Fronteres de les matemàtiques: progressos recents i no tan recents

en alguns problemes clàssics

Casal Sant MartíCampelles, 6 d’agost del 2013

Sumari

• Els problemes de Hilbert• Els problemes del mil·lenni• L’infinit i l’hotel de Hilbert• La hipòtesi del continu• Els nombres primers i altres conjectures sobre

els nombres naturals• Es P = NP?• La hipòtesi de Riemann

Els problemes de Hilbert

En el congrés de matemàtiques de París en el 1900 Hilbert va donar una llista de 23 “problemes” (de fet només en va presentar 10 en la seva conferència, la llista de 23 va aparèixer per escrit) que havien de motivar la recerca matemàtica en el segle XX. Alguns són més un programa de recerca que problemes concrets.

Els problemes de Hilbert

• Dels 23, 5 encara no s’han resolt• Un es considera massa inconcret• 17 s’han resolt total o parcialment, però

alguns de forma sorprenent, com la hipòtesi del continu de la qual parlarem, però abans hem de parlar de l’infinit, o millor dels infinits!

Els problemes del mil·lenni

• Són 7 i els va proposar el Clay Mathematics Institute, creat en el 1998 per Landon Clay

• Landon Clay, llicenciat de Harvard, ha estat un home de negocis d’èxit, financiador d’empreses científiques i filàntrop en els camps de l’arqueologia, astronomia, biologia i matemàtiques. Es un gran creient en la importància de les matemàtiques pel futur de la humanitat.

• Els premis estan dotats amb un milió de dòlars

Els problemes del mil·leni

• Els problemes del mil·leni són més difícils de descriure que els de Hilbert

• Només un coincideix: la hipòtesi de Riemann• Només un ha estat resolt: La conjectura de

Poincaré, pel matemàtic rus Perelman, medalla Fields

• Perelman no va anar ni a recollir la medalla Fields ni el milió de dòlars

Els problemes del mil·lenni

Landon Clay

Grigori Perelman

L’infinit

• Curiositats sobre l’infinit. L’hotel de Hilbert• Es un hotel amb infinites habitacions:

1,2,...,n,... I està complet, però es presenta un nou client, com ens ho fem?

• Fàcil, traslladem cada hoste a la següent habitació, així la primera queda lliure pel nou hoste

L’hotel de Hilbert

• Però la cosa és complica, arriba un autobús que porta infinits turistes

• Cap problema: movem cada hoste de la seva habitació a la que té el número doble, així queden vacants totes les senars: 1,3,5,... i podem acollir tots els turistes

• Encara es complica més, arriben una infinitat d’autobusos amb una infinitat de turistes cadascun d’ells

L’hotel de Hilbert

• Gràcies a Déu, el gerent de l’hotel és un matemàtic• Decideix enumerar els autobusos amb els nombres

primers que són infinits com veurem desprès: el primer autobús és el número 3, el següent el 5, el següent el 7, etc...buidant primer les habitacions senars enviant cada hoste a l’habitació doble

• Els passatgers de cada autobús els enumera amb els nombres naturals 1,2,3,...

L’hotel de Hilbert

• Ara usa exponents de nombres primers i col·loca el primer passatger del primer autobús a l’habitació 3, el següent a l’habitació 3 elevat a la 2 (la 9), el següent a la 3 elevat a la 3 (la 27), etc...

• El primer del segon autobús a la 5, el següent a la 5 elevat a la 2 (la 25), el següent a la 5 elevat a la 3 (la 125), etc...

L’hotel de Hilbert

• Fixem-nos que totes les habitacions són diferents• I que, endemés, algunes habitacions, aquelles en les

que el seu número no és una potència d’un sol primer ni parell com la 15, queden desocupades!!

• Un mètode semblant es pot fer servir per tres nivells d’infinits (infinits portaavions, amb infinits autobusos amb infinits passatgers)

• Això és quasi un miracle més gran que el que va fer Jesuscrist a les noces de Canà!

• http://www.youtube.com/watch?v=faQBrAQ87l4

Hi ha diversos infinits?

Georg Cantor. Vegeu: “Los lógicos” de Jesús Mosterín

El continu és més gran que l’infinit dels nombres naturals

• L’interval (0,1) és equivalent a tota la recta real (funció tan(pi(x-0,5)))

• Ho fem per reducció a l’absurd• Imaginem que tenim una llista completa de

tots els nombres reals del 0 al 1: 0,37925... 0,21792... 0,96528...

