física ii

Fsica II

Ing. Ren Zahor Torres Becerra

Fsica IIUNIDAD I: ELECTROSTTICA 1.1. Introduccion. 1.2. Sistemas de Unidades. 1.3. Carga Elctrica y sus Propiedades. 1.4. Ley de GAUSS. 1.5. Ley de COULOMB. 1.6. Campo Elctrico. UNIDAD II: POTENCIAL ELCTRICO 2.1. Introduccin. 2.2. Definiciones. 2.3. Calculo del Potencial Elctrico en Diferentes Configuraciones. UNIDAD III: CAPACITANCIA 3.1. Introduccin. 3.2. Definicin. 3.3. Calculo de la Capacitancia en Diferentes Configuraciones. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. UNIDAD IV: ELECTRODINMICA Introduccin. Definiciones. Ley de OHM. Potencial Elctrica. Ley de JOULE. Leyes de KIRCHHOFF. UNIDAD V: ELECTROMAGNETISMO 5.1. Introduccin. 5.2. Definicin del Campo Magntico. 5.3. Ley de BIOT-SAVART. 5.4. Fuerza Magntica entre Conductores. 5.5. Leyes de Circuitos Magnticos. 5.6. Propiedades de los Materiales Magnticos. 5.7. Leyes de FARDAY, LENZ y de AMPERE . UNIDAD VI: INDUCTANCIA 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. Definicin de Inductancia. Calculo de la Inductancia. Energa Asociada al Campo Magntico. Densidad de Energa Magntica. Inductancia Mutua. UNIDAD VII: APLICACIONES 7.1. Precipitadores Electrostticos..


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1.1. IntroduccinLa palabra esttica significa en reposo y la electricidad puede encontrarse en reposo. Cuando se frotan ciertos materiales entre s, la friccin causa una transferencia de electrones de un material al otro. Un material puede perder electrones en tanto otro los ganar. Alrededor de cada uno de estos materiales existir un campo electrosttico y un diferencia de potencial, entre los materiales de diferentes cargas. Un material que gana electrones se carga negativamente, y uno que entrega electrones se carga positivamente. Una de las leyes bsicas de la electricidad es: Los cuerpos con cargas diferentes se atraen. Los cuerpos con cargas semejantes se repelen. El campo elctrico invisible de fuerza que existe alrededor de un cuerpo cargado, puede detectarse con un electroscopio. Por lo tanto llamaremos electricidad al movimiento de electrones. Electrosttica. Estudio de la electricidad en reposo. Ionizacin. La capacidad de desprender un electrn. repelen. Cargar es ionizar. Cargas iguales se

1.2. Sistema de unidadesHay dos grandes sistemas de unidades en el mundo actualmente: el sistema ingls y el sistema mtrico. El sistema mtrico. La necesidad de contar con un sistema ms uniforme y adecuado de unidades condujo al desarrollo del sistema mtrico, que se emplea hoy en la mayor parte de los pases del mundo.


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Fsica IIEl metro fue asignado a la unidad de longitud. Ese vocablo se tom de la palabra griega metron, que significa medida. El metro se defini inicialmente como la diezmillonsima parte de la distancia entre el Polo Norte y el Ecuador a lo largo de un meridiano que pasaba por Francia. Tabla 1.1. Prefijos del sistema mtrico

La unidad de carga en el SI de unidades es el coulomb (C). El coulomb se define en trminos de la unidad de corriente llamada ampere (A), donde la corriente es igual a la rapidez de flujo de carga. En el sistema mtrico, una unidad de la intensidad del campo elctrico es el newton por coulomb (N/C). La utilidad de esta definicin descansa en el hecho de que si se conoce el campo en un punto dado, puede predecirse la fuerza que actuar sobre cualquier carga colocada en dicho punto. La direccin (y sentido) de la intensidad del campo elctrico E en un punto del espacio, es la misma que la direccin (y sentido) en la cual una carga positiva se movera si fuera colocada en dicho punto.


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1.3. Carga elctrica y sus propiedadesEs posible llevar a cabo cierto nmero de experimentos para demostrar la existencia de fuerzas y cargas elctricas. Por ejemplo, si frotamos un peine contra nuestro pelo, se observar que aqul atraer pedacitos de papel. A menudo la fuerza de atraccin es lo suficientemente fuerte como para mantener suspendidos los pedacitos de papel. El mismo efecto ocurre al frotar otros materiales, tales como vidrio o el caucho. En una sucesin sistemtica de experimentos un tanto simples, se encuentra que existen dos tipos de cargas elctricas a las cuales Benjamin Franklin les dio el nombre de positiva y negativa. Para demostrar este hecho, considrese que se frota una barra dura de caucho contra una piel y a continuacin se suspende de un hilo no metlico, como se muestra en la fig. 1.1. Cuando una barra de vidrio frotada con una tela de seda se acerca a la barra de caucho, sta ser atrada hacia la barra de vidrio. Por otro lado, si dos barras de caucho cargadas (o bien dos barras de vidrio cargadas) se aproximan una a la otra, como se muestra en figura 1.1.b., la fuerza entre ellas ser de repulsin. Esta observacin demuestra que el caucho y el vidrio se encuentran en dos estados de electrificacin diferentes. Con base en estas observaciones, podemos concluir que cargas iguales se repelen y cargas diferentes se atraen.


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Fsica IIFigura 1.1. a). La barra de caucho cargada negativamente, suspendida por un hilo, es atrada hacia la barra de vidrio cargada positivamente. b). La barra de caucho cargada negativamente es repelida por otra barra de caucho cargada negativamente. Otro aspecto importante del modelo de Franklin de la electricidad es la implicacin de que la carga elctrica siempre se conserva. Esto es, cuando se frota un cuerpo contra otro no se crea carga en el proceso. El estado de electrificacin se debe a la transferencia de carga de un cuerpo a otro. Por lo tanto, un cuerpo gana cierta cantidad de carga negativa mientras que el otro gana la misma cantidad de carga positiva. En 1909, Robert Millikan (1886-1953) demostr que la carga elctrica siempre se presenta como algn mltiplo entero de alguna unidad fundamental de carga e. En trminos modernos, se dice que la carga q est cuantizada. Esto es, la carga elctrica existe como paquetes discretos. Entonces, podemos escribir q=Ne, Donde N es algn entero. Otros experimentos en el mismo periodo demostraron que el electrn tiene una carga de -e y que el protn una carga igual y opuesta de +e. Algunas partculas elementales, como el neutrn, no tienen carga. Un tomo neutro debe contener el mismo nmero de protones que electrones. Las fuerzas elctricas entre objetos cargados fueron medidas por Coulomb utilizando la balanza de torsin, diseada por l. Por medio de este aparato, Coulomb confirm que la fuerza elctrica entre dos pequeas esferas cargadas es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia que las separa, es decir, F 1/r. El principio de operacin de la balanza de torsin es el mismo que el del aparato usado por Cavendish para medir la constate de gravitacin, remplazando masas por esferas cargadas. La fuerza elctrica entre las esferas cargadas produce una torsin en la fibra de suspensin. Como el momento de una fuerza de restitucin de la fibra es proporcional al ngulo que describe al girar, una medida de este ngulo proporciona una medida cuantitativa de la fuerza elctrica de atraccin o repulsin. Si las esferas se cargan por frotamiento, la fuerza elctrica entre las esferas es muy grande comparada con la atraccin gravitacional; por lo que se desprecia la fuerza gravitacional.


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Fsica IIPor lo tanto, se concluye que la carga elctrica tiene las importantes propiedades siguientes: 1. Existen dos clases de cargas en la naturaleza, con la propiedad de que cargas diferentes se atraen y cargas iguales se repelen. 2. La fuerza entre cargas vara con el inverso del cuadrado de la distancia que las separa. 3. La carga se conserva. 4. La carga est cuantizada.

1.4. Ley de GaussFlujo elctrico. Es la medida del nmero de lneas de campo que atraviesan cierta superficie. Cuando la superficie que est siendo atravesada encierra alguna carga neta, el nmero total de lneas que pasan a travs de tal superficie es proporcional a la carga neta que est en el interior de ella. El nmero de lneas que se cuenten es independiente de la forma de la superficie que encierre a la carga. Esencialmente, ste es un enunciado de la ley de Gauss. La relacin general entre el flujo elctrico neto a travs de una superficie cerrada (conocida tambin como superficie gaussiana) y la carga neta encerrada por esa superficie, es conocida como ley de Gauss, es de fundamental importancia en el estudio de los campos elctricos. La ley de Gauss establece que el flujo elctrico neto a travs de cualquier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella, dividida por E0. La seleccin de Eo como la constante de proporcionalidad ha dado por resultado que el nmero total de lneas que cruzan normalmente a travs de una superficie cerrada de Gauss es numricamente igual a la carga contenida dentro de la misma. Ejemplo 1.1. Calcule la intensidad del campo elctrico a una distancia r de una placa infinita de carga positiva, como se muestra en la figura 1.2.


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Fig.1.2. Clculo del campo fuera de una lmina o placa delgada cargada positivamente Solucion. La resolucin de problemas en donde se aplica la ley de Gauss suele requerir la construccin de una superficie imaginaria de forma geomtrica simple, por ejemplo, una esfera o un cilindro. A estas superficies se les llama superficies gaussianas. En este ejemplo, se imagina una superficie cilndrica cerrada que penetra en la placa de carga positiva de tal modo que se proyecta a una distancia r sobre cada lado de la placa delgada. El rea A en cada extremo del cilindro es la misma que el rea corta sobre la placa de carga. Por tanto, la carga total contenida dentro del cilindro es

donde representa la densidad superficial de carga. Debido a la simetra, la intensidad del campo E resultante debe estar dirigida perpendicularmente a la placa de carga en cualquier punto cerca de la misma. Esto significa que las lneas del campo no penetrarn la superficie lateral del cilindro, y los dos extremos de rea A representarn el rea total por las que penetran las lneas del campo. De la ley de Gauss,


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Ntese que la intensidad del campo E es independiente de la distancia r de la placa. Antes de que se suponga que el ejemplo de una placa infinita de carga es imprctico, debe sealarse que el sentido prctico, infinito implica solamente que las dimensiones de la placa estn ms all del punto de interaccin elctrica.

1.5. Ley de CoulombEn 1785, Coulomb estableci la ley fundamental de la fuerza elctrica entre dos partculas cargadas estacionarias. Los experimentos muestran que la fuerza elctrica tiene las siguientes propiedades: La fuerza es inversamente proporcional al inverso del cuadrado de

la distancia de separacin r entre las dos partculas, medida a lo largo de la lnea recta que las une. La fuerza es proporcional al producto de las cargas q1 y q2 de las dos partculas. La fuerza es atractiva si las cargas son de signos opuestos, y repulsiva si las cargas son del mismo signo.

