DESARROLLO DE EJERCICIOS DESARROLLADOS POR EL TEOREMA DE BERNOULLI

Ejemplo 1. (Teorema de Torricelli). En la figura adjunto se muestra una tubera descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque, A, que tiene un dimetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a travs de una llave de paso con un dimetro de pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de dimetro y 90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra sobre un pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobre el nivel del suelo. El tanque B se encuentra sobre el suelo. Calcular:

h123 h1 h2h31AB

a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza.b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B.c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.

Solucin inciso a) Aunque la ecuacin para la velocidad de descarga de un tanque (Teorema de Torricelli) la obtuvimos ya, lo haremos nuevamente para recordar el procedimiento. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 (carga) y 2 (descarga), se tiene:

Es un hecho que el rea de seccin transversal del tanque, A1, es mucho mayor que el rea de descarga en el punto 2, A2, y de acuerdo con la ecuacin de continuidad la velocidad de desplazamiento del nivel de lquido en el tanque, v1, ser mucho menor que la velocidad de descarga del fluido, v2, resultando que despreciable la primera, por lo que la ecuacin de Bernoulli se reduce a:

En donde hicimos P1 = P2 = PATM y v1 = 0.Despejando v2 de la ecuacin 2, obtenemos:

Con h = h1 h2.

Aplicando la condicin de equilibrio que sucede cuando

Sustituyendo (3) en (4), se obtiene la altura h a la cual se estabiliza el nivel de fluido en el tanque. Finalmente,

Solucin inciso b) Calcularemos ahora la velocidad con la que el agua que descarga por el punto 2 llega a la boca del tanque identificada con el punto 3. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 2 y 3, obtenemos:

Con P2 = P3 = PATM y sustituyendo v2 de la ecuacin (3), la ecuacin anterior queda:

Despejando v3:

Solucin inciso c)

El tiempo de llenado del tanque B, se calcula a partir de la definicin de gasto: Q = V/t en m3/s.Donde V es el volumen del tanque y Q es el gasto de descarga (mismo que el de carga). Por lo tanto el tiempo de llenado del tanque es:

Ejemplo 2. Por un tubo de Vnturi, que tiene un dimetro de 1 pulgada por la parte ancha y pulgada en la parte estrecha, circula agua. El Vnturi tiene conectados dos tubos manomtricos que marcan una diferencia de alturas del agua H = 30 cm. Calcule:

a) Cuntos metros cbicos de agua por segundo circulan por el tubo?

HFigura ejemplo 212

Solucin. El gasto de agua que circula a travs del tubo de Vnturi est representado por la ecuacin de continuidad:

A1, v1 y A2, v2 representan las reas y velocidades en la parte ancha y angosta de la tubera, respectivamente.

Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una de las dos velocidades en la ecuacin anterior, por lo que es necesario utilizar una segunda ecuacin que las contenga, para lo cual utilizamos la ecuacin de Bernoulli:

El trmino correspondiente a la diferencia de alturas no aparece porque es una tubera horizontal, por lo que h1 y h2 estn a la misma altura.

Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incgnitas y P1 P2 se calcula a partir de la diferencia de alturas H que es dato, entre los dos tubos manomtricos instalados para tal propsito en el tubo de Vnturi, utilizando para ello la ecuacin representativa para un fluido esttico, P1 P2 = gH, como es el caso de los dos tubos manomtricos midiendo la diferencia de presin entre dos puntos para un flujo en movimiento estacionario.

Despejando v1 de la ecuacin (1) y sustituyendo en la (2), obtenemos:

, por lo que y la ecuacin (2) queda:

Despejando v2 de la ecuacin anterior:

Entonces el gasto, ecuacin (1), ser:

Ejemplo 3 Una bomba manual de rociado absorbe lquido de un depsito, que se encuentra conectado al tramo ms angosto de la bomba, a travs de un tubo que tiene una altura, h=8 cm, como se muestra en la figura. El dimetro en la parte ancha es de 2.5 cm, el dimetro del tubo en la parte angosta es de 3 mm y el lquido en el depsito tiene una densidad de 0.75 gr/cm3. Considerando una densidad de 1.3x10-3 gr/cm3 para el aire en la bomba, calcular:Figura ejemplo 3 Bomba manual para rociar.AAirehLquidoAire

a) La diferencia de presiones entre las partes ancha y angosta, P, mnima para elevar el lquido desde el depsito a una altura h.

b) Las velocidades mnimas v1 y v2 entre las partes ancha y estrecha de la bomba.

Solucin inciso a)

La altura h que sube el lquido desde el depsito est directamente relacionada con la diferencia de presiones entre la parte ancha y estrecha de la bomba.

Donde es la densidad del insecticida lquido en el depsito. Entonces,

Como puede observarse la mnima diferencia de presiones es suficiente para subir el lquido y mezclarse con el flujo de aire. Por esa razn uno puede sacar el lquido de un refresco con un popote al hacer un poco de vaco con la boca.

Solucin inciso b) Si etiquetamos con el No. 1 a la parte ancha y el 2 a la estrecha, la diferencia de presiones, de acuerdo con la ecuacin de Bernoulli es:

Debido a que v1 y v2 son incgnitas, tenemos que usar otra ecuacin que las contenga y esta es la ecuacin de continuidad

Despejando v1 de esta ltima y sustituyendo en la anterior (2) obtenemos: Y Despejando v2:

Para calcular v1 recurramos a la ecuacin de continuidad (3):

Como puede observarse de los resultados, la velocidad en la parte estrecha de la tubera, v2, es tal que la presin debe ser muy baja y se presenta el fenmeno de cavitacin que permite que las gotas de lquido se pulvericen.

Se deja como ejercicio para el alumno calcular la presin en P1 y recopilar informacin sobre el fenmeno de cavitacin debido a la baja presin en un tubo de Vnturi.

Ejemplo 4 En la figura, el fluido es agua y descarga libremente a la atmsfera. Para un flujo msico de 15 kg/s, determine la presin en el manmetro.

Solucin:

Para la V1

Para la V2

Aplicando la e.c de Bernoulli entre 1 y 2 tenemos

Ejemplo 5

El tanque de un retrete tiene una seccin rectangular de dimensiones 20cmx40cm y el nivel del agua est a una altura h = 20 cm por encima de la vlvula de desage, la cual tiene un dimetro d2= 5 cm. Si al bajar la palanca, se abre la vlvula:

a) Cul ser la rapidez inicial de desage por esa vlvula en funcin de la altura de agua remanente en el tanque?

b) Cul es la rapidez inicial de desage? No desprecie la velocidad en la superficie del tanque.Solucin:

Aplicando la ecuacin de Bernoulli

... (1)

.... (2)

Reemplazamos (2) en (1):

Calculamos la rapidez