en día seusa como una aproximación bastante precisa, lo cierto es que padecía algunos puntosdébiles y limitaciones que con la nueva teoría desaparecieron. La ecuación deSchrödinger para una partícula o sistema sometido a una fuerza con un potencial V(x,t)es:

ttx

itxtxVx

txm ∂

Ψ∂=Ψ+

∂Ψ∂

−),(

),(),(),(

2 2

22

hh

donde ψ(x,t) es la función de onda de la partícula o del sistema físico. Las funciones deonda que son solución de la ecuación reciben el nombre de funciones propias. Se tratade una ecuación diferencial parcial de segundo orden. En este caso está escrita para elcaso unidimensional pero se puede generalizar para más dimensiones. Análogamente a

la física clásica tenemos que 222

22 )( P

xi

x=

∂∂

−=∂∂

− hh , donde P es el operador

momento lineal, y Et

i =∂∂

h donde E es el operador energía.

Si el potencial no depende del tiempo, por separación de variables, )()(),( txtx ϕφ=Ψ ,podemos escribir la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

)()()()(

2 2

22

xExxVdx

xdm

φφφ

=+−h

donde E son los valores propios de la energía.

En el caso de que para una partícula concreta se cumpla que E < | V | tendremos que lapartícula ocupa estados ligados y solo algunos valores de E están permitidos por lo quela energía está cuantizada (Espectro Discreto). Cuando ocurre lo contrario E puedetomar cualquier valor por encima de | V | (Espectro Continuo).

Por otro lado, a diferencia de la mecánica clásica o del electromagnetismo, en mecánicacuántica las funciones de onda son complejas. Esto podría suponer un problema ya quela parte imaginaria de la función de onda no tiene significado físico. Sin embargo,aunque las funciones de onda contienen toda la información de un sistema que elPrincipio de Incertidumbre nos permite conocer, no representan magnitudes físicas quese puedan medir. La información física medible del sistema nos la da la densidad deprobabilidad, P(x,t)=ψ*(x,t) ψ(x,t) (donde ψ*(x,t) es el complejo conjugado de ψ(x,t).M.Born, en 1926, postuló esta relación de la siguiente manera

Si en el instante t se realiza una medición para localizar a la partícula asociada con lafunción de onda ψ*(x,t) entonces la probabilidad P(x,t)dx de encontrar a la partículaen una coordenada entre x y x+dx es igual a ψ*(x,t) ψ(x,t)dx.

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Por lo tanto, en mecánica cuántica, dada la imposibilidad de poder predecir de formadeterminista el resultado de un experimento, es necesario recurrir a la estadística paracalcular probabilidades y valores promedio. Por ejemplo, dada una magnitud física Fque relacionamos con el operador F(x,p,t), su valor promedio <F(x,p,t)> se calcularía dela siguiente forma

∫+∞

∞−

Ψ∂∂

−Ψ>=< dxtxtx

ixFtxtpxF ),(),,(),(*),,( h

∫+∞

∞−

=ΨΨ 1),(),(* dxtxtx (densidad de probabilidad normalizada)

La desviación típica se calcularía de la siguiente forma

22(),,( ><−><=∆ FFtpxF

Degeneración

En mecánica cuántica degeneración es el fenómeno que ocurre cuando dos o másfunciones propias (o estados propios) de un operador (momento lineal, energía,posición,…) comparten el mismo valor propio. En el caso de la ecuación deSchrödinger, por ejemplo, tendríamos degeneración si dos o más funciones de onda quefuesen solución de la ecuación tuvieran el mismo valor de la energía E. A las funcionespropias que presentan esta peculiaridad se las conoce como funciones propiasdegeneradas.

Momento Angular Intrínseco o de Spin

En 1922, Otto Stern y Walter Gerlach observaron como un haz de átomos de plata sedesdoblaba en dos componentes discretas al cruzar un campo magnético no uniforme.Una componente se desviaba en la dirección y el sentido del campo magnético aplicadomientras que la otra componente hacía lo propio en sentido opuesto. Como los átomosson neutros, la única componente de la fuerza que debía actuar sobre ellos era laparalela al campo aplicado (en este caso escogemos la dirección z de forma arbitraria),fruto de la interacción entre la intensidad magnética y el momento dipolarmagnético µ

r,

zz

z z

BF µ

∂∂

=

(donde µz es la componente del momento dipolar magnético paralela al campo).Según la mecánica clásica se debería obtener una distribución continua en función delmomento dipolar. Sin embargo se obtenían resultados discretos con lo cual seconfirmaba la cuantización.

Por otro lado, el momento dipolar magnético depende del momento angularorbital al considerar la órbita electrónica de los átomos como una espira por donde

19

circula una cierta intensidad. En el caso del experimento Stern-Gerlach la únicacontribución era la de la componente del momento angular en la dirección de lacoordenada z, que para los electrones atómicos está relacionada con el número cuánticoml = -l,-l+1,…,0,…,l-1,l (el número cuántico l está relacionado con el cuadrado delmomento angular), el cual puede tomar un número de valores que siempre debe serimpar. Además, el número atómico de la plata es 47 con lo que su último orbital es s (l= 0) por lo que ml solo puede valer 0. Si se hace la aproximación que, debido alapantallamiento de las capas de electrones inferiores con el núcleo, el único electrón quecontribuye a la interacción con el campo magnético es el del último orbital, se esperaríaque los electrones no se desviaran. Sin embargo como ya hemos dicho, el haz deflectadose desdobla en dos componentes. Este hecho fue confirmado por Philipps y Taylor(1927) quienes repitieron el experimento con átomos de hidrógeno, los cuales tienen unúnico electrón que en su estado fundamental (esto se consigue con temperaturasrelativamente bajas) se encuentra en un orbital s (l = 0, ml = 0).

Estas inconsistencias con los resultados esperados fueron superadas en 1925,cuando Samuel A. Goudsmit y George E. Uhlenbeck postularon la existencia de unmomento angular intrínseco que llamaron spin. El spin se suele presentar como unmomento angular asociado al giro constante del electrón sobre su propio eje, sinembargo está visión es inconsistente con la física por lo que el spin debe entendersecomo una propiedad puramente cuántica, característica de las partículas microscópicas,que no tiene análogo en la física clásica. Su relación con la componente z del momentomagnético dipolar es la siguiente

sBssz mg µµ −=

donde gs es el factor g de spin (que para el electrón se ha comprobado

experimentalmente que vale 2), 22310927,02

mAm

eB ⋅⋅== −h

µ recibe el nombre de

magnetón de Bohr y ms es el valor propio de la componente z del momento angular despin y toma los valores -s,-s+1,…,0…,s-1,s, donde s es el spin asociado a una partícula(para el electrón s = 1/2 ; ms = ±1/2). De esto se desprende que el incremento de energíapotencial de orientación dipolar que reciben las componentes desdobladas de un haz enun experimento Stern-Gerlach, viene dado por

2zBs

zszs

BgBBE

µµµ ±=−=⋅−=∆

rr

El spin es un propiedad que poseen las partículas a escala microscópica y que afecta alas propiedades de éstas, pero no tiene equivalente clásico por lo que hay que entenderlocomo un fenómeno exclusivo de la física cuántica.

20

Física Nuclear y de Partículas

1.- El modelo estándar.

Proporciona una teoría coherente de las interacciones fundamentales, válida para lasinteracciones electromagnética, débil y fuerte. Ordena, además, la profusión existente dehadrones (partículas elementales que experimentan la interacción fuerte)

Modelo Estándar de la Física de Partículas

Primera generación Segunda generación Tercera generación

QUARKS

u (Up)d (Down)

c (Charm)s (Strange)

t (Top/True)b (Bottom/Beauty)

LEPTONES

ννe (Neutrino electrónico)e (Electrón)

ννµµ (Neutrino Muónico)µµ (Muón)

ννττ (Neutrino Tauónico)ττ (Tauón)

FUERZAS

BOSONES GAUGE

ElectromagnetismoInteracción DébilInteracción FuerteGravedad

γγ (Fotón)W- W+ Z0

Ocho GluonesGravitón ?

Interacciones Fundamentales de la Naturaleza

Según el modelo estándar a cada interacción fundamental le corresponden una o variaspartículas bosónicas o bosones (partículas con spin entero). Estas partículas son losquantums de energía que constituyen los campos causantes de dichas interacciones. Lascuatro fuerzas de la naturaleza son las siguientes:

Electromagnética: De alcance infinito. Su bosón gauge es el fotón, γ (spin = 1). Es laresponsable de la electricidad y el magnetismo.

Nuclear Débil: De alcance finito ∆x ≈ 2·10-3 fm. Sus bosones gauge son las partículasW+, W-, Z0 (spin = 1). Es la responsable de las desintegraciones nucleares del tipo β. (Suunificación con la electromagnética da lugar a la interacción electrodébil)

Nuclear Fuerte: De alcance infinito. Su bosón gauge es al gluón (spin =1). Es la

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responsable de que los nucleones permanezcan unidos.

Gravitatoria: De alcance infinito. Su bosón gauge es el gravitón pero aún no se haencontrado y es objeto de controversia. Es la responsable de las órbitas celestes.

Las leyes de conservación para el electromagnetismo, la interacción débil y lainteracción fuerte son:

Cantidad conservada Fuerte Electro-magnética Débil

Energía Sí Sí SíMomento Lineal Sí Sí SíMomento Angular Sí Sí SíCarga Sí Sí SíNúmero Leptónico Electrónico Sí Sí SíNúmero Leptónico Muónico Sí Sí SíNúmero Leptónico Tauónico Sí Sí SíNúmero Bariónico Sí Sí SíIsospín Sí No No1

Componente z del Isospín Sí Sí No2

Paridad Sí Sí No*C-Paridad o Conjugación de Carga Sí Sí No*

Color No Sí Sí

Sabor Sí Sí No

Inversión temporal Sí Sí Sí *

1 (∆I = ½ Para no leptónicos)

2 (∆Iz = ½ Para no leptónicos)

* (Excepto por la violación poco frecuente en el decaimiento lento del sistema K0, 0Κ )

Partículas Elementales

Según el modelo estándar, la materia ordinaria está formada por fermiones elementales(spin semientero). Hay dos tipos de fermiones elementales, los leptones y los quarks.Estos últimos, en la naturaleza, se encuentran formando partículas más complejasllamadas hadrones. Los hadrones, a su vez, se clasifican en mesones (un quark y unantiquark) y bariones (tres quarks). A éstas, les hemos de sumar sus correspondientesantipartículas (partículas idénticas con igual masa y spin pero con la carga eléctrica designo opuesto).

En la siguiente tabla aparecen descritas algunas de las propiedades del fotón, de losleptones y algunos hadrones:

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Nombre SímboloMasa enreposo

(MeV/c2)

Tiempode vida

media(s)Carga Q Spin s

Númeroleptónico

Le

Númeroleptónico

Lu

NúmeroLeptónic

o Lττ

Númerobariónico

B

ParidadP

Comp. Zdel

isospín Iz

Fotón γ 0 ∞ 0 1 0 0 0 0 - 0

νe ¿0? ∞ 0 ½ +1 0 0 0 - 0

νµ ¿0? ¿∞? 0 ½ 0 +1 0 0 - 0

ντ ¿0? ¿∞? 0 ½ 0 0 0 0 - 0

e- 0,511 ∞ -1 ½ +1 0 0 0 - 0

µ- 105,7 2,2·10-6 -1 ½ 0 +1 0 0 - 0

Leptones

τ- 1777 291·10-15 -1 ½ 0 0 +1 0 - 0

Π+ 139,6 2,6·10-8 +1 0 0 0 0 0 Impar +1

Π0 135 0,9·10-16 0 0 0 0 0 0 Impar 0

Π- 139,6 2,6·10-8 -1 0 0 0 0 0 Impar -1

Κ+ 493,8 1,2·10-8 +1 0 0 0 0 0 Impar +½

Κ0 497,8 8,6·10-11 0 0 0 0 0 0 Impar -½0Κ 497,8 5,2·10-8 0 0 0 0 0 0 Impar +½

Κ- 493,8 1,2·10-8 -1 0 0 0 0 0 Impar -½

η0 549 2,5·10-19 0 0 0 0 0 0 Impar 0

Mesones

η| 958 >10-21 0 0 0 0 0 0 Impar 0

p 938,3 ∞ +1 ½ 0 0 0 1 Par +½

n 939,6 930 0 ½ 0 0 0 +1 Par -½

Λ0 1116 2,5·10-10 0 ½ 0 0 0 +1 Par 0

Σ+ 1189 8,0·10-11 +1 ½ 0 0 0 +1 Par 1

Σ0 1192 >10-14 0 ½ 0 0 0 +1 Par 0

Σ- 1197 1,5·10-10 -1 ½ 0 0 0 +1 Par -1

Ξ0 1315 3,0·10-10 0 ½ 0 0 0 +1 Par +½

Ξ- 1321 1,7·10-10 -1 ½ 0 0 0 +1 Par -½

Bariones

Ω- 1672 1,3·10-10 -1 ½ 0 0 0 +1 Par 0

Según el Modelo Estándar, toda la materia que observamos está hecha de seis quarks yseis leptones. Estos quarks y leptones se agrupan en tres familias o generaciones decuatro miembros cada una. Los quarks más ligeros, denominados "arriba" (up) y "abajo"(down) junto con el conocido electrón y su neutrino forman la primera generación. Elquark "extraño" (strange) y el quark "encanto" (charm), que son un poco más pesadosque los anteriores, forman junto con el muón y su neutrino la segunda familia;finalmente el quark "belleza" (beauty) junto con el recientemente observado quark"verdad" (truth) y el leptón tau y su neutrino constituyen la tercera y aún incompletafamilia, pues de la existencia del neutrino del leptón tau sólo se tienen pruebasindirectas. Al nombre que recibe cada tipo de quark se le conoce como sabor.

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Quark QCarga

BNúmero

Bariónico

S‘Strangeness’

C‘Charm’

B~

‘Beauty’

T‘Truth’

D -1/3 1/3 0 0 0 0U 2/3 1/3 0 0 0 0S -1/3 1/3 -1 0 0 0C 2/3 1/3 0 1 0 0B -1/3 1/3 0 0 -1 0T 2/3 1/3 0 0 0 1

2.- Números Cuánticos.

Por un lado, a los leptones se les asocia un número leptónico ligado a cada generación.Los leptones de una generación tienen un valor del número leptónico de su generaciónigual a 1, mientras que para sus antipartículas este número vale –1, y tienen valoresnulos para los números leptónicos de las otras dos generaciones.

Para los hadrones se define la extrañeza como S = [N(s)-N(s)], donde N(s) es el númerode quarks extraños presentes en un hadrón o en una reacción y N(s) es el número dequarks no extraños. Análogamente podemos definir encanto, C, verdad, T, o belleza,B~

. Se define número bariónico como B = [N(q)-N(q)]/3 donde N(q) es el número dequarks y N(q) es el número de antiquarks. Usando estos números podemos definirtambién la carga, Q = 2[Nu+C+T]/3 – [Nd+S+B]/3 donde Nu y Nd son el número dequarks “arriba” y “abajo”, respectivamente, y se pueden calcular de forma análoga a S.

Para las partículas elementales se establece, además, una nueva simetría (que no esexacta): el isospín. El isospín es una magnitud que se comporta igual que el spin. Laspartículas con la misma paridad, S, B, C, B

~, T y diferente carga reciben el nombre de

multipletes de isospín (tienen igual isospín I pero difieren en la tercera componente deéste Iz). Se define la hipercarga como

Y = B + S + C + B~

+ T

Y con ella se puede definir la 3ª componente del isospín

Iz = Q – Y/2

También podemos definir el isospín para núcleos atómicos de masa A, número atómicoZ y N = A – Z de la siguiente manera

Iz = (Z – N)/2

La interacción débil viola la simetría del isospín. Lo mismo pasa con la paridad (paridadde las funciones de onda de las partículas) o con la c-paridad (paridad respecto lasubstitución de una partícula por su antipartícula.

La interacción fuerte, en cambio, no conserva la carga de color o color de los quarks.

24

Todos los quarks pueden estar en uno de los tres estados de color: azul (b), verde (g) orojo (r). Los gluones de la interacción fuerte mantienen confinadas las cargas de colorde manera que nunca aparecen cargas del mismo color juntas. En un barión, porejemplo, los tres quarks tendrán colores diferentes de manera que la carga de colorresultante será nula (los tres colores juntos, así como el color de una partícula y suantipartícula, se anulan).

3.- Reacciones Nucleares.

Procesos Nucleares

Los núcleos están compuestos por protones y neutrones, que se mantienen unidos por ladenominada fuerza fuerte. Algunos núcleos tienen una combinación de protones yneutrones que no conducen a una configuración estable. Estos núcleos son inestables oradiactivos. Los núcleos inestables tienden a aproximarse a la configuración estableemitiendo ciertas partículas.

Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencialdecreciente. Si N0 es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después deun cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes N se ha reducido a

t)(-0eNN λ=

donde λ es una característica de la sustancia radiactiva denominada constante dedesintegración.

Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo de tiempo fijo Τ1/2, denominadosemivida o periodo de semidesintegración, durante el cual el número de núcleos quehabía al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación N=N0/2 se obtiene

2ln2ln

2

1 ⋅== τλ

T

donde definimos τ como vida media.

La ley de desintegración puede deducirse del siguiente modo: si λ es la probabilidad de

T

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desintegración por unidad de tiempo, la probabilidad de que un núcleo se desintegre enun tiempo dt es λ·dt. Si hay N núcleos presentes, en el tiempo dt podemos esperar quese desintegren (λdt)N núcleos. Por tanto, podemos escribir

El signo menos aparece por que N disminuye con el tiempo a consecuencia de ladesintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente.

