FluidosF.J. Rubio HernndezMECNICA DEL CONTINUO II. FLUIDOS Concepto de fluidoNormalmente la materia se presenta en los estados de agregacin, lquido, gaseoso o slido. Laexperienciadiarianospermitedistinguir queunslidotieneunaformayunvolumen definidos, mientras que un lquido mantiene su volumen pero adopta la forma del recipiente quelocontienemostrandounasuperficielibrey, finalmente, ungasnotieneniformani volumen propios. Podemos justificar este comportamiento basndonos en la estructura atmico-molecular de lamateria: las fuerzas de atraccin entre las molculas de un slido son tan grandes que ste tiende a mantener su forma, pero ste no es el caso de los fluidos (lquidos y gases),donde la fuerza de atraccin entre las molculas es ms pequea. Una distincin entre slidos y fluidos queda establecida por su diferente respuesta frente a la accin de un esfuerzo: los slidos se deformarnmientras persista un esfuerzo suficiente, ya que oponen una fuerza igual y de sentido contrario a la aplicada, y tienden a recuperar su forma primitiva total o parcialmente cuando cesa el esfuerzo, sin embargo, los fluidos fluirn por pequeo que sea el esfuerzo, es decir, cambiarn continuamente de forma, mientras persista dicho esfuerzo, ya que no presentan una fuerza que se oponga a la aplicada, lo que indica que no hay tendencia a recuperar la forma primitiva al cesar el esfuerzo aplicado. En este punto es interesante citar que ciertos materiales (parafina, gelatina, alquitrn, etc.) no son fciles de clasificar en uno de estos dos estados de la materia, ya que se comportan como slidos si el esfuerzo aplicado es menorqueunciertovalor crtico, mientrasquesucomportamientorecuerdaalosfluidos cuando dicho valor crtico del esfuerzo es superado. A estos materiales se les denomina fluidos complejos y su estudio pertenece a una ciencia especfica denominada Reologa.La Mecnica de los fluidos es la ciencia de la mecnica de los lquidos y de los gases, y est basada en los mismos principios fundamentales que la Mecnica de los slidos. En esta ciencia se combinan los principios fundamentales con los datos experimentales, siendo utilizadosstosparaconfirmarlateorao paradarinformacincomplementariaalanlisis matemtico. El resultado final es un cuerpo unificado de principios bsicos de Mecnica de fluidos que se puede aplicar a la solucin de problemas de flujo de fluidos de importancia en la Ingeniera. En los ltimos aos se ha desarrollado un campo nuevo: la Mecnica computacional de fluidos, con la que es posible resolver problemas ms complicados.Son innumerables los ejemplos que podemos citar en los que es necesario contar con un adecuado conocimiento de la Mecnica de fluidos: sistemas de suministro de aguas, instalaciones detratamientodeaguas residuales, desages dedesbordamientodepresas, vlvulas, medidores de flujo, frenos y amortiguadores hidrulicos, transmisiones automticas, aviones, barcos, submarinos, rompeolas, embarcaderos, cohetes, lectores de discos de ordenador, molinos de viento, turbinas, bombas, sistemas de aire acondicionado y calefaccin, cojinetes, artculos deportivos, etc. Puesto que los fenmenos considerados en la Mecnica de fluidos son macroscpicos, un fluido se considera como un medio continuo. Esto significa que se supone que cualquier elemento de volumen, por pequeo que sea, contiene un nmero muy elevadodemolculas. Deacuerdoconello, cuandohablemos deelementos devolumen infinitesimalmentepequeos, querremos decir quesonmuypequeos comparados conel volumen del cuerpo, pero grandes comparados con las distancias entre las molculas. Presin hidrostticaConsideremos unfluidoen reposo. Permanecer endichoestado si nohayesfuerzos tangenciales o cortantes actuando sobre l, de lo contrario se movera. En esa situacin, la fuerza ejercida entre cualesquiera dos partes del fluido separadas por una superficie imaginaria entre s, deberser perpendicular adichasuperficiedeseparacinpues, delocontrario, existiraun 1FluidosF.J. Rubio Hernndezdesplazamiento relativo entre dichas partes, debido a la accin de esfuerzos tangenciales, tal como hemos sealado, en contra de su supuesto estado de reposo. Si S es el rea de un trozo de la superficie imaginaria que separa dos partes del fluido, y Fes la fuerza de contacto perpendicular que sobre ella acta, definiremos la presin hidrosttica en el centro deS como,dSdF=SF0 Slim = P [1]Launidadenel S.I. dela presin esel pascal (1Pa=1N/1m2). Existen otras unidades de uso comn, como el milibar (1mbar=102 Pa) o la atmsfera (1 atm=1,013105 Pa).La propia definicin de presin pone de manifiesto que se trata de una magnitud escalar, pero depende de la orientacin del elemento de superficie que contiene al punto donde est definida?. Sea M un punto genrico de unfluidoque se encuentra en reposo en un campo gravitatorio k g g , encerrado por el tetraedro que se muestra en la figura. Vamos a compararlapresinhidrostticacalculadasobrelas cuatro superficiesdSx, dSy, dSzy dS. Las fuerzas de presin sobre cada una de ellas son, respectivamente, z y