HIDRULICA FLUVIAL

Prof. Ada Moreno Barrios

TEMA N 7. FLUJO DE AGUA EN EL SUELO

El flujo de agua en un medio poroso cumple con la ley de Bernoulli y as, aplicando dicha ecuacin

entre una seccin 1 y 2, se tiene:

1 +1

+1

2

2= 2 +

2

+2

2

2+

Donde h es la prdida de carga hidrulica entre las dos secciones.

En general, la magnitud de las velocidad media del agua en el suelo V, es muy pequea (del orden

de 0.1 m/s), por lo tanto la carga de velocidad V2/(2g) es de menos de 5x10-4 m. As, despreciando

dicho trmino, la ecuacin anterior queda de la siguiente manera:

= (1 +1

) (2 +2

)

Ley de Darcy

La velocidad de descarga V en suelos de granos finos saturados, donde la circulacin del agua no

afecta la estructura del material, puede establecerse como:

=

Donde : Viscosidad absoluta del fluido

K: Permeabilidad del suelo

ip: Gradiente de presin

=

=

()

Donde u: Sobrepresin hidrosttica

ds: Medido a lo largo de la trayectoria media del flujo

Para fluido incompresible:

=

=

Donde i es el gradiente hidrulico

Luego:

=

Donde k/ es igual al coeficiente de permeabilidad del suelo K, por lo tanto la ecuacin de Darcy

queda:

=

Valores Tpicos del coeficiente de permeabilidad

Tipo de suelo Intervalo de K (m/s)

Gravas limpias 100-1

Arenas limpias 1-10-3

Arenas muy finas, limos y mezclas de ambos 10-3-10-7

Arcillas 10-7-10-9

FUENTE: Marsal y Resendiz, 1975 citado por Flrez

Ecuacin de Laplace

2

2+2

2= 0

La solucin a la ecuacin anterior est representada, geomtricamente, por 2 familias de curvas

mutuamente ortogonales que dan origen a lo que se conoce como red de flujo. Las lneas

equipotenciales o lneas que unen puntos de igual carga hidrulica constituyen una de dichas

familias de curvas, y la otra est conformada por las lneas de corriente o lneas de flujo, que sern

definidas como curvas tangentes en todos sus puntos al vector velocidad.

Para la deduccin de la ecuacin anterior se han planteado 6 hiptesis:

- Relacin de vacos constante

- Fluido Incompresible

- Validez de la ley de Darcy

- Suelo homogneo

- Suelo isotrpico

- Flujo Bidimensional

Analizando el flujo a travs de un elemento diferencial de suelo:

Si se considera la relacin de vacos constante en el volumen de suelo y que el fluido es

incompresible, el caudal de entrada ser igual al caudal de salida:

=

El caudal de entrada Qe ser igual a:

= + +

Donde Vx, Vy y Vz son los componentes del vector velocidad en las tres direcciones, y dx, dy y dz

son las dimensiones del volumen de control.

El caudal de salida Qs est dado por:

= +

+ +

+ +

Donde +

, +

, +

, son las velocidades a la salida en las

direcciones X, Y y Z.

Igualando ambos caudales quedara lo siguiente:

+ +

= +

+ +

+ +

Eliminando los signos de agrupacin:

+ + = +

+ +

+ +

+

+

= 0 Ecuacin 1. Continuidad para flujo permanente

Suponiendo, ahora, la validez de la ecuacin de Darcy, se tiene:

= =

= =

= =

Donde Kx, Ky y Kz son los coeficientes de permeabilidad en las direcciones X, Y y Z.

Suponiendo suelo homogneo, es decir, la permeabilidad es igual en todos los puntos, se puede

escribir que:

=

(

) =

2

2

=

(

) =

2

2 Ecuaciones 2.

=

(

) =

2

2

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones 2, en la ecuacin 1, se obtiene lo siguiente:

2

2+

2

2+

2

2= 0

Asumiendo ahora la hiptesis del suelo isotrpico, en donde la permeabilidad en todas las

direcciones es la misma, entonces Kx=Ky=Kz=K, la ecuacin anterior puede reescribirse:

2

2+2

2+2

2= 0

Suponiendo que el anlisis se haga para flujo bidimensional, la ecuacin definitiva es:

2

2+2

2= 0

Condiciones de borde y Lnea Superior de Flujo

Condiciones de borde

El primer paso para resolver un problema de trazado de redes de flujo es establecer las

condiciones de borde, de contorno o de frontera. En medios homogneos e isotrpicos se pueden

presentar cuatro diferentes fronteras:

Frontera Suelo Infiltrado Suelo Impermeable: A travs de esta frontera el agua no

puede fluir, por lo tanto las componentes de velocidad normales a dicha lnea son nulas.

Se define como una lnea de flujo, porque el vector velocidad es tangente a ella en todos

sus puntos.

Ecuacin de Laplace, vlida

para flujo bidimensional

Frontera Agua Suelo Infiltrado: En cualquier punto de esta frontera la carga hidrulica

es constante e igual a H, por lo tanto se trata de una lnea equipotencial.

