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Formas ModularesSeminario de Teorıa de Numeros
Sebastian Munoz Thon (PUC)
1 de Junio de 2018
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 1 / 32
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Un poco de historia
Jacobi y Eisenstein (siglo XIX).
Ramanujan mock functions. (≤ 1920).
Hecke (1920-1930).
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 2 / 32
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Un poco de historia
Jacobi y Eisenstein (siglo XIX).
Ramanujan mock functions. (≤ 1920).
Hecke (1920-1930).
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Un poco de historia
Jacobi y Eisenstein (siglo XIX).
Ramanujan mock functions. (≤ 1920).
Hecke (1920-1930).
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Motivacion
Sea ω = f (z)(dz)k una k-forma meromorfa en H. ¿Bajo quecondiciones de f , ω es invariante bajo SL2(Z)?.
Hemos visto que todo numero entero no negativo puede escribirsecomo la suma de cuatro cuadrados (Teorema de Lagrange). Ahorabien, ¿podemos contar de cuantas formas podemos hacer esto?
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Motivacion
Sea ω = f (z)(dz)k una k-forma meromorfa en H. ¿Bajo quecondiciones de f , ω es invariante bajo SL2(Z)?.
Hemos visto que todo numero entero no negativo puede escribirsecomo la suma de cuatro cuadrados (Teorema de Lagrange). Ahorabien, ¿podemos contar de cuantas formas podemos hacer esto?
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Definiciones basicas
Definicion
Definimos el semiplano superior por H := {z ∈ C| Im(z) > 0}
Definicion
Definimos
SL2(R) :=
{(a bc d
); a, b, c , d ∈ R y ad − bc = 1
}.
Podemos hacer actuar este grupo en H: dado z ∈ H, definimos
gz =az + b
cz + d,
donde g =
(a bc d
)∈ SL2(Z).
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Definiciones basicas
Definicion
Definimos el semiplano superior por H := {z ∈ C| Im(z) > 0}
Definicion
Definimos
SL2(R) :=
{(a bc d
); a, b, c , d ∈ R y ad − bc = 1
}.
Podemos hacer actuar este grupo en H: dado z ∈ H, definimos
gz =az + b
cz + d,
donde g =
(a bc d
)∈ SL2(Z).
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Definiciones basicas
Observacion
−1 =
(−1 00 −1
)actua de forma trivial en H
Definicion
DefinimosPSL2(R) := SL2(R)/{±1}.
Teorema 1
PSL2(R) actua efectivamente en H (i.e., no existe g ∈ PSL2(R) congz = z ∀z ∈ H). Mas aun, Aut(H) = PSL2(R).
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Definiciones basicas
Observacion
−1 =
(−1 00 −1
)actua de forma trivial en H
Definicion
DefinimosPSL2(R) := SL2(R)/{±1}.
Teorema 1
PSL2(R) actua efectivamente en H (i.e., no existe g ∈ PSL2(R) congz = z ∀z ∈ H). Mas aun, Aut(H) = PSL2(R).
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Definiciones basicas
Observacion
−1 =
(−1 00 −1
)actua de forma trivial en H
Definicion
DefinimosPSL2(R) := SL2(R)/{±1}.
Teorema 1
PSL2(R) actua efectivamente en H (i.e., no existe g ∈ PSL2(R) congz = z ∀z ∈ H). Mas aun, Aut(H) = PSL2(R).
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Accion de PSL2(R) en H
Observacion
SL2(Z) < SL2(R) es discreto.
Definicion
El grupo G = SL2(Z)/{±1} es llamado grupo modular.
Definicion
Decimos que D ⊂ H es dominio (o region) fundamental para un grupodiscreto Γ ≤ PSL2(R) si D es cerrado, conexo y cumple⋃
T∈Γ
T (D) = H,
D ∩ T (D) = ∅ ∀ T ∈ Γ.
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Accion de PSL2(R) en H
Observacion
SL2(Z) < SL2(R) es discreto.
Definicion
El grupo G = SL2(Z)/{±1} es llamado grupo modular.
Definicion
Decimos que D ⊂ H es dominio (o region) fundamental para un grupodiscreto Γ ≤ PSL2(R) si D es cerrado, conexo y cumple⋃
T∈Γ
T (D) = H,
D ∩ T (D) = ∅ ∀ T ∈ Γ.