xF d F d F d , ,yF d. Como el punto M est en reposo, la resultante de dichas fuerzas de presin ms el peso del fluido contenido en el tetraedro, debe ser cero.Por lo tanto, se cumplir,0 g dm PdScos -dScoszP g dm PdScos -zdSzP g dm dFcos -zdFzF0 PdScos - dScosyP PdScos -ydSyP dFcos -ydFyF0 PdScos - dScosxP PdScos -xdSxP dFcos -xdFxF [2]donde dS j S d dS i S d /cos , /cos y dS k S d /cos . De las dos primeras ecuacionessededucequeP=Px=Py. Si sustituimosenlaterceraecuacindm=dV=dSh/3, donde h es la altura del tetraedro tomando como base dS, resultar,03hdS PdScos dScoszP [3]Finalmente, puesto que nos interesa calcular la presin en el punto M, haremos tender la altura del tetraedroa0, porloque, finalmente, resultarPz=P. Es decir, lapresinenel puntoM es independientedela orientacin de la superficie que lo contiene. Concluimos as quelapresinenunpuntodeunfluidoenequilibrio (reposoomovimientouniforme) esisotrpica. Recibeel nombre de presin hidrosttica. Ecuacin fundamental de la esttica de fluidosLa presin hidrosttica toma un valor nico en cada punto del fluido debido al carcter isotrpico antes comprobado. En un fluido en reposo, sometido a la accin de la gravedad, 2gMdSZYXdSxdSydSzYZdz( ) S dP P +PSPesoFluidosF.J. Rubio Hernndezla presin hidrosttica aumenta con la profundidad. Podemos llegar a esta conclusin a partir de hechos experimentales. Pero, cul es la dependencia exacta de la presin con la profundidad? Para responder a esta cuestin consideremos un fluido en reposo y elijamos un elemento de dicho fluido delimitado por una superficie prismtica imaginaria de altura dz, cuya base tiene un rea S, tal como muestra la figura. Como dicho elemento de fluido permanece en reposo, la resultante de las fuerzas que actan sobre l ser cero. La cancelacin de las fuerzas de presin que actan en la direccin horizontal nos lleva a concluir que la presin es la misma a la misma profundidad. Sin embargo, debe existir una diferencia de presin entre las caras superior e inferior del elemento de volumen sealado, que compense la accin de la fuerza peso que tiende a llevrselo hacia el fondo. Mientras que la presin en la cara superior es P, en la cara inferior ser P+dP. Resulta as una fuerza neta, necesariamente dirigida hacia arriba, que compensar al peso del elemento de fluidomantenindoloenreposo, comoexigelacondicinhidrosttica. El balancedefuerzas sealado dar,( ) gdzdPdP gdz dPS PS S dP P Sgdz + [4]que recibe el nombre de ecuacin fundamental de la hidrosttica.El signo menos indica que la presin disminuye con la altura (o aumenta con la profundidad).1. Determinar la presin hidrosttica en el fondo del ocano a 3000m de profundidad. Determinarla diferenciade presinentre el suelo y el techo de una habitacin a 4m de altura.Datos:presinatmosfrica=1.01105Pa, densidaddel aguadel mar=1.03103kg/m3, densidaddelaire=1.29kg/m3.De acuerdo con la expresin [4],Pa P gh P P dz g dPmh PPO7 3 53000 0010 04 , 3 3000 8 , 9 10 03 , 1 10 01 , 1 + Haciendo uso nuevamente de la ecuacin [4],Pa P dz g dPm PPtechosuelo6 , 50 4 8 , 9 29 , 140 El signo menos indica que la presin en el techo es inferior a la presin en el suelo de la habitacin. Experimento de TorricelliEn 1.643 Viviani y Otto von Guericke, casi simultneamente, sealaron la imposibilidad de que una bomba pudiera elevar agua por encima de una altura de 10,5 m, lo que evidenciaba la existencia de una presin atmosfrica. Ese mismo ao E. Torricelli efectu la primera medida exacta de la presin atmosfrica con mercurio. Para ello cogi, a nivel del mar, un tubo de un metro de largocerradopor uno de sus extremos y lo llen de mercurio. A continuacin lo 3760 mmHgFluidosF.J. Rubio Hernndezvolte y lo introdujo por el extremo abierto en una vasija que contena la misma sustancia. Observ, tal como se muestra en la figura, que el nivel del mercurio descenda en el tubo hasta que alcanzaba una altura de 760mm por encima del nivel del mercurio de la vasija. Aceptando que en el espacio interior del tubo existe el vaco, por lo que la presin ejercida ser nula, podemos calcular la presin a nivel del mercurio de la vasija en los dos puntos sealados, lo que nos permite poder afirmar que la presin atmosfrica a nivel del mar es igual a la ejercida por una columna de mercurio de 760mm de altura. Este fue el primer barmetro y los mmHg se convirtieron en una unidad de medida de la presin. Barmetros y manmetrosEs evidente la necesidad de disear dispositivos que permitan medir la presin en un fluido, ya quees unamagnitudmuyimportanteparacaracterizarlo. Algunos dispositivos midenla presinrespectodeunsupuestovacoabsoluto(presinabsoluta), mientras queotros la determinan respecto de la presin atmosfrica local (presin relativa). Est claro que la presin absolutasiempreserpositiva, aunquelapresinrelativapuedeser tantopositivacomo negativa.La presin atmosfrica se mide con un barmetro, siendo el diseo de Torricelli, realizado en 1644, el primer barmetro.Cuando el objetivo es la medida de la presin en un fluido se utiliza un dispositivo denominado