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Fiacutesica II
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copy2015 Departamento de Fiacutesica
Universidad de Sonora
Dr Mario Enrique Aacutelvarez Ramos (Responsable)
Dr Roberto Pedro Duarte Zamorano (Colaborador)
Dr Ezequiel Rodriacuteguez Jaacuteuregui (Colaborador)
TemarioB Magnetismo
6 Campo magneacutetico (6 horas)1 El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
2 Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
3 Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacutetico uniformeSelector o filtro de velocidades El espectroacutemetro de masas
4 Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corrienteeleacutectrica
5 Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motor eleacutectrico
6 El efecto Hall
7 Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores paralelos
8 Ley de Ampegravere El solenoide
9 Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz Generadores
7 Propiedades magneacuteticas de la materia (3 horas)1 Dipolo magneacutetico
2 Magnetismo atoacutemico y nuclear
3 Magnetizacioacuten
4 Materiales magneacuteticos Paramagnetismo diamagnetismoferromagnetismo curva de histeacuteresis
5 Efectos de la temperatura sobre el ferromagnetismo
6 Magnetismo de los planetas
Temario
Tema 6 Campo magneacutetico
i El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
ii Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
iii Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacuteticouniforme Selector o filtro de velocidades El espectroacutemetro demasas
iv Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta unacorriente eleacutectrica
v Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motoreleacutectrico
vi El efecto Hall
vii Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores paralelos
viii Ley de Ampegravere El solenoide
ix Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz Generadores
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de AsiaMenor ya que fue en una regioacuten conocida como magnesia donde seencontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute A estas rocas se les llamoacuteldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de su descubrimiento
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante una serie de experimentosrealizados por diversos cientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de JC Maxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sido descritoen teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquier carga eleacutectricaya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hecho todaslas sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas por un campomagneacutetico
Histoacutericamente se ha usado el siacutembolo B para representar el campomagneacutetico debido a que es una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 H Oersted descubrioacute larelacioacuten entre la electricidad y elmagnetismo en un experimento que hoyse nos presenta como muy sencillo yque llevoacute a cabo ante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticaspresentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anteriorse puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como semuestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
TemarioB Magnetismo
6 Campo magneacutetico (6 horas)1 El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
2 Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
3 Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacutetico uniformeSelector o filtro de velocidades El espectroacutemetro de masas
4 Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corrienteeleacutectrica
5 Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motor eleacutectrico
6 El efecto Hall
7 Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores paralelos
8 Ley de Ampegravere El solenoide
9 Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz Generadores
7 Propiedades magneacuteticas de la materia (3 horas)1 Dipolo magneacutetico
2 Magnetismo atoacutemico y nuclear
3 Magnetizacioacuten
4 Materiales magneacuteticos Paramagnetismo diamagnetismoferromagnetismo curva de histeacuteresis
5 Efectos de la temperatura sobre el ferromagnetismo
6 Magnetismo de los planetas
Temario
Tema 6 Campo magneacutetico
i El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
ii Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
iii Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacuteticouniforme Selector o filtro de velocidades El espectroacutemetro demasas
iv Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta unacorriente eleacutectrica
v Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motoreleacutectrico
vi El efecto Hall
vii Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores paralelos
viii Ley de Ampegravere El solenoide
ix Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz Generadores
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de AsiaMenor ya que fue en una regioacuten conocida como magnesia donde seencontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute A estas rocas se les llamoacuteldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de su descubrimiento
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante una serie de experimentosrealizados por diversos cientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de JC Maxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sido descritoen teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquier carga eleacutectricaya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hecho todaslas sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas por un campomagneacutetico
Histoacutericamente se ha usado el siacutembolo B para representar el campomagneacutetico debido a que es una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 H Oersted descubrioacute larelacioacuten entre la electricidad y elmagnetismo en un experimento que hoyse nos presenta como muy sencillo yque llevoacute a cabo ante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticaspresentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anteriorse puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como semuestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
7 Propiedades magneacuteticas de la materia (3 horas)1 Dipolo magneacutetico
2 Magnetismo atoacutemico y nuclear
3 Magnetizacioacuten
4 Materiales magneacuteticos Paramagnetismo diamagnetismoferromagnetismo curva de histeacuteresis
5 Efectos de la temperatura sobre el ferromagnetismo
6 Magnetismo de los planetas
Temario
Tema 6 Campo magneacutetico
i El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
ii Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
iii Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacuteticouniforme Selector o filtro de velocidades El espectroacutemetro demasas
iv Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta unacorriente eleacutectrica
v Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motoreleacutectrico
vi El efecto Hall
vii Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores paralelos
viii Ley de Ampegravere El solenoide
ix Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz Generadores
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de AsiaMenor ya que fue en una regioacuten conocida como magnesia donde seencontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute A estas rocas se les llamoacuteldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de su descubrimiento
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante una serie de experimentosrealizados por diversos cientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de JC Maxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sido descritoen teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquier carga eleacutectricaya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hecho todaslas sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas por un campomagneacutetico
Histoacutericamente se ha usado el siacutembolo B para representar el campomagneacutetico debido a que es una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 H Oersted descubrioacute larelacioacuten entre la electricidad y elmagnetismo en un experimento que hoyse nos presenta como muy sencillo yque llevoacute a cabo ante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticaspresentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anteriorse puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como semuestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Tema 6 Campo magneacutetico
i El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
ii Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
iii Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacuteticouniforme Selector o filtro de velocidades El espectroacutemetro demasas
iv Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta unacorriente eleacutectrica
v Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motoreleacutectrico
vi El efecto Hall
vii Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores paralelos
viii Ley de Ampegravere El solenoide
ix Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz Generadores
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de AsiaMenor ya que fue en una regioacuten conocida como magnesia donde seencontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute A estas rocas se les llamoacuteldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de su descubrimiento
