Fonaments Físics de les Estructures

Tema 5.- Geometria de masses (II) Moments d’Inèrcia.

Objectius:

Entendre el concepte de moment d’inèrcia d’una

superfície plana.

Aprendre a calcular moments d’inèrcia de superfícies

complexes utilitzant el teorema dels eixos paral·lels.

Entendre el concepte de producte d’inèrcia d’una

superfície plana.

Moments d’ordre n respecte d’un eixPerò el centre de gravetat està relacionat amb el primer ordre, i el

moment d’inèrcia és el segon ordre d’una magnitud més general

anomenada Moment d’una superfície respecte d’un eix.

En general, per a una superfície S i un eix E qualsevol, es defineix el

moment d’ordre n de la superfície com a:

on d és la distància de la superfície a l’eix.

n nn i i n

i S

M d S M d dS (distribució discreta) (distribució contínua)

Moments d’ordre n respecte d’un eixEls dos primers ordres són:

on d es la distància de la superfície a l’eix.

21 2

S S

M d dS M d dS (primer ordre) (segon ordre)

dSS

d

EE’

X

Y

Z

Seccions com a superfícies planes

La secció d’un element constructiu, com per exemple una biga, és

una superfície plana.

A l’hora d’estudiar les forces que actuen sobre la superfície, els

moments de primer i segon ordre tenen gran importància.

G

x' x'x x

G

Figura. Geometria de masses irealitat física

Quan en l’expressió general del moment d’ordre n, l’exponent té el

valor n=2, el moment respecte d’un eix es denomina moment

d’inèrcia de la superfície (I).

Respecte dels eixos coordenats rectangulars és:

Moment d’inèrcia d’una superfície

2´EE

S

I d dS

2 2; ;X YS S

I y dS I x dS

• Les dimensions del moment d’inèrcia són [L4] (m4).

• El moment d’inèrcia és sempre positiu.

Si la superfície es pot separar en un nombre discret de parts, el

moment d’inèrcia es pot calcular com un sumatori.

Si es calcula per integració, convé elegir el dS de manera que

simplifique el càlcul. Per exemple com a rectangles infinitesimals

paral·lels a l’eix.

Per exemple en el cas d’un rectangle, la integració és:

Moment d’inèrcia d’una superfície

´EE ii

I I

2 2 3

0

13

h

XS y

I d dS y b dy bh

X

Y

h

b

dy dS b dy

EXEMPLE.- El moment d’inèrcia d’un quart de cercle respecte

d’un radi és:

La funció que descriu la corba de la figura és:

Els moments d’inèrcia respecte dels eixos s’obtenen sumant el

moment d’inèrcia de tots els rectangles infinitesimals:

Moment d’inèrcia d’una superfície

22f x ax x

3

24

3 2

0

1 1 23 3 16

a

XS S x

aI dI y dx ax x dx

X

Y

xy

dx

313YdI y dx

a

EXEMPLE.- El moment d’inèrcia d’un triangle respecte a la seua

base és:

El moment d’inèrcia s’obté sumant el moment d’inèrcia dels

rectangles infinitesimals:

Moment d’inèrcia d’una superfície

h ydS l dy b dyh

2 2

0

3 4 32 3

0 03 4 12

h

XS S y

hh

y

h yI dI y dS y b dyh

b b y y bhhy y dy hh h

b

Y

h-y

ydy

hl

X

Moment d’inèrcia polarEs pot definir el moment d’inèrcia d’una superfície plana respecte d’un

punt o pol, el qual pertany al pla de la superfície.

Siga A un punt del pla, és

Si aquest punt és l’origen d’un sistema de coordenades:

2A

S

I d dS 2 2A Ad x x y y

2 2 2

2 2

AS S

Y XS S

I d dS x y dS

x dS y dS I I

dSS

d

X

Y

y

xA

Moment d’inèrcia polarPerò la distància al punt es independent de l’orientació del sistema de

referència d’origen en A que s’utilitze:

“El moment d’inèrcia polar d’una superfície plana pel que fa a un punt, coplanari amb aquesta, és la suma dels moments d’inèrcia de d’aquesta superfície respecte de dos eixos ortogonals qualssevol sempre que siguen coplanaris amb la superfície, i es tallen en el punt esmentat”

El moment d’inèrcia polar intervé en molts problemes físics, com per

exemple moviments de rotació i la resistència de les bigues a la torsió.

2 2 2 2A A A Ad x y x y

dSS

d

X

Y

yx

Ax

x’y’

Y’

X’

' 'A X Y X YI I I I I

Radi de gir d’una superfície

dSS

d

EE’

X

Y

Z

dS

S

KEE’

EE’

X

Y

Z

S’anomena radi KEE’ de gir d’una superfície S respecte d’un eix EE’ a

la distància a l’eix a què haurien d’estar tots els punts de la

superfície per a obtindre el mateix moment d’inèrcia.

2 2 2 '' ' '

EEEE EE EE

S S

II d dS d dS K S KS

XX

YY

ZZ

IKS

IKS

IKS

És l’equació que relaciona el moment d’inèrcia d’una superfície

respecte d’un eix coplanari amb aquesta, amb el moment respecte

d’un altre eix paral·lel amb l’anterior.

