filosof ia y numeros · a conocer un teorema nuevo sobre areas de regiones cuadrangulares que...

FILOSOFIA Y NUMEROS

Cuadernillo N◦ 5

FORMA GEOMETRICA DEL

AREA DE UNA REGION

CUADRANGULAR

Milton F. Donaire

Serie:Numeros y Ciencia

2 Milton Favio Donaire Pena

Indice general

1. HISTORIA 11

2. FOMULAS 17

3. EL TEOREMA 233.1. CUADRILATEROS COM-

PLEMENTARIOS . . . . 23

4. APLICACIONES 434.1. LADOS CONGRUENTES 434.2. LADOS CONGRUENTES 454.3. CIRCULO INSCRITO . . 474.4. RAZON DE DISTANCIAS 484.5. BISECCION . . . . . . . 504.6. LEON PIERRE ANNE . 514.7. SUMA DE PRODUCTOS 55

3

4.8. AREA . . . . . . . . . . 564.9. SHARIGUIN . . . . . . . 584.10. AREA . . . . . . . . . . 60

5. PROBLEMAS 655.1. Problema 1 . . . . . . . . 655.2. Problema 2 . . . . . . . . 665.3. Problema 3 . . . . . . . . 675.4. Problema 4 . . . . . . . . 685.5. Problema 5 . . . . . . . . 695.6. Problema 6 . . . . . . . . 70

Presentacion

En estos tiempos nos ha tocado vercomo las tecnologıas avanzan cada vezmas y que son muchas las personas quehacen uso de ella obteniendo buenos re-sultados. Es nuestro proposito, en ese sen-tido, aprovechar estos medios para po-ner a su alcance de manera gratuita unconjunto de cuadernillos electronicos delos mas variados temas que van desde losnumeros, la ciencia, hasta las humanida-des, con el unico fin de poder contribuira la cultura de nuestra gente, pues esta-mos convencidos que un paıs que estudia,es un paıs que despierta, un paıs que seculturiza es un pais que progresa, un paısque lee, es un paıs que no se somete.

5

Introduccion

Este trabajo tiene como proposito dara conocer un teorema nuevo sobre areasde regiones cuadrangulares que prometetener bastante utilidad.

El teorema en cuestion que se presen-ta en este cuadernillo permite calcular elarea de cualquier region cuadrangular sintener que recurrir al clasico teorema tri-gonometrico que involucra al producto delas diagonales con el seno del angulo queforman, lo cual equivale a decir que re-presenta una forma puramente geometri-ca de obtener tal area, y es precisamenteen ello, y en su simplicidad, que radica suimportancia.

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El punto de partida fue el estudio delarea de una region trapecial como el pro-ducto de la longitud de uno de sus la-dos laterales con la distancia a el, desdeel punto medio del otro lado lateral, lapregunta era si ese resultado podrıa ge-neralizarse. Al encontrarse que dicha ge-neralizacion era posible, el siguiente pasofue buscarle una demostracion sencilla, detal manera que dicho resultado pueda serincluido en los textos de nivel medio es-colar. Posteriormente se vio que el teore-ma era valido en todos los cuadrilaterosinclusive en los cruzados y que para uncuadrilatero convexo, cuando se usabanlas diagonales y sus puntos medios, podıaser resuelto como un caso particular delteorema de Leon Anne cuyo resultado sepresenta tambien en este cuadernillo.

Por ultimo, se han agregado resultadosespeciales que se obtienen con el teoremade manera directa, pero que tambien sepueden obtener por otros metodos clasi-cos, lo cual da la posibilidad al estudian-

9

te y al profesor de resolverlos usando losteoremas conocidos. Ası tambien se hanagregado en la parte final una serie deproblemas aplicativos que estan propues-tos para el lector.

El Autor


Dedicado al Ing. Manuel Arevalo V.

por el gran trabajo que realiza en la divul-

gacion e investigacion de la matematica

y por sus valiosos aportes a la bella geo-

metrıa.