manmetro. Veremos, como ejemplo, dos tipos de manmetros.Tubo piezomtricoEsel diseoms simple. Consisteen acoplar un tubo vertical al recipiente que contiene el fluido cuya presin queremos determinar. Como se muestra en la figura, la presin en el punto A del fluido contenido en el recipiente es igual a la del punto B del fluido contenido en el tubo demedida, yaqueseencuentranalmismo nivel.Aplicando la ecuacin fundamental dela hidrosttica, resultar que,( )1 0h g P P PB A Observe que la profundidad h1 es negativa, de acuerdo con la eleccin de coordenadas que hicimos para obtener la ecuacin [4].La desventaja de este dispositivo es que solo se puede utilizar conlquidosque, adems, debenestar amayorpresin(no demasiado alta para evitar un tubo exageradamente largo) que la atmosfrica. Tubo en forma de UEn la figura se muestra un manmetro consistente en untuboenformadeU, conectadoal recipienteque contiene el fluido cuya presin se desea determinar. La aplicacin de la ecuacin fundamental de la hidrosttica al dispositivo mostrado nos permite obtener la presin del fluido contenido en el recipiente,4BAh1h1ABCDh2FluidosF.J. Rubio Hernndez( ) ( )2 1h g P h g P Pman D flu B C donde flues la densidad del fluido problema y manes la densidad del fluido manomtrico. Ahora bien, como PA=PB, resultar,1 2gh gh P Pflu man D A + Normalmente el tubo estar abierto por el punto D as que PDser la presin atmosfrica. Las ventajas de este manmetro respecto del anterior son, los fluidos del recipiente y del manmetro pueden ser diferentes, y el fluido del recipiente puede ser un gasEjemplo 1.Un tanque cerrado contiene aire comprimido y aceite (390 , 0cmgaceite ), talcomo se muestra en la figura. Un tubo manomtrico en forma de U, que utiliza mercurio comolquido manomtrico (36 , 13cmgHg ) se conecta al tanque. Si las alturas indicadas toman los valorescm h y cm h cm h 9 , 6 , 363 2 1 , determine la lectura del manmetro de Bourdon.Aplicando la ecuacin fundamental de la hidrosttica tendremos que,( )3h g P P PHg O B A Por otra parte, ( )1 2h h g P Paceite aire A Es decir,( )2 1 3h h g gh P Paceite Hg O aire+ + Como el manmetro de Bourdon indica nicamente la sobrepresin del aire contenido en el tanque respecto de la atmosfrica,tendremos que restar a Pairela presin atmosfrica,( )2 1 3h h g gh Paceite Hg Bourdon+ Sustituyendo valores numricos tendremos, finalmente, ( ) Pa PBourdon15700 10 6 36 8 , 9 10 9 , 0 09 , 0 8 , 9 10 6 , 132 3 3 + Principio de PascalPartiendo de la ecuacin fundamental de la hidrosttica, si consideramos un fluido incompresible (=cte), resulta la siguiente expresin,( )0z z g0P P [5]donde P0 es la presin a una altura de referencia z0 y P es la presin en la posicin z. Con esta expresin podemos justificar el resultado de Pascal consistente en afirmar que una sobrepresin,5h2h1h3aireaceiteManmetrode BourdonA BFluidosF.J. Rubio Hernndezaplicada en un punto de un fluido, se transmitir ntegramente por igual a todos los puntos delfluido. Efectivamente, por ser( )0z z g constante entre dos puntos cualesquiera del fluido, uno situado a una altura z0 y el otro a una altura z, la diferencia P-P0 deber ser tambin constante, por lo que un aumento en un cierta cantidad de la presin P0 se traducir en un aumento igual de la presin P. La prensa hidrulica que se esquematiza en la figura, es un ejemplo de aplicacin de este principio. Como vemos, una fuerzapequea1Fescapazdeelevar uncuerpodegran peso ejerciendo, a travs del fluido de la prensa, una fuerza2F igual al peso del cuerpo,2F2S1S1F2S2F1S1F Fuerzas de presin sobre una superficie. Centro de presin1 Principio de Arqumedes. FlotacinConsideremosunfluidodedensidadLenreposotal comosemuestraenlafigura. Unelementodedicho fluido de volumenV,delimitado por una superficie imaginaria, estar en reposo, por lo que su peso,LVg, estarequilibradoporlafuerzanetaqueresultadela presin que el resto de fluido ejercer sobre l ( )1 2F F . Llamaremosempujeadichafuerza. Si sustituimosel elemento de fluido por un cuerpo slido de densidad S deiguales dimensiones,experimentar la accin de su peso,SVg, verticalmentehaciaabajoylaaccindel empuje, verticalmente hacia arriba. Dependiendo de cul deestasfuerzasseamayorel cuerposehundirose mover hacia arriba (si son iguales el cuerpo permanecer en equilibrio). Este resultado ya fue obtenidoenel250a.C. porArqumedes y se conoce comoprincipio de Arqumedes: "Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso delfluido desalojado". 