fisica cuantica julio gratton

iINTRODUCCIN A LAMECNICA CUNTICA

JULIO GRATTON

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PRLOGOLas presentes notas se basan en los apuntes que prepar en 2000 para el Curso de Fsica 4, yhacen pareja con Termodinmica e Introduccin a la Mecnica Estadstica. El estudiantedebera leer ambas pues son complementarias. Esta edicin ha sido ampliada considerablementerespecto de la versin primitiva. Usamos siempre las unidades gaussianas en el desarrollo de lateora. Sin embargo, al considerar ejemplos y al dar valores numricos se emplean a vecesunidades prcticas o que pertenecen a otros sistemas. Por lo tanto el lector debe tener el debidocuidado en el empleo de las frmulas.Existe una extensa bibliografa que el estudiante puede consultar con provecho. Si bien todos lostemas del programa de Fsica 4 se tratan en estas notas y en Termodinmica e Introduccin a laMecnica Estadstica, se recomienda a los estudiantes que consulten y lean otros textos, parafamiliarizarse con la literatura y dado que algunos temas se tratan en ellos con mayores detalles ocon enfoques diferentes. Asimismo, es fascinante conocer la historia de la Mecnica Cuntica,para apreciar cmo se fueron desarrollando los conceptos que se introducen en el Curso. Elalumno no debe desdear obras que se han escrito hace ya muchos aos, pues muchas de ellasson excelentes, y a veces mejores que otras ms recientes. Entre los innumerables libros que sehan escrito sobre la Mecnica Cuntica puedo indicar los siguientes:(a) de carcter introductorio:1. R. Eisberg y R. Resnik, Fsica Cuntica, Limusa2. L. R. Argello, Fsica Moderna, Answer Just in Time.3. J. C. Wilmott, Fsica Moderna, Limusa.4. R. Eisberg, Fundamentos de Fsica Moderna, Limusa.5. S. Borowitz, Fundamentals of Quantum Mechanics, Benjamin.6. R. H. Dicke y J. P. Wittke, Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley.7. R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol 3,

Quantum Mechanics, Addison-Wesley.8. F. Mandl, Quantum Mechanics, Butterworths.9. D. Park, Introduction to Quantum Theory, Mc Graw-Hill.10. S. Gasiorowicz, Quantum Physics, Wiley.(b) ms avanzados:11. G. Baym, Lectures in Quantum Mechanics, Benjamin.12. D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall.13. A. S. Davydov, Quantum Mechanics, Addison-Wesley.14. P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford.15. L. D. Landau y E. M. Lifschitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory), Addison-

Wesley.16. A. Messiah, Quantum Mechanics, Wiley.17. E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley.18. L. I. Schiff, Quantum Mechanics, Mc. Graw-Hill.(c) de carcter histrico, excelentes aunque requieren un buen conocimiento de la MecnicaCuntica para ser apreciados en todo su valor:19. A. Pais, Subtle is the Lord , Oxford.20. A. Pais, Inward bound, Oxford.

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21. A. Pais, Niels Bohrs times, Oxford.Tambin puede resultar provechoso consultar las diferentes voces en la EncyclopaediaBritannica, dado que han sido escritas por distinguidos especialistas, as como realizarbsquedas en la Web.Pido disculpas por las erratas que pueden haber quedado en en estas notas pese a la revisin yagradecer que se me ponga al corriente de las que fueran detectadas.Julio GrattonBuenos Aires, enero de 2003.

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INDICE1. Introduccin 1

2. Naturaleza atmica de la materia y la electricidad 3La hiptesis atmica 3Evidencias de la naturaleza atmica de la materia 3Pesos atmicos y la Tabla Peridica de los elementos 5La Teora Cintica 5Tamao de los tomos 6La atomicidad de la carga elctrica 7Los rayos catdicos 7El electrn 8El experimento de Millikan y la cuantificacin de la carga 8

3. Estructura atmica 10Cargas atmicas positivas 10La dispersin de rayos X y la cantidad de electrones de cada tomo 10El modelo atmico de Thomson 12Radioactividad 13La dispersin de partculas por los tomos y el fracaso del modelo de Thomson 13El modelo de Rutherford y el ncleo atmico 15La constante que est faltando 18

4. Radiacin, fotones y la constante de Planck 20Introduccin 20La teora de Planck de la radiacin de cuerpo negro 20El postulado de Planck 23El efecto fotoelctrico 23Teora cuntica de Einstein del efecto fotoelctrico 25El efecto Compton 27La emisin de rayos X 31Creacin y aniquilacin de pares 33La naturaleza dual de la radiacin electromagntica 35

5. La Teora Cuntica Antigua 37Introduccin 37El espectro atmico 37Los postulados de Bohr 38Teora de Bohr del tomo con un electrn 39El espectro de lneas de rayos X 43Refinamientos del modelo de Bohr 44El principio de correspondencia 48El experimento de Franck y Hertz 49Constantes fundamentales, consideraciones dimensionales y escalas 51Crtica de la Teora Cuntica Antigua 52

v6. Propiedades ondulatorias de la materia 53El postulado de Broglie 53Algunas propiedades de las ondas piloto 54El experimento de Davisson y Germer 56Interpretacin de la regla de cuantificacin de Bohr 57El principio de incerteza 58Interpretacin fsica de Heisenberg del principio de incerteza 62La relacin de incerteza entre la energa y el tiempo 63La dispersin de un paquete de ondas 64El principio de complementaridad 65

7. La teora de Schrdinger 68Introduccin 68La ecuacin de Schrdinger 68Interpretacin de la funcin de onda 70La ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo 72Cuantificacin de la energa en la teora de Schrdinger 73Valores esperados y operadores diferenciales 76Propiedades matemticas de operadores lineales en espacios funcionales 79

8. El formalismo de la Mecnica Cuntica 87Introduccin 87Propiedades de las funciones de onda y de las autofunciones de la energa 88Normalizacin en una caja 90Relaciones de conmutacin 90Autoestados de una variable dinmica 91Mediciones simultneas y operadores que conmutan 92Las relaciones de incerteza de Heisenberg 94Constantes del movimiento y ecuaciones del movimiento para operadores 95El lmite clsico 97Representacin coordenadas y representacin impulsos 98Transformaciones unitarias 100

9. Soluciones de la ecuacin de Schrdinger 103Introduccin 103La partcula libre 103El potencial escaln 106Penetracin de una barrera de potencial 110El oscilador armnico simple 114

10. Fuerzas centrales, momento angular y tomo de hidrgeno 118Introduccin 118Propiedades del momento angular 118Magnitud del momento angular 119Traslaciones y rotaciones infinitesimales y sus generadores 120Fuerzas centrales y conservacin del momento angular 121

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Energa cintica y momento angular 121Reduccin del problema de fuerzas centrales 122Dependencia angular de las autofunciones 123El problema de autovalores para Lz y la cuantificacin espacial 125Teora elemental del efecto Zeeman 125Autovalores y autofunciones de L2 126La ecuacin radial 131Estados ligados de tomos con un solo electrn 133

11. El Spin 138El momento angular intrnseco 138La evidencia espectroscpica 138La hiptesis de Uhlenbeck y Goudsmit 139El experimento de Stern y Gerlach 140El spin como una variable dinmica 142Los spinores y la teora del spin en forma matricial 144Spin y rotaciones 146Las matrices de Pauli 150Operadores de momento magntico y momento angular intrnseco 152

12. tomos con varios electrones, el Principio de Exclusin y la Tabla Peridica 156Descripcin de un tomo con varios electrones 156El mtodo del campo autoconsistente 159Propiedades de los elementos 161El Principio de Exclusin 164El Principio de Exclusin y la estructura atmica 165La unin qumica y otras interacciones entre tomos 170

13. Partculas idnticas 183La indistinguibilidad y la funcin de onda de un sistema de varias partculas idnticas 183Funciones de onda simtricas y antisimtricas 185Bosones y Fermiones 186Sistemas de partculas independientes 187El Principio de Exclusin de Pauli 188Las interacciones de intercambio 189El tomo de helio 196

14. Segunda cuantificacin 200Segunda cuantificacin de sistemas de Bosones 200Segunda cuantificacin de sistemas de Fermiones 213Ecuaciones de movimiento para operadores de campos de Fermiones y Bosones 219Conexin de la segunda cuantificacin con la Teora Cuntica de Campos 221El mtodo de Hartree-Fok 223

15. Las Estadsticas Cunticas 229El lmite clsico 229La funcin de particin de un sistema de partculas idnticas sin interaccin 230

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Las distribuciones de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac 232El gas perfecto de Bosones 233El gas de fotones y la radiacin de cuerpo negro 242La emisin y absorcin de fotones 246El gas perfecto de Fermiones 257El modelo de electrn libre de los metales 263El equilibrio de las enanas blancas 265

1. Introduccin

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1. INTRODUCCINLa Mecnica Cuntica se ocupa del comportamiento de la materia y la radiacin en las escalasatmica y subatmica. De esta forma procura describir y explicar las propiedades de las mol-culas, los tomos y sus constituyentes: electrones, protones, neutrones, y otras partculas msesotricas como los quarks y los gluones. Esas propiedades incluyen las interacciones de laspartculas entre s y con la radiacin electromagntica.El comportamiento de la materia y la radiacin en la escala atmica presenta aspectos peculia-res; de acuerdo con ello las consecuencias de la Mecnica Cuntica no siempre son intuitivas nifciles de entender. Sus conceptos chocan con las nociones que nos resultan familiares porquederivan de las observaciones cotidianas de la naturaleza en la escala macroscpica. Sin embargo,no hay razones en virtud de las cuales el comportamiento del mundo atmico y subatmico debaseguir las mismas pautas que los objetos de nuestra experiencia diaria.El desarrollo de las ideas bsicas de la Mecnica Cuntica comenz a principios del siglo pa-sado, como consecuencia de una serie de descubrimientos y observaciones que pusieron en evi-dencia las graves dificultades de la Fsica Clsica para interpretar las propiedades del tomo ysus partes constituyentes as como las propiedades de la radiacin electromagntica y su interac-cin con la materia. Esos descubrimientos revolucionaron las nociones hasta entonces sustenta-das por los fsicos y plantearon una asombrosa cantidad de enigmas, cuya solucin oblig a rea-lizar un profundo replanteo de los fundamentos y conceptos bsicos de la Fsica.El estudio de la Mecnica Cuntica es importante por varias razones. En primer lugar porquepone de manifiesto la metodologa esencial de la Fsica. En segundo lugar porque tuvo un xitoformidable ya que permiti dar respuestas vlidas a casi todos los problemas en los cuales se laha aplicado. En tercer lugar porque es la herramienta terica bsica para numerosas disciplinasde gran importancia, como la Qumica Fsica, la Fsica Molecular, Atmica y Nuclear, la Fsicade la Materia Condensada y la Fsica de Partculas.Subsiste, sin embargo, una curiosa paradoja alrededor de la Mecnica Cuntica. A pesar de sunotable xito en todas las cuestiones de inters prctico en las que se la ha aplicado, sus funda-mentos contienen aspectos an no aclarados en forma completamente satisfactoria. En particular,cuestiones relacionadas con el proceso de medicin.Una caracterstica esencial de la Mecnica Cuntica, que la diferencia de la Mecnica Clsica, esque en general es imposible por razones de principio, efectuar una medicin sobre un sistema sinperturbarlo. Pero los detalles de la naturaleza de esta perturbacin, y el punto exacto en que ellaocurre son asuntos an oscuros y controvertidos. Por estos motivos la Mecnica Cuntica atrajoalgunos de los ms brillantes cientficos del siglo XX, que han erigido con ella un majestuoso yelegante edificio intelectual.Este es un curso introductorio. Por lo tanto pondremos el nfasis sobre el desarrollo de los con-ceptos bsicos de la Mecnica Cuntica, sin entrar en los detalles de algunas tcnicas de clculoy formalismos, dado que estos temas se estudian en otros cursos.En los Captulos 2 a 4 de estas notas pasaremos revista a estos temas desde una perspectiva his-trica, y mostraremos que el comportamiento de las partculas atmicas y de la radiacin no sepuede describir adecuadamente mediante las nociones clsicas de partcula y onda. Estos con-ceptos, que derivan de la experiencia a nivel macroscpico, no son adecuados en la escala at-mica y por lo tanto deben ser abandonados y reemplazados por una nueva teora, que es preci-samente la Mecnica Cuntica. Por razones de espacio no entraremos en los detalles prcticos y