A partir de estas observaciones podemos expresar la fuerza elctrica entre las dos cargas como: Ley de Coulomb de las fuerzas electrostticas: F = k |q1| |q2| r


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donde k es una constante conocida como constante de Coulomb. En sus experimentos, Coulomb, pudo demostrar que el exponente de r era 2, con slo un pequeo porcentaje de incertidumbre. Los experimentos modernos han demostrado que esl exponente es 2 con un presin de algunas partes en 109. La constante de coulomb k en el SI de unidades tiene un valor de:

La ley de Newton predice la fuerza mutua que existe entre dos masas separadas por una distancia r; la ley de Coulomb trata con la fuerza electrosttica. Al aplicar estas leyes se encuentra que es til desarrollar ciertas propiedades del espacio que rodea a las masas o a las cargas. Ejemplo 1.2. El tomo de hidrgeno. El electrn y el protn de un tomo de hidrgeno estn separados en promedio por una distancia aproximada de 3.5X10m. Calclese la magnitud de la fuerza elctrica y de la fuerza gravitacional entre las dos partculas. Solucin. De la ley de Coulomb, podemos determinar que la fuerza de atraccin elctrica tiene una magnitud de

Usando la ley de la gravitacin universal de Newton y la tabla 1.2 encontramos que la fuerza gravitacional tiene una magnitud de


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La razn por lo tanto, la fuerza gravitacional entre partculas atmicas es despreciable comparada con la fuerza elctrica entre ellas.

bla 1.2. Carga y masa del electrn, protn y neutrn.

Ta

1.6. Campo elctricoDefinicin de campo elctrico Tanto la fuerza elctrica como la gravitacional son ejemplos de fuerza de accin a distancia que resultan extremadamente difciles de visualizar. A fin de resolver este hecho, los fsicos de antao postularon la existencia de un material invisible llamado ter, que se supona llenaba todo el espacio. De este modo ellos podan explicarse la fuerza de atraccin gravitacional, que rodea todas las masas. Un campo de este tipo puede decirse que existe en cualquier regin del espacio donde una masa testigo o de prueba experimentar una fuerza gravitacional. La intensidad del campo en cualquier punto sera proporcional a la fuerza que experimenta cierta masa dada en dicho punto. Por ejemplo, en cualquier punto cercano a la Tierra, el campo gravitacional podra representarse cuantitativamente por:


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Fsica IIg = F/m


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Fsica IIdonde: g = aceleracin gravitacional debida a la fuerza de gravedad F = fuerza gravitacional m = masa testigo o de prueba El concepto de un campo tambin puede aplicarse a objetos cargados elctricamente. El espacio que rodea un objeto cargado se altera por la presencia de un campo elctrico en ese espacio. Se dice que un campo elctrico existe en una regin del espacio en la que una carga elctrica experimente una fuerza elctrica. Esta definicin suministra una prueba para la existencia de un campo elctrico. Simplemente se coloca una carga en el punto en cuestin. Si se observa una fuerza elctrica, en ese punto existe un campo elctrico. De la misma manera que la fuerza por unidad de masa proporciona una definicin cuantitativa de un campo gravitacional, la intensidad de un campo elctrico puede representarse mediante la fuerza por unidad de carga. Se define la intensidad del campo elctrico E en un punto en trminos de la fuerza F experimentada por una carga positiva pequea +q cuando se coloca en dicho punto. La magnitud de la intensidad del campo elctrico es dada por: E= F q Lneas de campo elctrico. Una ayuda conveniente para visualizar los patrones del campo elctrico es trazar lneas en la misma direccin que el vector de campo elctrico en varios puntos. Estas lneas se conocen como lneas del campo elctrico y estn relacionadas con el campo elctrico en alguna regin del espacio de la siguiente manera: El vector campo elctrico E es tangente a la lnea de campo elctrico en cada punto.


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Fsica IIEl nmero de lneas por unidad de rea que pasan por una superficie perpendicular a las lneas de campo es proporcional a la magnitud del campo elctrico en esa regin. En consecuencia, E es grande cuando las lneas estn muy prximas entre s, y es pequeo cuando estn separadas. Estas propiedades se ven en la figura 1.3. La densidad de lneas a travs de la superficie A es mayor que la densidad de lneas a travs de la superfici B. Por lo tanto, el campo elctrico es ms intenso en la superficie A que en la superfici B. Adems, el campo que se observa en la figura no es uniforme ya que las lneas en ubicaciones diferentes apuntan hacia direcciones diferentes.

Figura 1.3. Lneas de campo elctrico que penetran dos superficies. La magnitud del campo es mayor en la superficie A que en la B. Algunas lneas representativas del campo elctrico para una partcula puntual positiva se aprecian en la figura 1.4a. Obsrvese que en los dibujos bidimensionales slo se muestran las lneas del campo que estn en el plano que contiene a la carga. Las lneas estn dirigidas radialmente hacia afuera de la carga en todas direcciones. Dado que la carga de prueba es positiva, al ser colocada en este campo, sera repelida por la carga q, por lo que las lneas estn radialmente dirigidas hacia afuera desde la carga positiva. En forma similar, las lneas de campo elctrico de una carga negativa puntual estn dirigidas hacia la carga (Figura 1.4b). En cualquiera de los casos las lneas siguen la direccin radial y se prolongan al infinito. Ntese que las lneas se juntan ms cuando estn ms cerca de la carga, lo cual indica que la intensidad del campo se incrementa al acercarse a la carga.


Unidad 1

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Figura 1.4. Las reglas para trazar las lneas de campo elctrico de cualquier distribucin de carga son las siguientes: 1. Las lneas deben partir de cargas positivas y terminar en las cargas negativas, o bien en el infinito en el caso de un exceso de carga. 2. El nmero de lneas que partan de la carga positiva o lleguen a la negativa es proporcional a la magnitud de la carga. 3. Dos lneas de campo no puede cruzarse. Ejemplo 1.3. Campo elctrico debido a dos cargas. La carga q1=7 C est colocada en el origen y una segunda carga q2=-5 C est colocada sobre el eje x a 0.3m del origen (Fig. 1.5). Determine el campo elctrico en un punto P con coordenadas (0,0.4)m.


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Fsica IIFigura 1.5. El campo elctrico total E en P es igual la suma vectorial E1+E2, donde E1es el campo debido a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la carga negativa q2. Solucin. Primero, encontremos las magnitudes de los campos elctricos debidos a cada una de las cargas. El campo elctrico E1 debido a la carga de 7 C y el campo elctrico E2 debido a la carga de -5 C en el punto P se muestran en la fig. 1.5. Sus magnitudes estn dadas por

El vector E1 slo tiene componente y. El vector E2 tiene una componente x dada por E2 cos = 3/5 E2 y una componente y negativa dada por -E2 sen = -4/5 E2. Por lo tanto, los vectores se pueden expresar como

El campo resultante E en P es la superposicin de E1 y E2:

De este resultado, podemos encontrar que E tiene una magnitud de

y hace un ngulo de 66 con el eje positivo de las x.


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Problemas de la Unidad I1. Dos monedas reposan sobre una mesa, con una separacin de 1.5m. Contienen cargas idnticas. De qu magnitud es la carga en cada una de ellas, si una de las monedas experimenta una fuerza de 2.0N? El dimetro de una moneda es pequeo comparado con la separacin de 1.5m. Se puede, por consiguiente, suponer como cargas puntuales a las monedas. La ley de Coulomb, F=kq1q2/r2, da:

De donde q=2.2x10-5 C = 22 C 2. Reptase el problema anterior, si la separacin entre las monedas es de 1.5m y se encuentran dentro de una tina larga con agua. La constante dielctrica del agua es aproximadamente 80. De la ley de Coulomb se tiene que:

Donde k, la constante dielctrica, es 80 en este caso:

3. Un ncleo de helio tiene una carga de +2e y uno de nen de +10e, donde e es el cuanto de carga. 1.6x10-19C. Encuntrese la fuerza de repulsin ejercida sobre una de ellas, debido a la otra, cuando se encuentran apartadas 3 nanmetros. Considrese que ellas estn en el vaco.

4. En el modelo de Bohr del tomo de hidrogeno, un electrn (q=-e) circunda a un protn (q=e) en una rbita de radio 53.x10 -11m. La atraccin del protn por el electrn, aporta la fuerza centrpeta necesaria para mantener a el electrn en la rbita. Encuntrese a) la fuerza de atraccin elctrica entre las partculas y b) la rapidez del electrn. La masa del electrn es de 9.1x10-31kg.a) b) La fuerza encontrada en a) es la fuerza centrpeta por lo tanto:


Unidad 1

Fsica II5. Encuntrese la razn (cociente) entre la fuerza elctrica de Coulomb, Fe y la fuerza gravitacional, Fg entre dos electrones. De la ley de coulomb y de la gravitacin de Newton, tenemos que: Por consiguiente:

Como se puede observar la fuerza elctrica es mucho ms intensa que la gravitacional. 6. Como se muestra en la figura, dos bolas idnticas, cada una de masa 0.10g, llevan cargas idnticas y estn suspendidas por dos cuerdas de igual longitud. En equilibro, la posicin que guardan es la que se muestra. Encuntrese la carga en cada bola. Considerando la bola de la izquierda. Se mantiene en equilibrio bajo la accin de tres fuerzas; 1) la Tensin T en la cuerda, b) la fuerza de gravitacin (mg) y c) la fuerza de repulsin P.

De la sumatoria de fuerzas tenemos:

De la

se obtiene:

Sustituyendo en la ecuacin

se obtiene:

Pero sta es la fuerza de coulomb, por consiguiente como se solicita la carga se tiene que:


Unidad 1

Fsica II7. Las cargas que se muestran en la figura son estacionarias. Encuntrese la fuerza ejercida sobre la carga de 4C, debido a las otras dos. De la ley de Coulomb

La fuerza resultante sobre la carga 4C tiene los componentes:

Entonces:

La resultante forma un ngulo:

8. Dos cargas estn colocadas sobre el eje x: +3C en x=0 y -5C en x=40cm. Dnde debe colocarse una tercera carga, q, si la fuerza resultante sobre sta debe ser cero? Como se muestra en la figura q debe estar colocada sobre el eje x, porque de no ser as y se coloca q positiva entre BC, las fuerzas que actan en ellas estn en la misma direccin y no pueden cancelarse entre s. Por lo tanto solo en la regin de la izquierda de B puede ocurrir la cancelacin.


