Fractal

En la naturaleza tambin aparece la geometra fractal, como eneste brcol romanesco.

Un fractal es un objeto geomtrico cuya estructurabsica, fragmentada o irregular, se repite a diferentesescalas.[1] El trmino fue propuesto por el matemticoBenot Mandelbrot en 1975 y deriva del latn fractus, quesignica quebrado o fracturado. Muchas estructuras natu-rales son de tipo fractal. La propiedad matemtica clavede un objeto genuinamente fractal es que su dimensinmtrica fractal es un nmero no entero.Si bien el trmino fractal es reciente, los objetos hoy de-nominados fractales eran bien conocidos en matemticasdesde principios del siglo XX. Las maneras ms comunesde determinar lo que hoy denominamos dimensin fractalfueron establecidas a principios del siglo XX en el senode la teora de la medida.

1 IntroduccinLa denicin de fractal desarrollada en los aos 1970 diounidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales seremontaban a un siglo atrs. A un objeto geomtrico frac-tal se le atribuyen las siguientes caractersticas:[2]

Es demasiado irregular para ser descrito en trminosgeomtricos tradicionales.

Es autosimilar, su forma es hecha de copias ms pe-queas de la misma gura.

Las copias son similares al todo: misma forma pero dife-rente tamao. Ejemplos de autosimilaridad:

Fractales naturales son objetos natura-les que se pueden representar con muy

buena aproximacin mediante fractalesmatemticos con autosimilaridad esta-dstica. Los fractales encontrados en lanaturaleza se diferencian de los fracta-les matemticos en que los naturales sonaproximados o estadsticos y su autosimi-laridad se extiende slo a un rango de es-calas (por ejemplo, a escala cercana a laatmica su estructura diere de la estruc-tura macroscpica).

Conjunto de Mandelbrot es un fractal au-tosimilar, generado por el conjunto depuntos estables de rbita acotada bajocierta transformacin iterativa no lineal.

Paisajes fractales, este tipo de fractalesgenerados computacionalmente puedenproducir paisajes realistas convincentes.

Fractales de pinturas, se utilizan pararealizar el proceso de decalcomania.

Su dimensin de Hausdor-Besicovitch es estricta-mente mayor que su dimensin topolgica.

Se dene mediante un simple algoritmo recursivo.

No basta con una sola de estas caractersticas para denirun fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera unfractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carecedel resto de caractersticas exigidas.Un fractal natural es un elemento de la naturaleza quepuede ser descrito mediante la geometra fractal. Lasnubes, las montaas, el sistema circulatorio, las lneascosteras[3] o los copos de nieve son fractales naturales.Esta representacin es aproximada, pues las propiedadesatribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalleinnito, tienen lmites en el mundo natural.

1.1 Los ejemplos clsicos

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debe-mos remontarnos a nales del siglo XIX: en 1872 apare-ci la funcin de Weierstrass, cuyo grafo hoy en da con-sideraramos fractal, como ejemplo de funcin continuapero no diferenciable en ningn punto.Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedadessimilares pero una denicin ms geomtrica. Dichos

1

2 1 INTRODUCCIN

Sucesivos pasos de la construccin de la Curva de Koch

ejemplos podan construirse partiendo de una gura ini-cial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construc-ciones geomtricas sencillas. La serie de guras obteni-das se aproximaba a una gura lmite que correspondaa lo que hoy llamamos conjunto fractal. As, en 1904,Helge von Koch deni una curva con propiedades simi-lares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En1915, Waclaw Sierpinski construy su tringulo y, un aodespus, su alfombra.Estos conjuntos mostraban las limitaciones del anlisisclsico, pero eran vistos como objetos articiales, unagalera de monstruos, como los denomin Poincar. Po-cos matemticos vieron la necesidad de estudiar estos ob-jetos en s mismos.[4]

En 1919 surge una herramienta bsica en la descripciny medida de estos conjuntos: la dimensin de Hausdor-Besicovitch.

1.2 Los conjuntos de Julia

En negro, imagen del Conjunto de Mandelbrot superpuesto conlos conjuntos de Julia rellenos representados por algunos de suspuntos (en rojo los conjuntos de Julia conexos y en azul los noconexos).

Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatouy Gaston Julia en los aos 1920, surgen como resulta-do de la aplicacin reiterada de funciones holomorfasz 7! f(z) 7! f(f(z)) 7! : : : .

Analicemos el caso particular de funciones polinmicasde grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces unafuncin polinmica es muy posible que el resultado tiendaa 1 . Al conjunto de valores de z 2 C que no escapan alinnito mediante esta operacin se le denomina conjuntode Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto deJulia.Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo detiempo de escape, en que cada pixel se colorea segnel nmero de iteraciones necesarias para escapar. Sueleusarse un color especial, a menudo el negro, para repre-sentar los puntos que no han escapado tras un nmerogrande y prejado de iteraciones.Ejemplos de conjuntos de Julia para fc(z) = z2 + c

En negro, conjunto de Julia relleno asociado a f,c=1, donde es el nmero ureo

Conjunto de Julia relleno asociado a f,c=(2)+(1)i =0.382+0.618i

Conjunto de Julia relleno asociado a f, c=0.835-0.2321i

1.3 Familias de fractales: el conjunto deMandelbrot

La familia de conjuntos de Julia ffcg , asociadas a lareiteracin de funciones de la forma fc(z) = z2 + c pre-senta conjuntos de una variedad sorprendente.Dicha familia tendr especial relevancia al quedar para-metrizada en un mapa de fractales, popularizado en losaos 1980. llamado conjunto de Mandelbrot. Este con-junto M representa un mapa en que cada pixel, corres-pondiente a un valor del parmetro c 2 C , se colorea demodo que reeje una propiedad bsica del conjunto deJulia asociado a fc . En concreto, c 2 M si el conjuntode Julia asociado a fc es conexo.Iterando funciones de forma alternativa se generan losfractales oscilantes.

1.4 El mtodo de Mandelbrot: diferentesfractales iterando potencias de Z

A continuacin se muestra una serie de fractales de lasdiferentes potencias de Z = Zm + C , segn el mto-do de Mandelbrot. Todos los puntos del plano complejoC=(Cx,iCy) son iterados por adicin a la funcin corres-pondiente. Todas las iteraciones parten de los puntos x=0iy=0. Cuando la iteracin converge se colorea de amarilloplido. La divergencia a innito es coloreada mediante unpatrn cromtico desde el negro al azul. El fractal deri-vado de la funcin Z = Z2 + C se denomina conjunto deMandelbrot.

1.5 El mtodo de Julia: diferentes fractales iterando potencias de Z 3

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot Z = Zm +C

Z = Z2 + CConjunto de Mandelbrot

Z = Z3 + C Z = Z4 + C Z = Z5 + C Z = Z6 + C Z = Z7 + C Z = Z8 + C Z = Z9 + C Z = Z10 + C Z = Z11 + C Z = Z12 + C Z = Z20 + C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot Z = Zm +1/C

Z=Z2 + 1/C Z=Z3 + 1/C Z=Z4 + 1/C Z=Z5 + 1/C Z=Z6 + 1/C Z=Z7 + 1/C

Ms fractales segn el mtodo de Mandelbrot.

Z = Z2+C6 - 1Zo = (0,0i)

Z = Cos(Z)+ 1/CZo = (0,0i)

Z = Exp[(Z2+Z)/Sqr(C3)]Zo = (1,1i)

Z = Exp[(Z21.00001*Z)/Sqr(C3)]Zo = (0,0i)

Z = Exp[(Z2- 1.00001*Z)/C3]Zo = (0,0i)

Z = Sin(Z*C2)Zo = (1,0i)

Z = Cos(Z/C)Zo = (0,0i)

Z = Cos(Z*C^3)Zo = (0,0i)

Z = Exp(Z^3/C^3)Zo = (0,0i)

Z = Exp(C^3/Z^3)Zo = (0,0i)

Z = Exp(Z/C^4)Zo = (0,0i)

Z=Z2 + C2 / (Z2+C) + CZo = (0,0i)

Z=Z2 + C2 / (C4 + 0.1)Zo = (0,0i)

Z=Z2 + C2 / (C4 - 0.25)Zo = (0,0i)

Z = SinH(Z / C )Zo = (0,1i)

Z = SinH(Z) + 1/CZo = (0.90, 0.05i)

Z = SinH(Z) + 1/C2Zo = (1, 0.1i)