12. Calcule el porcentaje del volumen de un iceberg que queda bajo la superficie del mar sabiendo que la densidad del hielo es de 0,917g/cm3 y la del agua del mar es1,025 g/cm3.LlamaremosVal volumendel icebergyV0al volumensumergidodedichocuerpo. Su equilibrio, flotando en el mar, se cumple por igualarse su peso y el empuje que recibe delagua. Haciendo uso del principio de Arqumedes,V V V g V Vg Empuje Pesomarhielomar hielo895 , 00 0 1 En un primer estudio omitiremos este apartado.61F2FFluidosF.J. Rubio HernndezEl porcentaje del volumen sumergido ser,% 5 , 89 1000VVAlgunas aplicaciones prcticas que se derivan de la aplicacin del principio de Arqumedes son: la flotacin de los barcos y el hidrmetro utilizado para medir densidades de fluidos. A la hora de estudiar la flotacin de un cuerpo parcialmente sumergido en un fluido, resulta deimportanciafundamental la localizacin del punto de aplicacin de la fuerza de empuje, que ha de competir con el peso del cuerpo flotante para determinar el estado de equilibrio del mismo. El punto de aplicacin delafuerzadeempujeocentrodecarena coincide con el centro de gravedad del fluido desalojado, tal como se observa en la figura. Si dicho punto coincide con la posicin ocupada por el centrode gravedaddeun cuerpo totalmente sumergido, ste se encontrar en un estado de equilibrio indiferente. Si el centro de gravedad del cuerpo est por encima del centro de carena el cuerpo se encontrar en un estado de equilibrio inestable. Finalmente, cuando el centro de gravedad del cuerpo est por debajo del centrodecarena, el equilibriodel cuerposer estable. Sinembargo, la situacines ms complicada cuando se trata de cuerpos que flotan. La razn es que la posicin del centro de carena cambia cuando el cuerpo experimenta una desviacin respecto de su posicin inicial. Tensin superficial. Contacto slido-lquido. ngulo de contacto2 Fluido idealCuando consideramos un fluido en movimiento podremos encontrarnos diferentesregmenes de flujo, es decir, diferentes formas de moverse el fluido. Los dos tipos principales se conocen como rgimen laminar y rgimen turbulento. En el rgimen laminar los distintos caminos o lneasdeflujonosecruzanentres. Si, adems, entodoinstante, lavelocidaddeflujo permanece constante en cada punto del fluido, aunque pueda cambiar de punto a punto, las lneas de flujo son las mismas y se dice que el rgimen de flujo esestacionario. Superada ciertavelocidadcrticael flujodel fluidosehaceturbulento. Estesecaracterizapor ser irregular formando torbellinos en distintas regiones del fluido.El hechodequeexistanrozamientosinternosentredistintascapasdel fluido, dalugar a disipacin de energa mecnica cuando ste fluye. Parte de su energa mecnica se transforma en energa interna. La viscosidades la magnitud que se utiliza para caracterizar el grado de friccin interna de un fluido.Puestoque el movimientodeunfluidoreal es muycomplejo, adoptaremos unmodelo simplificado: elfluidoideal, queaunquetienecaractersticassimplificadas, muchosdelos resultadosobtenidossonaplicables al estudiodel flujo de fluidosreales.Elfluidoideal se caracteriza por las siguientes suposiciones:2 En un primer estudio omitiremos este apartado.7EmpujeCentro de gravedadCentro de carenaPesoFluidosF.J. Rubio Hernndez1. Fluido no viscoso: no hay rozamiento interno y un objeto slido que fluya a travs de l no experimenta rozamiento alguno.2. Fluido incompresible: la densidad permanece constante independientemente de la presin en el fluido.Adems, su forma de fluir se caracteriza por ser:1. Flujo estacionario: la velocidad en cada punto del fluido es independiente del tiempo.2. Flujo laminar:no hay torbellinos en el flujo del fluido. Ecuacin de continuidadEl camino recorrido por una partcula de fluido en un flujo estacionario, recibe el nombre de lnea de corriente o de flujo. La velocidad de la partcula es tangente a la lnea de flujo en todos sus puntos. Dos lneas de flujo no pueden cortarse, y un conjunto de lneas de flujo que se apoyan sobreuncontornodeunasuperficie limitada recibe el nombredetubo de corriente. Evidentemente, lasparedes de un tubo de corriente son impermeables, de lo contrario se violara la condicin sealada para las lneas de corriente.Sea un tubo de corriente correspondiente al flujo estacionario laminar de un fluido ideal, tal como el que se muestra en la figura. Consideremos el fluido comprendido entre las posiciones 1 y 2 del tubo de corriente. El fluido entra por la posicin 1 y sale por la posicin 2. La masa de fluido que entra por 1 en un tiempo dado, dt, donde la velocidad del mismo es v1, ser igual a la masa de fluido que sale por 2, con una velocidad v2, en el mismo tiempo. Es decir,dt2v2A2 dt1v1A1 ya que A1 y A2 son las respectivas reas de las secciones transversales del tubo en las posiciones 1y2.Suponiendo queel fluidoesincompresible,es decir1=2, se deduce de la anterior ecuacin que,2A2v1A1v [6]que recibe el nombre de ecuacin de continuidad. Esta igualdad expresa que el gasto o caudal (producto vA) o rapidez con la que un volumen de fluido atraviesa una seccin de un tubo de corriente, es constante. Se deduce que cuanto menor es la seccin del tubo mayor es la velocidad del fluido, siempre que el gasto se mantenga constante.19. Una manguera de jardn tiene un dimetro interior de 1.24cm y el agua fluye a travs de ellaa 2.4m/s. (a)Qu dimetro debe tener la boquilla de la manguera para que el agua emerja a 9m/s?. (b)Cul es el gasto?.Haciendo uso de la ecuacin de continuidad, obtendremos que,8FluidosF.J. Rubio Hernndezcm r r 64 , 0 2 9 4 , 2 10 224 , 1222 ,_