1. Introduccin

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tcnicos de los experimentos que contribuyeron a echar las bases de la Mecnica Cuntica y encambio sugerimos al lector que recurra a la bibliografa para satisfacer su natural curiosidad. Re-comendamos enfticamente que realice estas lecturas complementarias para adquirir una ade-cuada cultura cientfica.En el Captulo 5 presentamos a la Teora Cuntica Antigua, por su inters histrico y porqueconstituy, a pesar de sus falencias, el primer intento exitoso en resolver algunos de los proble-mas y paradojas surgidas del estudio del tomo.En los Captulos 6 y 7 introducimos las ideas fundamentales de la Mecnica Cuntica moderna,y en los siguientes Captulos desarrollamos el formalismo de la teora y mostramos su aplicacinpor medio de algunos ejemplos.Estas notas dejan de lado gran parte de las extensiones y aplicaciones de la Mecnica Cuntica.En particular, no tratamos ni la Mecnica Cuntica Relativstica, ni las Teoras de Campos.Tampoco incursionamos en las aplicaciones al ncleo atmico, a las partculas subnucleares y ala materia condensada.

2. Naturaleza atmica de la materia y la electricidad

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2. NATURALEZA ATMICA DE LA MATERIA Y LA ELECTRICIDAD

La hiptesis atmicaEl concepto del tomo, en la forma que fuera aceptado por lo cientficos desde 1600 hasta 1900,se bas en las ideas de filsofos griegos del siglo V AC. Fueron Leucippo de Mileto y su disc-pulo Demcrito de Abdera quienes originaron la filosofa atmica, introduciendo la nocin de unconstituyente ltimo de la materia, que denominaron tomo (es decir, indivisible en la lenguagriega). Demcrito crea que los tomos eran uniformes, slidos, duros, incompresibles e indes-tructibles y que se movan en nmero infinito por el espacio vaco; segn sus ideas, las diferen-cias de forma y tamao de los tomos determinaban las propiedades de la materia. Estas espe-culaciones fueron luego continuadas por Epicuro de Samos.Si bien la teora atmica griega es significativa del punto de vista histrico y filosfico, carecede valor cientfico, pues no se funda en observaciones de la naturaleza, ni en mediciones, prue-bas y experimentos. Para los griegos, la ciencia constitua tan slo un aspecto de su sistema filo-sfico, mediante el cual buscaban una teora general que explicara el Universo. Con este fin ellosusaban casi exclusivamente la matemtica y el razonamiento, cuando hablaban de la Fsica. Fueas que Platn y Aristteles atacaron la teora atmica sobre bases filosficas y no cientficas. Enefecto, mientras Demcrito crea que la materia no se poda mover en el espacio sin el vaco, yque la luz consista del rpido movimiento de partculas a travs del vaco, Platn rechazaba laidea que atributos como bondad o belleza fueran simplemente manifestaciones mecnicasde tomos materiales. Del mismo modo, Aristteles no aceptaba la existencia del vaco, pues nopoda concebir que los cuerpos cayeran con igual rapidez en un vaco. El punto de vistaAristotlico prevaleci en la Europa medioeval, y la ciencia de los telogos Cristianos se bas enla revelacin y la razn, motivo por el cual las ideas de Demcrito fueron repudiadas por consi-derrselas materialistas y ateas.

Evidencias de la naturaleza atmica de la materiaCon el Renacimiento dio comienzo la nueva ciencia experimental, y se pusieron en duda lospuntos de vista Aristotlicos hasta entonces dominantes. Tan pronto como Galileo expres sucreencia de la existencia del vaco (en 1638), los cientficos comenzaron a estudiar las propieda-des del aire y del vaco (parcial), para poner a prueba los mritos relativos de la ortodoxiaAristotlica y de la teora atmica. As fue que Robert Boyle en 1658 comenz sus estudios sis-temticos sobre la elasticidad del aire que lo llevaron a establecer en 1662 la Ley que lleva sunombre1. Como conclusin de sus experimentos, Boyle escribi que toda materia est consti-tuida por partculas slidas de una nica clase, dispuestas en molculas de modo de dar a losmateriales sus diferentes propiedades. Cuarenta aos despus, en 1704, Isaac Newton, en su li-bro Optiks, expuso su visin del tomo, semejante a las de Demcrito y de Boyle. Fue as comolas antiguas especulaciones acerca de una partcula dura e indivisible fueron lentamente reem-plazadas por una teora cientfica basada en resultados experimentales y en deducciones mate-mticas. Pero fueron necesarios ms de 2000 aos antes que los fsicos modernos comprendieranque el tomo es divisible, y que no es ni duro, ni slido, ni inmutable.

1 Redescubierta en 1672 en forma independiente por el fsico francs Edme Mariotte.


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En el curso del siglo XIX se acumul gran parte de la evidencia de que la materia est com-puesta por tomos. Recapitulamos brevemente los hitos ms relevantes.En primer lugar debemos citar algunas leyes de la qumica. Mencionamos en primer trmino laLey de las proporciones constantes, descubierta por Joseph Proust en 1794:

Ley de las proporciones constantes:cuando se unen elementos qumicos para formar un determinado compuesto, las propor-ciones en peso de los elementos que se combinan son siempre las mismas.

Dicha Ley fue extendida en 1808 por John Dalton, quien propuso la

Ley de las proporciones mltiples:cuando dos elementos se combinan de distintas formas para dar lugar a diferentes com-puestos, los pesos de uno de los dos elementos que se combinan con un peso definido delotro, guardan una relacin simple entre s.

La teora atmica permite explicar estas leyes. Toda cantidad macroscpica de algn elementoqumico consta de gran nmero de tomos de dicho elemento. Todos esos tomos tienen elmismo peso (o masa), que es caracterstico del elemento. Cuando dos elementos se combinanpara formar un compuesto, los tomos de los elementos se combinan en una proporcin simple,para dar lugar a una molcula del compuesto.Por ejemplo, si se forma xido cprico a partir de cobre y oxgeno, se encuentra siempre que63.5 g de cobre se combinan con 16 g de oxgeno. A partir de los mismos elementos tambin sepuede formar xido cuproso, pero en este caso 63.5 g de cobre siempre se combinan con 8 g deoxgeno. La hiptesis atmica explica estos hechos diciendo que los pesos atmicos del cobre yel oxgeno estn en la relacin 63.5:16, y que el xido cprico es CuO mientras que el xido cu-proso es Cu2O. Gracias a esta hiptesis tan simple se pudieron explicar cuantitativamente lospesos de combinacin que se observaron en qumica.Casi simultneamente, Joseph-Louis Gay Lussac (1808) encontr que en el estado gaseoso, noslo los pesos sino tambin los volmenes que participan en las reacciones qumicas siguen le-yes sencillas, siempre y cuando los gases se comporten segn las leyes de los gases ideales:

Ley de Gay-Lussac:en cada gas que se forma o se descompone, los volmenes de los gases componentes ycompuestos guardan relaciones simples entre s.

Si comparamos esta ley con las anteriores se llega a la conclusin que el volumen de un gas estrelacionado con el nmero de partculas del mismo, y como consecuencia de ello AmedeoAvogadro formul en 18112 la Ley que lleva su nombre:

Ley de Avogadro:volmenes iguales de distintos gases, en las mismas condiciones de temperatura y presin,contienen el mismo nmero de molculas.

Esta ley implica que, a una misma temperatura y presin, una cantidad de gas cuyo peso es igualal peso molecular3 ocupa siempre el mismo volumen especfico sin importar de que gas se trate.

2 El trabajo de Avogadro fue ignorado durante casi 50 aos, y su Ley fue aceptada por la comunidad cientfica

recin en 1858.


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A temperatura y presin normales, o sea 0 C y 1 Atm, este volumen es de 22.4 litros. El nmerode molculas en un mol4 se denomina nmero de Avogadro, y su valor es

N0 236 023 10= . (2.1)

El nmero de Avogadro se puede determinar de distintas maneras; la ms precisa se basa en me-dir las distancias atmicas por difraccin de rayos X.

Pesos atmicos y la Tabla Peridica de los elementosA medida que se descubrieron ms y ms elementos a lo largo del siglo XIX, los cientficos secomenzaron a preguntar qu relacin existe entre las propiedades fsicas de los elementos y supeso atmico. De esta forma, durante la dcada de 1860 se propusieron varios esquemas. En1869, el qumico Dmitry Ivanovich Mendeleyev introdujo la Tabla Peridica, basada sobre lospesos atmicos determinados a partir de la teora de Avogadro de las molculas diatmicas. En-contr que si se ordenaban a los elementos segn su peso atmico, se pona en evidencia unacaracterstica periodicidad de sus propiedades. Los elementos que tienen propiedades qumicassemejantes, o bien tienen pesos atmicos aproximadamente iguales (como ocurre con el grupoPt, Ir y Os), o bien tienen pesos atmicos que aumentan de manera uniforme (como K, Rb y Cs).Dejando de lado el Hidrgeno pues es anmalo, Mendeleyev orden5 los 63 elementos entoncesconocidos en seis grupos, de acuerdo con su valencia. Al observar que las propiedades qumicascambian gradualmente a medida que aumenta el peso atmico, Mendeleyev predijo la existenciade nuevos elementos en todos los casos en que haba un hueco en la secuencia de pesos atmi-cos de elementos consecutivos dentro del ordenamiento propuesto. Por lo tanto su sistema, ade-ms de ser una forma de clasificacin, sirvi tambin de herramienta para la investigacin. Almismo tiempo, la Tabla Peridica dej planteados interrogantes muy importantes para cualquierfutura teora del tomo: de dnde proviene el patrn de los pesos atmicos? cul es el origende la periodicidad de las propiedades qumicas de los elementos?