Unidad 1

Fsica IIColocando a q segn la figura hasta lograr que la fuerza sea 0, obtendremos que F3 = F5 por lo tanto:

Despus de cancelar q, k y 10-6 C de cada lado, se multiplica cruzadamente para obtener: 5d2 = 3(0.4 + d)2 o d2 1.2 d - 0.24 = 0 Y utilizando la formula cuadrtica tenemos que:

9. Calclese a) la intensidad del campo elctrico E en el aire a una distancia de 30cm desde una carga puntual q1=5x10-9C; b) la fuerza sobre una carga q2=4x10-10C colocada a 30 cm de q1; y c) la fuerza sobre una carga q3=-4x10-10C colocada a 30cm de q1 (en la ausencia de q2) a) Dirigida hacia afuera de q1 b) Dirigida hacia afuera de q1 c) 10. Para la situacin que se muestra en la figura, encuntrese a) la intensidad del campo elctrico E en el punto P, b) la fuerza sobre una carga -4x10-8C situada en P, c)en qu lugar de la regin el campo elctrico ser cero?


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Fsica IIa) Una carga de prueba colocada en el punto P ser repelida hacia la derecha por una carga positiva y atrada hacia la derecha por la carga negativa. Dado que E1 y E2 tienen la misma direccin y sentido, pueden sumarse sus magnitudes para obtener la magnitud del campo resultante o lo que es lo mismo:

De donde r1 = r2 = 0.05m y |q1| y |q2| son valores absolutos de q1 y q2. De aqu:

Dirigida hacia la derecha. b) Una carga q colocada en P experimenta una fuerza Eq. Por lo tanto:

El signo negativo nos indica que la fuerza est dirigida a la izquierda. Esto es correcto ya que el campo elctrico representa la fuerza sobre la carga positiva. La fuerza sobre una carga negativa es de direccin opuesta al campo.

Problemas suplementarios11. Tres cargas puntuales estn colocadas en los siguientes puntos sobre el eje x +2 C en x=0, -3 C en x=40 cm, -5 C en x=120 cm. Encuntrese la fuerza a) sobre la carga de -3 C, b) sobre la carga de -5 C. Sol. a) -.055 N; b)0.15 N 12. Cargas de +2, +3 y -8C se colocan en los vrtices de un tringulo equiltero de 10cm por lado. Calclese la magnitud de la fuerza que acta sobre la carga de -8C debido a las otras dos. Sol 31.4 N


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2.2. Definiciones

Energa de potencial elctrico.

La energa de potencial del sistema es igual al trabajo realizado en contra de las fuerzas elctricas al mover la carga +q desde el infinito a ese punto. V = kQq r

Potencial.

El potencial V en un punto a una distancia r de una carga Q es igual al trabajo por unidad de carga realizado en contra de las fuerzas elctricas al traer una carga +q desde el infinito a dicho punto. En otras palabras, el potencial en algn punto A, como se muestra a continuacin, es igual a la energa potencial por unidad de carga. Las unidades del potencial se expresan en joules por coulomb, y se define como volt (V). V = kQ r

Diferencia de potencial.

La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo por unidad de carga positiva realizado por fuerzas elctricas para mover una pequea carga de prueba desde el punto de mayor potencial hasta el punto de menor potencial. VAB = VA - VB

Volt.

Como la diferencia de potencial es una medida de la energa por unidad de carga, las unidades del potencial en el SI son joules por coulomb, la cual se define como una unidad llamada volt (V): 1V = 1J C


Unidad 2

Fsica IIEs decir se debe realizar 1J de trabajo para llevar a carga de 1C a travs de una diferencia de potencial de 1 V.

Electrn-Volt.

Es una unidad de energa equivalente a la energa adquirida por un electrn, que se acelera a travs de una diferencia de potencial de un volt.

2.2. Definiciones

Energa de potencial elctrico.

La energa de potencial del sistema es igual al trabajo realizado en contra de las fuerzas elctricas al mover la carga +q desde el infinito a ese punto. V = kQq r

Potencial.

El potencial V en un punto a una distancia r de una carga Q es igual al trabajo por unidad de carga realizado en contra de las fuerzas elctricas al traer una carga +q desde el infinito a dicho punto. En otras palabras, el potencial en algn punto A, como se muestra a continuacin, es igual a la energa potencial por unidad de carga. Las unidades del potencial se expresan en joules por coulomb, y se define como volt (V). V = kQ r

Diferencia de potencial.

La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo por unidad de carga positiva realizado por fuerzas elctricas para mover una pequea carga de prueba desde el punto de mayor potencial hasta el punto de menor potencial. VAB = VA - VB


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Volt.

Como la diferencia de potencial es una medida de la energa por unidad de carga, las unidades del potencial en el SI son joules por coulomb, la cual se define como una unidad llamada volt (V): 1V = 1J C Es decir se debe realizar 1J de trabajo para llevar a carga de 1C a travs de una diferencia de potencial de 1 V.

Electrn-Volt.

Es una unidad de energa equivalente a la energa adquirida por un electrn, que se acelera a travs de una diferencia de potencial de un volt.

2.3. Clculo del potencial elctrico en diferentes configuraciones

Potencial elctrico y energa potencial debido a cargas puntuales.

Ejemplo 1. Potencial debido a dos cargas puntuales. Una carga puntual de 5 C se coloca en el origen y una segunda carga puntual de -2 C se localiza sobre el eje x en la posicin (3,0)m, como en la figura 2.1. a) si se toma como potencial cero en el infinito, determine el potencial elctrico total debido a estas cargas en el punto P, cuyas coordenadas son (0,4)m.


Unidad 2

Fsica IIFig. 2.1. El potencial elctrico en el punto P debido a las dos cargas puntuales q1 y q2 es la suma algebraica de los potenciales debidos a cada carga individual.

Potencial elctrico debido a una distribucin de carga continua

Ejemplo 2. Potencial debido a un anillo uniformemente cargado. Encuentre el potencial elctrico en un punto P localizado sobre el eje de un anillo uniformemente cargado de rado a y carta total Q. El plano del anillo se elije perpendicular al eje x. (Figura 2.2.)

Fig. 2.2. Un anillo uniformemente cargado de radio a, cuyo plano es perpendicular al eje x. Todos los segmentos del anillo estn a la misma distancia del punto axial P. Considere que el punto P est a una distancia x del centro del anillo, como en la figura 2.2. El elemento de carga dq est a una distancia Por lo tanto, se puede expresar V como del punto P.

En este caso, cada elemento dq est a la misma distancia del punto P. Por lo que el trmino puede sacarse de la integral y V se reduce a


Unidad 2

Fsica IIEn esta expresin V slo vara con x. Esto no es de extraarse, ya que nuestro clculo slo es valido para puntos sobre el eje x, donde "y" y "z" son cero. De la simetra de la situacin, se ve que a lo largo del eje x, E slo puede tener componente en x. Por lo tanto, podemos utilizar la expresin Ex=-dV/dx.

Este resultado es igual al obtenido por integracin directa. Note que Ex=0 (el centro del anillo).


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Problemas de la Unidad II1. Cunto trabajo se requiere para llevar un electrn desde la terminal positiva de una batera de 12 V a la negativa? Se tiene una cada de potencial al ir de la terminal positiva a la negativa. En este caso es 12V a la negativa, por lo tanto: Trabajo = qV = (-1.6x10-19 )(-12) = 1.92x10-18 J 2. Cunta energa potencial elctrica pierde un protn cuando se hace pasar a travs de una cada de potencia de 5kV? El protn lleva una carga positiva. Por consiguiente, ste se mover desde regiones de alto potencial a regiones de bajo potencial, si le deja en libertad de hacerlo. Su cambio en energa potencial cuando se mueve a travs de una diferencia de potencial V es Vq. En nuestro caso V=-5kV. Por consiguiente: Cambio en EPE = Vq = (-5000)(1.6x10-19 ) = -8x10-16J 3. Un electrn parte del reposo y cae a travs de una elevacin de potencial de 80V. Cul es su rapidez final? Las cargas positivas tienden a caer a travs de una cada de potencial; las cargas negativas, como la de un electrn, tiende a caer a travs de una elevacin de potencial.

La EPE que se pierde aparece como EC del Electrn EPE perdida = EPE ganada


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4. a) Cul es el potencial absoluto en cada uno de los siguientes radios, desde una carga de 2C: r = 10 cm y r = 50 cm? b) Cunto trabajo se requiere para transportar una carga de 0.05C, desde el punto en r = 50cm a r = 10cm? a)

b) 5. Supngase, en el problema anterior a), que se libera un protn en r = 10 cm. Con qu velocidad viajar cuando pasa por el punto r = 50 cm? Yendo de un punto al otro, hay cada de potencial de : Cada de potencial = 1.80x105 0.36x105 = 1.44 x105 V El protn adquiere EC a medida que cae a travs de su cada de potencial por lo tanto: EC ganada = EPE perdida

De la cual Vf = 5.3x106 m/s.

Problemas suplementariosUn can de electrones los dispara (q = -e, m = 9.1x10-31 kg) hacia una placa metlica que se encuentra a una distancia de 4mm en el vaco. La placa tiene un potencial de 5.0 V ms bajo que el can. Con qu velocidad deben moverse los electrones cuando salen del can, si debe alcanzar la otra placa? Sol. 1.33x106 m/s


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3.1. IntroduccinAdems de los resistores, los capacitores y los inductores son otros dos elementos importantes que se encuentran en los circuitos elctricos y electrnicos. Estos dispositivos, son conocidos como elementos pasivos. Solo son capaces de absorber energa elctrica. A diferencia de un resistor que disipa energa, los capacitores y los inductores, la almacenan y la regresan al circuito al que estn conectados. Como elementos activos en circuitos electrnicos tenemos a los dispositivos semiconductores (diodos, transistores, circuitos integrados, microprocesadores, memorias, etc).

Capacitor:

Construccin: Un capacitor se compone bsicamente de 2 placas conductoras paralelas, separadas por un aislante denominado dielctrico.

Limitaciones a la carga de un conductor

Puede decirse que el incremento en potencial V es directamente proporcional a la carga Q colocada en el conductor. Por consiguiente, la razn de la cantidad de carga Q al potencial V producido, ser una constante para un conductor dado, Esta razn refleja la capacidad del conductor para almacenar carga y se llama capacidad C. C=Q V La unidad de capacitancia es el coulomb por volt o farad (F). Por tanto, si un conductor tiene una capacitancia de un farad, una transferencia de carga de un coulomb al conductor elevar su potencial en un volt.


Unidad 3

Fsica IICualquier conductor tiene una capacitancia C para almacenar carga. La cantidad de carga que puede colocarse en un conductor est limitada por la rigidez dielctrica del medio circundante.

Rigidez dielctrica

Es la intensidad del campo elctrico para el cual el material deja de ser un aislador para convertirse en un material conductor. Hay un lmite para la intensidad del campo que puede existir en un conductor sin que se ionice el aire circundante. Cuando ello ocurre, el aire se convierte en un conductor. El valor lmite de la intensidad del campo elctrico en el cual un material pierde su propiedad aisladora, se llama rigidez dielctrica del material.

3.2. DefinicinConsideremos dos conductores que tienen una diferencia de potencial V entre ellos, y supongamos que los dos conductores tienen cargas iguales y de signo opusto. Esto se puede lograr conectando los dos conductores descargados a las terminales de una batera. Una combinacin de conductores as cargados es un dispositivo conocido como condensador. Se encuentra que la diferencia de potencial V es proporcional a la carga Q en el condensador.