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Accion de PSL2(R) en H
Observacion
SL2(Z) < SL2(R) es discreto.
Definicion
El grupo G = SL2(Z)/{±1} es llamado grupo modular.
Definicion
Decimos que D ⊂ H es dominio (o region) fundamental para un grupodiscreto Γ ≤ PSL2(R) si D es cerrado, conexo y cumple⋃
T∈Γ
T (D) = H,
D ∩ T (D) = ∅ ∀ T ∈ Γ.
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Accion de SL2(Z) en H
Teorema 2
1 D := {z ∈ H||z | ≥ 1 y |Re(z)| ≤ 12} es dominio fundamental para el
grupo modular G .
2 G es generado por
(0 −11 0
)y por
(1 10 1
). Esto tambien se cumple
para SL2(Z).
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D
eiπ3e
2iπ3
i
12−1
2−1 10
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Formas diferenciales invariantes
Definicion
Sea ω = f (z)(dz)k una k-forma diferencial en H. Si γ = γ(z) definimos
γ∗ω = f (γ(z))(dγ(z))k = f (γ(z))(γ′(z))k(dz)k .
Sea γ(z) = az+bcz+d , donde
(a bc d
)∈ SL2(Z). Se tiene que γ′(z) = 1
(cz+d)2 .
Luego, si ω = f (z)(dz)k , tenemos que
γ∗ω = (cz + d)−2k f
(az + b
cz + d
)(dz)k .
Por lo tanto, ω es invariante bajo γ si y solo si
f (z) = (cz + d)−2k f
(az + b
cz + d
).
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Formas diferenciales invariantes
Definicion
Sea ω = f (z)(dz)k una k-forma diferencial en H. Si γ = γ(z) definimos
γ∗ω = f (γ(z))(dγ(z))k = f (γ(z))(γ′(z))k(dz)k .
Sea γ(z) = az+bcz+d , donde
(a bc d
)∈ SL2(Z). Se tiene que γ′(z) = 1
(cz+d)2 .
Luego, si ω = f (z)(dz)k , tenemos que
γ∗ω = (cz + d)−2k f
(az + b
cz + d
)(dz)k .
Por lo tanto, ω es invariante bajo γ si y solo si
f (z) = (cz + d)−2k f
(az + b
cz + d
).
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Funciones Debilmente Modulares
Definicion
Sea k ∈ Z. Decimos que f : H→ C es debilmente modular de peso 2k sif es meromorfa y
f (z) = (cz + d)−2k f
(az + b
cz + d
),
∀(a bc d
)∈ SL2(Z).
Proposicion 1
Sea f : H→ C meromorfa. Entonces f es una funcion debilmente modularde peso 2k si y solo si
f (z + 1) = f (z) y f
(−1
z
)= z2k f (z).
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Funciones Debilmente Modulares
Definicion
Sea k ∈ Z. Decimos que f : H→ C es debilmente modular de peso 2k sif es meromorfa y
f (z) = (cz + d)−2k f
(az + b
cz + d
),
∀(a bc d
)∈ SL2(Z).
Proposicion 1
Sea f : H→ C meromorfa. Entonces f es una funcion debilmente modularde peso 2k si y solo si
f (z + 1) = f (z) y f
(−1
z
)= z2k f (z).
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Si tenemos que f es debilmente modular de peso 2k, tenemos que,
f (z) = (cz + d)−2k f
(az + b
cz + d
).
∀(a bc d
)∈ SL2(Z). En particular, si consideramos las matrices
T =
(1 10 1
)y S =
(0 −11 0
)tenemos que
f (z) = 1−2k f (z + 1), z−2k f
(−1
z
)= f (z).
La recıproca se obtiene usando las relaciones anteriores y el hecho de queS y T generan SL2(Z).
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Dada f funcion debilmente modular, podemos expresarla como unafuncion f en la variable q = e2πiz . Tenemos que
f es meromorfa en 0 < |q| < 1.
Si f se puede extender a una funcion meromorfa en el origen, decimosque f es meromorfa en el infinito.
Si pasa esto ultimo, podemos escribir
f (q) =∞∑n=k
anqn,
k ≤ 0.
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Dada f funcion debilmente modular, podemos expresarla como unafuncion f en la variable q = e2πiz . Tenemos que
f es meromorfa en 0 < |q| < 1.
Si f se puede extender a una funcion meromorfa en el origen, decimosque f es meromorfa en el infinito.