El gasto en la manguera ser,smvS34 210 9 , 2 9 0032 , 0 Ecuacin de BernouilliA partir de la ecuacin de continuidad se puede deducir que la presin en un fluido tambin cambia al hacerlo su velocidad. Efectivamente, si cambia la velocidad del fluido por hacerlo el rea transversal, debe haber una fuerza que sea la causa de la aceleracin que origina dicho cambio de velocidad. Esta fuerza est originada, en ausencia de otros campos de fuerza, por la diferencia de las presiones ejercidas por el fluido circundante que rodea al elemento de fluido que experimenta el cambio de velocidad. Con este sencillo razonamiento podemos concluir que un cambio de velocidad supone un cambio de presin en el fluido.Para obtener una expresin cuantitativa de estas ideas aplicaremos el teorematrabajo-energaauntubo de corriente. En un tiempo dt el fluido comprendido entre1y2pasar a ocupar la regin comprendida entre 1 y2. Dada la incompresibilidaddel fluidoideal considerado, secumplir que el volumen de fluido entre 1y 1 ser igual al volumende fluidodV comprendido entre 2 y 2. Por lo tanto, en el desplazamiento del fluido comprendido entre 1 y 2 a la regin comprendida entre 1 y 2, se producir una variacin de energa igual a la experimentada por la masa de fluido comprendida entre 1y 1al pasar a ocupar la posicin entre 2 y 2. La fuerza en 1 resulta de la presin P1 que empuja al fluido en el sentido sealado. En la posicin 2la fuerza debida a la presin P2, se opone al avance de dicha masa de fluido. El trabajo realizado por ambas fuerzas ser,( )dV2P1P dt2v2A2P dt1v1A1P dW donde hemos hecho uso de la ecuacin de continuidad. El trabajo realizado por estas fuerzas (no conservativas) se emplear en modificar la energa mecnica del sistema. Mientras que la energa cintica del fluido comprendido entre 1 y 1 es,21dVv211cdE y su energa potencial (debida al peso) es,1dVgy1pdE los respectivos valores para el fluido comprendido entre 2 y 2 son,9FluidosF.J. Rubio Hernndez22dVv212cdE 2dVgy2pdE El balance de energa (W=WC+WNC=EcWNC=Ec-WC=Ec+Ep), aplicado a este caso, dar el resultado,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1y2y 21v22v 212P1P1y2y dV21v22v dV21dV2P1P + + que, finalmente ser,. cte gy2v21P + + [7]La ecuacin [7] recibe el nombre de ecuacin de Bernouilli. Aunque esta ecuacin es estrictamentevlidaparael casoconsiderado(esdecir, el fluidoideal, incompresibleysin viscosidad, que experimenta un flujo estacionario) es aplicable en primera y, en ocasiones, con muy buena aproximacin al estudio del flujo de fluidos reales.29. Seutilizaunsifn, comoel delafigura, para transferir una pequea cantidad de agua de un recipiente de gran tamao a otro menor, que se halla ms abajo. Para ello debe elevar el agua a una altura de3msobreel nivel del primerrecipiente. Si la seccin del sifn es de 410-4 m2 y en el punto 3 de la figura la presin es la atmosfrica(1 atm=105N/m2), determinar: a) lapresinenlos puntos 1 y 2 del sifn, respectivamente, b) la velocidaddel aguaenel sifn, yc)elvolumende aguaquepasaporel sifnporunidaddetiempo.Tome g=10m/s2.De acuerdo con la ecuacin de Bernouilli, comparando los puntos 1 y 3 tendremos que,( ) 52110212121235123 3 021 1 1g v v P v gh P v gh P + + + + +Ahora bien, como la seccin de la tubera es la misma en los puntos 1 y 3, la velocidad ser la misma en ambos puntos. Por lo tanto,atm Pa P 5 , 0 10 5 5 10 10 104 3 51 Anlogamente comparando el punto 3 con el punto 2, resultar,atm Pa P 2 , 0 10 2 8 10 10 104 3 52 Para determinar la velocidad del fluido compararemos el punto 1 del interior de la tubera con otro situado a su mismo nivel sobre la superficie del recipiente,smP Pv v P P 10 2211 0121 1 0 + El gasto en la tubera es,103213m5mProblema 29FluidosF.J. Rubio HernndezsLmLsmvA 41010 4 10 4 1033 33 4 Efecto VenturiSi consideramos un tubo de corriente horizontal, deseccintransversal variable, al ser mayor la velocidad del fluido donde el tubo se estrecha, la aceleracin tendr el sentido de la seccin transversal decreciente. Por lo tanto, la fuerza que origina dicha aceleracin y, por lo tanto, la presin, ser mayor donde la seccin transversal es mayor. A este inesperado resultado se le conoce como efecto Venturi.21. Un tubo horizontal de 2.5cm de radio se une a otro de 10cm de radio, como se muestra en la figura. Si la velocidad del agua de mar (=1.03g/cm3) en el tubo pequeo es de 6m/s y la presin esde 2 105Pa, hallar la velocidad y la presin en el tubo grande.La ecuacin de Bernouilli cuando el fluido no cambia de altura es,223400 650212121 122 221 1 + + + v P v P v P La ecuacin de continuidad establece que,( ) ( )smv v 375 , 0 10 10 10 5 , 2 6122122 Sustituyendo en la primera ecuacin tendremos que,Pa P5110 23 , 2 Tubos de Pitot y Prandtl3 Teorema de TorricelliConsideremos un recipiente abierto a la atmsfera que contiene un fluido ideal. En dicho recipiente practicamos un orificio por el quesaldrel fluido. Culserlavelocidaddesalidadel mismo? Comparemos los puntos a y b de la figura y hagamos usodelaecuacindeBernouilli. Enel puntoalapresin hidrosttica, Pa, ser la atmosfrica, P0, la misma que existe a la salida del orificio en el punto b. Por lo tanto,bgy2bv210Pagy2av210P + + + +Como la altura del punto a va disminuyendo al ir vacindose el recipiente, la velocidad del fluido en dicho punto ser,3 En un primer estudio omitiremos este apartado. 11Problema 21FluidosF.J. Rubio Hernndezdtadyav Sustituyendo, resultar la ecuacin,2gy22v211gy2dt1dy21+ +