La Teora CinticaLa hiptesis atmica se fortaleci an ms debido al xito de la Teora Cintica, la cual trata losgases como compuestos por un nmero muy grande de molculas que se desplazan en el vacocon velocidades distribuidas al azar, cuya magnitud promedio se relaciona con la temperatura.De esta forma se pueden calcular las propiededes mecnicas y trmicas de los gases (ecuacin deestado, viscosidad, conductividad trmica, etc.) en trminos de la masa, el tamao y la velocidadde las molculas. El primero en desarrollar esta teora fue Daniel Bernoulli (1738), quien la em-ple para deducir la Ley de Boyle, basado en la idea que la presin se debe al choque de lasmolculas del gas con las paredes del recipiente que lo contiene. Sin embargo su trabajo fue re-chazado por ms de un siglo6. La teora fue vuelta a formular en forma independiente por John

3 Expresado (por ej.) en g.4 Un mol es la cantidad de sustancia cuyo peso es igual al peso molecular expresado en g.5 El nmero de orden de cada elemento dentro de la Tabla Peridica se denomina hoy nmero atmico, y como

veremos en el Captulo 3, es igual al nmero de electrones que posee el tomo.6 Fundamentalmente porque se daba ms crdito a las ideas de Newton, segn las cuales la presin se originaba

debido a una supuesta repulsin entre las molculas. Incluso los genios se equivocan!


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Herapath (1820) y por John James Waterston (1845) quien fue el primero en deducir la equi-particin de la energa. Sin embargo, estos trabajos corrieron la misma suerte que el de Bernoulliy fueron ignorados7. Recin despus de los trabajos de James Prescott Joule (1840), que desa-creditaron la Teora del Calrico al mostrar que el calor es una forma de energa, el caminoqued despejado para la aceptacin de la Teora Cintica. Fue as que Rudolf Clausius desarrollen 1857 la matemtica correspondiente, y luego James Clerk Maxwell y Ludwig EduardBoltzmann completaron su desarrollo alrededor de 1860.En este contexto corresponde mencionar un fenmeno que constituye una de las comprobacionesms evidentes de la hiptesis atmica. Si se suspende un objeto diminuto dentro de un gas,tambin es bombardeado por las molculas. Como el nmero de las molculas es finito, no seestablece un equilibrio exacto en cualquier instante y en consecuencia el objeto se mueve enforma aleatoria. Un botnico, Robert Brown, fue el primero (1828) en observar este fenmeno(que en su honor se denomina movimiento Browniano) al observar bajo el microscopio una sus-pensin de granos de polen en agua. Mucho tiempo despus, en 1908, Jean Perrin us el movi-miento Browniano para determinar el nmero de Avogadro, basado en la analoga entre las par-tculas suspendidas en el lquido y las molculas en la atmsfera8. La teora correspondiente ha-ba sido publicada por Albert Einstein y Marian Ritter von Smoluchowski en 1905. Luego deltrabajo de Perrin ya nadie cuestion la existencia de los tomos.

Tamao de los tomosLas primeras estimaciones modernas del tamao de los tomos fueron realizadas por JosephLotschmidt en 1865, y se basaron en los resultados de la Teora Cintica. No las comentaremosaqu. Ser suficiente decir que conociendo el nmero de Avogadro, podemos calcular el tamaode los tomos de un slido (por ejemplo un metal) si suponemos que estn ubicados uno junto alotro de modo que los tomos vecinos se tocan entre s. Si A es la masa atmica9 de la sustancia y su densidad, el radio r de un tomo est dado por

rN

=

12 0

1 3Al

/

(2.2)

Si se hace este clculo para varios elementos, desde el litio ( A = 7) al plomo ( A = 207) se en-cuentra que r vara entre 1.3x108 cm y 1.55x108 cm. De acuerdo con estas estimaciones todoslos tomos tienen un tamao del orden de 108 cm, es decir 1 . Otros mtodos, como la teoracintica, dan resultados semejantes. Se debe notar que no hemos definido con precisin lo quesignifica el radio de un tomo, y por lo tanto tenemos que tener cuidado con el uso de estetrmino; en particular no sabemos todava cmo vara la interaccin entre dos tomos como fun-cin de la distancia.

7 En esos tiempos estaba en boga la Teora del Calrico, motivo por el cual no se aceptaba la idea que el calor

estuviera relacionado con el movimiento de las molculas.8 La variacin de la densidad del aire con la altura depende del balance entre la gravedad (que tiende a hacer

descender las molculas) y la agitacin trmica (que tiende a expandir el aire). La relacin entre densidad y altura

para partculas Brownianas en suspensin obedece a un balance semejante.9 La masa atmica A es la masa de N0 tomos. El valor numrico de A, cuando se expresa en mltiplos enteros de la

masa del tomo de hidrgeno, se denomina nmero de masa y se indica con A.


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La atomicidad de la carga elctricaLos experimentos sobre la electrlisis realizados por Michael Faraday a partir de 1832 demostra-ron que la cantidad de sustancia liberada en un electrodo de una cuba electroltica por el paso deuna carga elctrica Q es proporcional a la masa equivalente de la sustancia (la masa atmica di-vidida por la valencia). La constante de proporcionalidad F se denomina Faraday, y se tiene:

M QvF

=A (2.3)

donde M es la masa liberada de la sustancia, Q es la carga transferida y v es la valencia. El valorde un Faraday es

F = 96500 C/mol equivalente (2.4)

El hecho que la masa liberada es estrictamente proporcional a la carga total transferida sugiereque la carga es transportada por los iones mismos. La hiptesis ms simple es que cada ion llevauna carga qv, es decir, un mltiplo de una carga elemental q. Entonces la carga necesaria paraliberar un mol es N0qv y por lo tanto, puesto que para un mol M = A , tendremos que

q F N= <


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El electrnJoseph John Thomson realiz varios experimentos en 1896-7 sobre un haz fino de rayos catdi-cos producido colimando los rayos que salen del orificio del nodo. Comprob que todos sondesviados por igual por un campo elctrico transversal a su trayectoria, y por el sentido de ladesviacin dedujo que todos tienen la misma carga negativa que indicamos con e, de modo quese trata de algn tipo de partcula. Estudiando la desviacin concluy que, si estas partculas tie-nen una masa m, resulta

mve

2= cte. (2.6)

Aplicando un campo magntico al haz de rayos catdicos observ una desviacin, a partir de lacual determin la relacin carga/masa de las partculas. El valor actualizado de esa relacin es:

em= ( . . )1 7598 0 0004 108 C/g (2.7)

Los experimentos de electrlisis permiten tambin calcular una relacin carga/masa. Si conside-ramos esta relacin para el elemento ms liviano, o sea el hidrgeno, resulta

QM

= 9 57 104. C/g (2.8)

Si comparamos la relacin carga/masa (2.7) con la (2.8) obtenemos

( / )( / )

.e mQ M

= 1 84 103 (2.9)

Por lo tanto, o las partculas de los rayos catdicos son mucho ms livianas que el tomo de hi-drgeno, o bien llevan una carga casi dos mil veces mayor a la del ion hidrgeno. Esta ltimahiptesis parece tan poco lgica que Thomson propuso que tanto las partculas de los rayoscatdicos como el ion de hidrgeno llevan cargas de igual valor absoluto y que las partculas delos rayos catdicos, que denomin electrones, son mucho ms livianas que los tomos.

El experimento de Millikan y la cuantificacin de la cargaEn realidad hasta ahora slo podemos afirmar que la carga promedio en la electrlisis est cuan-tificada, pues si bien supusimos que cada tomo lleva una carga qv, en realidad solo es necesariosuponer que la carga promedio vale qv. Del mismo modo, los experimentos de Thomson se po-dran explicar suponiendo que dentro de los tomos hay algn material especial con carga ne-gativa y con una relacin carga/masa sumamente elevada, y que en las descargas elctricas algu-nos fragmentos de ese material son emitidos por los tomos del gas o por el ctodo. Todava nohemos presentado pruebas concluyentes de que ese material especial slo puede existir en canti-dades discretas, a parte las deducciones que se pueden hacer a partir de la electrlisis.Las pruebas cruciales fueron aportadas por Robert A. Millikan, quien en 1909 estudi la cada enel aire por efecto de la gravedad de minsculas gotas cargadas elctricamente. Mediante un parde electrodos poda introducir un campo elctrico vertical y as estudi el movimiento de lasgotas, con y sin el campo elctrico. No vamos a reproducir aqu las frmulas (ver J. C. Wilmott,


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Fsica Atmica), pero se puede mostrar que de esta forma se puede calcular la carga de las gotasindividuales. Lo que encontr Millikan es que dichas cargas son siempre mltiplos enteros de lacarga ms pequea que puede llevar una gota. De este modo qued demostrado que la carga estcuantificada. El valor del cuanto de carga es

e = <

3. Estructura atmica

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3. ESTRUCTURA ATMICA

Cargas atmicas positivasDe acuerdo con los resultados reseados en el Captulo 2 sabemos que la materia est formadapor tomos cuyo radio es de unos 108 cm. Estos tomos estn constituidos, al menos en parte,por electrones. Puesto que son elctricamente neutros es obvio que la carga debida a los electro-nes que contienen debe estar equilibrada por una carga positiva igual.Adems de los rayos catdicos, en los experimentos con tubos de descarga se observaron part-culas con carga positiva que emanan del nodo, que fueron denominadas rayos positivos1. En1898 Wilhelm Wien investig estos rayos y encontr que tienen una relacin masa/carga ms de1000 veces mayor que la de los electrones. Puesto que esta relacin es comparable con la rela-cin masa/(carga del electrn) de los tomos residuales del tubo de descarga, se sospech quelos rayos positivos son iones (tomos cargados positivamente porque les faltan uno o ms elec-trones) provenientes del gas presente en el tubo. En 1913 Thomson refin el dispositivo de Wienpara separar los diferentes iones y medir sus relaciones masa/carga. As determin la presenciade iones de varios estados de carga (es decir, tomos que han perdido uno, dos, tres, , etc.electrones), que aparecan como diferentes trazas en una placa fotogrfica. Al realizar sus expe-rimentos con nen, observ que los haces de iones del mismo estado de carga producan dos tra-zas en vez de una. Los qumicos haban atribuido al Ne un numero de masa de 20.2, pero las tra-zas observadas por Thomson sugeran nmeros atmicos de 20.0 (la traza ms intensa) y 22.0 (lams dbil). Concluy entonces que el Ne consiste de una mezcla de dos variedades, que deno-min istopos2: la ms abundante, 20Ne (con nmero de masa 20.0) y la ms escasa 22Ne (denmero de masa 22.0). Ms tarde se descubri un tercer istopo, el 21Ne, que tambin est pre-sente en cantidades diminutas3. Estos resultados demostraron que la hiptesis de Dalton, quetodos los tomos de un dado elemento tienen la misma masa, est en error. La tcnica deThomson fue perfeccionada por Francis W. Aston, quien desarroll el espectrgrafo de masa en1919 y lo utiliz para analizar cerca de 50 elementos en los aos siguientes, lo que le permitidescubrir que la mayora tienen istopos.En conclusin, no hay ninguna evidencia de que en el tomo exista una partcula positiva equi-valente al electrn. Por lo tanto la carga positiva est de alguna manera (no trivial) asociada conla masa del tomo.

