I.E.P. NUESTRA SEÑORA DE LA MERCED Teléf. 797-0011

Identidades trigonométricasDe arco simple, compuesto, doble, mitad y triple

Datos del estudiante:

Apellidos y Nombres: _______________________________________

Fecha: ____/____/ 2013

IDENTIDADES DE ARCO SIMPLE

• Identidades Auxiliares:

sen4 + cos4 = 1 - 2sen2 cos2

sen6 + cos6 = 1 - 3sen2 cos2

tan+ cot= sec csc

sec2+ csc2= sec2 csc2

(1 + sen+ cos)2 = 2(1 + sen) (1 + cos)

Observación:sen2 + cos2 = 1

Despejando:

sen2 =1 - cos2.sen2 = (1 + cos) (1 - co)

Así mismo:

cos2 = 1 - sen2.cos2 = (1 + sen) (1 - sen)

IDENTIDADES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ARCOS

Identidades de la suma de dos arcos

Sen (+)= Sen.Cos +Sen.Cos

Cos (+)= Cos. Cos-Sen.Sen

Tg (+) =

tg α+ tg β1−tg α .tg β

Identidades de la resta de dos arcos

Sen (-)= Sen.Cos - Cos.Sen

Cos (-)= Cos.Cos + Sen.Sen

Tg (-) = tg - tg 1+ tg . tg

Sen (+) + Sen (-)=2Sen.CosCos (+) + Cos (-)=2Cos.CosPropiedades:Tg( A + B) =TgA + TgB +TgA TgB Tg(A + B)

Tga±Tgb=Sen(a±b )Cosa .Cosb

Ctga±Ctgb=Sen(a±b )Sena .Senb

Si : a + b + c = 180°

Si: a + b + c = 90°

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO DOBLE1.

Sen 2 = 2Sen Cos

2.

Cos 2 = Cos² - Sen²

Cos 2 = 1 – 2 Sen² ... (I)

Cos 2 = 2 Cos² - 1 .. (II)

3. Fórmulas para reducir el exponente (Degradan Cuadrados)

De (I)... 2 Sen² = 1 – Cos 2

De (II).. 2 Cos² = 1+Cos 2

4. Tangente de 2:

tg2 =

2Tgα1−Tg2α

Del triángulo rectángulo:

* Sen 2 =

2 tg α1+ tg2α

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* Cos 2 =

1−tg2 α1+tg2 α

Identidades Especiales:

Ctg + Tg = 2Csc 2

Ctg - Tg = 2Ctg2

Sec 2 + 1 =

tg2αtgα

Sec 2 - 1 = tg2 . tg

8Sen4 = 3 – 4 Cos2 + Cos4

8Cos4 = 3 + 4 Cos2 + Cos4

Sen4 + Cos4 =

3+Cos4 α4

Sen6 + Cos6 =

5+3Cos4α8

Propiedad:

12n−1

≤Sen2 n x+Cos2n x≤1

IDENTIDADES DEL ARCO MITAD

1. Seno de

α2 :

2 Sen2

α2 = 1 - Cos

Sen

α2 = √ 1−Cosα2

2. Coseno de

α2 :

2Cos²

α2 = 1 + Cos

Cos

α2 = √ 1+Cosα2

Donde: () Depende del cuadrante al cual “

α2 ”

3. Tangente de

α2 :

tg

α2 = √ 1−Cosα1+Cos α

4. Cotangente de

α2 :

Ctg

α2 =

±√ 1+Cosα1−Cosα

5. Fórmulas Racionalizadas

Tg

α2 = Csc - Ctg

Ctg

α2 = Csc + Ctg

Relaciones Principales

√2−√2+√2+√2+.. . .. .. . .√2⏟n radianes

=2 Sen[ π2n+1 ]√2+√2+√2+√2+. . .. .. . .+√2⏟

n radianes

=2Cos [ π2n+1 ]IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE

Sen 3x=3Senx – 4 Sen3x

=Senx (2Cos 2x+1)

Cos3x= 4Cos3x – 3 Cosx

= Cosx (2Cos 2x - 1)

tang3x=

3 tan x−Tan3 x1−3Tan2 x

PROPIEDADES IMPORTANTES

4Senx.Sen(60º-x).Sen(60º-x) = Sen3x

4Cosx.Cos(60º-x).Cos(60+x) = Cos3x

Tanx . tan (60-x) . Tan(60+x) = Tan3x

sen3 xsenx

=2cos2x+1

cos3 xcos x

=2cos2 x−1

Triángulos Rectángulos Exactos

75°

15°

64

2-12

6 2+

12

R.T

15° =

12 75° = 512

Sen y Cos 6 24

6 24

Tan y Cot 2 3 2 ± 3

Sec y Csc 6 2 6 2

Triángulos Rectángulos Notables

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