Si pasa esto ultimo, podemos escribir
f (q) =∞∑n=k
anqn,
k ≤ 0.
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 12 / 32
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Formas Modulares
Definicion
Una funcion debilmente modular es llamada modular si es meromorfa eninfinito. Si f es holomorfa en infinito, anotamos f (∞) = f (0).
Definicion
Una funcion modular que es holomorfa en H y en el infinito es llamadaforma modular. Si tal funcion es cero en infinito, es llamadaforma cuspidal.
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Formas Modulares
Definicion
Una funcion debilmente modular es llamada modular si es meromorfa eninfinito. Si f es holomorfa en infinito, anotamos f (∞) = f (0).
Definicion
Una funcion modular que es holomorfa en H y en el infinito es llamadaforma modular. Si tal funcion es cero en infinito, es llamadaforma cuspidal.
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Ası, una forma modular es dada por una serie
f (z) =∞∑n=0
anqn =
∞∑n=0
ane2πiz ,
la cual converge para |q| < 1. Vemos que la forma es cuspidal si a0 = 0 .
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Ejemplo: Serie de Eisenstein
Para un entero k ≥ 2, y z ∈ H definimos la serie de Eisenstein por
Gk(z) =∑m,n
′ 1
(mz + n)2k.
Se puede ver que converge absolutamente y que es holomorfa en H.Ademas, Gk(∞) = 2ζ(2k). Finalmente
Gk(z + 1) =∑m,n
′ 1
(mz + m + n)2k=∑`,r
′ 1
(`z + r)2k= Gk(z),
y
Gk
(−1
z
)= z2k
∑m,n
′ 1
(nz −m)2k= z2kGk(z).
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Ejemplo: Serie de Eisenstein Normalizadas
Para z ∈ H, y para k ≥ 2 entero definimos
Ek(z) = 1− 4k
B2k
∞∑n=1
σ2k−1(n)qn,
donde Bk es el k−esimo numero de Bernoulli.
Se puede probar que Gk(z) = 2ζ(2k)Ek(z). Por lo tanto, Ek es una formamodular de peso 2k.
Observacion
Como ya hemos visto, Gk(∞) = 2ζ(2k). Ası, Ek(∞) = 1.
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Ejemplo: Serie de Eisenstein Normalizadas
Para z ∈ H, y para k ≥ 2 entero definimos
Ek(z) = 1− 4k
B2k
∞∑n=1
σ2k−1(n)qn,
donde Bk es el k−esimo numero de Bernoulli.Se puede probar que Gk(z) = 2ζ(2k)Ek(z). Por lo tanto, Ek es una formamodular de peso 2k.
Observacion
Como ya hemos visto, Gk(∞) = 2ζ(2k). Ası, Ek(∞) = 1.
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Ejemplo: Funcion Cuspidal de Ramanujan (oDiscriminante)
Sean g2 = 60G2 y g3 = 140G3. Como Gk(∞) = 2ζ(2k), y ζ(4) = π4
90 y
ζ(6) = π6
945 , tenemos que
g2(∞) =4
3π4 y g3(∞) =
8
27π6.
Si ahora anotamos ∆ = g32 − 27g2
3 , tenemos que ∆(∞) = 0. Mas aun,
Teorema 3
∆ es una forma cuspidal no trivial de peso 12. Ademas,
∆(z) =E 3
4 (z)− E 26 (z)
1728.
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Ejemplo: Funcion Cuspidal de Ramanujan (oDiscriminante)
Sean g2 = 60G2 y g3 = 140G3. Como Gk(∞) = 2ζ(2k), y ζ(4) = π4
90 y
ζ(6) = π6
945 , tenemos que
g2(∞) =4
3π4 y g3(∞) =
8
27π6.
Si ahora anotamos ∆ = g32 − 27g2
3 , tenemos que ∆(∞) = 0. Mas aun,
Teorema 3
∆ es una forma cuspidal no trivial de peso 12. Ademas,
∆(z) =E 3
4 (z)− E 26 (z)
1728.
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Funcion τ de Ramanujan
Definicion
Definimos la funcion τ : N→ Z como los coeficientes de la expansion enseries de potencias de
q∞∏n=1
(1− qn)24 =∞∑n=1
τ(n)qn.