N0 es el número inicial de núcleos radioactivos presentes en el instante t = 0.

Los tipos de desintegración radiactiva se clasifican de acuerdo a la clase de partículasemitidas.

Desintegración αα

El elemento radiactivo de número atómico Z, emite un núcleo de Helio (dos protones ydos neutrones), el número atómico disminuye en dos unidades y el número másico A encuatro unidades, produciéndose un nuevo elemento situado en el lugar Z-2 de la TablaPeriódica.

)2,4()2,4(),( +−−→ ZAZA

Desintegración ββ

Esta desintegración tiene dos tipos de variantes.

Desintegración β-: El núcleo del elemento radiactivo emite un electrón, enconsecuencia, su número atómico aumenta en una unidad, pero el número másico no sealtera. El nuevo elemento producido se encuentra el lugar Z+1 de la Tabla Periódica.

eepn ν++→ −

eeZAZA ν+++→ −)1,(),(

Desintegración β+: El núcleo del elemento radiactivo emite un positrón, enconsecuencia, su número atómico disminuye en una unidad, pero el número másico nose altera. El nuevo elemento producido se encuentra el lugar Z-1 de la Tabla Periódica.

eenp ν++→ +

eeZAZA ν++−→ +)1,(),(

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Desintegración γγ

El núcleo del elemento radiactivo emite un fotón de alta energía (∼MeV), la masa y elnúmero atómico no cambian, solamente ocurre un reajuste de los niveles de energíaocupados por los nucleones.

γ+→ ),(),( ZAZA

Captura electrónica

El núcleo del átomo captura un electrón y emite, a continuación, un neutrinoelectrónico. Es un proceso alternativo a una desintegración β+. Si en un átomo esposible una desintegración β+ también será posible un proceso de CA, pero no al revés.

enep ν+→+ −

eZAeZA ν+−→+ − )1,(),(

Fusión y Fisión

El principio físico de las reacciones de fisión y fusión se explica a partir de la energía deenlace por nucleón en función del número másico A del núcleo. Los núcleos con unaenergía de enlace mayor, 50 < A < 90, son los más estables. Si un núcleo muy pesado serompe en dos (fisión), el estado inicial tiene más masa que el estado final, este excesode masa se desprende en forma de energía según la fórmula E=mc2. Lo mismo ocurrecuando dos núcleos ligeros se unen (fusión)

Figura 1 Energía de enlace por nucleón en función del número másico. Fuente:

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CIEMAT

FisiónCuando un núcleo de Uranio 235 es bombardeado con neutrones, aún de baja energía, seproduce una violenta inestabilidad que hace que el núcleo se divida en dos fragmentosaproximadamente iguales. Una reacción nuclear en cadena es posible porque, aparte delos dos fragmentos liberados, se emiten neutrones y en este caso particular del Uranio235 los neutrones son suficientes como para causar una nueva fisión. Con otros núcleoses frecuente utilizar gran cantidad de energía para producir la fisión. Por ejemploelementos tal como el radio o el bismuto necesitan ser bombardeados con partículas alfade gran energía (40 Mev). En el otro extremo el Californio 252 (elemento fabricado porle hombre) produce fisión espontáneamente y no se necesita del bombardeo deneutrones. El Californio 252 también emite neutrones durante la fisión.

Fusión

Para que los núcleos cargados positivamente superen la repulsión electrostática queexiste entre ellos y se acerquen lo suficiente como para producir reacciones de fusión aun ritmo adecuado se necesitan temperaturas del orden de los 100 millones de grados. Aesta temperatura los electrones se separan del núcleo y como resultado se tiene unplasma con los electrones e iones moviéndose independientemente a gran velocidad.

Desde el punto de vista de operación de un primer reactor de fusión, la reacción másinteresante es la del deuterio 2D y tritio 3T (D-T)

El deuterio y el tritio son dos isótopos del hidrógeno. El deuterio es estable y muyabundante en el agua. El tritio es radioactivo y no existe en la naturaleza pero puedeproducirse a gran escala mediante la irradiación de litio con neutrones. El principalproducto de esta reacción de fusión es el helio que no es radioactivo, aunque el neutrónproducido a elevadas energías puede activar los materiales que envuelven el reactor. Lascondiciones para obtener un importante ritmo de fusión D-T son las más fáciles deconseguir, los reactantes deben tener una energía cinética de unos 10 keV(correspondiente a una temperatura ligeramente superior a 100 millones de K).

Existen otras reacciones posibles, pero las condiciones necesarias para que se produzcanson más exigentes que la reacción D-T, por eso se contemplan como las reacciones delos reactores de segunda generación. La reacción deuterio-deuterio (D-D)

tiene la ventaja de no utilizar tritio y de no producir neutrones de alta energía, pero latemperatura necesaria para que la sección eficaz sea significativa es 10 veces mayor quela necesaria para la reacción D-T. La reacción deuterio-helio 3 (D-3He)

28

es muy interesante porque no produce ni tritio ni neutrones. La elevada energía delprotón puede recuperarse por conversión directa a energía eléctrica, con eficiencias del80%. Los principales inconvenientes son la elevada temperatura necesaria, sobre los 50keV, y la escasez de 3He en la Tierra, aunque es posible obtenerlo en la luna.

29

Bloque II:Astrofísica y Cosmología

30

Física Estelar

1.- Protoestrellas.

El proceso de formación estelar aún no está bien comprendido debidofundamentalmente a dos razones:

• Las estrellas en los primeros estadios de formación son poco luminosas ydifíciles de observar.

• Emiten luz que se concentra en intervalos de radio e infrarrojo, con lo que nose han podido observar hasta hace 20 años (que es cuando aparecieronnuevos telescopios y satélites artificiales especializados para esasfrecuencias).

También existen hechos como los brotes masivos de formación estelar, que se dan enalgunas galaxias y que aún no se han podido explicar.En nuestra galaxia, cada año, aproximadamente una masa solar de gas y polvo seconvierte en nuevas estrellas.

Una estrella, a grandes rasgos, se forma a partir de una nube de gas y polvo quecomienza un proceso de contracción a causa de:

• Inestabilidades gravitatorias internas.• Explosión de alguna supernova cercana.

El gas, o disco protoestelar, es en su composición un 80% H y un 20% He,aproximadamente. Eso sí, existen trazas de otros muchos elementos y/o compuestosmás complejos (denominados de forma genérica metales) que en su totalidadrepresentan bastante menos de un 1%. Esta composición es en realidad muy similar a lacomposición general del propio universo.

Cuando el gas comienza a contraerse se forma un núcleo en el que la temperaturacomienza a aumentar. Este proceso continua hasta que la temperatura en el núcleo essuficiente como para iniciar y sostener la reacción de fusión del H que da lugar He. Estoocurre a una temperatura del orden de 106 K. En ese momento las reacciones de fusiónson capaces de sostener el peso del gas que se contrae. Así una estrella es, en realidad,un delicado equilibrio entre la presión de radiación de las fusiones nucleares (quetienden a deshacerla) y la fuerza gravitatoria (que tiene a contraerla).

La masa mínima para formar una estrella es de 0.05 – 0.08·Msol. Júpiter tiene0.001·Msol, así si tan sólo hubiera sido aproximadamente un orden de magnitud másmasivo habríamos tenido un sistema estelar doble y, probablemente, la vida no sehubiera podido desarrollar en la Tierra.

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2.- Estructura interna.

Una estrella se basa principalmente en el equilibrio hidrostático, es decir, no puedenexistir aceleraciones notables en la masa estelar. Esto significa que en un elemento demasa dado todas las fuerzas que actúan sobre él se compensan.Una estrella tiene una estructura interna que varía en función del estadio evolutivo en elque se encuentre. En el caso del Sol se puede dividir en cinco partes principales:

• NúcleoDepende de la estrella, pero suele rondar los 107 K de temperatura. Es donde seproducen las reacciones de fusión que aguantan la estrella e impiden quecolapse.

H + H → He + γ

• Zona RadiativaZona en la que los fotones generados en el núcleo interaccionan con la materiaestelar, perdiendo energía (hasta hacerse visible, sea absorbido o dispersado).Recorrido libre medio de los fotones es de 1-2 cm. Pueden tardar hasta 2millones de años en lograr salir del Sol.

• Zona ConvectivaZona en la que el material caliente asciende y transmite energía al entorno,calentándolo. Una vez se ha enfriado, se hunde. (Granulación solar,Supergránulos y celdas de convección).

• FotosferaEs lo que vemos al mirar el Sol (u otra estrella). Es donde los fotones se liberany donde se forma el espectro de la estrella, que nos proporciona informaciónsobre:

1. Temperatura superficial (Sol: 5800 K)2. Composición química.3. Gravedad superficial.4. Campos magnéticos.5. Velocidad de rotación.6. Turbulencias.

• CromosferaCentenares de veces menos luminosa que la fotosfera, la cromosfera es una capade la atmósfera estelar en la que hay material ionizado y la temperatura (virtual)asciende a 104 K.

• CoronaEs un millón de veces menos luminosa que la fotosfera, no tiene forma regular yes un indicador de la actividad estelar. Aunque aún no se conoce bien laconexión.

Entre la cromosfera y la corona se producen intercambios de materia a través delas protuberancias.

32

3.- Clasificación.

Existen diferentes métodos de clasificación en función de las diversas característicasfísicas de las estrellas, pero las dos más comunes son:

• Clasificación espectral (de Harvard).

Basada en las líneas de Balmer de H, He neutro, Fe neutro, doblete H y K delCa, bandas de TiO.

Oh, Be A Fine Girl, Kiss Me

O B A F G K MTempranas TardíasCalientes Frías

TIPO TEMPERATURA COLOR ABUNDACIA OTROS

O 30.000 Azul < 1 º/oo Elementos muy ionizados.

B 11.000 – 20.000Blanco –Azulado

1 º/oo Rigel, Spiga

A 7.500 – 11.000 Blanco 6 º/oo Sirio, Vega

F 6.000 – 7.500 Cremoso 1 % Líneas metálicas

G 5.000 – 6.000 Amarillo 10 %Sol. Metales neutros. Bandas

moleculares.

K 3.500 – 5.000 Naranja 40 % Arturo, Aldebarán. At. neutros

M 2.200 – 3.500 Rojo 50 % Antares, Betelgeuse.

Esto responde al 99.5 % de todas las estrellas de la galaxia.

• Clasificación MK.

También se clasifican según su luminosidad. Es la clasificación en clases deluminosidad o, también llamada, de Morgan-Kinan.

CLASE DESCRIPCIÓNI SupergigantesII Gigantes brillantesIII GigantesIV SubgigantesV Secuencia principalVI Subenanas brillantesVII Enanas blancas

33

La vida de una estrella depende drásticamente de su masa inicial. La siguiente tablamuestra la vida media de una estrella y su posible final, en función de su masa.

MASA ETAPA FINAL COMENTARIOS

M < 0.08 Enana Marrón No llega a combustionar H.

0.08 ≤ M ≤ 0.26 Enana BlancaConvectivas. Permanecen homogéneas. Evoluciónmuy lenta. Convierten todo el H en He.

0.26 < M < 1.5Nebulosa planetaria con

Enana BlancaPasa por Fase gigante gaseosa. Produce el Flash delHelio.

3 ≤ M < 15 SupernovaNúcleo de carbono degenerado. Produce el Flash delCarbono.

M ≥ 15Supernova con Agujero

Negro o Estrella deNeutrones

Núcleo de hierro rodeado de capas de combustión.

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Ecuación de Equilibrio Hidrostático

Muchas estrellas permanecen de forma evidente en fases de muy largaduración a lo largo de su evolución. La materia estelar no sufre grandesaceleraciones, lo que significa que para un elemento de masa dado, todas lasfuerzas que actúan sobre éste se compensan las unas a las otras. Este tipo deequilibrio mecánico se denomina “Equilibrio Hidrostático”, ya que este mismoprincipio es el que gobierna la presión estratificación en, por ejemplo, una balsade agua.Como aproximaciones consideramos estrellas gaseosas, sin rotación, sincampos magnéticos y sin ningún tipo de compañeros cercanos. De esta formalas únicas fuerzas a considerar son la de la gravedad y la debida al gradiente depresión.

Como hablamos de presiones, usaremos la 2ª ley de Newton por unidad desuperficie.

2

2

dt

rdSm

S

F

i

i ⋅=∑

Trabajando para un elemento de masa dm y una cáscara esférica de grosor dr,obtenemos:

frad = drdrdP

⋅−

El signo viene para compensar el que si r aumenta la presión disminuye, por loque la derivada es negativa, mientras que la f resultante ha de ser positiva.

fgra = 2

2

4 rr

dmmG

π

⋅⋅−

Substituyendo (2) y (3) en (1), obtenemos:

2

2

24 44 dt

rd

r

dmdr

drdP

r

dmGm⋅=−

⋅−ππ

Como lo que queremos es el equilibrio hidrostático, no pueden haberaceleraciones, así las derivada de segundo orden de r respecto el tiempo ha deser 0. Con lo que queda:

drdm

r

GmdrdP

⋅−

=44π

(1)

(2)

(3)

(4)

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Solo nos queda saber como varía m con r. Pero es sencillo ya que basta conevaluar la masa que hay en nuestra cáscara de material.

m = ρ·V

dm = ρ · dV

dm = ρ · 4πr2dr

ρπ 24 rdrdm

=

Substituyendo (5) en (4) llegamos al resultado final:

ρ⋅−

=2r

GmdrdP

Donde se ve claramente el equilibrio entre las dos fuerzas.Esta es la forma Euleriana de describir el equilibrio hidrostático (i.e. con r comovariable independiente). Si tomamos m como variable independiente, en lugarde r obtenemos la condición de equilibrio hidrostático en la formulación

Lagrangiana multiplicando (6) por ∂ ∂ = ⋅−

r m r4 2 1π ρc h :

∂∂

= −Pm

Gmr4 4π

(5)

(6)

36

Ecuaciones de Friedmann

Los modelos FRW consideran la distribución de energía como un fluido perfecto.Esencialmente todos los fluidos perfectos de relevancia en cosmología obedecen unaecuación de estado del tipo,

p = wρ

donde w es una constante independiente del tiempo.Resolviendo las ecuaciones de Einstein para un fluido perfecto obtenemos,

χρ ε

χε

= +

=−

−+

3

2

22

2

2

aa

pa

aa

a

( & )

&& &

A partir de (1) y sumándole tres veces (2) obtenemos,

χ ρ + =−

36

pa

ab g &&

Que recibe el nombre de ecuación de Raychaudhuri, para los modelos FRW.Sumando (1) y (2) obtenemos,

χ ρ ε( ) ( & )&&

+ = + −pa

aa

a2 2

22

Y derivando (1) respecto al tiempo:

χρ ε& &( & )&

&&=−

+ +6 63

22a

a aa

aa

Así, a partir de (4) y (5) obtenemos,

&&

ρ ρ= − +3 paa

b g

La ecuación (6) también se obtiene directamente de imponer la conservación de laenergía ( ∇ =µ

µT0 0 ).

Toda la información está en las ecuaciones (1) y (2), y también en (1) y (6). Se puedeprobar que (2) es deducible a partir de (1) y (6):

(1) • (5) (4) (2)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(6) (1)

37

Así, a las ecuaciones (1), (3) y (6) se les llama Leyes de Friedmann, a pesar de quesólo dos son linealmente independientes:

&&

ρ ρ= − +3 paa

b gχ ρ + =

−3

6p

aa

b g &&

χρε

=+3 2

2

&a

a

c h

Donde ε es el llamado índice de curvatura, que puede tomar los valores –1, 0 y 1según se trate del caso abierto, plano o cerrado respectivamente.

38

Derivación clásica de las Ecuaciones de Friedmann

La ecuación de Friedmann describe la expansión del universo, por lo que se trata de unaecuación muy importante en Cosmología. Una tarea rutinaria para cualquier cosmólogoes la de resolver esta ecuación haciendo uso de diferentes parámetros y condicionesreferentes al material que contiene el Universo.

Para deducirla consideraremos un observador que está en un medio, con una densidadde masa ρ, en expansión uniforme. Como el Universo aparece igual en cualquier partepodemos considerar que el centro de éste es un punto cualquiera.Ahora imaginemos una partícula de masa m a distancia r de este centro. Esta partícula,sólo notará la fuerza gravitatoria debida al material que se encuentra a un radio menor.Así ese material tendrá una masa total M r= 4 33πρ , con lo que contribuirá con unafuerza de:

FGMm

rG rm

= =2

43

π ρ

Con lo que nuestra partícula tendrá una energía potencial,

VGMm

rG r m

= − = −4

3

2π ρ

Mientras que su energía cinética será,

T mr=12

2&

Ahora bien, podemos aplicar la conservación de energía y decir que la suma de energíapotencial y cinética de la partícula es una constante U (que no tiene porque ser la mismapara todas las partículas). Así,

U T V mr G r m= + = −12

43

2 2&π

ρ

Esta ecuación nos da la evolución de la separación r entre dos partículas cualquiera.

Ahora viene el punto crucial de este argumento. La clave está en recordar que elUniverso es homogéneo, lo cual quiere decir que todo lo derivado hasta ahora es válidopara cualquiera de los dos puntos, el central o el que está a distancia r. Esto nos permitecambiar a un sistema de coordenadas diferente, denominado sistema de coordenadascomóviles. Estas coordenadas, simplemente, están ligadas a la propia expansión delmedio. Como la expansión es uniforme, la relación entre la distancia real

rr y la

distancia comóvil, que llamaremos rx , se puede escribir de la siguiente manera:

r rr a t x= ( )

(1)

(2)

39

Donde la propiedad de homogeneidad nos asegura que a es una función que tan sólodepende de t. Una forma de visualizar esto es pensar en unas coordenadas asociadas auna rejilla que se expande con el tiempo.Al sistema original de coordenadas

rr se le llama sistema de coordenadas físicas.