Capacitancia.

La capacitancia entre dos conductores que tienen cargas de igual magnitud y de signo contrario es la razn de la magnitud de la carga en uno u otro conductor con la diferencia de potencial resultante entre ambos conductores. C=Q V Obsrvese que por definicin la capacitancia es siempre una cantidad positiva. Adems, como la diferencia de potencial aumenta al aumentar la carga almacenada en el condensador, la razn Q/V es una constante para un


Unidad 3

Fsica IIcondensador dado. Por lo tanto, la capacitancia de un dispositivo es la medida de su capacidad de almacenar carga y energa potencial elctrica. Las unidades de la capacitancia en el SI son el Coulomb por Volt. La unidad en el SI para la capacitancia es el faradio (F), en honor a Michael Faraday. 1 farad (F) = 1 coulomb (C) 1 volt (V)

Rigidez dielctrica, aire.

La rigidez dielctrica es aquel valor de E para el cual un material dado deja de ser aislante para convertirse en conductor. Para el aire este valor es:

Constante dielctrica.

La constante dilectrica K para un material particular se define como la razn de la capacitancia C de un capacitor con el material entre sus placas a la capacitancia C0 en el vaco. K= C C0

3.3. Calculo de la capacitancia en diferentes configuracionesLa capacitancia de un par de conductores cargados con cargas opuestas puede ser calculada de la siguiente manera. Se supone una carga de magnitud Q. As entonces simplemente se utiliza C=Q/V para evaluar la capacitancia. Como podra esperarse, el clculo de la capacitancia es relativamente fcil si la geometra del condensador es simple.

Condensador de placas paralelas.

Dos placas paralelas de igual rea A estn separadas una distancia d como en la figura 3.1. Una placa tiene carga +Q, y la otra, carga -Q.


Unidad 3

Fsica II

Fig. 3.1. Un condensador de placas paralelas consta de dos placas paralelas cada una de rea A, separadas una distnaci d. Las placas tienen cargas iguales y opuestas. La carga por unidad de rea en cada placa es = Q/A. Si las placas estn muy cercanas una de la otra, podemos despreciar los efectos de los extremos y suponer que el campo elctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otro lugar. El campo elctrico entre las placas esta dado por:

La diferencia de potencial entre las placas es igual a Ed; por lo tanto,

Sustituyendo este resultado , encontramos que la capacitancia esta dada por:

Esto significa que la capacitancia de un condensador de placas paralelas es proporcional al rea de stas e inversamente proporcional a la separacin entre ellas.


Unidad 3

Fsica IIEjemplo 3.1. Condensador de placas paralelas. Un condensador de placas paralelas tiene un ra A=2cm=2X104m y una separacin entre las placas d=1mm = 10m. Encuentre su capacitancia. Solucin:

Capacitores en Serie y Paralelo

Con frecuencia los circuitos elctricos contienen dos o ms capacitores agrupados entre s. Al considerar el efecto de tal agrupamiento conviene recurrir al diagrama del circuito, en el cual los dispositivos elctricos se representan por smbolos. En la figura 3.2. se definen los smbolos de cuatro capacitores de uso comn. El lado de mayor potencial de una batera se denota por una lnea ms larga. El lado de mayor potencial de un capacitor puede representarse mediante una lnea recta en tanto que la lnea curva representar el lado de menor potencial. Una flecha indica un capacitor variable. Una tierra es una conexin elctrica entre el alambrado de un aparato y su chasis metlico o cualquier otro reservorio grande de cargas positivas y negativas.

Fig. 3.2. Definicin de los smbolos que se usan con frecuencia con capacitores. Considrese primero el efecto de un grupo de capacitores conectados a lo largo de una sola trayectoria, Una conexin de este tipo, en donde la placa positiva de un capacitor se conecta a la placa negativa de otro, se llama conexin en serie. La batera mantiene una diferencia de potencial V entre la placa positiva C1 y la placa negativa C3, con una transferencia de electrones deIng. Ren Zahor Torres Becerra Unidad 3

Fsica IIuna a otra. La carga no puede pasar entre las placas del capacitor; en consecuencia, toda la carga contenida dentro del paralelogramo punteado, Fig. 3.3., es carga inducida. Por esta razn, la carga en cada capacitor es idntica. Se escribe: Q=Q1=Q2=Q3 donde Q es la carga eficaz transferida por la batera.

Fig. 3.3. Clculo de la capacitancia equivalente de un grupo de capacitores conectados en serie. Los tres capacitores pueden reemplazarse por una capacitancia equivalente C, sin que vare el efecto externo. A continuacin se deduce una expresin que sirve para calcular la capacitancia equivalente para esta conexin en serie. Puesto que la diferencia de potencial entre A y B es independiente de la trayectoria, el voltaje de la batera debe ser igual a la suma de las cadas de potencial a travs de cada capacitor. V=V1+V2+V3 Si se recuerda que la capacitancia C se define por la razn Q/V, la ecuacin se convierte en


Unidad 3

Fsica IIPara una conexin en serie, Q=Q1=Q2=Q3 as, que si se divide entre la carga, se obtiene: 1 =1 + 1 + 1 Ce C1 C2 C3 La capacitancia eficaz total para dos capacitores en serie es: Ce = C1 C2 C1 + C2 Ahora bien, considrese un grupo de capacitores conectados de tal modo que la carga pueda distribuirse entre dos o ms conductores. Cuando varios capacitores estn conectados directamente a la misma fuente de potencial, como en la figura 3.4., se dice que ellos estn conectados en paralelo.

Fig. 3.4. Capacitancia equivalente de un grupo de capacitores conectados en paralelo De la definicin de capacitancia,, la carga en un capacitor conectado en paralelo es Q1=C1V1 Q2=C22V2 Q3=C3V3

La carga total Q es igual a la suma de las cargas individuales Q=Q1 =Q2+Q3 La capacitancia equivalente a todo el circuito es Q=CV, as que la ecuacin se transforma en


Unidad 3

Fsica IICV= C1V1 + C22V2 + C3V3 Para una conexin en paralelo, V =V1=V2=V3 Ya que todos los capacitores estn conectados a la misma diferencia de potencial. Por tanto, al dividir ambos miembros de la ecuacin CV = C1V1 +C2V2 +C3V3 entre el voltaje se obtiene C = C1 +C2 +C3 Ejemplo 3.2. a). Encuntrese la capacitancia equivalente del circuito mostrado en la fig. 3.5. b). Determnese la carga en cada capacitor. c). Cul es la diferencia de potencial entre las placas del capacitor de 4F. Conexin en paralelo

Fig. 3.5. Ejemplificacin de un problema al sustituir sus valores equivalentes de la capacitancia. Solucion a). Los capacitores de 4 y 2 ?F estn conectados en serie; su capacitancia combinada se encuentra en la sig. ecuacin.


Unidad 3

Fsica IIEstos dos capacitores pueden reemplazarse por su equivalente, como se ve en la figura 3.5.b. Los dos capacitores restantes estn conectados en paralelo. Por tanto la capacitancia equivalente es Ce = C3+C2,4 = 3F + 1.33F = 4.33F Solucin b). La carga total en la red es Q = Ce V=(4.33F)(120V) = 520C La carga Q3 en el capacitor de 3F es Q3= C3V= (3F)(120V) = 360C .El resto de la carga, Q-Q3 = 520C - 360C = 160C debe almacenarse en los capacitores en serie. Por lo tanto, Q2 = Q4 = 160C Solucin c). La cada de voltaje a travs del capacitor de 4F es


Unidad 3

Fsica II

Problemas de la Unidad III1. Un capacitor con aire entre sus placas tiene una capacitancia de 8F. Determnese su capacitancia cuando se coloca un dielctrico, con constante 6.0, entre las placas. C con dielctricos = k(C con aire) = (6.0)(8)=48 F 2. Cul es la carga en un capacitor de 300pF cuando se carga a un voltaje de 1 kV?

3. Una esfera metlica montada sobre una varilla aislada porta una carga de 6nC cuando su potencial es 200 V ms alto que sus alrededores, Cul es la capacitancia del capacitor formado por la esfera y sus alrededores?

4. Un capacitor de 1.2 F est cargado a 3kV. Calclese la energa almacenada en el capacitor.

5. La combinacin en serie de los dos capacitores mostrados en la fig. est conectada a una diferencia de potencial de 1000 V. calclese a) la capacitancia equivalente Ceq de la combinacin, b)la magnitud de las cargas en los capacitores, c) la diferencia de potencial a travs del capacitor, d) la energa almacenada en los capacitores.


Unidad 3

Fsica IIa) del la cual C = 2pF

b) En una combinacin en serie, cada capacitor porta la misma carga, la cual es la carga sobre la combinacin. Por consiguiente, utilizando los resultados de a).

c)

d)

Energa en la combinacin = (6.7+3.3)x10-7 = 10x10-7 J El ltimo resultado est dado tambin directamente por

6. La combinacin de capacitores en paralelo mostrada en la fig. est conectada a una fuente de 120 V. Determnese la capacitancia equivalente Ceq y la carga en cada capacitor. a) Para una combinacin en paralelo

b) Los capacitores tiene una diferencia de potencial de 120V aplicada sobre cada uno de ellos. Por lo tanto,

La carga sobre la combinacin es q1 + q2 = 9.6x10-10 C. o podra escribirse:


Unidad 3

Fsica II

Problemas suplementarios7. Tres capacitores, cada uno con una capacitancia de 120 pF, se han cargado cada uno a 500 V y despus se conectan en serie. Determnese a) la diferencia de potencial entre las placas extremas, b) la carga sobre el capacitor, y c) la energa almacenada en el sistema. Sol. a) 1500 V, b) 60nC c) 4.5x10-5 J 8. Tres capacitores (2, 5 y 7 F) estn conectados en serie, Cul es su capacitancia equivalente? Sol 1.19 F 9. Tres capacitores (2, 5 y 7 F) estn conectados en paralelo, Cul es su capacitancia equivalente? Sol 14 F


Unidad 3

Fsica II

4.1. IntroduccinEl trmino corriente elctrica o simplemente corriente se utiliza para describir la rapidez de flujo de la carga por alguna regin del espacio. La mayor parte de las aplicaciones prcticas de la electricidad se refieren a las corrientes elctricas. Por ejemplo, la batera de una lmpara suministra corriente al filamento de la bombilla (foco) cuando el interruptor se coloca en la posicin de encendido. Una gran variedad de aparatos domsticos funcionan con corriente alterna. En estos casos comunes, el flujo de carga se lleva a cabo en un conductor, como un alambre de cobre. Sin embargo, es posible que existan corrientes fuera del conductor. Por ejemplo, el haz de electrones en un cinescopio de TV constituye una corriente.

