fluidos regimen impermanente

7/21/2019 Fluidos Regimen Impermanente

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Capítulo V. Hidráulica del Régimen Impermanente en Conductos a Presión. Hidráulica en Contornos Cerrados

CAPÍTULO V

HIDRÁULICA DEL RÉGIMEN IMPERMANENTE EN CONDUCTOS A PRESIÓN.

Hasta ahora se han analizado fenómenos hidráulicos en régimen permanente, pero en la realidad

muchas veces se tienen problemas en los cuales el tiempo es una variable más, por ejemplo el

llenado o vaciado de un estanque, la apertura o cierre de una válvula, la puesta en marcha o

detención de una bomba, etc. Es por esto que es importante estudiar la hidráulica en régimenimpermanente. Las ecuaciones fundamentales para el estudio en régimen impermanente son las

mismas que para régimen permanente, es decir, la ecuación de continuidad la ecuación de

cantidad de movimiento.

5.1 MOVIMIENTO OSCILATORIO

!na forma de movimiento en régimen transitorio es el movimiento oscilatorio. "e estudiará el

caso del movimiento de un l#quido en un tubo en !. La oscilación de un l#quido en un tubo en

! se puede producir de tres formas.

i$ L#quido sin rozamiento.

ii$ L#quido con rozamiento laminar.

iii$ L#quido con rozamiento turbulento.

%ecordando del estudio de la &ecánica de 'luidos en forma diferencial, la ecuación de Euler

para movimiento no permanente tiene la siguiente forma(

10

ρ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

p

sg

z

sv

v

s

v

t+ + + =

)*.+$

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5.1.1 Oscilación de n L!"id# sin R#za$ient#.

ntegrando entre las secciones + - considerando que es un fluido incompresible, se tiene(

( )p pg z z V V

v

tds% 1

% 1 %%

1%

1

%

0−

+ − + − + =∫ ∂

∂

onsiderando( p p% 1= / V V% 1=

( )g z z L v

t% 1− = − ∂

∂

)*.-$

0onde( L( longitud del l#quido.

1 partir de la figura, considerando como nivel de referencia la l#nea media entre los niveles de

cada brazo del tubo, se puede reescribir el lado izquierdo de la ecuación )*.-$, como(( )g z z g z% 1 %− =

Luego(

% g z L v

t= −

∂

∂

)*.2$

1demás, la velocidad es sólo dependiente del tiempo(

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∂

∂

v

t

d v

d t

d z

d t= =

%

%

1s#, reescribiendo la ecuación )*.2$ se llega a(

d zd t

g zL

%

%%= − )*.3$

Esta ecuación diferencial tiene por solución general(

z C g

Lt C

g

Lt=

+

1 %

% %c#s sen )*.*$

0onde( + - son constantes que dependen de las condiciones iniciales del problema.

"e tiene que(

d z

d tC g

Lt g

LC g

Lt g

L= −

+

1 %

% % % %sen c#s

4ara( t & 0 ' 0td

zd=

⇒ = −

+

⇒ =

0 %

0 % %

0 %

0

1 %

%

C g

L

g

LC

g

L

g

L

C

sen c#s

Luego(

d z

d t

C g

L

t g

L

d z

d tC

g

Lt

g

L

= −

+

= −

1

%

% 1

% %0

% %

sen

c#s

4ara( t & 0 / d z

d tC

g

L

%

% 1

%= −

4ero, seg5n la ecuación general, se puede despejar el primer término del lado derecho de la

ecuación )*.*$ como(

C g

Lt z C

g

Lt1 %

% %c#s sen

= −

d z

d tz C

g

Lt

g

L

%

% %

% %= − +

sen

1plicando las condiciones iniciales(

d z

d tz

g

L

%

%

%= −

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4or lo tanto, reemplazando en la ecuación )*.*$ las condiciones iniciales(

t & 0 ' 0td

zd= ' z & ( C1 & ( ' C% & 0

z (

g

L t=

c#s

%

)*.6$

La ecuación )*.6$ representa la ecuación para movimiento armónico simple, cuo per#odo es(

T L

g= %

%π

)*.7$

4ara los casos de l#quidos en que e8iste roce, a sea éste laminar o turbulento, se debe

considerar en la ecuación general de Euler el esfuerzo cortante que se produce en las paredes.

Esta resistencia está dada por(

R ) s= τ π0

0onde( δs( longitud del elemento de fluido.

