física 2 · pero vimos que en el caso magnético no existen monopolos, por lo que la carga neta...

Profesor: Ignacio J. GeneralEscuela de Ciencia y Tecnología

UNSAM

Física 2Física 2

2

Física 2Física 2

Fuentes del campo magnFuentes del campo magnééticotico

3

● En el caso eléctrico, existen cargas elementales que generan las interacciones eléctricas: cargas positivas y negativas (ej, protón y electrón)

● En el caso magnético, no existen tales monopolos magnéticosmonopolos magnéticos ● Las cargas magnéticas siempre ocurren de a pares, como los polos de un imán● Más generalmente, se puede decir que las cargas magnéticas siempre ocurren de

esa manera, a través de dipolos magnéticosdipolos magnéticos, ya sea de un imán, o de una espira de corriente

● Incluso los átomos, al tener electrones orbitando (una corriente) poseen un momento dipolar magnético, μ

● Mas aún, las mismas partículas elementales, ya tengan carga o no, poseen un momento dipolar magnético intrínseco, llamado espínespín

● En realidad, son estos espines de cada partícula los que generan el magnetismo de un imán macroscópico

Fuentes del campo magnético

Física 2 – Ondas, óptica y electromagnetismo – UNSAM

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Campo magnético de una carga en movimientoCampo magnético de una carga en movimiento

Se ve experimentalmente que:

O, si consideramos una corriente:

donde n es la densidad de cargas, y nAl es el número de cargas

Pero la corriente venía dada por nqvA. Entonces,



A

l

v

B=μ0

4 π

q v× r

r2

Campo magnético generado por una corriente en un elemento de linea dl

+q

rv

× B

B=(μ0

4 π

q v×r

r2 )⋅nAl

dB=μ0

4 π

i dl×r

r2Ley de Biot-SavartLey de Biot-Savart

μ0=4 π×10−7 T m A−1 Constante de permeabilidad del vacío Constante de permeabilidad del vacío

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Campo debido a un alambre recto infinito de corrienteCampo debido a un alambre recto infinito de corriente

Pero,

Entonces,

Lineas de campo:



dB=μ0

4 π

i dl×r

r2⇒ dB=

μ0

4 π

i dl sen(θ)

r2

B=μ0 i

4 π∫−∞

∞ R

(l2+R2

)3/2 dl ⇒

r=√R2+ l2 ; sen(θ)=sen(π−θ)=

Rr

ridl

R × B

θ

l

B=μ0 i

2π R

Lineas de campo por https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Book:_University_Physics_(OpenStax), CC BY-NC-SA 3.0

https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Book:_University_Physics_(OpenStax

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Fuerza entre cables paralelosFuerza entre cables paralelos

● Un cable con corriente genera un campo magnético:● Ese campo generará una fuerza en otro cable cercano:

● Entonces, ➢ dos cables paralelos con corrientes en el mismo sentido se atraenmismo sentido se atraen➢ dos cables paralelos con corrientes en sentido opuesto se repelensentido opuesto se repelen



B=μ0 i /(2π R)

dF=i dl×B

i1

B1

i2

F12

R

B=μ0 i1 /(2π R) ; dF12=i2 B dl sen(90o) ⇒ dF12=i2 B dl

dF12=μ0 i1 i2

(2π R)dl ⇒

F12

L=

μ0 i1 i2

(2π R)

Fuerza por unidad de Fuerza por unidad de longitud entre dos cables longitud entre dos cables paralelos con corrienteparalelos con corriente

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Campo en el centro de una espira circular de corrienteCampo en el centro de una espira circular de corriente

Campo en el eje de una espira circular de corrienteCampo en el eje de una espira circular de corriente



x

y

z

BR

r

idl

dB=μ0

4 π

i dl× r

r2

dB=μ0

4 π

i dl sen(θ)

R2 ⇒ B=μ0

4 π

i

R2 ∫0

2π R

dl ⇒ B=μ0 i

2 R

x

y

B

R

r

idl

By

Bx

θθ

z

Se hace de la misma manera, pero considerando las componentes de B

Se llega a:

Lineas de campo:

B=μ0

2R2 i

( z2+R2)

3 /2z

Lineas de campo por https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Book:_University_Physics_(OpenStax), CC BY-NC-SA 3.0

https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Book:_University_Physics_(OpenStax

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Dipolo magnético de una espira de corriente (o analogía espira/imán)Dipolo magnético de una espira de corriente (o analogía espira/imán)