4.2. Definiciones

Corriente elctrica

Figura 4.1. Cargas en movimiento a travs de un rea A. La direccin de la corriente es en la direccin en la cual fluiran las cargas positiva. Siempre que cargas elctricas del mismo signo estn en movimiento, se dice que existe una corriente. Para definir la corriente con ms precisin, supongamos que las cargas se mueven perpendicularmente a un rea superficial A como en la figura 4.1. Por ejemplo, esta rea podra ser la seccin trasversal de un alambre. La corriente es la rapidez con la cual fluye la carga a travs de esta superficie. Si Q es la cantidad de carga que pasa a travs de esta rea en un tiempo t, la corriente promedio, Ip, es igual a la razn de la carga en el intervalo de tiempo:


Unidad 4

Fsica IIIp = Q t

Si la rapidez con que fluye la carga vara con el tiempo, la corriente tambin vara en el tiempo y se define la corriente instantnea, I, en el lmite diferencial de la expresin anterior: I = dQ dt La unidad de corriente en el SI es el ampere (A), donde: 1A = 1 C/s. Es decir, 1 A de corriente equivale a que 1 coulomb de carga que pase a travs de la superficie en 1 s. En la prctica con frecuencia se utilizan unidades ms pequeas de corriente, tales como el miliampere (1mA=10A) y el microampere (1A=106 A). Cuando las cargas fluyen a travs de la superficie en la figura 4.1, pueden ser positivas, negativas o ambas. Por convencin se escoge la direccin de la corriente como la direccin en la cual fluyen las cargas positivas. En un conductor como el cobre, la corriente se debe al movimiento de los electrones cargados negativamente. Por lo tanto, cuando hablamos de corriente en un conductor ordinario, como el alambre de cobre, la direccin de la corriente ser opuesta a la direccin del flujo de electrones. Por otra lado, si uno considera un haz de protones cargados positivamente en un acelerador, la corriente est en la direccin del movimiento de los protones. En algunos casos, la corriente es el resultado del flujo de ambas cargas positiva y negativa. Esto ocurre, por ejemplo, en los semiconductores y electrlitos. Es comn referirse al movimiento de cargas (positivas o negativas) como el movimiento de portadores de carga. Por ejemplo, los portadores de carga en un metal son los electrones.

Resistencia

Es la oposicin de un material al flujo de electrones. La resistencia R del conductor est dada por: R= V IIng. Ren Zahor Torres Becerra Unidad 4

Fsica IIDe este resultado se ve que la resistencia tiene unidades en el SI de volts por ampere. Un volt por un ampere se define como un ohm ( ): 1 = 1 V/A Es decir, si una diferencia de potencial de 1 volt a travs de un conductor produce una corriente de 1 A, la resistencia del conductor es 1 . Por ejemplo, si un aparato elctrico conectado a 120 V lleva corriente de 6 A, su resistencia es de 20 . Las bandas de colores en un resistor representan un cdigo que representa el valor de la resistencia. Los primeros dos colores dan los dos primeros dgitos del valor de la resistencia el tercer color es el exponente en potencias de diez de multiplicar el valor de la resistencia. El ltimo color es la tolerancia del valor de la resistencia. Por ejemplo, si los colores son naranja, azul, amarillo y oro, el valor de la resistencia es 36X104 o bien 360K , con una tolerancia de 18K (5%). Figura. 4.2.

4.2. Las bandas de colores en un resistor representan un cdigo que representa el valor de la resistencia. Cdigo de colores para resistores.


Unidad 4

Fsica II


Unidad 4

Fsica IIResistividad El inverso de la conductividad de un material se le llama resistividad p:

p =1 Resistividades y coeficientes de temperatura para varios materiales.

Densidad de corriente

Considrese un conductor con rea de seccin trasversal A que lleva una corriente I. La densidad de corriente J en el conductor se define como la corriente por unidad de rea. Como I = nqvdA, la densidad de corriente est dada por: J= I A


Unidad 4

Fsica IIdonde J tiene unidades en el SI de A/m2. En general la densidad de corriente es una cantidad vectorial. Esto es, J= nqvd Con base en la definicin, se ve tambin que la densidad de corriente est en la direccin del movimiento de las cargas para los portadores de cargas positivos y en direccin opuesta a la del movimiento de los portadores de carga negativos. Una densidad de corriente J y un campo elctrico E se establecen en un conductor cuando una diferencia de potencial se mantiene a travs del conductor. Si la diferencia de potencial es constante, la corriente en el conductor ser tambin constante. Con mucha frecuencia, la densidad de corriente en un conductor es proporcional al campo elctrico en el conductor. Es decir, J=E

Conductividad

Con mucha frecuencia, la densidad de corriente en un conductor es proporcional al campo elctrico en el conductor. Es decir, J=E donde la constante de proporcionalidad se llama la conductividad del conductor. Los materiales cuyo comportamiento se ajustan a la ecuacin anterior se dice que siguen la ley de Ohm, su nombre se puso en honor a George Simon Ohm.

4.3. Ley de OhmLa ley de Ohm afirma que para muchos materiales (incluyendo la mayor parte de los metales), la razn de la densidad de corriente al campo elctrico es una constante, , la cuales independiente del campo elctrico que produce la corriente.


Unidad 4

Fsica IIMateriales que obedecen la ley de Ohm, y por tanto demuestran este comportamiento lineal entre E y J, se dice que son ohmicos. El comportamiento elctrico de los muchos materiales es casi lineal con muy pequeos cambios en la corriente. Experimentalmente se encuentra que no todos los materiales tienen esta propiedad. Materiales que no obedecen la ley de Ohm se dicen ser no ohmicos. La ley de Ohm no es una ley fundamental de la naturaleza, sino una relacin emprica vlida slo para ciertos materiales. Una forma de la ley de Ohm que se utiliza de modo ms directo en las aplicaciones prcticas puede ser obtenida al considerar un segmento de un alambre recto de rea en la seccin trasversal A y longitud l. Una diferencia de potencial Va - Vb mantenida a travs del alambre, crea un campo elctrico en el alambre y una corriente. Si se supone que el campo elctrico en el alambre es uniforme, la diferencia de potencial V = Va - Vb se relaciona con el campo elctrico a travs de la relacin: V = El El inverso de la conductividad de un material se le llama resistividad p.

p= 1 Frmula para la resistencia R de un conductor

Frmula para la aplicacin de la Ley de Ohm. I= V R Ejemplo 4.1. La resistencia de un conductor


Unidad 4

Fsica IICalclese la resistencia de una pieza de aluminio de 10cm. de longitud que tiene un rea de seccin trasversal de 104 m. Reptase el clculo para una pieza de vidrio de resistencia 10 . m. Solucin Resistividad del aluminio = 2.82X108 Resistividad del vidrio = 10 - 104 La resistencia de la barra de aluminio es:

Del mismo modo, para el vidrio se encuentra que:

Como era de esperarse, el aluminio tiene una resistencia mucho menor que el vidrio. Por esta razn el aluminio es buen conductor y el vidrio es muy mal conductor. Ejemplo 4.2. La diferencia de potencial entre las terminales de un calentador elctrico es de 80V. Cuando la corriente es de 6 Amperios. Cual ser la corriente si el voltaje se incrementa a 120V. V1 =80V. I1= 6A. V2 =120V I2 = ? Solucin


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Fsica II

4.4. Potencia ElctricaSi una batera se utiliza para establecer una corriente elctrica en un conductor, existe una transformacin continua de energa qumica almacenada en la batera a energa cintica de los portadores de carga. Esta energa cintica se pierde rpido como resultado de las colisiones de los portadores de carga con el arreglo de iones, ocasionando un aumento en la temperatura del conductor. Por lo tanto, se ve que la energa qumica almacenada en la batera es continuamente transformada en energa trmica. Considrese un circuito simple que consista de una batera cuyas terminales estn conectadas a una resistencia R, como en la figura 4.3. La terminal positiva de la batera est al mayor potencial. Ahora imagnese que se sigue una cantidad de carga positiva Q movindose alrededor del circuito desde el punto a a travs de la batera y de la resistencia, y de regreso hasta el punto a. El punto a es el punto de referencia que est aterrizado y su potencial se ha tomado a cero. Como la carga se mueve desde a hasta b a travs de la batera su energa potencial elctrica aumenta en una cantidad V Q (donde V es el potencial en b) mientras que la energa potencial qumica en la batera disminuye por la misma cantidad. Sin embargo, como la carga se mueve desde c hasta d a travs de la resistencia, pierde esta energa potencial elctrica por las colisiones con los tomos en la resistencia, lo que produce energa trmica. Obsrvese que si se desprecia la resistencia de los alambres interconectores no existe prdida en la energa en las trayectorias bc y da. Cuando la carga regresa al punto a, debe tener la misma energa potencial (cero) que tena al empezar.


Unidad 4

Fsica II

4.3. Un circuito consta de una batera o fem E y de una resistencia R. La carga positiva fluye en la direccin de las manecillas del reloj, desde la terminal negativa hasta la positiva de la batera. Los puntos a y d estn aterrizados. La rapidez con la cual la carga Q pierde energa potencial cuando pasa a travs de la resistencia est dada por: U t Q t

=

V = IV

donde I es la corriente en el circuito. Es cierto que la carga vuelve a ganar esta energa cuando pasa a travs de la batera. Como la rapidez con la cual la carga pierde la energa es igual a la potencia perdida en la resistencia, tenemos: P = IV En este caso, la potencia se suministra a la resistencia por la batera. Sin embargo, la ecuacin anterior puede ser utilizada para determinar la potencia transferida a cualquier dispositivo que lleve una corriente I, y tenga una diferencia de potencial V entre sus terminales. Utilizando la ecuacin anterior y el hecho de que V=IR para una resistencia, se puede expresar la potencia disipada en las formas alternativas: P= IR = V R Cuando I est en amperes, V en volts, y R en ohms, la unidad de potencia en el SI es el watt (W). La potencia perdida como calor en un conductor de resistencia R se llama calor joule; sin embargo, es frecuentemente referido como una perdida IR. Una batera o cualquier dispositivo que produzca energa elctrica se llama fuerza electromotriz, por lo general referida como fem


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Fsica II

Ejemplo 4.3. Potencia en un calentador elctrico Se construye un calentador elctrico aplicando una diferencia de potencial de 110V a un alambre de nicromo cuya resistencia total es de 8?. Encuntrese la corriente en el alambre y la potencia nominal del calentador. Solucin Como V=IR, se tiene:

Se puede encontrar la potencia nominal utilizando P=IR: P = IR = (13.8 A) (8 ) = 1.52 kW

Si se duplicaran el voltaje aplicado, la corriente se duplicara pero la potencia se cuadruplicara.

