1

Flujo PotencialFlujo Potencial(Clase I)(Clase I)

RegionesRegiones no no viscosasviscosas de un de un flujoflujo►► DefiniciDefinicióónn: : RegionesRegiones dondedonde laslas fuerzasfuerzas viscosasviscosas son son despreciablesdespreciables sisi

se se laslas comparacompara a a laslas fuerzasfuerzas de de presipresióónn y/oy/o inerciainercia~0 si Re importante

Ecuación de Euler

Los efectos de la viscosidad de los Los efectos de la viscosidad de los fluidos reales quedan limitados a las fluidos reales quedan limitados a las regiones del espacio (muchas veces regiones del espacio (muchas veces pequepequeññas) donde tienen lugar fuertes as) donde tienen lugar fuertes gradientes de la velocidad (capas gradientes de la velocidad (capas llíímite, o regiones donde el flujo es mite, o regiones donde el flujo es turbulento)turbulento)En el grueso del flujo los efectos de la En el grueso del flujo los efectos de la viscosidad son despreciables y el fluido viscosidad son despreciables y el fluido se puede suponer ideal.se puede suponer ideal.

FunciFuncióón potencial: n potencial: Campos conservativosCampos conservativos

►► El movimiento de un fluido se llama El movimiento de un fluido se llama irrotacionalirrotacional o o potencial si: potencial si:

►► Esta condiciEsta condicióón asegura la existencia de una funcin asegura la existencia de una funcióón n potencial tal que potencial tal que

( ) ( )321 ,,0 xxxVxVrot ∀=∇==rrrrω

( )

ii x

v

gradvvvV

∂∂

=

∇===φ

φφrr

321 ;;

Flujos Flujos irrotacionalesirrotacionales►► La vorticidad permite cuantificar la rotaciLa vorticidad permite cuantificar la rotacióón de n de

las partlas partíículas fluidas (es el doble de la culas fluidas (es el doble de la velocidad angular)velocidad angular)

►► Para que esa rotaciPara que esa rotacióón tome lugar tiene que n tome lugar tiene que haber un haber un torquetorque sobre la partsobre la partíícula fluida.cula fluida.

►► Este Este torquetorque aparece como consecuencia de la aparece como consecuencia de la viscosidad del fluido.viscosidad del fluido.

►► Flujos no viscosos=Flujo Flujos no viscosos=Flujo irrotacionalirrotacional

►► Las Las regionesregiones inviscidasinviscidas son son tambitambiéénn en en general general regionesregiones irrotacionalesirrotacionales. .

►► En las regiones materiales de flujo ideal no se En las regiones materiales de flujo ideal no se crea ni se destruye crea ni se destruye vorticidadvorticidad..

►► La La vorticidadvorticidad en un flujo en un flujo inviscidoinviscido es una es una propiedad que es transportada por la partpropiedad que es transportada por la partíícula cula fluida.fluida.

►► Si Si inicalmenteinicalmente es nula sigue siendo nula en es nula sigue siendo nula en todo otro momento.todo otro momento.

( ) ( )*2******

*

Re1 ωωωω rrr

r

∇+= gradtD

D

Campos de velocidades Campos de velocidades Conservativos y Conservativos y SolenoidalesSolenoidales

►► Si consideramos campos que son a la vez conservativos Si consideramos campos que son a la vez conservativos y y solenoidalessolenoidales ((hiphip. Flujos incompresibles), la funci. Flujos incompresibles), la funcióón n potencial debe satisfacer la ecuacipotencial debe satisfacer la ecuacióón de n de LaplaceLaplace

►► El campo de velocidades responde a una sola ecuaciEl campo de velocidades responde a una sola ecuacióón n escalarescalar

00

2

22

2

22

2

21

22 =

∂∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⇒=

∂∂

∂∂

=

ii

i

i

ii

xxxxxxv

xv

φφφφφ

φ

Condiciones de contorno para flujos Condiciones de contorno para flujos potencialespotenciales

►► La teorLa teoríía de la ecuacia de la ecuacióón de n de LaplaceLaplace establece que la soluciestablece que la solucióón estn estáádeterminada si se conoce el valor de determinada si se conoce el valor de φφ sobre toda una superficie sobre toda una superficie cerrada. cerrada.