Els moments respecte dels eixos OXY són:

i respecte dels eixos OX’Y’ són:

però és

Equació del camp de moments d’inèrcia

2 2

2 2' '' '

X YS S

X YS S

I y dS I x dS

I y dS I x dS

' 'x x a y y b

dSS

X

Y

y

xO(a,b)

X’

Y’

O’ x’

y’

a

b

Substituint és:

Equació del camp de moments d’inèrcia 22 2 2

'

2 2 2

' 2

2 2

XS S S

X GS S S

I y dS y b dS y yb b dS

y dS b ydS b dS I by S b S

dSS

X

Y

y

xO(a,b)

X’

Y’

O’ x’

y’

De forma anàloga és:

2' 2Y Y GI I ax S a S

(equació del camp de moments)

Teorema de SteinerÉs un cas particular de l’equació del camp de moments.

Si l’origen del sistema de referència OXY es fa coincidir amb el cdg de la

superfície, l’expressió se simplifica:

' 2X X GI I b y 2 2

' 2

XG

Y Y G

S b S I b S

I I a x

2 2YGS a S I a S

“El moment d’inèrcia d’una superfície respecte d’un eix és igual al moment respecte d’un altre paral·lel que passa pel cdg més el producte de l’àrea de la superfície pel quadrat de la distància entre els dos eixos”

O’

S

XG

YG

G(a,b)

X’

Y’

b

a

250 mm

r=80 mm120 mm

X

ExempleCalculeu el moment d’inèrcia de la secció respecte de l’eix X de la figura.

3 41 8 4; ;3 8 9 3X XG G

rI bh I r y

Dades tabulars:

• Moment d’inèrcia del rectangle respecte a la seua base.

• Moment d’inèrcia del semicercle respecte d’un eix central paral·lel al diàmetre.

• Posició del cdg del semicercle en el seu eix de simetria.

250 mm

r=80 mm120 mm

X

Exemple3 3 8 4

4 4 6 4

2 4 2

1 1 250 120 4.32 103 3

8 0.110 80 4.506 108 9

4 4 80 33.95 120 86.053 3

/ 2 1.005 10

X

XG

G G

c

I bh mm

I r mm

ry y y mm

S r mm

250 mm

r=80 mm120 mm

X

Exemple

2

8 6 2 4

8 4

4.32 10 4.506 10 86.05 1.005 10

3.531 10

total X XG cI I I y S

mm

Producte d’inèrciaEl producte d’inèrcia d’una superfície S respecte de dos eixos coplanaris

és el producte de l’àrea per les seues distàncies ortogonals a cadascun

dels eixos de referència:

XY i i i XYi S

P x y S P x ydS (distribució discreta) (distribució contínua)

El producte d’inèrcia pot ser positiu,

negatiu o nul, depenent de la posició

de la superfície respecte dels eixos

coordenats +

+__

X

YS

dSS

d

X

Y

y

xA

Propietats del producte d’inèrcia• Les dimensions del producte d’inèrcia són

[L4] (m4).

• El producte d’inèrcia pot ser positiu, negatiu o nul.

• Quan el producte d’inèrcia respecte d’uns eixos és nul, es diu que aquests eixos són eixos conjugats d’inèrcia.

• Si una superfície té un eix de simetria,el parell d’eixos format per aquest eix i un altre qualsevol ortogonal a aquest, són eixos conjugats d’inèrcia.

X

Y

x

y

O

dS

Equació del camp de productes d’inèrcia

dSS

X

Y

y

xO(a,b)

X’

Y’

O’ x’

y’

És l’equació que relaciona el producte d’inèrcia d’una superfície

respecte d’un sistema d’eixos, amb el producte respecte d’eixos

paral·lels als anteriors.

El producte respecte dels eixos OXY és:

i respecte dels eixos OX’Y’ és:

però és

' ' ' ' ' '

XY XYS

X Y X YS

I P xydS

I P x y dS

' 'x x a y y b

Substituint és:

Equació del camp de productes d’inèrcia

' ' ' 'X YS S S

S S S S

XY G G

P x y dS x a y b dS xy xb ya ab dS

xydS b xdS a ydS ab dS

P ay S bx S abS

dSS

X

Y

y

xO(a,b)

X’

Y’

O’ x’

y’(equació del camp de productes)

Teorema de Steiner

del producte d’inèrciaEs tracta d’un cas particular de l’equació del camp de productes.

Si l’origen del sistema de referència OXY es fa coincidir amb el cdg de

la superfície, l’expressió se simplifica:

“El producte d’inèrcia d’una superfície plana respecte d’un parell d’eixos ortogonals entre si i paral·lels a uns altres que passen pel cdg, s’obté afegint al producte d’inèrcia respecte dels eixos que passen pel cdg un terme que és el producte de les distàncies entre els eixos per la massa de la superfície”

' 'X Y XY GP P a y GS b x

XY

S abS

P abS

O’

S

XG

YG

G(a,b)

X’

Y’

b

a

Moments d’inèrcia màssicsConvé recordar que els moments d’inèrcia d’una superfície s’estan

calculant suposant que és una distribució homogènia de massa

(densitat superficial constant).

En moltes aplicacions tècniques, no es verifica aquesta condició i

aleshores cal tindre en compte aquesta situació.

Els moments d’inèrcia màssics són:

2 2 2X másico X geométrico

S S S

dm dS

I y dm y dS y dS I

màssic geomètric