Capıtulo 1

HISTORIA

En los trabajos de Euclides, el cua-drilatero se encuentra en la tercera partede la definicion 19 de su libro I “Figurascuadrilateras son aquellas que se en-cuentran debajo de cuatro lıneas rec-tas”mientras que para hablar de la me-dida de su superficie, en el mismo libroescribe en la segunda parte de la propo-sicion 34 que “...la diagonal divide alparalelogramo en dos partes iguales”,en las proposiciones 35 y 36 nos habla deparalelogramos dibujados entre dos rec-tas paralelas que tienen la misma basey aquellos que tienen bases de igual lon-

11


gitud, sucedido esto los paralelogramostendran igual area, realiza unos resulta-dos analogos para la superficie triangularen las proposiciones 37 y 38, para final-mente deducir en la proposicion 41 que“Si un paralelogramo comparte su basecon un triangulo y esta contenido entrelas mismas paralelas, el paralelogramoes el doble del triangulo”.

La proposicion 42 del libro I de los ele-mentos de Euclides es clave para poderdeducir que en todo trapecio las regio-nes determinadas por las diagonales conlos lados no paralelos son equivalentes,ya que este resultado puede servir parala demostracion de tal proposicion queEuclides presenta a modo de problema:“Construir sobre los lados de un angu-lo dado, un paralelogramo igual a untriangulo dado”.

En 1841 en el libro Elementos de Geo-metrıa de S. F. Lacroix, en el aparta-do 159 de la pagina XXV de su undeci-

13

ma edicion nos dice que “Dos figuras dediferentes formas, bien de una exten-sion igual o que contienen areas igua-les, se llaman equivalentes”, en ese mis-mo libro en el apartado 160 nos dice que“En los triangulos y en los paralelogra-mos se toma arbitrariamente por baseuno de sus lados, y se da el nombre dealtura a la perpendicular bajada des-de el angulo opuesto a dicho lado deltriangulo o a cualquier punto del ladoopuesto en el paralelogramo”, Lacroixusa tales definiciones tan igual como ac-tualmente lo usamos para luego enunciarexplıcitamente la formula del area de untriangulo.

En este mismo texto Lacroix senala queel area de cualquier polıgono incluyendoal de un cuadrilatero se calcula como lasuma de los triangulos en que este se pue-de dividir, pero Lacroix sı enuncia explıci-tamente las formulas para las areas de untrapecio y de cualquier paralelogramo taly como las trabajamos actualmente.


Anos antes en 1807 A. M. Legendre habıapublicado el libro Elementos de La Geo-metrıa - con Notas, en dicho texto ya seusan los mismo terminos que cita Lacroix,ası Legendre en su segundo Libro defi-ne las figuras equivalentes, tambien daenunciados explıcitos para las areas delas regiones paralelogramicas y triangu-lares como base por altura sobre dos ytambien para el trapecio como semi su-ma de bases por altura, no hace menciondel area de un polıgono cualquiera perosı de un polıgono regular. En 1467 Re-giomontanus publica su Tratado sobre elTriangulo, en el cual se formulan explıci-tamente tambien las formas de calcularel area de un triangulo como base por al-tura sobre dos; y haciendo uso del senode un angulo por medio del calculo delarea deduce que el area de un triangulose puede calcular como la mitad del pro-ducto de dos lados lados de un triangu-lo con el seno del angulo que subtien-den, esto lo enuncia en su teorema 25del libro II. De lo anterior podemos de-

15

ducir que la formula trigonometrica paracalcular el area de una region triangularse conocıa por aquella epoca, segun CarlBoyer, es probable que Regiomontanus,conociera el trabajo de Nassir-al-Din-al-Tusi un astronomo iranı que sus estudiosde la astronomıa lo habıan llevado casia formalizar la trigonometrıa como unadisciplina independiente, es decir compa-rable al trabajo que realiza Euclides conlos Elementos. Es conocido ademas queNassir escribio un trabajo estudiando alos cuadrilateros, en el cual trabaja am-pliamente la trigonometrıa.

Copernico ayuda mucho en cuanto a ladivulgacion de los teoremas trigonometri-cos de Regiomontanus, sin embargo es sualumno J. Rheticus quien en su Opus Pa-latinum de Triangulis da una mayor ma-durez a la teorıa formal de la trigono-metrıa.