4.5. Ley de JoulePodemos describir el movimiento de los electrones en un conductor como una serie de movimientos acelerados, cada uno de los cuales termina con un choque contra alguna de las partculas fijas del conductor. Los electrones ganan energa cintica durante las trayectorias libres entre choques, y ceden a las partculas fijas, en cada choque, la misma cantidad de energa que haban ganado. La energa adquirida por las partculas fijas (que son fijas solo en el sentido de que su posicin media no cambia) aumenta la amplitud de su vibracin o sea, se convierte en calor. Para deducir la cantidad de calor desarrollada en un conductor por unidad de tiempo, hallaremos primero la expresin general de la potencia suministrada a una parte cualquiera de un circuito elctrico.


Unidad 4

Fsica IICuando una corriente elctrica atraviesa un conductor, ste experimenta un aumento de temperatura. Este efecto se denomina efecto Joule. Es posible calcular la cantidad de calor que puede producir una corriente elctrica en cierto tiempo, por medio de la ley de Joule. Supongamos, como en un calentador elctrico, que todo el trabajo realizado por la energa elctrica es transformado en calor. Si el calentador funciona con un voltaje V y un intensidad I durante un tiempo t, el trabajo realizado es: W=VIt y como cada J equivale a 0,24 cal, la cantidad de calor obtenido ser: Q=0.24 VIt V debe medirse en volts, I en amperes y t en segundos, para que el resultado est expresado en caloras. La ley de Joule enuncia que: "El calor que desarrolla una corriente elctrica al pasar por un conductor es directamente proporcional a la resistencia, al cuadrado de la intensidad de la corriente y el tiempo que dura la corriente". Ejemplo 4.4. Un fabricante de un calentador elctrico porttil por inmersin, de 110V garantiza que si el calentador se sumerge en un recipiente lleno de agua sta hervir y en un minuto estar listo para hacer t. Calcule la potencia de salida del calentador. Que corriente fluir por l?. Cual su resistencia ? Suponga que el recipiente contiene 200 cm o sea 0.200kg de agua. Si la temperatura del agua disponible en el casa es de 10C la diferencia de temperatura para que hierva ser pT=90K. El suministro de energa calorfica que debe darse al agua est dado por:


Unidad 4

Fsica IIdonde c es la capacidad calorfica del agua expresada en joules y no kilocaloras. Como esta energa calorfica se transfiere al agua en un tiempo pt, la potencia de salida del calentador es:

Solucin El flujo de corriente por el calentador se puede determinar por la ecuacin P=Vi. As tenemos:

Mediante la ley de Ohm calculamos la resistencia, que es:

4.6. Leyes de KirchhoffEl anlisis de algunos circuitos simples cuyos elementos incluyen bateras, resistencias y condensadores en varias combinaciones, se simplifica utilizando las reglas de Kirchhoff. Estas reglas se siguen de las leyes de conservacin de la energa y de la carga. Un circuito simple puede analizarse utilizando la ley de Ohm y las reglas de combinaciones en serie y paralelo de resistencias. Muchas veces no es posible reducirlo a un circuito de un simple lazo. El procedimiento para analizar un circuito ms complejo se simplifica enormemente al utilizar dos sencillas reglas llamadas reglas de Kirchhoff : 1. La suma de las corrientes que entren en una unin debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de la unin. (una unin es cualquier punto del circuito donde la corriente se puede dividir).


Unidad 4

Fsica II2. La suma algebraica de los cambios de potencial a travs de todos los elementos alrededor de cualquier trayectoria cerrada en el circuito debe ser cero. La primera regla se establece de la conservacin de la carga. Es decir, cuanto corriente entre en un punto dado del circuito debe salir de ese punto, ya que la carga no puede perderse en ese punto. Si se aplica esta regla a la unin que se ve en la figura siguiente se obtiene.

I1 = I2 + I3 La segunda regla se deduce de la conservacin de la energa. Es decir, cualquier carga que se mueve en torno a cualquier circuito cerrado (sale de un punto y llega al mismo punto) debe ganar tanta energa como la que pierde. Su energa puede decrecer en forma de cada potencial -IR, a travs de una resistencia o bien como resultado de tener una carga en direccin inversa a travs de una fuente de fem. En una aplicacin prctica de este ltimo caso, la energa elctrica se convierte en energa qumica al cargar una batera; de manera similar, la energa elctrica puede convertirse en energa mecnica al hacer funcionar un motor. Existen limitaciones sobre el nmero de veces que pueden utilizarse la regla de nodos y la de mallas. La regla de nodos puede utilizarse siempre que sea necesario pero considerando que, al escribir una ecuacin, se incluya una corriente que no haya sido utilizada previamente en alguna ecuacin de la regla de nodos. En general, el nmero de veces que puede ser utilizada la regla de nodos es uno menos que el nmero de uniones (nodos) que tenga el circuito. La regla de la malla puede ser utilizada siempre que sea necesario en tanto que un nuevo elemento de circuito (resistencia o batera) o una nueva corriente aparezca en cada nueva ecuacin.


Unidad 4

Fsica IIEn general, el nmero de ecuaciones independientes que se necesiten debe ser al menos igual al nmero de incgnitas para tener una solucin al problema de un circuito particular. Circuitos complejos con varias mallas y uniones generan un gran nmero de ecuaciones linealmente independientes que corresponden a un gran nmero de incgnitas. Tales situaciones deben ser manejadas formalmente utilizando lgebra matricial. Se pueden hacer programas en computadora para determinar los valores de las incgnitas. Estrategia para la solucin de problemas: Reglas de Kirchhoff. 1. Primero, dibjese el diagrama del circuito y asgnense etiquetas y smbolos a todas las cantidades conocidas y desconocidas. Se debe asignar una direccin a la corriente en cada parte del circuito. No debe preocupar que no se asigne correctamente la direccin de la corriente; el resultado tendr signo negativo, pero la magnitud ser la correcta. Aun cuando la asignacin de la corriente es arbitraria, debe respetarse rigurosamente la direccin asignada cuando se apliquen las reglas de Kirchhoff. 2. Aplquese la regla de nodos (primera regla de Kirchhoff) a todas las uniones en el circuito en las cuales se obtengan relaciones entre varias corrientes. ! Este paso es fcil! 3. Ahora aplquese la segunda regla de Kirchhoff a tantas mallas en el circuito como sean necesarias para determinar las incgnitas. Al aplicar esta regla, deben identificarse correctamente los cambios de potencial de cada elemento al recorrer la malla (ya sea en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario). !cuidado con los signos! 4. Por ltimo, deben resolverse las ecuaciones simultneamente para las cantidades desconocidas. Es necesario ser cuidadoso en los pasos algebraicos y verificar que las respuestas numricas sean congruentes.


Unidad 4

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Problemas de la Unidad IV1. Una corriente fija de 0.5 A fluye a travs de un alambre. Cunta carga pasa a travs del alambre en un minuto? Dado que I = q/t, se tiene q = It = (0.5A)(60s) = 30 C (recuerde que 1 = 1C/s) 2. Cuntos electrones fluyen a travs de una bombilla cada segundo si la corriente a travs de la bombilla es de 0.75 A? Dado que I = q/t por lo tanto q = carga a travs de la bobilla en 1s =(0.75 A)(1 s) = 0.75 C Pero la magnitud de la carga en cada electrn es e = 1.6x10-19 C, por lo tanto:

3. Cierta bombilla tiene una resistencia de 240 cuando se enciende. Cunta corriente fluir a travs de ella cuando se conecta a 120 V, que es su voltaje de operacin nominal?

4. Un calentador elctrico utiliza 5 A cuando se conecta a una fuente de 110 V. Determnese su resistencia.

5. Cul es la cada de potencial a travs de una estufilla elctrica que consume 5 A cuando su resistencia de carga es de 24 ?

6. Una corriente de 3 A fluye por el alambre mostrado en la fig. Cul sera su lectura en un voltmetro si se conecta a) de A a B, b) de A a C, c) de A a D?


Unidad 4

Fsica IIa) El punto a tiene un potencial ms alto debido a que la corriente siempre fluye cuesta abajo por un resistor, Hay una cada de potencial de IR = (3A)(6) = 18V cuando va de a hacia b. por la tanto la lectura del voltmetro ser -18V. b) Al ir de b a c, se va del lado positivo al negativo de la batera; por lo tanto, hay una cada de potencial de 8V cuando se va de b hacia c. Esta cada se suma a la cada de 18V de a a b, encontrada en el inciso a), para dar una cada de 26V de a a c. La lectura del voltmetro ser -26V desde a hasta c. c) Yendo de c a d, hay primero una cada de IR = (3A)(3) =9 V cuando se pasa por el resistor. Despus, puesto que se va de la terminal negativa a la positiva de la batera de 7V, hay una elevacin de 7V cuando se pasa por la batera. El voltmetro conectado desde a hasta d marcar una lectura de : -18V 8V 9V + 7V = -28 V 7. Cul es la diferencia de potencial entre los puntos A y D en la figura. Qu punto tiene el potencial mayor?

Ntese primero que la corriente es la misma en cada parte de este circuito en serie. Recurdese tambin que la corriente para por el resistor, del potencial alto al bajo. Empiece por A y procdase en sentido inverso a las manecillas del reloj. Los cambios en el potencial desde A hasta D son como sigue: + (5 )(0.2 A) + 7 V + (3 )(0.2 A) 12 V = - 3.4 V Por lo tanto, el punto D est a 3.4 V ms abajo en potencial que el punto A. Comprobando esto tomando el sentido de las manecillas de reloj desde D se obtiene: + 12 (3)(0.2) 7 (5)(0.2) = 3.4 V 8. Calclese el trabajo y la potencia media requerida para transferir 96000 C de carga en una hora a travs de una elevacin del potencial de 50 V.


Unidad 4

Fsica II9. Cunta corriente consume una lmpara de 60 W cuando se conecta a su voltaje nominal de 120 V? De P = VI

10. Un motor elctrico consume 5 de una lnea de 110V. Determnese la potencia consumida y la energa, en J y kW.h, Suministradas al motor en 2 hrs.

11. Una plancha elctrica con una resistencia de 20 consume una corriente de 5 A. Calclese el calor, en Joules y en caloras desarrollado en 30 seg.

12. Una lnea que tiene una resistencia total de 0.2 entrega 10 kW a 250 V a una pequea fbrica. Cul es la diferencia de la transmisin?