La cantidad a(t) es crucial y recibe el nombre de factor de escala del universo y midela tasa universal de expansión. Así, si substituimos la ecuación (2) en la (1), podemosreescribir la conservación de la energía en función del parámetro de expansión:

U ma x G a x m= −12

43

2 2 2 2&π

ρ

Cabe recordar que &x = 0 , por la definición de coordenadas comóviles. Multiplicandocada término de la ecuación por 2 2 2ma x y reagrupando términos obtenemos:

&aa

G kca

FHG

IKJ = −

2 2

2

83π

ρ

Donde kc U mc x2 2 22= − .Esta es la forma estándar de la ecuación de Friedmann.

En esta expresión k debería ser independiente de x, tal y como lo son los otros términosde la ecuación, ya que si no la homogeneidad no se nos aseguraría. La única forma deconseguir esto es que U ∝ x2. Notar que es la propia condición de homogeneidad la quenos exige que la cantidad U, a pesar de ser constante para una partícula dada, cambie sila miramos a diferentes separaciones x.

Finalmente, podemos observar que k es también independiente del tiempo, con lo cuales una constante que no varía ni en el tiempo ni en el espacio, y tiene unidades de[longitud]-2. Un universo en expansión tiene una única k, que no cambia en toda laevolución. Esta constante nos dirá, en realidad, cuál es la geometría del universo, por loque se la llama curvatura.

40

Definiciones de Parámetros Cosmológicos y Relaciones

Constante de Hubble actual: Haa0

0

0

=&

Función de Hubble: Haa

=&

Densidad Crítica: ρχc

H=

3 0

Parámetro de Densidad: Ω =ρρc

Función de Deceleración: qaa

a=

− &&

&2

ρ < ρc Ω0 < 1 ε = -1 q0 < ½ Abiertoρ = ρc Ω0 = 1 ε = 0 q0 = ½ Planoρ > ρc Ω0 > 1 ε = +1 q0 > ½ Cerrado

Si p0 ≈ 0 (universo pulverulento) tenemos a partir de la segunda ley de Friedmann:

−=

&&aa

0

006

χρ

−= = =

a aa H

q0 0

02

0

02

006 2

&&

&

χρ Ω

Es decir, en los modelos FRW de universo pulverulento q0 y Ω0 no son independientes:

Ω002

= q

41

Modelo de Friedmann-Robertson-Walker

Consideraremos nuestro espacio-tiempo del estilo RxΣ, donde R representa la direccióntemporal y Σ es una variedad diferencial tridimensional homogénea e isótropa.Partiendo del Principio Cosmológico, entendemos que la isotropía da lugar a invarianzabajo rotaciones, y la homogeneidad da invarianza bajo traslaciones. Así homogeneidade isotropía implican un espacio que tiene el máximo número posible de vectores deKilling (i.e. un espacio máximamente simétrico). Así nuestra métrica puede ser:

ds dt a t u du duiji j2 2 2= − + ( ) ( )γ

Aquí, t es una coordenada de tiempo, (u1, u2, u3) son las coordenadas en Σ y γ ij es la

métrica máximamente simétrica en Σ. La función a(t) se conoce como el factor deescala y nos da una idea de como “de grande” es la hipersuperficie Σ en el tiempo t. Lascoordenadas usadas aquí se conocen como coordenadas comóviles, ya que la métricano posee términos cruzados del tipo dt·dui y las componentes de tipo espacio sonproporcionales a una única función de t. Así, un observador que permanezca a ui

constante se denomina observador comóvil. Sólo un observador comóvil verá eluniverso realmente isótropo; de hecho, en la Tierra no somos “muy comóviles” y comoresultado observamos una anisotropía dipolar clara en el fondo cósmico de microondascomo resultado del efecto Doppler debido al movimiento propio de la Tierra.

Si el espacio es máximamente simétrico, será con total seguridad esféricamentesimétrico. Con lo que podemos reescribir nuestra métrica en coordenadas esféricas:

ds dt a t e dr r d dr2 2 2 2 2 2 2 2 2= − + + + ⋅( ) ( sin )( )β θ θ φ

Solucionando para un espaciotiempo esféricamente simétrico obtenemos un β(r):

β( ) ln( )r kr= − −12

1 2

Lo cual, substituyendo en (1) nos da lugar a la métrica de Robertson-Walker:

ds dt a tdr

krr d d2 2 2

2

22 2 2 2

1= − +

−+ + ⋅

LNM

OQP( ) ( sin )θ θ φ

Cabe observar que el parámetro k es de gran relevancia. Tan sólo hay tres casos deinterés. k = -1, k = 0 y k = +1. El primero corresponde al caso de curvatura negativaconstante en Σ y se llama abierto; el segundo caso corresponde a curvatura nula y es eldenominado plano; y el tercero y último corresponde al caso de curvatura positivaconstante, que se llama cerrado.

( 1 )

42

Chronology of the UniverseThe following diagram illustrates the main events occurring in the history of ourUniverse. The vertical time axis is not linear in order to show early events on areasonable scale. The temperature rises as we go backwards in time towards the BigBang and physical processes happen more rapidly.

43

Comienzos

Con las invasiones bárbaras y la caída delImperio Romano puede decirse que elpensamiento de la civilización y la culturaantigua - los restos del Imperio - es más lenta enla zona oriental. La sabiduría clásica no muereahí, sino que se va al exilio. Las obras griegasson traducidas al sirio primero y árabe después,en Bagdad. Así, es como la ciencia árabe tieneun gran surgimiento a partir del siglo IX y,algunas centurias después, maravillará al mundocristiano. La cultura islámica, y junto a ella elidioma árabe, se propaga, vía el norte de Africa,hasta la península ibérica en occidente y hastaChina por el oriente. La propagación de losnúmeros hindúes hecha por los árabes en elsiglo IX a través de la obra del persa Mohamedibn Musa alkhawariznai es un ejemplo. La listade los grandes sabios islámicos es enorme. Unode los grandes es al-Biruni (973-1048) que,entre otras cosas discute la rotación de la tierraen torno a su propio eje, la explicación de lasfase de la luna y también formula la hipótesisdel movimiento de nuestro planeta en torno alsol.Otro ejemplo es al-Hazen (965-1038) quienhace importantes contribuciones a la ópticademostrando poseer una habilidad experimentalsuperior a los griegos. Su obra es más tardeenriquecida por al Farisi (c.1300) y traducida allatín, se estima que influirá en los estudios deóptica hechos por Kepler tres siglos después.Los árabes también ampliaron la geometría delos griegos. En astronomía la contribuciónprincipal que se conoce se produce en elCalifato de Córdoba (en esa época la Españamusulmana es el país más poblado y prósperode Europa) y en particular en la ciudad deToledo. En esta ciudad al-Zargali construye lasfamosas “tablas toledanas” (1080) que dan laposición de las estrellas. Además traducen,estudian y propagan el ALMAGEST deTolomeo (siglo II) que da una visióngeocéntrica del Universo.

Tal vez la reconquista de Toledo (1085) por loscristianos pueda considerarse como un punto departida para la recuperación de la culturaabandonada. Allí mismo en Toledo se formauna escuela de traductores - venidos de lugarestan lejanos como Austria, Inglaterra, Bélgica eItalia - los que se dedican especialmente atraducir del árabe al latín escritos sirios,hebreos, árabes y caldeos. La avalancha culturalque comienza a infiltrar occidente(principalmente por España, pero también por

Sicilia, Provenza y Siria) provoca la irrupciónde la cultura griega y en particular del mundoideológico de Aristóteles.Esto último plantea la necesidad de lograrcompatibilizar en una síntesis armónica elpensamiento aristotélico y el cristiano, obracuyo principal ejecutor es el dominico SantoTomás de Aquino (1225-1274).

Mucho más tarde se harían traducciones directasdel griego al latín que parcialmente modificaronla imagen del mundo griego y el pensamiento deAristóteles, al punto que suele hablarse del“Aristóteles medieval” (la versión árabe) paradistinguirla del Aristóteles que surgiódirectamente de fuentes griegas obtenidas enpleno Renacimiento.

Nuevos vientos

Érase una vez, hace mucho tiempo, un grupo dehombres atrevidos que comenzó a recuperar, y acrear a partir de los recuperado, parte de lo quehabía existido en aquel remoto pasado que losbárbaros habían destruido y que el tiempo habíaenterrado para la mayoría. Habían subsistidociertamente, pequeños y recónditos centros decultura durante la Edad Oscura. Y como ocurrenormalmente durante esos períodos de cambio,había un poco de libertad, con flujos y reflujos,dentro de un marco restrictivo dominante. Fueen aquel período que nació Nicolás Copérnico.

Nicolás Copérnico (1473-1543)

Copérnico estudió por varios años en su propiopaís, Polonia, especialmente en la Universidadde Cracovia, que es donde se cree que concibiólas ideas que le harían pasar a la historia. Mástarde, su tío y protector lo envió a estudiar aItalia al mejor centro de derecho (Ley Canónica)de la época, Bolonia. Después de Boloniaestudió en Padua y Roma para finalmentegraduarse en Ferrara. Copérnico ingresó enBolonia un año antes del primer viaje de Colón.Una idea del ambiente universitario en laUniversidad de Bolonia en esa época lo da laorganización que ella tenía. Al contrario que enla importante Universidad de París, donde elgobierno residía en la asociación de profesores,en Bolonia el rector era elegido por losestudiantes y, aunque debía actuar según lasrecomendaciones de un consejo, en últimainstancia su autoridad provenía de la asambleade estudiantes.La atmósfera pública la daban personajes comoel papa Borgia (Alejandro VI) a quien se leatribuye la paternidad de Lucrecia y CésarBorgia. La figura de este último, y sus

~ Breve Historia de la Cosmología Clásica ~

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actuaciones, fue la fuente de inspiración de “ElPríncipe” de Nicolás Maquiavelo. También enesa época el fogoso orador Savonarola intentabaen Florencia establecer una rara mezcla deteocracia con visos democráticos. Su destino fuela hoguera.Copérnico tuvo entre sus profesores a uno de losgrandes eruditos en la cultura helénica y juntos,profesor y discípulo, observaron el cielotratando de perfeccionar el complicado sistemade deferentes y epiciclos de Tolomeo (referenteal movimiento de los planetas, la luna y el sol entorno a un mismo centro: la tierra).

Después de varias tormentas y amotinamientosque casi le resultaron fatales, Colón seencontraba abandonado en una pequeña cuevaen Jamaica, cercano a su triste fin, el año en queNicolás Copérnico se graduaba con el diplomade Doctor en Ley Canónica en Ferrara.Terminados sus estudios se instaló en elfortificado castillo de Heilsberg. Fue ahí dondetrabajó en detalle sus ideas originales de lostiempos de Cracovia que le permitiríanreformular totalmente la astronomíadescribiendo el universo con el sol al centro. Alponer por escrito sus ideas (1512) en brevetratado titulado “Pequeño comentario”' sabíaque su obra subvertía las ideas de la época.Tuvo la precaución de publicar solo unas pocascopias, las que repartió entre sus amigos de másconfianza. Nicolás aún no tenía 40 años.

Pocos años después el mundo religioso deEuropa se remecía hasta sus bases al iniciarse elquiebre de la unidad de la Iglesia (lo que seconoce como la Reforma) cuando en 1517Lutero lanza sus 95 tesis contra lasindulgencias.Tal vez una generación antes las ideas deCopérnico habrían pasado sin causar unescándalo teológico, pero en ese período noestaban los ánimos para aceptar cambios a lascreencias tan largamente establecidas. Aun asípor décadas el Vaticano no tomó una posiciónclara y decididamente en contra, al punto que elpapa Clemente VII le pidió a Copérnico (1530)que describiese con más detalle su teoría.Lutero, en cambio, lo atacó desde el comienzo.Es una ironía de la historia que, con el tiempo,fue en las regiones protestantes donde primerose propagaría y aceptaría la teoría heliocéntricade Copérnico.

Copérnico revisaba y revisaba su granmanuscrito y se resistía a publicarlo sabiendo laola de críticas que iba a levantar en filósofos yclérigos, y el peligro que eso implicaba. Suobra, conocida como “Revoluciones”' (DeRevolutionibus Orbium Coelestium) fue escrita

y corregida por su autor durante los últimostreinta años de su vida sin decidirse a lanzarla ala luz. El temor a la represión lo inhibía.Cuando sintió que ya se le acercaba su fin tomóla precaución de dedicárselo al papa, Pablo III,invirtiendo gran esfuerzo en esa dedicatoria. Sedio incluso el trabajo de desenterrar nombres dealgunos griegos clásicos que ya habíanespeculado que el sol sería el centro deluniverso. El libro recién impreso, llegó a manosdel papa al tiempo que Copérnico fallecía. EnRoma recién se había instituido la Inquisición yen otro continente se había fundado la ciudad deSantiago de Extremadura.Copérnico usó crudas y, a veces, erradasobservaciones hechas por otros, como parte dela fundamentación de su teoría y por eso se le haacusado de astrónomo mediocre. También se hadicho que Colón fue un mediocre navegante. Loesencial en ambos casos es el espíritu deinnovación llevado exitosamente a la práctica.Este espíritu de renovación, de búsqueda deformas nuevas, esa creatividad, dominante enlos siglos XV y XVI es lo que caracteriza esecomplejo movimiento revolucionario llamadoEl Renacimiento.

Una nueva estrella para revoluciones.

Tenía 26 años el inquieto danés cuando vioaparecer un punto extremadamente brillante enel cielo. Llegó a brillar tanto la estrella nova de1572 que podía verse de día.En ese momento Johannes Kepler era un niñodebilucho de solo un año, que había nacidoprematuramente de una modesta familiaalemana. Shakespeare como Galileo Galilei eranniños de 8 años mientras Miguel de Cervantes,de 25, recién se había recuperado de las heridasde la batalla de Lepanto que le imposibilitarondefinitivamente su mano izquierda. En Nápoles,el dominico Giordano Bruno comenzaba a tenersus primeras dudas teológicas.Con su juventud y amplios estudios, el danésTycho Brahe pudo demostrar que esa estrellaestaba más allá de la luna, contrario a laexplicación generalizada. Con esta observaciónsólida y precisa Brahe echó por tierra lahipótesis aristotélica de que “la esfera de lasestrellas fijas” era permanente e inmutable. Elinterés que despertó el razonamiento de Braheayudó bastante a establecer la teoría deCopérnico planteada en Revoluciones. Aun asífaltaba bastante para que su aceptación fuesegeneral.

La fama de Brahe indujo al rey de Dinamarca acederle una isla cerca de Copenhage para queinstalara un observatorio propio. El observatoriofue provisto de excelente instrumental y muchos

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asistentes, lo que le permitió llevar a cabo unaempresa de increíble paciencia y empujedurante 20 años observando la posición de losobjetos celestes - en particular de los planetas -con una precisión desconocida hasta entonces.

Estudiando en la universidad de Pisa, Galileo sedistinguió antes que nada por su inclinación ytalento para las matemáticas y los experimentosfísicos, pero también por su hábito de discutircon sus profesores y poner en tela de juicio loque se esperaba que fuese aceptado de acuerdoal principio de autoridad tan en boga en la Italiadel siglo XVI. Abandonó la universidad sintítulo alguno en 1585. Después de varios años seinstaló como profesor en la Universidad dePadua, República de Venecia, por casi dosdécadas.

Kepler poseía una florida imaginación.Aprovechando los conocimientos queclandestinamente le enseño su profesor enTübingen sobre las ideas de Copérnico, escribióun libro donde relaciona el tamaño de las órbitasde los planetas en base a ingeniosasproporciones geométricas. Su libro lo hizofamoso a los 25 años de edad (1596) y eso lepermitió establecer contacto apistolar conGalileo y Brahe. En una carta de Galileo aKepler el primero le confiesa haber “aceptadolas ideas de Copérnico desde hace muchosaños”, pero agrega que nunca se ha atrevido adecir tanto como eso en letra de molde. Enefecto, desde la muerte de Copérnico se habíaido haciendo cada vez más peligroso avanzar odefender ideas que estuviesen en desacuerdocon la doctrina oficial. Esta intolerancia poco apoco pasó a invadir asuntos científicosllegándose a incluir Revoluciones en el Indicede libros prohibidos.

La cultura contra las prohibiciones.

Un gran difusor del sistema de Copérnico fue eldominico Giordano Bruno. Bruno recorrió todaEuropa propagando sus ideas y escapando a lapersecución que en su contra provocaba con suslibros, panfletos y disputas. Bruno defendía laidea de que el mundo era infinito, el sol era tansolo una estrella más, y todas las estrellasposeían planetas a su alrededor. Ademáspredicaba una suerte de ideas antiaristotélicas yantimetafísicas. Su vida fue una huidapermanente. Apresado por la Inquisición en1592, fue condenado a la hoguera ocho añosmás tarde, sellando el agitado siglo deCopérnico. Bruno, más que un mártir de laciencia, lo fue de la libertad de expresión.