El continu és més gran que l’infinit dels nombres naturals

• Imaginem que tenim una llista completa de tots els nombres reals del 0 al 1:

0,37925... 0,21792... 0,96528...... Ara definim un nou nombre real entre 0 i 1 variant la

primera xifra del primer, la segona del segon, la tercera del tercer, etc. Per exemple: 0,127... Aquest nombre no està a la llista

Hipòtesi del continu

• Entre els nombres naturals i el continu no hi cap infinit entre ells (Georg Cantor). Es el primer problema de Hilbert.

• Kurt Gödel (1940) :La hipòtesi del continu és compatible amb els axiomes de la matemàtica (ZFC)

• Paul Cohen (1963): La HC és independent de ZFC

Kurt Gödel

Paul Cohen, medalla Fields 1966

Els nombres primers

• Són infinits (Euclid):• Si p(1), p(2),...,p(n) fossin tots els primers: m=p(1)xp(2)x...xp(n) + 1 no és divisible per cap

d’ells. Per tant, o bé m és un nou primer o té divisors primers que no són cap dels p(1),p(2),...,p(n)

Els nombres naturals són universals (pel·lícula “Contact”) . En un altre univers la seva dimensió, les lleis i les constants físiques serien diferents, però els nombres naturals són universals

Com estan distribuïts els nombres primers?

• El teorema dels nombres primers va ser conjecturat per Legendre en el 1798, refinat per Gauss i demostrat, de forma independent, per Hadamard i Vallée Poussin en el 1896

• Si p(x) = nombre de primers menors o iguals a x, el teorema diu que la densitat de nombres primers p(x)/x és aproximadament igual a 1/lnx i que són iguals en el límit quan ens acostem a infinit. Si x =10.000.000.000, p(x)/x=0,045 i 1/lnx=0,043

• Els nombres primers són importants en criptografia (vendes per internet)

La funció logaritme neperià

La funció 1/lnx

Però hi ha primers propers

• Els primers que es diferencien en dues unitats com 29 i 31 s’anomenen bessons

• Problema hi ha infinits bessons?• Encara que la densitat de nombres primers

disminueix, n’hi hauran sempre de bessons?• Els bessons més grans coneguts:

2,003,663,613 × 2195,000 − 1 i 2,003,663,613 × 2195,000 + 1

Resultat molt recent

• Ara el matemàtic xinés Yitang Zhan ha demostrat que existeixen una infinitat de nombres primers separats per una constant N que no és 2 encara (com diu la conjectura) però N és un nombre inferior a 70 milions. Un resultat important perquè és la primera vegada que es demostra que hi ha una infinitat de nombres primers separats per una constant

Yitang Zhang

La conjectura de Goldbach

• Tot nombre parell més gran que 2 és suma de dos primers. Exemple 24= 11 + 13.

• Enunciada per Euler en resposta a una carta de Goldbach en el 1742. Goldbach va enunciar la conjectura dèbil: tot enter senar més gran que 5 és la suma de tres primers.

• La versió forta implica la dèbil.• Comprovada fins 1.000.000.000.000.000.000

Leonhard Euler

Un dels matemàtics més importants de la història i el més prolíficVa definir el nombre e i va establir la famosa fórmula que relaciona els 5 nombres més famosos

La conjectura de Goldbach

• Chen va demostrar en el 1973 que tot nombre parell suficientment gran és suma de dos primers o d’un primer i un producte de dos primers. La cota és ara 10^43.000 massa alta per a comprovar els nombres més petits per ordinador

• En el 2013 Harald Helfgott, un matemàtic peruà, provà la conjectura dèbil (el resultat s’està comprovant)

Sumari

• Els problemes de Hilbert• Els problemes del mil·lenni• L’infinit i l’hotel de Hilbert• La hipòtesi del continu• Els nombres primers i altres conjectures sobre

els nombres naturals• Es P = NP?• La hipòtesi de Riemann

Es P=NP

• Aquest és un dels problemes del mil·lenni• Hi ha problemes que es poden resoldre en un

nombre de passos que depèn suaument en el nombre de variables. Exemple multiplicar dos nombres de n xifres requereix n^2 + n passos. Diem que es poden resoldre en temps polinòmic o que pertanyen a la classe P. Aquests problemes es consideren “senzills”

La classe NP

• Hi ha problemes les solucions dels quals són fàcils de comprovar, però trobar la solució pot ser molt difícil. Diem que pertanyen a la classe NP

• Donat un conjunt de nombres enters, hi ha algun subconjunt que sumi zero?