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante una serie de experimentosrealizados por diversos cientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de JC Maxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sido descritoen teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquier carga eleacutectricaya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hecho todaslas sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas por un campomagneacutetico
Histoacutericamente se ha usado el siacutembolo B para representar el campomagneacutetico debido a que es una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 H Oersted descubrioacute larelacioacuten entre la electricidad y elmagnetismo en un experimento que hoyse nos presenta como muy sencillo yque llevoacute a cabo ante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticaspresentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anteriorse puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como semuestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de AsiaMenor ya que fue en una regioacuten conocida como magnesia donde seencontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute A estas rocas se les llamoacuteldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de su descubrimiento
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante una serie de experimentosrealizados por diversos cientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de JC Maxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sido descritoen teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquier carga eleacutectricaya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hecho todaslas sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas por un campomagneacutetico
Histoacutericamente se ha usado el siacutembolo B para representar el campomagneacutetico debido a que es una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 H Oersted descubrioacute larelacioacuten entre la electricidad y elmagnetismo en un experimento que hoyse nos presenta como muy sencillo yque llevoacute a cabo ante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticaspresentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anteriorse puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como semuestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante una serie de experimentosrealizados por diversos cientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de JC Maxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sido descritoen teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquier carga eleacutectricaya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hecho todaslas sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas por un campomagneacutetico
Histoacutericamente se ha usado el siacutembolo B para representar el campomagneacutetico debido a que es una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 H Oersted descubrioacute larelacioacuten entre la electricidad y elmagnetismo en un experimento que hoyse nos presenta como muy sencillo yque llevoacute a cabo ante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticaspresentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anteriorse puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como semuestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sido descritoen teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquier carga eleacutectricaya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hecho todaslas sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas por un campomagneacutetico
Histoacutericamente se ha usado el siacutembolo B para representar el campomagneacutetico debido a que es una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 H Oersted descubrioacute larelacioacuten entre la electricidad y elmagnetismo en un experimento que hoyse nos presenta como muy sencillo yque llevoacute a cabo ante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticaspresentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anteriorse puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como semuestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 H Oersted descubrioacute larelacioacuten entre la electricidad y elmagnetismo en un experimento que hoyse nos presenta como muy sencillo yque llevoacute a cabo ante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticaspresentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anteriorse puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como semuestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticaspresentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anteriorse puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como semuestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguiente
Las liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico FB esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo que penetranuna superficie arbitrariaperpendicular al propiocampo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacuteticoiquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico yflujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gaussen el magnetismoCuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El magnetismo Ley de Gauss en elmagnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
z
x
y
30cm25cm
50cm
Para calcular el flujo en la superficiemostrada separeacutemosla en cada una delas caras que la conforman
A saber
bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical
bull Cara B Triaacutengulo vertical
bull Cara C Rectaacutengulo horizontal
bull Cara D Triaacutengulo vertical
bull Cara E Rectaacutengulo inclinado
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
A
B
ED
C
B
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara A Reacutectaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
A
AB BCos dAF
0
A
180AB BCos dAF
200 1 030 025AB T m mF
215 15AB T m WbF
AdA
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara B Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
B
dA
B
BB BCos dAF
0
B
90BB BCos dAF
0BBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara C Rectaacutengulo horizontal
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
B
C
dA
C
CB BCos dAF
0
C
90CB BCos dAF
0CBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
z
x
y
30cm25cm
50cm
Cara D Triaacutengulo vertical
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
de donde
Ley de Gauss en el magnetismo
D
dA
B
D
DB BCos dAF
0
C
90DB BCos dAF
0DBF
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
z
x
y
30cm25cm
50cm
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
B
Cara E Rectaacutengulo inclinado
En este caso el flujo magneacutetico
resulta ser
El aacutengulo f se obtiene del esquemaresultando ser
E
EB BCos dAF
0
E
90EB BCos dAfF E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
z
x
y
30cm25cm
50cm
Ley de Gauss en el magnetismo
B
Por otro lado para calcular el aacutereaadvertimos que el largo del rectaacutengulocorresponde a la hipotenusa deltriaacutengulo lateral de donde
Asiacute que
de donde
2 2
25 50 55901699L cm cm cm
15EB WbF
E
dA
f
f
1 025tan 26565051
50
cm
cmf
0 0200 90 265651
030 0559017
EB T Cos
m m
F
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Ley de Gauss en el magnetismo
Resumiendo los diferentes flujos son
de donde el flujo magneacutetico totalresultado de la suma de todos losflujos es cero
15EB WbF
15AB WbF
0B C DB B BF F F
z
x
y
30cm25cm
50cm
B
Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacuteticouniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujomagneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta unacarga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dichopunto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoRegla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campoelectromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campomagneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
asiacute que para determinar la fuerza total que actuacuteasobre el alambre basta con multiplicar la fuerzasobre una carga por el nuacutemero de cargas en elsegmento Puesto que el volumen del segmentoes AL el nuacutemero de cargas en el segmento esnAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidadde volumen
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente sirecordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
Si ahora consideramos un segmento de alambre deforma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacutetico uniformeB
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todoslos elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacutenanterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarse de laintegral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transportauna corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en un campomagneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma
vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegonopara la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similar soacuteloque al tomar la suma vectorial de los elementosds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cadauno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las
fuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (comovector) puede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMomento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
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