Z = Exp[Z2 / ( C5 + C )]Zo = (0,0i)

1.5 Elmtodo de Julia: diferentes fractalesiterando potencias de Z

A continuacin se muestra una serie de fractales de lasdiferentes potencias de Z = Zm + C, segn el mtodo deJulia por el matemtico francs Gaston Julia.Todos los puntos del plano complejo Z=(x,iy) son iteradosen la funcin correspondiente. A todas las iteraciones se leaade una constante arbitraria (Cx,iCy) de tal modo quela eleccin de la constante semilla determina de formaunvoca la forma y el color del fractal, una vez ha sidodenido el patrn cromtico. En los ejemplos mostradosa continuacin se ha elegido una constante tal que soloproduce divergencia, y se ha coloreado con el algoritmode la velocidad de escape.Ejemplos de fractales del tipo Julia Z = Zm + C

Z = Z2 + CCx=0.279 Cy=0.000

Z = Z3 + CCx=0.400 Cy=0.000

4 2 CARACTERSTICAS DE UN FRACTAL

Z = Z4 + CCx=0.484 Cy=0.000

Z = Z5 + CCx=0.544 Cy=0.000

Z = Z6 + CCx=0.590 Cy=0.000

Z = Z7 + CCx=0.626 Cy=0.000

Ejemplos de fractales de tipo Julia, de la funcin ex-ponencial: Z = Zm + C

Z = Exp(Z) + CCx= 0.65 Cy=0.00 Z = Exp(Z3) + CCx= 0.59 Cy=0.00 Z = Exp(Z3) + CCx= 0.621 Cy=0.00

Zoom x9 Z = Z * Exp(Z) + C

Cx= 0.04 Cy=0.00 Z = Z2 * Exp(Z) + C

Cx= 0.21 Cy=0.00 Z = Z3 * Exp(Z) + C

Cx= 0.33 Cy=0.00 Z = Z4 * Exp(Z) + C

Cx= 0.41 Cy=0.00

Ejemplos de fractales del tipo Julia de funciones com-plejas.

Z = Sqr[SinH(Z2)] + CCx= 0.065 Cy=0.122

Z = [(Z2+Z) / LN(Z)] + CCx= 0.268 Cy=0.060

1.6 El mtodo de NewtonEl mtodo de Newton intenta encontrar por iteracin lasraces de la funcin F(Z)1 = 0.Se itera la funcin F(Z) con cada punto del plano com-plejo (x + iy), siendo Z=(x1 + iy1) hasta la convergen-cia de x1 i y1, segn la siguiente frmula: Z = Z -F(Z) / F(Z), en donde F(Z) es la derivada. Se ha co-loreado con el algoritmo de la velocidad de convergencia,

conceptualmente idntico al de la velocidad de escape, ypresenta similitudes con el mtodo de Julia.Ejemplos de fractales de tipo Newton, de algunas funcio-nes de variable compleja:

Z41 = 0Z = [(3 * Z4 + 1) / (4 * Z3)]

Z6 + Z3 - 1 = 0

SIN(Z)- 1 = 0

COSH(Z)- 1 = 0

2 Caractersticas de un fractal

2.1 Autosimilitud

Segn B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o auto-semejante si sus partes tienen la misma forma o estruc-tura que el todo, aunque pueden presentarse a diferenteescala y pueden estar ligeramente deformadas.[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

Autosimilitud exacta. este es el tipo ms restrictivode autosimilitud: exige que el fractal parezca idn-tico a diferentes escalas. A menudo la encontramosen fractales denidos por sistemas de funciones ite-radas (IFS).

Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar laescala obtenemos copias del conjunto con pequeas diferencias.

Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parez-ca aproximadamente idntico a diferentes escalas.Los fractales de este tipo contienen copias me-nores y distorsionadas de s mismos. Matemtica-mente D.Sullivan deni el concepto de conjun-to cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometra. Los fractales denidos por relaciones derecurrencia son normalmente de este tipo.

Autosimilitud estadstica. Es el tipo ms dbil deautosimilitud: se exige que el fractal tenga medi-das numricas o estadsticas que se preserven con elcambio de escala. Los fractales aleatorios son ejem-plos de fractales de este tipo.

