Física. 2. Cálculo vectorial. 1

2. CÁLCULO VECTORIAL.

Definiciones.

• Vector libre.– Segmento orientado en el espacio que queda determinado mediante un módulo, una dirección y un sentido. Vector deslizante.– Segmento orientado en el espacio que queda determinado mediante un módulo, una dirección, un sentido y una recta de aplicación. Vector fijo.– Segmento orientado en el espacio que queda determinado mediante un módulo, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.

• Módulo de un vector.– Es la distancia entre su origen y su extremo, expresada en las unidades correspondientes a la magnitud representada por el vector. El módulo de un vector a suele notarse

rar

ó a.

Vector unitario.– Aquél cuyo módulo es la unidad.

• Producto de un vector por un escalar.– ar

⋅λ es un vector de igual dirección que ar

y de módulo a⋅λ . Si λ > 0, su sentido es el mismo que el de a

r, y si λ < 0, su sentido es

contrario al de . ar

rDado un vector a , siempre es posible encontrar un vector unitario en la dirección y sentido de a , al que notaremos u , del siguiente modo:

rr

a

aa1ua

rr⋅=

• Suma de vectores libres.– La suma a brr

+ puede realizarse gráficamente mediante la regla del paralelogramo, que consiste en colocar el origen de b

r sobre el extremo de a

r y la

suma corresponde al vector que va desde el origen de ar

al extremo de r

: b

barr

+br

ar

El vector suele denominarse resultante de los vectores abarr

+r

y br

.

La resta a puede efectuarse realizando la suma brr

− ( )barr

−+ .

• Suma de vectores fijos paralelos.– Dados dos vectores fijos, F1

r y F2

r, paralelos y de

igual sentido, su resultante es un vector Rr

tal que:

– Su módulo es 21 FFrr

+ .

– Su dirección es la misma de F1

r y F2

r.

– Su sentido es el de 1Fr

y 2Fr

.

Física. 2. Cálculo vectorial. 2

– Su punto de aplicación está situado en el segmento que une los puntos de aplicación de 1F

r y 2F

r, y lo divide en dos partes inversamente proporcionales a sus

módulos. Gráficamente, puede efectuarse como sigue:

A partir del origen de 2Fr

se dibuja el

vector AB , de igual módulo y dirección que 1F

r y de sentido opuesto a él.

A partir del origen de 1Fr

se dibuja el

vector BA ′′ , de igual módulo, dirección y sentido que 2F

r.

Se dibuja el segmento . El punto de corte de los segmentos

BB ′AA ′ y es el

punto de aplicación de la resultante. BB ′

Si ambos vectores tienen sentidos contrarios, y llamamos 1Fr

al de mayor módulo y 2Fr

al de mayor, su resultante es un vector R

r tal que:

– Su módulo es 21 FFrr

− .

– Su dirección es la misma de 1Fr

y 2Fr

.

– Su sentido es el de 1Fr

. – Su punto de aplicación está situado en el segmento que une los puntos de aplicación de 1F

r y 2F

r, y lo divide en dos partes inversamente proporcionales a sus

módulos. Gráficamente, se efectúa de modo similar al caso anterior.

• Componentes de un vector.– Son las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas. Dada una base de vectores unitarios ortonormales } , ,{ kji

rrr, que son los

vectores unitarios en el sentido positivo de los ejes X, Y, Z de un sistema de coordenadas cartesiano, las componentes de un vector a

r suelen notarse xa

r, yar

, zar

.

Todo vector ar

puede expresarse como kajaiaaaaa zyxzyx

rrrrrrr⋅+⋅+⋅=++= .

Nótese que ax, ay, az no representan los módulos de xar

, yar

, zar

, ya que pueden ser números negativos. A menudo, ax, ay, az también se denominan “componentes de a

r”.

Se cumple que:

( ) ( ) ( ) kajaiaa zyx

rrrr⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ=⋅λ

( ) ( ) ( ) kbajbaibaba zzyyxx

rrrrr⋅++⋅++⋅+=+

Física. 2. Cálculo vectorial. Campos. 3

• Cosenos directores de un vector.– Son los cosenos de los ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes de coordenadas.

Producto escalar.

• Se define como:

θ⋅⋅=⋅ cosbabarr

, siendo: θ ≡ ángulo formado por a

r y b .

