Apuntes de apoyo a la asignaturaCOMPLEMENTOS de FSICAE.T.S. de Ingeniera InformticaUNIVERSIDADDESEVILLAFranciscoL.MesaLedesmaIICopyright 2002 by FranciscoL. Mesa Ledesma; esta informacinpuede ser copiada, distribuida y/o modicada bajo ciertas condicio-nes, pero viene SIN NINGUNA GARANTA; ver la Design ScienceLicense para ms detalles.DESIGN SCIENCE LICENSETERMS AND CONDITIONS FOR COPYING, DISTRIBUTION AND MODIFICATIONCopyright 1999-2001 Michael Stutz Verbatimcopying of this document is permitted, in any medium.0. PREAMBLE.Copyright lawgives certain exclusive rights totheauthor of awork, including therights tocopy, modify and distribute thework(thereproductive,adaptative,.and "distributionrights).The idea of opyleft"is to willfully revoke the exclusivity of those rights under certain terms and conditions, so that anyone can copy and distribute the work orproperly attributed derivative works, while all copies remain under the same terms and conditions as the original.The intent of this license is to be a general opyleft"that can be applied to any kind of work that has protection under copyright. This license states those certainconditions under which a work publishedunder its terms may be copied, distributed, and modied.Whereas "design science"is a strategy for the development of artifacts as a way to reform the environment (not people) and subsequently improve the universalstandardof living, thisDesignScience License was writtenanddeployedas astrategyforpromotingthe progress of science andart throughreformof theenvironment.1. DEFINITIONS."License"shall mean this Design Science License. The License applies to any work which contains a notice placedby the works copyright holder stating that itis published under the terms of this Design Science License."Work"shall meansuchan aforementionedwork. The License also applies to the output of the Work, only if saidoutput constitutes a "derivative work.of thelicensedWork as dened by copyright law..Object Form"shall mean an executable or performable form of the Work, being an embodiment of the Work in some tangible medium."Source Data"shall mean the origin of the Object Form, being the entire, machine-readable, preferred form of the Work for copying and for human modication(usuallythe language, encodingorformat inwhichcomposedorrecordedbythe Author); plus anyaccompanyingles, scripts orotherdatanecessaryforinstallation, conguration or compilation of the Work.(Examples of "Source Data"include, but are not limited to, the following: if the Work is an image le composed and edited in PNG format, then the original PNGsource le is the Source Data; if the Work is an MPEG 1.0 layer 3 digital audio recording made from a WAV format audio le recording of an analog source, thenthe original WAV le is the Source Data; if the Work was composed as an unformatted plaintext le, then that le is the Source Data; if the Work was composedin LaTeX, the LaTeXle(s) and any image les and/ or custom macros necessary for compilationconstitute the Source Data.).Author"shall mean the copyright holder(s) of the Work.The individual licensees are referred to as2ou."2. RIGHTS AND COPYRIGHT.The Work is copyrightedby the Author. All rights to the Work are reservedby the Author, except as specicallydescribedbelow. This License describes theterms and conditions under which the Author permits you to copy, distribute and modify copies of the Work.In addition, you may refer to the Work, talk about it, and (as dictatedby "fair use") quote from it, just as you would any copyrighted material under copyrightlaw.Your right to operate, perform, reador otherwise interpret and/ or execute the Work is unrestricted; however, youdo so at your ownrisk, because the Workcomes WITHOUT ANY WARRANTY see Section 7 ("NO WARRANTY") below.3. COPYING AND DISTRIBUTION.Permissionis grantedtodistribute, publishorotherwise presentverbatimcopies of the entire Source Dataof the Work, inanymedium, providedthatfullcopyright notice and disclaimer of warranty, where applicable, is conspicuously published on all copies, and a copy of this License is distributed along with theWork.Permissionis grantedtodistribute, publishorotherwise present copies of the Object Formof the Work, inany medium, underthe terms fordistributionofSource Data above and also providedthat one of the following additional conditions are met:(a) The Source Data is includedin the same distribution, distributedunder the terms of this License; or(b) Awrittenofferisincludedwiththe distribution, validforatleast three years orforaslongas thedistributionisinprint(whicheveris longer), withapublicly-accessible address (such as a URL on the Internet) where, for a charge not greater than transportation andmedia costs, anyone may receive a copy ofthe Source Data of the Work distributedaccording to the section above; or(c) A thirdpartys written offer for obtaining the Source Data at no cost, as describedin paragraph (b) above, is includedwiththe distribution. This optionisvalidonly if you are a non-commercial party, and only if you received the Object Form of the Work along with such an offer.You may copy and distribute the Work either gratis or for a fee, and if desired, you may offer warranty protection for the Work.The aggregation of the Work with other works that are not based on the Work such as but not limitedto inclusion in a publication, broadcast, compilation, orother media does not bring the other works in the scope of the License; nor does such aggregation voidthe terms of the License for the Work.4. MODIFICATION.Permissionisgrantedtomodifyorsamplefromacopyof theWork,producingaderivativework, andtodistributethederivativeworkunderthetermsdescribed in the section for distribution above, provided that the following terms are met:(a) The new, derivative work is publishedunder the terms of this License.(b) The derivative work is given a new name, so that its name or title cannot be confused with the Work, or with a version of the Work, in any way.(c) Appropriate authorship credit is given: for the differences between the Work and the new derivative work, authorship is attributed to you, while the materialsampledor usedfromthe Work remains attributedto the original Author; appropriate notice must be includedwith the new work indicatingthe nature andthe dates of any modications of the Work made by you.5. NO RESTRICTIONS.You may not impose any further restrictions on the Work or any of its derivative works beyond those restrictions described in this License.6. ACCEPTANCE.Copying, distributing or modifying the Work (including but not limitedto sampling from the Work in a new work) indicates acceptance of these terms. If youdo not follow the terms of this License, any rights granted to you by the License are null and void. The copying, distribution or modication of the Work outsideof the terms described in this License is expressly prohibited by law.If for any reason, conditions are imposed on you that forbid you to fulll the conditions of this License, you may not copy, distribute or modify the Work at all.If any part of this License is found to be in conict with the law, that part shall be interpreted in its broadest meaning consistent with the law, and no other partsof the License shall be affected.7. NO WARRANTY.THE WORK IS PROVIDED .AS IS,.AND COMES WITH ABSOLUTELY NO WARRANTY, EXPRESS OR IMPLIED, TO THE EXTENT PERMITTED BY APPLI-CABLE LAW, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.8. DISCLAIMER OF LIABILITY.INNO EVENT SHALL THE AUTHOR OR CONTRIBUTORS BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CON-SEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITEDTO, PROCUREMENTOF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, ORPROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ONANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER INCONTRACT, STRICT LIABILITY,OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING INANY WAY OUT OF THE USE OF THIS WORK, EVENIF ADVISED OF THE POSSI-BILITYOF SUCH DAMAGE.END OF TERMS AND CONDITIONSApuntes de CF FLMLPrefacioLapresente coleccinde notas sobre FsicaCunticayFsicadelEstadoSlidopretendeserunaayudaalestudianteenlaasignatu-racuatrimestralComplementosde Fsica delaE.T.S. deIngenieraIn-formtica de la Universidadde Sevilla. Aunque estas notas hansidoinspiradas por diversas fuentes (permtaseme destacar y agradecer laimportante contribucin de los profesores de la ETS de Ingeniera In-formtica del Departamento de Fsica Aplicada 1 de la Universidad deSevilla), cualquierdefecto o errorslo es atribuible al autorde estosapuntes. Es importante resaltarque estas notas no puedenni debensustituir a otros textos ms elaborados sobre la materia.El objetivo principal de la materia presentada es dotar al alumnode algunos de los fundamentos fsicos elementales en los que se basael funcionamiento de los dispositivos y sistemas usados enInform-tica. Granparte de latecnologa actual de los computadores se basaenla Electrnica. Dado que la Electrnica consiste bsicamente enelcontrol del ujode los electrones enmateriales conductores ysemi-conductores, es evidente la necesidadde estudiar el comportamientodedichoselectronesenmetalesysemiconductores. Esteestudiosellevaracabomedianteunaserie detemasintroductorios deFsicaCunticay Atmicadonde se presentanlas propiedades fundamen-tales de las partculas cunticas. Posteriormente se analiza el compor-tamiento de los electrones en metales y semiconductores, para lo cualdebemos considerar sus caractersticas cunticas y estadsticas. Final-mente, estudiaremos el comportamiento de launinp-npuesto quees la base de multitudde dispositivos electrnicos y optoelectrnicosusados en la tecnologa de los computadores.FRANCISCO L. MESA LEDESMASevilla, febrero de 2001IIIIVApuntes de CF FLMLndice general1. Fundamentos de Fsica Cuntica 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Cuantizacin de la radiacin. . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Espectros pticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Efecto fotoelctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Dualidad de la radiacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Modelo atmico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Dualidad de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1. Hiptesis de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2. Vericacin experimental . . . . . . . . . . . . . 171.5.3. Naturaleza de la onda . . . . . . . . . . . . . . . 191.6. Principio de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.1. Principio de incertidumbreposicin/ momento. . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.2. Principio de incertidumbre energa-tiempo . . . 241.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262. Ecuacin de Schrdinger. Aplicaciones 292.1. Ecuacin de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Partcula ligada. Cuantizacin. . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1. Partcula Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2. Pozo potencial innito monodimensional . . . 332.2.3. Pozo de potencial tridimensional . . . . . . . . 362.3. Efecto tnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4. tomos hidrogenoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.1. Nmeros cunticos . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.2. Spin del electrn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44VVI NDICE GENERAL2.5. Tabla peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473. Materia Condensada 513.1. Estados de Agregacin de la Materia . . . . . . . . . . . 513.2. Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3. Monocristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4. Estructuras reticulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.1. Redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.2. Parmetros de la estructura reticular . . . . . . . 583.5. Observacin de las estructuras cristalinas . . . . . . . . 603.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614. Electrones libres en metales 634.1. Fenomenologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Modelo clsico del electrn libre . . . . . . . . . . . . . 654.2.1. Hiptesis bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.2. Dependencia con la temperatura . . . . . . . . . 684.2.3. Fallos del modelo de Drude. . . . . . . . . . . . 694.3. Modelo cuntico del electrn libre . . . . . . . . . . . . 694.3.1. Funcin densidad de estados . . . . . . . . . . . 704.3.2. Distribucin de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . 704.3.3. Conduccin elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.4. Fallos del modelo de Sommerfeld . . . . . . . . 744.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745. Electrones en una red peridica 775.1. Modelo cuntico del electrn ligado. . . . . . . . . . . . . 775.1.1. Aproximacin de fuerte enlace . . . . . . . . . . 795.1.2. Bandas de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2. Aislantes, Semiconductores y Conductores . . . . . . . 845.3. Masa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4. Huecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926. Bandas de Energa en Semiconductores 95Apuntes de CF FLMLNDICE GENERAL VII6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2. Generacin y recombinacin de electrones y huecos. . 966.3. Semiconductores Intrnsecos . . . . . . . . . . . . . . . . 986.3.1. Descripcin cualitativa. . . . . . . . . . . . . . . 986.3.2. Probabilidad de ocupacin de electrones y huecos1006.3.3. Posicin del nivel de Fermi para semiconducto-resintrnsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3.4. Funcindensidadde estados paraelectrones yhuecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3.5. Distribucin energtica de huecos y electrones . 1036.4. Semiconductores Extrnsecos . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.1. Semiconductor tipo n . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.2. Semiconductor tipo p . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.3. Distribucin energtica de huecos y electrones . 1076.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087. Portadores de carga en Semiconductores 1117.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2. Concentracin de electrones y huecos . . . . . . . . . . 1117.2.1. Ley de accin masas . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.3. Compensacin y Neutralidad de la cargaespacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.3.1. Clculo aproximado de n y p. . . . . . . . . . . 1177.3.2. Clculo de EF para semiconductores intrnsecosy extrnsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4. Conductividad elctrica en semiconductores . . . . . . 1207.5. Corrientes de Arrastre y Difusin. . . . . . . . . . . . . 1227.5.1. Proceso de difusin. . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.5.2. Corriente de difusin . . . . . . . . . . . . . . . 1237.5.3. Corriente total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.5.4. Campo elctrico interno. . . . . . . . . . . . . . 1257.6. Velocidad de generacin y recombinacin. . . . . . . . 1287.7. Ecuacin de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.7.1. Ecuacin de difusin . . . . . . . . . . . . . . . 1327.7.2. Inyeccin constante de portadores . . . . . . . . 133FLML Apuntes de CFVIII NDICE GENERAL7.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348. Unin p-n 1378.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.2. Unin p-n en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.2.1. Potencial de Contacto . . . . . . . . . . . . . . . 1388.2.2. Regin de carga espacial. . . . . . . . . . . . . . 1418.3. Unin p-n polarizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.3.1. Descripcin cualitativa de las corrientes en la unin1438.3.2. Ecuacin del diodo. Clculo simplicado . . . . 1478.4. Lser Semiconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.4.1. Propiedades elctricas . . . . . . . . . . . . . . . 1528.4.2. Propiedades pticas . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.4.3. Estructura del lser semiconductor. . . . . . . . 1588.5. Aplicaciones del Lser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.5.1. Aplicaciones del Lser de Inyeccin . . . . . . . 1628.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165A. Constantes fundamentales 167B. Energa y longitud de onda de una partcula relativista 169C. Promedios estadsticos 171C.1. Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171C.2. Sistemas Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172D. Propiedades de algunos materiales semiconductores 173E. Invarianza del nivel de Fermi en equilibrio 175Apuntes de CF FLMLCaptulo 1Fundamentos de FsicaCuntica1.1. IntroduccinDeunaformamuygenricadenominaremosFsicaCunticaalaFsicaquesedesarrollaprincipiosdel sigloXX paraexplicarelcomportamiento de los fenmenos que ocurren a muy pequea escala(elmbitomicroscpicodondelosrdenesdemagnitudinvolucra-dos son: distancia 1 , masa 1027kg, energa 1019J). Estanueva Fsica complementa a la denominada Fsica Clsica que se de-sarroll para ser aplicada en el mbito macroscpico (fenmenos queinvolucran rdenes de magnitud del orden de 1 m, 1 kg, 1 J) y que po-demos identicar, por ejemplo, con las leyes de Newton, las ecuacio-nes de Maxwell, etc. Antes de introducir los fundamentos de la FsicaCuntica, es conveniente resaltar que la Fsica Cuntica trajo consigo,adems de nuevos resultados, cambios conceptuales muy importantesque afectan a la forma en la que habitualmente entendemos el mundoque nos rodea. No obstante, cabe sealarque estos cambios concep-tuales afectandrsticamente a nuestra visin del mundo microscpi-coperonotanto aladel mundomacroscpico(aunque obviamentemuchos fenmenos macroscpicos slo puedenentenderse conbaseen los principios de la Fsica Cuntica).La Fsica siempre afronta el estudio de los fenmenos mediante elestudio de modelos, esto es, representaciones parciales de la realidad.Es entonces importante aclarar que lo que se estudia no es directamen-te la realidadsino el modelo que nosotros hacemos de ella. Usual-mente, el modelo es una simplicacinde la realidadque recoge, noobstante, las caractersticas esenciales del aspecto fsico en el que este-mos interesados. As, si queremos estudiar el efecto de la gravedad so-bre los cuerpos, un posible modelo elemental sera el suponer que loscuerpos sonpuntuales (sumasaest concentradaenunpunto), quela gravedades constante y que se desprecia el efecto del rozamiento12 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cunticacon el aire. Este modelo simplicado explicara satisfactoriamente, porejemplo, el tiempo que tarda en caer una piedra desde cierta altura pe-ro no describira muy adecuadamente la cada de una hoja de papel.En consecuencia, el estudio de este ltimo fenmeno requerira el usode otro modelo ms complejo. Eneste sentido, es interesante consta-tar quelamayoradelosmodelosqueintentandescribirelmundomacroscpico se basan parcialmente en el sentido comn (esto es, enlamaneraenlaque nuestros sentidos percibenlarealidad). De estaforma, se suponen caractersticas generales comocontinuidadde la materia y laenerga (es decir, la materiay laenerga pueden tomar cualquier valor e intercambiarse en cual-quier cantidad);diferenciacinobjetiva entre fenmenos ondulatorios y corpus-culares;posibilidadde minimizarcompletamente el efecto del observa-dor sobre el fenmeno observado, etc.Cuando se afrontael estudio de los fenmenos microscpicos (porejemplo, el estudiodelostomos), unaprimeraposibilidadseraladepartirdelosmodelosycategorasqueseusaronconxitoenelmbito macroscpico y extrapolarlos al nuevo mbito de muy peque-as escalas. Eneste sentido podramos considerar el tomo como unsistema de cargas puntuales (algunas de ellas en movimiento) regidaspor las leyes de la Electrodinmica. No obstante, al iniciarel estudiodel mbito microscpico se observ que la extrapolacin directa de losmodelos macroscpicos llevaba irremediablemente a resultados muydispares con la realidad. Hubo, por tanto, que hacer un gran esfuerzono slo para desarrollar muevas leyes fsicas sino tambinpara olvi-dar muchos de los conceptos y categoras vlidas en el mbito macros-cpico y buscar otros nuevos que fuesen aplicables al mbito micros-cpico. Granparte de ladicultadde lanueva Fsica Cunticarecaeen el hecho de que las leyes que rigen el comportamiento del mbitomicroscpico son tremendamente antiintuitivas.Este primer tema mostrar, siguiendo un cierto orden cronolgico,losfundamentos de laFsicaCuntica; enconcretonos centraremosenla presentacin de las leyes bsicas y discutiremos algunas de susconsecuencias ms inmediatas. Un buen entendimiento de estas leyesy sus consecuencias ser fundamental para la posterior comprensindel comportamiento de los electrones en los materiales conductores ysemiconductores. En consecuencia, la comprensin fsica de los fen-menos cunticos nos proporcionar la base necesaria para entender elfuncionamiento de los mltiples dispositivos electrnicos y optoelec-trnicos que sonla base de la actual tecnologa de los computadoresy previsiblemente nos dotar de la base cientca imprescindible paraentender futuros desarrollos de la tecnologa informtica.Apuntes de CF FLML1.2. Cuantizacin de la radiacin 31.2. Cuantizacin de la radiacinEl iniciode laFsicaCunticapuede situarse enel nal del sigloXIX, momento en el que se estaba estudiando la interaccinde la ra-diacinconla materia. Enconcreto se estaba investigando la natura-leza del espectro de radiacin emitida por los distintos cuerpos.1.2.1. Espectros pticosEs un hecho bien conocido que cualquier cuerpo caliente emite radia-cinelectromagntica1. Ladistribucinconrespecto alafrecuencia, ,de estaradiacinse conoce como espectro. Las observaciones expe-rimentales permitieronestablecerlaexistenciade varios tipos de es-pectros: espectros discretos (emitidos porgases de tomos aislados),espectros de bandas (emitidos por gases moleculares) y espectros con-tinuos(emitidospor cuerposslidos). Acontinuacinesbozaremosalgunas de las caractersticas de los espectros discretos y continuos.Espectros DiscretosEmpricamente se comprob que la radiacinemitida (y absor-bida) por sustancias formadas por elementos qumicos aislados(enforma de gases) tena un carcter discreto; esto es, estas sus-tancias solo emiten (y absorben) radiacin para un conjunto dis-creto de frecuencias. Este hecho experimental era muy sorpren-dente eimposiblede explicarenel marcode laFsicaClsica.Para el caso del hidrgeno (H) se comprob que su espectro estformado