Capıtulo 2

FOMULAS

En Geometrıa se dispone del teoremade Brahamagupta para calcular el area deuna region cuadrangular inscrita en unacircunferencia, tal formula resulta ser unageneralizacion del teorema de Heron parael area de una region triangular. En esesentido si p es la mitad de la suma de laslongitudes de los lados DA = a, AB = b,BC = c y CD = d de un cuadrilateroABCD entonces:

[ABCD] =√

(p− a)(p− b)(p− c)(p− d)

Si el cuadrilatero no se encuentra ins-crito en una circunferencia, entonces usa-

17


mos una medida angular α que es igual ala semi-suma de las medidas de dos angu-los opuestos cualesquiera del cuadrilate-ro, en tal caso la formula general quedacomo sigue:

[ABCD]2 = p(p− a)(p− b)(p− c)(p− d)− abcd cos2 α

Bretschneider habıa llegado al resulta-do para el area de cualquier region cua-drangular usando las diagonales x y y:

[ABCD]2 = p(p− a)(p− b)(p− c)(p− d)−1

4(ac+ bd+ xy)(ac+ bd− xy)

y la formula mas simple pero que haceuso de la trigonometrıa, nos indica que elarea de una region cuadrangular es iguala la mitad del producto de las longitudesde sus diagonales con el seno del anguloformado por ellas.

[ABCD] =xy sin θ

2

Al ser esta ultima, sumamente simple,se ha difundido ampliamente entre los es-tudiantes de la educacion media regular

19

ası como en el medio Pre universitario. Espor ello que esta formula trigonometri-ca aparece en casi todos los textos delambito indicado. Algunos textos de Geo-metrıa, que evitan la formula trigonometri-ca, indican que el area de una region cua-drangular se podrıa calcular haciendo usode la diseccion, es decir de hacer calculossobre algunas partes de ella, para luegoproceder a sumarlas.

b

h

bb

h

A

B C

D A

B

C

D

Figura 2.1: [ABCD] = b · h

Pero dos son las formulas que nos handado la idea de calcular el area de unaregion cuadrangular en base al productode uno de sus lados y una perpendicularrelativa a dicho lado, la formula del areapara los paralelogramos y la formula del


area para los trapecios:

La pregunta que debimos responder es¿que tenıan en comun estas formulas ensu aspecto grafico?, lo interesante de estoes que no tardo en aparecer la respuesta.Se trataba de las diagonales y la recta quepasa por los puntos medios de las diago-nales, la conocida recta de Newton, unicaen el caso del trapecio pero no determi-nada en el caso del paralelogramo:

b

h

bb

h

A

B C

D A

B

C

D

l

l

Figura 2.2: l: recta que pasa por los puntos medios delas diagonales

En base a estos resultados anteriores,es que surgio de manera natural, la pre-gunta de si esta formula era valida paratodos los cuadrilateros, ya que lo era enel caso del paralelogramo y en el caso del

21

trapecio. Es en esa direccion que se tratode buscar una demostracion a un posibleresultado general, usando inicialmente larecta que pasa por los puntos medios delas diagonales, lo cual se consiguio des-pues de algunos intentos, posteriormentese puso al descubierto que se podıa llegaral mismo teorema sin tener que usar larecta que pasa por los puntos medios delas diagonales.

Capıtulo 3

EL TEOREMA

3.1. CUADRILATEROS COM-

PLEMENTARIOS

Sera necesario para nuestro estudio in-troducir la idea del complemento de unaregion.

Definicion 1. Dos cuadrilateros serandenominados complementarios si sien-do uno, el contorno de una region con-vexa y el otro de una region no con-vexa, se pueden unir compartiendo doslados, a modo de rompecabezas, paradarnos un paralelogramo (por medio de

23


la adicion de las figuras o por mediode la sustraccion). Cualquiera de ellassera denominada el complemento de laotra.

Figura 3.1: Cuadrilateros Complementarios

Notemos que siempre dos cuadrilateroscomplementarios tienen sus 4 lados para-lelos y de igual longitud, ademas tambienposeen una de sus diagonales de igual lon-gitud, un angulo de igual medida y unosuplementario de otro.