52.2 Dimensin fractal y dimensin deHausdor-Besicovitch

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos comocurvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimen-sin topolgica de la curva, que es uno, no nos informasobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. Demodo general, podramos preguntarnos cmo densamen-te un conjunto ocupa el espacio mtrico que lo contiene.Los nmeros que nos informan objetivamente de este ti-po de cuestiones son:

La dimensin fractal. Las frmulas que la denentienen que ver con el recuento de las bolas necesa-rias para recubrir el conjunto o con el de cajas de unacuadrcula que contienen parte del conjunto, cuandolas dimensiones de unas y otras tienden a cero. Po-demos medir la dimensin fractal de objetos reales:lneas de la costa (1.2), nubes, rboles, etc, Con es-tas medidas podemos comparar objetos del mundoreal con fractales generados por algoritmos matem-ticos.

La dimensin de Hausdor-Besicovitch. Tieneuna denicin ms compleja que la de dimensinfractal. Su denicin no suele usarse para compararconjuntos del mundo real.

Autosimilitud estadstica de un fractal generado por el procesode agregacin limitada por difusin.

2.3 Denicin por algoritmos recursivosPodemos destacar tres tcnicas comunes para generarfractales:

Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos con-juntos se reemplazan recursivamente por su imagen

bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Can-tor, la alfombra de Sierpinski, el tringulo de Sier-pinski, la curva de Peano, la curva del dragn, elcopo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, sonalgunos ejemplos.

Fractales de algoritmos de Escape, denidos poruna relacin de recurrencia en cada punto del espa-cio (por ejemplo, el plano complejo): el conjunto deMandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de Lya-punov.

Fractales aleatorios, generados por procesos es-tocsticos, no deterministas: el movimiento brow-niano,el vuelo de Lvy, los paisajes fractales o losrboles brownianos. stos ltimos son producidospor procesos de agregacin por difusin limitada..

3 Aspectos matemticos

3.1 Intentos de denicin rigurosaEl concepto de fractal no dispone en el ao 2008 de unadenicin matemtica precisa y de aceptacin general.Intentos parciales de dar una denicin fueron realizadospor:

B. Mandelbrot, que en 1982 deni fractal como unconjunto cuya dimensin de Hausdor-Besicovitches estrictamente mayor que su dimensin topolgi-ca. l mismo reconoci que su denicin no era losucientemente general.

D. Sullivan, que deni matemticamente una de lascategoras de fractales con su denicin de conjun-to cuasiautosimilar que haca uso del concepto decuasi-isometra.

3.2 Dimensin fractalPuede denirse en trminos del mnimo nmeroN() debolas de radio necesarias para recubrir el conjunto, co-mo el lmite:

DF = lim!0

lnN()ln(1/)

O en funcin del recuento del nmero de cajasNn de unacuadrcula de anchura 1/2n que intersecan al conjunto:

DF = limn!1

lnNnln(2n)

Se demuestra que ambas deniciones son equivalentes, yque son invariantes bajo isometras.[6]

6 4 APLICACIONES

3.3 Dimensin de Hausdor-BesicovitchDe una denicin ms compleja, la dimensin deHausdor-Besicovitch nos proporciona un nmeroDH(A) , tambin invariante bajo isometras, cuyarelacin con la dimensin fractal DF (A) es la siguiente:

0 DH(A) DF (A)

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntoscon la misma dimensin fractal.

3.4 Dimensin de fractales producidos porun IFS

Un sistema iterativo de funciones (IFS) es un conjunto defunciones contractivas denidas sobre un subconjunto deRn . Cuando no hay solapamiento entre las imgenes decada funcin, se demuestra que DF = DH y que ambaspueden calcularse como solucin de la ecuacin:

cD1 + cD2 + + cDk = 1

donde c designa el factor de contraccin de cada aplica-cin contractiva del IFS.