por una familia de lneas espectrales cuya longitud deonda ( = c/, c 3 108m/ s) sigue la siguiente ley emprica:1= R_1m2 1n2_m< n( N) , (1.1)que se conocecomo formula deRydberg-RitzydondeR=1,0967 107m1es ladenominada constante de Rydberg. Paracadavalordemyvariandonse obtienendistintas familiasdelneas espectrales conocidas como las series del hidrgeno. Unaexpresin particular para el espectro visible del H, conocido co-mo serie de Balmer, fue obtenida en 1885 por Balmer, siendo, noobstante un caso particular de la ley general (1.1) cuando m = 2.Es importante resaltar que la frmula de Rydberg-Ritz es una leycompletamente emprica que fue propuesta enese momento sin1Laexplicacinclsicadeestehechosebasaenlasuposicindequelatempe-raturaes unamedidade laenergacinticamediade las partculasque componenlamateria. Dadoquelamateriaestcompuestadetomosystosasuvezestnformados porpartculascargadas, uncuerpocaliente puede considerarse comounconjunto de osciladores cargados (se supone que, debido a sumenor masa, la carganegativa oscila en torno al ncleo de carga positiva). Estos osciladores de carga emi-tenentonces radiacinelectromagnticaal igual que lo hacenlos dipolos elctricososcilantes.FLML Apuntes de CF4 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cunticaninguna explicacinfsica que justicase el ajuste sorprendentede dicha expresin con los resultados experimentales.Espectros ContinuosEstos espectros son emitidos por los cuerpos slidos. Dado quela emisin de los slidos dependa en parte de sucomposicin,en el estudio de estos espectros se buscaba un cuerpo cuya emi-sinfuese independiente de laformay composicinparticulardel emisor. Eneste sentido, se dene como cuerpo negroaunemisorcuyoespectro nodependade suformaycomposicin.Unestudio siguiendolasleyes de laFsicaClsica, quequedafuera del alcance de este tema, permite establecer que la expre-sin terica para la radiancia espectral, R() (intensidad de la ra-diacin emitida con frecuencias comprendidas entre y + d)viene dada porR() 2T , (1.2)donde T es la temperatura absoluta (en grados Kelvin) del cuer-po negro.Cuando laexpresinterica (1.2) se comparabaconlos datos ex-perimentales (ver gura adjunta), se observaba una buena concordan-curva tericacurvaexperimentalnR( ) ncia para bajas frecuencias pero una discrepancia total para frecuenciasaltas. Estadiscrepanciaestanimportante(parafrecuenciasmuyal-tas R() tiende a cero segn los datos experimentales mientras que elresultado terico tiende a innito) que se conoce como catstrofe ul-travioleta puesto que las diferencias empiezan a ser muy importantesparafrecuenciasderadiacinultravioleta. Lacatstrofeultravioletaesunaclarsimaconstatacindequehabaalgofundamentalmenteerrneo en la aplicacinde las leyes conocidas hasta ese momento alestudio del espectro de radiacin del cuerpo negro.Afortunadamente, en1900 Planckincorpor unnuevo enfoque aeste problemaquesorprendentemente conducaaunateoraqueseajustaba perfectamente a los resultados experimentales. La propuestade Planck fue queHiptesis de Plancklos osciladores atmicos realizanintercambios de ener-ga con la radiacin de modo que la accin, S(energatiempo), vara nicamente en mltiplos deh = 6,62 1034Js.La cantidad de intercambio de accin mnima, h, se conoce como cons-tante de Planck y tiene por valorConstante de Planckh = 6,62 1034Js = 4,135 1015eVs (1.3)(1 eV=1,6 1019J, e =1,6 1019C es el mdulo de lacargadelelectrn en el S.I.).Apuntes de CF FLML1.2. Cuantizacin de la radiacin 5La anterior hiptesis implicabaque enel periodo Tde oscilacinde los osciladores atmicos, el intercambio de accin, S, deba serS = nh = ET n = 1, 2, . . . , (1.4)siendo E la energa puesta en juego en el intercambio energtico. Apartir de (1.4) encontramos entonces queE = nh 1T= nh . (1.5)La anteriorexpresin, fruto de lahiptesis de Planck, indicaqueel intercambio energtico mnimo es h y que cualquier otro intercam-bio energtico siempre se produce en mltiplos de esta cantidad. Esteresultado tiene dos implicaciones muy destacadas:1. Lainteraccinenergticaentredos sistemasnopuede hacersemenor que h. Este resultado es abiertamente opuesto a la hip-tesis clsicade que lainteraccinentre dos sistemas podaha-cerse tan pequea como se quisiera.2. La energa puesta en juego en las interacciones est cuantizada.Denuevo,estesorprendenteresultadocontradicelahiptesisacerca del carcter continuo de la energa.Esinteresantenalmentenotar quelasconsecuenciasanterioresapenas tienenefecto enlasinteracciones entre sistemas macroscpi-cos. Ello es debido a que los valores de energa puestos en juego en losintercambios energticos songeneralmente mucho ms altos que h,por lo que la existencia de una cantidadmnima de energa de inter-cambioapenas diere de lasuposicinde que sta sea innitesimal.Este hecho provoca que la cuantizacinenergtica sea prcticamenteinapreciable haciendo, por tanto, aceptable el hecho de que la energase considere continua a efectos prcticos.1.2.2. Efecto fotoelctricoOtroefectomuydestacadofrutodelainteraccinentrelaluzyla materia es el efecto fotoelctrico. Este efecto se produce cuando alincidir luz sobre ciertos metales, stos emiten electrones (que denomi-naremosfotoelectrones). Undispositivoexperimental apropiadoparaI(n)A CV+-ie-Aestudiar el efecto fotoelctrico se muestra enla gura adjunta y con-siste enuntubo de vacocondos placas metlicas ensuinterior. Alincidir luz de intensidadI() sobre el metal del que est compuesto laplaca C, ste emite electrones que, si son acelerados por un potencial(V) impuesto entre las placas situadas en el interior del tubo de vaco,sonarrastrados hastalaplacaA. Este ujode electrones dalugarauna corriente elctrica, i, que es detectada por el ampermetro puestoa tal efecto.FLML Apuntes de CF6 Captulo 1. Fundamentos de Fsica CunticaUna de las principales ventajas del anterior montaje experimentales que nos permite determinar la energa cintica, Ec, de los fotoelec-trones. NotemosquesiV 0, el campoelctrico frenar los fotoelectrones dicultando as su camino hacia elnodo. El efecto de frenado ser total cuando laenerga que propor-ciona el campo a los fotoelectrones, eV, sea igual a la energa cinticamxima, Ec,max, de los fotoelectrones, esto es, cuandoeVR = Ec,max , (1.6)siendoVRel valor depotencialelctricoconocidocomopotencialdefrenado.El estudio experimental del efecto fotoelctrico pone de maniestolas siguientes caractersticas:La emisin fotoelctrica es instantnea.Existe cierta frecuencia para la radiacin incidente, conocida co-mo frecuencia umbral, 0, por debajo de la cual no existe emisinfotoelctrica, independientemente de la intensidadde dicha ra-diacin; es decir, i = 0 I() si < 0Al aumentarlaintensidadde laradiacin, aumentael nmeroVACVRI1( ) nI2( ) nI2( )> n I1( ) nide fotoelectrones emitidos y, enconsecuencia, laintensidaddela corriente es mayor.Para una frecuencia ja, la energa cintica de los fotoelectronesno depende de la intensidad de la radiacin incidente.VRnn0La energa cintica mxima de los fotoelectrones (cuya magnitudes proporcional al potencial de frenado VR) muestra una depen-dencia lineal de la frecuencia.Lamayoradelosanterioresresultadosexperimentalesresultanrealmentesorprendentes ycontradictoriascuandoseintentaninter-pretar a partir de los postulados de la Fsica Clsica. En este marco, laluz esuna onda electromagntica cuya energa est repartida de formacontinua en el frente de ondas;su intensidad promedio, I, viene dada por la expresinI =12 0cc20, (1.7)donde0eslapermitividaddel vacoy c0eslaamplituddelcampo elctrico de laonda luminosa. Es interesante notarque,segn (1.7), la intensidad (y por tanto la energa) de la onda elec-tromagntica no depende de la frecuencia sino simplemente dela amplitud del campo elctrico.Apuntes de CF FLML1.2. Cuantizacin de la radiacin 7En el metal hay que considerar que los electrones susceptibles deseremitidos estnligadosal metal conunaciertaenergaumbrale, denominada tambin funcin trabajo. Para que un electrn sea des-prendido del metal, ste debe adquirir una energa suciente pararomper suligadura conel metal, manifestndose el posible excesode energaenformade energacinticadel electrnemitido. Desdeeste punto de vista, la luz incidente en el ctodo ser la encargada deproporcionar (durante cierto intervalo de tiempo) la energa sucien-te acadaelectrnparaqueste puede salirdel metal. Noobstante,el clculoterico del tiempo requerido paraque se inicielaemisinproporciona un valor muchsimo mayor que el observado experimen-talmente (recurdese que el efecto fotoelctrico es prcticamente ins-tantneo). Porotraparte, si mantenemos jalafrecuenciayaumen-tamos la intensidadde la radiacinluminosa, esperamos de acuerdoa la expresin (1.7) que llegue ms energa al metal y que, por tanto,la energa cintica de los fotoelectrones aumente. Hemos visto que laexperiencia contradice esta suposicin, mostrando que dicha energacintica mxima no depende de la intensidad de la radiacin incidentesino sorprendentemente de su frecuencia.EJEMPLO 1.1 Calcule el tiempo que habra que esperar para que se produjeseel efecto fotoelctrico siuna radiacin luminosa emitida por una fuente de luzde P = 100 W y rendimiento luminoso = 8 % incide sobre un metal que estsituado a 1 m de distancia y cuya funcin trabajo es e = 4 eV. Suponga que elradio aproximado de un tomo es ratomo = 1.La intensidad luminosa, I, emitida por la fuente de luz que llega al metalesI = P4R2= 0,08100412=2 W/ m2,por lo que la potencia captada por cada tomo vendr dada porPtomo = Ir2tomo =21020= 2 1020W .Finalmente, el tiempo de espera, t, para que se acumule la energa umbralsuciente, e, est =ePtomo=41,6 10192 1020 32 s .Ntesequeel clculodel tiempode esperacalculadosegnel modeloondulatorio de la radiacin luminosa nos da un valor (t 32 s) muchsimoms alto que el observado experimentalmente (emisin espontnea).En1905, A. Einsteinproporcionunaexplicacinsatisfactoriaalefecto fotoelctrico aportando adems una concepcin revolucionariade la energa radiante. Bsicamente Einstein, partiendo la hiptesis dePlanckacercadelacuantizacindelintercambioenergtico, diounFLML Apuntes de CF8 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cunticapaso ms extendiendo la nueva idea de cuantizacin a la propia ener-ga radiante (y no slo a su posible intercambio). En concreto, Einsteinexplic el efecto fotoelctrico a partir de las dos siguientes hiptesis:1. La energa de laonda electromagntica de frecuencia no estdistribuida continuamente en el frente de onda sino que est lo-calizada en pequeos paquetes (entes como partculas) llamadosfotones cuya energa esEnerga del fotnE = h = h . (1.8)( h = h/ 2, = 2).2. El efecto fotoelctrico es fruto de procesos individuales de inter-hnEce-e-MetalRadiacin incidiendoen el metalelectrn liberadodel metalcambio instantneo de la energa del fotn con la del electrn.El primer punto indica que Einstein concibe la onda electromagnticacomo un conjunto de paquetes discretos de energa h, esto es, la pro-pia energa de la onda estara cuantizada. El efecto fotoelctrico podraentonces verse como un conjunto de choques elsticos individualesentre los fotones de la radiacin incidente y los electrones ligados delinteriordel metal. Supuesta que la energa se conserva eneste cho-que, el fotn cede toda su energa h al electrn, adquiriendo ste portanto una energa que sera empleada parcialmente para vencer la fun-cin