0ividiendo por la masa del elemento de fluido(

τ π

ρ

τ π

ρ π

0 0

%

*) s

A s

) s

) s=

Luego, la ecuación )*.+$ toma la forma(

1 * 00

ρ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

τ

ρ

p

sg z

sv v

s

v

t )+ + + + =

)*.9$

La cual sirve tanto para movimiento laminar, como para turbulento, considerando como

hipótesis válida que el roce en el flujo impermanente es el mismo que se produce en el flujo

permanente a la misma velocidad.

5.1.% Oscilación de n L!"id# c#n R#za$ient# La$ina+.

4ara el caso en que el l#quido presente resistencia laminar, la tensión de corte que se produce en

las paredes se puede representar por la ecuación de 4ouseuille.

τ

µ

0

,=

v

) )*.:$

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"i se sustitue esta e8presión en la ecuación )*.9$ e integrando entre las secciones + -, se

obtiene(

%-%

0%

g z Ld v

d t

v L

)

+ + =

%eemplazando la velocidad como la primera derivada del desplazamiento, se obtiene la

ecuación diferencial(

d z

d t )

d z

d t

g z

L

%

% %

-% %0+ + =

La solución general para esta ecuación diferencial se presenta de la forma(

z C e C ea t . t= +1 %

)*.+;$

0onde(

a)

a g

L/ .

).

g

L

%

%

%

%

-% %0

-% %0+ + = + + =

Las constantes arbitrarias + - se obtienen a partir de las condiciones iniciales del problema,

las e8presiones para a b están dadas por(

a) )

g

L/ .

) )

g

L= − +

− = − −

−

10 10 % 10 10 %% %

%

% %

%ν ν ν ν

5.1.- Oscilación de n L!"id# c#n R#za$ient# T+lent#.

En la realidad, la maor#a de los problemas en que ha oscilación en tuber#as e8iste una

resistencia turbulenta. La tensión de corte en las paredes de la tuber#a está dada por(

τ

ρ

0

%

,=

V

)*.++$

"i se reemplaza esta e8presión en la ecuación )*.9$, se obtiene(

1

%0

%

ρ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

p

sg

z

sv

v

s

v

t

v

)+ + + + =

ntegrando entre las secciones + -(

%%

0%

g z Ld v

d t

v

)L+ + =

d z

d t

)

d z

d t

d z

d t

g z

L

%

% %

%0+ + =

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0onde, el signo de valor absoluto es necesario para que la resistencia se oponga a la velocidad.

Esta ecuación diferencial no es del tipo lineal, si se conocen las condiciones iniciales del

problema, entonces esta ecuación se puede resolver por el método de %unge<=utta.

5.% EST2)IO )EL 3EN4MENO )EL OL6E )E ARIETE

El flujo transiente se basa en la propagación de ondas en las presiones en sistemas de tuber#as.

Es un flujo que se produce en un corto tiempo cua velocidad var#a a cada instante. 1

continuación se definen ciertos conceptos que es importante tener presentes(

- Flujo de os!l"!#$ es%"!o$"&!o' aquél flujo que tiene un per#odo de oscilación.

- O$d"' se refiere a oscilaciones de flujo incompresible conductos de paredes r#gidas.

- Reso$"$!"' cuando la amplitud de las oscilaciones aumenta hasta producir una falla o

hasta un estado inusual de oscilaciones de gran magnitud.

- Gol(e de "&!e%e' e8iste cuando ha condiciones de borde tales que ocurre una transiente de

una manera prevista.

- Se("&"!#$ de l" olu)$" l*+u!d"' cuando las condiciones son tales que se forma vapor

de agua o inclusión de gas.

5.%.1 #lpe de A+iete.

"i se considera una ca>er#a a presión por la que escurre agua con velocidad uniforme se cierra

bruscamente una válvula, se tiene que inmediatamente al lado de ésta, la energ#a cinética del

agua se convierte en trabajo elástico. 1umenta el per#metro de la tuber#a el agua se comprime

con elevación de la presión hidrostática. La conversión de energ#a cinética en trabajo elástico

se propaga hacia aguas arriba con la velocidad del sonido.

"ea una tuber#a que parte de un estanque que tiene una válvula terminal, como la que se

muestra en la figura(

i7 El agua escurre con velocidad uniforme ?;.