Con la muerte del rey de Dinamarca Tycho

Brahe se vio forzado a emigrar a Praga (con suobservatorio) en el preciso momento en queKepler buscaba trabajo, ya que en Graz, dondetrabajaba Kepler, las autoridades comenzaban aexigir ser católico.Kepler fue el primer gran científico protestante.Temeroso de ser expulsado, o algo peor, Keplerllegó a trabajar a Praga como asistente principalde Brahe. Pero Tycho vivió solo unos pocosmeses más, quedando el joven Kepler a cargodel magnífico instrumental y de las cuidadosasobservaciones estelares que por 20 años habíaacumulado el danés.Kepler tuvo la osadía de aceptar lo que los datosnuméricos de Brahe indicaban y romper así conuna tradición de más de dos mil años: establecióque los planetas giran en torno al sol en órbitaselípticas obedeciendo leyes bien precisas quehan pasado a la historia. Su obra “NuevaAstronomía”' se publicó en Praga (1607) cuandotenía 36 años. Ella fue un golpe mortal a lavisión pitagórica-platónica que planteaba lanecesidad de la “perfección” de losmovimientos celestiales (circunferencias), queaún el gran Copérnico había aceptado a priori.Fructífero resultó el forzado exilio de Kepler.Estando Revoluciones en el Indice, a Galileo sele prohibió expresamente defender esas ideas.Pero Galileo, que no se distinguía por sudocilidad, utilizó el resquicio legal de escribirun libro en forma de diálogo entre trespersonajes “Diálogos sobre los dos sistemas delmundo”, el sistema oficialista de Tolomeo y elcopernicano. Los diálogos pueden considerarsecomo el primer manifiesto de la nueva ciencia.

Aparte de ser una valiosa obra científica, losdiálogos fueron escritos en italiano de modo quepudieron alcanzar una audiencia mucho mayoren el país.No dejando explícito quién tenía la razón logrópasar la censura, aunque era claro para dónde seinclinaba la balanza. Pero tan pronto salió ellibro a la publicidad (1632) Galileo fue acusadode desobediencia y de haber obtenido permisode impresión por medios ilícitos. Tenía ya cercade 70 años este viejo luchador cuando tuvo quevérselas con la Inquisición: fue recluido einterrogado intermitentemente durante meses,aunque aparentemente no fue víctima de otrotipo de tortura física (común es esos años). Fuesentenciado a cadena perpetua el 22 de Junio de1633 pero, dada su avanzada edad, se leconcedió una especie de arresto domiciliario.

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De Galileo a Kepler

Padua, Agosto 4, 1597.Me felicito por la suerte excepcional de tenerlocomo camarada en la búsqueda de la verdad.Porque es lamentable que haya tan pocos quebusquen la verdad (...) Este no es el lugar, sinembargo, para lamentarse de las miserias denuestro siglo, sino para regocijarnos con estashermosas ideas para demostrar la verdad. (...)he aceptado las ideas de Copérnico desde hacemuchos años (...) pero no me he atrevido apublicarlas hasta ahora, alarmado por eldestino de Copérnico, nuestro maestro.El se ha ganado una fama imperecedera a losojos de unos pocos, pero una multitud infinita leha gritado y se ha burlado de él. (...) Meatrevería a aparecer públicamente con misideas si hubiese más personas que pensarancomo usted. Como no es así me abstendré.

De Kepler a Galileo

Graz, Octubre 13, 1597.Usted nos recomienda, con su ejemplo personal(...) apartarse ante la ignorancia general y noarriesgarnos o imprudentemente oponernos alos ataques violentos de la chusma letrada. (...)Pero después que una inmensa tarea ha sidoiniciada en nuestra época (...) ¿no sería muchomejor empujar hasta la meta en un esfuerzomancomunado, ahora que está encaminada, ygradualmente, con poderosas voces acallar aesa chusma, que realmente no sopesa muycuidadosamente los argumentos? (...) Con susargumentos hechos públicos ayudaría a la vez asus camaradas que sufren tantos juiciosinjustos, porque ellos obtendrían consuelo porsu consentimiento o protección dada la posicióninfluyente suya. (...)Arriba el ánimo Galileo y preséntesepúblicamente.

En este breve recuento nos hemos detenido enapenas unos pocos personajes para ilustrar lalucha entre la fuerza del poder y la fuerza de larazón. La lucha entre la intolerancia dogmáticay la cultura que siempre se renueva y cambia.Una gran cultura estuvo a punto de desaparecerdefinitivamente, pero si algún espacio, algúnrincón de luz logra sobrevivir a persecuciones,intolerancia y hogueras, ésta se recupera yreanuda su camino. Porque aún fuerzas oscurastratan de detenerla, sin embargo se mueve.

Patricio CorderoFacultad de Ciencias Físicas y MatemáticasUniversidad de Chile

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Cuestiones y Problemas

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Bloque 1

1. Para una temperatura dada, la longitud de onda a la que un cuerpo negroradía más por unidad de longitud de onda es λ0= 4000Α. ¿Cuál será lalongitud de onda para la cual la radiación emitida será máxima si latemperatura del cuerpo negro aumenta de tal forma que la razón de emisiónde radiación se triplica?

2. Demostrar que la Ley de Planck de la radiación del cuerpo se puedeaproximar por la 2ª Ley de Wien para altas frecuencias (Zona de Wien).¿Cuánto deben valer las constantes α y β?

3. Demostrar que la Ley de Planck de la radiación del cuerpo negro se puedeaproximar por la Ley de Rayleigh-Jeans para bajas frecuencias (Zona deRayleigh-Jeans del espectro).

4. En un experimento fotoeléctrico, hacemos incidir radiación electromagnéticasobre una lámina de sodio (w= 2,3 eV) que actúa como cátodo. A medidaque la lámina va emitiendo electrones se va cargando positivamente.Cuando el potencial es lo bastante grande como para impedir que losfotoelectrones escapen del cátodo, éste recibe el nombre de potencial defrenado (con la energía potencial asociada Uf = eVf). ¿Cuanto valdrá elpotencial de frenado si hacemos incidir sobre le sodio radiaciónmonocromática de λ = 6000Α?

5. Al estudiar el efecto fotoeléctrico sobre cierto material se observa que elpotencial de frenado de los fotoelectrones vale 1’54 cuando la radiaciónincidente tiene una longitud de onda de λ = 3500 Α, y vale 2’05 cuando lalongitud de onda es de λ = 4000 Α. ¿Cuál es la longitud de onda umbral apartir de la cual no se va producir el efecto fotoeléctrico?

6. La energía de ionización de los electrones de valencia de un conjunto deátomos vale 6 eV y para los de la capa más cercana al núcleo vale 2’2 KeV.Si se les hace incidir radiación electromagnética de frecuencia ν = 1010 MHz,razonar si se producirá efecto fotoeléctrico y/o efecto Compton.

7. Deducir la ecuación de Compton considerando una colisión elástica entre unfotón y un electrón en reposo.(Ayuda: considerar la expresión de de Brogliepara el momento lineal, p=h/λ, y la expresión relativista, E = mec2, para laenergía del electrón en reposo)

8. Si el 5% de la luz visible de una bombilla incandescente se encuentra en elrango visible del espectro electromagnético, ¿cuántos fotones son emitidospor segundo por una bombilla de 60 Watts suponiendo que la luz visibletiene una longitud de onda media de 5600Α?

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9. Deducir a partir de la expresión de la energía para el electrón de un átomohidrogenoide según el modelo de Bohr*, la fórmula de Balmer para elespectro del hidrógeno.

*222

0

42 1

2)4( n

emZE

hπε−= , donde Z es el número atómico que para el hidrógeno

vale 1, e es la carga del electrón, ε0 es la permitividad eléctrica en el vacío,

h vale h/2π siendo h la constante de Planck, m es la masa del electrón y nes el número cuántico que hace referencia al nivel energético del electrónligado.

10. Dada la fórmula de la energía de los niveles electrónicos del átomo de Bohrdel problema anterior calcular:

a) la constante de Rydberg para el hidrógeno substituyendo m por la masa delelectrón.

b) La constante de Rydberg para el hidrógeno substituyendo m por la masareducida de un átomo hidrogenoide, µ = mM/m+M, donde m es la masa delelectrón y M es la masa del núcleo (en el caso del hidrógeno es la masa delprotón). Sabiendo que los dos casos anteriores hacen referencia a, por unlado, la aproximación de considerar la masa del núcleo infinita (al ser muygrande al lado de la del electrón) y, por el otro, tenerla en cuenta(corrección por masa nuclear finita), comparar el error que se comete en uncaso y en el otro si el valor experimental de la constante vale RH =10967757,6 ± 1,2 m.

11. Calcular mediante el modelo de Bohr la energía necesaria para arrancar unelectrón (energía de ionización) de un átomo de He+ (helio simplementeionizado, es decir que ha perdido uno de sus dos electrones).

12. Calcular el momento lineal que recibe un átomo de deuterio (átomo dehidrógeno con un neutrón en el núcleo) al emitir un fotón creado por unatransición electrónica del átomo entre los niveles n = 10 y n=1.

13. ¿Qué longitud de onda se puede asociar a una bala de 15,2g que viaja auna velocidad de 265,8 m/s? ¿Deberían observarse en balas de estascaracterísticas comportamientos propios de un movimiento ondulatorio talescomo la difracción o la interferencia? ¿Por qué?

14. En el tubo de rayos catódicos de un osciloscopio de un laboratorio de físicase hace pasar un haz de electrones de 20eV de energía cinética por unaabertura redonda de 1’5mm de diámetro. ¿Se deben tener en cuenta losefectos de la difracción?

15. Ningún instrumento óptico puede resolver los detalles de un objeto que esmás pequeño que la longitud de onda con la que se observa. Lo mismo pasacon un microscopio electrónico, considerando su longitud de onda como la

50

longitud de onda de de Broglie. ¿Qué voltaje debe de aplicarse a loselectrones de un microscopio para lograr una resolución de 5000 Α?

16. ¿Qué interpretación se le da a la relación de incertidumbre energía-tiempoen relación con la medición de la energía de estados atómicos excitados?

17. Dada una colección de n funciones de onda, Ψ1(x,t), Ψ2(x,t), Ψ3(x,t),…,Ψn(x,t), que son solución de la ecuación de Schrödinger para un ciertopotencial V(x,t), demostrar que una combinación lineal cualquiera, Ψ(x,t) =

C1Ψ1(x,t) + C2Ψ2(x,t) + C3Ψ3(x,t) + … + CnΨn(x,t) =∑=

Ψn

iii txC

1

),( , es

también una solución (linealidad de la ecuación de Schrödinger)

18. La función de onda para el estado de mínima energía de un osciladorarmónico simple unidimensional puede escribirse como

)22

( 2

),(t

m

ix

m

AtxΚ

+Κ

−=Ψ hl

donde A es una constante real, m es la masa de la partícula y Κ es laconstante de la fuerza restauradora (F = -Κx).

a) Comprobar que la función de onda anterior es solución de la ecuación deSchrödinger para el potencial de un oscilador armónico simple.

b) Encontrar el valor de A para que la probabilidad de encontrar la partículasometida al potencial armónico en cualquier posición (normalizar lafunción de onda)

∫+∞

∞−

=Ρ 1dx

donde P = Ψ*(x,t) Ψ(x,t) es la densidad de probabilidad de que una partícula en el

instante t se encuentre en la posición x.

19. Un conjunto de funciones de onda soluciones de la ecuación de Schrödingerindependiente del tiempo para una partícula sometida a un potencial depozo cuadrado infinito

∞ |x|>LV =

0 -L < x < +L

viene dado por

)cos()( xkAx nnn =Ψ kn = (n+1)π/2L n = 1, 2, 3,…

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donde n determina el nivel o estado energético permitido para la partículaligada. Demostrar que efectivamente son soluciones de la ecuación deSchrödinger independiente del tiempo y que cumplen las condicionesimpuestas por el tipo de potencial al que está sometida la partícula.Encontrar la expresión de la energía de la partícula en función del nivel deenergía discreto en el que se encuentra, n.

20. Para el sistema descrito en el problema anterior normalizar la función deonda de la partícula en el estado de mínima energía, n=1. Calcular también

el valor esperado de la posición X y el momento lineal x

iP∂∂

−= h utilizando

la función de onda para n=1.(Ayuda: <O>= ∫+∞

∞−

ΨΨ dxtxOtx ),(),(*

21. Una partícula libre de masa m está descrita a t = 0 por la función de onda:Ψ(x,0) = C exp(-x2/4)

a) Calcular la indeterminación en la posición.b) Calcular la indeterminación en el momento.c) Verificar que se trata de un paquete mínimo, es decir, que se cumple ∆x·∆p

= h/4π.

22. Analizar cuáles de las siguientes reacciones están permitidas, y, en el casode que lo estén, razonar por medio de qué interacción o interacciones sepueden producir:

a) ee νµ +→ −−

b) γγ +→+ pp

c) 0Λ+Σ→+ +np

d) −+− +→+ eep π

23. Discutir la conservación de carga, la conservación del número leptónico ydel número bariónico en las siguientes reacciones y clasificarlas comoelectromagnéticas, fuertes o débiles:

a) γγπ +→0

b) µννµ ++→ ++ee

c) ee ν++Λ→Σ ++ 0

24. Deducir, partiendo de las leyes de conservación, la partícula que falta en lassiguientes reacciones:

a) eνππ ++→+ ...0

b) een ν++→ +...

c) ++→+ µν µ n...

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25. Discutir cuáles de las siguientes reacciones están permitidas por las leyes deconservación. ¿Qué tipo de interacción (electromagnética, débil o fuerte)puede originar la reacción en caso de que ésta no esté prohibida?

a) −+→Λ ep0

b) 0π+Σ→+Κ ++ nc) eepn ν++→ −

d) γµ +→ +p

26. Distinguir e identificar el tipo de los neutrinos de las siguientes reaccionesde acuerdo con las leyes de conservación:

a) νµπ +→ ++

b) νπ ++→Κ ++ e0

c) ννµ ++→ −− e

d) ν++→Λ −ep0

27. Indicar qué interacción es la responsable de las siguientes reacciones. Hacerun diagrama de quarks, indicando qué tipo de bosón se intercambia y si hayalgún quark que cambia de sabor:

a) eep ν++→Λ −

b) ee νπ ++→Κ +−0

(Λ = (sud), p = (uud), Κ0 = ( s d), π- = (ud))

28. Teniendo en cuenta el contenido en quarks, hacer un diagrama esquemáticoa nivel de quarks de la desintegración Λ→ p π0 indicando qué tipo de bosónse intercambia y si alguno de los quarks sufre algún cambio de sabor.(Λ =(uds), p= (uud), π- = (du ))

29. El mesón Σ+ decae a pπ0 mediante la interacción débil. Dibujar un diagramaesquemático de quarks de esta desintegración indicando qué tipo de bosónse intercambia y si alguno de los quarks sufre algún cambio de sabor.(Σ+ =(uus), p = (uud), π0 = (uu -d d ))/ 2 )

30. Utilizar los valores Q de las tres reacciones siguientes para calcular laenergía disponible para el decaimiento β del 14Si31

422914311521 HeSiPH +→+ Q = 8,158 MeV113014291421 HSiSiH +→+ Q = 8,388 MeV113114301421 HSiSiH +→+ Q = 4,364 MeV

53

31. Calcular las energías de ligadura, B, de los núcleos de 4Be9, 8O16, 13Al27,29Cu63, 50Sn120, 74W184 y 92U238 utilizando la formula semiempírica demasas*.

* δ−−−

−−=3/1

223/2 )(

),(A

Zb

AZN

bAbAbZAB csymsv , donde δ = + bδA-3/4 si Z

y N = A – Z son impares, 0 si Z o N son impares, y - bδA-3/4 si Z y N sonpareslos dos; bv = 15’7 MeV, bs = 18’6 MeV, bsym = 28’1 MeV, bc = 0’72 MeVy bδ =34 MeV.

32. Considerar una cadena de procesos radiactivos en la que intervienen trestipos de núcleos, 1, 2, 3, tal que 1 → 2 → 3. Las constantes dedesintegración de los dos procesos son λ1 y λ2. El núcleo tipo 3 es estable.Encontrar el número de núcleos de cada tipo en función del tiempo.Condiciones iniciales: N1(0) = N0, N2(0) = N3 = 0.

Bloque 2

1. Propón algún objeto de la vida cotidiana que tenga el mismo tamaño quetendría un agujero negro con la masa de la Tierra. ¿Y una estrella deneutrones?

2. Realiza una estimación de la presión en el interior del Sol a radio r=R/22/3 ya r=0. Ayuda: Utilizar las ecuaciones del equilibrio hidrostático y de laconservación de masa.

3. ¿Qué área recolectora para radiación solar hace falta para encender unabombilla de 100 W, si la energía solar se pudiera convertir en energíaeléctrica con un 100% de eficiencia?.

4. Haz una estimación del radio máximo del horizonte de sucesos de unagujero negro (radio de Schwarzschild) con la masa de la Tierra. ¿Y situviera la masa del Sol?

5. Reescribe la fórmula del radio de Schwarzschild para una masaesféricamente simétrica, en función, tan sólo, de masas solares.

6. Calcula la distancia máxima que se puede obtener mediante el método de laparalaje, si se quiere observar objetos con una resolución de 1 arcsegundo.

7. Supongamos que cogemos una cucharadita del material de una estrella deneutrones y lo traemos a la Tierra. ¿Cuánto pesaría? Describe qué sucederíasi lo dejásemos caer de una altura de aproximadamente un par de metros.¿Qué tipo de movimiento surge?.

8. En un sistema S’ un suceso tiene lugar en el punto x’=10, y’=0, z’=0, dondelas coordenadas vienen dadas en metros y t’=1 s. Si un sistema S se mueve

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respecto a S’ con una velocidad 3c/5 en la dirección negativa del eje de las xy los orígenes de los dos sistemas coinciden para t=0, t’=0, ¿cuáles sin lascoordenadas del suceso visto desde S?