trabajo, e, apareciendo la restante en forma de energa cintica,Ec, esto es,h = Ec +e . (1.9)Dado que la expresin (1.6) relaciona la energa cintica de los fotoe-lectrones con el potencial de frenado, VR, tenemos queEc = h eEc = eVR_ eVr = h e ,lo que nos permite escribir nalmenteEcuacin de Einstein para elefecto fotoelctricoVR =he ee. (1.10)El sencillodesarrollo anteriormuestra que existe unarelacinlinealentre VRy, siendo lapendiente de estarectah/ e. Tambinexplicalaexistenciade unafrecuenciaumbral, 0=e/ h, por debajo de lacual no puede existir efecto fotoelctrico (puesto que la energa cinti-ca asociada al electrn sera negativa). La expresin terica (1.10) coin-cide satisfactoriamente con los resultados experimentales, conrman-do la sorprendente hiptesis de la naturaleza fotnica de la radiaciny proporcionando una prueba adicional de que la constante h introdu-cida por Planck es una constante fundamental de la Naturaleza y no,simplemente, una constante arbitraria de ajuste.Dado que la emisin de fotoelectrones crece al aumentar la inten-sidadde la radiacin, I, esta magnituddebe estar relacionadaconelApuntes de CF FLML1.2. Cuantizacin de la radiacin 9nmero de choques y, en consecuencia, puede relacionarse con la den-sidad de fotones, N f (nmero de fotones por unidad de tiempo y rea),de la radiacin. Podemos escribir, por tanto, queI = Nf h . (1.11)Por otraparte, dadoquelosfotonestransportanunaenergaE,tambindebentransportarunmomentolineal p. EnsuteoradelaRelatividadEspecial, Einstein demostr que el momento lineal de losfotones estaba relacionado consuenerga mediante la siguiente rela-cin:p =Ec, (1.12)siendo c la velocidadde la luz. Como la energa del fotn es E =h,encontramos quemomento del fotnp =hc=h, (1.13)dondesehatenidoencuentaquelafrecuenciadelaonda, , estrelacionada con su longitud de onda, , mediante = c.EJEMPLO 1.2 Una radiacin luminosa de = 2000 e intensidad I = 3 mW/m2incide sobre un metal de Cu cuya funcin trabajo es e=1 eV. Calcule (a) elnmero de fotones por unidad de tiempo y rea que llegan al metal; (b) el mo-mento de cada uno de los fotones; y (c) la energa cintica de los fotoelectronesemitidos.(a) Para calcular el nmero de fotones por unidad de tiempo y rea debe-mos aplicar la expresin (1.11), para lo cual debemos obtener primerola frecuencia, , de la radiacin: =c=3 1082 107= 1,5 1015Hz ,por lo que la energa, E, de cada fotn serE = h = 6,63 1034 1,5 1015 9,95 1019J = 6,21 eV .La aplicacin de (1.11) nos dice queNf=IE=3 1039,95 1019 3,017 1015 fotonesm2s.(b) El momento del fotn puede calcularse a partir dep =h=6,63 10342 107 3,31 1027kgm/ s(c) Finalmente la energa cintica de los fotoelectrones emitidos, de acuer-do a la expresin (1.10), vendr dada porEc = h e = 6,21 eV1 eV = 5,21 eV .FLML Apuntes de CF10 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cuntica1.3. Dualidad de la radiacinA la vista de la discusinpresentada enel anterior apartado, nosencontramos conque existendos concepciones distintas de laradia-cin electromagntica:Onda electromagntica (OEM)La visin clsica de la radiacin interpreta que sta es una ondade modo que su energa y momento se distribuye continuamen-te enel frente de ondas. Segn hemos visto, la intensidadde laonda, I, puede relacionarse con la amplitud del campo elctrico,c0, medianteI =12 0cc20.FotonesSegnlainterpretacinde Einstein, laradiacinelectromagn-tica puede considerarse como un conjunto discreto de paquetesde energaE=h, de modo que la intensidadde laradiacin,de acuerdo con (1.11), puede escribirse comoI = Nf h .Segn la visin clsica, la intensidad de la onda depende del valorde laamplituddel campoelctricoysegnlainterpretacinfotni-ca, del nmero de fotones. En consecuencia, podemos observar que elnmero de fotones debe ser proporcional al cuadrado de la amplituddel campo elctrico,Nf c20, (1.14)dondedebemosinterpretar estadensidaddefotones, Nf,entrmi-nos puramente probabilsticos. Este hecho nos permite establecer unpunto comn de relacin entre las visiones clsica y fotnica de la ra-diacin y establecer, en general, queel cuadrado de la amplitud del campo elctrico de la on-da electromagntica, c20(r, t), es proporcional a la proba-bilidadde localizaren un instante t a los fotones en undVcentrado en el punto r.Desde elpuntodevistadel modelofotnico, el campoelctricode laondaelectromagnticajuegael papel de unafuncinmatem-ticaque determinalaprobabilidadde encontraralos fotones enundeterminadopuntoeinstante. Enaquellospuntosdondeelcampoelctrico tenga unvaloralto de amplitudser, por tanto, ms proba-bleencontrar fotonesqueall dondelaamplitudpresenteunvalorbajo. Enlaprctica, la convenienciade usaruno de los dos modelos(OEM/ fotones) vendr determinada por la relacinentre la cantidadApuntes de CF FLML1.4. Modelo atmico de Bohr 11deenergade losfotones ylaenergapuestaenjuegoenlaposibleinteraccin. Si la energa en la interaccin, E, es del orden de la ener-ga de los fotones, h, entonces se debe usar el modelo fotnico. Por elcontrario, si E h (esto es, si en la interaccin intervienen muchosfotones conjuntamente), el modelo ondulatorio ser ms apropiado.1.4. Modelo atmico de BohrEn este apartado discutiremos el modelo que propuso N. Bohr en1913parael tomodehidrgeno. Este modelofuepropuesto comoconsecuencia de los problemas que presentaba el modelo nucleardeRutherford (este modelo se supone conocido por el alumno). En con-creto,Rutherfordpropusounmodeloplanetariodel tomocom-puestoporunsistemadecargasglobalmenteneutrodonde supusoque exista unncleo de cargapositiva muy pequeo y muy msicorodeado de cargas negativas (electrones) de muy poca masa orbitan-do continuamente a su alrededor. Este modelo, muy vlido en cuantoa la idea de un tomo formado por un ncleo y electrones a su alrede-dor, presentaba dos problemas fundamentales:1. Inestabilidad del tomo.Segn la teora clsicadel Electromagnetismo, una carga acele-+radaradiaycomoloselectrones orbitandoentornoalncleodescriben un movimiento acelerado, estos electrones deban es-tar radiando. Si estos electrones radian energa, esto signica quedebanestar perdiendoenergacinticadeformacontinua,loque a su vez implica que tras un breve lapso de tiempo los elec-trones deberancolapsarenel ncleo. Este razonamiento clsi-co conduce inevitablemente a untomo inestable contodos loselectrones atrapados en el ncleo, en abierta contradiccin conlas suposiciones iniciales de un ncleo de carga positiva en tornoal cual los electrones orbitan de forma estable.2. Emisin de un espectro continuo.Segn el razonamiento clsico anterior, la radiacin emitida porel tomo deba ser continua, puesto que la supuesta prdida deenerga cintica del electrnenforma de radiacinelectromag-ntica se realizara de forma continua. Esta suposicin es de nue-vo contraria al hecho experimental de que las sustancias forma-das por elementos puros emiten un espectro discreto.Basado en el modelo de Rutherford e incorporando la concepcinfotnica de la radiacin propuesta por Einstein, Bohr propuso un sor-prendente modelo para el tomo de hidrgeno (el tomo ms simplede la naturaleza, compuesto nicamente por dos cargas: una positivaenel ncleo protn y otra negativa electrn orbitando a sualre-dedor) basado en los siguientes tres postulados:FLML Apuntes de CF12 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cuntica1. En vez de las innitas rbitas, con cualquier valor de radio, que+son permitidas por la Fsica Clsica, los electrones pueden tomarnicamente aquellas rbitas en las que se verique que el mdu-lo de sumomento angular,L (L =r p, por lo queL=mevrsiendo me = 9,1 1031kg la masa del electrn, v el mdulo dela velocidad y r el valor del radio), sea un mltiplo de h:L = mevr = n h , n = 1, 2, 3, . . . (1.15)2. Unelectrn enuna de las rbitas anteriores no emite radiacinelectromagntica. Estasrbitascorrespondenportantoaesta-dos estacionarios, es decir, estados en los que la energa del to-mo es constante en el tiempo.3. SiunelectrnestinicialmenteenunarbitadeenergaEiyEiEfhntransita hacia una rbita de menor energa Ef, se emite radiacinelectromagntica (un fotn) de frecuencia =EiEfh. (1.16)Consecuencias del modelo de BohrLos postulados propuestos por Bohr conducen a las siguientes con-secuencias:Radio de las rbitas permitidasPara unelectrnque est situado enuna rbita estacionaria deradio r debe cumplirse que los mdulos de la fuerza centrfuga,Fc, y la de atraccinelectrosttica del ncleo, Fe, se compensen,esto es,Fc = Fe , (1.17)o equivalentemente+FcvFemev2r=e240r2. (1.18)Si tenemos en cuenta la expresin (1.15), podemos escribirmern2 h2m2er2=e240r2, (1.19)de donde obtenemos nalmente, al despejar el radio, queRadio de las orbitasestacionarias del hidrgenorn = n2r0 = r0, 4r0, 9r0, . . . (1.20)siendor0 =40 h2e2me 0,53 (1.21)Apuntes de CF FLML1.4. Modelo atmico de Bohr 13(1 = 1010m).El electrn en el tomo de hidrgeno slo puede tomar aquellasrbitas discretas cuyos radios veriquen (1.20). Dado que la me-nor rbita que puede tomar el electrn en el tomo de hidrgenoes r0, este dato podra ser considerado como el tamao de di-cho tomo. Comprobaciones experimentales demuestran que r0coincide muy aproximadamente conel tamao medido para elradio de los tomos de hidrgeno.Cuantizacin de la energa del tomo de HEnuna rbita estacionaria, y que por tanto verica (1.18), debecumplirse quemev2=e240r. (1.22)La energa, E, del electrn en una rbita estacionaria (y, en con-secuencia, enunestado estacionario)serlasumade suenergacintica, Ec, ms la energa potencial electrosttica, Ep, debido alefecto de carga positiva del ncleo, esto es,E = Ec + Ep =12mev2140e2r,expresin que puede reescribirse, teniendo en cuenta (1.22), co-moE = 12140e2r. (1.23)Dadoqueel radiodelarbitaestcuantizado(rn=n2r0), laenerga del estado estacionario lo estar igualmente. Enconse-cuencialaenergadel estadoestacionariocaracterizadoporelnmero cuntico n puede escribirse comoEnergadelosestadosestacio-narios del HEn = E0n2= E0, E04, E09, . . . , (1.24)donde E0 es la energa del estado elemental del tomo de hidr-n=1n=2n=3n=E -E1 0E -E/42 0E= 0geno (n = 1), que viene dada porE0 =e280r0=e4me820h2 13,6 eV . (1.25)Los posibles estados de energa con n> 1 se conocen como esta-dos excitados. El hecho de que la energa de los distintos estadossea negativa debe entenderse enel sentido de que hay que pro-porcionar energa para sacar al electrn de esos estados, estoes, el electrnest ligado al tomo de hidrgeno por esa canti-dad de energa. En este sentido, podemos decir que la energa deionizacin del tomo de hidrgeno es de 13.6 eV; es decir, hay quedar al menos esa energa al tomo de H en su estado fundamen-tal para poder extraerle el electrn.FLML Apuntes de CF14 Captulo 1. Fundamentos de Fsica CunticaEspectro del hidrgenoTeniendo en cuenta la hiptesis (1.16) junto con la expresin (1.24)obtenida anteriormente, la frecuencia de la radiacin emitida enla transicin de un electrn desde un estado caracterizado por nihasta otro estado de menor energa caracterizado por n f vendradada por =E0n2i+ E0n2fh=E0h_1n2f1n2i_, (1.26)o equivalentemente, teniendo en cuenta que = c,1=E0hc_1n2f1n2i_, (1.27)dondeE0/ hc 1,0974 107m1. Estaexpresinterica, obte-nida nicamente a partir de las hiptesis de Bohr, coincide ple-namente conlafrmulaempricade RydbergRitz (1.1). Si ad-mitimosqueestasorprendenteytotalcoincidencianoesme-ra casualidaddebemos entonces admitir que el