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ii7 0espués de un tiempo infinitamente peque>o del cierre. La presión aumenta en el

e8tremo, se distiende la tuber#a, aumenta la densidad del agua al comprimirse la

velocidad detrás del frente de la onda se hace cero. La onda se propaga hacia arriba a la

velocidad del sonido a.

iii7 La onda está llegando al estanque prácticamente toda la tuber#a está con velocidad

cero.

iv7 4ara el tiempo t L

a

= , donde L es la longitud de la tuber#a, el frente de la onda llega al

estanque toda la tuber#a tiene velocidad cero su presión aumentada. La pared del

conducto está distendida el agua posee una maor densidad. En la sección

inmediatamente contigua al estanque e8iste una presión mucho más alta que la presión

hidrostática del estanque lo que provoca que escurra una cierta porción de agua hacia el

estanque. "e produce as#, un cambio de signo en la velocidad, lo que ocasiona como

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consecuencia, la propagación hacia aguas abajo de este cambio de velocidad por una onda

a la velocidad del sonido hasta llegar a la válvula.

v7 omo el aumento del agua acumulada en el conducto se produjo debido a la reducción

de la velocidad desde ?; hasta cero, es lógico que cuando la tuber#a tome su sección

original se produzca la misma velocidad ?; en sentido contrario. El agua detrás de laonda se e8pande vuelve a tener la presión hidrostática determinada por el estanque la

pared del conducto vuelve a su estado inicial.

vi7 uando la onda llega finalmente a la válvula todo el conducto se encuentra a la presión

hidrostática del estanque, el agua posee su densidad inicial la tuber#a tiene, a lo largo de

toda su longitud, su tama>o original, el problema es que la velocidad en toda la tuber#a

tiene sentido hacia el estanque )<?;$.

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vii7 1l llegar la onda a la válvula cerrada se produce una especie de succión en el e8tremo.

La energ#a cinética del agua escurriendo hacia arriba se convierte en trabajo elástico

negativo, produciéndose una disminución del diámetro de la tuber#a. La velocidad se hace

cero, la presión se reduce bajo la hidrostática del estanque simultáneamente con la

contracción de la tuber#a, se produce la e8pansión del agua, de tal modo que su densidad

se hace menor que la inicial. El conducto a no puede contener el agua que ten#a por

esta razón se mantiene la velocidad ?; hacia el estanque en la zona arriba del frente.

viii7 uando el frente de la onda llega al estanque toda la tuber#a está a velocidad cero, la

pared de la tuber#a está contra#da, de tal manera que su diámetro es inferior al inicial el

agua tiene densidad menor que la inicial. En este momento entra agua desde el estanque a

la tuber#a, a que ésta está a una presión inferior. 0e este modo, en una sección

inmediatamente al lado del estanque la presión aumenta hasta la hidrostática del estanque.

La tuber#a se ensancha hasta su diámetro original el agua que entra a llenar el volumen

as# creado restablece la velocidad @?; en la tuber#a.

i87 El frente de onda se propaga hacia aguas abajo del estanque a la velocidad del sonido.

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87 uando el frente llega a la válvula, toda la tuber#a se encuentra an su estado inicial,

completándose as# el ciclo.

"i no e8istiera disipación de energ#a por fricción, el ciclo continuar#a indefinidamente. La

fricción va amortiguando la oscilación hasta llegar a la situación normal )presión hidrostática

velocidad cero$.

"i en vez de cerrar la válvula, se abre, se producirá una disminución de presión al lado de ella,

una contracción de la tuber#a una baja de la densidad del agua, iniciándose una velocidad @?;

continuando el ciclo en forma semejante a la e8plicada anteriormente.

5.%.% )edcción de las Ecaci#nes.

La ecuación básica para el estudio del golpe de ariete es la ecuación de &omentum, aplicada a

un volumen de control correspondiente a una sección de la tuber#a. El efecto de la razón de4oisson se utiliza cuando haa que definir el tipo de apoo de las tuber#as.

omo a se estudió en la sección anterior, cuando se cierra una válvula aumenta la presión, la

sobre<presión se transmite aguas arriba a la velocidad del sonido, además la presión crece de tal

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forma que el fluido llega al reposo. "ea una sección de tuber#a como la que se muestra en la

figura.

El frente de onda se mueve hacia la izquierda con una velocidad absoluta de a V− 0 , debido a

un cierre de la válvula.

4or la ecuación de antidad de &ovimiento, se tiene que la resultante de las fuerzas en la

dirección 8 sobre el volumen de control es igual a la tasa de variación de momentum en 8 más

el flujo saliente neto del momentum en 8 sobre el volumen de control, es decir(

∫ ∫ ∑ ⋅+=SC

8

VC

88 dA""dV"t

3

∂

∂

0onde(

3 A 98∑ = −

( ) ( ) ( )

( )

∂

∂

ρ

ρ ρ

ρ

t" dV

A a V t V V

t

A a V t V

t

A a V V

8

VC

∫ = − +

− −

= −

0 0 0 0

0

( ) ( ) %

0

%

0

SC

8 VAVVAdA"" ρ−+=⋅∫

La masa ( )A a V t− 0 cambia su velocidad en V en la unidad de tiempo.