,_

que es una ecuacin diferencial no lineal. Cuando el alumno conozca los mtodos de resolucin de este tipo de ecuaciones podr enfrentarse a ella. Mientras tanto, plantearemos un caso lmite vlido cuando las dimensiones del recipiente son muy grandes comparadas con el tamao del orificiopor dondesepierdeel fluido. Enestecaso, el nivel del fluidoenapermanece prcticamente constante, por lo que podremos asumir que va=0 e ya=cte. Entonces,gh )bya2g(ybv 2 [8]que expresa que la velocidad de salida del fluido por el orificio practicado coincide con la de cadalibredeuncuerpoabandonadodesdeunaalturahpor encimadel orificio. Aeste resultado se le conoce como teorema de Torricelli.30. De un depsito de agua, abierto a la atmsfera, sale lquido por dos orificios situados en la misma vertical. Los dos chorros cortan al plano horizontal, donde descansa el recipiente, en un mismo punto. La altura del lquido, que se supone constante, en el interior del depsito es de 90 cm, y el orificio ms elevado se halla 16 cm por debajo dela superficie libre del lquido, dnde se encuentra el otro?Admitiremos que los dos chorros salen con velocidades horizontales por los respectivos orificios. Tratando elmovimiento de ambos como sendos movimientos de proyectiles (ver figura) tendremos que,( )( )( );' ;' 2222 2121122 2 22 2 221 11 1 1490 , 0474 , 02190 , 022116 , 0 90 , 02hxh yhxygt h yt gh xgt yt gh xEl punto de impacto comn estar a una distancia d de la base del depsito. Por lo tanto,( );' + ;' m hm hh hhdhd74 , 016 , 00 1184 , 0 90 , 0490 , 0 064 , 074 , 0 0222222222La primera solucin coincide con el chorro superior, as que la solucin buscada esm h 74 , 02 12h2h1gFluidosF.J. Rubio Hernndez Efusin de un gas. Ley de Bunsen4 Coeficiente de viscosidad. ViscosmetrosCuando un fluido real se mueve, presenta un rozamiento interno entre distintas partes del mismo. A este rozamiento interno se le denomina viscosidad. La viscosidad de un fluido hace que ste se adhiera a una superficie slida con la que contacta. Se forma as una capa lmite justo en dicha regin de contacto, que queda en reposo respecto del slido. Se entiende as que las aspas de un ventilador se llenen de polvo a pesar de estar movindose, o que no sea suficiente para eliminar el polvo adherido a la carrocera de un coche con dirigirle un chorro de agua.El primer cientfico que obtuvo un resultado cuantitativo sobre el fenmeno de la viscosidad fue Newton. Siguiendo su razonamiento consideremos la deformacin cortante o de cizalla experimentada por un fluido situado entre dos capas de slido de rea A, tal como muestra la figura. Mientras que la capa slida inferior permanece en reposo, la superior se mueve, por la accin de una fuerzaF, en direccin paralela a la primera. De acuerdo con lo dicho anteriormente, las capas de fluido en contacto con estas superficies slidas permanecen en reposo respecto de ellas. En el estado estacionario sealado, la fuerzaFse ve compensada por el rozamiento entre la capa de fluido adherida a ella y la capa dispuesta inmediatamente por debajo de ella.El resultado es un campo de velocidades de las distintas capas de fluido que variar desde 0 en la capa inferior a u en la capa superior. Como primera aproximacin, vamos a suponer que la velocidad horizontal vara linealmente con la direccin y. Es decir,. ctedydvxAplicando las condiciones de contorno vx(y=0)=0 y vx(y=L)=u, resultar,yLuxv Newton estableci que el esfuerzo que resulta de la viscosidad de un fluido es proporcional algradiente de velocidad entre sus capas. Por lo tanto,LudyxdvSF dondeel coeficientedeproporcionalidadrecibeel nombredeviscosidad. Engeneral, la viscosidad es una constante que slo depende de la temperatura, se dice entonces que el fluido es newtoniano. La unidad de medida de la viscosidad en el sistema internacional es Pas, y en el sistema cegesimal recibe el nombre de Poise (1P=10-1Pas).4 En un primer estudio omitiremos este apartado.13FYXLFluidosF.J. Rubio Hernndez Viscosmetros5 Nmero de ReynoldsTal como hemos sealado al definir el fluido ideal, los dos tipos principales de flujo de un fluidorecibenlosrespectivosnombresdergimenlaminary dergimenturbulento. Enel rgimen laminar los distintos caminos o lneas de flujo no se cruzan