Curso propedutico

FSICA MODERNA

Clase 1: 17 de marzo de 2015

Dra. Mara Luisa Garca Betancourt

Sistema de Referencia

Transformaciones de Galileo

Constancia de la velocidad de la luz y

sus consecuencias

Concepto de simultaneidad.

Transformaciones de Lorentz

Sistema de Referencia Transformaciones de Galileo

Constancia de la velocidad de la luz y

sus consecuencias

Concepto de simultaneidad.

Transformaciones de Lorentz

Nino leyendo:

en reposo... o

en movimiento?

A veces se dice que el nio, los

libros, y el gato estn en reposo.

Por lo tanto, todos estn en

movimiento con la misma velocidad.

Slo se puede detectar el movimiento

con respecto a algo ms.

Sin embargo la tierra

mantiene un movimiento con

velocidad constante

Sistema de Referencia

Transformaciones de Galileo Constancia de la velocidad de la luz y

sus consecuencias

Concepto de simultaneidad.

Transformaciones de Lorentz

FS

ICA C

LSIC

A PRINCIPIO DE LA RELATIVIDA DE GALILEO

Las leyes de la fsica son independientes

de cualquier sistema de referencia, por

lo que es imposible determinar por medio

de experimentos mecnicos si un sistema

inercial se mueve o no.

FS

ICA C

LSIC

A

Sistema de Referencia: Conjunto de coordenadas

que permite determinar unvocamente la

ubicacin espacial y temporal de cualquier suceso.

Sistema inercial: Sistema de referencia que esta

en reposo o movimiento rectilneo uniforme

respecto de un objeto material sobre el cual no

acta fuerza alguna, cualquiera sea su posicin.

Principio Relatividad Galileo:

En los sistemas inerciales los fenmenos mecnicos

responden a las mismas leyes, lo que hace

imposible distinguir en mecnica cual de ellos esta

en reposo y cual en movimiento.

Las leyes de la fsica son independientes del

sistema de referencia.

FS

ICA C

LSIC

A

Sistema de Referencia

FS

ICA C

LSIC

A

S S

VVt

(1.1)

(1.2)

FS

ICA C

LSIC

APrimera Ley: \Todo cuerpo permanecer en

su estado de reposo o movimiento uniforme

y rectilneo a no ser que sea obligado por

fuerzas impresas a cambiar su estado

Segunda Ley: "El cambio de movimiento es

proporcional a la fuerza motriz impresa y

ocurre segn la lnea recta a lo largo de la

cual aquella fuerza se imprime

Tercera Ley: "Con toda accin ocurre

siempre una reaccin igual y contraria; las

acciones mutuas de dos cuerpos siempre son

iguales y dirigidas en sentidos opuestos"

NACIM

IEN

TO

DEL

ELECTRO

MAG

NETIS

MO

Coulomb 1736-1806 Fuerzas de atraccin y repulsin entre objetos cargados (similar a la

fuerza gravitacional).

Benjamin Franklin Emisin de rayos en las tormentas son chispas elctricas.

Hans Christian Oesterd (1777-1851). Las corrientes elctricas producen fuerzas

magnticas.

Andr-Marie Ampere (1775-1836). Ley querelaciona la corriente elctrica con la fuerza

magntica que genera.

Michael Faraday (1791-1867). La relacin entre la electricidad y el magnetismo.

HACIA FALTA UNA FORMULACION UNIFICADA

ENTRE LA ELECTRICIDAD Y EL MAGNETISMO

James Clerk

Maxwell

Manifestacin de un solo fenmenofsico: ELECTROMAGNETISMO.

Fenmeno similar a la gravitacin. Elucidacin de la naturaleza de la luz:

existen ondas electromgneticas que

consisten en oscilaciones del campo

electromagntico.

Concepto de campo electromagntico.

El puente

entre la

fsica clsica

y la fsica

moderna

EL

ETER

Sistema de Referencia

Transformaciones de Galileo

Constancia de la velocidad

de la luz y sus consecuencias Concepto de simultaneidad.

Transformaciones de Lorentz

EXPERIM

EN

TO

DE

MIC

HELSO

N-M

ORLEY

EL ETER

Misteriosa sustancia intangible quepermea todos los cuerpos en el universo.