Luego(

( ) ( ) ( )− = − + + −ρ ρ ρA 9 A a V V A V V A V 0 0

%

0

% )*.+-$

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0esarrollando despreciando la peque>a cantidad que contiene V% , la ecuación se reduce a(

( ) ( ) ( ) 9 a V V V V V= − + + −

ρ

ρ

0 0

%

0

%

∴ = − +

9 a Vg

Va

1 0 )*.+2$

"i V

a

0 0≈ (

∴ = −

9 a V

g)*.+3$

"i el flujo se detiene completamente, entonces, V V= − 0 (

∴ =9 aV

g

0 )*.+*$

0onde( ∆H( aumento de presión en metros de agua.

∆?( reducción de velocidad en mAs.

Las ecuaciones )*.+2$, )*.+3$ )*.+*$ son válidas siempre cuando la onda no haa vuelto

como onda reflejada, se decir, que el tiempo de cierre sea menor a%L

a

.

4or otro lado, la velocidad de las ondas de presión está dada por la siguiente e8presión(

a

g :

) C

Ee

=+

1

1 1 )*.+6$

0onde( γ ( peso espec#fico del agua, γ B ;.;;+ =gAcm2.

=( módulo de elasticidad del agua, = B -.;3 × +;3 =gAcm-.

E( módulo de elasticidad del material de la tuber#a.

0( diámetro interior.

e( espesor de la tuber#a.

+( coeficiente que depende de la forma de anclaje de la tuber#a.

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&aterial E )=gAcm-$

1cero -.+ × +;6

emento < 1sbesto ;.3: × +;6

loruro de polivinilo 2 × +;3

4olietileno +9;;

Val#+es de C1;

i7 Ca<e+!a anclada en n e8t+e$# / sin =nt+as de e8pansión.

C1

5

*= −

µ

ii7 Ca<e+!a anclada c#nt+a $#vi$ient# l#ngitdinal en t#da s l#ngitd.

C1%

1= − µ

ii7 Ca<e+!a c#n =ntas de e8pansión.

C1 1%

= − µ

0onde( µ( módulo de 4oisson. 4ara acero, µ B ;.2.

5.%.- 6e+!#d# C+!tic#.

En el estudio del golpe de ariete interesa conocer la presión má8ima al cual se verá sometido el

sistema al cerrar o abrir una válvula. Esta presión má8ima se obtiene no sólo cuando el cierre

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es instantáneo, sino que también cuando el tiempo de cierre es inferior al tiempo que se demora

la onda en llegar al estanque, reflejarse volver al punto de ubicación de la válvula, es decir,

como a se hab#a mencionado( T

L

a=

%

.

4or lo tanto, si el tiempo de cierre es menor a este per#odo cr#tico, la sobre<presión es má8ima

está dada por la ecuación )*.+*$.

4ara disminuir la sobre<presión se trata de limitar las velocidades en las tuber#as de operar las

válvulas lentamente. "e recomienda que el cierre de una válvula se demore por lo menos

+ minuto por cada Cilómetro de longitud de la tuber#a. Las válvulas peque>as se cierran con

menos vueltas que las grandes, es por esto, que las tuber#as de menor diámetro son las más

susceptibles de adquirir grandes sobre<presiones debido al golpe de ariete. 4or lo tanto, se

permiten velocidades menores en los diámetros peque>os.

"i el tiempo de cierre de la válvula es maor que el per#odo cr#tico, entonces la sobre<presión es

inferior a la dada por la e8presión )*.+*$.

4ara el caso en que la válvula se abre, a se dijo que se produce una disminución de la presión,

la que se propaga hasta el estanque, se refleja vuelve como onda de presión positiva. Danto el

aumento má8imo como la disminución má8ima de presión, se producen cuando la apertura se

hace en un tiempo igual o inferior al cr#tico. En este caso, la disminución má8ima de presión, o

depresión, está dada por la misma ecuación )*.+*$. La sobre<presión má8ima cuando se abre

rápidamente una válvula, es igual a(

9 9= 0 %- 0.

0onde( H;( presión hidrostática inicial en la válvula.

5.%.* #lpe de A+iete en I$plsi#nes.