La dispersin de rayos X y la cantidad de electrones de cada tomoLas pruebas que los tomos de una dada especie contienen un nmero definido de electronesprovienen de los experimentos sobre dispersin de rayos X.

1 A veces tambin llamados rayos canales. Fueron descubiertos por Eugen Goldstein en 1886.2 El trmino istopo proviene del griego y significa igual lugar. Se refiere al hecho que las variedades del mismo

elemento ocupan igual lugar en la Tabla Peridica, pues tienen (casi exactamente) las mismas propiedades qumi-

cas. Ya en 1886 Crookes avanz la idea que todos los tomos tienen pesos atmicos enteros y que los elementos

cuyos nmeros de masa tienen valores no enteros son en realidad mezclas. Asimismo, la existencia de istopos fue

sospechada por Frederick Soddy en 1910, al estudiar los productos del decaimiento radioactivo del torio.3 Hoy sabemos que de cada 1000 tomos de Ne, 909 son de 20Ne, 88 son 22Ne y 3 son 21Ne.


11

Los rayos X fueron descubiertos por Wilhelm Conrad Roentgen en 1895, al realizar experimen-tos de descargas en gases. Cuando la diferencia de potencial entre el ctodo y el nodo es de al-gunos kV, al ser bombardeado por los electrones, el nodo emite una radiacin penetrante que sedenomin radiacin X. En poco tiempo se pudo mostrar que los rayos X son radiacin electro-magntica de longitud de onda muy corta, debido a que

Los rayos X se producen cuando electrones energticos impactan sobre un objeto s-lido. En estas circunstancias los electrones sufren una violenta desaceleracin, y deacuerdo con la teora electromagntica un electrn acelerado o desacelerado emiteradiacin.

Haga y Wind encontraron en 1899 que los rayos X se difractan al pasar por una ren-dija muy fina, lo que muestra que son un fenmeno ondulatorio. El tamao de lafigura de difraccin indica que la longitud de onda es del orden de 108 cm.

En 1906 Charles Glover Barkla mostr que los rayos X se pueden polarizar, lo que in-dica que son ondas transversales.

En 1912 Max von Laue desarrollo una tcnica para medir la longitud de onda de losrayos X, basada en la difraccin por una red cristalina.

Cuando la radiacin electromagntica incide sobre una partcula cargada, sta oscila por efectodel campo elctrico de la onda, y al ser acelerada emite radiacin. La intensidad total de la radia-cin emitida por una carga acelerada est dada por la frmula

R e ac

=23

2 2

3 (3.1)

donde e es la carga, a es la aceleracin, c la velocidad de la luz y estamos usando unidadesGaussianas. Aqu lo que nos interesa es que la energa emitida es proporcional al cuadrado de laaceleracin. En un campo elctrico E, la aceleracin de una carga es eE m/ , de modo que lacantidad de energa dispersada por la carga es proporcional a e m4 2/ . Puesto que la masa de loselectrones es mucho menor que la de los dems constituyentes del tomo, es obvio que la disper-sin de los rayos X por los tomos se debe esencialmente a los electrones.Es posible entonces usar la dispersin de rayos X para estimar el nmero de electrones de untomo, siempre y cuando la longitud de onda de los rayos X que se emplean sea menor que ladistancia entre los electrones, pues en este caso las oscilaciones de los diferentes electrones casinunca estarn en fase (suponemos que las distancias que separan a los electrones no siguen unpatrn regular). En este caso las radiaciones emitidas por los diferentes electrones son incohe-rentes y podemos sumar sus intensidades. La intensidad total de la radiacin dispersada es en-tonces proporcional al nmero de electrones. Hay un segundo requisito que se debe cumplir, estoes, que la frecuencia de los rayos X sea mucho mayor que cualquiera de las frecuencias naturalesde oscilacin de los electrones dentro del tomo, de modo que podamos tratar los electronescomo si fueran libres. Esto, en la prctica, significa que la longitud de onda de los rayos X debeser bastante menor que 108 cm. Con estas hiptesis (omitimos los detalles del clculo4) J. J.Thomson mostr que la intensidad total de la radiacin difundida por un electrn bajo la influen-cia de una onda electromagntica de intensidad I es

4 Ver por ejemplo W. Panofsky y M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley.


12

R I emcT T

= =

=


13

que el modelo de Thomson predice que el nmero de partculas dispersadas en ngulos gran-des es despreciable. Pero el experimento desminti esta prediccin, y la explicacin de las ob-servaciones llev a Rutherford a proponer el modelo nuclear, segn el cual el tomo est cons-tituido por un pequeo ncleo central donde est concentrada la carga positiva y casi toda lamasa, rodeado por electrones en movimiento, de forma que el conjunto es totalmente neutro.

RadioactividadEntre 1896 y 1898 Antoine-Henri Becquerel, Pierre Curie y Maria Curie (Maria Sklodowska)descubrieron que algunos elementos pesados como el uranio y el torio emiten espontneamenteradiaciones penetrantes, capaces de velar una placa fotogrfica. Haciendo pasar un haz colimadode estas radiaciones a travs de un campo magntico, se encontraron tres componentes quefueron denominados radiacin , y . Los rayos no son desviados por el campo magntico, loque indica que no tienen carga elctrica; en cambio, los rayos y se desvan, mostrando quelos primeros tienen carga positiva y los segundos, negativa. Estos experimentos se realizaronbajo vaco. Introduciendo aire en el dispositivo, se observ que bastan pocos centmetros de airepara detener la radiacin , pero no las otras dos componentes. Interponiendo lminas dedistintos espesores se encontr que pocos mm de un material denso son suficientes para detenerla radiacin ; en cambio, la radiacin slo disminuye apreciablemente si se interpone unbloque de plomo de varios cm de espesor. Actualmente sabemos que la radiacin estcompuesta por electrones de gran energa5, y que los rayos son radiacin electromagntica delongitud de onda extremadamente corta. La naturaleza de las partculas fue descubierta porRutherford, quien encontr que se trata de tomos de Helio doblemente ionizados6.Al estudiar la radioactividad del torio, Rutherford y Frederick Soddy descubrieron en 1902 quela radioactividad est asociada con profundos cambios dentro del tomo, que lo transforman enun elemento distinto. Encontraron que el torio produce continuamente una sustancia qumica-mente diferente, que es intensamente radioactiva. Si el elemento as producido se separa del to-rio, desaparece con el correr del tiempo, dado que a su vez se transmuta en otro elemento.Observando este proceso, Rutherford y Soddy formularon la ley del decaimiento exponencial,que establece que en cada unidad de tiempo, decae una fraccin fija del elemento radioactivo.El descubrimiento de la radioactividad y la transmutacin de los elementos oblig a los cien-tficos a modificar radicalmente sus ideas sobre la estructura atmica, pues demostr que eltomo no es ni indivisible ni inmutable. En vez de ser simplemente un receptculo inerte quecontiene electrones, se vio que el tomo puede cambiar de forma y emitir cantidades prodigiosasde energa. Adems, las radiaciones mismas sirvieron de instrumento para investigar el interiordel tomo.

La dispersin de partculas por los tomos y el fracaso del modelo de ThomsonSi se hace incidir un haz colimado de partculas sobre una hoja delgada (por ej. una lmina deoro de 104 cm de espesor) se observa que casi todas la atraviesan con una leve prdida de ener-ga, y que la mayora son desviadas menos de 1 desde su direccin original. Sin embargo, unapequea fraccin sufre desviaciones mayores y alrededor de una en cada 104 se desva en 90 o

5 No siempre los rayos llevan carga negativa; algunas sustancias radioactivas emiten positrones, de modo que enese caso los rayos llevan carga positiva.6 Se recomienda al alumno leer en la bibliografa citada la descripcin de estos experimentos.


14

ms. Estos fueron los resultados de los experimentos realizados por Rutherford y sus colabora-dores Hans Geiger y Ernest Marsden en 1911. Vamos a ver ahora el significado de dicho resul-tado.Al atravesar la lmina, las partculas de hecho atraviesan los tomos. En su trayectoria sondesviadas por los campos elctricos debidos a las cargas internas de los tomos. Correspondeaclarar que en este caso el efecto de los electrones es despreciable, debido a su masa muy pe-quea (aproximadamente 104 veces la masa de las partculas ): es fcil estimar que el orden demagnitud del ngulo de mxima desviacin en una colisin entre una partcula y un electrnatmico es de apenas 104 radianes. En consecuencia se pueden ignorar las colisiones con loselectrones y basta considerar los efectos de las cargas atmicas positivas.De acuerdo con el modelo de Thomson, los tomos constan de cargas positivas esfricas de unos108 cm de radio, con los electrones distribuidos en su interior. Estas esferas estn densamenteempaquetadas en la lmina, por lo tanto si sta tiene 104 cm de espesor, la partcula atravesaraproximadamente 104 tomos. Se trata entonces de un problema de dispersin mltiple, y la des-viacin final de la partcula es la suma de las desviaciones producidas por cada tomo queatraves. Estas desviaciones tienen sentidos distribuidos al azar, de modo que podemos estimarla probabilidad de que ocurra una determinada desviacin final si conocemos la desviacin pro-medio debida a cada tomo. Se trata de un problema anlogo al del paseo al azar y para nues-tro propsito es suficiente una estimacin grosera de las magnitudes de inters.Consideremos el choque de una partcula cuya carga es ze ( z = 2 ) y cuya cantidad de movi-miento es p mv= con una esfera de carga positiva Ze y radio R. Suponiendo que el ngulo q dedesviacin es pequeo, podemos escribir

q 5 =6 6pp

F tp

(3.8)

Podemos estimar la fuerza F como zZe R2 2/ y el tiempo que dura la colisin como 6t R v5 / .Obtenemos entonces

q 5 ZeER

2(3.9)

donde E es la energa cintica de la partcula . Sustituyendo en (3.9) los valores tpicos en estosexperimentos ( Z = 80 , e 5


15

\ \rms n= ( ) =2 1 2/ q (3.12)