Sirve como medio fsico para transportarlas ondas electromagnticas.

Relacionado con la teora de Maxwell ynace por la necesidad de un espacio

absoluto.

- Primer prueba contra la teora

del ter

- Ausencia de desplazamiento en las

franjas de interferencia.

- La velocidad del viento del ter era nula.

- Como alternativa, se pens que la Tierra

arrastraba consigo al ter como la

atmosfera. A diferentes alturas

obtuvieron resultados negativos.

- Se descart la existencia del ter.

- Que C (velocidad de la luz dependa de la

fuente emisora).

LA EXPLICACIN CORRECTA FUE DADA POR

LA TEORA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

(EINSTEIN 1905)

Albert

Einstein El principio de la relatividad

La constancia de la velocidad de la luz

1879-1955

Las leyes de la fsica son las mismas para todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante uno con respecto a otro.

La rapidez de la luz c en el espacio libre es constante para todos los observadores, independiente de su estado de movimiento. (c = 3 x 108 m/s)

Cul es la velocidad del hombre?

No se puede decir sin un marco de referencia.

Cul es la velocidad del hombre con respecto a la

plataforma y con respecto a la tierra (Vt)?

Vt

Velocidad del hombre con respecto a la plataforma

vrel + Vt

Considerando que Vo= 0

Vt

Velocidad del hombre con respecto a la plataforma

vrel - vo

Considerando que Vt= 0

Vt

10 m/s10 m/s

c c

Velocidades observadas dentro del carro

Las bolas y la luz de la linterna tienen direcciones opuestas.

Las velocidades de las bolas cambian con respecto a la plataforma, la velocidad de la

luz NO.

40 m/s20 m/s

cc

Velocidades observadas desde afuera del carro

30 m/s 30 m/s

La rapidez de la luz no es afectada por el movimiento relativo y es exactamente igual a:

c = 2.99792458 x 108 m/s

Sistema de Referencia

Transformaciones de Galileo

Constancia de la velocidad de la luz y

sus consecuencias

Concepto de simultaneidad. Transformaciones de Lorentz

Po en el tren en movimiento

P est en el suelo.

En t = 0, el relmpago

golpea tren y suelo en A y B.

El observador P ve los

eventos relmpago A y

B como simultneos.

El observador Po dice que el

evento Bo ocurre antes que el

evento Ao debido al

movimiento del tren.

Cada observador tiene razn!

Es la alteracin del tiempo y del espacio lo

que permite que las leyes de la fsica (incluso

las ecuaciones de Maxwell) sean las mismas

para observadores en movimiento unirorme.

Considerar un

vehculo que se mueve

hacia la derecha con

una velocidad v

El pulso de luz llega de vuelta a la linterna

El pulso luminoso viaja con una velocidad c constante

O est en reposo

con respecto al

vehculo.

Tiene un reloj

suceso 1

O enciende momentneamente una linterna situada

a una distancia d, debajo de un espejo fijado al techo del vehculo. La luz se proyecta en direccin

vertical hacia el espejo.

suceso 2

Tiempo transcurrido

entre los dos sucesos

TIEMPO PROPIO

Tiempo propio: Es el intervalo de tiempo entre dos

eventos segn lo mide un observador que ve los eventos

ocurriendo en el mismo punto del espacio. El tiempo

propio siempre se mide por un observador que se mueve

junto con el reloj.

Sucesos son observados O

Para O, la linterna y el haz se mueven a la derecha

En el espejo la distancia en x es Vt/2.

t es el tiempo que tarda el haz en regresar a la lmpara medido

por O

El intervalo de tiempo t medido por el observador situado en el

segundo sistema de referencia

ser mayor que el intervalo de

tiempo t medido por el

observador en el primer sistema

de referencia

El pulso de luz recorre

distacias distintas en los

sistemas.

El intervalo de tiempo t medido por O es mayor que el intervalo de tiempo medido por O porque

tp es siempre mayor que la unidad

A este efecto se le conoce como

dilatacin temporal

Este fenmeno no se observa en nuestra vida

cotidiana porque el factor solo se desva de

la unidad para velocidades muy altas

En 1976 se realizaron experimentos con

muones en el laboratorio del Consejo

Europeo de Investigaciones Nucleares

(CERN) en Ginebra.