25

Ahora estamos en condiciones de po-der dar a conocer nuestro Teorema:

Teorema 1. El area de Cualquier re-gion cuadrangular es igual al produc-to de las longitudes de uno de sus la-dos (b) con la perpendicular (h) traza-da hacia dicho lado, desde el punto deinterseccion del lado opuesto a el, conla recta que pasa por el centro del para-lelogramo que forma con su cuadrilate-ro complementario, y que es paralela ala diagonal no comun con este ultimocuadrilatero.

b

b

h

h

A

B

C

D

AB

C

D

O O

P

P

L

L

Figura 3.2: O: centro del paralelogramo, y la rectaL es paralela a la diagonal no comun CP , entonces:[ABCD] = bh


� Prueba

Paso 1 : Por ser paralelogramo

A

B

C

D

L

A

B

X YZ

P

A + B= X + Y + Z

Paso 2 : Trazamos DL // CP

A

B

C

D

L

A

B

X

Y

m m

P L

Z

M

4BCL : BM : mediana, B = Y

Del paso 1 y 2 se sigue: A = X + Z

27

Paso 3

A

B

C

D

A

X

P

Z

M

b

h

L

O

[ABCD] = X + A + Z[ABCD] = 2Apero A = bhDe allı[ABCD] = bh �

Definicion 2. Denominamos medianade un cuadrilatero al segmento que uneuno de sus vertices, con el baricentrode la region triangular determinada porlos otros tres vertices del cuadrilatero.

Teorema. En todo cuadrilatero sus me-dianas son concurrentes, en un puntoque las divide a cada una de ellas enla razon de 3 a 1.


A

B

C

DA B

C

D

GABC

G GABC

G

3k

k

3kk

Figura 3.3: G: Baricentro de ABCD

Definicion 3. En todo cuadrilatero alpunto de concurrencia de sus medianasle denominaremos baricentro del cua-drilatero.

Teorema. En todo cuadrilatero los seg-mentos que unen los puntos medios desus lados opuestos, se intersecan en elbaricentro del cuadrilatero.

Definicion 4. En todo cuadrilatero alsegmento que une los puntos medios dedos lados opuestos se le denomina Bi-mediana.

29

A

B

C

DA

B

C

D

G

G

Figura 3.4: G: Baricentro del cuadrilatero

Teorema 2. Si construimos un parale-logramo que tenga por lados, dos ladosde un cuadrilatero dado. Y si por elbaricentro del cuadrilatero dado, tra-zamos una recta L paralela a la rec-ta que une el vertice del paralelogramono contenido en el cuadrilatero, conel vertice del cuadrilatero no conteni-do en el paralelogramo, entonces: Elarea de cualquier region cuadrangulares igual al producto de las longitudes deuno de sus lados (b) con la perpendicu-lar (h) trazada hacia dicho lado desdeel punto de interseccion del lado opues-to a el, con la recta que pasa por el ba-


ricentro del cuadrilatero y que es para-lela a la recta L.

A

B

C

D

P

h

b

A

B

C

D

P

h

b

GG

LL

Figura 3.5: G: baricentro, entonces [ABCD] = b · h

A

B

C

D

P

b

Eh

F

G

Figura 3.6: G: baricentro, entonces [ABCD] = b · h

31

� Prueba

A

B

C

D

O

P

L

M

N

S

G

Figura 3.7: G: baricentro

Para su demostracion basta ver que larecta L que pasa por G y es paralela ala recta CP , tambien pasa por el centrodel paralelogramo, lo que reduce la prue-ba de este teorema a la del teorema 1 �

Teorema 3. El area de Cualquier re-gion cuadrangular es igual al produc-to de las longitudes de uno de sus la-dos (b) con la perpendicular (h) traza-da hacia dicho lado, desde el punto deinterseccion del lado opuesto a el, con


la recta que pasa por los puntos mediosde las diagonales del cuadrilatero.

A

B

C

D

M

N

P

h

b


� Prueba METODO 1

A

B

C

D

M

N

P

h

b

S

33

Construimos el paralelogramo ABSDusando su cuadrilatero complementario deABCD, como M es punto medio de ladiagonal BD, entonces M sera el centrodel paralelogramo ABSD. En el triangu-lo ACS se obtiene que la recta NM seraparalela a la recta SC; es decir, al final laprueba de este teorema se reduce al teo-rema 1 ya demostrado. �

� Prueba METODO 2 (Caso 1)

A

B

C

D

M

N

P

h

b

A

B

C

D

M

N

P

h

b

Usando regiones equivalentes[ABCD] = 2[BCDN ][ABCD] = 2[APD] = bh. �


� Prueba (Caso 2)

A D

B

C

P

MN

b

h

[ABCD]/2 = [BCDN ]

= [BNP ] + [NPD]− [CPD]

= [BNP ] + [NCP ] + [NPD]− [CPD]− [NCP ]

= [NPD] + [NCP ] + [NPD]− [CPD]− [NCP ]