Conjetura
1 Si gcd(m, n) = 1, entonces τ(mn) = τ(m)τ(n).
2 Si p es primo, entonces τ(pα+1) = τ(p)τ(pα)− p11τ(pα−1) paraα ≥ 1.
3 Si p es primo, entonces |τ(p)| ≤ 2p112 .
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1917: Mordell prueba las primeras dos partes de la conjetura.
1974: Deligne prueba la tercera.
Teorema 4
∆ = q∞∏n=1
(1− qn)24.
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1917: Mordell prueba las primeras dos partes de la conjetura.
1974: Deligne prueba la tercera.
Teorema 4
∆ = q∞∏n=1
(1− qn)24.
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 19 / 32
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1917: Mordell prueba las primeras dos partes de la conjetura.
1974: Deligne prueba la tercera.
Teorema 4
∆ = q∞∏n=1
(1− qn)24.
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 19 / 32
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Relacion con Curvas Elıpticas
Definicion
Dado un lattice L en C, definimos su funcion de Weierstrass por
℘(z) =1
z2+∑`∈L
′(
1
(z − `2)− 1
`2
).
Observacion
Podemos definir las series de Eisenstein para un lattice L por
Gk(L) :=∑`∈L
′ 1
`2k.
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Relacion con Curvas Elıpticas
Definicion
Dado un lattice L en C, definimos su funcion de Weierstrass por
℘(z) =1
z2+∑`∈L
′(
1
(z − `2)− 1
`2
).
Observacion
Podemos definir las series de Eisenstein para un lattice L por
Gk(L) :=∑`∈L
′ 1
`2k.
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 20 / 32
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Observacion
Tal como en la observacion anterior, podemos definir para un lattice L,
g2(L) = 60G2(L), g3(L) = 140G3(L)
Es posible probar que
(℘′)2 = 4℘3 − g2℘− g3.
Haciendo x = ℘ e y = ℘′, obtenemos
y2 = 4x3 − g2x − g3.
Por lo tanto, el discriminante del polinomio del lado derecho viene dadopor
16(g32 − 27g2
3 ).
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Grupos de Hecke
Definicion
Definimos los grupos de Hecke por
Γ0(N) =
{(a bc d
)∈ SL2(Z) : c ≡ 0(mod N)
}.
Una forma modular para Γ0(N) se dice que tiene nivel N.
Observacion
Γ0(1) = SL2(Z).
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Grupos de Hecke
Definicion
Definimos los grupos de Hecke por
Γ0(N) =
{(a bc d
)∈ SL2(Z) : c ≡ 0(mod N)
}.
Una forma modular para Γ0(N) se dice que tiene nivel N.
Observacion
Γ0(1) = SL2(Z).
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 22 / 32
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Definicion
Sea k ∈ Q.
El conjunto de las formas modulares de nivel N y peso k es denotadopor Mk(Γ0(N)).
El conjunto de las formas cuspidales de nivel N y peso k es denotadopor Sk(Γ0(N)).
Observacion
Mk(Γ0(N)) y Sk(Γ0(N)) son espacios vectoriales complejos
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Ejemplo: Funcion Theta
Definimos la funcion θ : H→ C por
θ(z) =∞∑
n=−∞e2πin2z .
Proposicion 2
Se tiene que
1 θ es holomorfa en H.
2 θ(z + 1) = θ(z).
3 Sea g =
(a bc d
)∈ SL2(Z) tal que c ≡ 0 (mod 4). Entonces
θ(gz) = w√cz + dθ(z), donde w ∈ {±1,±i}.
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Teorema 5
Sea k un entero par.
M0(SL2(Z)) = C.
Mk(SL2(Z)) = 0 si k es negativo o k = 2.
Para k = 4, 6, 8, 10 y 14, Mk(SL2(Z)) es generado por Ek .
Si k < 12 o k = 14, Sk(SL2(Z)) = 0. Si k = 12, Sk(SL2(Z)) esgenerado por ∆. Si k > 14, Sk(SL2(Z)) = ∆Mk−12(SL2(Z)).
Si k > 2, entonces Mk(SL2(Z)) = Sk(SL2(Z))⊕ EkC.
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 25 / 32
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Un poco mas general...
Teorema 6
dimMk(Γ0(N)) <∞. Mas aun, si k < 0, Mk(Γ0(N)) = 0, y si k ≥ 0,entonces
dimMk(Γ0(N)) ≤ 1 +kN
12
∏p|N
(1− 1
p
).