Curvas de desintegracin para muones que se desplazan a

una velocidad de 0.9994c y para muones en reposo.

=[ 0.95 + 0.95 * (0.05)] c = 0.9975 c

= =3

1 0.9975 2/2 43

Longitud propia:

La longitud del

objeto medida por

alguien que est

en reposo con

respecto al

objeto.

Lp

v

O

O

Segn O > = /

Cual es la distancia entre las dos

estrellas que mide el observador

O?

Lp

v

O

ODebido a la dilatacin

del tiempo O mide

= /

O afirma estar en reposo y ve pasar la

estrella a una velocidad vDado que llega en un tiempo menor,

concluye que la distancia L, entre las

estrellas es ms corta que Lp.

= =

= 1

2

2

1/2

1 2

2

1/2

< 1

La contraccin solo

se lleva a cabo en

la direccin del

movimiento

Sistema de Referencia

Transformaciones de Galileo

Constancia de la velocidad de la luz y

sus consecuencias

Concepto de simultaneidad.

Transformaciones de Lorentz

Einstein postul

Que las ecuaciones de Maxwell son rigurosamente vlidas encualquier sistema de referencia.

EL TER SIMPLEMENTE NO EXISTE.

Al no haber ter con respecto a qu debe medirse la velocidadde la luz?

LA VELOCIDAD DE LA LUZ ES LA MISMA EN CUALQUIER SISTEMA DE REFERENCIA.

Esto es lo que indica el experimento de Michelson Morley.

Implicacin de la teora de la relatividad: que las ecuaciones detransformaciones de Galileo no son vlidas por ser incompatibles

con las ecuaciones de Maxwell.

Existe una transformacin de coordenadas, parecidas a las deGalileo, que mantengan invariante a la forma de las ecuaciones

de Maxwell.

Transformaciones Galileanas no son vlidas cuando . Si , la transformacin se reduce a las Galileanas.

Hendric A. Lorentz (1853-1928) obtuvo las transformaciones vlidas para todas las velocidades en el

intervalo 0 .

La transformacin mantiene invariante las ecuaciones de Maxwell.

Einstein encontr el profundo significado fsico de estatransformacin

Las transformaciones de Lorentz son un conjunto de expresiones matemticas espacio/temporales de dos

obseradores inerciales que se mueven a una velocidad

relativa .

=

1 2 2

=

=

= 2

1 2 2

Para Lorentz, sudescubrimiento era

slo una curiosidad

matemtica.

Einstein encontr el profundo significado

fsico de esta

transformacin

Demostrar que estas transformaciones se

reducen a la transformacin Galileana

(1.3)

Ejemplo: Demuestre que el fenmeno de dilatacin del tiempo

est contenido en la transformacin de coordenadas de Lorentz.

Una fuente de luza ubicada en 0, 0, 0 se enciende repentinamente en 1 y se apaga en 2 en el sistema de referencia S. a) en qu intervalo de tiempo se mide la luz

encendida en el sistema de referencia S? b) Cul es la distanciaentre el instante en que se enciende la luz y el instante en que

se apaga, segn se mide en S?

a) en qu intervalo de tiempo se mide la luz encendida en el

sistema de referencia S?

- Encendido y apagado de la luz en los dos sistemas de referencia.

Las coordenadas y, z permanecen intactas ya que el movimiento

de S es a lo largo del eje x. La luz permanece enecndida durante

2 1 = 2

0

2- 1

0

2

= 2 1

> 1 y 2 1 es el tiempo propio, por lo tanto 2 1 > 2 1

DILATACIN DEL TIEMPO

b) Los eventos 1 y 2 ocurren en el mismo lugar en S, y en S ocurren a

una separacin 2 1, donde

2 1 = 0 2 0 1

= 1 2

Para 1 , 2 1 = 1 2

Por qu es negativo?

TAREA:

Use la transformacin de Lorentz para deducir la expresin de la

contraccin de la longitud. Advierta que la longitud de un objeto en

movimiento se determina midiendo simultneamente las posiciones

de ambos extremos.

- Est en contra de lo obtenido de la generalizacin del teorema

de pitgoras.