= [NCPD] + [NPD]− [CPD]− [NCP ]

= [NCD] + [CPD] + [NPD]− [CPD]− [NCP ]

= [AND] + [NPD]− [NCP ]

= [AND] + [NPD]− [ANP ]

= [APD] = bh/2

Finalmente

[ABCD] = bh �

35

Cuando la region a trabajar es una re-gion no convexa, el teorema sigue siendoigual de valido, la recta que pasa por lospuntos medios de las diagonales sigue in-tersecando a sus 4 lados, entonces se ge-nera un tercer caso de la formula; igualque en los casos anteriores, se puede to-mar cualquier lado del cuadrilatero comobase b para aplicar la formula, y desde elpunto de corte de la recta de Newton conel lado opuesto1 se trazarıa la perpendi-cular h a usar.

A

B

C

D

M

N

P

h

b


1Lados opuestos: aquellos que no comparten un mismo vertice


� Prueba (Caso 3)

[ABCD] = 2[MBCD] = 2[APD] = bh

A

B

C

D

M

N

P

A

B

C

D

M

N

P

h

b

A continuacion podemos realizar unamodificacion significativa en el calculo delarea de la region cuadrangular en su for-ma no trigonometrica, esta sera como si-gue:

Teorema 4. El area de Cualquier re-gion cuadrangular es igual al produc-to de las longitudes de uno de sus la-dos (b) con la perpendicular (h) traza-da hacia dicho lado, desde el punto deinterseccion del lado opuesto a el, conla recta que pasa por el punto medio

37

de una de sus diagonales y el baricen-tro del cuadrilatero.

A

B

C

D

M

P

h

b

A

B

C

D

G

M

P

h

b

G


Definicion 5. Denominamos puntos desuperficie de un cuadrilatero, a los pun-tos de interseccion de su recta de New-ton, con cada uno de los lados del cua-drilatero.

Definicion 6. Denominamos perpen-dicular de superficie de un cuadrilate-ro, a las perpendiculares trazadas des-de los puntos de superficie hacia los la-dos opuestos a ellos.


Esta forma de calcular el area de unaregion cuadrangular nos a permitido se-guir buscando una mayor generalizacion,que de por sı ya esta expresada en el enun-ciado del teorema 2, con ello se puede de-mostrar los resultados siguientes (G: Ba-ricentro):

A

B

C

D

P

h

b

G

L

A

B

C

D

P

h

b

m

m

nn

E

E

Figura 3.11: [ABE]− [ECD] = b · h

De lo anterior observamos que la formu-la que estamos presentando en este cua-dernillo se puede aplicar para una region

39

cuadrangular cruzada2 pero en ese casola formula nos arroja la diferencia de lasareas de las regiones triangulares deter-minadas por el cuadrilatero cruzado, masno la suma de las areas de dichas regiones.

En la figura que sigue se muestra otroresultado de areas de regiones equivalen-tes:

A

B

D

C

X

Y

W

Z

Figura 3.12: [ABY ] = [CDX] = [BCZ] = [ADW ]

2Se denomina ası cuando el cuadrilatero tiene lados que seintersecan


Cada una de esas regiones triangularestiene por area la diferencia de las areasde las regiones triangulares determinadaspor el cuadrilatero cruzado ABCD.

Teorema 5. El area de cualquier re-gion cuadrangular es igual al productode las longitudes de uno de sus ladoscon la de la perpendicular hacia dicholado, trazada desde el punto de cortedel la recta que contiene al lado conse-cutivo a el con la recta que pasa por elpunto medio de una diagonal y que esparalela a la otra diagonal.

b

h

A

B

C

D

h

bA

B

C

D


41

En el siguiente grafico se aprecian lasregiones triangulares determinadas que serelacionan con el teorema anterior, cadauna de ellas de area igual a la mitad delarea de la region cuadrangular.

A

B

C

D

C

A

C

A

Figura 3.14: [ABA′′] = [BCC ′′] = [DAA′] = [DCC ′]

Las perpendiculares de superficie de-terminadas por la recta de Newton tienenla misma longitud que las perpendicula-res que se determinaron el teorema ante-rior, escogidas convenientemente.


h1

h2

h2

Figura 3.15: h1 = h2

NOTA

La prueba del teorema 5, es bastantesimple, si por B trazamos una recta pa-ralela a la diagonal AC y que intersecaa la recta DC en P , entonces se pruebarapidamente que [ABCD] = [APD], deallı la prueba se termina haciendo uso dela base media del triangulo de hipotenusaPD.