4 AplicacionesSe han utilizado tcnicas de fractales en la compresin dedatos y en diversas disciplinas cientcas.

4.1 Compresin de imgenesComprimir la imagen de un objeto autosemejante co-mo el helecho de la gura no es difcil: haciendo uso delteorema del collage, debemos encontrar un IFS, conjuntode transformaciones que lleva la gura completa (en ne-gro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azulceleste y azul marino). La informacin sobre la imagenquedar codicada en el IFS, y la aplicacin reiterada dedichas transformaciones permite obtener la imagen pro-cesada en cuestin.Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchasimgenes reales: no esperamos, por ejemplo, que la ima-gen de un gato presente pequeos gatitos distorsiona-dos sobre s mismo. Para solventarlo, en 1989 ArnaudJacquin cre el esquema de sistemas de funciones itera-das particionadas: en l se subdivide la imagen median-te una particin y para cada regin resultante se buscaotra regin similar a la primera bajo las transformacio-nes apropiadas.[7]

El esquema resultante es un sistema de compresin conprdidas, de tiempo asimtrico. Lamentablemente an se

tarda mucho en encontrar las transformaciones que de-nen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la des-codicacin es muy rpida. La compresin, aunque de-penda de muchos factores, suele ser equiparable a la com-presin JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta deter-minante para decantarse por uno u otro sistema.

4.2 Modelado de formas naturales

Fraccin de un fractal Mandelbrot.

Las formas fractales, las formas en la que las partes seasemejan al todo, estn presentes en la materia biolgica,junto con las simetras (las formas bsicas que solo nece-sitan la mitad de informacin gentica) y las espirales (lasformas de crecimiento y desarrollo de la forma bsica ha-

7cia la ocupacin de un mayor espacio), como las formasms sosticadas en el desarrollo evolutivo de la materiabiolgica en cuanto que se presentan en procesos en losque se producen saltos cualitativos en las formas biolgi-cas, es decir posibilitan catstrofes (hechos extraordina-rios) que dan lugar a nuevas realidades ms complejas,como las hojas que presentan una morfologa similar a lapequea rama de la que forman parte que, a su vez, pre-sentan una forma similar a la rama, que a su vez es similara la forma del rbol, y sin embargo cualitativamente noes lo mismo una hoja (forma biolgica simple), que unarama o un rbol (forma biolgica compleja).

4.3 Sistemas dinmicos

Un atractor extrao: el atractor de Lorenz.

Pero adems las formas fractales no slo se presentan enlas formas espaciales de los objetos sino que se observanen la propia dinmica evolutiva de los sistemas comple-jos (ver teora del caos). Dinmica que consta de ciclos(en los que partiendo de una realidad establecida simpleacaban en la creacin de una nueva realidad ms comple-ja) que a su vez forman parte de ciclos ms complejoslos cuales forman parte del desarrollo de la dinmica deotro gran ciclo. Las evoluciones dinmicas de todos estosciclos presentan las similitudes propias de los sistemascaticos.

4.4 En manifestaciones artsticas

Imagen generada con el programa Apophysis.

La msica puede contener formas fractales. Algunas

obras clsicas de Beethoven, Bach y Mozart son ejem-plos representativos segn revel un estudio.[cita requerida]El mtodo que siguieron estos compositores, ya sea demanera intencionada o no, para integrar fractales y ma-temticas era mediante una analoga entre una dimensinfractal y el nmero y la disposicin de las diferentes notasde una obra o pieza.[cita requerida]

Se usan tanto en la composicin armnica y rtmica deuna meloda como en la sntesis de sonidos. Esto se debeal uso de lo que en composicin se llaman micromodos,o pequeos grupos de tres notas, a partir de los cuales unopuede trabajarlos de manera horizontal (meldica), o ver-tical (armnica). A su vez, el ritmo puede ser trabajado ensucesiones temporales especcas, que son determinadaspor sucesiones de fractales.Por otra parte, las litografas del artista holands MauritsCornelis Escher (1898-1972) desarrollaron con frecuen-cia estructuras matemticas complejas y avanzadas.Con programas informticos como Apophysis o UltraFractal se pueden hacer imgenes con tcnicas diversas;cambiando parmetros, geometra de tringulos o contransformaciones aleatorias.

5 Vase tambin Anexo:Fractales por dimensin de Hausdor Desarrollo de fractales mediante el mtodo de Man-

delbrot

Caos y fractales Cunto mide la costa de Gran Bretaa? Grafo simtrico Dimensin Paisaje fractal Recursividad Sistema de funciones iteradas Sistema-L

6 Referencias[1] Benot Mandelbrot, La Geometra Fractal de la Naturale-

za, Tusquets, ISBN 84-8310-549-7

[2] Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathema-tical Foundations and Applications. John Wiley & Sons,Ltd. pp. XXV. ISBN 0-470-84862-6.