Habíamos visto que una espira posee un momento magnético

Y, si es ubicado en un campo magnético externo, siente un torque

Y su energía potencial es

La espira con corriente posee un La espira con corriente posee un μμ, por lo que reacciona ante un campo , por lo que reacciona ante un campo BB externo externo

Pero vemos ahora que N espiras también crean un campo B en sus alrededores:

La espira con corriente genera un campo La espira con corriente genera un campo BB, dado por su momento magnético , dado por su momento magnético μμ



B=μ0

2 π

N i A

(z2+R2 )

3/2z →

μ=N iA n

τ=μ×B

U=−μ⋅B

B=μ0

2 π

μ

(z2+R2 )

3/2

Izquierda: By Maschen - Own work, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=16179829Derecha: By Maschen - Own work, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=16180291

Un imán y una espira son Un imán y una espira son físicamente equivalentes: físicamente equivalentes:

ambos crean un B y ambos crean un B y reaccionan ante un B externoreaccionan ante un B externo

Lineas de campo de un imán (izq.) y una espira (der.)

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=16179829

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Espín del electrón Espín del electrón

Los electrones atómicos tienen un momento angular orbital L. Es posible demostrar que todo L (cualquiera sea su origen) está asociado a un momento magnético. Por lo tanto, el electrón también posee un momento magnético μ

L, La relación entre ellos es

Pero los electrones (y toda partícula) tienen otro momento angular llamado espínespín, S (de origen cuántico), y por lo tanto un momento magnético μ

S:

El espín es una propiedad intrínseca de toda partículaEl espín es una propiedad intrínseca de toda partícula

Se=S

p=S

n=1/2·ħ

Sν=1·ħ



μ s=−em

S

μ=−e

2mL

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Espín del electrón: magnetización de materialesEspín del electrón: magnetización de materiales

● Los momentos magnéticos μL y μ

S de un electrón de un átomo se suman, dando un μ

resultante● Los μ de varios átomos también se suman, dando un μ total del sistema● Una muestra de átomos puede tener los μ individuales orientados al azar, resultando

en un momento promedio nulo● O, si la suma total de los μ no es nula, entonces el material será magnético● Tipos de materiales magnéticos:

➔ Diamagnéticos➔ Paramagnéticos➔ Ferromagnéticos



<B>≠0Espines alineados

<B>=0Espines al azar

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Espín del electrón: magnetización de materiales - Diamagnetismo Espín del electrón: magnetización de materiales - Diamagnetismo

● Es un efecto cuántico que, en la presencia de un campo magnético externo, genera un alineamiento de los momentos magnéticos opuesto al campo magnético externo

● Tiende a anular el campo magnético en su interior● Esto resulta en una fuerza repulsiva del objeto con la fuente del campo magnético● La mayor parte de los materiales ordinarios son diamagnéticos



<Bint

>=0 <Bint

>≠0

Bext

≠0

Levitación diamagnéticaLevitación diamagnéticagrafito pirolítico suspendido sobre imanes de neodimio

en:User:Splarka [Public domain]

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Espín del electrón: magnetización de materiales - Paramagnetismo Espín del electrón: magnetización de materiales - Paramagnetismo

● Los momentos magnéticos de un material paramagnético interactúan débilmente entre sí

● La energía térmica puede ser suficientemente energética como para desordenar a los momentos magnéticos, resultando en un momento magnético promedio nulo

● Al aplicar un campo magnético externo, los momentos magnéticos tenderán a alinearse en la dirección del campo, generando un momento magnético propio

● Al eliminar el campo magnético externo, la magnetización desaparece debido a la agitación térmica

● Los materiales que contienen elementos de transición, tierras raras y actínidos son paramagnéticos



<Bint

>=0 <Bint

>≠0

Bext

≠0

<Bint

>=0

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Espín del electrón: magnetización de materiales - Ferromagnetismo Espín del electrón: magnetización de materiales - Ferromagnetismo

● Los momentos magnéticos de un material ferromagnético interactúan fuertemente entre sí

● Esto resulta en la formación de dominios magnéticos locales, separados por defectos cristalinos, cada uno con un momento magnético promedio no nulo, orientado al azar

● Al aplicar un campo magnético externo, los momentos magnéticos de los dominios tenderán a alinearse en la dirección del campo, generando un momento magnético propio

● Al eliminar el campo magnético externo, la magnetización permanece: imantación permanente

● Hierro, níquel y algunos otros elementos, y sus compuestos, son ferromagnéticos



