formulario de estadística básica (2015)

8/19/2019 Formulario de Estadística Básica (2015)

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FORMULARIO DE ESTADÍSTICA/2015

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE AGRONOMIADEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGRÍCOLA Asignatura: ESTADISTICA BÁSICA

Amplitud de Variación:

AV=VMax-Vmin

Intervalo de Clases:

IC=AV/K

Media aritmética:

Población: Muestra:

Datos no agrupados Datos agrupados:

Coeficiente de Variación: Desviación media: Mediana:

Datos agrupados:

Rango Intercuartil:

Media de medias:

Varianza:Población:

Desviación estándar:

Muestra:

Datos no agrupados: Datos agrupados:

N

X N

ii

∑== 1µ n X

X

n

ii

∑== 1∑

∑=

==k

i

i

k

i ii

f

X f

X

1

1

+=

m f

jc L Md

n

X X

Dm

n

i

i∑=

−= 1

( )

N

X N

i

i∑=

−= 1

2

2

µ

σ ( )

1

1

2

2

−

−

=∑=

n

X X

S

n

i

i( )

1

1

2

2

−

−=

∑=

n

X X f

S

k

i

ii

11

2

12

2

−

−=

∑ ∑=

=

n

n

X

X

S

n

i

n

i i

i

1

1

2

12

2

−

−=

∑ ∑=

=

n

n

X f

X f

S

k

i

k

iii

ii

2

2

ss =

= σ σ

13 QQ RIQ −=

100(%) ⋅= X

S CV

∑

∑

=

=

= k

i

i

k

i

ii

n

X n

X

1

1


2/9


Variables aleatorias:Esperanza:

Covarianza:

Varianza:

[ ]22 )()()( x E x E xV −=

∑=

=n

i

xP x X E 1

22 )()(

Probabilidad condicional:

Si X e Y son v.a. independientes

debe cumplirse:

Recordar que:

Coeficiente de Correlación:

( ) ∑= x

x xP x E )(

k k E =)(

b xaE baX E ±=± )()( 0)( =k V

)()( 2 xV abaX V =±

( ) ( ) ( ) ( ) B AP BP AP B AP ∩−+=∪

( ) ( ) AP AP −=′ 1

)(

),()(

xP

y xP xY P

x

xy=

)(*)(),( yP xP y xP Y X XY =

[ ])()()()( Y E X E XY E XY COV −=

∑∑= R

Y X PY X XY E ),(**)(

( ) ( ) ( )Y bE X aE bY aX E ±=±

( ) ( ) ( )( ) XY abCOV

Y V b X V abY aX V

2

22

±

+=±

( )

y xS S

Y X Covr

,=

)()( xkE kx E =


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Tipo de Problema Distribución del estadístico Estadístico transformado Esperanza y VarianzaVariable aleatoria Discreta X que sigue

distribución BINOMIAL.

Un experimento con sólo dos posibles

resultados definidos como éxito y

fracaso, repetido n veces.

X∼Bin(x;n,p)E(x)=n⋅p

V(x)= n⋅p⋅q

Variable aleatoria Discreta X que sigue

distribución POISSON.

Número promedio de eventos que

ocurren en un intervalo de tiempo, deespacio o de volumen, en cierta área o

región geográfica determinada.

X∼Poisson(x;λ)

E(x)= λ

V(x)= λ


distribución BINOMIAL y se aproxima a

POISSON.


resultados definidos como éxito y

fracaso, repetido n veces donde n es muy

grande (mayor que 25) y p es muypequeño (menor a 0,01).

X∼Poisson(x; n⋅p)

E(x)= λ=n⋅p

V(x)= λ= n⋅p⋅q

Variable aleatoria Continua X que sigue

distribución NORMAL, con media y

varianza 2 conocida.

La variable aleatoria X sigue distribución

Normal y se conoce la varianza

poblacional σ2.