9. Dos sucesos P y Q separados espacialmente 3·108 m son simultáneos encierto sistema de referencia inercial S. Hallar las velocidades en la direcciónPQ de otros sistemas de referencia para que los sucesos estén separadospor intervalos de tiempo de 0’1 s, 1 s y 10 s respectivamente.

10. Una regla AB de longitud propia L se mueve con velocidad v relativamente aS (AB y v son paralelos al eje OX de S). Un plano paralelo al plano XZ semueve con una velocidad u paralela a OY relativamente a S. Este planotiene un agujero de diámetro L’ (L’<L). Si en un cierto instante el centro dela regla y el centro del agujero coinciden con el origen de coordenadas de S,¿pasará la regla por el agujero?.

11. Las coordenadas de espacio-tiempo de dos pares de sucesos son:

Suceso X(m) Y(m) Z(m) t(s)A1 0,3 0,5 0 2·10-9

A2 0,4 0,7 0 3·10-9

B1 0,7 0,5 0 5·10-9

B2 0,4 0,6 0 4·10-9

• ¿Puede haber una conexión causal entre A1 y A2? ¿Y entre B1 y B2?• ¿Hay algún sistema de referencia que vea simultáneos A1 y A2? ¿Y a B1 y

B2? En caso afirmativo hallar el sistema de referencia.

12. Da un ejemplo de homogeneidad con anisotropía.

13. Da un ejemplo de isotropía con inhomogeneidad.

14. Da un ejemplo de homogeneidad e isotropía.

15. Si H0 se hace pequeña, ¿qué pasa con la edad del Universo? ¿Y con el Radiode Hubble? Razona tu respuesta.

16. ¿Es posible hallar una roca con una edad de 4.900 millones de años en unUniverso cuya H0 es 200 Km/Mpc·s?

17. Da ejemplos de fenómenos de diferentes longitudes de onda que es posibleencontrar en la naturaleza.

18. Si el Sol explotase ahora mismo, ¿cuánto tiempo tendríamos para escapardel sistema solar?.

19. Si todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes ¿por quésucede la paradoja de los gemelos?. ¿Es realmente una paradoja?.

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20. ¿Cómo cambiaría nuestra percepción del mundo si la velocidad de la luzfuera de 50 Km/h?

21. Calcula tu radio de Schwartzschild. Calcula también el de la Tierra y el delsol. Compáralos con algo conocido de un tamaño similar.

22. Completa la siguiente tabla:

Objeto Masa (Ms) Radio (Km) Vesc (Km/s) RSch (Km)Tierra 0,00000304 6.370Júpiter 0,001 71.500Sol 1 696.000Enana Blanca 0,8 10.000Estrella de Neutrones 2 8

23. Supongamos que un objeto está 5 metros delante nuestro y 12 metros porencima. ¿Cuál es la distancia total en el espacio-tiempo entre nosotros y elobjeto? ¿Coincidirá con nuestra afirmación cualquier otro observador?¿Existe una noción de distancia entre dos objetos tal que todos losobservadores no acelerados están de acuerdo?

24. A partir de las tres constantes fundamentales (G, h y c) hallar las fórmulasde la masa, la longitud y el tiempo de Planck, y calcular sus valores.

25. Un astronauta está en su nave espacial orbitando alrededor de un objeto. Lalongitud aproximada de la órbita es de 106 Km, y el período orbital es de 5minutos y 46 segundos. Calcular la masa del objeto alrededor del cualórbita.

26. Una nave espacial viaja hacia una estrella situada a 95 ly de la Tierra. Si lavelocidad de la nave es de 2.2 ·108 m/s, ¿cuánto tiempo tarda la nave enllegar a su destino visto desde, (a) la Tierra?, (b) un pasajero de la nave?

27. La longitud de onda correspondiente al Silicio doblemente ionizado (SiII) esλ0 = 6406 Å. En una explosión de supernova se observa la misma líneaespectral desplazada por efecto Doppler a λ = 6150 Å. Deduce la velocidadde expansión del material eyectado por la supernova. El material, ¿se acercao se aleja de nosotros?.

28. La longitud de onda más larga emitida en la serie de Balmer del Hidrógenoes λ0 = 656 nm. En la luz de una galaxia distante, la longitud de ondacorrespondiente resulta ser λ’ = 1458 nm. Encuentra la velocidad con la quela galaxia se aleja de la Tierra. Compara el resultado del efecto Dopplerclásico con el relativista.

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29. Para un radiador ideal (denominado cuerpo negro) la frecuencia donde laemisión es máxima es proporcional a la temperatura absoluta T, según laley:

ν max .= × ×2 8kh

TB

a) Hallar la fecuencia y la longitud de onda dominante en la radiación solar,suponiendo que la emisión es la de un cuerpo negro perfecto a T=5800K. ¿En qué banda del espectro se encuentra la emisión?

b) Hacer lo mismo para el fondo de radiación cósmico (T=2.728 K)

30. Un candidato para la materia oscura es el neutrino (en este caso se hablade HDM, “Hot Dark Matter”). Suponiendo que el número total de neutrinossea el mismo que el de fotones presentes en la radiación (nγ = 3.7·108

fotones/m3), calcula la masa que tendría que tener un neutrino para que lacontribución de estas partículas a la densidad del Universo sea el 50% de ladensidad crítica.

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Glosario

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• Agujero Blanco. Surtidor de materia que no permite que nada caiga en él.Inversión matemática de un agujero negro.

• Agujero de Gusano. Conexión topológica entre dos lugares muyseparados en nuestro Universo.

• Agujero Negro. Objeto, creado por la implosión de una estrella, que escapaz de generar un campo gravitatorio tan intenso que ni la luz puedeescapar de él.

• Agujero Negro Primordial. Agujero negro característicamente muchomenos masivo que el Sol, que fue creado en el Big Bang. Se han barajadohipótesis que los tratan como defectos topológicos puntuales que podríanhaber actuado como disparadores de procesos de acreción en el universotemprano que dieron lugar a las inhomogeneidades que se observanactualmente.

• Antimateria. Forma de materia idéntica a la materia ordinaria aexcepción de que posee los números cuánticos de carga cambiados designo. Cuando materia y antimateria colisionan se convierten ambas enpura energía, siguiendo la ecuación E=m·c2, aniquilándose mútuamente.

• Astrofísica. Rama de la Física que trata el estudio de los objetos cósmicosy las leyes que los gobiernan.

• Astronomía. Rama de la Física especializada en la observación de objetoscósmicos mediante telescopios y/o satélites.

• Banda. Intérvalo de frecuencias.

• Barión. Partícula que es un estado ligado de tres quarks. Todos losbariones tienen spin semientero y son blancos. Su número bariónico es 1.Son las partículas del las que está formada la materia “corriente”.

• Big Bang. Modelo matemático que propone que el origen del Universo sedebe a la creación explosiva del espacio y el tiempo.

• Big Crunch. Fase final del recolapso gravitatorio del Universo. Es uno delos posibles finales de éste. Sucederá si la densidad del Universo es mayorque cierta densidad crítica.

• Bosón. Partícula de espín entero que no obedece el principio de exclusiónde Pauli.

• Campos cuánticos en el espacio-tiempo. Matrimonio parcial entre laRelatividad General y la Mecánica Cuántica, en el que las ondas

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gravitatorias y los campos no gravitatorios se consideran cuánticos,mientras que el espacio-tiempo curvo en el que residen se consideraclásico.

• Casimir (efecto). El efecto Casimir es una pequeña fuerza atractiva entredos placas conductoras neutras colocadas paralelamente a una pequeñadistancia. Esta fuerza aparece como consecuencia de las fluctuacionescuánticas de vacío del campo electromagnético. El efecto fue predicho porel físico germano Hendrick Casimir en 1948. De acuerdo con la teoríacuántica, el vacío contiene pares virtuales partícula-antipartícula que secrean y aniquilan continuamente. Casimir se dio cuenta que sólo losfotones virtuales cuya longitud de onda encaja entre las dos placascontribuyen a la densidad de energía de vacío. Por tanto, esta densidad deenergía de vacío será menor entre las placas que en el exterior,produciéndose una diferencia de presión que tiende a acercar las placasLa fuerza F entre dos placas de área A separadas por una distancia a puedeser calculada como :

F = p h c A/(480 a4)

siendo h la constante de planck y c la velocidad de la luz.Esta fuerza minúscula fue medida en 1996 por Steven Lamoreaux dentrode un margen de error del 5% con respecto a la predicción teórica.

• Color. El color de una estrella depende de la temperatura de su superficie;longitudes de onda corta correspondes a altas temperaturas y viceversa.Sin embargo, los astrónomos habitualmente no miden el color en unaúnica longitud de onda, sino que lo hacen al menos en dos de ellas ycomparan las medidas para determinar la temperatura. En los años 50 seestableció el sistema de medida del color con tres bandas UBV:ultravioleta (U) a 360 nm, azul (B) a 420 nm y visual (V) a 540 nm. Sellama índice de color a la comparación entre dos de estas bandas. Porejemplo el índice UB es la comparación entre el ultravioleta y el azul y elBV la comparación entre azul y visible. Comparando estos índices decolor se puede saber por ejemplo cuánta luz ha sido absorbida por polvointerestelar (enrojecimiento interestelar).

• Combustión Nuclear. Reacciones de fusión nuclear que proporcionan laenergía de presión que sustentan las estrellas contra el colapsogravitatorio.

• Compton (longitud de onda). La longitud de onda Compton es unaestimación del tamaño que una partícula presenta al interaccionar con laradiación. Como depende sólo de la masa de la partícula m y de dosconstantes de la naturaleza, la constante de Planck h y la velocidad de laluz c, es una buena estimación del "tamaño efectivo" de una partícula; la

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longitud de onda Compton se calcula como h/mc.

• Conjetura de la Ausencia de Pelo. Conjetura de los años sesenta ysetenta (que se demostró verdadera en los años setenta y ochenta) de quetodas las propiedades de un agujero negro están determinadasunívocamente por su masa, carga eléctrica y momento angular.

• Conjetura de la Censura Cósmica. Conjetura de que las leyes de laFísica impiden la formación de una singularidad desnuda, es decir, sin unhorizonte de sucesos que la oculte.

• Coordenadas Comóviles. Existe un sistema de referencia donde ladescripción del universo en expansión resulta más sencilla. En estesistema de referencia podemos pensar en las galaxias como ocupandoposiciones fijas en la superficie de un globo hinchándose, como analogíabidimensional del universo en expansión.A medida que el globo se hincha, la distancia entre los puntos aumenta,pero aún así podemos seguir describiendo una galaxia por la longitud ylatitud que ocupan en ese globo, que no cambia con el tiempo. Encosmología es posible elegir un sistema de coordenadas similar desde unsistema de referencia donde el fondo cósmico de microondas resultacompletamente isótropo y la ley de Hubble se cumple con exactitud. Lacoordenada de distancia r de una galaxia elegida es tal que r(t) representala distancia a esa galaxia como suma de todas las subdistancias entre unobservador y otro que medirían un grupo de observadores colocados en lalínea de visión entre la galaxia y el observador situado en el origensimultáneamente en el instante t de expansión. El instante simultáneo tpuede ser elegido por el hecho de que todos los observadores puedenrealizar su medida de distancia justo en la época cuando la temperatura delfondo de cósmico de microondas es idéntica para todos. A la coordenada tse le denomina tiempo cósmico. Por supuesto, la medida práctica de r esimposible, por lo que tenemos que usar las relaciones entre estacoordenada y las distancias aparentes observables.

• Corpúsculo. Nombre utilizado para un fotón en los siglos XVII y XVIII.

• Cuásar. Objeto compacto altamente luminoso del Universo distante, quese cree está alimentado por un agujero negro gigante.

• Cuerpo negro. Un objeto que absorbiera toda la radiaciónelectromagnética que incidiera sobre él sería un cuerpo negro perfecto.Después de calentarse, dicho cuerpo emitiría un espectro característicosegún la temperatura alcanzada. El ejemplo más cercano a un cuerponegro que podemos construir en la Tierra sería un gran contenedor con unpequeño agujero por el que introdujéramos radiación electromagnéticabrillante. Después de calentarse, la radiación que surgiera del agujero

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dependería sólo de la temperatura alcanzada. Aunque el concepto decuerpo negro parezca una idealización (y de hecho lo es), la radiaciónprocedente de muchos objetos astronómicos puede ser aproximadamentedescrita en términos de la temperatura de un cuerpo negro. Así porejemplo, el sol radia como un cuerpo negro a una temperatura de 6000 K.El ejemplo natural más perfecto de cuerpo negro que se conoce es el de laradiación de fondo cósmico a 2.7 K.

• Cyg A. Cygnus A. La primera radiogalaxia en ser firmementeidentificada.

• Cyg X-1. Cygnus X-1. Objeto masivo en el núcleo de nuestra galaxia queprobablemente sea un agujero negro.

• Degeneración electrónica. Estado de la materia en el que los electroneshan ocupado todos y cada uno de los niveles cuánticos permitidos. Elconfinamiento les obliga a moverse a gran velocidad lo cual genera unapresión efectiva a causa del Pincipio de Exclusión de Pauli.

• Densidad crítica. Es la densidad necesaria para que la curvatura deluniverso sea cero. En el presente del universo, la densidad crítica es r0 =3H0

2/8pG = 1.879 h2 10-29 g/cm3, que corresponde a una densidad tan bajacomo la de la masa de 2 ó 3 átomos de hidrógeno por metro cúbico.

• Desplazamiento Doppler. Desplazamiento de una onda hacia frecuenciasmás elevadas cuando su fuente emisora se acerca al receptor, y haciafrecuencias más bajas cuando se aleja.

• Deuterio. Isótopo del Hidrógeno formado por un protón y un neutrón.También se le llama Hidrógeno Pesado, ya que tiene propiedadesquímicas muy similares a las del Hidrógeno.

• Diagrama de inserción. Diagrama que sirve para visualizar lasdeformaciones del espacio-tiempo a través de la curvatura de unasuperficie bidimensional insertada en un espacio tridimensional.

• Disco de acreción. Disco de gas que rodea a un cuerpo compacto. Lafricción hace que el gas se mueva en espirales que se cierran poco a poco,hasta que el gas acreta en el cuerpo.

• Ecuación de estado. Forma en la que la presión depende de la densidad.

• Electrónvoltio. (eV) En física de partículas se acostumbra a dar las masasde las partículas en unidades de energía, puesto que existe una relaciónsencilla entre estas dos magnitudes dada por la más famosa de lasecuaciones de la física, E=mc2. 1 eV es la energía que adquiere un

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electrón sometido a una diferencia de potencial de un voltio. Por ejemplola masa del electrón expresada en estas unidades es de 0,51 MeV y la delprotón 938.27 MeV.

• Enana Blanca. Objeto compacto resultado de una estrella que ha agotadotodo su combustible nuclear y se enfría gradualmente. Se mantiene contrael colapso gravitatorio gracias a la presión de electrones degenerados.

• Espectro. Descomposición de la luz en sus diferentes longitudes de onda.Los astrónomos en general no miran por sus telescopios, sino que la luzrecogida pasa por un espectrógrafo,que descompone la luz en susdiferentes longitudes de onda,frecuencias o "colores". Cada tipo deátomo o ion puede emitir o absorberdeterminada longitudes de onda. Porejemplo, los átomos en las capas"frías" exteriores de una estrellaabsorben la luz que proviene deregiones interiores de ésta, produciendo líneas oscuras de absorción através del espectro. Dichas líneas pueden usarse para identificar losátomos que forman la estrella. Por ejemplo, en el espectro inmediatamentea la derecha, las líneas oscuras dobles provienen del calcio ionizadoemitiendo a una longitud de onda de 390 nm; las líneas a 410, 434, 486 y656 nm corresponden al hidrógeno; la línea de 518 nm corresponde almagnesio ionizado y la línea a 590 nm corresponde al sodio. En la parteinferior podemos ver una representación muy habitual de un espectro, conla longitud de onda en el eje horizontal y la intensidad de la línea (másconcretamente el flujo) en el eje vertical.

• Estrella de neutrones. Objeto muy compacto que se sustenta contra elcolapso gravitatorio gracias a la presión de neutrones degenerados.

• Éter. Medio hipotético que, según el pensamiento del siglo XIX, oscilacuando pasan las ondas electromagnéticas y, mediante sus oscilaciones,hace posible las ondas. Se creía que el éter estaba en reposo en el espacioabsoluto.

• Fermión. Partícula de espín semientero que obedece el principio deexclusión de Pauli.

• Fisión Nuclear. Proceso de alta energía en el que un núcleo pesado sedivide en dos de masa intermedia, liberando una cantidad de energía delorden del 1% de la masa del núcleo original.

• Fluctuaciones del vacío. Oscilaciones aleatorias impredecibles e

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ineliminables de un campo, que son debidas a que pequeñas regiones delespacio toman prestadas una cierta cantidad de energía durante un tiempoinversamente proporcional, según el principio de incertidumbre deHeisenberg.

• Flujo. Potencia por unidad de área. Por ejemplo, el flujo de energíaprocedente del Sol que incide sobre la Tierra es de 1367 watts (W) pormetro cuadrado de superficie. La potencia total es dividida habitualmenteen bandas de frecuencia o bandas de longitud de onda que se mide en Wm-2 Hz.

• Fotón. Partícula de radiación electromagnética. Partícula cuánticaasociada a las ondas electromagnéticas.