Los resultados experimentales de Rutherford y sus colaboradores mostraron que entre 0 y 3 la(3.11) describe correctamente la dispersin de las partculas , con un valor de \rms 5 1 , lo queimplica una desviacin promedio por tomo de 0 01 1 5 10 4. .5 < radianes. De modo que en laregin de desviaciones pequeas, la concordancia con la prediccin del modelo es excelente.Pero se presenta una grave discrepancia para las desviaciones grandes, pues el experimentomuestra que alrededor de 1 de cada 104 partculas se desva en 90 o ms. En cambio, la (3.11)predice, por ejemplo, que la probabilidad que la desviacin sea mayor que 10 es de 2x1022. Enconsecuencia, el modelo de Thomson no describe correctamente las desviaciones en ngulosgrandes.El problema no tiene arreglo posible. Si, por ejemplo, disminuimos el radio R de la carga posi-tiva para as aumentar , (pues q |1/ R), al disminuir el tamao de los tomos disminuye el n-mero n de colisiones (pues n R| 2) y en consecuencia \rms se mantiene constante, independien-temente de R. La conclusin es que la dispersin mltiple nunca puede producir las desviacionesa grandes ngulos que se observan.Claramente, la condicin \rms = cte. vale solo para radios tales que n >> 1. Para radios muy pe-queos puede haber una sola colisin, y entonces el ngulo de desviacin es el que correspondea un nico evento. La ec. (3.9) sugiere que esto podra ocurrir para R 5


16

Se puede ignorar el efecto de los electrones.Nosotros para simplificar la discusin vamos a suponer adems que el ncleo est fijo en el refe-rencial del laboratorio y por brevedad citaremos los resultados sin dar la demostracin, ya que lamisma se puede encontrar desarrollada en la bibliografa citada y en la mayora de los textos deMecnica. Suponemos que la lmina tiene una espesor d, y que hay n tomos por unidad de vo-lumen. La geometra de la colisin se indica en la Fig. 3.1. El ncleo est fijo en el origen y lapartcula se aproxima desde la derecha con velocidad inicial v. Si no hubiera desviacin, lapartcula pasara a una distancia p del ncleo. La distancia p se denomina parmetro de impacto.Despus de la dispersin la partcula se ha desviado en un ngulo y tiene la velocidad final v f .Dado que el ncleo se supone inmvil, tendremos que | | | |v v= =f v , y como se conserva el mo-mento angular, es sencillo verificar que

cot( / )q 2 2 2=Ep

zZe(3.13)

donde E mv= 2 2/ es la energa dela partcula incidente. Como en unchoque frontal la mxima distan-cia de acercamiento es

a zZeE

=2

(3.14)

podemos escribir la (3.13) como

cot( / ) /q 2 2= p a (3.15)

A partir de estos resultados es fcilmostrar que la probabilidad porunidad de ngulo slido de queuna partcula de energa E sea

dispersada en un ngulo es:

dPd

nd zZeE

nda( ) csc ( / ) csc ( / )q q q1

=

=16

216

22 2

42

4 (3.16)

donde d d1 = 2/ q qsen . La (3.16) es la famosa frmula de dispersin de Rutherford. Se puedeobservar que el nmero de partcula dispersadas es proporcional a Z2, de modo que el estudio dela dispersin de partculas permite determinar Z, un dato que no se conoca bien en su tiempo,pues slo se saba que Z A5 / 2 gracias a los resultados de la dispersin de rayos X.Las predicciones de la (3.16) fueron verificadas en 1913 por Geiger y Marsden y confirmaron demodo sorprendente dicha frmula, y as convalidaron el modelo atmico de Rutherford. Co-rresponde tambin mencionar que la (3.16) vale tambin en el marco de la Mecnica Cuntica.

Dispersin hacia adelantePara analizar la aplicacin de la frmula de Rutherford a los experimentos de dispersin de par-tculas es preciso aclarar primero algunas cuestiones. Se puede ver de la (3.16) que cuando

q

Fig. 3.1. Dispersin de una partcula _ por un ncleo.

q + dq p p + dp

dq


17

es muy pequeo, dP d( ) /q 1 es mayor que la unidad, y tiende al infinito para q A 0 . Clara-mente los experimentos indican que esto no ocurre. Pero debemos tener en cuenta que no tene-mos derecho de extender la validez de la (3.16) a valores muy pequeos de , porque en ese casono se cumplen nuestras hiptesis bsicas: primero porque no se puede ignorar el efecto de loselectrones, segundo porque no es cierto que la desviacin total es el resultado de una nica co-lisin. El principal efecto de los electrones (adems de ocasionar ellos mismos dispersionesmltiples) es el de apantallar la carga nuclear, de forma que una partcula que pasa lejos delncleo no experimenta toda la repulsin Coulombiana del mismo. Si bien por ahora no sabemoscmo es la distribucin de carga debida a los electrones, lo que s sabemos es que a una distanciadel ncleo del orden del radio atmico R, el apantallamiento es completo y por lo tanto las part-culas que inciden con parmetros de impacto mayores que R no experimentan desviacin. Si elnmero de tomos por unidad de rea del blanco es bajo, de manera que nd R/ 2 1< , entonces laprobabilidad de dispersin es menor que la unidad. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, conblancos gaseosos de poco espesor (un blanco gaseoso de 1 cm de espesor a 102 mm Hg contieneaproximadamente 4x1014 tomos/cm2, luego nd R/ 2 0 15 . ). En cambio cuando nd b/ 2 1> ocurredispersin mltiple. En este caso, la probabilidad total de dispersin no es igual a la probabilidadde dispersin por tomo multiplicada por el nmero de tomos en el blanco, pues una vez queuna partcula ha chocado una vez, los choques subsiguientes no aumentan la probabilidad dedispersin sino que solamente modifican la desviacin, como ya se vio anteriormente. Por lotanto, para lminas metlicas, la distribucin angular de las partculas dispersadas vara concontinuidad desde la distribucin de Rutherford para ngulos grandes hasta la distribucin dedispersin mltiple para ngulos pequeos, de modo tal que la probabilidad total de dispersines siempre igual o menor que la unidad.

El tamao del ncleoLa frmula de Rutherford (3.16) se obtuvo suponiendo que el ncleo y las partculas soncargas puntuales. Esta aproximacin vale siempre y cuando la distancia de mximo acerca-miento sea mayor que el radio del ncleo. En consecuencia se puede decir que el radio del n-cleo debe ser seguramente menor que el valor ms pequeo del acercamiento mximo para elcual la (3.16) da todava el valor correcto del nmero de partculas dispersadas.En la dispersin de las partculas emitidas por el radio ( E = 5 3. MeV ) por un blanco de cobre(para el cual Z = 29, como se deduce a partir del nmero de partculas dispersadas) se observque la ley (3.16) vale hasta 180. En este caso de la (3.14) se deduce que

a =


18

la carga electrnica, es decir el nmero Z, es igual (dentro del error experimental) al nmeroatmico del elemento8.Por todo ello Rutherford propuso un modelo en el que el tomo est formado por un ncleo conuna carga positiva igual a Ze, alrededor del cual giran Z electrones, de manera que su movi-miento equilibra dinmicamente la atraccin Coulombiana que sobre ellos ejerce el ncleo. Laextensin del movimiento electrnico determina que el tamao del tomo sea de aproximada-mente 108 cm. Este concepto sugiere que las propiedades qumicas de un elemento estn deter-minadas por el nmero de electrones de sus tomos (y no por la masa atmica, como se pensabahasta entonces), y tambin sugiere que deben existir elementos para todos los valores posibles deZ, hasta que Z se hace demasiado grande y el ncleo se vuelve inestable pues probablemente yano puede mantener ms carga positiva en su interior.Sin embargo, es evidente que el modelo todava es incompleto y presenta serias fallas. En primerlugar no se da todava ninguna idea acerca de cmo los electrones determinan las propiedadesqumicas. En segundo lugar tampoco se explica porqu todos los tomos de una misma especietienen aparentemente el mismo tamao, y adems, porqu los tomos de especies muy distintastienen casi exactamente el mismo tamao. Comentaremos este asunto en la siguiente Seccin.Por ltimo, el modelo enfrenta una objecin an ms grave: al girar alrededor del ncleo, loselectrones sufren una aceleracin continua y por lo tanto deberan irradiar ondas electromagn-ticas y perder energa, y en consecuencia caer en espiral hacia el ncleo. Veremos ms adelanteque la solucin de esta dificultad requiere abandonar la fsica clsica.

La constante que est faltandoConsideremos el caso ms sencillo, el del tomo de Hidrgeno, pues es suficiente para entenderla esencia de la dificultad de explicar los tamaos atmicos. Supongamos que el electrn giraalrededor del ncleo en una rbita circular. La fuerza centrpeta es la fuerza de Coulomb y por lotanto tendremos

mvr

er

2 2

2= (3.18)

que nos da la relacin

rv em

22

= (3.19)

En esta ecuacin r puede tener cualquier valor, pues la (3.19) slo nos dice que si escalamos rpor un factor k2 es necesario escalar v por el factor k


19

r emce> = 2/ h/ ,

12

12

1 3 4 52

22 2h /,

, , , , ,n

nH

kR

nn= =

5. La Teora Cuntica Antigua

38

donde

RH =


39

La teora de Bohr tiene gran sencillez matemtica y concuerda cuantitativamente con los datosespectroscpicos del hidrgeno. Sin embargo, los postulados sobre los cuales se basa parecenartificiosos. Son los siguientes:

Postulados de Bohr: El electrn se mueve en una rbita circular alrededor del ncleo bajo la influencia de la

atraccin Coulombiana de ste, obedeciendo las leyes de la mecnica clsica. Dentro de las infinitas rbitas clsicas, el electrn se mueve slo en aquellas en las que

el momento angular orbital L tiene los valores L n nh= =h / 2/ , donde n = 1 2 3, , , . Cuando el electrn se mueve en una rbita permitida, no irradia energa electromagn-

tica a pesar de ser acelerado constantemente y por lo tanto su energa total E perma-nece constante.

Un electrn que se mueve inicialmente en una rbita de energa Ei puede cambiar dis-continuamente su movimiento y pasar a moverse en otra rbita de energa Ef ; cuandoesto ocurre se emite un fotn cuya frecuencia es i =


40

Puesto que la fuerza de Coulomb es central, se conserva el momento angular

L m vre= = cte. (5.6)

Reemplazando en (5.5) tenemos

Ze Lm re

22

= (5.7)

Despejando r obtenemos

r Lm Zee

=2

2 (5.8)

Aplicando la regla de cuantificacin

L n n= = h , , , ,1 2 3 (5.9)

donde hemos definido

h > h / 2/ (5.10)

encontramos que las rbitas permitidas tienen radios dados por

r nm Zen e

=2 2

2h (5.11)

que son proporcionales al cuadrado del nmero cuntico n. La rbita ms pequea ( n = 1) deltomo de hidrgeno ( Z = 1) tiene un radio igual a

r am ee

1 0

2

280 529 10= > = =


41

v e c12

82 2 10= = = h_ . cm/s (5.15)

que es menos del 1% de la velocidad de la luz, por lo tanto est bien haber usado en nuestrosclculos la mecnica clsica no relativstica.Calculemos la energa total del electrn:

E T V m v Zer

m vn n n e nn

e n= + = < = h // 2 (hC es la longitud de onda Compton del electrn, ec. (4.58)). Las ecuaciones(5.17) y (5.21) contienen las predicciones principales de la teora de Bohr.Veamos primero la emisin de radiacin por un tomo de Bohr. Las ecuaciones mencionadasnos dicen lo siguiente: El estado normal del tomo es el de mnima energa o sea el estado con n = 1, que se suele

denominar estado fundamental o estado base. Puesto que no hay otro estado con energa


42

menor, este estado es estable. El radio de la rbita correspondiente (ec. (5.12)) determina eltamao del tomo (con un solo electrn), que resulta ser del orden de magnitud correcto.