- El hecho de que la seudodistancia entre dos sucesos sea cero no

implica que estos coincidan.

Espacio comn (tres coordenadas)

1, 1, 1 2, 2, 2

1 2

Distancia entre los puntos 1 y 2

2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 2

INVARIANTE

Una determinada transformacin de

coordenadas, no afecta el valor de la

distancia

Coordenadas espacio/temporal (tres coordenadas):

1, 1, 1, 1 2, 2, 2, 2

1 2

Distancia entre los puntos 1 y 2 (tentativa)

2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 2

Defida INVARIANTE en qu sentido?La clave es el postulado de Einstein: la velocidad de la

luz es constante en cualquier sistema de coordenadas.

Considere la seal luminosa

S

S

En el sistema S, la velocidad de la seal

luminosa es

= + +

De donde

+ (

En el sistema S, la velocidad de la seal luminosa es *Recordar la invariancia de la

velocidad*

= + +

De donde

+ (

(1, 1, 1)

(2, 2, 2)

(2, 2, 2)

(1, 1, 1)

Considere la seal luminosa

Si definimos la seudodistancia (al cuadrado) entre

los dos sucesos

Si = en un sistema S, tambin = en otro

sistema S, donde por supuesto *invariancia de la distancia*

= + (

= + (

(1.4)

Para mantener la propiedad de invariancia debemos

mantener (1.4) an cuando la seudodistancia sea cero y

postular que esta permanece invariante de un sistema a

otro (compatible con la hiptesis de que la velocidad de la

luz es invariante).

- Est en contra de lo obtenido de la generalizacin del teorema

de pitgoras.

- El hecho de que la seudodistancia entre dos sucesos sea cero no

implica que estos coincidan.

- Si la distancia es

infinetisimal = + + (1.4)

Debemos dejar invariante a s, por lo tanto se debe buscar alguna

transformacin de coordenadas

- Considerar un suceso en O, (0,0,0) a un tiempo t. La

seudistancia (al cuadrado) entre el suceso O y cualquier otro

suceso de coordenadas (x,y,z,ct), entonces la distancia es

- En bsqueda de un transformacin que nos lleve a

(x,y,z,ct), tal que =

= + + (1.5)

= + +

PROBLEMA ANLOGO EN GEOMETRA (deja invariante la distancia +

demostrar)

= + +

La respuesta es

= cos + sin , = sin + cos =

(1.6)

(1.7)

- Se puede realizar una rotacin en el espacio tiempo, mediante una

combinacin de la rotacin de los planos , , , , , .- Los tres primeros son rotaciones comunes como (1.7).

- Las rotaciones en debe ser una transformacin de coordenadas quedeje invariante a

- Siguiendo la analoga con (1.7),

- Se satisface (comprobar), ya que

- Identificar . El sistema S tiene = , de acuerdo con (1.9)

2 = 2 22 = 2 22

= cosh sinh, = = sinh + cosh , =

cosh2 sinh2 = 1

= tanh

(1.8)

(1.9)

- Visto desde S, es la velocidad del sistema S. Luego

- Por lo tanto (demostrar)

= tanh

sinh =

1 2 2cosh =

1

1 2 2

= tanh =

sinh

coshY

sinh2 =2

2cosh2 =

2

2sinh2 + 1 =

2

2sinh2 +

2

2

sinh2 2

2sinh2 = sinh2 1

2

2=2

2

Despejando sinh, se obtiene

cosh2 = sinh2 + 1

sinh =

1 2 2

Introduciendo y , en la ecuacin 1.9, obtenemossinh cosh

=

1 2 2

=

=

= 2

1 2 2

Demostrar

= cosh sinh,

= cosh

cosh =

1 2 2

=sinh

coshcosh =

1

1 2 2

(1.10)

Ejercicio: demuestre que la transformacin inversa a lastransformaciones de Lorentz es

Justificar con un argumento fsico.

= +

1 2 2

=

=

= + 2

1 2 2

PROBLEMA: Para un observador O un destello de luz sale del punto x =

100 kilmetros, y = 20 kilmetros, z = 30 kilmetros en un tiempo t =

0.0005 segundo. Cules son las coordenadas del evento para un segundo

observador O que se mueve con respecto al primero a lo largo del eje

comn x-x a una velocidad de V = -0.8c?

