formas canónicas, digitales
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Formas canónicas (álgebra de Boole)De Wikipedia, la enciclopedia libre(Redirigido desde Formas Canónicas (Álgebra de Boole))Saltar a navegación, búsqueda
En Álgebra booleana, se conoce como término canónico de una función lógica a todo producto o suma en la cual aparecen todas las variables en su forma directa o inversa. Una Función lógica que está compuesta por operador lógico puede ser expresada en forma canónica usando los conceptos de minterm y maxterm. Todas las funciones lógicas son expresables en forma canónica, tanto como una "suma de minterms" como "producto de maxterms". Esto permite un mejor análisis para la simplificación de dichas funciones, lo que és de gran importancia para la minimización de circuitos digitales.
Una función booleana expresada como una disyunción lógica (OR) de minterms es usualmente conocida la "suma de productos", y su Dual de Morgan es el "producto de sumas", la cual es una función expresada como una conjunción lógica (AND) de maxterms.
Contenido
[ocultar] 1 Minitérminos
o 1.1 Indexando minitérminos o 1.2 Función equivalente
2 Maxitérminos o 2.1 Dualización o 2.2 Indexando maxitérminos o 2.3 Función equivalente
3 Véase también
[editar] Minitérminos
Para una función booleana de n variables x1,...xn, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minitérmino. Es decir, un minitérmino es una expresión lógica de n variables consistente únicamente en el operador conjunción lógica (AND) y el operador complemento o negación (NOT).
Por ejemplo, abc, ab'c y abc' son ejemplos de minterms para una función booleana con las tres variables a, b y c.
[editar] Indexando minitérminos
En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo componen en el mismo orden), un índice basado en el valor binario del minterm.
Un término negado, como a' es considerado como el número binario 0 y el término no negado a es considerado como un 1.
Por ejemplo, se asociaría el número 6 con abc', y nombraríamos la expresión con el nombre m6. Entonces m0 de tres variables es a'b'c' y m7 debería ser abc al ser 111(2.
Se puede observar que cada minterm solo devuelve verdadero, (1), con una sola entrada de las posibles.
Por ejemplo, el minitérmino 5, ab'c es verdadero solo cuado a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1.
[editar] Función equivalente
Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica: f(a,b), es posible escribir la función como "suma de productos". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.
Observamos que las filas con resultado '1 son la primera y la cuarta, entonces podremos escribir f como la suma de los minitérminos: f(a,b) = m0 + m3.
Si queremos verificar esto:
f(a,b) = m0 + m3 = (a'b') + (ab)
tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.
Esta expresión aplicada a interruptores seria el de la figura, se puede ver que hay dos ramas, en la superior dos interruptores inversos: a’ y b’ puestos en serie, lo que es equivalente a a’b’, en la inferiores directos: a y b también en serie que es equivalente a ab, estos dos circuitos puestos en paralelo resultan a’b’ + ab.
[editar] Maxitérminos
Un maxitérmino es una expresión lógica de n variables que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los maxterms són una expresión dual de los minitérminos. En vez de usar operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar.
Por ejemplo, los siguientes términos canónicos son maxitérminos:
a + b' + ca' + b + c
[editar] Dualización
El complemento de un minterm es su respectivo maxitérmino. Esto puede ser fácilmente verificado usando la Ley de De Morgan. Por ejemplo:
m1' = M1
(a'b)' = a + b'
[editar] Indexando maxitérminos
Para indexar maxitérminos lo haremos justo de la forma contraria a la que seguimos con los minterms. Se asigna a cada maxterm un índice basado en el complemento del número binario que representa (otra vez asegurándonos que las variables se escriben en el mismo orden, usualmente alfabético). Por ejemplo, para una función de tres variables f(a,b,c) podemos asignar M6 (Maxitérmino 6) al maxitérmino: a' + b' + c. De forma similar M0 de tres variables debería ser a + b + c y M7 es a' + b' + c'.
Se puede ver fácilmente que un maxitérmino sólo da como resultado un cero para una única entrada de la función lógica. Por ejemplo, el maxitérmino 5, a + b' + c, es falso solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da como resultado un cero.
[editar] Función equivalente
Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica, f(a,b), es posible escribir la función como "producto de sumas". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.
Observamos que las filas que tiene como salida un 0 son la segunda y la tercerra, entonces podemos escribir f como un producto de maxitérminos M1M2.
Si queremos verificar esto:
f(a,b) = (a + b')(a' + b)
tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.
La aplicación en un circuito de interruptores, es el del esquema, donde se puede ver los dos interruptores superiores a y a', y los inferiores b' y b.