Corolario
dimM2(Γ0(4)) ≤ 2.
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 26 / 32
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Un poco mas general...
Teorema 6
dimMk(Γ0(N)) <∞. Mas aun, si k < 0, Mk(Γ0(N)) = 0, y si k ≥ 0,entonces
dimMk(Γ0(N)) ≤ 1 +kN
12
∏p|N
(1− 1
p
).
Corolario
dimM2(Γ0(4)) ≤ 2.
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 26 / 32
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Algunas observaciones
Definicion
Sea r(m) = |{(n1, . . . , n4) ∈ Z4|m = n21 + · · · n2
4}|.
Notemos que
(∑n∈Z
qn2
)4
=∑
n1,...,n4
qn21+···+n2
4 =∞∑
m=0
∑n2
1+···+n24=m
qm =∞∑
m=0
r(m)qm.
Es decir, θ4 = R := r(0) + r(1)q + r(2)q2 + · · · .
Proposicion 3
R ∈ M2(Γ0(4)).
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 27 / 32
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Algunas observaciones
Definicion
Sea r(m) = |{(n1, . . . , n4) ∈ Z4|m = n21 + · · · n2
4}|.
Notemos que
(∑n∈Z
qn2
)4
=∑
n1,...,n4
qn21+···+n2
4 =∞∑
m=0
∑n2
1+···+n24=m
qm =∞∑
m=0
r(m)qm.
Es decir, θ4 = R := r(0) + r(1)q + r(2)q2 + · · · .
Proposicion 3
R ∈ M2(Γ0(4)).
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 27 / 32
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Queremos estudiar R mediante las series de Eisenstein. Sin embargo, esasfueron definidas para k ≥ 2. Aun ası...
Definicion
G1(z) := 2ζ(2) +2(2πi)2
(2− 1)!
∞∑n=1
σ2−1(n)e2πinz =π2
3− 8π2
∞∑n=1
σ1(n)qn,
donde σs(n) =∑
d |n ds .
Observacion
Como M2(SL2(Z)) = 0, G1 no es una forma modular de peso 2 paraSL2(Z)
Proposicion 4
Se tiene que G1(z + 1) = G1(z) y G1
(−1
z
)= z2G1(z)− 2πiz .
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 28 / 32
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Queremos estudiar R mediante las series de Eisenstein. Sin embargo, esasfueron definidas para k ≥ 2. Aun ası...
Definicion
G1(z) := 2ζ(2) +2(2πi)2
(2− 1)!
∞∑n=1
σ2−1(n)e2πinz =π2
3− 8π2
∞∑n=1
σ1(n)qn,
donde σs(n) =∑
d |n ds .
Observacion
Como M2(SL2(Z)) = 0, G1 no es una forma modular de peso 2 paraSL2(Z)
Proposicion 4
Se tiene que G1(z + 1) = G1(z) y G1
(−1
z
)= z2G1(z)− 2πiz .
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 28 / 32
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Queremos estudiar R mediante las series de Eisenstein. Sin embargo, esasfueron definidas para k ≥ 2. Aun ası...
Definicion
G1(z) := 2ζ(2) +2(2πi)2
(2− 1)!
∞∑n=1
σ2−1(n)e2πinz =π2
3− 8π2
∞∑n=1
σ1(n)qn,
donde σs(n) =∑
d |n ds .
Observacion
Como M2(SL2(Z)) = 0, G1 no es una forma modular de peso 2 paraSL2(Z)
Proposicion 4
Se tiene que G1(z + 1) = G1(z) y G1
(−1
z
)= z2G1(z)− 2πiz .
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 28 / 32
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Queremos estudiar R mediante las series de Eisenstein. Sin embargo, esasfueron definidas para k ≥ 2. Aun ası...
Definicion
G1(z) := 2ζ(2) +2(2πi)2
(2− 1)!
∞∑n=1
σ2−1(n)e2πinz =π2
3− 8π2
∞∑n=1
σ1(n)qn,
donde σs(n) =∑
d |n ds .
Observacion
Como M2(SL2(Z)) = 0, G1 no es una forma modular de peso 2 paraSL2(Z)
Proposicion 4
Se tiene que G1(z + 1) = G1(z) y G1
(−1
z
)= z2G1(z)− 2πiz .