• Fusión Nuclear. Proceso de muy alta energía en el que dos núcleosligeros se fusionan para formar uno más pesado. Un 10% de las masasiniciales se convierte en energía, siendo, por tanto, diez veces máseficiente que la físión nuclear. Este es el proceso mediante el cual lasestrellas obtienen su energía.

• Geodésica. Camino más corto entre dos puntos. Línea recta en un espaciocurvo.

• Ion. Átomo que ha perdido o ganado algunos electrones de sus órbitales,con lo cual la carga de su núcleo ha quedado descompensado y ahora elátomo, en conjunto, tiene una carga neta.

• Homogeneidad e isotropía. Entendemos por homogeneidad laimposibilidad de distinguir características especiales entre dos volúmenesde espacio diferentes y por isotropía la invarianza de las características deluniverso con la dirección en qué miremos.

• Línea de universo. Camino o evolución de un cuerpo a través delespacio-tiempo o a través de un diagrama espacio-temporal.

• Luminosidad. Potencia total emitida por una fuente de luz en undeterminado rango de frecuencias.

• Magnitud. Escala usada por los astrónomos para medir el flujo. Cada 5unidades de magnitud corresponden a una caída del flujo de 100 veces.Por ejemplo, el Sol tiene una magnitud de -26.5, mientras que Sirio, laestrella más brillante de la noche, tiene magnitud -1.6. Las estrellas másdébiles a simple vista tienen una magnitud de 6.

• Masa de Planck. 10-5 g. Masa resultante de la combinación apropiada delas tres constantes fundamentales h (constante de Planck), c (velocidad de

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la luz) y G (constante de gravitación universal). Esta cantidad de masacolocada dentro de una longitud de Planck (10-33 cm) crearía una densidaddel orden de ¡1093 g/cm3! que sería la densidad del universo cuando teníaunos 10-43 segundos: el tiempo de Planck.

• Materia exótica. Materia que viola la condición de energía débilpromediada. Es decir, su masa es negativa visto desde algunos sistemas dereferencia. Necesario para mantener estables agujeros de gusano y paracrear cualquier tipo de distorsión del espacio-tiempo de un tipo similar.

• Materia oscura caliente. (del inglés Hot Dark Matter, abreviada HDM)es cualquier tipo de partículas poco masivas que se mueven a velocidadescercanas a la de la luz.

• Materia oscura fría. (del inglés Cold Dark Matter, abreviada CDM) escualquier tipo de partículas relativamente masivas que se mueven avelocidades mucho menores que la velocidad de la luz.

• Megaparsec. (Mpc) Unidad de distancia equivale a unos 3,26 millones deaños luz.

• Mesón. Estado ligado de un quark y un antiquark. Todos los mesonestienen spin entero. Su número bariónico es 0.

• MOND (MOdified Newtonian Dynamics). Teoría alternativa a ladinámica Newtoniana propuesta por Mordehai Milgrom y que consistebásicamente en modificar la segunda ley de Newton de la forma F = ma2/a0, es decir que la fuerza sería proporcional al cuadrado de laaceleración y se introduciría una constante a0 con unidades de aceleraciónpara salvar la coherencia de la ley. La motivación de esta modificación esla de explicar la elevada velocidad de rotación que se mantiene casiconstante en la parte externa del disco de las galaxias. Sin embargo, elgran problema de esta teoría es que no tiene una extensión relativista.

• Nanómetro. (nm) Unidad de longitud equivalente a una mil millonésimade metro (10-9 m).

• Parámetro de densidad W. Es la relación entre la densidad del universoen unidades de la densidad crítica.

• Partículas virtuales. Cuasi-partículas que se crean a partir de lasfluctuaciones del vacío cuántico y tras un tiempo inversamenteproporcional a su masa se desintegran.

• Plasma. Gas caliente, ionizado y eléctricamente conducto.

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• Sistema de referencia inercial. Sistema de referencia que no gira ysobre el que no actúan fuerzas externas o sobre el que todas las fuerzasexternas que actúan se anulan. El movimiento de este sistema estágobernado tan sólo por su propia inercia; es decir, está en reposo o semueve a velocidad constante.

• Suceso. Un punto en el espacio-tiempo; es decir, una posición en elespacio y un instante en el tiempo.

• Quarks. Postulados por Gell-Mann y Zweig. Se les consideraactualmente los ladrillos básicos de la materia. Nunca se encuentranaislados, sino en estados ligados de dos o tres quarks. Responden a lainteracción nuclear fuerte mediante intercambio de gluones.

Quark Símbolo Spin CargaNúmero

BariónicoS C B T Masa

Up u 1/2 2/3 1/3 0 0 0 0 2-8 MeV

Down d 1/2 -1/3 1/3 0 0 0 0 5-15 MeV

Charm c 1/2 2/3 1/3 0 -1 0 0 1’0-1,6 GeV

Strange s 1/2 -1/3 1/3 -1 0 0 0 100-300 MeV

Top t 1/2 1/3 1/3 0 0 0 -1 180 (12)GeV

Bottom b 1/2 -1/3 1/3 0 0 0 -1 4’1-4’5 GeV

• Quintaesencia. Quintaesencia es una generalización del concepto deconstante cosmológica. Una constante cosmológica pura se relacionahabitualmente con la densidad de energía de vacío que surge de maneranatural en las teorías cuánticas de campos. La densidad de energía devacío por su propia naturaleza no cambia con el tiempo y estáuniformemente distribuida en el espacio. La ecuación de estado querelaciona la presión P con la densidad ρρ (recordemos por ejemplo que laecuación de estado para un gas ideal a temperatura constante sería laecuación de Clapeyron P=Kρρ) para la constante cosmológica es P = - ρρ ,lo que significa que la expansión aumenta la cantidad de energía de vacíoy ésta tiene que ejercer una presión negativa. Esto puede generalizarsesuponiendo que existe un campo que produce una densidad de energía quevaría con el tiempo y que no tiene por que estar uniformementedistribuida, de tal manera que podemos poner su ecuación de estado comoP / ρρ = w con -1 < w < 0 con objeto de que no contradiga lasobservaciones, y w siendo una función del parámetro de expansión.

• Teorías de Gran Unificación. (Abreviadas en inglés GUTs). Teorías que

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tratan de unificar las todas las interacciones conocidas a excepción de lagravitación: electromagnética, nuclear débil y nuclear fuerte. Suponiendoque sea posible una Gran Unificación de todas las interacciones, entoncestodas las fuerzas que observamos no son más que diferentes aspectos de lamisma teoría unificada. Sin embargo, ¿cómo puede éste ser el caso,cuando las interacciones fuerte, débil y electromagnética son tandiferentes en intensidad y efecto? Aunque parezca extraño, los datos y lateoría actuales sugieren que estas variadas fuerzas confluyen hacia unaúnica fuerza, cuando las partículas afectadas están a energíassuficientemente altas. De hecho, desde los años 60 existe una teoríaunificada de las interacciones electromagnética y débil (conocidaobviamente como electrodébil) y actualmente existen diferentespropuestas de GUT, de tal forma que algunas propiedades delcomportamiento de las partículas a energía del orden de 1016 GeV sonconocidas y se pueden aplicar al estudio del universo cuando este teníaunos meros 10-35 segundos.

• Tiempo de Planck. 10-43s. Intervalo de tiempo resultante de lacombinación apropiada de las tres constantes fundamentales h (constantede Planck), c (velocidad de la luz) y G (constante de gravitaciónuniversal), por lo que se considera la unidad natural de tiempo.

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Biografías

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“La vista debe aprender de la razón”Johannes Kepler

Kepler, Johannes(1571-1630)

Nacido el 27 de diciembre de 1571, en Weil der Stadt, en Württemberg.Fue un niño enfermizo que padeció de furúnculos, dolores decabeza, miopía, infecciones de la piel, fiebres y afecciones alestómago y a la vesícula. Con cuatro años, casi sucumbió conlos estragos de la viruela. Cursó estudios de teología y clásicasen la Universidad de Tübingen. Tuvo como profesor dematemáticas a Michael Maestlin, partidario de la teoríaheliocéntrica del movimiento planetario desarrollada enprincipio por Nicolás Copérnico. Kepler aceptó la teoríacopernicana pensando que la simplicidad de su ordenamientoplanetario tenía que haber sido el plan de Dios. En el año 1594,viaja a Graz (Austria), donde elaboró una hipótesis geométricacompleja para explicar las distancias entre las órbitas planetarias. Posteriormente, dedujo que lasórbitas de los planetas son elípticas. Sostenía que el Sol ejerce una fuerza que disminuye deforma inversamente proporcional a la distancia e impulsa a los planetas alrededor de sus órbitas.Publicó un tratado titulado Mysterium Cosmographicum en 1596. Fue profesor de astronomía ymatemáticas en la Universidad de Graz de 1594 hasta 1600. Fue ayudante del astrónomo danésTycho Brahe en su observatorio de Praga. A la muerte de éste en 1601, fue nombradomatemático imperial y astrónomo de la corte del emperador Rodolfo II.

Una de sus obras más importantes durante esteperiodo fue Astronomía nova (1609), la granculminación de sus cuidadosos esfuerzos paracalcular la órbita de Marte. El tratado contiene la

exposición de dos de las llamadas leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Según laprimera ley, los planetas giran en órbitas elípticas con el Sol en un foco. La segunda, o regla delárea, afirma que una línea imaginaria desde el Sol a un planeta recorre áreas iguales de unaelipse durante intervalos iguales de tiempo. En el año 1612 se hizo matemático de los estados dela Alta Austria. Publicó Harmonices mundi, Libri (1619), cuya sección final contiene otrodescubrimiento sobre el movimiento planetario (tercera ley): la relación del cubo de la distanciamedia (o promedio) de un planeta al Sol y el cuadrado del periodo de revolución del planeta esuna constante y es la misma para todos los planetas.Le siguió Epitome astronomiae copernicanae (1618-1621), que reúne todos susdescubrimientos en un solo tomo. Su última obra importante aparecida en vida fueron lasTablas rudolfinas (1625). Basándose en los datos de Brahe, las nuevas tablas del movimientoplanetario reducen los errores medios de la posición real de un planeta de 5° a 10'.

Isaac Newton se basó en las teorías de Kepler para formular su ley de la gravitación universal.Kepler también realizó aportaciones en el campo de la óptica y desarrolló un sistemainfinitesimal en matemáticas, que fue un antecesor del cálculo.Falleció el 15 de noviembre de 1630 en Regensburg. Compuso este epitafio para su lápida :

"Medí los cielos, y ahora las sombras mido.En el cielo brilló el espíritu. En la tierra descansa el cuerpo."

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“Las matemáticas se escriben para los matemáticos”“El movimiento de la Tierra sola basta, pues, para explicar

tantas desigualdades aparentes en los cielos”Nicolás Copérnico

Copérnico, Nicolás(1473-1543)

Nació el 19 de febrero de 1473 en la ciudad de Thorn (en la actualidad Toru), en una familia decomerciantes y funcionarios. Su tío fue el obispo UkaszWatzenrode, que se preocupó por que su sobrino entrara en lasmejores universidades. Cursó estudios en la Universidad deCracovia, posteriormente viajó a Italia para estudiar derecho ymedicina.En enero de 1497 comienza sus estudios en derecho canónico enla Universidad de Bolonia, se doctoró en astronomía en Roma.También estudió medicina en Padua. Sin haber finalizadomedicina, se licenció en derecho canónico en la Universidad deFerrara en 1503 y volvió a Polonia. Residió en el palacioepiscopal de su tío en Lidzbark Warminski de 1503 a 1510,trabajando en la administración de la diócesis.Publicó su primer libro, una traducción del latín de cartas de ética de un autor bizantino delsiglo VII, Teofilatos de Simocata. De 1507 a 1515 escribió un tratado de astronomía, Dehypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus (conocido como elCommentariolus), la obra sentó las bases de su concepción heliocéntrica.

Viaja a Frauenburg, en 1512, ytoma parte en la comisión delquinto Concilio Luterano para lareforma del calendario (1515);escribió un tratado sobre el

dinero (1517) y escribe De revolutionibus orbium caelestium (Sobre las revoluciones de loscuerpos celestes), que culminó en 1530 y fue publicado el 24 de mayo de 1543. La teoría deCopérnico establecía que la Tierra giraba sobre sí misma una vez al día, y que una vez al añodaba una vuelta completa alrededor del Sol. Además afirmaba que la Tierra, en su movimientorotatorio, se inclinaba sobre su eje. Una de sus aportaciones fue el nuevo orden de alineación delos planetas según sus periodos de rotación. Notó que cuanto mayor era el radio de la órbita deun planeta, más tiempo tardaba en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Fue objeto denumerosas críticas, en especial de la Iglesia, por negar que la Tierra fuera el centro delUniverso.Galileo y el astrónomo alemán Johannes Kepler fueron sus seguidores. Falleció el 24 de Mayode 1543 en Frombork, Polonia.

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“Nunca me he encontrado con alguien tan ignorante de quien nopudiese aprender algo”

“La matemática es el alfabeto con el que Dios escribió el mundo”“Digamos que existen dos tipos de mentes poéticas: una apta para

inventar fábulas y otra dispuesta a creerlas”“El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojosy la verdadera filosofía está escrita en él... Pero no lo podemos leer amenos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres

con los cuales está escrito... Está escrito en lenguaje matemático y loscaracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas”

“Sin embargo, se mueve”(Frase apócrifa pronunciada mientras abjuraba del heliocentrismo).

De acuerdo con una tradición que no merece excesivo crédito, Galileodirigió esta frase a su perro mientras recitaba, el 22 de junio de 1633,

la anterior fórmula de abjuración.Galileo Galilei

Galilei, Galileo(1564-1642)

Galileo Galilei nació en Pisa el 15 de febrero de 1564.Pertenecía a una antigua familia de Florencia y su padre, Vincenzio, se dedicaba al comercio,que escasamente le daba para mantener a sus siete hijos de loscuales Galileo era el mayor. Vincenzio Galilei no era unsimple comerciante, se interesaba por la música y publicónumerosos libros. La educación que dio sus hijos es prueba desu amplio espíritu, que se expresa en el prefacio de una de susobras (“Diálogos de la música antigua y moderna”, Florencia,1581).Inscrito en 1581 en la Universidad de Pisa, como estudiantede medicina, Galileo descubrió la ley fundamental delmovimiento pendular viendo oscilar, según cuenta unapequeña historia, la gran araña de la catedral de Pisa, y aplicóesta ley a un instrumento que permite tomar el pulso a losenfermos. Excluido de la Universidad de Pisa, a causa de suespíritu libre e independiente, cuando cursaba su tercer año demedicina, Galileo regresó a Florencia donde fue discípulo delmatemático Ricci y se distinguió muy pronto con un ensayo sobre el centro de gravedad de lossólidos. En 1589, después de años de dificultades materiales, fue nombrado profesor dematemáticas de la Universidad de Pisa donde emprende sus experimentos sobre la caída de loscuerpos y el movimiento de los proyectiles.

En 1590 publicó susresultados en De motugravium, recibidos conhostilidad por el públicocientífico de la época acausa de sus ataquescontra la ciencia clásica.Abandonó entonces laUniversidad de Pisa paraocupar una cátedra dematemáticas en la Padua,en la cual, durantedieciocho años, gozó deuna gloria sin sombras.En Padua es donderealizó sus trabajos

fundamentales sobre la estática y sobre las temperaturas y la noción de calor. Siguió enseñandoa sus discípulos el sistema de Tolomeo, pero se sabe que en aquella época ya estaba convencidodel valor del sistema de Copérnico y de los trabajos de Kepler (Carta a Kepler de 1597).En 1609, por medio de una combinación de lentes, construyó un anteojo, llamado anteojo deGalileo que presentó a los gobernantes de Venecia el 21 de agosto de 1609. Donó este anteojo alos dogos de Venecia y el gran sabio se convirtió en una verdadera gloria nacional (con ayudade este anteojo podían verse los barcos en el Adriático, dos horas antes que a simple vista, desdelo alto del campanile de San Marcos de Venecia).Galileo construyó un centenar de anteojos, uno de los cuales, con un aumento de treinta veces,fue el instrumento de sus primeros descubrimientos astronómicos descritos en una obrapublicada en 1610: Sidereus nuntius (El mensajero de los astros). Con este anteojo, Galileopudo observar, el primero de entre los hombres, que la Luna no era una esfera plana, sino queposeía relieves, montañas, valles, etc.; que el Sol presentaba sobre su disco ciertas manchas que,por su desplazamiento, indicaban que giraba sobre sí mismo; que el planeta Venus presentaba

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fases como la Luna, cosa que demostraba que estaba animado de un movimiento de rotaciónentorno al Sol tal y como creía Copérnico.Descubrió también, en el mes de enero de 1610, cuatro satélites de Júpiter y se dio cuenta deque las estrellas no poseían diámetro aparente, cosa que era un signo de su enorme lejanía.Abandonó entonces sus enseñanzas en la Universidad de Padua y regresó a Florencia, donde seconvirtió en el adalid de las tesis de Copérnico, a pesar de que las teorías de éste fueran puestasen el Indice, en 1616.En 1623, publicó el Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo y, a pesar de ciertasprecauciones tomadas en su presentación, y del apoyo del papa Urbano VIII, el libro fueprohibido en 1632 y Galileo citado ante el tribunal de la Inquisición.La abjuración de Galileo tuvo lugar el miércoles 22 de junio de 1633, no en una plaza públicacomo se dice algunas veces, sino en la sala de honor del convento de Santa María SopraMinerva. Después de este penoso proceso, el ilustre sabio fue sometido a residencia vigiladaprimero en Siena y después en las afueras de Florencia, en Arcetri, donde reanudó sus trabajosde mecánica que expuso en los Diálogos de las Nuevas Ciencias, obra que se imprimióclandestinamente en Amsterdam, en 1638.Los últimos cuatro años de su vida, Galileo los pasó en una oscuridad total: a fines de 1637quedó completamente ciego.Murió el día 8 de enero de 1642, cuando trabajaba con su hijo en la puesta punto de un reloj conpéndulo regulador. Galileo dejó tres hijos: dos hijas (que tomaron estado religioso) y un hijo,que murió poco tiempo después que su padre.