En primer lugar tenemos puestos en paralelo a y b', lo que seria a+b', y a continuación, a' y b en paralelo que seria a'+b, estos dos circuitos parciales puestos en serie son equivalentes a (a+b')(a'+b), las distintas combinaciones de a y b, corresponden, como se puede ver a la tabla de verdad.
Este circuito esta cerrado solo en dos de las cuatro combinaciones posibles: a b con los interruptores en esta posición se conecta la entrada con la salida y a’ b’ que también cierra circuito, para las otras combinaciones el circuito esta abierto.
Este circuito y el anterior son claramente diferentes, pero los dos corresponden a la misma tabla de verdad y por lo tanto equivalentes.
Aun partiendo de la misma expresión booleana, se pueden realizar distintas configuraciones equivalentes, así se puede ver en esta segunda figura.
Se puede demostrar la equivalencia, simplificando la función, partiendo de:
f(a,b) = (a + b')(a' + b)
Realizando las multiplicaciones, tendremos:
f(a,b) = aa' + ab + b'a' + b'b
Simplificando:
f(a,b) = ab + b'a'
con lo que tenemos la función obtenida por minitérminos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Formas_Can%C3%B3nicas_(%C3%81lgebra_de_Boole)
Álgebra de BooleDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.
Contenido
[ocultar] 1 Definición
o 1.1 Como retículo o 1.2 Como cuerpo
1.2.1 Grupo abeliano respecto a (+) 1.2.2 Grupo abeliano respecto a (·) 1.2.3 Distributivo
2 Operaciones o 2.1 Operación suma o 2.2 Operación producto o 2.3 Operación negación o 2.4 Operaciones combinadas
3 Leyes fundamentales o 3.1 Principio de dualidad
4 Otras formas de notación del álgebra de Boole 5 Álgebra de Boole aplicada a la informática
o 5.1 El 0 lógico o 5.2 El 1 lógico
6 Véase también 7 Enlaces externos
8 Bibliografía
[editar] Definición
el algebra de boole se inicia a inicios de la decada del 1300 en roma con uno de los matematicos mas conocidos de esas epocas
El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:
[editar] Como retículo
El álgebra de Boole es un retículo (A, 0,1, , +), donde el conjunto A = {0,1}, este conjunto esta formado solo por dos elementos el 0, y 1, y el 0 antecede o es menos que el 1:
Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia:
2. Ley de Asociatividad:
3. Ley de Conmutatividad:
4. Ley de Cancelativo
[editar] Como cuerpo
El Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Cuerpo:
[editar] Grupo abeliano respecto a (+)
El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+):
1. (+) es una operación interna en A:
2. Es asociativa:
3. Tiene elemento neutro
4. Tiene elemento simétrico:
5. es conmutativa:
[editar] Grupo abeliano respecto a (·)
El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a ( ):
6. ( ) es una operación interna en A:
7. Es asociativa:
8. Tiene elemento neutro
9. Tiene elemento simétrico:
10. es conmutativa:
[editar] Distributivo
El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+) y ( ) y es distributiva:
11. La operación (+) es distributiva respecto a ( ):
12. La operación ( ) es distributiva respecto a (+):
Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Cuerpo conmutativo .
[editar] Operaciones
Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:
[editar] Operación suma
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.
a ba + b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.
[editar] Operación producto
La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores
solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.
a ba b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
[editar] Operación negación
La operación negación presenta el opuesto del valor de a:
Un interruptor inverso equivale a esta operación:
[editar] Operaciones combinadas
Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:
Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.
La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.
a
0 1
1 0
a b
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
[editar] Leyes fundamentales
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:
2. Ley de involución:
3. Ley conmutativa:
4. Ley asociativa:
5. Ley distributiva:
6. Ley de cancelación:
7. Leyes de De Morgan:
[editar] Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.
[editar] Otras formas de notación del álgebra de Boole
En matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.
Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:
Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}
Adición Producto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:
En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1}
Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:
En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto:
En esta notación las leyes de De Morgan serían así:
Desde el punto de vista practico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras.
La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para las variables:
y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:
Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.
[editar] Álgebra de Boole aplicada a la informática
Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente.
Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano. ..
[editar] El 0 lógico
El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso la cadena "0".
[editar] El 1 lógico
En cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación, representado normalmente como true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene cuando no es 0. Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico, y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser ésta la correspondiente al 0 lógico).
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole
http://www.docstoc.com/docs/12426198/Sistemas-digitales-Carlos-Novillo--tomo-2