El factor de correccin en este caso es

=1

1 2 2=

1

1 (0.8)2 2=1

0.6= 1.667

De las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema de referencia S

al sistema de referencia S tenemos entonces lo siguiente:

= = 1.667 100 0.8 3 108

1

1000 5 104

= 287

= = 20 , = = 30 ,

= /2 = 1.667 5 104 0.8 100 1000

1 / 3 108

= 1.667 5 104 2.6 104 = 12.66 104

En mecnica clsica =

En los movimientos

hay conservacin del

momento.

Y

A esta en reposo con

respecto de S

Y B esta en reposo

con respecto de S

=

El comportamiento de

A visto por S es el

mismo que el de B

visto por S.

Considerar choque entre dos partculas, observadas

desde S y S ( S y Smantienen una velocidad constante v relativa)

Colisin vista por S Colisin vista por S

El tiempo total de movimiento 0 para A medido en S es

Es el mismo para B en S

En S la velocidad de VB es

Donde T es el tiempo requeriso para que B haga el viaje completo como

fue medido en S. En S el viaje de B requiere un tiempo T0, donde

Aunque ambos observadores ven el mismo evento, el tiempo de regreso

de la partcula . Remplazando en B = /, tenemos

0 =

0 =

B

B =

=0

1 2/2

B = 1 2/2

0

Usando la definicin clasica del momento = , en S

Esto significa que, en este sistema, el momento no se conserva si =, donde y son las masas medidas en S.

Sin embargo si

El momento se conserva.

Ahora suponer que A y B se mueven en ambos sistemas. Y que y . En este caso un observador en S vera aproximarse a , con velocidad , colisionando suavemente, y luego sigue movindose. En el limite de = 0, si es la masa de en S cuando est en reposo, = .En el lmite de = 0, si () es la masa de en S, la cual se mueve a una velocidad , = ().

= =

0

=

1 2/2

= = 1 2/2

0

Entonces

Y el momento queda definido como

La conservacin del momento es vlido en relatividad especial.

Cuando , el momento es clsico, = .

El momento relativista se utiliza como

Donde

es la masa propia o masa en reposo de un objeto, medida por un observador en reposo

() =

1 2/2

=

1 2/2Momento relativista

=1

1 2 2

=

EJEMPLO: Encontrar la aceleracin de una partcula de masa m y

velocidad cuando se ejerce sobre ella una fuerza constante , donde es paralela a . Si

La aceleracin de la partcula es

Aunque la fuerza es constante, la aceleracin de la partcula decrece

mientras su velocidad incrementa. Si , 0,tal que la partcula nunca alcanza la velocidad de la luz.

= /

=

=

1 2/2

= 1

1 2/2+

2/2

1 2/2 3/2

=

1 2/2 3/2

= 3

=

1 2/2 3

/2

De donde viene

La relacin ms

famosa de Einstein

0 = 2

Si recordamos de la fsica clsica, el trabajo realizado por

un objeto por una fuerza constante de magnitud actuando a travs de una distancia , en donde se aplica en la misma direccin que ,

Si ninguna otra fuerza acta, todo el trabajo se convierte

en energa cintica , no necesita ser constante

En fsica no relativista

Para la versin relativista utilizamos la segunda ley

relativista

=

= 0

=1

22

= 0

=

0

= 0

1 2/2=

Integrando por partes ( = ),

=2

1 2/2

0

1 2/2=

2

1 2/2+ 2 1 2/2

2

0

=2

1 2/2

0

1 2/2=

2

1 2/2+ 2 1 2/2

2

0

=2

1 2/2

0

1 2/2=

2

1 2/2+ 2 1 2/2

2

0

=2

1 2/22

= 22 = 1 2Este resultado establece que la

energa de un objeto es igual a la

diferencia entre 2 y 2

La energa total = 2 = 2+

Si interpretamos como la energa total de un objeto, cuando este est en reposo = 0, este nunca posee la energa 2.

donde

La energa en reposo

Y si el objeto est en movimiento, su energa total es

= 0+

0 = 2

= 2 =2

1 2/2