En determinadas circunstancias el tomo puede absorber energa (por causa de las colisiones,como ocurre en una descarga elctrica, o por otro mecanismo), pasando a un estado de ener-ga mayor, con n > 1.

El tomo emite ese exceso de energa, obedeciendo la tendencia comn de todos los sistemasfsicos, y regresa al estado fundamental. Esto se consigue mediante una serie de transicionesen las que el electrn pasa sucesivamente a estados de energa ms baja, hasta que final-mente llega al estado fundamental.

En la gran variedad de procesos de excitacin y desexcitacin que ocurren en la fuente de luzcuyo espectro se est registrando se producen todas las transiciones posibles y por lo tanto seemite el espectro completo. A partir de la ec. (5.17) podemos calcular los nmeros de ondade todas las lneas del espectro. Es fcil verificar que de esa manera se obtienen las frmulasde las series de Lyman, Balmer, Paschen, etc. (Fig. 5.3). El valor de R' concuerda con elvalor experimental de la constante de Rydberg.

Ese fue el gran triunfo de la teora de Bohr, muynotable porque cuando fue formulada an no seconocan las series de Lyman, Brackett y Pfund.Estas series fueron predichas por la teora y llevanel nombre de quienes fueron los primeros en ob-servarlas.La teora tambin funcion bien en el caso deltomo con Z = 2 y un electrn (helio ionizadouna vez).Asimismo, las propiedades del espectro de absor-cin se pueden entender por medio de la teora deBohr. Puesto que el electrn slo puede estar enuno de los estados permitidos, puede absorbernicamente cantidades de energa iguales a lasdiferencias de energa entre los estados permiti-dos. La absorcin es el proceso inverso de la emi-sin y por lo tanto las longitudes de onda absor-bidas son iguales a las de las lneas emitidas. Nor-malmente el tomo que absorbe est en el estadofundamental; por eso generalmente en el espectrode absorcin del tomo de hidrgeno se observanslo las lneas de la serie de Lyman. Pero si el gasest a una temperatura muy alta, parte de los to-mos pueden estar en el primer estado excitado conn = 2 , y en tal caso se observan tambin las lneasde absorcin de la serie de Balmer. La tempera-

tura necesaria se puede estimar a partir de la distribucin de Boltzmann, y es fcil ver que debeser del orden de los 105 K.

Fig. 5.2. Niveles de energa del tomo dehidrgeno de acuerdo con la teora deBohr.

E(eV)

12

10

8

6

4

2

0

1

2

34

'

n


43

Fig. 5.3. Origen de las cinco series espectrales conocidas del tomo dehidrgeno de acuerdo con la teora de Bohr.

E(eV)

12

10

8

6

4

2

0

1

2

34

'

n

Lyman

Balmer

Brackett

Paschen

Pfund

El espectro de lneas de rayos XEs oportuno mencionar aqu las investigaciones de Henry G. J. Moseley sobre las lneas espec-trales de rayos X de elementos pesados, que influyeron sobre la teora que estamos presentandoya que Bohr se mantuvo al corriente de las mismas. Moseley se bas en los trabajos de Barkla, ypara medir las longitudes de onda de los rayos X utiliz las tcnicas de difraccin sobre cristalesdesarrolladas por Sir Lawrence Bragg y su hijo William. Comparando los rayos X emitidos pordiferentes elementos, encontr que tienen frecuencias caractersticas que varan de acuerdo conun patrn regular. Sin embargo, la diferencia de frecuencia no est gobernada por la diferenciade masa entre los elementos, sino por la diferencia entre las cargas elctricas de sus ncleos, esdecir, las diferencias entre los respectivos nmeros atmicos1.Sin entrar en mayores detalles, podemos decir que el espectro de lnea de rayos X se debe a tran-siciones de los electrones ms internos de un tomo. Para ellos, la carga nuclear no est apanta-llada por los dems electrones (que se mueven en rbitas de radio mayor), por lo tanto se puedeaplicar la frmula (5.17) que obtuvimos en la Seccin precedente. En la terminologa de rayosX, los niveles de energa correspondientes a n = 1 2 3, , , se denominan K, L, M, En su primer experimento de 1913, Moseley estudi los rayos X de la serie K (asociada con lastransiciones al nivel de energa K) para los elementos hasta el Zn y el ao siguiente extendi susinvestigaciones hasta el Au, usando las lneas de la serie L (transiciones al nivel L). Las frmulas 1 Fue precisamente Moseley quien introdujo el trmino nmero atmico para designar a Z.


44

que obtuvo para las frecuencias se relacionan muy estrechamente con las frmulas de Bohr paratomos con un solo electrn, y muestran que las frecuencias son proporcionales a Z2. As, lasseries K y L son anlogas a las series de Lyman y de Balmer del tomo de hidrgeno.La regularidad de las diferencias en las frecuencias del espectro de rayos X permiti a Moseleyordenar por nmero atmico todos los elementos desde el Al hasta el Au. Pudo observar as queen algunos casos el orden dado por los pesos atmicos es incorrecto. Por ejemplo, el peso at-mico del Co es mayor que el del Ni, pero sus nmeros atmicos son 27 y 28, respectivamente.Cuando Mendeleyev construy su Tabla Peridica se tuvo que basar en los pesos atmicos, perocoloc al Cu y el Ni en el orden inverso (es decir, el orden correcto de acuerdo con Z) para quesus propiedades qumicas encajaran mejor.En algunos lugares de la Tabla Peridica, Moseley encontr diferencias en Z mayores que launidad, y predijo correctamente la existencia de elementos an no descubiertos. Puesto que hayun nico elemento para cada Z, los cientficos pudieron finalmente confiar en la completitud dela Tabla Peridica.

Refinamientos del modelo de BohrMencionaremos brevemente varias correcciones y perfeccionamientos del modelo de Bohr.

Correccin por masa nuclear finitaEl hecho que el ncleo tiene una masa finita se puede tener en cuenta fcilmente si en todas lasecuaciones de la Seccin anterior en lugar de la masa del electrn se emplea la masa reducidadel sistema electrn-ncleo, dada por

=+

m Mm M

e

e(5.22)

La frmula para los nmeros de onda se escribe ahora

k R Zm n

m nm n M, ,= < = 1 (5.43)

La ec. (5.43) se denomina regla de seleccin.

El principio de correspondenciaLa existencia de reglas de seleccin no se explica por medio de la teora que hemos desarrolladohasta ahora y por ese motivo, buscando darles una justificacin terica, Bohr introdujo en 1923un postulado adicional:

Principio de correspondencia: Para todo sistema fsico, las predicciones de la teora cuntica deben corresponder a las

predicciones clsicas para valores grandes de los nmeros cunticos que especifican alsistema.

Una regla de seleccin vale para cualquier valor del nmero cuntico n correspon-diente. Por lo tanto toda regla de seleccin que se aplica en el lmite clsico (n grande)se aplica tambin en el dominio cuntico (n pequeo).

Es obvio que las predicciones de la teora cuntica deben corresponder a las predicciones clsi-cas en aqul lmite en que el sistema se comporta clsicamente. La primera parte del principio decorrespondencia expresa que ese lmite se encuentra en el dominio de los nmeros cunticosgrandes, y se apoya en hechos conocidos, como por ejemplo que la teora de Rayleigh-Jeans delespectro del cuerpo negro concuerda con la teora de Planck para pequeo. A partir de la ec.(4.11) se ve que

lim lim /i ii

iA A= vv (regin III), donde V x E( ) < > 0 y por lo tanto s xx > 0 , yv < < vvx x x (regin II), donde V x E( ) < < 0 y entonces s xx < 0 .

Comencemos por integrar la (7.30) en ladireccin positiva de x a partir del puntox0 , asignando los valores iniciales des ( )x0 y s x x( )0 . Dada la linealidad de laecuacin (7.30) podemos siempre fijars ( )x0 1= , de modo que el nico parme-tro que podemos variar para obtener unasolucin aceptable es s x x( )0 .De acuerdo a lo dicho, en la regin II es cncava hacia abajo donde s > 0 ycncava hacia arriba donde s < 0 . Luego oscila y se mantiene acotada.En la regin III, en cambio, es cncavahacia arriba donde s > 0 y cncava hacia

abajo donde s < 0 . Entonces se dispara hacia +' (si es positiva) como en la curva (a) de laFig. 7.2, o hacia (si es negativa) como en la curva (b), y en ambos casos, tanto ms rpida-mente cuanto mayor es s . Por supuesto ninguno de estos comportamientos es aceptable. Sola-mente para un nico valor s x IIIx( )0 de s x x( )0 se encontrar una que tenga un comporta-

miento aceptable como el de la curva(c). En este caso tiende asinttica-mente al eje x, y cuanto ms se apro-xima a l, tanto menor es su concavi-dad, de modo que no se vuelve haciaarriba. Cuando se resuelve numrica-mente el problema, s x IIIx( )0 se de-termina por prueba y error.Al integrar la (7.30) desde x0 en ladireccin negativa de x, en la regin Isucede lo mismo que en la regin III:en general se dispara hacia +' ohacia , salvo para un nico valors x Ix( )0 de s x x( )0 , que da un com-portamiento aceptable para xA

7. La teora de Schrdinger

75

comportamiento de todas ellas es semejante, mientras que en la regin II se observa que s1( )xno se anula nunca, s 2( )x tiene un nodo, s 3( )x tiene dos nodos, y as sucesivamente.

De la Fig. 7.3 y de la ec. (7.30) se puedever que E E2 1> . Consideremos el puntox0 donde s s1 2( ) ( )x x= . De la Fig. sereconoce que

( ) ( )s s2 10 0xx x xx x> (7.31)

de modo que

V x E V x E( ) ( )0 2 0 1< > < (7.32)

y por lo tanto E E2 1> . De manera se-mejante se puede ver que E E3 2> , etc.Debe quedar claro que las diferencias deenerga ( ), ( ),E E E E2 1 3 2< < etc.

no son infinitesimales, porque las diferencias entre las derivadas segundas de en x0 son fini-tas. Por lo tanto los valores permitidos de la energa estn bien separados y forman un conjuntodiscreto.Resulta entonces que la energa de una partcula cuya energa potencial es independiente deltiempo est cuantificada, pues slo para un conjunto discreto de valores E E E1 2 3, , , de laenerga (que se denominan niveles de energa) hay soluciones aceptables de la ecuacin deSchrdinger independiente del tiempo.