• {−2, −3, 15, 14, 7, −10} En aquest cas és fàcil comprovar que una solució és -2,-3,-10 i 15

El problema del viatjant

• Un d’ells és el problema del viatjant de comerç:optimitzar la distància en visitar n ciutats

• L’algoritme més obvi, examinar totes les permutacions i fer les sumes corresponents és aviat inviable, per 10 ciutats hi ha 3.628.800 casos. Per 25 supera els 15 quadrilions

• Al 1998 un equip de matemàtics va trobar el resultat per les 13.509 ciutats de més de 500 habitants dels E.U.A.

Es P = NP

• Molts problemes de la indústria són semblants com els d’organitzar diverses línies de producció algunes de les quals depenen de les altres.

• Trencar un codi criptogràfic és un problema NP. Si es demostra que P=NP podríem tenir un problema de seguretat a internet!

• Stephen Cook en el 1971 va demostrar que hi ha problemes anomenats NP complets.

Stephen Cook

NP complet

• Tot problema NP es pot reduir en temps polinòmic a un qualsevol NP complet

• El problema del viatjant és NP complet• En el 2010 Vinay Deolalikar va presentar una

demostració de que NP era més gran que P, però sembla que hi ha errors en la demostració

Alguns algoritmes que donen solucions aproximades al P. del V.

• Anar a la ciutat més propera no visitada. De promig dóna una resposta que només és un 25% que la òptima per a ciutats distribuïdes a l’atzar

• Algoritme de les formigues. S’inspira amb el que fan les formigues en una colònia quan busquen menjar. Moltes formigues virtuals segueixen camins a l’atzar i dipositen una quantitat de feromones inversament proporcional a la distància

La hipòtesi de Riemann

• El problema de Basilea consisteix en trobar la suma exacta dels inversos dels quadrats dels nombres naturals:

• Resultat obtingut per Euler aproximadament igual a 1,644934.

• La funció zeta de Riemann és: • (per s complex de part real més gran que 1)

Bernhard Riemann

La funció zeta de Riemann

• Resulta que es pot estendre a tot el pla complex excepte en el punt (1,0)

• Aquesta funció s’anul·la en els punts de la recta real -2,-4,... (s’anomenen punts trivials)

• Els únics altres llocs on s’ha trobat que s’anul·la és en la recta vertical que passa per el punt (1/2, 0)

• La hipòtesi de Riemann és que no hi ha més punts on s’anul·li que els situats en aquesta recta anomenada recta crítica (i els trivials)

Per què és important la HR?

• Molts teoremes es basen en que és certa• Té a veure amb refinaments del teorema de la

distribució dels nombres primers• S’han trobat més de 10 bilions de punts on s’anul·la la

funció, tots en la recta crítica• Hilbert va dir:“Si em dormís i em despertés al cap de

mil anys la primera cosa que faria seria preguntar: ‘S’ha resolt la hipòtesi de Riemann’?”

• Té relació amb la mecànica quàntica i Alain Connes intenta una demostració via la mecànica quàntica

Què hem aprés? • Entre els més famosos problemes de les matemàtiques estan la llista de Hilbert (alguns resolts i altres

no) i la del mil·lenni• L’infinit és subtil• Hi ha molts infinits que no són iguals i ho hem demostrat• El problema de si hi ha infinits entre el dels nombres naturals i el dels nombres reals és indecidible en

l’axiomàtica habitual de la teoria de conjunts• Hem demostrat que hi ha infinits nombres primers• Tenim certes idees generals de com es distribueixen els nombres primers, però no sabem si hi ha

infinits primers bessons• Hi ha aproximacions a la conjectura de Golbach. Sembla demostrat que tot senar més gran que cinc és

suma de tres primers• El problema més important de la teoria de la computació és si la classe de problemes que admeten

algoritmes polinòmics és igual a aquells la solució dels quals, una vegada coneguda, es pot comprovar en temps polinòmic. Això té conseqüències pràctiques . La major part dels matemàtics creuen que les dues classes no són iguals.

• Hi ha certs problemes com el del viatjant que si són a la classe P es demostraria que P=NP• La hipòtesi de Riemann, pot ser el problema més famós i més important no resolt, és l’únic que està a

les dues llistes (Hilbert i mil·lenni). Molts teoremes depenen de que sigui certa.