• Se cumple que:

– zzyyxx babababa ⋅+⋅+⋅=⋅rr

– bub

ba rrr

⋅⋅ es la proyección de a

r sobre b

r, siendo bu

r un vector unitario con la

dirección y sentido de b . r

– Si, y sólo si, ar

y b son perpendiculares se cumple que r

barr

⋅ = 0.

• El producto vectorial permite demostrar las siguientes propiedades:

– 2z

2y

2x aaaa ++=

– ⎪⎩

⎪⎨⎧

γ⋅=β⋅=α⋅=

cosaacosaacosaa

z

y

x

, siendo:

α ≡ ángulo formado por ar

y el eje X; β ≡ ángulo formado por a

r y el eje Y;

γ ≡ ángulo formado por ar

y el eje Z.

– 1coscoscos 222 =γ+β+α

– θ⋅⋅⋅++=+ cosba2baba 22rr

Producto vectorial.

• El producto vectorial se define como: barr

∧

kbbaa

jbbaa

ibbaa

bayx

yx

xz

xz

zy

zy rrrrr⋅+⋅+⋅=∧

• Se cumple que:

– ( )abbarrrr

∧−=∧

– es un vector perpendicular a barr

∧ ar

y br

, cuyo sentido viene dado por la regla del destornillador y cuyo módulo es θ⋅⋅=∧ senbaba

rr, siendo θ ≡ ángulo formado

por ar

y . br

Física. 2. Cálculo vectorial. Campos. 4

– barr

∧ es el área del paralelogramo determinado por ar

y br

.

– Si y 0arr

≠ 0brr

≠ , si, y sólo si, a0barrr

=∧r

y br

son paralelos.

– ( ) ( ) ( )bababarrrrrr

⋅λ∧=∧⋅λ=∧⋅λ .

– ( ) ( ) ( )cabacbarrrrrrr

∧+∧=+∧ .

• Sistema de referencia orientado positivamente.– Aquél en el que se cumple que kjirrr

=∧ , ikjrrr

=∧ , jikrrr

=∧ . Los siguientes sistemas de referencia están orientados positivamente:

Z Y X

YX X Z Y Z

Las leyes físicas se refieren siempre a sistemas de referencia orientados positivamente.

Momento de un vector.

• Momento de un vector fijo ar

respecto de un punto P.– Se define como:

arMrrr

∧= , siendo: rr

≡ vector cuyo origen es P y cuyo extremo es el punto de aplicación de ar

. rr

se denomina vector de posición de ar

respecto de P.

• Teorema de Varignon.– El momento de la resultante de un conjunto de vectores fijos , , ..., a , con un origen común, respecto de un punto P es igual a la suma de los momentos de cada vector respecto de dicho punto:

1ar r r

2a n

∑ ∑= =

=∧n

1i

n

1iii Mar

rrr , siendo:

rr

≡ vector de posición de los vectores a1

r, a2

r, ..., an

r respecto de P;

ii arMrrr

∧= ≡ momento de cada vector ai

r respecto de P.

• Momento de un vector fijo respecto de una recta.– Se define como la proyección sobre dicha recta del momento del vector respecto de un punto cualquiera de la recta.

Par de vectores.

• Par de vectores.– Conjunto formado por dos vectores de igual módulo y dirección, sentidos opuestos y distintas rectas de aplicación:

Física. 2. Cálculo vectorial. Campos. 5

• La resultante de un par de vectores es siempre nula.

• La suma del momento de cada vector respecto de un cierto punto se denomina momento del par de vectores. El momento del par de vectores es independiente del punto respecto del cual se calcule. Siempre daM ⋅=

Derivación e integración de vectores.

• Derivada de un vector ar

respecto de un escalar λ.– Se define como:

ka

ja

iaa zyx

rrrr

⋅λ∂

∂+⋅

λ∂

∂+⋅

λ∂∂

=λ∂

∂

• Integral de un vector ar

según un escalar λ.– Se define como:

( ) ( ) ( ) kdajdaidada zyx

rrrr⋅λ⋅+⋅λ⋅+⋅λ⋅=λ⋅ ∫∫∫∫

Campos escalares y vectoriales.

• Campo.– Magnitud física, definida en una determinada región, cuyo valor depende de la posición y del tiempo. Si sólo depende de la posición y no del tiempo, se dice que el campo es estacionario. Los campos pueden ser escalares o vectoriales, según sea la magnitud física a la que se refieren. Dado un campo escalar, se denomina superficie equiescalar a toda superficie en cuyos puntos la magnitud toma un mismo valor.