[3] Cunto mide la costa de Gran Bretaa?

[4] Stewart, Ian. De aqu al innito. Crtica, Grijalbo Monda-dori, S.A., 1998. ISBN 84-7423-853-6.

8 7 ENLACES EXTERNOS

[5] B. Mandelbrot. Los objetos fractales. Forma, azar y di-mensin. Tusquets Editores, S.A., 1993. ISBN 978-84-7223-458-1

[6] Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc,1988. ISBN 0-12-079062-9. (Cap 5)

[7] Jacquin, A.E.;Image coding based on a fractal theory ofiterated contractive image transformations. Image Proces-sing, IEEE Transactions on Volume 1, Issue 1, Jan. 1992Page(s):18 - 30

7 Enlaces externos Fractova Informacin sobre fractales.

Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre fractalesCommons.

Arte fractal

Galeras de arte fractal en el Open directory Project Msica fractal en el Open Directory Project Colecciones de Arte Fractal FRACTALJMB BLOG muy interesante, dnde se

muestran una gran variedad de fractales.

Libros con licencia CC

Msica fractal: el sonido del caos Introduccin ge-neral sobre fractales y aplicacin a la composicinautomtica de msica

Codicacin fractal de imgenes Analiza la aplica-cin de tcnicas fractales a la compresin con pr-didas de imgenes

Software

Explorador FF Explorador interactivo de fractalesfreeware, para Windows

Borlandia Applets en java que generan Fractales in-teractivos

Apophysis Programa de cdigo abierto para la crea-cin de fractales (en ingls)

IFS Illusions generador IFS freeware, para Windows FractInt generador fractal freeware, para DOS,

Windows y existe un porte a Linux disponible. (eningls)

XaoS zoomer interactivo de fractales para linux.

Incendia programa de diseo de fractales 3Ddonationware.

WMANJUL v2 Fractal de Mandelbrot (en ingls).

Vdeos

Vdeos de fractales en Commons Video Mandelbox(Ejemplo de 3D fractal)

98 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias8.1 Texto

Fractal Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal?oldid=83051834 Colaboradores: Youssefsan, Romero Schmidtke, Llull~eswiki, Ra-faelGV, Zuirdj, Youandme, Fibonacci, Moriel, JorgeGG, Pilaf, Godelart, Zwobot, Tony Rotondas, Paz.ar, Dodo, Ejrrjs, Ascnder, Cookie,Tano4595, Milu~eswiki, Jarl, Carlos Quesada~eswiki, Wricardoh, Domaniom, Rondador, Cinabrium, Alexan, Boticario, Coroliano, Or-gullomoore, AlfonsoERomero, Airunp, Aeveraal, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Orco70, Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Unf,Chobot, Elkie, Yrbot, BOT-Superzerocool, FlaBot, YurikBot, Mortadelo2005, Wewe, KnightRider, Santiperez, Eskimbot, Jos., SmokenFlames, Matiasasb, Axxgreazz, BOTpolicia, Alejandrosanchez, CEM-bot, Josepmbf61, Alexav8, Ignacio Icke, Marianov, Davius, Montgo-mery, Alvaro qc, Srengel, Xabier, Tortillovsky, Zupez zeta, JoaquinFerrero, IrwinSantos, DokiDoki, Fullgigapower, Mpeinadopa, JAnDbot,Rambaut, Homo logos, Gsrdzl, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Rlunaro, Tegin, Gustronico, Bot-Schafter, Humberto, Pabloallo, Roc21,Chabbot, Idioma-bot, Qoan, Plux, Gerwoman, Biasoli, Leoz~eswiki, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, C'est moi, Matdrodes, Synt-hebot, Tatvs, Jonasr~eswiki, Numbo3, Srbanana, BotMultichill, SieBot, PaintBot, Carmin, Cobalttempest, Drinibot, Bigsus-bot, Mel 23,Deodato, Qbit, Tirithel, Adriana3d, Factotum~eswiki, Nicop, Gato ocioso, Farisori, Quijav, McMalamute, Eduardosalg, Leonpolanco,Coren~eswiki, 672, Juan Mayordomo, Frei sein, Mike.lifeguard, Camilo, UA31, AVBOT, Dermot, LucienBOT, MastiBot, Angel GN,Diegusjaimes, CarsracBot, Kyle the bot, Andreasmperu, Luckas-bot, Daunis~eswiki, ArthurBot, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Bot0811,Lucianosoda, Igdfpro, Miguel.izquierdo.garcia, AstaBOTh15, Aqualung~eswiki, Sergio Rodrgz. Labra, Hprmedina, Leugim1972, Patru-BOT, Ganmedes, Humbefa, Luer, N-Eber, EmausBot, Kairosart, Savh, AVIADOR, ZroBot, Rubpe19, Cal Jac02, Cordwainer, Me-lijoan, Kostellus, MerlIwBot, Raysheaf, Elkingkapo, Sebrev, Sergspin, Invadibot, Sixthpoison, Tesssla, Bibliolotranstornado, Fractalina,Josep m batlle, Sanscho, Helmy oved, Gablot ier Van, Hernanpazosmendez, Legobot, Josep m batlle2, El sakro, Jarould, AwesomeRacoony Annimos: 244