X∼N(µ,σ2)

E(x)= µ

V(x)= σ2


distribución BINOMIAL y se aproxima a

NORMAL.


resultados definidos como éxito yX∼N(n⋅p, n⋅p⋅q)

E(x)= µ= n⋅p

V(x) σ2

n p q

( ) ( ) xn x xn p pC x X P

−−⋅⋅== 1

( ) ! xe x X P

x

λ λ

⋅==

−

( ) ( )

!lim0

x

npe x X P

xnp

p

n

−

→

∞→

==

( ) 0,1 N~σ

µ −=

x Z

( )0,1N~np x

Z −

=


4/9


Varianza S2

que proviene de una

población que sigue distribución

NORMAL

S2

E(S2)= σ

2

V(S2)= 2

σ

4/(n-1)

Media muestral x que proviene depoblación que sigue distribución

NORMAL, con media pero con varianza 2 desconocida

E(T)= 0V(T)=(n-1)/[(n-1)-2]

Dos Medias muestrales 1 x y 2 x que

provienen de poblaciones que siguendistribución NORMAL, con medias 1 y 2

y varianzas 12

y 22

conocidas

E(21

x x − )=µ1-µ2

V(21

x x − )=

2

22

1

21

nn

σ σ +


provienen de poblaciones que siguen

distribución DESCONOCIDA o NO

ESPECIFICADA, con medias 1 y 2 y

varianzas 12

y 22

conocidas. n1 y n2

mayores o iguales a 30

E(21 x x − )=µ1-µ2

V(21 x x − )=

2

2

2

1

2

1

nn

σ σ +


provienen de poblaciones que siguen

distribución NORMAL, con medias 1 y 2

pero varianzas 12

y 22

desconocidas

pero iguales

X sigue una distribución Binomial B(x; n,

p) cuando n es grande, n≥25 entoncesteniendo en cuenta el Teorema Central

del Límite resulta que el estadístico

proporción muestral sigue una

( )( )gln

S n1

2

2

2

~1

−−

→ χ

σ

+

2

2

2

1

2

1

2121 ;- N~-nn

X X σ σ

µ µ

( ) ( )( )1;0 N~

---

2

2

2

1

2

1

2121

nn

X X Z

σ σ

µ µ

+

=

+

∞→

2

2

2

1

2

1

2121

.

;- N~-

lim21

nn

X X

nn

σ σ µ µ

( ) ( )( )1;0 N~

---

2

2

2

1

2

1

2121

nn

X X Z

σ σ

µ µ

+

=

( )glnTStudent

ns

xt X 1~ −

−=→ µ

( ) ( )

( )glnn

cnn

S

X X t

2

21

2121

21TStudent~t

11

---

−+

+

= µ µ

⋅n

q p p, N~ p̂

( )1;0 N~ˆ

n

q p

p p Z

⋅−= ( ) p= p̂E

( )n

q p ⋅= p̂V


5/9


Intervalo y Prueba

para:Cálculo del IC Hipótesis y Regiones críticas

Transformación del

Estadístico de pruebaCriterio de rechazo

Para con varianza 2 conocida

Para con varianza 2 desconocida

01 : µ µ ≠ H α/2α/2

2α Z 21 α − Z

01 : µ µ H

α

α −1 Z

21020 α α −>< Z Z o Z Z

α Z Z 10 Z Z

21020 α α −>< t t ot t

α t t 10 t t

( )n

Z X IC σ α α µ

⋅±= −− 21%1

( ) ( )n

st X IC gln ⋅±= −−− 1;21%1 α α µ

00 :H µ µ =

00 :H µ µ =

( )0,1 N~ 00n

x Z

σ

µ −=

( )glns

xt 1-n0

0 TStudent~ µ −=

Prof. Raquel Mayela Parra Página 5

01 : µ µ ≠ H α/2α/2

( )glnt

12 −α ( )glnt

1

21 −−α

01 : µ µ H

α

( )glnt 11 −−α


6/9


Para Varianza2

que

proviene de una

población que sigue

distribución NORMAL

Para la diferencia de

1 y 2 con varianzas

12

y 22

conocidas

( )gln 1,212

−−α χ ( )gln 1,

22

−α χ

2

0

2

1: σ σ ≠ H

α/2α/2

( )gln 1,2

−α χ

α

2

0

2

1 : σ σ H

α/2α/2

2α Z 21 α − Z

0211 :H ∆≠− µ µ

α

α Z

0211 :H ∆− µ µ

( )