entre s. Superada cierta velocidadcrtica elflujo delfluidosehace turbulento.Este se caracteriza por ser irregular formando torbellinos en distintas regiones del fluido.Existe un nmero adimensional, debido al ingeniero britnico O. Reynolds (1842-1912), que se utiliza para distinguir el rgimen laminar del rgimen turbulento. Cuando un fluido se mueve, habr una longitud y una velocidad v caractersticos del flujo. Por otra parte, la densidad del fluido caracteriza la inercia del mismo y su viscosidad caracteriza su fluidez. El nmero de Reynolds, v Re [9]es una medida del cociente entre la fuerza de inercia y la fuerza viscosa sobre un elemento del fluido. Si 1 Re la viscosidad del fluido puede despreciarse. Ley de Hagen-Poiseuille. Prdida de carga6 Ley de StokesConsideremos un cuerpo de forma esfrica que cae en un fluido. Las fuerzas que actan sobre dicho cuerpo se muestran en la figura. El peso P,el empujeEyel arrastre debido al rozamiento del cuerpo con el fluido R. La resultante de estas fuerzas darn lugar a que el cuerpo experimente una aceleracin,ma R E P + + El peso del cuerpo es,Vg PC el empuje es,Vg EL y el arrastre es,5 En un primer estudio omitiremos este apartado.6 En un primer estudio omitiremos este apartado.14Peso (P)Empuje (E) Arrastre (R)XYFluidosF.J. Rubio HernndezA LAC v R221 dondeAeslaseccintransversal del cuerpoyCAesel coeficientedearrastre. Estosdos ltimos parmetros dependen de la geometra del cuerpo. Para un cuerpo con forma esfrica 42D A y Re 24 AC , siendo DvL Re . Entonces, D vDv RL3Re322 que recibe el nombre de ley de Stokes. Sustituyendo,dtdvm D v Vg VgL C + 3Cuando el cuerpo cae su velocidad aumenta debido a la aceleracin. El tercer sumando del primer miembro de la igualdad aumentar al aumentar la velocidad. Llegar un momento en el que dicho sumando igualar a la suma de los dos primeros. Entonces la aceleracin ser cero y el cuerpo caer con velocidad constante. Esta velocidad es,( )DVgvL Clim 3+PROBLEMAS2. El diquedeunapresatieneunaalturaH=15myunaanchuraD=40m. (a)Cul es la componente de fuerza horizontal total que ejerce el agua de la presasobreel dique?(b)Cul esel momentodelafuerza ejercida por el agua sobre el dique alrededor de un eje que va de uno a otro lado de la base del dique?Lafuerza ejercida por el aguasobre el dique vara con la profundidad, ya que la presin aumenta con la misma. En la figurasemuestralafuerzaejercidasobreunasuperficie horizontal de base D y altura dz.( ) ( ) ( ) ( ) Ddz H z g P dS H z g P PdS dFo o La fuerza total ejercida por el agua ser,( ) ( )2 22220HgD DH P D gHHgD DH P Ddz H z g P dF Fo oHo + + El primer sumando representa la componente debida al aire. El segundo sumando se debe a la presencia del agua. Por lo tanto,N 4,41102HgD F72agua El momento de la fuerza ejercida sobre la superficie elemental indicada en la figura ser,zdF rdF dM F d r M d sen15YZFluidosF.J. Rubio HernndezTomaremos nicamente la componente de la fuerza ejercida por el agua, es decir,( ) ( ) Ddz H z g z dM Si integramos obtendremos el momento total,33 30 02612 3gDHHgDHgD zdz gDH dz z gD dM MH H + + por lo tanto,Nm 2,210 M83. Una campana semiesfrica de 2kg de masa est apoyada en un plano tal como se indica en la figura. Por un orificio practicado en la parte superior de la misma se vierte agua. Determnese la altura h que ha de alcanzar el nivel del agua en su interior para que la campana se despegue del plano.Para que se despegue del plano el peso de la campana deber ser contrarrestado por la fuerza debidaa la presin ejercidapor el agua sobre sus paredes.Cuando la altura de agua en elinterior de la campana,de radio R,es h, la fuerza debida a la presin sobre una superficieelemental dS de arco dr situada a una altura z ser,( ) ( ) d R h z g P PdS dFocos 22 La componente vertical de esta fuerza es,( ) ( ) d R h z g P dF dFo zcos sen 2 sen2 La fuerza total que ejerce el agua sobre la cpsula en direccin vertical ser, + 020202cos sen 2 cos sen 2 cos sen 2 d h R g d z R g d P R dF Fo z zComo el aire tambin ejerce presin sobre la cpsula por el exterior, nicamente hemos de considerar los dos ltimos sumandos. Las integrales toman los respectivos valores,233303002222023 3sen3sen31cos sen2 21sen21sen21cos senRhRh R RR d zRhRhd