modelo de Bohrproporciona un marco terico novedoso, muy original y consis-tente paraentender el espectro del tomo de hidrgeno. Pode-mos armar, por tanto, que el espectro discreto del H es fruto dela cuantizacin de los estados energticos de este tomo2y de la na-turaleza fotnica de la radiacin.Es interesante notar nalmente que, aunque el modelo atmico deBohr proporcion un marco terico muy satisfactorio que pudo expli-car las caractersticas esenciales del tomo de hidrgeno, cuando estemismo modelo se intento aplicar a tomos con ms de un electrn noresult tan ecaz. Por ejemplo, este modelo no pudo explicar el valordelaenergadeionizacinniel espectrodiscretodel tomodehe-lio(el tomodehelioconstayadedos protones enel ncleoydoselectrones orbitando). Este hecho debe interpretarse enel sentido deque, aunque el modelo de Bohr supuso un avance fundamental en lacomprensin del tomo, era un modelo simple que no tena en cuentaalgunas de las propiedades ms caractersticas (todava por descubrir)de las partculas cunticas. Los apartados siguientes explorarn algu-nas de estas propiedades.EJEMPLO 1.3 UntomodeHesexcitadodemaneraqueal volverasues-tado fundamental (de mnima energa) emite una radiacin de frecuencia=3,023 1015Hz. Calcule elnmero cuntico delestadoexcitado ascomo suradio.2Unexperimento muy relevante, llevado a cabo en1914 por J. Frank y G. Hertz,demostr empricamente que la cuantizacin de los estados energticos es una carac-terstica comn de todos los tomos.Apuntes de CF FLML1.5. Dualidad de la materia 15Supuesto que Ensea la energa del estado excitado de nmero cunticon, sabemos que la energa, E, puesta en juego en la transicin serE = EnE0 = h ,por lo queEn = E + E0 = h + E0= 4,135 1015eVs3,023 1015s113,6eV = 1,55 eV .Para calcular el nmero cuntico, debemos tener en cuenta queEn = E0n2,por lo quen =E0En=13,61,55= 3 .El electrn fue excitado hasta el estado de nmero cuntico n = 3.Segn el modelo de Bohr, el radio de la rbita del electrn en este estadoserr3 = 9r0 4,77 .1.5. Dualidad de la materia1.5.1. Hiptesis de De BroglieEn1924, L. de Broglie, suponiendo laexistenciadeunasimetrainterna en la naturaleza, sugiri que el carcter dual onda/ corpsculoexhibido por los fotones era igualmente aplicable a todas las partculasmateriales. En concreto la hiptesis de L. de Broglie fueEl movimiento de una partcula material viene determi-nado por las propiedades ondulatorias de propagacinde unaondapilotocuyalongitudde onda, , yfre-cuencia,, estnasociadas conel momento lineal, p, yla energa, E, de la partcula segn =hpo bien p = hk (1.28) =Eho bien E = h . (1.29)Relaciones de de BroglieDebenotarsequeenlaondapilotoasociadaalaspartculas NOSEPara una partcula ,= c/ CUMPLE que=c/ (esto slo era vlido enondas electromagnti-cas/ fotones en el espacio libre). Este hecho podemos relacionarlo conFLML Apuntes de CF16 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cunticalaexpresinde laenerga de unapartculalibre3, E, proporcionadapor la Relatividad Especial,E2= m20c4+ p2c2, (1.30)dondem0eslamasa enreposo delapartculamaterialntese queparalos fotones, cuyamasaenreposo es nula, m0=0, laexpresinanterior se reduce a (1.12). Puede comprobarse que al sustituir (1.28)y (1.29) en (1.30) encontramos una relacin entre la y la de la ondapiloto ms complicada que la que existe para ondas electromagnticas.En el caso de partculas libres cuya velocidad, v, sea mucho menorquelavelocidadde laluz(v2c2), el Apndice B muestraque laenerga cintica de dicha partcula puede expresarse comoEc =p22m0, (1.31)porloque el momentoylalongitudde ondade lapartculapuedeexpresarse comop =_2m0Ec = mv . (1.32)y =h2m0Ec. (1.33)Es interesante resaltar que, debido al pequeo valor de la constan-te de Planck, los fenmenos tpicamente ondulatorios de interferenciay/ o difraccin de las partculas macroscpicas son prcticamente im-posibles de detectar. Dado que la longitud de onda de estas partculasmacroscpicas es mucho menorque las distanciatpicas enel mbi-to macroscpico, podemos ignorar el carcter ondulatorio de estaspartculas.EJEMPLO 1.4 Calcular la longitud de onda asociada a (1) una pelota de tenis dem = 50g y v = 40m/s; y (b) un electrn sometido a un potencial de aceleracinV= 100V.(1) En este caso, el momento lineal esp = mv = 0,0540 = 2 kgm/ sy la longitud de onda ser =hp=6,6 10342 3,3 1034m.Como puede observarse, la longitudde onda asociada a la pelota de te-nis es muchsimo ms pequea que el tamao de untomo de H. Esta estanpequea que es totalmente indetectable por cualquier dispositivo expe-rimental. Una posible manera de aumentar esta es hacer que la masa de la3partcula sobre la que no se ejercen fuerzas externasApuntes de CF FLML1.5. Dualidad de la materia 17partcula sea muy pequea, en la prctica del orden de la masa de las part-culas elementales (electrones, protones, ....)(2) Si el electrn est sometido a cierto potencial de aceleracin, V, entonces,supuestoqueparte del reposo, laenergacinticaqueadquiere serjusta-mente la energa potencial elctrica que pierde la partcula cargada, esto es,Ec = eV= 100 eV .La longitud de onda asociada a esta partcula ser entonces =h2meeV=6,6 103429,1 1031 1,6 1019 100 1,2 .Esta longitud de onda es muy pequea pero al menos es del orden del tama-o de los tomos.1.5.2. Vericacin experimentalAntes de describir el experimento que veric el carcter ondula-toriodeinterferenciay/ odifraccinlaspartculasmateriales, debe-mos notarque paraque unfenmeno ondulatorioseaobservablees necesario que las dimensiones de los objetos con los que interactala onda sean del orden de la longitud de onda. Segn ha mostrado elEjemplo 1.4, la longitudde onda de las partculas elementales puedeser del orden de , por lo que se necesitara que suonda piloto inte-ractuase conobjetos de esas dimensiones. Un posible objeto quepresenta estas dimensiones son los planos atmicos de un monocristalque estn separados precisamente distancias del orden de .Basado enlo anterior, Davissony Germer vericaronexperimen-talmente en 1927 el comportamiento ondulatorio de los electrones usan-do un dispositivo experimental cuyo esquema se muestra en la Fig. 1.1a.Eneste experimento, unmonocristal es bombardeado conelectronese-DetectorDetalle de reflexinen monocristalVMonocristalffqqa) b)FIGURA 1.1: Experimento de Davisson y Germeracelerados por unpotencial elctrico V. Estos electrones, previamen-te emitidos por una resistencia incandescente, adquieren una energaFLML Apuntes de CF18 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cunticacintica dada porEc = eV . (1.34)Si los electrones se comportasen como partculas, entonces, tras cho-car con el monocristral, rebotaran tal y como lo haranpelotas de te-nis que chocasen contra una piedra, esto es, saldran rebotados en to-das direcciones sinque haya direcciones privilegiadas. Adems, esteefecto sera independiente de la energa cintica de las partculas, es-to es, del potencial de aceleracinV. No obstante, si los electrones secomportasencomoondas, entonces loselectrones dispersados loha-ranmayoritariamente enaquellas direcciones privilegiadas paralasque exista interferencia constructiva.Admitiendo que los electrones presentan uncomportamiento on-dulatorio, la onda incidente se reejar en cada uno de los planos at-micos (ver detalle en Fig. 1.1b), existiendo una interferencia construc-tiva de las ondas reejadas en planos paralelos consecutivos si se cum-( ) 1(2)q qq ddiferencia decaminople la condicin de Bragg, esto es, si la diferencia de camino entre losrayos (1) y (2) es justamente un mltiplo de la longitud de onda:2d sen = n . (1.35)Supuesta vlida la hiptesis de de Broglie, la longitudde onda, , delos electrones que inciden en el monocristal ser =hp=h2meeV, (1.36)lo que implicaraque el detector mostrara unos mximos de disper-sinpara los ngulosnrelacionados conlosn(2n + n=) quevericasensen n = nh2d2meeV. (1.37)El experimento de Davissony Germer demostr que esta suposicintericaestabaenexcelente acuerdoconlaexperiencia, conrmandofehacientementequeloselectrones (yporende, todaslaspartculasmateriales) presentaban un carcter ondulatorio.EJEMPLO 1.5 En un dispositivo experimental como el del experimento de Davis-son y Germer, los electrones son acelerados por un potencial Vantes de incidirsobre un monocristal de Ni cuya distancia entre planos atmicos es de 0.91.Si el detector se sita en un ngulo=40o, calcule el valor del potencial deaceleracin para el cual se detecta en ese ngulo el mximo de dispersin deprimer orden.Dadoque2 + =180o, elngulorelacionadoconlaposicindeldetector ser =180o40o2= 70o.Apuntes de CF FLML1.5. Dualidad de la materia 19El mximo de dispersin de primer orden ocurre cuando n = 1, esto es, paraun ngulo 1 que vericasen 1 =h2d2meeV,o equivalentemente para un potencial de aceleracin, V, dado porV=h28d2sen21mee=(6,6 1034)28(0,91 1010)2 (0,9397)2 9,1 1031 1,6 1019 51,1 V .1.5.3. Naturaleza de la ondaEn el Apartado 1.3 se discuti que la relacin existente entre la in-terpretacin ondulatoria y la corpuscular de la radiacinelectromag-ntica poda hacerse mediante la interpretacin que se le daba al cam-po elctrico en un punto como una medida de la probabilidadde en-contrar a los fotones encierto instante enel entorno de dicho punto.Eneste sentido, en1926 Max Bornextendi estainterpretacinpro-babilsticaigualmenteal casodelaspartculasmateriales.Segnlainterpretacinde Born, lo que se est propagando enforma de onda(asociadoal movimientodelaspartculas)noesalgomaterial sinouna magnitudrepresentada matemticamente por (r, t), que se co-noce como funcin de onda y que posee el siguiente signicado fsico:Si en un instante t se realiza una medida para localizaralapartculaasociadaalafuncindeonda(r, t),laprobabilidadP(r, t)dVde encontrar a la partcula en undVcentrado en r viene dado porP(r, t)dV= [(r, t)[2dV. (1.38)Dado que la partcula evidentemente debe encontrarse en algn puntodel espacio, laprobabilidadde encontraradichapartculaenalgnpunto del espacio debe ser la unidad, por lo que debemos imponer lasiguiente condicin:_todo elespacio[(r, t)[2dV= 1 , (1.39)que se conoce como condicin de normalizacin.FLML Apuntes de CF20 Captulo 1. Fundamentos de Fsica CunticaAnalicemos dos casos de inters:Partcula libreDado que sobre unapartculalibre no se ejercenfuerzas exter-nas, esta partcula no debe encontrarse en ciertos sitios con msprobabilidadque enotros. Enconsecuencia, la probabilidaddeencontrarla en alguna posicin no debe depender de dicha posi-cin. Por otra parte, una partcula libre tiene perfectamente de-nido su energa, E, y su momento, p, por lo que de acuerdo a lasrelaciones de de Broglie (p = hk y E = h), su nmero de ondasy frecuencia estn igualmente denidas y, por tanto, es razona-ble suponer que su funcin de onda asociada pueda venir dadapor(x, t) = Aej(p/ h)xej(E/ h)t. (1.40)Partcula localizadaSi una partcula est localizada existir entonces ms probabili-dadde encontrarlaenalgunos sitios que enotros. Consecuen-temente P(x, t) debe depender de laposicin, lo cual se puedeconseguir si su funcin de onda asociada, (x, t), viene dada porun grupo de ondas, por lo que podr expresarse como(x, t) =_k0+kk0kA(k)ejkxej(k)tdk . (1.41)Enestecaso, lavelocidaddelapartculavendrdeterminadapor la velocidad del grupo de ondas, esto es,vg =ddk=1 hdEdk. (1.42)Es interesante resaltar que la funcinde onda, , no es una mag-nitudestadstica, enel