"i una bomba que está funcionando se detiene, la columna de agua en la tuber#a de impulsión

tiende a seguir moviéndose hacia adelante, de modo que se provoca una presión negativa al

lado de la bomba. La onda se propaga hasta el e8tremo de la impulsión, se refleja se

producen sobre<presiones depresiones a lo largo de la tuber#a. 0e modo similar, cuando una

Universidad Católica de la Santísima Concepción. Facultad de Ingeniería. &$




bomba que está en reposo empieza a funcionar, se produce una sobre<presión positiva al lado

de la bomba, que nunca es mu grande, a que las bombas no empiezan a funcionar

instantáneamente con todo su gasto.

Estas solicitaciones, especialmente las producidas por detención s5bita de una planta de

bombas a causa de falla de la energ#a eléctrica, son de gran importancia.

5.%.5 M>t#d#s pa+a C#nt+#la+ el #lpe de A+iete.

En el caso de golpe de ariete provocado por el cierre o apertura de una válvula es lógico que el

sistema más cómodo para disminuir su intensidad consiste en aumentar el tiempo de cierre.

Esto se logra mecánicamente por disposiciones sencillas. "i la válvula debe ser accionada en

forma rápida automáticamente, el caso es mu semejante al de una impulsión.

uando se trata de plantas de bombas, se usan varios dispositivos, entre los cuales se puede

mencionar los siguientes(

i7 V#lante en el e=e de la #$a; on el objeto de aumentar el momento de inercia de

los elementos que rotan, se coloca un volante de peso suficiente.

ii7 V?lvla aliviad#+a de p+esión # v?lvla de seg+idad; Estas válvulas se abren permiten el escape de cierta cantidad de agua reduciendo la presión a un l#mite prefijado.

Las válvulas corrientes de este tipo no sirven para reducir el golpe de ariete, a que se

abren con cierto retardo. E8isten válvulas aliviadoras dise>adas especialmente para este

objeto, pero su eficiencia es mu dudosa en ning5n caso sirven para evitar las presiones

negativas.

E8iste un tipo de válvula controlada eléctricamente, que se abre en el momento oportuno

se cierra gradualmente. "e usan en impulsiones mu largas )más de 3;;; m$, colocadas

en lugares accesibles sometidas a cuidadoso mantenimiento cuando no sean posibles

las presiones negativas.

iii7 Estan"e c#n v?lvla at#$?tica de ent+ada de ai+e; 0onde e8iste peligro de

presión negativa donde la presión estática es baja con escurrimiento de poca velocidad,

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se usa a veces un dispositivo formado por un estanque de acero con una válvula

automática en su punto superior que permite la entrada de aire.

uando la presión cerca a la bomba baja de la atmosférica a causa de una falla de energ#a,

el agua sigue durante un cierto tiempo escurriendo hacia adelante el agua, que está a

presión atmosférica dentro del estanque de acero, entra a la tuber#a alimentándola durante

algunos instantes. uando vuelve la onda positiva, el aire que ocupa cierto volumen

dentro del estanque puede escapar por un orificio más peque>o que el de entrada. "e

forma as# un colchón de aire que amortigua el golpe de ariete.

iv7 )isp#sitiv# de /@pass; En instalaciones con carga positiva en la espiración donde

e8ista peligro de separación de la columna debido a golpe de ariete, se usa a veces una

disposición de b<pass con válvula de retención. 0e este modo cuando se produce la

detención s5bita de la bomba, contin5a escurriendo agua por el b<pass por algunos

instantes. "e obtiene, eso si, aumentos de presión por golpe de ariete tanto en la tuber#a

de aspiración, como en la impulsión/ pero que en todo caso son mu inferiores a los que se

producir#an si se cortara la columna.

v7 Estan"e c#n ai+e; El sistema más recomendable, por su sencillez efectividad, es el

de estanque hermético que contiene agua en su parte superior un colchón de aire. "e

instala este dispositivo inmediatamente al lado de la bomba aguas abajo de la válvula deretención. uando se produce presión negativa a causa de la detención de la bomba,

escurre agua desde el estanque hacia la tuber#a, manteniendo la disminución de velocidad

de modo que no se produzcan presiones peligrosas. uando llega la onda de presión

positiva, entra agua al estanque el colchón de aire amortigua el golpe.

El aire se va perdiendo debido a la disolución en el agua es necesario instalar un equipo

compresor comandado automáticamente por el nivel de agua, que mantenga siempre el

volumen necesario.

El orificio de entrada al estanque tiene una forma especial, de modo que el gasto que sale

sea varias veces superior al que entra.

Universidad Católica de la Santísima Concepción. Facultad de Ingeniería. &

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