13. Para cada circuito mostrado en la fig., determnese la corriente I a travs de la batera


Unidad 4

Fsica IIa) El de 3 y el de 7 estn paralelo; su resistencia equivalente R1, se encuentra de:

Entonces, la resistencia equivalente del circuito entero es:

Y la corriente de la batera es:

14. En la figura, la batera tiene una resistencia interna de 0.7 . Encuntrese a)la corriente que se drena de la batera, b) la corriente en cada resistor de 15 , c) el voltaje en las terminales de la batera

a) Resistencias agrupadas en paralelo R1

b) Mtodo 1 La combinacin de los tres resistores es equivalente a R1 = 5 . Una corriente de 4A fluye a travs de ella. As que la cp a travs de la combinacin es:


Unidad 4

Fsica IIsta tambin es la cp a travs de cada resistor de 15 . Por consiguente, la corriente a travs de cada resistor de 15 , es

Mtodo 2: En esta caso particular, se sabe que un tercio de la corriente circular a trevs de cada uno de los resistores de 15 . As es que:

c) Principiando en a y yendo hacia b, fuera de la batera: V de a hacia b = -(4A)(0.3)-(4A)(R1) = -(4A)(0.3)-(4A)(5 )= -21.2V La cp de las terminales de la batera es de 21.2V. O, para este caso podra escribirse, el de una batera descargndose,

Problemas suplementarios15. Cuando se prueba la resistencia del aislante entre la bobina del motor y la armadura, el valor obtenido es de un megaohm (106 ). Cunta corriente pasa a travs del aislante del motor, si el voltaje de prueba es de 1000 V? Sol 1 mA. 16. Un motor elctrico toma 15A a 110 V. Determnese a) la potencia consumida, b) el costo de operacin del motor durante 8 hrs. A razn de 10ctvs/kW.h Sol a)1.65 kW y b) $1.32 17. Para la situacin mostrada en la figura, encuntrese la corriente en cada resistencia y la corriente que se drena de la batera. Sol. a) I2 =20A, I5 =8A y I8 =5A b) 33 A


Unidad 4

Fsica II

5.1. IntroduccinEl fenmeno del magnetismo fue conocido por los griegos desde el ao 800 A.C. Ellos descubrieron que ciertas piedras, ahora llamadas magnetita (Fe3O4), atraan piezas de hierro. La leyenda adjudica el nombre de magnetita en honor al pastor Magnes, los clavos de sus zapatos y el casquillo (o punta) de su bastn quedaron fuertemente sujetos a un campo magntico cuando se encontraba pastoreando su rebao. En 1269 Pierre de Maricourt, mediante un imn natural esfrico, elabor un mapa de las direcciones tomadas por una aguja al colocarla en diversos puntos de la superficie de la esfera. Encontr que las direcciones formaban lneas que rodeaban a la esfera pasando a travs de dos puntos diametralmente opuestos uno del otro, a los cuales llamo polos del imn. Experimentos subsecuentes demostraron que cualquier imn, sin importar su forma, tiene dos polos, llamados polo norte y polo sur, los cuales presentan fuerzas que actan entre s de manera anloga a las cargas elctricas. Es decir, polos iguales se repelen y polos diferentes se atraen. En 1600 William Gilbert extendi estos experimentos a una variedad de materiales. Utilizando el hecho de que una aguja magntica (brjula) se orienta en direcciones preferidas, sugiere que la misma Tierra es un gran imn permanente. En 1750, John Michell (1724-1793) us la balanza de torsin para demostrar que los polos magnticos ejercen fuerzas de atraccin y repulsin entre s, y que estas fuerzas varan como el inverso del cuadrado de la distancia de separacin. Aun cuando la fuerza entre dos polos magnticos es similar a la fuerza entre dos cargas elctricas, existe una importante diferencia. Las cargas elctricas se pueden aislar (lo que se manifiesta en la existencia del protn y el electrn), mientras que los polos magnticos no se pueden separar. Esto es, los polos magnticos siempre estn en pares. Todos los intentos por detectar un polo aislado han fracasado. No importa cuntas veces se divida un imn permanente, cada trozo siempre tendr un polo norte y un polo sur.


Unidad 5

Fsica IILa relacin entre el magnetismo y la electricidad fue descubierta en 1819 cuando, en la demostracin de una clase, el cientfico dans Hans Oersted encontr que la corriente elctrica que circula por un alambre desva la aguja de una brjula cercana. Poco tiempo despus, Andr Ampere (1775-1836) obtuvo las leyes cuantitativas de la fuerza magntica entre conductores que llevan corrientes elctricas. Tambin sugiri que rbitas de corriente elctrica de magnitud molecular son las responsables de todos los fenmenos magnticos. Esta idea es la base de la teora moderna del magnetismo. En la dcada de 1820, se demostraron varias conexiones entre la electricidad y el magnetismo por Faraday e independientemente por Joseph Henry (17971878). Ellos comprobaron que se poda producir una corriente elctrica en un circuito al mover un imn cercano al circuito o bien variando la corriente de un circuito cercano al primero. Estas observaciones demuestran que un cambio en el campo magntico produce un campo elctrico. Aos despus, el trabajo terico realizado por Maxwell mostr que un campo elctrico variable da lugar a un campo magntico. 5.2. Definicin del campo magntico El campo elctrico E en un punto del espacio se ha definido como la fuerza por unidad de carga que acta sobre una carga de prueba colocada en ese punto. Similarmente, el campo gravitacional g en un punto dado del espacio es la fuerza de gravedad por unidad de masa que acta sobre una masa de prueba. Ahora se definir el vector de campo magntico B (algunas veces llamado induccin magntica o densidad de flujo magntico) en un punto dado del espacio en trminos de la magnitud de la fuerza que sera ejercida sobre un objeto de velocidad v . Por el momento, supongamos que no estn presentes el campo elctrico ni el gravitacional en la regin de la carga. Los experimentos realizados sobre el movimiento de diversas partculas cargadas que se desplazan en un campo magntico han proporcionado los siguientes resultados:


Unidad 5

Fsica II1. La fuerza magntica es proporcional a la carga q y a la velocidad v de la partcula. 2. La magnitud y la direccin de la fuerza magntica dependen de la velocidad de la partcula y de la magnitud y direccin del campo magntico. 3. Cuando una partcula se mueve en direccin paralela al vector campo magntico, la fuerza magntica F sobre la carga es cero. 4. Cuando la velocidad hace un ngulo con el campo magntico, la fuerza magntica acta en una direccin perpendicular tanto a v como a B; es decir, F es perpendicular al plano formado por v y B. (Fig. 5.1a) 5. La fuerza magntica sobre una carga positiva tiene sentido opuesto a la fuerza que acta sobre una carga negativa que se mueva en la misma direccin. (Fig. 5.1b) 6. Si el vector velocidad hace un ngulo con el campo magntico, la magnitud de la fuerza magntica es proporcional al sen . Estas observaciones se pueden resumir escribiendo la fuerza magntica en la forma: F = qv X B donde la direccin de la fuerza magntica est en la direccin de v X B, la cual por definicin del producto vectorial, es perpendicular tanto a v como a B.

Fig. 5.1. Direccin de la fuerza magntica sobre una partcula cargada que se mueve con velocidad v en presencia de un campo magntico. a). Cuando v forma un ngulo con B, la fuerza magntica es perpendicular a ambos, v y B. b). En presencia de un campo magntico, las partculas cargadas en movimiento se desvan como se indica por medio de las lneas punteadas.Ing. Ren Zahor Torres Becerra Unidad 5

Fsica II

La fuerza magntica es siempre perpendicular al desplazamiento. Es decir, F * ds = (F * v)dt = 0 Ya que la fuerza magntica es un vector perpendicular a v. De esta propiedad y del teorema de trabajo y energa, se concluye que la energa cintica de la partcula cargada no puede ser alterada slo por el campo magntico. en otras palabras " Cuando una carga se mueve con una velocidad v, el campo magntico aplicado slo puede alterar la direccin del vector velocidad, pero no puede cambiar la rapidez de la partcula ". Ejemplo 5.1. Un protn que se mueve en un campo magntico. Un protn se mueve con una rapidez de 8X10 elevado a 6 m/s a lo largo del eje x. Entra a una regin donde existe un campo de 2.5 T de magnitud, dirigido de tal forma que hace un ngulo de 60 con el eje de las x y est en el plano xy (Fig. 5.2.). Calclese la fuerza magntica y la aceleracin inicial del protn Solucin. De la ecuacin F = qvB sen se obtiene F = (1.6X1019C) (8X10a la 6 m/s) (2.5T) (sen 60) F = 2.77X10N Como vXB est en la direccin z positiva y ya que la carga es positiva, la fuerza F est en la direccin z positiva. Dado que la masa del protn es 1.67X107kg, su aceleracin inicial es

En la direccin z positiva.


Unidad 5

Fsica II

Fig. 5.2. La fuerza magntica F sobre un protn est en la direccin positiva del eje z cuando v y B se encuentra en el plano xy.

5.3. Ley de Biot-SavartPoco tiempo despues del descubrimiento de Oersted en 1819, donde la aguja de la brjula se desviaba a causa de la presencia de un conductor portador de corriente, Jean Baptiste Biot y Felix Savart informaron que un conductor de corriente estable produce fuerzas sobre un imn. De sus resultados experimentales, Biot y Savart fueron capaces de llegar a una expresin de la que se obtiene el campo magntico en un punto dado del espacio en trminos de la corriente que produce el campo.

Fig. 5.3. El campo magntico dB en el punto P debido a un elemento de corriente ds est dado por la ley de Biot-Savart. La ley de Biot-Savart establece que si un alambre conduce una corriente constante I, el campo magntico dB en un punto P debido a un elemento ds (Figura. 5.3.) tiene las siguientes propiedades:


Unidad 5

Fsica II1. El vector dB es perpendicular tanto a ds (el cual tiene la direccin de la corriente) como al vector unitario dirigido desde el elemento hasta el punto P. 2. La magnitud dB es inversamente proporcional a r, donde r es la distancia desde el elemento hasta el punto p. 3. La magnitud de dB es proporcional a la corriente y la longitud ds del elemento. 4. La magnitud de dB es proporcional a sen , donde es el ngulo entre el vector ds y . La ley de Biot-Savart puede ser resumida en la siguiente frmula:

donde Km es una constante que en SI de unidades es exactamente 107 Wb/A*m. La constante Km es por lo general escrita como 0/4 , donde 0 es otra constante, llamada permeabilidad del espacio libre. Es decir, 0 = 4 Km = 4 X 107 Wb/A*m Por lo que la ley de Biot-Savart, tambin puede escribirse como:

Es importante hacer notar que la ley de Biot-Savart proporciona el campo magntico en un punto dado para un pequeo elemento del conductor. Para encontrar el campo magntico total B en algn punto debido a un conductor para tamao finito, se deben sumar las contribuciones de todos los elementos de corriente que constituyen el conductor. Esto es, se debe evaluarse B por la integracin de la ecuacin anterior:

donde la integral se evala sobre todo el conductor, Esta expresin debe ser manejada con especial cuidado desde el momento que el integrando es una cantidad vectorial.