►► Sin embargo, es preferible en el presente contexto imponer Sin embargo, es preferible en el presente contexto imponer condiciones sobre la velocidad. Esto plantea el problema de avercondiciones sobre la velocidad. Esto plantea el problema de averiguar iguar ququéé condicicondicióón sobre la velocidad es equivalente a asignar un valor a n sobre la velocidad es equivalente a asignar un valor a φφ. .

►► Evidentemente, por lo general no se podrEvidentemente, por lo general no se podráá especificar especificar u u (es decir, (es decir, todas sus componentes), pues sertodas sus componentes), pues seríían tres condiciones, y no una sola an tres condiciones, y no una sola como es asignar un valor al escalar como es asignar un valor al escalar φφ..

►► Se puede demostrar que el campo Se puede demostrar que el campo u u queda unqueda uníívocamente determinado vocamente determinado si se asigna ssi se asigna sóólo la lo la componente normal componente normal de de u u sobre el contorno sobre el contorno cerrado, es decir, una condicicerrado, es decir, una condicióón escalar.n escalar.

2

HipHipóótesistesis de de FlujoFlujo irrotacionalirrotacional►► La soluciLa solucióón de un problema de flujo potencial n de un problema de flujo potencial

consiste pues en la determinaciconsiste pues en la determinacióón de dos n de dos magnitudes escalares, magnitudes escalares, φφ y y pp, para lo cual , para lo cual disponemos de dos ecuaciones escalares: disponemos de dos ecuaciones escalares: LaplaceLaplace y y BernoulliBernoulli

►► El El procesoproceso eses entonesentones1.1. CalcularCalcular φφ a a partirpartir de la de la ecuaciecuacióónn de Laplace de Laplace 2.2. CalcularCalcular el campo de el campo de velocidadesvelocidades porpor la la definicidefinicióónn

de de funcifuncióónn potencialpotencial3.3. CalcularCalcular la la presipresióónn a a partirpartir de Bernoullide Bernoulli

VVáálido para flujo 3D o 2Dlido para flujo 3D o 2D

Flujos 2D: FunciFlujos 2D: Funcióón corrienten corriente►► Supongamos que consideramos un flujo bidimensional y que para elSupongamos que consideramos un flujo bidimensional y que para el

conocemos la expresiconocemos la expresióón de la ln de la líínea de corriente y que esa expresinea de corriente y que esa expresióón esn es

Si comparamos con la ecuaciSi comparamos con la ecuacióón diferencial de la ln diferencial de la líínea de corrientenea de corriente

►► De donde podemos asociarDe donde podemos asociar

►► Que va a ser siempre vQue va a ser siempre váálida si el campo de velocidades es lida si el campo de velocidades es solenoidalsolenoidal

( ) ctexx =21,ψ 22

11

dxx

dxx

d∂∂

+∂∂

=ψψψ

02112 =− dxvdxv

12

21 ;

xv

xv

∂∂

−=∂∂

=ψψ

( ) 0022

=∂∂

∂−

∂∂∂

⇒=∂∂

+∂∂

=xyyxy

VxVVdiv yx ψψr

Entonces la existencia de la funciEntonces la existencia de la funcióón corriente n corriente ΨΨ((x,yx,y) est) estááasegurada para campos bidimensionales y asegurada para campos bidimensionales y solenoidalessolenoidales

ExpresiExpresióón de las ln de las lííneas de corriente en neas de corriente en distintos sistemas de coordenadasdistintos sistemas de coordenadas

►► Sistema CartesianoSistema Cartesiano

►► Sistema PolarSistema Polar(Simetr(Simetríía Esfa Esféérica)rica)

►► Sistema EsfSistema Esféérico (rico (ÁÁxisimxisiméétricotrico))

►► Sistema de Coordenadas Sistema de Coordenadas CilCilííndricondrico

12

21 ;

xv

xv

∂∂

−=∂∂

=ψψ

rV

rVr

∂∂

−=

∂∂

=

ψθψ

θ

1

rsenrV

senrVr ∂

∂−=

∂∂

=ψ

θθψ

θ θ1;1

2

rrVz

zrVr

∂∂

=

∂∂

−=

ψ

ψ

1

1

Flujos Flujos SolenoidalesSolenoidales y conservativos y conservativos bidimensionalesbidimensionales

►► En este caso ademEn este caso ademáás de s de cumplirse la ecuacicumplirse la ecuacióón de n de LaplaceLaplace para la funcipara la funcióón n potencial se cumple potencial se cumple tambitambiéén para la funcin para la funcióón n corriente. corriente.