<Bint

>=0 <Bint

>≠0

Bext

≠0

<Bint

>≠0

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Espín del electrón: magnetización de materiales - Ferromagnetismo Espín del electrón: magnetización de materiales - Ferromagnetismo

● La magnetitamagnetita mencionada anteriormente, que puede ser encontrada en ciertas bacterias, plantas y animales, está compuesta por micro-cristales que poseen un dominio ferromagnético único, de unos 50 nm

● Dominios menores a 40 nm son demasiado pequeños para crear interacciones apreciables (la energía térmica es muy superior)

● Dominios mayores a 80 nm son demasiado grandes, y forman varios dominios● Las bacteria magnetotácticas alinean unos 20 dominios individuales, creando un

dipolo magnético suficientemente fuerte como para responder a los campos magnéticos terrestres, y así guiar a la bacteria



Izquierda: Various [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]Derecha: Mihály Pósfai, Christopher T. Lefèvre, Denis Trubitsyn, Dennis A. Bazylinski, and Richard B. Frankel [CC BY 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)]

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Ley de Gauss del campo magnético Ley de Gauss del campo magnético

Caso eléctrico:

● La ley de Gauss relaciona el flujo del campo a través de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por ducha superficie

● Si la carga neta encerrada es cero, entonces el flujo es cero● Pero vimos que en el caso magnético no existen monopolos, por lo que la carga neta

siempre es cero● Dicho de otra manera: las lineas de campo magnético son cerradas, no tienen

fuentes ni sumideros, por lo que el flujo será siempre nulo:



Φ=qencerrada

ϵ0→ ∮

A

E⋅dA=qencϵ0

∮A

B⋅dA=0

Ley de Gauss del campo magnéticoLey de Gauss del campo magnético

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Ley de Ampere del campo magnético Ley de Ampere del campo magnético

● La ley de Gauss resulta no ser tan útil para el caso magnético como lo era para el eléctrico

● Pero hay otra ley, de Ampere, que si lo es:

● A diferencia de Gauss, aquí la integral se hace a lo largo de un circuito cerrado (circuito de Ampere), y se llama circulación de circulación de BB

● Su resultado se relaciona con la corriente que cruza la superficie del circuito



∮C

B⋅dl=μ0 iencerrada

Ley de Ampere del campo magnéticoLey de Ampere del campo magnético

×

●

× C

i1

i2

i3

dl

B

∮C

B⋅dl=μ0(i2−i1)

El signo de las corrientes se asigna de acuerdo a la regla de la mano derecha,

con respecto al recorrido en C

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BB fuera de un cable con corriente uniforme fuera de un cable con corriente uniforme

BB dentro de un cable con corriente uniforme dentro de un cable con corriente uniforme

Gráficamente:



C

dl B

i●

r

∮C


∮C

B dl cos(0)=B∮C

dl=B 2π r=μ0 i ⇒ B=μ0 i

2π r

B∮C

dl=B 2π r=μ0 iencerrada

Bi

●r

C

dl

Riencerrada=i

π r2

π R2

B=μ0 i

2π R2 r

B

rR

B∝rB∝1 /r

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BB en un solenoide de corriente en un solenoide de corriente

● Con los resultados obtenidos para el campo de un cable recto y de una espira, podemos imaginar el campo que produce un solenoide:

● Pero en el punto P habrá contribuciones de la corriente de la parte superior de las espiras, y contribuciones de la parte inferior de las espiras. Y ellas serán de signo contrario.

● Si imaginamos un solenoide ideal, de largo mucho mayor al diámetro de las espiras (o largo infinito), dichas contribuciones se cancelarán: un solenoide ideal solo tiene un solenoide ideal solo tiene campo internocampo interno



P

Espira Solenoide: solo se ven 4 medias espiras del solenoide

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BB en un solenoide de corriente en un solenoide de corriente

Aplicando Ampere al circuito de la figura:

La i encerrada en el circuito es i×nL, donde n=N/L es la densidad de espiras



∫a

b

B dl cos(90)+∫b

c

0 dl cos(θ)+∫c

d

B dl cos(90)+∫d

a

B dl cos(180)=−B∫d

a

dl=−B L=μ0(−i)nL ⇒

∮C


a

b c

Bd

× × × × × × ×

B=μ0i n−B L=μ0(−i)nL ⇒

P.Sumanth Naik [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]

En el interior de un solenoide largo, el campo magnético está concentrado

en forma casi uniforme, mientras que en el exterior el campo es muy

débil

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