sentido de que describa el comportamiento deun colectivo muy numeroso de partculas que se maniestan simult-neamente, sino que es una propiedadintrnseca de cada partcula,independiente del colectivo4. En este sentido, la interpretacin proba-bilstica de Born nos impone una restriccinal conocimiento que po-demos tener sobre la partcula, es decir, todo lo que nos puede dar laFsica Cuntica sobre la posicin de una partcula es una informacin4Cuando decimos que laprobabilidadde sacarcara al lanzarunamoneda es de1/ 2, estamos diciendo que al lanzar un colectivo numeroso de monedas al aire, muyaproximadamente la mitad de ellas ser cara y la otra mitad cruz. Al aplicar esa pro-piedad a un elemento del colectivo, le estamos atribuyendo a ste las propiedades queenrealidadslo posee el colectivo. De hecho, enprincipio, si supisemos conexac-titudlas condiciones que determinanel lanzamiento de unamoneda (suposicin ymomentoiniciales), podramos determinarconprecisinel resultado de este even-to. Esto NO es lo que ocurre conlas partculas cunticas sino que cadauna de ellasindividualmentepresentauncomportamientoqueslopuedeconocerseenformaprobabilsticaApuntes de CF FLML1.6. Principio de Heisenberg 21probabilsticaacercadel posible resultado de unamedida. Podemosver que este hecho dota a nuestro conocimiento sobre la partcula decierta incertidumbre, hecho que ser discutido conms profundidaden el apartado siguiente.1.6. Principio de HeisenbergSi una cuerda es agitada de forma peridica, tal como muestra lagura adjunta, y nos planteamos la pregunta de dnde est la onda?,entonces parece razonable responder que la onda est distribuida entoda la cuerda. No obstante, si la pregunta es cul es la longituddeonda?, entonces larespuestapuede sermsprecisa. Noobstante, sien vez de agitar la cuerda peridicamente simplemente se ha agitadouna vez de modo que se ha generado un pulso que viaja por la cuerda,ahora la pregunta de dnde est la onda? podra ser respondida concierta precisin mientras que a la pregunta cul es la longitud de on-da? no encontraramos una respuesta precisa. Esta discusin pone demaniesto que, en este fenmeno ondulatorio, una determinacin preci-sa de la longitud de onda hara ms imprecisa la determinacin de laposicin, y viceversa. Unestudio ms riguroso, basado enel anlisisde Fourier, nos permitira establecer que la imprecisin o incertidum-bre enla determinacinsimultnea de los valores de la posiciny lalongitud de onda es algo inherente a todo fenmeno ondulatorio.1.6.1. Principio de incertidumbreposicin/momentoSi tenemos en cuenta que todo fenmeno ondulatorio estar afec-tadointrnsecamente porlaanteriorincertidumbreenlamedidadesuposicinylongitudde ondaylo relacionamosahoraconlaexis-tencia de la dualidad onda/corpsculo tanto para la radiacin como paralamateria, parece entonces razonable preverlaexistencia de incerti-dumbre en la determinacin de ciertas magnitudes fsicas en cualquierfenmeno natural. Eneste sentido, en1927 W. Heisenberg postul elsiguiente principio para la medida de la posicin y el momento de unapartcula:EnunexperimentoNOes posible determinarsimult-neamente y con toda precisin una componente del mo-mentodeunapartcula, porejemplopx, ylaposicinde lacoordenada correspondiente x. Si representa laincertidumbre en la medida, encontraremos quepxx h . (1.43)FLML Apuntes de CF22 Captulo 1. Fundamentos de Fsica CunticaUna manera de ver que la dualidadonda/ corpsculo de la mate-Relacin de incertidumbre parala posicin y el momentoria est intrnsecamente relacionada con el anterior principio de incer-tidumbre puede obtenerse a partir de la determinacin de la posicinde una partcula hacindola pasar por una rendija de anchura x (s-tasera justamente laincertidumbre ensuposicin). Al pasarporlarendija, lapartculasufriradifraccindebido asucarcterondulato-qDxDpxpprio. El estudio de la difraccin de una onda plana que incide normal ala rendija muestra que, para la conguracin mostrada en la gura, elprimer mnimo de difraccin se produce para un ngulo tal quesen =x. (1.44)Dadoquelapartculallegaraalgnpuntocomprendidoentrelosdos mnimos mostrados en la gura, podemos ver que el mximo deincertidumbre de la componente x del momento serpx= p sen , (1.45)donde p es el mdulo del momento de la partcula, que no habr cam-biado al atravesar sta la rendija. Teniendo ahora en cuenta la relacinde de Broglie (1.28) y las dos expresiones anteriores, podemos escribirpx=hx(1.46)y nalmentepxx = h . (1.47)Notemos que el simple anlisis anterior, basado en el carcter ondula-torio de la partcula, nos ha conducido a una expresin que relacionalas incertidumbres de la posiciny el momento, siendo adems con-gruente con (1.43).El principiode incertidumbre puede tambinrelacionarse conlaexistenciade unmnimode accin, h, descritoenel Apartado 1.2.1.Debe tenerse en cuenta que cualquier descripcinde unfenmeno re-quiereciertainteraccincondichofenmeno. Debidoalaexistenciade un mnimo de accin, esta interaccin no puede hacerse innitesi-mal, por lo que la correspondiente descripcin siempre estar sujeta acierta incertidumbre.Es importante destacar tres puntos con respecto al principio de in-certidumbre:1. Laexistenciadeincertidumbrenosedebeadecienciasenlacalidadde los aparatos de medida. Incluso con aparatos idealesseguira existiendo una incertidumbre en la medida determina-da por (1.43).2. El principio de incertidumbre no prohbe una medida exacta dela posicin o el momento. Ahora bien, una medida exacta en laposicin (esto es, x 0) implica una incertidumbre total en lamedida del momento, px , y viceversa.Apuntes de CF FLML1.6. Principio de Heisenberg 233. La desigualdad(1.43) debe considerarse como algo intrnseco yfundamental del comportamiento de la naturaleza.Consecuencias del principio de incertidumbreposicin/momentoUna consecuencia relevante del principio de incertidumbre es que,en un sentido estricto, no podemos seguir hablando de trayectorias delas partculas. Notemos que laexistencia de una trayectoria denidaes simplemente lainformacinsimultnea yprecisa acercade laspo-sicionesylasvelocidades(momento) deciertapartcula. Dadoquela simultaneidad y precisin de ambas magnitudes no est permitidapor(1.43), debemos admitirque el concepto detrayectoriadebe serrevisado y usado conmucha prudencia. No obstante, debemos teneren cuenta que ms relevante que la incertidumbre absoluta en s es laincertidumbre relativa, esto es, el cociente entre la incertidumbre y elvalor de la magnitud. Veamos este hecho con el siguiente ejemplo.EJEMPLO 1.6 Calcule la incertidumbre relativa en la determinacin del momen-to para el movimiento de (1) la Luna en su rbita alrededor de la Tierra y (2) elelectrn en el tomo de hidrgeno.La LunaSabiendo que la masa de la Luna es m 6 1022kg, que su velocidadmedia es v 103m/ s y que suposicin se determina con una incerti-dumbre de x 106m(con una incertidumbre tan pequea, px semaximiza), la incertidumbre en el momento vendr dada porpx hx 1028kgm/ s .Puesto que el momento puede calcularse comopx = mv 1025kgm/ s ,la incertidumbre relativa ser aproximadamentepxpx10281025 1053.La incertidumbre relativa para el momento, incluso intentando maxi-mixarla, es tremendamente pequea; tanto que en la prctica sera to-talmente indetectable. Consecuentemente, para el caso de la Luna ensu rbita alrededor de la Tierra, el concepto de trayectoria es aplicable.Electrn en tomo de hidrgenoConel ndeobtener el mnimodeimprecisinenel momento, su-pongamos que la imprecisin en la determinacin de x es mxima, esdecir, que slo sepamos que el electrnest dentro del tomo. Da-do que el tamao del tomo vena dado por r0, entonces diremos quex r0 1010m y, por tanto,px hx 1024kgm/ s .FLML Apuntes de CF24 Captulo 1. Fundamentos de Fsica CunticaNtese que la incertidumbre absoluta en el momento es mayor para elelectrn que para la Luna. Para calcularp, tengamos en cuenta que laenerga cintica, Ec, del electrn en la rbita fundamental serEc = E0/ 2 7eV 1,12 1018J ,por lo quep =2meEc _29,3 1031 1,12 1018 2 1024kgm/ s .La incertidumbre relativa en el momento ser entoncespxpx10242 1024 0,5 ,esto es, una incertidumbre relativa muy importante, lo que indica cla-ramente que no podramos hablar de la trayectoria del electrneneltomo de H.Otraconsecuenciaimportantedelprincipiodeincertidumbreesque no existe reposo para las partculas localizadas. Supongamos una par-tcula que est localizada encierta regin 0 x a. Ciertamente, lamxima incertidumbre en la localizacin de esta partcula es(x)max = a ,y, en consecuencia, la mnima incertidumbre en el momento ser(px)min =ha.Teniendo en cuenta que el mnimo valor del momento, pmin, debe serdel ordendel mnimovalor desuincertidumbre, entonces tenemosquepmin (px)min,por lo que la energa cintica mnima de la partcula tomar el valor(Ec)min =p2min2mh22ma2, (1.48)esto es, una partcula localizada no puede estar en reposo (con energacintica nula).1.6.2. Principio de incertidumbre energa-tiempoAl igual que existe un principio de incertidumbre para la posiciny el momento, podemos encontrar un principio de incertidumbre parala energa y el tiempo. Este principio puede enunciarse como siguePrincipio de incertidumbreenerga-tiempoE t h , (1.49)donde E debe entenderse como la incertidumbre energtica asociadaa la energa puesta en juego en cierta transicin y t como el intervalode tiempo que tarda el sistema en realizar dicha transicin.Apuntes de CF FLML1.6. Principio de Heisenberg 25El principio de incertidumbre energatiempo puede tambinin-terpretarse diciendoque unadeterminacinde laenergade unsis-temaquepresente unaincertidumbre, E, debe tomaral menosunintervalo de tiempot hE.Anlogamente, si unsistema permanece encierto estado durante untiempo no mayor que t, la energa enese estado presentar una in-certidumbre de al menosE ht.Cuando hablamos de la incertidumbre en la energa de cierto estadodebe entenderse que nosreferimosalaincertidumbreenlaenergapuesta en juego en la transicin a otro estado de referencia, usualmen-te el estado fundamental.EJEMPLO 1.7 Se sabe que el tiempo de vida media, , de cierto estado atmicoes de 100 s. Determine (1) la incertidumbre en la energa de dicho estado y (2)la incertidumbre en la longitud de onda de la radiacin emitida en la transicinhacia el estado fundamental, sabiendo que en sta se emite una radiacin de = 100 nm.1. El tiempo de vida media es una medida del tiempo que tarda en realizar-se cierta transicin, por lo que podemos identicar t . La incerti-dumbre en la energa puesta en juego en la transicin ser entoncesE ht 1,009 1034104 1020J 6,25 102eV .2. Enlatransicinhaciaelestadofundamental seemitirunfotndeenergaE=h, cuyaincertidumbreEcorrespondealacalculadaanteriormente. La longitud de onda de la radiacin emitida ser =hcE,por lo que la incertidumbre enla longitudde onda, , vendr dadapor =ddEE =hcE2 E =2hc E=(100 109)26,6 1034 3 108 1020 5 .Eneste caso la incertidumbre relativa enla longitudde ondaes bas-tante pequea=0,5 nm100 nm= 0,005 .FLML Apuntes de CF26 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cuntica1.7. Problemas propuestos1.1: La longitud de onda, max, para la cual la radiancia espectral de un cuerpo negroes mxima viene dada por la ley de Wien, que establecemaxT = 2,898 103mK ,donde Tes latemperatura absoluta del cuerpo negro. Sabiendo que la temperaturade la supercie del Sol es aproximadamente 5800 K, (a) calcular la longitudde ondade la radiacin ms intensa emitida por el Sol. (b) A qu parte del espectro perteneceesta radiacin?Sol. max 500 nm (espectro visible).1.2: Si el ojo humano empieza a detectar luz amarilla de longitudde onda 5890apartir de una potencia de 3,1 1016W, Cul es el nmero mnimo de fotones quedeben incidir en el ojo para la luz amarilla se vea?.Sol. 923 fotones.1.3: Una supercie de potasio se encuentra a 75 cm de distancia de una bombilla de100 W. Suponiendo que el rendimiento luminoso de la bombilla es del 5 % y que cadatomo de potasio presenta una supercie efectiva equivalente a un crculo de 1 dedimetro, calcule el tiempo requerido por cada tomo para absorber una energa iguala la de su funcin trabajo (e = 2,0 eV), de acuerdo con la interpretacin ondulatoriade la luz.Sol. t = 57,6 s1.4: Unaradiacinde2,5 1015Hzincidesobreunasuperciemetlicacuyafre-cuenciaumbral es de 9 1014Hz. Calcularla velocidadde los fotoelectrones emiti-dos. Qu ocurrira si la radiacin incidente fuese de 8,5 1014Hz?.Sol. v = 1,52 106m/ s.1.5: (a) Calcular la longitud de onda mxima de la luz que har funcionar una clulafotoelctricadotadade unctodo de tungstenosabiendo que los fotoelectrones po-seen una energa cintica de 5.5 eV cuando son arrancados por una luz de = 1200 .