►► Por lo que superposiciPor lo que superposicióón n de funciones corriente son de funciones corriente son tambitambiéén solucin solucióón.n.

02 =∇ ψ

21 ψψψ +=

12

21 ;

xv

xv

∂∂

−=∂∂

=ψψ

0=×∇ v

Casos simples de flujos Casos simples de flujos SolenoidalesSolenoidalesy conservativosy conservativos

►► Soluciones de la ecuaciSoluciones de la ecuacióón de n de LaplaceLaplace con formas con formas polinpolinóómicasmicas..

►► Movimiento de traslaciMovimiento de traslacióón puron puro

20 jjii xbxaa ++=φ

21 xVxU ∞∞ +=φ

21 eVeUV ((r∞∞ +=

21

12

21 xUxV

Uvx

Vvx

∞∞

∞

∞

+−=⇒==

∂∂

−=−=∂∂

ψψ

ψ

x1

x2

( )

ii x

v

gradvvvV

∂∂

=

∇===φ

φφrr

321 ;;

Punto de estancamientoPunto de estancamiento( )2

22

12xxa

−=φ

2211 exaexaV ((r−=

21

112

221 xxa

xavx

xavx

=⇒==

∂∂

=−=∂∂

ψψ

ψ

Para xPara x11=x=x22=0 Punto =0 Punto de estancamientode estancamiento

0rr

=VVideo

( )

ii x

v

gradvvV

∂∂

=

∇===φ

φφrr

21;

3

Soluciones singularesSoluciones singulares

►►Analizamos a continuaciAnalizamos a continuacióón funciones que n funciones que satisfacen la ecuacisatisfacen la ecuacióón de n de LaplaceLaplace a a excepciexcepcióón de ciertos puntos que llamamos n de ciertos puntos que llamamos puntos singulares.puntos singulares.

►►En esos puntos en general no se verifica En esos puntos en general no se verifica que la divergencia o el rotor del campo de que la divergencia o el rotor del campo de velocidades sea nulo velocidades sea nulo

Fuente y Fuente y sumiderosumidero

►► La ecuaciLa ecuacióón de n de LaplaceLaplaceadmite como soluciadmite como solucióónn

►► Para r=0 donde la divergencia del campo de velocidades tiende a Para r=0 donde la divergencia del campo de velocidades tiende a infinitoinfinito►► Las lLas lííneas de corriente se obtienen considerando para este casoneas de corriente se obtienen considerando para este caso

2

2

2222

22 111

γφ

θθφθ

θθφφ

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇senr

sensenrr

rrr

rA

=φ ( ) ( ) ( )γθ

θθθ

γθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=V

senrsenV

senrVr

rrVdiv r

111 22

r

( ) γθ γφ

θθφφφ e

senre

re

rgrad r

(((

∂∂

+∂∂

+∂∂

=11

re(

θ

γ

0

11 2

=

−=⇒

∂∂

+∂∂

∂∂

=

θ

γθ γφ

θθφφφ

VrAV

esenr

er

er

grad rr

(((

θψψ

θ

θψ

θ

θ

cos1

12

A

rsenrV

senrVr

−=⇒

∂∂

−=

∂∂

=

DobleteDoblete PuntualPuntual

rKsenr

K

θ

θ

2

2

cos

−=Ψ

=Φ

x

Fuente Sumidero

y

a a

SiSi la la distanciadistancia a a tiendetiende a cero:a cero:

K = A aK = A a

es la intensidad del dobletees la intensidad del doblete

VVóórtice Idealrtice Ideal►► Supongamos una funciSupongamos una funcióón potencial n potencial

que se expresa comoque se expresa como

►► El rotor de las velocidades presenta El rotor de las velocidades presenta un punto singular en el origenun punto singular en el origen