8.2 Imgenes Archivo:Commons-logo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licencia: Public do-

main Colaboradores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions usedto be slightly warped.) Artista original: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version,created by Reidab.

Archivo:Dlasim.PNG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/Dlasim.PNG Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colabora-dores: www.guragu.de / ich bin Eigentmer der Seite und habe das Bild selbst erzeugt Artista original: C. Hoberg

Archivo:Fractal471763.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3a/Fractal471763.jpg Licencia: GFDL Colabo-radores: Trabajo propio Artista original: Yo Mismo

Archivo:Fractal_fern_explained.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Fractal_fern_explained.png Li-cencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Antnio Miguel de Campos

Archivo:Koch_anime.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bf/Koch_anime.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Co-laboradores: Trabajo propio Artista original: Christophe Dang Ngoc Chan (cdang)

Archivo:LorenzAttractor.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/LorenzAttractor.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?

Archivo:Mandelbrot_and_Julia.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/94/Mandelbrot_and_Julia.png Licen-cia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ?

Archivo:Mandelzoom.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Mandelzoom.jpg Licencia: Public domain Co-laboradores: JAVA animation Artista original: Antnio Miguel de Campos

Archivo:Menger_0.PNG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Menger_0.PNG Licencia: CC-BY-SA-3.0 Co-laboradores: ? Artista original: ?

Archivo:Menger_1.PNG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Menger_1.PNG Licencia: CC-BY-SA-3.0 Co-laboradores: ? Artista original: ?

Archivo:Menger_2.PNG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/96/Menger_2.PNG Licencia: CC-BY-SA-3.0 Co-laboradores: ? Artista original: ?

Archivo:Menger_3.PNG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Menger_3.PNG Licencia: CC-BY-SA-3.0 Co-laboradores: ? Artista original: ?

Archivo:Menger_4.PNG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c0/Menger_4.PNG Licencia: CC-BY-SA-3.0 Co-laboradores: ? Artista original: ?

Archivo:Romanescu.JPG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Romanescu.JPG Licencia: CC BY-SA 3.0 Co-laboradores: Trabajo propio Artista original: Rlunaro

Archivo:Sandstorm.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b7/Sandstorm.png Licencia: CC BY-SA 3.0 Cola-boradores: Trabajo propio Artista original: Esteban.barahona

8.3 Licencia de contenido Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Introduccin Los ejemplos clsicos Los conjuntos de Julia Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot El mtodo de Mandelbrot: diferentes fractales iterando potencias de Z El mtodo de Julia: diferentes fractales iterando potencias de Z El mtodo de Newton

Caractersticas de un fractal Autosimilitud Dimensin fractal y dimensin de Hausdorff-Besicovitch Definicin por algoritmos recursivos

Aspectos matemticos Intentos de definicin rigurosa Dimensin fractal Dimensin de Hausdorff-Besicovitch Dimensin de fractales producidos por un IFS

Aplicaciones Compresin de imgenes Modelado de formas naturales Sistemas dinmicos En manifestaciones artsticas

Vase tambin Referencias Enlaces externos Texto e imgenes de origen, colaboradores y licenciasTextoImgenesLicencia de contenido