Lo dicho vale siempre y cuando el valorde la energa total sea tal que haya dospuntos de retorno. Si V x( ) es tal como semuestra en la Fig. 7.1, esto es cierto siE V< 1, donde V1 es el valor lmite quealcanza V cuando xA +' ; en este casohay en general un nmero finito3 de ni-veles discretos de la energa para loscuales E V< 1 (Fig. 7.4).Cuando E V> 1 la situacin es diferente,pues hay un nico punto de retorno (elpunto vx ), que divide el eje x en las re-giones I ( x x< v) y II ( x x> v). Puesto queen la regin II se cumple que

V x E( ) < < 0 , la oscila y se mantiene finita para xA +' . Pero nuestra discusin anteriormuestra entonces que para cualquier valor de E ( E V> 1) se puede siempre elegir un valor

3 Puede haber excepciones cuando la energa potencial se aproxima muy lentamente al valor lmite, porque en ese

caso la separacin entre los niveles de energa se hace muy pequea a medida que nos aproximamos a V1, y si eso

ocurre puede haber infinitos niveles discretos de energa por debajo de V1. Un ejemplo importante es el de la energa

potencial Coulombiana, que tiende muy lentamente al valor lmite V1 = 0.

Fig. 7.3. Las tres primeras soluciones aceptables dela ecuacin de Schrdinger independiente del tiem-po en un caso tpico.

x' x

s1(x)

x"0

s3(x)

s2(x)

x0

Fig. 7.4. Niveles permitidos de energa en un casotpico.

x

Continuo

V1

E

E3E2E1


76

s x Ix( )0 de s x x( )0 , tal que tenga un comportamiento aceptable para xA


77

p x t p x t dx= 0


78

it m x

V x th h,,

,,

= < +2 2

22( , ) (7.43)

Esta ecuacin entre operadores implica que para toda funcin de onda ^ ( , )x t se cumple que

i x tt m

x tx

V x t x th h,,

,,

^ ^ ^( , ) ( , ) ( , ) ( , )= < +2 2

22(7.44)

que es la ecuacin de Schrdinger (7.9). Esto implica que postular las relaciones (7.39) y (7.40)entre las variables dinmicas y los correspondientes operadores es equivalente a postular laecuacin de Schrdinger. Esta fue en realidad la va que sigui Schrdinger para obtener suecuacin, y es un mtodo poderoso para obtener la ecuacin de Schrdinger en casos ms com-plicados que los que discutimos hasta ahora.Aplicando la (7.39) en la (7.36) obtenemos la expresin del valor esperado del impulso:

p i x t x tx

dx= < GH


79

Propiedades matemticas de operadores lineales en espacios funcionalesComo acabamos de ver, en la Mecnica Cuntica las variables dinmicas se representan por me-dio de operadores. Por lo tanto conviene repasar algunas propiedades de los operadores, que va-mos a presentar sin pretensin de rigor matemtico.Al calcular la norma de la funcin de onda y los valores esperados de variables dinmicas nosencontramos con expresiones del tipo

j d o j d* ( , )dD0 > (7.49)

que se suelen llamar producto interno o producto escalar de las funciones y , por analogacon el producto escalar ordinario de dos vectores. La integral se efecta sobre el dominio D delas variables de que dependen las funciones. Por ejemplo, en las (7.45), (7.48) la variable de in-tegracin es x y la integral va de a +; en tres dimensiones podramos tener d dx dy dzo = obien d r dr d do e e q= 2sen (en este caso la integral sobre r va de 0 a , la integral sobre va de0 a y la integral sobre va de 0 a 2), u otras expresiones segn el sistema de coordenadasusado. Para tener expresiones compactas usaremos la notacin ( , )j d para indicar el productoescalar. Daremos por sobreentendido que las funciones j d c , , , , etc. son de cuadrado inte-grable y satisfacen oportunas condiciones en el contorno de D, y por ahora supondremos que eldominio D de integracin en (7.52) es finito. Ms adelante veremos como proceder cuando D esinfinito.

Producto escalar, norma y ortogonalidadEl producto escalar o producto interno ( , )j d de dos funciones y (en este orden) es un n-mero complejo y se cumple que

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , )*d j j d d c d c d = + = +a b a b (7.50)

donde a, b son dos nmeros complejos cualesquiera. La norma N de una funcin de define como

N > ( , )j j (7.51)

La norma es siempre real y positiva, salvo para la funcin nula j = 0 para la cual N = 0 . Unafuncin se dice normalizada cuando su norma es 1:

( , )j j = 1 (7.52)

Dos funciones y se dicen ortogonales cuando su producto escalar es nulo:( , )j d = 0 (7.53)

Sistema ortonormalUna serie de Fourier es un caso especial de expansin de una funcin arbitraria en serie de fun-ciones ortogonales. Pasaremos revista a las propiedades generales de esas expansiones.Sea un conjunto finito (o infinito numerable) de funciones


80

1 2 3, , , (7.54)

definidas en D. El conjunto se dice ortonormal (ortogonal y normalizado) si se cumple

( , ) , bi j ij i j= para todo (7.55)

Queremos representar una funcin f arbitraria de cuadrado integrable definida en D medianteuna serie de las j . Primero supongamos que la serie tiene un nmero finito n de trminos de laforma

v = -=

f an j jj

n

1(7.56)

donde los aj son coeficientes numricos. Usaremos como criterio de la bondad de la aproxi-macin el de minimizar la norma de la diferencia entre f y vfn , (el error standard); pediremosentonces que

M f f f fn n n= < v < v( , ) (7.57)

sea mnimo. Con algunos clculos que omitimos por brevedad se encuentra que el mnimo setiene cuando

a fj j= ( , ) (7.58)

y en ese caso el error standard es

M f f an jj

n= < -

=( , )

2

1(7.59)

Puesto que por definicin Mn es no negativo, se obtiene la desigualdad de Bessel

( , )f f ajj

n* -

=

2

1(7.60)

Si el conjunto (7.54) es infinito, podramos esperar que al tomar n ms y ms grande se obtengauna serie que represente cada vez mejor a f. Esta expectativa intuitiva es correcta, siempre ycuando el conjunto ortonormal (7.54) sea completo. El sistema (7.54) se dice completo cuandopara cada nmero positivo arbitrariamente pequeo existe un entero finito n n0 0= ( ) , tal quepara todo n n> 0 se cumple que Mn < . En ese caso, se dice que la serie

v = -=

'f aj j

j

1 , (7.61)

con los coeficientes dados por la (7.58), converge en la media a f, y se escribe

f aj jj

= -=

'

1(7.62)


81

La igualdad (7.62) se debe interpretar que significa que la serie del miembro derecho es igual a fcasi en todas partes6 del dominio D. En general no es trivial demostrar que un dado conjuntoortonormal es completo. Nosotros vamos a suponer, cuando sea necesario, que los sistemas or-tonormales que nos interesan son efectivamente completos.

El mtodo de ortogonalizacin de SchmidtHasta ahora hemos supuesto que el sistema ortonormal j est asignado. En realidad para hacerexpansiones alcanza con que las funciones del sistema sean linealmente independientes. Pero esms cmodo trabajar con un sistema ortonormal. Por lo tanto es til tener un procedimiento sis-temtico para ortogonalizar un conjunto de funciones f j linealmente independientes. A conti-nuacin describimos el mtodo de Schmidt.Sea N1 la norma de f1. La primera funcin ortonormal es entonces

11

11

=N

f (7.63)

La segunda funcin ortonormal es

22

2 1 1 21

= < = h , [ , ]z p zp p z iz z z> < = h (8.22)

Todos los dems productos de las coordenadas cartesianas y sus impulsos conjugados son con-mutativos, esto es xy yx= , xp p xy y= , p p p px y y x= , etc.

Autoestados de una variable dinmicaComo veremos en breve, el hecho que x y px no conmutan est vinculado con la relacin de in-certeza entre x y px , es decir con la imposibilidad de tener valores bien definidos de ambas va-riables dinmicas. Como primer paso para encontrar esa relacin, vamos a determinar los esta-dos de un sistema para los cuales una variable dinmica F representada por el operadorHermitiano F tiene un valor bien definido, es decir, los estados ^ f en los cuales al medir F ob-tenemos con certeza un cierto valor f. Es fcil verificar que para que eso ocurra, debe ser unaautofuncin de F. En efecto, ^ f debe satisfacer la condicin:

F F ff f= =( , )^ ^ (8.23)

y la condicin

6 ^ ^ ^ ^^ ^

F F F F F F f

F f F ff f f f

f f

2 2 2 2

0

= < = < = el espectro de la energa es continuo y cada autovalorE V> es doblemente degenerado.

Partcula que viene desde la izquierda

Para una partcula que llega desde la izquierda debemos tener D > 0 , de modo que si E V> las(9.35) se reducen a

A B C kA kB k C+ = < = v, (9.36)

Resolviendo este sistema obtenemos

BA

k kk k

CA

kk k

=< v+ v

=+ v

, 2 (9.37)

El coeficiente de reflexin del po-tencial escaln se define como elcociente entre la corriente refle-jada y la corriente incidente:

R v Bv A

k kk k

= =< v+ v

| || |

( )( )

2

2

2

2 (9.38)

El valor de R (Fig. 9.2) dependesolamente del cociente l = E V/ :

R =< 2 la capa n se cierra antes de que se llenen los nivelescon l ms alto (es decir, las subcapas nd y nf), como se ve en la Fig. 12.6. Esta circunstancia ex-plica la aparicin de los lantnidos y los actnidos, que son dos grupos de 15 elementos que co-mienzan, respectivamente, a partir del La y el Ac. En los lantnidos se va llenando la subcapa 4f,que como se puede apreciar en la Fig. 12.7 se encuentra en el interior del tomo pese a tener msenerga que las subcapas externas 6s, 5p y 4d que estn llenas. Por este motivo los elementos delgrupo de los lantnidos tienen propiedades qumicas casi idnticas, lo cual hace difcil separar-los. El caso de los actnidos es anlogo, y en ellos se va llenando la subcapa 5f, que se encuentraen el interior del tomo igual que la 4f.El ordenamiento de niveles de la Fig. 12.6, junto con el Principio de Exclusin, permiten enten-der las principales caractersticas de la Tabla Peridica y las interacciones entre los tomos dediferentes elementos.

La unin qumica y otras interacciones entre tomosLas fuerzas interatmicas son sumamente complejas. En estas notas nos limitaremos a una dis-cusin cualitativa pues un tratamiento detallado sera demasiado extenso. La idea bsica es queen presencia de otro tomo, debido a las fuerzas electrostticas y al Principio de Exclusin, lasfunciones de onda de los electrones de cada tomo se distorsionan, lo cual modifica la energa delos electrones. Si la nueva distribucin tiene menor energa, ser el estado preferido del sistemay la interaccin interatmica ser atractiva. Viceversa, si la nueva distribucin lleva a un incre-mento de energa, la fuerza resultante ser repulsiva. Los efectos de este mecanismo se mani-fiestan de diversas maneras en diferentes rangos de distancias, pero a grandes rasgos podemosreconocer tres clases fundamentales de fuerzas interatmicas. Cuando la distancia es muy pe-quea todos los tomos se repelen mutuamente. A distancias intermedias prevalecen fuerzas que

12. tomos con varios electrones

171

dan lugar a enlaces qumicos, de resultas de los cuales los tomos se mantienen unidos formandomolculas o estructuras ms complejas como cristales. Finalmente, a distancias muy grandes,todos los tomos y molculas se atraen dbilmente. Todas estas interacciones se explican me-diante la Mecnica Cuntica de los electrones atmicos. Examinaremos a continuacin estas tresclases de interacciones.