,_

1]1

,_

1]1

Por lo tanto,322222313 22 h gRhRhh R g Fz

,_

Aplicando la condicin sealada para que se despegue la campana tendremos,12,4cm6h 2g gh3133 4. Uncuerpode densidadconocida se dejacaer desde unaalturahsobre undepsito suficientemente profundo que contiene un lquido de densidad desconocida, que supondremos fluido perfecto. Si el objeto se sumerge hasta alcanzar una profundidad dada y resurge despus sobre la superficie, determnese la densidad del fluido supuesto conocido el tiempo t que estuvo sumergido en el agua.16Problema 3FluidosF.J. Rubio HernndezAl suponerqueelfluidoesperfecto o idealse desprecia la fuerza de arrastre,quetiene su origen en la viscosidad del fluido. Por lo tanto, las nicas fuerzas que actan sobre el cuerposern su peso y el empuje debido al lquido desalojado. Es decir,g a Va Vg VgLL

,_

1Como la aceleracin es constante podremos relacionarla con el tiempo que el cuerpo permanece sumergido en el lquido en el tramo descendente mediante la expresin,1 11 2 0 gt gh at v vLo f

,_

La distancia recorrida durante este tiempo es,21 1212 at gh t z Por otra parte, en el tramo ascendente el cuerpo recorrer esa misma distancia partiendo delreposo, empleando un tiempo,2221at z Por lo tanto, el tiempo total ser,gght t tL

,_

+ 12 22 1luego, la densidad del lquido es,

,_

gtghL2 21 5. Dos tubos comunicantes del mismo dimetro, 1cm, se colocan verticalmente y se llenan con mercurio.En una de las ramas se vierten 30g de agua y en la otra 57.2g de alcohol. Si la densidad de este ltimo es 0.8g/cm3, cul es la diferencia de nivel en ambas ramas?. Dato:densidad del mercurio=13.6g/cm3.Al verter ambos lquidos el nivel del mercurio se altera en ambas ramas, tal como se muestra en la figura.La presin en los puntos A yB es la misma,( ) h g P Pagua o A ( ) ( ) d g H g P PHg alcohol o B Igualando ambas presiones tendremos que,d H hHg al ag + La distancia pedida esD=H+d-h. El volumendeagua aadida es,Sh cmmVagagag 330Mientras que el volumen de alcohol aadido es,SH cmmValalal 35 , 718 , 02 , 5717DdHhA BFluidosF.J. Rubio HernndezComo S=0,52cm2, las alturas H y h sern,'cm hcm H2 , 380 , 91Entonces,cmH hdHgal ag5 , 26 , 130 , 91 8 , 0 2 , 38 1 El signo negativo indica que el esquema mostrado en el dibujo est equivocado. El nivel delmercurio baja en la rama donde se vierte el alcohol respecto de la rama donde se vierte el agua.Manteniendoel signoobtenido, podemos seguir adelante conlaresolucindel problema.Efectivamente,cm h d H D 3 , 50 2 , 38 5 , 2 0 , 91 + 6. En la superficie de separacin de dos lquidos con densidades y flota un cuerpo en forma de prisma recto, de densidad (