θπ

φ2k

=

( )

πθφ

φ

θφφφ

θ

θ

211

01

krr

V

rV

er

er

gradr

r

=∂∂

=

=∂∂

=⇒

∂∂

+∂∂

= ((

( )γ

θ

θe

rrVV

rV r (r

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=×∇1

( )rk

rV

rVr

log2

1

πψ

ψθψ

θ

−=⇒

∂∂

−=

∂∂

=

FlujoFlujo IrrotacionalIrrotacional2D2D

►► MMéétodos Indirectos: Antodos Indirectos: Anáálisis de solucioneslisis de solucionesMMéétodos de Singularidadestodos de SingularidadesMMéétodos de Variable Complejatodos de Variable Compleja

►► MMéétodos Directos: Determinacitodos Directos: Determinacióón de solucionesn de solucionesMMéétodos Analtodos AnalííticosticosMMéétodos grtodos grááficos de redes de flujosficos de redes de flujosMMéétdodostdodos AnalAnalóógicosgicosMEFY y MDFMEFY y MDFMMéétdostdos de Panelesde Paneles

TTéécnicas de resolucicnicas de resolucióón de la n de la EcuaciEcuacióón de n de LaplaceLaplace

4

►► Debido a que la ecuaciDebido a que la ecuacióón de n de LaplaceLaplace es lineal, las combinaciones lineales es lineal, las combinaciones lineales de soluciones son tambide soluciones son tambiéén soluciones de la misma. Se puede entonces n soluciones de la misma. Se puede entonces construir el campo de velocidad de un problema de flujo potenciaconstruir el campo de velocidad de un problema de flujo potencial l superponiendo soluciones simples ya conocidas.superponiendo soluciones simples ya conocidas.

►► La base del mLa base del méétodo de singularidades consiste en disponer fuentes y todo de singularidades consiste en disponer fuentes y sumideros en el fluido de modo tal que la suma de las intensidadsumideros en el fluido de modo tal que la suma de las intensidades sea es sea cero y sobre esta solucicero y sobre esta solucióón se superpone un flujo de traslacin se superpone un flujo de traslacióón. n.

►► Las lLas lííneas de corriente que emanan de las fuentes terminan en los neas de corriente que emanan de las fuentes terminan en los sumideros sumideros

►► Existe una lExiste una líínea de corriente frontera que separa las lnea de corriente frontera que separa las lííneas de corriente neas de corriente que unen fuenteque unen fuente--sumidero de aquellas que vienen del infinito.sumidero de aquellas que vienen del infinito.

►► Esta lEsta líínea frontera es impermeable y se la asocia al contorno de un nea frontera es impermeable y se la asocia al contorno de un cuerpo. cuerpo.

►► El escurrimiento que contornea ese cuerpo coincide entonces con El escurrimiento que contornea ese cuerpo coincide entonces con aquel aquel inducido por la superposiciinducido por la superposicióón de las funciones potenciales consideradas. n de las funciones potenciales consideradas.

MMéétodos de Singularidadestodos de SingularidadesVideo Cuerpo Cuerpo SeminfinitoSeminfinito de de RankineRankine (de revoluci(de revolucióón)n)

►► SuperponemosSuperponemos

Flujo paralelo s/xFlujo paralelo s/x

Fuente en el Fuente en el ororíígengen de de coordenadascoordenadas

Sumidero en el infinitoSumidero en el infinito

θφ cos1 rUxU ∞∞ ==

rA

=2φ

321 φφφφ ++=

03 =−=rAφ

DeterminaciDeterminacióón de la forma del cuerpon de la forma del cuerpo►► FunciFuncióón corrienten corriente

►► Considerando la componente segConsiderando la componente segúún r al integrarn r al integrar