(b) Si esta radiacin de = 1200 e intensidadI = 2,5 W/ m2incide sobre la clulafotoelctrica de 30 mm2de supercie, siendo el rendimiento cuntico del 20 %, culsera la intensidad, i, de la corriente elctrica producida?.Sol. (a) max = 2570 ; (b) i = 1,45 A.1.6: Para una radiacin de 1500 que incide sobre una supercie de aluminio quetiene una funcin trabajo de 4.2 eV, calcule (a) La energa cintica mxima de los fotoe-lectrones emitidos; (b) el potencial de frenado; (c) la frecuencia de corte del aluminio.Sol. (a) 4.09 eV; (b) 4.09 V; (c) 1,01 1015Hz.1.7: Se emite un haz de fotones mediante una transicin electrnica entre los nivelesE2 = 8 eV y E1 = 2 eV. Este haz luminoso de potencia P = 10 W incide sobre un me-tal cuyo trabajo de extraccin es e = 2,5 eV, originando la emisin de electrones porefecto fotoelctrico con rendimiento = 0,8 (nmero de electrones emitidos/ nmerode fotones incidentes). Calcular: (a) la energa, frecuencia y cantidadde movimientode los fotones; (b) laenergacinticade los fotoelectrones; y (c) el nmero de ellosque son emitidos por segundo.Sol. (a) = 1,45 1015Hz; (b) p = 3,2 1027kgm/ s; (c) Ec = 3,5 eV; N= 8 1012.1.8: Se consideran los rayos Xproducidos debidos a la transicin de los niveles E2 =6,33KeV y E1 = 2KeV. Determinar: (a) la frecuencia de dichos fotones; (b) la potenciaemitida(enmW) cuandoel nmero de transiciones porsegundoesN=1014s1;y(c) ladistancia(en) entredosplanosreticularescontiguosdeunmonocristal,sabiendo que la reexin de primer orden de esta radiacin se produce con un ngulode = 450.Sol. (a) = 1,05 1018Hz; (b) P = 69 mW; (c) d = 2,02 .Apuntes de CF FLML1.7. Problemas propuestos 271.9: Se ilumina con luz de 280 nmla supercie de una aleacin metlica rodeada deoxgeno. A medida que la supercie se oxida, el potencial de frenado cambiade 1.3a 0.7 eV. Determinar qu cambios se producen en: (a) la energa cintica mxima deloselectrones emitidosporlasupercie; (b) lafuncindetrabajo; (c) lafrecuenciaumbral; y (d) la constante de Planck.Sol. (a) Ec disminuye en0,6 eV; (b) e aumentaen0.6 eV; (c)0 aumentaen1,46 1014Hz; (d) h no vara.1.10: Experimentalmente se observaque no todos los fotones que chocancontralasupercie metlicasoncapacesdeextraerunfotoelectrn. Enunexperimento, luzde longitudde onda4366 iluminaunasupercie de sodio de funcintrabajo2.5eV dando lugar a una emisin de 8,3 103C/ J. Cuntos fotones se requieren paraemitir un fotoelectrn?.Sol. 365 fotones.1.11: Suponeruntomodehidrgenoenel estadon =2 yunelectrnenrbitacircular. Determinar: (a) el radio de la rbita; (a) la energa potencial elctrica; (a) laenerga cintica; y (a) le energa total del electrn en esa rbita.Sol. (a) r = 2,12; (b) Ep = 6,79 eV; (c) Ec = 3,39 eV; (d) E = 3,39 eV.1.12: Cul es el mnimo potencial de aceleracincapaz de excitar unelectrn parasacar un tomo de Hidrgeno de su estado fundamental?Sol. Va = 10,2 V.1.13: En una transicin a un estado de energa de excitacin de 10.19 eV, un tomo dehidrgeno emite un fotn cuya longitud de onda es de 4890 . Determinar la energadel estadoinicial del queproviene ladesexcitacinylos nmeros cunticosde losniveles energticos inicial y nal. A qu transicin corresponde?.Sol. 4 2.1.14: Cul es el mayor estado que puedenalcanzartomos no excitados de hidr-geno cuando son bombardeados con electrones de 13.2 eV?Sol. n = 5.1.15: Si la vida promedio de un estado excitado del hidrgeno es del orden de 108s,estimar cuntas revoluciones da un electrn cuando se encuentra inicialmente a) en elestado n = 2 y b) en el estado n = 15, antes de experimentar una transicin al estadofundamental. c) Compararestosresultadosconel nmeroderevolucionesquehadado la Tierra en sus dos mil millones de aos existencia.Sol.: a) 8,22 106rbitas; b) 1,95 104.1.16: Calcularlaenerga, el momento lineal ylalongitudde ondadel fotnque esemitidocuandountomodehidrgenosufreunatransicindesdeelestado3alestado fundamental.Sol.: E = 12,07 eV, p = 6,44 1027kgm/ s, = 1030 .1.17: Para transiciones en tomos de hidrgeno correspondientes a n = 1, demues-trequeparavaloresmuygrandesden, laenergadelatransicinvienedadaporE=2(mec2/ n3), siendo unaconstanteadimensional, =2_140e2hc_, cuyovalor numrico es 1/ 137.1.18: Compare la frecuencia de revolucin en el tomo de hidrgeno con la frecuen-cia del fotn emitido en una transicin para la que n = 1 cuando los estados inicialesson a) n = 10, b) n = 100 y c) n = 1000.Sol.: A medida que n aumenta ambos valores se aproximan.1.19: Unhazde partculas (q=+2e), que es acelerado mediante unadiferenciadepotencial de 10 V, incide sobre uncristal de NaCl (d=2,82 ). Cul es el mximoorden de la reexin de Bragg que puede ser observada?.Sol.: nmax = 125.FLML Apuntes de CF28 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cuntica1.20: Si un haz monocromtico de neutrones (mn= 1,67 1027kg) incide sobre uncristal deberiliocuyoespaciadoentreplanosatmicosesde0,732 , cul serelngulo entre el haz incidente y los planos atmicos que d lugar a un haz monocro-mtico de neutrones de longitud de onda 0,1 ?.Sol.: 3,9o.1.21: Ellmitederesolucindeunaparatoesdelmismoordendemagnitudquela longitudde onda usada para ver los objetos bajo estudio. Para unmicroscopioelectrnico que opera a 60000 V, cul es el tamao mnimo del objeto que puede serobservado con este microscopio?.Sol.: d 0,05.1.22: Un electrn, un neutrn y un fotn tienen la misma longitud de onda, = 1 .Calcule y compare la frecuencia y energa de cada cual.Sol. electrn:=3,64 1016Hz, E=151 eV; neutrn: =1,98 1013Hz, E=8,2 102eV; fotn: = 3 1018Hz, E = 1,24 104eV.1.23: Cul es la incertidumbre en la posicin de un fotn de longitudde onda 3000, si su longitud de onda se conoce con una precisin de una parte en un milln?Sol. x 50 mm.1.24: La posicin de una partcula se mide al paso de sta por una ranura de anchurad. Hallar la correspondiente incertidumbre en el momento de la partcula.Sol. px h/ x.1.25: Cul sera la incertidumbre en la posicin de un electrn que ha sido aceleradomediante una diferencia de potencial V= 1000 0,1?.1.26: Si el ancho de energa de un estado excitado de un sistema es de 1.1 eV. (a) Cules el promedio de duracin en ese estado?; (b) Si el nivel de energa de excitacin delestado del sistema fuera de 1.6 keV, cul es la mnima incertidumbre en la longitudde onda del fotn emitido cuando el estado excitado decaiga?Sol. (b) 5 103.1.27: La ley de conservacin de la energa slo puede vericarse dentro de los lmitesde la incertidumbre de la medida, E. Consecuentemente esta ley podra ser violadasi el intervalo de tiempo es sucientemente corto. Durante qu mximo intervalo detiempo puede violarse la conservacin de la energa de un sistema en (a) el doble de laenerga correspondiente a un electrn en reposo, mc2(lo que corresponde a un fotnque produce espontneamenteunparelectrnpositrn); (b) el doble de laenergaasociada a la masa en reposo de un protn ?.Sol. (a) 1,27 1021s.1.28: Untomoemite fotones de luzverde,=5200 durante unintervalo=2 1010s. Estime la dispersin, , en la longitud de onda de la luz emitida.Sol. 7,17 1013m.Constantes: c = 3 108m/ s, 1 eV=1,6 1019J; h = 6,6 1034Js = 4,1 1015eVs;me = 9,1 1031kg.Apuntes de CF FLMLCaptulo 2Ecuacin de Schrdinger.Aplicaciones2.1. Ecuacin de SchrdingerLa primera formulacin que se realiz de la teora cuntica aportuna visin novedosa y revolucionara de multitud de fenmenos. Noobstante, esta teora presentaba una seria de inconvenientes, entre losque cabe destacar lo siguiente:Slo era aplicable a sistemas peridicos.Noexplicabalasdiferentesprobabilidadesdetransicinentredistintos niveles energticos.No explicaba el espectro de los tomos multielectrnicos.Asignabatrayectoriasaloselectrones, locualesincompatiblecon el principio de incertidumbre.Bsicamente, lo que faltaba era una teora unicadora que diera cuen-ta de los diversos fenmenos cunticos, a saber: dualidad onda/ corps-culo de la radiacin/ materia, principio de incertidumbre, naturalezaprobabilstica de los fenmenos, etc.Tal como ya se apunt enel Apartado 1.5.3, la descripcinde losfenmenoscunticosserealizaratravsdeunafuncindeonda,(r, t), que describe completamente el estado de unsistema dado. Apartir de esta funcinde onda se podrnobtener los valores mediosde las distintas magnitudes observables asociadas al sistema as comolaprobabilidadde encontraralas partculas endistintos puntos delespacio. Puede, por tanto, concluirse queel problema central de la teora cuntica es la deter-minacin de la funcin de onda (r, t).2930 Captulo 2. Ecuacin de Schrdinger. AplicacionesEn 1925, E. Schrdinger plante como un postulado la ecuacin di-ferencial que permite calcularlafuncinde onda, (r, t), cuando seconoce la energa potencial, Ep(r, t) (o a menudo simplemente poten-cial), de la que derivanlas interacciones que actansobre el sistema.Para el caso de un sistema monodimensional, la ecuacinde Schrdin-ger para la funcin de onda (x, t) esEcuacin de Schrdinger paraun sistema monodimensional h22m2x2+ Ep(x, t) = j ht. (2.1)Es interesante notar que la solucin de esta ecuacin ser, en general,una funcin compleja debido a la aparicin de la unidad imaginaria, j,en el segundo miembro. Esto implica que el uso de funciones comple-jas no ser un recurso matemtico (tal como se hace, por ejemplo, en elestudio de corriente alterna y en las ondas en Fsica Clsica) sino que,por el contrario, forma parte esencial de la propia teora.La funcin de onda (x, t) debe cumplir las siguientes condiciones:Tanto(x, t)comosuderivadaespacial debenser funcionescontinuas, nitas y monoevaluadas.Deacuerdoalaexpresin(1.39), debecumplirselasiguientecondicin de normalizacin (ver Apndice C):_[(x, t)[2dx =_(x, t)(x, t) d x = 1 , (2.2)que nos dice que la probabilidadde encontrar a la partcula enalgnpuntoxdebe ser igual alaunidad(es decir, lapartculadebe estar en algn sitio).A partir de la expresin (1.38), podemos establecer que(x, t)(x, t)d x =___probabilidad de encontrar a lapartcula en el instante tentre x y x + dx___, (2.3)por lo que el valor esperado1en una posible medicin de la posicin dela partcula vendr dado porx) =_xd x (2.4)(enanalogaconlaexpresin(C.5) del