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Isaac Newton(1642-1727)

La mayoría de las personas están familiarizadas en cierto grado con el nombre de Isaac Newton,debido a que su fama universal como descubridor de la ley dela gravedad ha seguido intacta durante los dos siglos y medioque han transcurrido desde su muerte.Sin embargo, no es tan conocido el hecho de que, entre suscolosales realizaciones, creó virtualmente las ciencias físicasmodernas y, en consecuencia, ha tenido una influencia másprofunda en la dirección de la vida civilizada que el auge y ladecadencia de los imperios. Quienes tienen autoridad paraemitir juicios a este respecto, le consideran, unánimemente, unode los pocos intelectuales supremos que ha producido la razahumana.

Newton nació en el seno de una familia campesina, en la aldea de Woolsthorpe, en Inglaterra.Se sabe muy poco sobre sus primeros años y al parecer su vida como estudiante en Cambridgefue poco distinguida.En 1665, una epidemia de peste hizo que las universidades cerraran sus puertas y Newtonregresó a su casa, en el campo, donde permaneció hasta 1667.Allí, en dos años de soledad rústica- de los 22 a los 24 años de edad- su ingenio creativo explotóen un torrente de descubrimientos no superados en toda la historia del pensamiento humano:

• las series binomiales para exponentes negativos y fraccionarios;• el cálculo diferencial e integral;• la gravitación universal como clave para explicar el mecanismo del sistema solar y• la resolución de la luz solar en el espectro visual, por medio de un prisma, con sus

implicaciones para la comprensión de los colores del arco iris y la naturaleza de la luzen general.

En sus últimos años, escribió las siguientes reminiscencias, sobre el periodo milagroso de sujuventud:

“En esos días, estaba en la mejor edad para los descubrimientos, y las matemáticas y lafilosofía (o sea, las ciencias) me interesaron más que nada, desde entonces”.

Newton fue siempre un hombre discreto y retraído y, en su mayor parte, se guardó para sí susdescubrimientos monumentales. No tenía interés en publicarlos y la mayor parte de sus grandesobras fueron arrancadas por los ruegos y la persistencia de sus amigos.De todos modos, su capacidad única era tan evidente para su maestro Isaac Barrow quien, en1669, dimitió su profesorado en favor de su alumno (¡un caso sin precedentes en la vidaacadémica!) y Newton se estableció en Cambridge durante los 27 años siguientes.Sus descubrimientos matemáticos nunca se publicaron realmente en forma conexa y llegaron aconocerse, en forma limitada, casi por accidente, por medio de conversaciones y de lasrespuestas a preguntas que le hicieron por carta. Consideró sus descubrimientos en matemáticasprimordialmente como un instrumento fructífero para el estudio de problemas científicos ycomo algo que, en sí mismo, tenía relativamente poco interés.Mientras tanto, en Alemania, Leibniz había inventado también el cálculo, de maneraindependiente; y debido a su constante correspondencia con los Bernoulli y a los trabajosposteriores de Euler, el nuevo análisis se extendió en todo el continente, donde permaneció a lacabeza durante 200 años.No se sabe gran cosa sobre la vida de Newton en Cambridge, en los primeros años de suprofesorado; pero es seguro que entre sus principales intereses se contaron la óptica y laconstrucción de telescopios. Experimentó muchas técnicas para esmerilar vidrios (con herramientas diseñadas por él mismo)y hacia 1670 construyó el primer telescopio de reflexión, el antepasado de los grandes

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“Si he logrado ver más allá que otros hombres es porque heestado a hombros de gigantes.”

“No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en miopinión, me he comportado como un niño que juega al borde

del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando unapiedra más pulida y una concha más bonita de lo normal,

mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mícompletamente desconocido.”

“Físicos, guardaos de los metafísicos.”“Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el

océano”Sir Isaac Newton

instrumentos que se utilizan actualmente en monte Palomar y en todo el mundo.La pertinencia y la simplicidad de su análisis prismático de la luz solar, marcó ese trabajo inicial

como uno de los clásicos sinlimitaciones de tiempo de lasciencias experimentales.No obstante, eso era sólo elcomienzo, puesto que fuepenetrando cada vez más en losmisterios de la luz y todos susesfuerzos en ese sentidosiguieron dando muestras de uningenio experimental del másalto orden.Publicó algunos de sus

descubrimientos; pero los científicos más destacados de su tiempo los recibieron con tantaestupidez contenciosa, que Newton se retrajo nuevamente en su concha, con una mayorresolución de trabajar, a partir de entonces, para su exclusiva satisfacción. Veinte años después,confió a Leibniz las palabras siguientes:

“En cuanto a los fenómenos de los colores... Estoy convencido de haber descubierto laexplicación más segura; pero no quiero publicarla en libros, por temor de que losignorantes inicien disputas y controversias contra mi”.

A fines de la década de 1670, Newton tuvo uno de sus lapsos periódicos de desagrado por lasciencias y dirigió sus energías hacia otros cauces. Todavía no había publicado nada sobredinámica o la gravedad y sus numerosos descubrimientos en esos campos permanecíasolvidados sobre su escritorio. Sin embargo, al fin, estimulado y enojado por las pretensiones ylas críticas de Robert Hooke y calmado por la intervención diplomática de Edmund Halley,dedicó su atención nuevamente a esos problemas y comenzó a escribir su obra principal, “Losprincipios matemáticos de la filosofía natural”, conocido como “Los Principia”.Cuando Newton se dedicaba al trabajo científico se parecía a un volcán activo, con largosperiodos de inactividad, contrastados, de vez en cuando, por grandes erupciones de unaactividad casi sobrehumana. El libro Principia lo escribió en 18 meses de increíbleconcentración, y cuando se publicó, en 1687, se reconoció inmediatamente que era una de lasrealizaciones supremas de la mente humana.En esa obra, estableció los principios básicos de la mecánica teórica y la dinámica de losfluidos, aplicó el primer tratamiento matemático al movimiento ondulado, dedujo las leyes deKepler a partir de la ley de cuadrados inversos de la gravitación y explicó las órbitas de loscometas; calculó las masas de la Tierra, el Sol y los planetas con sus satélites, explicó la formaaplastada de la Tierra y utilizó esta idea para explicar la precesión de los equinoccios, ademásde que estableció la teoría de las mareas. Estas son tan sólo unas cuantas de las numerosasmaravillas de su obra prodigiosa.Los Principia es un libro de lectura difícil, porque tiene un estilo de inhumana lejanía que quizásea el más apropiado para la grandeza del tema. Asimismo contiene densas ecuacionesmatemáticas de geometría clásica, poco cultivada en su época y todavía menos en la actualidad.En cuanto a la dinámica y mecánica celeste, logró concluir magníficamente la obra que habíaniniciado Copérnico, Kepler y Galileo. Ese triunfo fue tan completo que los trabajos de losprincipales científicos en esos campos, durante los dos siglos siguientes, fueron poco más quenotas calcadas de esta síntesis colosal.También vale la pena recordar que la espectroscopia ha contribuido, más que ninguna otraciencia, al progreso de los conocimientos astronómicos del universo en general; tuvo su origenen el análisis prismático de la luz del Sol, que realizó Newton.Después de la poderosa erupción de su ingenio que lo llevó a la creación de los Principia,Newton volvió a alejarse de las ciencias. En 1696, abandonó Cambridge para ir a Londres, conel fin de convertirse en Warden of the Mint (y posteriormente en Master), y durante el resto desu larga vida, se introdujo un poco en la sociedad e inclusive comenzó a gozar un poco de su

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“La naturaleza y sus leyes permanecían escondidas enla noche. Dijo Dios "Hágase Newton" y todo fue luz.”

Alexander Pope

posición única, en el pináculo de la fama como científico. Fue nombrado inspector y más tardedirector de la Casa de la Moneda en Londres, donde vivió hasta 1696. En 1703 fue elegidopresidente de la Sociedad Real, un cargo que ocupó hasta el final de su vida y en 1705 fue hechocaballero por la reina Ana, como recompensa a los servicios prestados a Inglaterra.

Esos cambios de intereses y deambiente no se reflejaron en unadisminución de su capacidad intelectualinigualable. Por ejemplo, un atardecer,al final de un día de trabajo agotador en la Moneda, se enteró del problema de la braquistócronade Johann Bernoulli- presentado como un desafío "para los matemáticos más brillantes delmundo"- y lo resolvió esa misma noche, antes de acostarse.La publicación de su obra Opticks, en 1704, fue mucho más importante para la ciencia. En eselibro, reunió y amplió sus trabajos anteriores sobre la luz y los colores.

Además de su interés por la ciencia, Newton también se sintió atraído por el estudio de laalquimia, el misticismo y la teología. Falleció el 20 de marzo de 1727 en Londres tras un bruscoempeoramiento de su afección renal. Reposa en la abadía de Westminster. Newton dejó unacuantiosa colección de manuscritos personales. Con sorpresa los investigadores descubrieronmiles de folios conteniendo estudios de alquimia, comentarios de textos bíblicos, así comocálculos herméticos oscuros e ininteligibles.

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Einstein, Albert(1879-1955)

Nace el 14 de marzo de 1879 en Ulm (Baden-Württemberg), Alemania. Muere el 18 de abril de1955 en Princeton (New Jersey), E.E.U.U.Físico y matemático, fundador de la Teoría de la Relatividad, a lacual va unida la gran fama que rodea su nombre.Hijo de un pequeño industrial, sigue estudios regulares en suciudad natal hasta los 15 años. En 1894, debido a las dificultadeseconómicas, se traslada a Italia con su familia y poco despuésviaja a Suiza, donde, en 1895 suspende el examen que le habríapermitido estudiar ingeniería eléctrica en Zurich. Tras un año depreparación en la escuela de Arau, entra en el Politécnico deZurich; obtiene el diploma en 1900 y adopta la ciudadanía suiza alaño siguiente.En 1902 consigue un empleo en la Oficina Federal de Patentes deBerna; este período es probablemente el más fecundo para suactividad científica, logrando, hacia el año 1905, los frutos de sus largas investigaciones: losAnnalender Physik publican dos escritos fundamentales del joven científico; el primero contienela enunciación de la Teoría Cuántica del Efecto Fotoeléctrico (por el que le dan el Nobel en1921), y el segundo, bajo el título de Electrodinámica de los cuerpos en movimiento, es laprimera enunciación de los principios de la Teoría de la Relatividad Especial.En este mismo año, 1909, Einstein es nombrado profesor de la universidad y más tarde delPolitécnico de Zurich, cargo que ejerce hasta 1914, año en que por consejo de Max Plank, setraslada a Berlín, permaneciendo casi veinte años en la Academia Prusiana de Ciencias ysucediendo a Van't Hoff en la dirección del Kaiser Wilhelm Institut.En todos estos años que siguen a 1905, aunque sus estudios se encaminan con preferencia aldesarrollo de la Teoría de la Relatividad, Einstein aporta ideas fundamentales en otros camposde la física teórica: en 1906 formula la teoría de los movimientos Brownianos, y en 1907 da aconocer la teoría cuántica de los calores específicos, estudios que continúa en los añossiguientes.A la generalización de la teoría de la relatividad y a la conexión entre los fenómenosgravitacionales y movimientos acelerados Einstein dedica en Zurich, Praga y Berlín gran partede su actividad, sacando deducciones cuantitativas de las hipótesis fundamentales que puedanser verificadas experimentalmente: afirma que los rayos luminosos de las estrellas se curvan alpasar por las proximidades del Sol (1911) ; da una interpretación de algunas irregularidades delmovimiento de Mercurio, que no encontraban explicación en el ámbito de la mecánicanewtoniana (1915), y explica teóricamente el desplazamiento hacia el rojo de las líneasespectrales.En 1916 publica la Teoría general de la Relatividad, obra que el mismo juzga como su mayorcontribución al pensamiento científico; en varias ocasiones llega a decir que la Teoría de laRelatividad restringida habría sido enunciada incluso sin necesidad de su intervención, ya quesu enunciación estaba en el ambiente, mientras que con bastante mayor dificultad se habríapensado, en ausencia de hechos experimentales, en tocar la teoría de la gravitación que parecíadefinitivamente afirmada por Newton.

Einstein elabora una teoría que une los fenómenos de la gravitación y del electromagnetismo enuna sola fórmula , que simplifica en 1953 en la ecuación E=mc2.Debido a la persecución racial nazi deja Alemania, estableciéndose en Bélgica y después enEstados Unidos, trabajando en el Instituto de Estudios Superiores de Princeton y adoptando en1940 la ciudadanía americana.

Hombre sencillo descuida toda exterioridad y formalismo, y estas cualidades humanascontribuyen en alto grado a granjearle la simpatía del gran público.

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“Dios no juega a los dados”“La mecánica cuántica es muy imponente. Pero una voz interior

me dice que todavía no es la última verdad. La teoría aportamucho; sin embargo, casi no nos acerca al secreto de El Viejo. Encualquier caso, estoy convencido de que Él no juega a los dados”“¿Cómo explicar que las matemáticas, un producto de la mente

humana, independiente de la experiencia, se adapte tanadmirablemente bien a los objetos de la realidad?”

“No entiendes realmente algo a menos que seas capaz deexplicárselo a tu abuela”

“Si crees que tienes problemas con las matemáticas, no tepreocupes, te aseguro que los míos son peores”

Albert Einstein

El alcance filosófico de su obra ha sido y sigue siendo muy grande, puesto que la radicalmodificación de los conceptos de espacio y tiempo introducida por la Teoría de la Relatividadlleva consigo implicaciones filosóficas de gran importancia.La eliminación en el dominio de la Física de los conceptos de un espacio y de un tiempoabsoluto ha constituido una verdadera revolución del pensamiento científico. Según Newton, loshechos se desarrollaban en un cuadro inmutable, constituido por un espacio y un tiempoabsolutos; Einstein da la vuelta literalmente a ese punto de vista, pues según la Teoría de laRelatividad no tiene sentido hablar de espacio y de tiempo, sino en relación a los fenómenos queallí se desarrollan. Para llegar a este punto de vista tan revolucionario hace falta unaextraordinaria libertad de pensamiento que permita derribar conceptos que durante dos sigloshabían sido los pilares de la Física. Einstein demuestra poseer esta libertad y el coraje intelectualpara atacar por los cimientos un edificio científico cuyo prestigio derivaba de grandiosos éxitos.

Pero aunque sus ideas hanproducido profundos cambiosen las bases del pensamientofísico y fuese todo locontrario a un conservador,persigue hasta los últimosaños el ideal propio de laFísica clásica: en cadafenómeno de la realidadobjetiva puede establecerseuna clara relación entre causay efecto. Tal planteamientono es compartido por lamayor parte de los físicoscontemporáneos, los cuales, fundándose en los principios de la Teoría Cuántica, sostienen quelos acontecimientos que se desarrollan a escala atómica no son singularmente concebibles demodo completo (Principio de Indeterminación). Esta profunda divergencia de ideales científicoslleva a Einstein a rechazar generalizaciones que consideraba arbitrarias de la Teoría Cuántica,de la cual es sin embargo uno de los fundadores.Son también notables sus ideas en otros terrenos. Por ejemplo, en 1914 se niega a firmar elmanifiesto de los intelectuales alemanes que trata de justificar la agresión alemana contraBélgica; se dedica a proteger a los judíos y darles una patria en Palestina; protesta contra laviolencia nazi, y no ahorró esfuerzos para ayudar a los perseguidos por la política hitleriana.

En 1939, Fermi, Szilard y Eugene Xigner se dirigen a él para pedirle que, con su autoridad,solicite el apoyo del presidente Roosvelt para el proyecto de preparación de la bomba atómica.La elección para Einstein es dramática: seguir negando todo apoyo a cualquier iniciativabélica, corriendo el riesgo de que los alemanes lleguen a ser los primeros en poseer la terriblearma, o renunciar a ideas afirmadas durante decenios. La necesidad de oponerse a la amenazadel dominio nazi sobre el mundo le induce a abandonar sus dudas y a escribir la histórica cartaque da la señal de partida a los proyectos para la producción de la bomba atómicanorteamericana. Pero durante diez años, desde 1945, fecha de la destrucción atómica deHiroshima y Nagasaki, hasta su muerte, Einstein pone todo su prestigio al servicio de la causadel empleo pacífico de la energía atómica. Cuando a Einstein le preguntaron, qué armas seemplearían en la tercera guerra mundial contesto: “No lo sé, pero en la cuarta se usarán palos ypiedras”.

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En 1948 se creó el estado de Israel. Cuando Chain Weizmann, el primer presidente de Israel yun viejo amigo de Einstein, murió en 1952, a Einstein le ofrecieron la presidencia. Rechazó elofrecimiento diciendo “Estoy profundamente conmovido por el ofrecimiento del Estado deIsrael y a la vez tan entristecido que me es imposible aceptarlo”.