►► Y segY segúún la otra direccin la otra direccióón n

►► LuegoLuego►► ExpresiExpresióón generadora de las n generadora de las distdist llííneas de corrienteneas de corriente

rsenrV

senrVr

∂∂

−=

∂∂

=

ψθ

θψ

θ

θ1

12

θφ

θφ

θθ senUiVrAUiV rr

∞

∞

−=•∇=

+=•∇=(

(2cos

( ) cterfAsenrU ++−= ∞ θθψ cos2

22

( ) ctefAsenrU ++−= ∞ θθθψ cos2

22

cteAsenrU +−= ∞ θθψ cos2

22

KcteKAsenrU =−=−= ∞ 02

2

cos2

θθψ

Cuerpo Cuerpo SemiinfinitoSemiinfinito de de RankineRankine►► PosiciPosicióón del punto de estancamiento (n del punto de estancamiento (urur=u=uθθ=0)=0)

►► LLíínea de corriente que pasa por el punto de estancamientonea de corriente que pasa por el punto de estancamiento

►► Contorno del cuerpoContorno del cuerpo

KAsenrU =−= ∞ θθψ cos2

22

( ) ( ) AAsenU

AUK =−=∞

∞ ππ cos2

2

2a

a

πθθ

θ

θ =⇒=−=

==⇒=+=

∞

∞∞

0

/0cos 2

senUu

aUArrAUur

2cos1 θ

θ+

=sen

ar

CCáálculo de las presioneslculo de las presiones

►► Para el punto de estancamientoPara el punto de estancamiento

►► En otro puntoEn otro punto

►► Desarrollando en serieDesarrollando en serie

►► Despreciando el tDespreciando el téérmino asociado al potencial rmino asociado al potencial gravitatoriogravitatorio

002

21 gzPgzPV +=++ ∞

∞∞ ρρ

gzP

VgzPV ++=++ ∞∞

∞ ρρ22

21

21

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+≈ ∞

42

22 /211 ra

raVV

∞∞ ≈≈⇒>> PPVVar ;22

Tubos de Tubos de PrandtlPrandtl ((PitotPitot))

ρpU Δ

=∞2

5

ÓÓvalo de valo de RankineRankine (de revoluci(de revolucióón)n)►► SuperponemosSuperponemos

Flujo paralelo s/xFlujo paralelo s/x

Fuente en r=Fuente en r=--dd

Sumidero en r=dSumidero en r=d

θφ cos1 rUxU ∞∞ ==

21

2 rA

=φ

321 φφφφ ++=

22

3 rA

−=φFuente Sumidero

x

y

d d

rr1 r2

Θ1Θ2

ÓÓvalo de valo de RankineRankine►► De manera similar al caso de sDe manera similar al caso de sóólido lido semiinfinitosemiinfinito

de de RankineRankine se alcanza la siguiente expresise alcanza la siguiente expresióón n para la funcipara la funcióón corrienten corriente

►► En tanto que el cuerpo queda definido por En tanto que el cuerpo queda definido por

( ) θθθψ 2221 2

1coscos senrUA ∞−−=

θθθ 2212 2

1coscos senrA

U∞=−

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈<<

≈

>>

∞

∞

31

2

41

1

1

UAradioesfera

esferoidalOvalo

acigarradoOvalo

AdU

Esfera en desplazamiento uniformeEsfera en desplazamiento uniforme

►► Las lLas lííneas de corriente responden a neas de corriente responden a

►► Aquella que define a la esfera esAquella que define a la esfera es

►► La funciLa funcióón potencial esn potencial es

θθψ 222

21 senrUsen

rK

∞−=

31

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

∞UKbr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Φ ∞∞ r

rbUrU

rK

2

3

2 2coscos θθ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∞

∞

3

3

221

1cos

rbsenUu

rbUur

θ

θ

θ

VmxVmx=1.5 U=1.5 U∞∞

El movimiento alrededor de una esfera surge como El movimiento alrededor de una esfera surge como superposicisuperposicióón de un movimiento de traslacin de un movimiento de traslacióón y un dobleten y un doblete