ApndiceC). Paracualquierotramagnitud, f (x), que seafuncindex, suvaloresperado podrcalcularse mediante f (x)) =_f (x)d x . (2.5)1En el contexto de la Fsica Cuntica, el valor esperado es el promedio de los valoresde una serie de medidas repetidas sobre un conjunto de sistemas idnticamente pre-parados. No es el promedio de los valores de unaserie de medidas repetidas sobreun nico y mismo sistemaApuntes de CF FLML2.1. Ecuacin de Schrdinger 31Estados estacionariosExisten multitudde situaciones en las cuales la energa potencial,Ep, del sistema no depende del tiempo sino nicamente de la posicinde los distintos componentes del sistema, en cuyo caso tendremos queEp=Ep(x)(por ejemplo, laenergapotencialelectrosttica)2.Paraestas situaciones encontramos que la funcin de onda puede escribirsecomo el producto de dos funciones (x) y g(t), de modo que (x, t) =(x)g(t). Al sustituir esta forma de la funcin de onda en la ecuacin(2.1), obtenemos que h22m_g(t)d2(x)dx2_+ g(t)Ep(x)(x) = j h_(x)dg(t)dt_,que tras dividir ambos miembros por (x)g(t) queda como1(x)_ h22md2(x)dx2+ Ep(x)(x)_ =1g(t)_j hdg(t)dt_. (2.6)Notemos que la nica posibilidad de que los dos miembros de la ecua-cin anterior sean iguales consiste en que ambos sean idnticos a unaconstante que denominaremos E de momento. Al igualar cada uno delos miembros de (2.6) a dicha constante obtenemos las dos siguientesecuaciones diferenciales ordinarias acopladas: h22md2(x)dx2+ Ep(x)(x) = E(x) (2.7a)dg(t)dt= jE hg(t) . (2.7b)Es fcil comprobar que la solucin a la ecuacin (2.7b) viene dada porla funcing(t) = ej(E/ h)t. (2.8)Notemos que el factor E/ h tieneunidades de inversode tiempo(o,loque es lo mismo, de frecuencia), porlo que laconstanteE tendrunidades de h porfrecuencia, es decir, julios. Enconsecuenciadichaconstante puede identicarse con la energa del sistema.Es importante destacar que la situacin anterior en la que la ener-ga potencial no dependa del tiempo da lugar a estados estacionarios,esto es, a situaciones que no varan con el tiempo. Para comprobar es-te hecho basta notar que, teniendo en cuenta (2.8), la funcin de ondapuede escribirse como(x, t) = (x)ejEt / h, (2.9)2Recurdese que en el marco de la Fsica Clsica, estos sistemas reciban el nombrede sistemas conservativos, en los cuales la fuerza que acta sobre el sistema se calculaa partir del gradiente de la energa potencial, esto es,F(x) = dEp(x)dx.FLML Apuntes de CF32 Captulo 2. Ecuacin de Schrdinger. Aplicacionesque da lugar a una densidad de probabilidad[(x, t)[2= (x, t)(x, t)= (x)e+jEt / h(x)ejEt / h= [(x)[2(2.10)queNO depende del tiempo. En estos estados estados estacionarios laenerga debe conservarse, viniendo sta dada precisamente por la varia-ble E de las ecuaciones (2.7a) y (2.7b).En lo que sigue, se tratarnnicamente situaciones estacionarias,por tanto, la funcinde onda(x) y la energa del sistema, E, se ob-tendr resolviendo la ecuacin (2.7a) , esto es,Ecuacin de Schrdingerindependiente del tiempo h22md2(x)dx2+ Ep(x)(x) = E(x) (2.11)queseconocecomoecuacinde Schrdingerindependientedel tiempo.Evidentemente la resolucin de esta ecuacin requiere el conocimien-to del potencial, Ep(x), del sistema.2.2. Partcula ligada. CuantizacinUna vez establecida la ecuacin que rige el comportamiento de lossistemaestacionarios, procederemoslaresolucindealgunassitua-ciones relevantes. Empezaremos tratando la partcula libre para luegoabordar el problema de la partcula en un pozo tanto monodimensio-nal como tridimensional.2.2.1. Partcula LibrePara una partcula libre (esto es, una partcula sobre la que no ac-tan fuerzas externas), la energa potencial no depende de la posicin,pudindose tomar su valor de referencia como nulo. La ecuacin a re-solver ser, por tanto, h22md2(x)dx2= E(x) , (2.12)que puede reescribirse, al redenirk2=2mE h2, (2.13)o equivalentementeE = h = h2k22m, (2.14)comod2(x)dx2+ k2(x) = 0 . (2.15)Apuntes de CF FLML2.2. Partcula ligada. Cuantizacin 33La solucin de esta ecuacin puede escribirse como(x) = Aejkx,(donde k juega el papel de un nmero de ondas) por lo que la funcinde onda vendr dada por(x, t) = Aej(kxEt / h). (2.16)Si tenemos en cuenta las relaciones de de Broglie (E = h, p = hk), po-demos comprobar que la solucin de la ecuacin de Schrdinger parauna partcula libre coincide con la expresin obtenida previamente en(1.40) mediante razonamientos puramente heursticos.Si en la expresin de la energa de la partcula libre,E = p2/ 2m ,sustituimos el valorde E yp por sus equivalentes segnde Broglie,obtenemos que h = h2k22m,expresin que es idntica a (2.14), conrmando as la congruencia dela presente formulacin con las hiptesis de de Broglie.2.2.2. Pozo potencial innito monodimensionalExistenmuchassituacionesprcticasenlascualesunapartculaes completamente libre excepto enlos contornos (o paredes) de unx=0 x=axE xp( )recinto donde una fuerza innitaevitaque lapartculasalga de esterecinto. Para el caso monodimensional de un recinto limitado por 0 x a, la energa potencial de dicho sistema vendr dada porEp(x) =_0, si 0 x a, en otro caso.(2.17)Enel casode unapartculacunticasometidaaeste tipode po-tencial, debe cumplirse que la probabilidadde encontrar la partculafuera del pozo sea nula, esto es,(x) = 0 0 > x> a . (2.18)En el interior del pozo de potencial, dado que la partcula no esta afec-tada por fuerza alguna, la funcin de onda ser la solucin ded2(x)dx2+ k2(x) = 0 , (2.19)siendok =2mE h, (2.20)FLML Apuntes de CF34 Captulo 2. Ecuacin de Schrdinger. Aplicacionesel nmero de ondas asociado. La solucin general de la ecuacin (2.19)puede expresarse como(x) = Ae+jkx+ Bejkx,dondeAyB serndosconstantesquesedeterminarndeacuerdoalascondicionesdel problema. Enconcreto, alaplicar lacondicin(2.18) al extremo x = 0, esto es (0) = 0, obtendremos queA + B = 0, por lo que B = A.Esta condicin hace que la funcin(x) pueda escribirse como(x) = A_e+jkxejkx_ = Csen kx ,donde C=2jA. Al imponerahoralacondicin(2.18) enel extremox = a, es decir: (a) = 0, tenemos quesen ka = 0 ka = n ,esto es,kn = na, n = 1, 2, 3, . . . (2.21)Esinteresantenotar quelacondicindecontornoenx =a nohajado el valor de la constante C sino ms bien el de la variable k y deaqu que los posibles valores de la energa, teniendo en cuenta (2.20),vengan dados porEnerga de la partcula en unpozo monodimensionalEn = h2k2n2m= n2 h222ma2= n2E0 , n 1 . (2.22)La expresin anterior nos dice que la energa de una partcula cunti-ca en un pozo monodimensional de paredes innitas no puede tomarcualquier valor sinosolamenteciertosvalorespermitidos, estoes, laenerga esta cuant izada. El estadon=1 se denominaestado funda-mental, siendo su valor de energa E0. Los estados con n> 1 se deno-minan estados excitados.Elvalor delaconstanteCsedeterminaal imponer lasiguientecondicin de normalizacin (2.2):_a0[C[2sen2(kx) dx = [C[2a2= 1, luego [C[2=2a .Dentro del pozo, las diferentes soluciones de la funcinde onda sonentoncesn(x) =_2asen_nax_, (2.23)donde el numero n se denomina nmero cuntico y dene el estadode la partcula en el pozo monodimensional.Esinteresantenotar queelestadodemnimaenergadelapar-tculaenel pozo viene dado porE0, lo que signicaque el valordeApuntes de CF FLML2.2. Partcula ligada. Cuantizacin 35y( ) xx=0 x=0 x=a x=a|y( )| x2n=1n=2n=3FIGURA 2.1: Aspecto de las funciones de onda y funciones densidad de probabilidadpara distintos nmeros cunticosmnimaenergano es nulo. Este sorprendente hecho yafue expues-to enel Apartado 1.6.1 como una posible consecuencia del principiode incertidumbre posicin/ momento. En concreto, la expresin (1.48)estableca que la energa de la partcula en el pozo deba serE h22ma2.Este hecho muestra de nuevo que laformulacinbasadaenlaecua-cin de Schrdinger es congruente con el principio de Heisenberg.El conjunto de funciones de onda n(x) presenta unaserie depropiedades interesantes:La funcin de onda n(x) pasa n 1 veces por cero, esto es, pre-senta n 1 nodos.Son funciones pares o impares con respecto al centro del pozoA medida que el nmero de nodos aumenta, crece el valor de laenerga del estadoEJEMPLO 2.1 Calcule la longitud de onda mnima del fotn que debiera ser ab-sorbido para que un electrn situado en el estado fundamental de un pozo mo-nodimensional de paredes innitas de anchura a = 2 transite hasta el tercerestado excitado.Si la energa del electrn en el estado fundamental en el pozo esE0 = h222mea2=(1,05 1034)2229,1 1031 (2 1010)2= 1,49 1018J = 9,34 eV ,FLML Apuntes de CF36 Captulo 2. Ecuacin de Schrdinger. Aplicacionesy la energa en el tercer estado excitado (n = 4) es, segn (2.22),E4 = 16E0 = 149,4 eV ,la energa, E, necesaria para realizar la transicin del estado 1 4 vendrdada porE = (4212)E0 = 15E0 = 2,23 1017J .TeniendoahoraencuentaquelaenergadeunfotnesE=hc/, lalongitudde onda mnima, min, de un fotn capaz de producir la transicinanterior al ser absorbido sermin=hc15E0=6,6 1034 3 1082,23 1017= 8,86 nm.2.2.3. Pozo de potencial tridimensionalConsidreseunasituacinenlaqueunapartculacunticaestconnada en cierta regin del espacio (por ejemplo, un paraleleppe-yzxabcdo) de la que no puede salir. Dicha situacin podra estar relacionadaconla ausencia de fuerzas en el interior de la regin y una fuerza in-nita en las paredes impenetrables. Este caso, que podra describir lasituacin de un electrn libre en un slido, estara caracterizado por lasiguiente energa potencial:Ep(x, y, z) =_0, si 0 < x< a, 0 < y< b, 0 < z< c, en otra parte .(2.24)Para resolver la ecuacin de Schrdinger en este sistema (y as en-contrar las funciones de onda y las energas de la partcula), debemostener encuentaqueahoralaenergapotencial dependedelastresvariables espaciales x, y y z, es decir, nos enfrentamos a un problematridimensional. Este hecho implica que la ecuacin de Schrdinger debeser extendida al caso tridimensional. Dado que las funciones de ondadependern de las tres variables espaciales, = (x, y, z), la ecuacinde Schrdingerdebe incluirderivadas parcialesconrespecto acadauna de estas variables, por lo que la extensin de la ecuacin (2.11) alcaso 3D tendra la siguiente forma: h22m_2x2+2y2+2z2_+ Ep(x, y, z) = E , (2.25)o bien usando el operador 2 2/x2+ 2/y2+ 2/z2, h22m2 + Ep(x, y, z) = E . (2.26)Si ahora tenemos encuenta la forma de la energa potencial dada en(2.24), la ecuacin anterior puede reescribirse como2x2+2y2+2z2+ k2 = 0 (2.27)0 < x< a, 0 < y< b, 0 < z< c ,Apuntes de CF FLML2.2. Partcula ligada. Cuantizacin 37donde, de nuevo, k viene dado por (2.20). La ecuacin anterior puederesolverse por el mtodo de separacin de variables, el cual supone quela funcinde onda, (x, y, z), puede expresarse como el producto detres funciones, cada una de las cuales depende nicamente de una delas variables espaciales, esto es,(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z) .Al introducir esta solucin en (2.27), obtenemos el siguiente conjuntode ecuaciones:d2Xdx2+ k2xX= 0 , X(x) = 0 para 0 x a (2.28a)d2Ydy2+ k2yY= 0 , Y(y) = 0 para 0 y b (2.28b)d2Zdz2+ k2zZ= 0 , Z(z) = 0 para 0 z c (2.28c)dondek2x + k2y + k2z= k2=2mE h2. (2.29)Ntese que cada una de las ecuaciones (2.28a)(2.28c) es equivalente ala ecuacin (2.19) ya resuelta para el caso del pozo monodimensional.Consecuentemente, la solucin del presente vendr dada porkx= nxa, ky= nyb, kz= nzc, (2.30)estandolafuncinde ondadelapartcula(estoes, cadaestadodelsistema) determinadaportres nmeroscunticos, (nx,