El propio Einstein nunca entendió la fascinación pública que provocaba con cada cosa quehacía, afirmando en una ocasión “¿Por qué nadie me entiende y gusto a todo el mundo?”. Cada14 de Marzo, Einstein recibía numerosas tarjetas de felicitación de personas de todo el mundo.Murió el 19 de Abril de 1955 en el hospital de Princeton. Fue incinerado y sus cenizasenterradas en un lugar desconocido.Después de la muerte de Einstein, sus hijas Margot y Helen Dukas permanecieron en la casahasta sus muertes en 1986 y 1982 respectivamente. Tal y como fue su deseo la casa en la quevivió sus últimos años nunca se convirtió en un museo.

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Niels Bohr (1885-1962)

Físico danés, galardonado con el premio Nobel, que hizoaportaciones fundamentales en el campo de la física nuclear yen el de la estructura atómica.Bohr nació en Copenhague el 7 de octubre de 1885; era hijo deun profesor de fisiología y estudió en la universidad de suciudad natal, donde alcanzó el doctorado en 1911. Ese mismoaño fue a la Universidad de Cambridge (Inglaterra) para estudiarfísica nuclear con J.J. Thomson, pero pronto se trasladó a laUniversidad de Manchester para trabajar con Ernest Rutherford.

La teoría de la estructura atómica de Bohr, que le valió elPremio Nobel de Física en 1922, se publicó en una memoriaentre 1913 y 1915. Su trabajo giró sobre el modelo nuclear delátomo de Rutherford, en el que el átomo se ve como un núcleocompacto rodeado por un enjambre de electrones más ligeros. El modelo de átomo de Bohrutilizó la teoría cuántica y la constante de Planck. El modelo de Bohr establece que un átomoemite radiación electromagnética sólo cuando un electrón del átomo salta de un nivel cuántico aotro. Este modelo contribuyó enormemente al desarrollo de la física atómica teórica.

En 1916, Bohr regresó a la Universidad de Copenhague como profesor de física, y en 1920 fuenombrado director del Instituto de Física Teórica de esa universidad, recién constituido. Allí,Bohr elaboró una teoría que relaciona los números cuánticos de los átomos con los grandessistemas que siguen las leyes clásicas, y realizó otras importantes aportaciones a la físicateórica. Su trabajo ayudó a impulsar el concepto de que los electrones se encuentran en capas yque los de la última capa determinan las propiedades químicas de un átomo.

En 1939, reconociendo el significado de los experimentos de la fisión de los científicosalemanes Otto Hahn y Fritz Strassmann, Bohr convenció a los físicos en una conferencia enEstados Unidos de la importancia de estos experimentos. Más tarde, demostró que el uranio 235es el isótopo del uranio que experimenta la fisión nuclear.Bohr regresó posteriormente a Dinamarca, donde fue obligado a permanecer después de laocupación alemana del país en 1940. Sin embargo, consiguió llegar a Suecia con gran peligro desu vida y de la de su familia. Desde Suecia, la familia Bohr viajó a Inglaterra y por último a losEstados Unidos, donde Bohr se incorporó al equipo que trabajaba en la construcción de laprimera bomba atómica en Los Álamos (Nuevo México), hasta su explosión en 1945. Bohr seopuso, sin embargo, a que el proyecto se llevara a cabo en total secreto, y temía lasconsecuencias de este siniestro nuevo invento. Deseaba un control internacional.

En 1945, Bohr regresó a la Universidad de Copenhague donde, inmediatamente, comenzó adesarrollar usos pacifistas para la energía atómica. Organizó la primera conferencia 'Átomospara la paz' en Ginebra, celebrada en 1955, y dos años más tarde recibió el primer premio'Átomos para la paz'. Bohr murió el 18 de diciembre de 1962 en Copenhague.

79

Max Planck ( 1858 - 1947 )

Nació en Kiel, Alemania. Después de estudiar en Munich y Berlin, Planck obtuvo su grado dedoctor en 1879. Después de ocupar un cargo en la Universidad de Kiel, Planck fue nombradoprofesor de Física Teórica de la Universidad de Berlin en1899 sustituyendo a Kirchhoff, permaneció aquí hasta1926. Planck fue premiado en 1918 con el premio Nobelpor su descubrimiento de la naturaleza cuantizada de laenergía.

Al comenzar su carrera, Planck se dedicó al estudio de laTermodinámica, tema éste por el que se interesó a lolargo de toda su vida. Se propuso deducir la ley teórica dela radiación de cuerpo negro. El éxito que coronó suesfuerzo marca el comienzo de la física cuántica, y lo queahora se conoce como constante de Planck apareció porprimera vez en un artículo suyo de 1900.

La vida de Planck estuvo llena de tragedias personales.Uno de sus hijos fue muerto en acción en la PrimeraGuerra Mundial, y dos hijas suyas murieron durante elparto en el mismo periodo. Su casa fue destruida porbombas en la Segunda Guerra Mundial, y su hijo Erwin fue ejecutado por los nazis en 1944después de habérsele acusado de planear el asesinato de Hitler.

Se convirtió en presidente del Kaiser Wilhem Institute de Berlin en 1930. En su honor dichocentro cambió su nombre por el de Insituto Max Planck después de la Segunda Guerra Mundial.Pasó los dos últimos años de su vida en Göttingen como un honrado y respetado científico yhumanista.

80

Werner Karl Heisenberg (1901-1976)

Físico y Premio Nobel alemán, que desarrolló un sistema de mecánica cuántica y cuyaindeterminación o principio de incertidumbre ha ejercido una profunda influencia en la física yen la filosofía del siglo XX.Heisenberg nació el 5 de diciembre de 1901 en Wurzburgoy estudió en la Universidad de Munich. En 1923 fueayudante del físico alemán Max Born en la Universidad deGotinga, y desde 1924 a 1927 obtuvo una beca de laFundación Rockefeller para trabajar con el físico danésNiels Bohr en la Universidad de Copenhague. En 1927 fuenombrado profesor de física teórica en la Universidad deLeipzig. Después fue profesor en las universidades deBerlín (1941-1945), Gotinga (1946-1958) y Munich (1958-1976). En 1941 ocupó el cargo de director del InstitutoKaiser Wilhelm de Química Física (que en 1946 pasó allamarse Instituto Max Planck de Física).

Estuvo a cargo de la investigación científica del proyecto dela bomba atómica alemana durante la II Guerra Mundial. Bajo su dirección se intentó construirun reactor nuclear en el que la reacción en cadena se llevara a cabo con tanta rapidez queprodujera una explosión, pero estos intentos no alcanzaron éxito. Estuvo preso en Inglaterradespués de la guerra.

Heisenberg, uno de los primeros físicos teóricos del mundo, realizó sus aportaciones másimportantes en la teoría de la estructura atómica. En 1925 comenzó a desarrollar un sistema demecánica cuántica, denominado mecánica matricial, en el que la formulación matemática sebasaba en las frecuencias y amplitudes de las radiaciones absorbidas y emitidas por el átomo yen los niveles de energía del sistema atómico. El principio de incertidumbre desempeñó unimportante papel en el desarrollo de la mecánica cuántica y en el progreso del pensamientofilosófico moderno.

En 1932, Heisenberg fue galardonado con el Premio Nobel de Física. Entre sus numerososescritos se encuentran Die physikalischen Prinzipien del Quantentheori (Los principios físicosde la teoría cuántica, 1930), Cosmic Radiation (Radiación cósmica, 1946), Physics andPhilosophy (Física y filosofía, 1958) e Introduction to the Unified Theory of ElementaryParticles (Introducción a la teoría unificada de las partículas elementales, 1967).

81

Anexos

82

ANEXO I

Factores de Conversión

Longitud 1 año luz (ly) = 9’460 · 1012 Km

1 parsec (pc) = 3’086 · 1013 Km = 3’26 ly

1 micra (µm) = 10-6 m

1 angstrom (Å) = 10-10 m

1 fermi (fm) = 10-15 m

Masa 1 MeV/c2 = 1’78266270(54)·10-30 Kg

1 unidad de masa atómica (uam) = 1’6605·10-27 Kg = 931’49432(28) MeV/c2

Volumen 1 litro (l) = 1000 cm3 = 1 dm3

Densidad 1 g/cm3 = 1000 Kg/m3

Fuerza 1 newton (N) = 105 dinas (dyn)

1 kilopondio (Kp) = 9’807 N

Energía 1 joule (J) = 1 N·m = 107 ergios (erg) = 0’2389 cal

1 caloría (cal) = 4’186 J

1 kilowatt hora (KWh) = 3’60·106 J = 860’0 Kcal

1 electrón-voltio (eV) = 1’602·10-19 J

1 MeV = 103 KeV = 106 eV

Potencia 1 watt (W) = 1 J/s

Presión 1 N/m2 = 10 dyn/cm2 = 9’869·10-6 atm

1 atmósfera (atm) = 1’013·105 N/m2

83

ANEXO II

Constantes Físicas

Aceleración de la gravedad g = 9’806 m/s2

Constante de gravitación G = 6’673·10-11 N·m2/Kg2

Radio medio de la Tierra 6371 Km

Masa de la Tierra 5’977·1024 Kg

Radio medio del Sol 696000 Km

Masa del Sol 1’989·1030 Kg

Distancia media Tierra-Sol (1 U.A.) 1’496·108 Km

Masa de la Luna 7’35·1022 Kg

Distancia media Tierra-Luna 384400 Km

Masa del protón (en reposo) mp = 1’672·10-24 g = 938’27231(28) MeV/c2

Masa del neutrón (en reposo) mn = 1’675·10-24 g = 939’56563(28) MeV/c2

Masa del electrón (en reposo) me = 9’109·10-28 g = 0’51099906(15) MeV/c2

Carga elemental e = 1’602·10-19 C

Radio clásico del electrón re = 2’818·10-13 cm

Radio de Bohr a0 = 5’292·10-19 cm

Constante de Boltzmann KB = 1’381·10-23 J/K = 8’62·10-5 eV/K

Constante de Planck h = 6’626·10-34 J·s = 4’1357·10-15 eV·s

Constante de Planck reducida h = h/2π

Constante de los gases R = 8’314 J/K·mol = 1’987 cal/K·mol = 0’082 l·atm/K·mol

Constante de Stephan-Boltzmann σ = 5’670·10-8 W/m2·K4

Constante de estructura fina α = 7’297·10-3 = 1/137’0359895(61)

Número de Avogadro NA = 6’022·1023 mol-1

Velocidad de la luz en el vacío c = 299792’458 m/s

84

ANEXO III

Ecuaciones de Einstein del Campo Gravitatorio

La física newtoniana nos da lugar a la ecuación de Poisson:

∆φ π ρ= 4 G

Donde φ es el potencial del campo gravitatorio y ρ es la densidad de materia que logenera. (Notar que si no hay fuente aparece la ecuación de Laplace). Lo cual, expresadoen lenguaje coloquial se puede traducir por:

( )( ) ( )∂ = ⋅2 potencial ct fuente

En Relatividad General ha de tener una estructura similar, ya que la ecuación de Poissonha de aparecer de forma natural como caso límite de la RG.¿Qué va a generar el campo gravitatorio? Lo más lógico es que sea la distribución deenergía (masa), la cual queda determinada por el tensor de Energía-Momento Tλµ. Así,proponemos:

S Tλµ λµχ= ⋅

Donde χ es una constante y Sλµ recibe el nombre de Tensor de Einstein.De Sλµ sabemos que:

1) Es un tensor simétrico y dos veces covariante.2) Al incluir todas las energías tenemos que ∇ =λ

λµT 0 , lo cual impone que

∇ =λλµS 0 también.

3) Sλµ depende linealmente de las ∂2 gαβ .

4) En el límite newtoniano debe aparecer la ecuación de Poisson.

El tensor más general que cumple 1) y 3) es:

S aR bg R gλµ λµ λµ λµ= + + Λ

Con a, b y Λ constantes.Ahora aplicando 2):

∇ = ∇ + ∇ + = +FHG

IKJ∇ =λ λµ λ µ

λµ µS a R b R

ab R0

20

Donde se ha usado la segunda identidad de Bianchi contraida dos veces

( ∇ = ∇λ µλ

µR R12

). Con lo que:

a + 2b = 0

Así, dividiendo por a y redefiniendo Λ y χ obtenemos:

R g R g Tλµ λµ λµ λµχ− + = ⋅12

Λ

85

Λ recibe el nombre de constante cosmológica y tiene unidades de longitud-2.

Por consideraciones dimensionales y aplicando 4) podemos obtener que χπ

=8

2

Gc

y que

Λ = 0, o bien, muy pequeña.

Resumiendo,

R g RG

cTλµ λµ λµ

π− =

12

82

Que son las denominadas Ecuaciones de Einstein del Campo Gravitatorio.Es un sistema de 10 ecuaciones diferenciales de 2º orden acopladas y no lineales.

Al no ser lineales no es válido el principio de superposición, i.e. la suma de solucionesno es solución. Esto se debe, entre otras cosas, a que el campo gravitatorio es fuente desí mismo, se autoalimenta.

86

ANEXO IV

Modelos Particulares

A partir de ρ y p reales obtenemos a(t). Es decir, se impone una ecuación barotrópicadel tipo p = p(ρ) conocida.

Los casos esenciales son:

• Materia pulverulenta (“dust”)p = 0

• Materia comprimida o de tipo radiativo.

p = 13

ρ

(El 1/3 viene de que es el factor necesario para hacer que el tensorenergía-momento tenga traza nula).

Modelos Históricos

• Universo Estático de Einstein

a = constante ≡ aE

Esto implica que, ρ + =3 0p . Por otra parte &ρ ρ ρ= → = ≡0 constante E . Así, de latercera ecuación de Friedmann, tenemos que:

χρε

εεε

EEa

== →= − →=

RS|T|

30

12

No. Minkowsky.

No. Densidad negativa.

1

El tercer caso era el único válido, sin embargo da lugar a que p sea <0. Por esta razónEinstein modificó su teoría añadiendo un término que, de forma efectiva, actuaba comouna presión negativa. Es la constante cosmológica.

R g R T gλµ λµ λµ λµχ− = −12

Λ

Con lo que la presión y la densidad quedan modificadas de la siguiente manera.

~

~

p p= +

= −

Λ

Λχ

ρ ρχ

Este cambio deja invariante las ecuaciones de Einstein, ya que elimina el término de laconstante cosmológica y la suma de ~ ~ρ + 3p es positiva.

87

Haciendo ~p → 0 (universo pulverulento) obtenemos,

Λ =1

aE

χρ~ =2

2aE

Es una relación entre materia y radio de curvatura. Estamos en un universo cerrado. Esun universo finito e ilimitado; una esfera 3D.

Al tiempo que Hubble demostró que el universo no es estático y está en expansiónEinstein desechó el término de la constante cosmológica diciendo que fue el mayorerror de su vida.Einstein fue el primero en tratar el Universo como un todo y en cambiar la topología deR3xR a RxS(3).

• Modelos de de-Sitter

Son los modelos de curvatura constante, y por lo tanto máximamente simétricos. Exigióque el espacio-tiempo fuera homogéneo e isótropo, y no tan sólo el espacio.

Como soluciones de vacío obtuvo:

&a a2 2

3+ =ε

Λ

Lo cual nos da lugar a tres casos posibles en función de ε:

ParámetrosFactor de

EscalaElemento de línea

ε = 1Λ > 0de Sitter

a tt

( ) cosh= FHG

IKJα

α

α =3

Λ

ds dtt dr

rr d d2 2 2 2

2

22 2 2 2

1= − + F

HGIKJ −

+ + ⋅LNM

OQPα

αθ θ φcosh ( sin )

ε = 0Λ > 0“Steady State”Einstein-de Sitter

a t et( ) = α ds dt e dx dy dzt2 2 2 2 2 2= − + + +α c h

ε = -1Λ < 0Anti de Sitter

a tt

( ) cos= FHG

IKJα

α

α =−3Λ

ds dtt dr

rr d d2 2 2 2

2

22 2 2 2

1= − + F

HGIKJ +

+ + ⋅LNM

OQPα

αθ θ φcos ( sin )

ε = -1Λ = 0Estado Asintóticode Milne

a t t( ) = ds dt tdr

rr d d2 2 2

2

22 2 2 2

1= − +

++ + ⋅

LNM

OQP( sin )θ θ φ

El cuarto modelo es una parte de Minkowski en coordenadas diferentes.

(1)

88

Bibliografía

89

Física Cuántica

Física CuánticaR. Eisberg, R. Resnick, Ed. Limusa, 1994

Física Multidimensional

El Universo EleganteBrian Greene, Ed. Crítica, 2001

Relatividad General

Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General.Albert Einstein, Ed. Alianza, 1916

Agujeros Negros y Tiempo Curvo.Kip S. Thorne, Ed. Crítica., 1994

La Relatividad General de la A a la B.Robert Geroch, Ed. Alianza – DL1985, 1978

General Relativity.Ian R. Kenyon, Oxford University Press, 1991

Introducing Einstein’s Relativity.Ray d’Inverno, Oxford University Press, 1992

Relatividad Especial

¿Qué es la Teoría de la Relatividad?Levi Landau, Ed. Ricardo Aguilera, 1968

¿El Legado de Einstein?Julian Schwinger, Ed. Prensa Científica, 1987

Física (vol.2)Paul A. Tipler, Ed. Reverté, 1993

90

Cosmología

Los Tres Primeros Minutos del Universo.Steven Weinberg, Ed. Salvat, 1977

Arrugas en el Tiempo.George Smoot, Ed. Plaza &Janés, 1993

Historia del Tiempo. Del Big Bang a los Agujeros Negros.Stephen Hawking, Ed. Alianza, 1988

La Creación del Universo.George Gamow, Ed. RBA, 1952

An Introduction to Modern CosmologyAndrew Liddle, Ed. Wiley, 1999

L’Univers en una Closca de NouStephen Hawking, Ed. Crítica, 2002