Coeficiente de PresiCoeficiente de Presióónn2

2 15.0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

∞∞

∞

Uu

Uppcp ρ ρρ

PUPU +=+ ∞

∞22

21

21

θθ senUu ∞−=23

Sobre la superficie de la esferaSobre la superficie de la esfera

θ2491 sencp −=

0 1 2 3 4 5 6-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

c p

θ

Flujos Potenciales PlanosFlujos Potenciales Planos►► En flujos planos es necesario redefinir las En flujos planos es necesario redefinir las

soluciones singulares o elementalessoluciones singulares o elementales

CilindroCilindroEsferaEsfera

Doblete planoDoblete planoDoblete Doblete Puntual Puntual

LLíínea de Fuente nea de Fuente o sumideroso sumideros

Fuente o Fuente o sumidero sumidero puntualpuntual

rA ln=φ

rK θφ cos

=

θφ cos2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∞ r

arU

Coeficiente de PresiCoeficiente de Presióón: Cilindron: Cilindro

θθ senUu ∞−= 22

2 15.0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

∞∞

∞

Uu

Uppcp ρ

θ241 sencp −=

0 1 2 3 4 5 6-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

c p

θ

6

EnergEnergíía cina cinéética y su variacitica y su variacióón de un n de un cuerpo desplazcuerpo desplazáándose en un fluidondose en un fluido

►► Consideramos un sistema solidario con el cuerpo que se Consideramos un sistema solidario con el cuerpo que se desplaza a velocidad V en un fluido inmdesplaza a velocidad V en un fluido inmóóvil. vil.

►► Las soluciones de la ecuaciLas soluciones de la ecuacióón de n de LaplaceLaplace pueden expresarse de pueden expresarse de manera general en sistema de coordenadas manera general en sistema de coordenadas esfesf. como. como

►► Donde r es la distancia al origenDonde r es la distancia al origen. . ►► El vector B depende de la forma del cuerpo y su modulo El vector B depende de la forma del cuerpo y su modulo

depende linealmente de la velocidad del cuerpo .depende linealmente de la velocidad del cuerpo .►► SSóólo puede ser determinado si se resuelve la ecuacilo puede ser determinado si se resuelve la ecuacióón de n de

LaplaceLaplace con las condiciones de borde correspondientescon las condiciones de borde correspondientes

( ) 2

11r

nBr

iBiBiBr

B rr

rr(((r •

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∇= γγθθφ

Video1

Video2

►►El campo de velocidades El campo de velocidades del fluido se expresa del fluido se expresa entoncesentonces

►►Observar que Observar que

( )3

3r

BnnBU

rrrrr −••

=∇= φ

3

1r

U ≈r

Ejemplo: El caso de la esfera Ejemplo: El caso de la esfera desplazdesplazáándose en fluido inmndose en fluido inmóóvilvil

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇=

rB 1r

φ

rerr(

2

11−=∇

2

3bVBr

r=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Φ 2

3

2cos

rbV θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Φ ∞∞ r

rbUrU

rK

2

3

2 2coscos θθ

Sistema de Sistema de referencia fijo referencia fijo (esfera quieta y (esfera quieta y flujo incidente)flujo incidente)

Sistema de referencia Sistema de referencia mmóóvil solidario con el vil solidario con el cuerpocuerpo

TraslaciónDoblete

Vr

EnergEnergíía cina cinéética Impartida al Fluido tica Impartida al Fluido por el movimiento del cuerpopor el movimiento del cuerpo

*2

*

dVUUEV

cin

rr

∫ •=ρ

olcol VVV −=*

VMVVVmE Tkiikcin

rrrr

21

2==Como B es lineal con V entoncesComo B es lineal con V entonces

( )Bmm ikik

r=

Tensor de masas asociado al Tensor de masas asociado al escurrimiento con componentesescurrimiento con componentes

(ver demostración en Landau Lifchitz Fluid Mechanics)

( )242

VVVBE olccin −=rr

πρ

Volc

Volumen del fluido + cuerpo

( )321 ,, VVVV =r

Cantidad de Movimiento impartida al Cantidad de Movimiento impartida al fluidofluido

VVBP olc

rrr−= πρ4

PdVdEcin

rr=

VMP

VmP kikirrrr

=

=

( )dtVFPdVdtFPdrrrrrr

=⇒= Trabajo de la fuerza exterior F sobre el camino V dt

=Crecimiento de la energía cinética del fluido

VMVVVmE Tkiikcin

rrrr

21

2==

Paradoja de Paradoja de DD´́AlambertAlambert

►► La fuerza que debe entregarse al fluido para que La fuerza que debe entregarse al fluido para que un cuerpo se desplace esun cuerpo se desplace es

►► Si el cuerpo avanza a velocidad constanteSi el cuerpo avanza a velocidad constante

►► La paradoja de La paradoja de DD’’alembertalembert expresa que en estas expresa que en estas condiciones no se debercondiciones no se deberíía hacer esfuerzo alguno a hacer esfuerzo alguno para hacer avanzar el cuerpo en el fluido.para hacer avanzar el cuerpo en el fluido.