La impenetrabilidad de la materiaLa repulsin universal que se presenta para distancias muy pequeas es responsable de que lostomos ocupen un volumen definido, lo que se manifiesta en la escala macroscpica como laincompresibilidad de la materia condensada. Esto se debe a que la fuerza repulsiva crece muyrpidamente a medida que disminuye la distancia entre los centros de los tomos, de modo talque a muchos efectos prcticos los podemos considerar como esferas rgidas con un valor defi-nido del radio. La repulsin a pequeas distancias tiene dos causas. En primer lugar, cuando dostomos se procuran interpenetrar, el apantallamiento de las cargas nucleares por parte de loselectrones se torna menos efectivo, y la fuerza electrosttica entre los ncleos los repele. La se-gunda causa radica en el Principio de Exclusin. No solamente no est permitido que dos elec-trones tengan la misma funcin de onda, sino que tambin sus funciones de onda deben ser sufi-cientemente diferentes como para construir una funcin de onda total completamente antisim-trica, como se ver en el Captulo 13. Cuando dos tomos estn tan prximos que sus nubeselectrnicas se comienzan a superponer, los electrones de la regin de superposicin, para satis-facer el Principio de Pauli se ven obligados a pasar parte del tiempo fuera de sus rbitas origi-nales, en orbitales de mayor energa2. Esto implica un aumento de la energa del sistema al dis-minuir la distancia interatmica, que equivale a una fuerza repulsiva.

La unin qumicaCuando dos tomos se unen para formar un compuesto qumico el rearreglo afecta algunos desus electrones externos, y deja al sistema compuesto en un estado cuya energa total es menorque la suma de las energas de los estados fundamentales de sus tomos por separado. De resul-tas de ello el compuesto adquiere una configuracin estable cuya geometra est bien definida yen la cual los tomos estn a distancias fijas entre s. Tal configuracin corresponde al estado demnima energa del sistema, respecto de variaciones de los parmetros que caracterizan la confi-guracin. La energa asociada con los enlaces qumicos est tpicamente comprendida entre 1 y10 eV. El rearreglo de los electrones atmicos puede ocurrir de varias maneras y los enlaces re-sultantes reciben diferentes denominaciones. El estudio detallado de la unin qumica es suma-mente complejo. Incluso cuando hay un solo electrn en la subcapa ms externa, la situacin sepuede complicar porque a veces los estados de la siguiente subcapa tienen una energa apenasmayor; esto ocurre con las subcapas 4s y 3d que estn muy prximas en energa, y tambin conla 5s y la 4d, as como con las subcapas 6s, 4f y 5d.En forma elemental, la valencia se define como el nmero de tomos de hidrgeno que se com-binan con (o que son desplazados por) un tomo del elemento que se est considerando. Como elhidrgeno tiene un solo electrn, cabe esperar que los tomos que tienen un solo electrn fuerade una capa cerrada fuertemente ligada sean monovalentes. As ocurre efectivamente con los

2 Esto es, su nueva funcin de onda es una combinacin lineal de la funcin de onda original y funciones de onda

de los estados electrnicos no ocupados, que son de mayor energa.


172

metales alcalinos (Li, Na, K, Rb, Cs y Fr). Del mismo modo cabe esperar que los tomos quenecesitan un electrn adicional para cerrar una capa sean monovalentes. Tal es el caso de loshalgenos (F, Cl, Br, I y At), que preceden a los gases nobles y tienen por lo tanto energas deionizacin elevadas; en consecuencia no comparten con facilidad sus electrones con otros to-mos, pero pueden recibir un electrn adicional (y slo uno) para cerrar la capa. De manera se-mejante los tomos con dos electrones fuera de una capa cerrada (Be, Mg, Ca, Sr, Ba y Ra) oque necesitan dos electrones ms para cerrar una capa (O, S, Se y Te) suelen ser bivalentes. Msall de estos casos sencillos, la variedad de modos en que se pueden ordenar los electrones im-plica que generalmente puede existir ms de una valencia, y que la valencia del elemento queestamos considerando puede depender de la naturaleza de los tomos con los cuales se combina.No obstante, se encuentra que los elementos con el mismo nmero de electrones externos y conestructura semejante de sus capas internas tienen propiedades qumicas parecidas.Se conocen varias clases de enlaces qumicos. Si el rearreglo produce un desplazamiento neto departe de la nube electrnica de un tomo a otro, el enlace se denomina heteropolar; el caso ex-tremo de una unin de esta clase es el enlace inico, en el cual un electrn de un orbital del pri-mer tomo pasa a ocupar un orbital del segundo tomo. Si no hay transferencia neta de carga deun tomo a otro la unin se denomina homopolar, o covalente. Discutiremos ahora brevementelos enlaces inico y covalente.

20 40 60 80 100Z

1

2

3

4

5

Ea

HLi

F

Na

Cl

K

Br

Rb

I

Cs

At

Fr

Fig. 12.8. Afinidades electrnicas de los elementos (en eV). La afinidad electrnica se de-fine como la energa Ea liberada cuando el elemento adquiere un electrn adicional paraconvertirse en un ion negativo. No se dan datos para los lantnidos ( 58 71) )Z ) ni paralos elementos que siguen al Fr ( Z * 87). El Be, N, Mg, Mn, Zn, Cd y Hg y los gases no-bles no forman iones negativos (se podra pensar que su afinidad es negativa).

El enlace inico

La transferencia de un electrn de un tomo a otro deja al primero con una carga neta positiva yal segundo con una carga neta negativa. Los iones as obtenidos se mantienen unidos por la


173

atraccin electrosttica entre cargas de signo opuesto. Es interesante recordar que el conceptooriginal de unin qumica se bas justamente en la atraccin entre cargas de signo opuesto.El enlace inico se da en los cristales de los haluros alcalinos, por ejemplo en la sal comn(NaCl). Los metales alcalinos se ionizan fcilmente, pues su energa de ionizacin es baja (verFig. 12.2). Por otra parte los halgenos tienen una fuerte afinidad para electrones adicionales(ver Fig. 12.8).Para que una unin inica en la que el tomo A cede un electrn al tomo B sea energticamenteposible es preciso que la variacin 6E de energa que resulta de ello sea negativa, de modo que

6E E E Vi A a B AB= < +


174

Na+ y Cl que valen, respectivamente, 0.99 y 1.81 . Luego d = 2 8. de donde obtenemosVNaCl =


175

trario al Principio de Pauli, ya que ste tiende a apartar los electrones el uno del otro. Sin em-bargo, el Principio de Exclusin se puede satisfacer si los spines de los dos electrones sonopuestos, pues en tal caso las partes espaciales de las funciones de onda se combinan de modoque los electrones se acercan.

a beje de simetra

d

ra

rb

plano de simetra electrn

Fig. 12.10. Geometra del problema de la molcula ion hidrgeno H2+ .

Para ver los aspectos fsicos bsicos de la unin covalente, consideremos el caso ms simple, lamolcula ion hidrgeno H2+ . Este sistema consiste de dos protones a y b separados por una dis-tancia d y un nico electrn (ver Fig. 12.10). Trataremos a los ncleos como si fueran puntosfijos del espacio, ignorando sus movimientos6. El Hamiltoniano del electrn es

H pm

er

er

H er

H era b

ab

ba

= < < = < = =

'- 1 1

1(15.34)

Resulta entonces que

Tmk

nhVc

=

12 3 2

3 2 3

/ c ( / )

/

(15.35)

De la (15.35) obtenemos que

nhV mkTc

3

3 2

3 2

33 2 2

37 92

( )( / ) ./

/=

c/ (15.36)

Comparando (15.36) con la condicin de validez (15.6) de la estadstica clsica vemos que laanulacin de del gas de Bosones a la temperatura Tc es un fenmeno netamente cuntico.

La condensacin de Bose-EinsteinPuesto que < 0 siempre, parecera que no se puede enfriar a densidad constante un gas de Bo-sones hasta T Tc) , lo que no es cierto pues la ec. (15.29) se cumple para T Tc> pero no paraT Tc) . El origen del problema es que en la (15.29) reemplazamos la suma discreta sobre los es-tados de una sola partcula por una integral. A medida que la temperatura del gas disminuye y seacerca a Tc el nmero de ocupacin del estado s1, cuya energa es nula, comienza a aumentarrpidamente. Pero precisamente este estado no est tomado en cuenta en la (15.29) porque al re-emplazar la suma por una integral, el factor 1 2/ del integrando hace que se le asigne un pesonulo. Para temperaturas ms altas, eso no trae aparejado un error significativo. Pero cuando latemperatura es muy baja no se puede omitir s1: lo correcto es conservar explcitamente su con-tribucin, y reemplazar los dems trminos por la integral6. En lugar de (15.30) escribiremos

ne

V mh

de

=

' '

1

10

10m mK ( )Li ( ) , Re( ) (15.44)

Aqu Li ( )q t es la funcin polilogartmica, definida por la serie

Li ( )qk

qk

t tk

==

'-

1(15.45)

Algunas propiedades tiles de Li ( )q t son:

Li ( ) ( ) ( ) , Li ( ) O( ) , Li ( )Li ( )

q q qqq q t t t d

dtt

tt

1 1 2 1= > = + =

15. Estadsticas Cunticas

237

ne

V mkTh

e= 1. En esterango el conjunto de los fotones que ocupan cada estado de energa ii ih= est descripto porun paquete de ondas que es una superposicin coherente de los paquetes de onda individuales.Por este motivo, cuando n es muy grande los campos elctricos y magnticos del conjunto tie-nen las propiedades de una onda clsica, caracterizada por la fase, adems de la frecuencia y laamplitud. Puesto que en este dominio los cuantos interactan con la materia en conjuntos cohe-rentes, es decir colectivamente y no individualmente, la nocin misma de fotn pierde significa-cin. De hecho, en este rgimen los fotones son inobservables. El rango de onda clsica15 abarcalas frecuencias por debajo de 5 0 01. /kT h y comprende menos del 3% de la energa radiante to-tal. Para 5700 K corresponde a h >0.025 cm y para 300K, h >0.5 cm.Los dos comportamientos que se acaban de comentar representan los casos extremos de altas ybajas frecuencias. La radiacin trmica de frecuencias intermedias ( 0 01 2. / /kT h kT h<

15. Estadsticas Cunticas

246

que cada modo normal del campo de radiacin est cuantificado, de modo que su energa tomasolamente los valores discretos 0 2, , ,h hi i , ahora estamos considerando la radiacin como unsistema de partculas idnticas (los cuantos del campo, es decir los fotones), cada una de lascuales tiene una energa hi .

La emisin y absorcin de fotonesLa naturaleza Bosnica de los fotones tiene importantes consecuencias

fisica cuantica julio gratton

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