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 28 / 32
![Page 52: Formas Modulares - Seminario de Teoría de Númerosnatalia.garcia/formas-modulares.pdfcomo la suma de cuatro cuadrados (Teorema de Lagrange). Ahora bien, >podemos contar de cu antas](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042323/5f0dcc8b7e708231d43c2497/html5/thumbnails/52.jpg)
Definicion
E1(z) :=3
π2G1(z) = 1− 24
∞∑n=1
σ1(n)qn.
E1,1(z) = E1(z)− 2E1(2z).
E1,2(z) = E1(z)− 4E1(4z).
Proposicion 5
E1,1,E1,2 ∈ M2(Γ0(4)).
Proposicion 6
E1,1 y E1,2 son linealmente independientes y por lo tanto, {E1,1,E1,2} esbase de M2(Γ0(4)).
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 29 / 32
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Definicion
E1(z) :=3
π2G1(z) = 1− 24
∞∑n=1
σ1(n)qn.
E1,1(z) = E1(z)− 2E1(2z).
E1,2(z) = E1(z)− 4E1(4z).
Proposicion 5
E1,1,E1,2 ∈ M2(Γ0(4)).
Proposicion 6
E1,1 y E1,2 son linealmente independientes y por lo tanto, {E1,1,E1,2} esbase de M2(Γ0(4)).
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 29 / 32
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Definicion
E1(z) :=3
π2G1(z) = 1− 24
∞∑n=1
σ1(n)qn.
E1,1(z) = E1(z)− 2E1(2z).
E1,2(z) = E1(z)− 4E1(4z).
Proposicion 5
E1,1,E1,2 ∈ M2(Γ0(4)).
Proposicion 6
E1,1 y E1,2 son linealmente independientes y por lo tanto, {E1,1,E1,2} esbase de M2(Γ0(4)).
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 29 / 32
![Page 55: Formas Modulares - Seminario de Teoría de Númerosnatalia.garcia/formas-modulares.pdfcomo la suma de cuatro cuadrados (Teorema de Lagrange). Ahora bien, >podemos contar de cu antas](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042323/5f0dcc8b7e708231d43c2497/html5/thumbnails/55.jpg)
Tenemos que
R = 1 + 8q + · · · .E1,1 = 1− 24q + · · · .E1,2 = −3− 24q + · · · .
Ası,
1 + 8q + · · · = R = αE1,1 + βE1,2 = (−α− 3β) + (−24α− 24β)q + · · · ,
⇒ α = 0, β = −13 .
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 30 / 32
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Lo anterior implica que
R(z) = −1
3E1,2(z) = −1
3
(1− 24
∞∑n=1
σ1(n)qn
)+
4
3
(1− 24
∞∑n=1
σ1(n)qn
)
= 1 + 8∞∑n=1
(σ1 − 4σ1
(n4
))qn,
donde σ1
(n4
)= 0 ni n
4 /∈ Z. Por lo tanto,
Teorema 7
r(0) = 1.
Si 4 - n, entonces r(n) = 8σ1(n).
Si 4|n, entonces r(n) = 8(σ1 − 4σ1
(n4
)).
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 31 / 32
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Lo anterior implica que
R(z) = −1
3E1,2(z) = −1
3
(1− 24
∞∑n=1
σ1(n)qn
)+
4
3
(1− 24
∞∑n=1
σ1(n)qn
)
= 1 + 8∞∑n=1
(σ1 − 4σ1
(n4
))qn,
donde σ1
(n4
)= 0 ni n
4 /∈ Z. Por lo tanto,
Teorema 7
r(0) = 1.
Si 4 - n, entonces r(n) = 8σ1(n).
Si 4|n, entonces r(n) = 8(σ1 − 4σ1
(n4
)).
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 31 / 32
![Page 58: Formas Modulares - Seminario de Teoría de Númerosnatalia.garcia/formas-modulares.pdfcomo la suma de cuatro cuadrados (Teorema de Lagrange). Ahora bien, >podemos contar de cu antas](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042323/5f0dcc8b7e708231d43c2497/html5/thumbnails/58.jpg)
Referencias
Dewar, Graves, & Murty.
Problems in theory of modular forms.
Koblitz.
Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms.
Milne
Modular Functions and Modular Forms.
Pasten.
Un paseo por la modularidad.
Serre.
A course in arithmetic.
Stein & Shakarchi.
Complex Analysis.
Sebastian Munoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de 2018 32 / 32