( )dt

VVBddtPd olc

rrr−

=πρ4

0=dtPdr

7

AnAnáálisis de la paradojalisis de la paradoja

►►Si hubiera que hacer un esfuerzo, se Si hubiera que hacer un esfuerzo, se transmitirtransmitiríía un esfuerzo al fluido, este a un esfuerzo al fluido, este cambiarcambiaríía su cantidad de movimiento y su a su cantidad de movimiento y su energenergíía cina cinéética.tica.

►►No habiendo disipaciNo habiendo disipacióón alguna esta energn alguna esta energíía a cincinéética debertica deberíía ser transferida por alga ser transferida por algúún n mecanismo al infinito pero las velocidades mecanismo al infinito pero las velocidades decaen con decaen con ~~1/r1/r33 por lo que no es posiblepor lo que no es posible

ExcepcionesExcepciones►►Las ondas superficiales permiten Las ondas superficiales permiten vehiculizarvehiculizar

la energla energíía al infinito y aun aplicando la a al infinito y aun aplicando la teorteoríía del flujo potencial en este caso el a del flujo potencial en este caso el cuerpo debe hacer un esfuerzo para cuerpo debe hacer un esfuerzo para avanzar.avanzar.

AcciAccióón dinn dináámica de la corriente en mica de la corriente en flujos realesflujos reales

►► Un sUn sóólido que se desplaza lido que se desplaza en un fluido real (viscoso) en un fluido real (viscoso) experimenta en todos los experimenta en todos los casos una fuerza en la casos una fuerza en la direccidireccióón del movimiento n del movimiento (arrastre) que resiste al (arrastre) que resiste al movimiento y otra en movimiento y otra en direccidireccióón perpendicular.n perpendicular.

ArrastreArrastre►► Coeficiente de arrastreCoeficiente de arrastre

SustentaciSustentacióónn►► Coeficiente de SustentaciCoeficiente de Sustentacióónn

2Re

2/1 AUFC sistencia

D∞

=ρ

22/1 AUFC ónsustentaci

L∞

=ρ

Escurrimiento real alrededor de una Escurrimiento real alrededor de una elipseelipse

►►Video 1Video 1►►Video 2Video 2►►Video 3Video 3

Escurrimiento Real Alrededor de una Escurrimiento Real Alrededor de una esferaesfera

Video 1

Video 2

Video 3

Video 4

Escurrimiento real alrededor de un Escurrimiento real alrededor de un cilindrocilindro

►►Video 1Video 1►►Video 2Video 2, , 2b2b►►VideoVideo33►►Video 4Video 4

8

0 1 2 3 4 5 6-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

c p

θ

Cuerpos aerodinCuerpos aerodináámicosmicos

►►Video 1Video 1►►Video 2Video 2

ConclusionesConclusiones

►► En esta clase concentramos nuestra atenciEn esta clase concentramos nuestra atencióón en los n en los mméétodos de resolucitodos de resolucióón indirectos. n indirectos.

►► Consideramos particularmente el mConsideramos particularmente el méétodo de singularidades todo de singularidades y como nos podemos servir del mismo para describir flujos y como nos podemos servir del mismo para describir flujos alrededor de cuerposalrededor de cuerpos

►► Vimos que el flujo potencial resulta incapaz de predecir Vimos que el flujo potencial resulta incapaz de predecir correctamente las fuerzas de arrastre en un cuerpos correctamente las fuerzas de arrastre en un cuerpos sumergido que avanza a velocidad constante. sumergido que avanza a velocidad constante.

►► La teorLa teoríía sin embargo permite predecir fuerzas en otros a sin embargo permite predecir fuerzas en otros casos particulares de intercasos particulares de interééss