Frontera Suelo Infiltrado Suelo Permeable No Infiltrado: Este tipo de contorno es una

lnea de corriente, concretamente la Lnea Superior de Flujo (LSF), ya que no hay

componentes de velocidad normales a ella. Sin embargo, esta lnea de corriente tiene

caractersticas especiales ya que, a todo lo largo de ella, la presin es constante e igual a la

presin atmosfrica, es decir, presin relativa nula. Como adems la velocidad de flujo es

despreciable, la carga hidrulica total es H = Z, donde Z es la cota; por lo tanto la carga

hidrulica de las equipotenciales que cortan a la LSF ser igual a la cota del punto de

interseccin.

Frontera Suelo Infiltrado Aire: En cualquiera de sus puntos la carga hidrulica es igual a

la cota, ya que la presin relativa es nula, pero como no es constante no es una

equipotencial. Hay flujo a travs de ella, por lo que tampoco es una lnea de corriente. Es

una cara de descarga libre.

Lnea Superior de Flujo (LSF)

Cuando el flujo es confinado no existe LSF, pero en aquellos casos en los que la regin de flujo no

est completamente definida, se debe trazar la LSF para delimitarla. La LSF es la traza de una

superficie libre.

Trazado de la Lnea Superior de Flujo para 60: - Localizar el punto C, sabiendo que CC=0.3M, donde M es la longitud de la proyeccin del

talud mojado de aguas arriba, sobre una horizontal que pasa por O.

- Ubicar el punto D, empleando cualquiera de los siguientes mtodos:

o Analtico:

= 2 2

2

C C T

O

0.3M

H

M

d

Donde es la longitud de la cara de descarga libre, medida sobre el talud mojado de aguas abajo,

So es la longitud de la parbola de Dupuit ms la cara de descarga libre igual a = 2 + 2 ; h

es la carga hidrulica y es el ngulo de inclinacin del talud mojado de aguas abajo.

o Grfico:

a. Proyectar el talud mojado de aguas abajo sobre la cresta.

b. Con radio OC y centro en O intersecar la lnea del paso anterior en B.

c. Trazar la semicircunferencia de dimetro OB.

d. Con radio OT y centro en O intersecar la media circunferencia del paso

anterior en el punto B1.

e. Con centro en B y radio BB1 intersecar el talud mojado de aguas abajo

en D.

- Dibujar la parbola base o de Dupuit entre los puntos C, D y T.

o Dividir en 4 tramos iguales los segmentos CT y TD.

o Enumerar los puntos de subdivisin en sentido contrario a las agujas del reloj.

o Trazar horizontales por los puntos que se encuentran ubicados sobre el tramo TD.

o Trazar cuerdas desde el punto D hasta cada uno de los puntos ubicados sobre el

segmento CT.

C C T

O

0.3M

H

M

d

a D

Paso a.

Paso b. Paso c.

Paso d.

C C T

O

H

B

B1

D

Paso d.

Paso e.

o Finalmente, unir puntos con igual numeracin.

- Completas la LSF dibujando a mano alzada la curva de transicin de entrada y salida, de

acuerdo a las siguientes condiciones:

Condiciones de entrada:

Condiciones de salida:

Trazado de la Lnea Superior de Flujo para >60:

- Localizar el punto C, sabiendo que CC = 0.3M, donde M es la longitud de la proyeccin del

talud mojado de aguas arriba sobre una horizontal que pasa por O.

- Calcular Yo:

o Analticamente:

= 2 + 2

1

2

3

1 2 3 C T

D

=90 DIQUE

90

90 DIQUE

90

DIQUE

=180

DIQUE

o Grficamente:

Proyectar hasta la horizontal que pasa por O el punto C, con un arco de

circunferencia de radio OC y centro en O.

Proyectar con una vertical el punto C hasta la horizontal que pasa por O.

Yo ser la longitud que separa ambas proyecciones.

- Dibujar la parbola base a travs de la siguiente ecuacin, vlida para 0Yh:

=2 2

2

- Con el ngulo de la cara de descarga , obtener la correccin de Casagrande (Cc) de la

siguiente figura:

=

( + )

= ( + )

- Llevar a, a partir del corte entre la parbola base y la cara de descarga para obtener el

punto real de descarga de la LSF.

- Trazar a mano alzada las correcciones a la entrada y salida de la LSF, recomendadas

previamente.

Determinacin de presiones y caudal de infiltracin en base a la red

de flujo. Considerando un canal de flujo cualquiera, el correspondiente caudal por unidad de ancho es:

= = ( ) ()

Si: =

Entonces: =

()

=

Pero: =

Donde ne es el nmero de cadas de potencial

Luego: =

a

a

q

Lneas

equipotenciales

Lneas

de flujo

Considerando todos los canales de flujo nf de la red de flujo:

= =

Donde nf/ne es el factor de forma de la red de flujo.

Para estimar, de forma analtica, la presin de poros en un punto cualquiera de la red de flujo se

aplica la ecuacin de Bernoulli entre dicho punto y otro sobre la superficie libre:

0 +0

+0

2

2= 1 +

1

+1

2

2+ 01

Po = 0; Vo y V1 son despreciables, adicionalmente 01 = 01 , por lo tanto:

1

= 0 1 01

1 = ( 01

)

La metodologa grfica de la estimacin de presiones requiere trazar una equipotencial que pase

por el punto de inters, e interceptarla con la LSF, para observar el desnivel existente entre dicha

de interseccin y el punto donde se quiere estimar la presin.

Pm = Z

m

a

Pm/=Z

Lneas

equipotenciales

Lnea Superior

de flujo