( )

( )

( )

( )

⋅−⋅−=

−−−− 2

1;2

2

2

1;21

2

%1

1;

12

glngln

snsn IC

α α

α σ χ χ

( ) [ ] ;2

2

2

1

2

12121%121 nn

Z X X IC σ σ

α α µ µ +⋅±−= −−−

( )2

0

22

0

1

σ χ

sn −=

2

0

2

0 :H σ σ =

( )

2

2

2

1

2

1

021

0

nn

x x

Z σ σ +

∆−−

=

0210 :H ∆=− µ µ



7/9


Para diferencia de 1

y 2 con varianzas 12

y 22

desconocidas

pero iguales

Para p

21020 α α −>< Z Z o Z Z

α Z Z 10 Z Z

( ) [ ] ( )21

2;2121%1

112121 nn

S t X X IC cglnn +⋅±−= −+−−− α α µ µ

( )

21

0210

11

nns

x xt

c +

∆−−=

0210 :H ∆=− µ µ

00 :H p p =

ˆˆ

, N~ˆ

⋅n

q p p p ( )

n

q p Z p IC p

ˆˆˆ 21%1

⋅⋅±= −− α α

( )0,1 N~ ˆˆ

ˆ0

n

q p

p p Z

⋅

−=⇒



8/9


Para p1-p2

Para la razón de varianzas 1

2y 2

2

21020 α α −>< Z Z o Z Z

α Z Z 10 Z Z

2

2

2

11 : σ σ > H α

gln

n

F 1112

,1 −

−−α

( )

( )

( )

=

−−−

−

−−

−

112/12

2

2

1

1

12/1

2

2

2

1

%1

2

1

1

2

2

2

21

;1

nn

n

n

F ss

F s

s

IC

α

α

α

σ

σ FSnedecor

s

sF

menor

Mayor →= 22

2

2

2

10

2

2

2

10

:H

1:H

σ σ

σ

σ

=

=

, N~ˆˆ2

22

1

112121

+

−−

nq p

nq p

p p p p( ) [ ]

2

22

1

112121%1

ˆˆˆˆˆˆ

21 n

q p

n

q p Z p p IC p p

⋅+

⋅⋅±−= −−− α α

0210 :H ∆=− p p

[ ]( )0,1 N~

ˆˆˆˆ

ˆˆ

2

22

1

11

0210

n

q p

n

q p

p p Z

⋅+

⋅

∆−−=⇒



9/9


Pruebas no paramétricas:

Concordancia,

Homogeneidad eIndependencia

Recuerde que la desviación conjunta se calcula:

( )gln 1,12

−−α χ

α2

0

2

1 : σ σ > H

( ) ( )2

11

21

2

2

21

2

1

−+−⋅+−⋅

=nn

nS nS S c

Pasos para realizar una Prueba de Hipótesis

1.

Describir las características de la población: Que

distribución sigue el estimador que se va a utilizar, datos.

2.

Establecer las hipótesis nula y alternativa: Definir aconveniencia el tipo de prueba (bilateral, una cola a la

derecha, una cola a la izquierda).

3.

Fijar alfa: generalmente 5% a menos que se sugiera otro.

4. Seleccionar la transformación del estadístico de prueba:

Z si se trata de distribución normal, t si es distribución T

de Student, chi cuadrado si es para la varianza y F de

Snedecor si se trata de razón de varianzas.

5.

Calcular la transformación del estadístico de prueba: En

base a la información de 1 y 4.

6.

Determinar el valor crítico: Con el valor de alfa

buscar el valor o los valores crítico(s) en la tabla.

7.

Comparar el valor crítico con el estadístico de

prueba: Definir en la curva de la distribución si el

valor del estadístico de prueba cae dentro o fuera

de la (s) región (es) de rechazo.

8. Decidir y concluir: Basado en la información

anterior emitir una conclusión estadística.

∑=

−=

k

i i

iic

e

eo

1

22 )(

χ

0:H 20 = χ 0:H 21 > χ

gl;12

α χ −


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