DISTRIBUCION DE VELOCIDADES PARA TUBERIA CON MOVIMIENTO TURBULENTO EN CONTORNO HIDRAULICAMENTE LISO

Para obtener la ecuación de distribución de velocidades en el flujo turbulento es necesario establecer una relación entre los esfuerzos de corte y las velocidades. De la expresión de Reynolds

''. vuh (15) h = Esfuerzo tangencial presente en el flujo turbulento u’ y v’ son las fluctuaciones de la velocidad en un punto Según Prandtl.

u’ es proporcional a dhdvh de donde,

dhdvLu h'

v’ es proporcional a dhdvh de donde,

dhdvLv h'

L se define como la longitud de mezcla y es la distancia media recorrida por una partícula para transferir o perder el exceso de cantidad de movimiento. por lo tanto:

22

dhdvL h

h (16)

de donde

dhdvL hh

(17)

Estableciendo una relación entre L y la profundidad, debiendo ser su valor igual a cero en las paredes.

2/121

DhhL (18)

Reemplazando (18) y (11) en (17)

hdhSDg

dvh 4

. , (19)

la expresión SDg .4

. recibe el nombre de velocidad de corte (v*), reemplazando en (19)

hdhvdvh

* (20)

Integrando:

Chvvh ln*

(21)

la ecuación (21) solo es válida hasta cierta distancia (ho) muy próxima del fondo La constante de integración C tendría la forma siguiente.

ohVC ln*

(22)

Reemplazando en (21)

oh h

hvV ln*

(23)

Debido a la imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 23, Prandtl supuso que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa de espesor “δ” en la que el flujo es laminar y donde la distribución de velocidades es diferente de la del resto de la sección. La imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 23 En el flujo laminar la distribución del esfuerzo de corte esta dada por:

dhdvh

h , reemplazando 2*0 ..

4.. vSDgh y despejando

dhdvh

2*v

dhdvh (24)

Integrando

Chvvh .2

*

(25)

La condición de velocidad nula en el fondo determina que C=0 Luego:

hvvh .2

*

para 0<h<δ (26)

Se tiene así dos distribuciones de velocidad, la ec(23) para flujo turbulento y la ec(26) para flujo laminar.

Para h=δ ambas ecuaciones deben ser válidas.

.

2*vv (flujo laminar) y

ohvv ln* (flujo turbulento)

Igualando ambas expresiones:

0

*2

* ln.h

vv

(27)

Para determinar el valor de δ se realizo una combinación de consideraciones teóricas y experimentales partiendo de que la distribución de velocidades en un conducto liso es una

relación de dos parámetros: *v

vh y

hv* , graficando en escala logarítmica los valores de la

ecuación (27) y valores experimentales medidos para flujo turbulento se tiene que ambas

curvas se interceptan en 6.11.*

hv a ese valor de h se le denomina δ.

Luego 6.11.*

hv (28), reemplazando en (27) se tiene

0

*

*

2* ln6.11.

hv

vv

(29)

Operando

6.11ln

0

h

(30) siendo el valor de χ la constante de Karman igual a 0.4

64.4ln0

h

1040

h

Finalmente reemplazando ho en (23) se tiene

hvvh.104ln* (30) Ecuación de distribución de velocidades en un contorno

hidráulicamente liso DISTRIBUCION DE VELOCIDADES EN CONTORNOS HIDRAULICAMENTES RUGOSOS

De los experimentos de Nikuradse en tuberías con altura de rugosidad absoluta “k”, se

obtiene que la ecuación (23)

oh h

hvV ln*

es valida hasta ho=k/30

Reemplazando ho=k/30 en (23) se obtiene

khvVh

30ln*

(31)

RESUMEN En tuberías: - El flujo es laminar cuando el numero de Reynolds (Re) <2300. - El flujo es turbulento cuando el numero de Reynolds (Re) >5000. - El flujo es inestable cuando 5000Re2300

El numero de Reynolds se define como DV .Re

En flujo turbulento: - Un conducto es hidráulicamente liso cuando:

4.0k de aquí 5.*

kv

- Un conducto es hidráulicamente rugoso cuando:

6k de aquí 70.*

kv

- Un conducto se encuentra en etapa transicional entre liso y rugoso cuando

70.5 *

kv

VELOCIDAD MEDIA EN CONDUCTOS HIDRAULICAMENTE LISOS

De la ec (14 a) AdAVVDh

hh /

2/

0.

y la ec (30)

hvvh.104ln*

Se tiene:

RLnvV 4.46* (32)

En la expresión (32) el término “R” se conoce como Radio Hidráulico y se define como la relación entre el Area Mojada “A” y el Perímetro Mojado “P” de la sección. Para una sección llena de tubería, el radio hidráulico se expresa como R=D/4. Se puede demostrar que en canales la velocidad media es

RLnvV 3.38* (33)

De (32) y (33) se adapta la expresión (34) valida para canales y tuberías

RLnvV 42* (34)

VELOCIDAD MEDIA EN CONDUCTOS HIDRAULICAMENTE RUGOSOS

De la ec(14 a) AdAVVDh

hh /

2/

0.

y la ec (31)

khvVh

30ln*

Se tiene:

kRLnvV 4.13*

(35)

se puede demostrar que en canales la velocidad media es

kRLnvV 11*

(36)

De (35) y (36) se adapta la expresión (37) valida para canales y tuberías

kRLnvV 12*

(37)

Adaptando (34) y (37) se obtiene

7/2/6

ln*

kRvV (38a)

Reemplazando en la ecuación (38),

SRgv ..* , χ= 0.4 y ln A = ln 10. logX

SRk

RV .7/2/

6log18

(38b)

SRCV .. donde

7/2/6log18k

RC (39) Ec. de Chezy

*

6.11v

Problema 1

Problema 2