Unidad 5

Fsica IISe presentan rasgos similares entre la ley de Biot-Savart del magnetismo y la ley de Coulomb de la electrost tica. Es decir, el elemento de corriente I ds produce un campo magntico, mientras que una carga puntual q produce un campo elctrico. Adems, la magnitud del campo magntico es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el elemento de la corriente, como lo hace el campo elctrico debido a una carga puntual. Sin embargo, las direcciones de los dos campos son muy diferentes. El campo elctrico debido a una carga puntual es radial. En el caso de una carga puntual positiva, E est dirigido desde la carga hacia el punto del campo. Por otro lado, el campo magntico debido a un elemento de corriente es perpendicular tanto al elemento de corriente como al vector. Por lo que, si el conductor se encuentra en el plano del papel, como en la figura 5.3, dB est dirigido hacia afuera del papel en el punto P y hacia adentro del papel en el punto P. Ejemplo 5.2. Campo magntico de un conductor delgado rectilneo. Considrese un alambre conductor recto, muy delgado, que lleva una corriente I colocado a lo largo del eje x como en la figura 5.4. Se calcular el campo magntico en el punto P localizado a una distancia a del alambre. Solucin. El elemento ds est a un a distancia r de P. La direccin del campo en P debida a este elemento es hacia afuera del papel, ya que ds X r est hacia afuera del papel. De hecho, todos los elementos dan una contribucin dirigida hacia afuera del papel en P.


Unidad 5

Fsica II

Fig.5.4. a). Un segmento de alambre recto lleva una corriente I. El campo magntico en P debido a cada elemento ds est dirigido hacia afuera del papel, y por lo tanto el campo total tambin est dirigido hacia afuera del papel. b). Los ngulos lmite 1y 2 para esta geometra.

Por lo tanto, se tiene que determinar slo la magnitud del campo en P. Ahora, si se considera O como el origen y P situado sobre el eje y positivo, con k siendo el vector unitario dirigido hacia afuera del papel, se ve que

sustituyendo, dado que dB=kdB, con

Para integrar esta expresin, se deben relacionar de alguna manera las variables , x y r. Una forma de lograrlo es expresar x y r en trminos de .

De la geometra en la figura 5.4a y una simple diferenciacin, se obtiene la siguiente relacin:

Ya que tan

= -a/x del tringulo rectngulo de la figura 5.4a,


Unidad 5

Fsica IIPor consiguiente, se ha logrado reducir la expresin a una que implica slo a la varible . Ahora se puede obtener el campo magntico total en el punto P integrando sobre todos los elementos que subtienden ngulos comprendidos entre 1y 2 definidos como en la figura 5.4b. Esto da

Puede aplicarse este resultado para determinar el campo magntico de cualquier alambre recto si se conoce su geometra y tambin los ngulos 2. 1y

Considrese el caso especial de un alambre conductor delgado, infinitamente largo. En este caso, - cos 1=0y 2= , como puede verse en la figura 5.4b, para 11 - cos 2) = (cos 0 segmentos que van desde x = ) = 2, la ecuacin hasta x = +.. Como (cos

se convierte en

Ejercicio 1. Calclese el campo magntico de un alambre recto que lleva una corriente de 5A, a una distancia de 4cm del alambre. Respuesta. 2.5X10-5 T

5.4. Fuerza magntica entre conductoresComo una corriente en un conductor crea su propio campo magntico, es fcil entender que dos conductores que lleven corriente ejercern fuerzas magnticas uno sobre el otro. Como se ver, dichas fuerzas pueden ser utilizadas como base para la definicin del ampere y del coulomb. ConsidreseIng. Ren Zahor Torres Becerra Unidad 5

Fsica IIdos alambres largos, rectos y paralelos separados una distancia a y que llevan corriente I1 e I2 en la misma direccin, como se muestra en la figura 5.5. Se puede determinar fcilmente la fuerza sobre uno de los alambres debida al campo magntico producido por el otro alambre.

Fig. 5.5. Dos alambres paralelos que llevan cada uno una corriente estable ejercen una fuerza uno sobre el otro. El campo B2 en el alambre 1 debido al alambre 2 produce una fuerza sobre el alambre 1 dada por F1= I1l B2. La fuerza es atractiva si las corrientes son paralelas como se muestra y repulsiva si las corrientes son antiparalelas. El alambre 2, el cual lleva una corriente I2, genera un campo magntico B, en la posicin del alambre 1. La direccin de B2 es perpendicular al alambre, como se muestra en la figura. De acuerdo con la ecuacin F = I l X B, la fuerza magntica sobre una longitud l del alambre 1 es F1 = I1 l XB2. Puesto que l es perpendicular a B2, la magnitud de F1 esta dada por F1 = I1 l XB2. Como el campo debido al alambre 2 est dado por la ecuacin

Esto se puede reescribir en trminos de la fuerza por unidad de longitud como

La direccin de F1 es hacia abajo, hacia el alambre 2, ya que l XB2 es hacia abajo. Si se considera el campo sobre el alambre 2 debido al alambre 1, la fuerza F2 sobre el alambre 2 se encuentra que es igual y opuesta a F1. Esto esIng. Ren Zahor Torres Becerra Unidad 5

Fsica IIlo que se esperaba ya que la tercera ley de Newton de la accin-reaccin debe cumplirse. Cuando las corrientes estn en direcciones opuestas, las fuerzas son inversas y los alambres se repelen uno al otro. Por ello, se determina que: " Conductores paralelos que lleven corrientes en la misma direccin se atraen uno al otro, mientras que conductores paralelos que lleven corrientes en direcciones opuestas se repelen uno al otro ". La fuerza entre dos alambres paralelos que lleven corriente se utilizan para definir el ampere como sigue: " Si dos largos alambres paralelos separados una distancia de 1 m llevan la misma corriente y la fuerza por unidad de longitud en cada alambre es de 2 X 107 N/m, entonces la corriente que llevan se define como 1 A ". El valor numrico de 2 X 107 N/m se obtiene de la ecuacin anterior, con I1=I2=1A y a=1m. Por lo tanto, se puede emplear una medicin mecnica para normalizar el ampere. Por ejemplo, en la National Burea of Standars (Oficina Nacional de Normas) se utiliza un instrumento llamado balanza de corriente para normalizar otros instrumentos ms convencionales, como el ampermetro. La unidad de carga en l SI, el coulomb, puede ahora ser definido en trminos de ampere como sigue: " Si un conductor transporta una corriente estable de 1 A, entonces la cantidad de carga que fluye a travs de una seccin trasversal del conductor en 1s es 1 C ".

Fuerza sobre un alambre por el cual circula una corriente.

Cuando una corriente elctrica circula a travs de un conductor que a su vez se encuentra en un campo magntico, cada carga q que fluye por el conductor experimenta una fuerza magntica. Estas fuerzas se transmiten al conductor como un todo, y hacen que cada unidad de longitud del mismo experimente una fuerza. Si una cantidad total de carga Q pasa por la longitud l del alambre con una velocidad media promedio , perpendicular a un campo magntico B, la fuerza neta sobre dicho segmento de alambre es


Unidad 5

Fsica II

La velocidad media para cada carga que pasa por la longitud l en el tiempo t es l/t. Por ende, la fuerza neta sobre toda la longitud es

Si s rearegla y simplifica, se obtiene

donde: I representa la corriente en el alambre. Del mismo modo que la magnitud de la fuerza sobre una carga en movimiento vara con la direccin de la velocidad, la fuerza sobre un conductor por el cual circula una corriente depende del ngulo que la corriente hace con la densidad de flujo. En general si el alambre de longitud l hace un ngulo B, el alambre experimentar una fuerza dada por Ejemplo 5.3. El alambre de la figura 5.6. forma un ngulo de 30 con respecto al campo B de 0.2. Si la longitud del alambre es 8 cm y la corriente que pasa por l es de 4A, determnese la magnitud y direccin de la fuerza resultante sobre el alambre. con el campo

Fig. 5.6.


Unidad 5

Fsica IISolucin Al sustituir directamente en la ecuacin se obtiene

La direccin de la fuerza es hacia arriba como se indica en la figura 5.6. Si se invirtiera el sentido de la corriente, la fuerza actuara hacia abajo.

5.5. Leyes de circuitos magnticosPor lo comn se cree que el magnetismo de la metera es el resultado del movimiento de los electrones en los tomos de las sustancias. Si esto es cierto, el magnetismo es una propiedad de la carga en movimiento y est estrechamente relacionado con fenmenos elctricos. De acuerdo con la teora clsica, los tomos individuales de una sustancia magntica son, de hecho, pequeos imanes con polos norte y sur. La polaridad magntica de los tomos se basa principalmente en el espn de los electrones y se debe slo parcialmente a sus movimientos orbitales alrededor del ncleo. Los tomos en un material magntico se agrupan en regiones magnticas microscpicas llamadas dominios. Se considera que todos los tomos dentro de un dominio estn magnticamente polarizados a lo largo del eje cristalino. El magnetismo inducido suele ser solo temporal, y cuando el campo se suprime, paulatinamente los dominios se vuelven a desorientar. Si los dominios permanecen alineados en cierto grado despus de que el campo ha sido retirado, se dice que el material ha sido magnetizado permanentemente. Se llama retentividad a la capacidad para retener el magnetismo. Otra propiedad de los materiales magnticos que puede explicarse fcilmente mediante la teora de los dominios es la saturacin magntica. Parece que hay un lmite para el grado de magnetizacin que un material puede experimentar. Una vez que se llega a este lmite ningn campo externo de mayor intensidad


Unidad 5

Fsica IIpuede incrementar la magnetizacin. Se considera que todos los dominios han sido alineados. Cada lnea de induccin es una curva cerrada. Aunque no hay nada que fluya a lo largo de estas lneas, es til establecer una analoga entre las trayectorias cerradas de las lneas de flujo y un circuito cerrado conductor por el cual circula una corriente. La regin ocupada por el flujo magntico se denomina circuito magntico, del cual el ejemplo ms sencillo es el anillo de Rowland.

Fig. 5.7. Anillo de Rowland. Se ha visto que las lneas de flujo magntico son ms para un solenoide con ncleo de hierro que para un solenoide en aire. La densidad de flujo est relacionada con la permeabilidad del material que sirve como ncleo para el solenoide. La intensidad del campo H y la densidad e flujo B estn relacionadas entre s segn la ecuacin B = H Al hacer una comparacin de esta relacin se demuestra que para un solenoide

Ntese que la intensidad del campo magntico es independiente de la permeabilidad del ncleo; slo es funcin del nmero de vueltas N, la corriente I y la longitud L del solenoide. La intensidad magntica se expresa en amperes por metro. El campo magntico que se establece por una corriente en el devanado magnetizante se confina por completo al toroide. Este dispositivo es llamado frecuentemente anillo de Rowland debido a J.H.Rowland, quien lo utiliz para estudiar las propiedades de muchos materiales.


Unidad 5

Fsica IISupngase que se inicia el estudio de las propiedades magnticas de un material con un anillo de Rowland no magnetizado moldeado con la misma sustancia. Inicialmente, B=0 y H=0. El interruptor se cierra y la corriente

física ii

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