Capıtulo 4

APLICACIONES

En este capıtulo presentamos algunosresultados que se pueden demostrar apli-cando el teorema dado, pero que tambiense pueden obtener usando otros metodos.

4.1. LADOS CONGRUENTES

Si en un cuadrilatero ABCD, M yN son puntos de superficie de los la-dos BC y AD respectivamente y BC =AD, entonces la recta de Newton de-termina angulos de igual medida condichos lados.

43


θ

α

a

a

A

B

C

D

M

N

Figura 4.1: α = θ

� Prueba

[BNC] = BC ·MN ·sin θ = [ABCD]/2[AMD] = AD·MN ·sinα = [ABCD]/2De allı se sigue que:(BC ·MN) sin θ = (AD ·MN) sinαcomo BC = AD, Entoncesθ = α �

45

NOTA

En general, si las longitudes de los ladosAD y BC fueran diferentes, se tendrıa elsiguiente resultado:

(BC ·MN) sin θ = (AD ·MN) sinαSi BC 6= ADentonces:

sin θ

sinα=AD

BC

4.2. LADOS CONGRUENTES

Si en un cuadrilatero ABCD, AB =BC = CD, y M es el punto de inter-seccion de la recta de Newton del cua-drialtero con el lado AD. Si M esta enla prolongacion del segmento DA en-tonces la perpendicular trazada por Mhacia el lado BC es igual a la diferen-cia de las distancias desde dicho puntohacia los otros lados del cuadrilatero.


A

B C

D

M

a

b

x

Figura 4.2: x = a− b

� Prueba

El area de la region cuadrangularABCDse puede expresar como la diferencia entrelas areas de las regionesMBCD yMBA

[ABCD] = [BMC] + [CMD]− [BMA]

x ·BC =x ·BC

2+a · CD

2− b · AB

2ComoAB = BC = CDEntonces:x = a− b �

47

4.3. CIRCULO INSCRITO

A B

C

D

P

ha

a

r

Figura 4.3:1

ha+

1

hb+

1

hc+

1

hd=

2

r

Calculo del inradio de un cuadrilate-ro circunscrito, en funcion de las per-pendiculares de superficie1.

� Prueba

[ABCD] = a · ha = b · hb = c · hc =d · hd = ((a + b + c + d) · r)/2

1Llamaremos ası a las perpendiculares trazadas desde el puntode interseccion de la recta de Newton con los lados del cuadrilate-ro, hacia sus respectivos lados opuestos


1/ha = a/[ABCD]

1/hb = b/[ABCD]

1/hc = c/[ABCD]

1/hd = d/[ABCD]

Sumando

1

ha+

1

hb+

1

hc=a + b + c + d

[ABCD]

y como [ABCD] = ((a+b+c+d)·r)/2

1

ha+

1

hb+

1

hc+

1

hd=

2

r�

4.4. RAZON DE DISTANCIAS

M y N son puntos medios de lasdiagonales AC y BD de un cuadrilate-ro ABCD, P y Q son puntos mediosde CM y BN Las rectas MN y AD

49

son secantes en G y las rectas PQ yMN se intersecan en S, entonces lasdistancias de G y S al lado BC estanen la relacion de 1:4

A

B

C

D

MN

P

Q

S

a b

G

� Prueba

Sabemos que [ABCD] = 4[MNCB]b ·BC = 4(a ·BC)luego:b = 4 · a �


4.5. BISECCION

A

B

C

D

M

N

P

b

[ABPF] = [FDCP]

E

bF

Si CE // PD entonces:

Si M y N son puntos medios de lasdiagonales de un cuadrilatero ABCD,y la recta MN interseca al lado BCen P , siendo la recta CE paralela a larecta PD, con E en la recta AD; si Fes un punto en AD de modo que AF =DE, entonces [ABPF ] = [PFCD].

51

� Prueba

[BPA] + [PCD] = [APD] = [APF ] +[FPD] = [DPE] + [FPD]

= [DPC] + [FPD] = [FPCD] �

Buscando en los archivos historicos degeometrıa, se puede encontrar una pu-blicacion del matematico Frances: Anne,Pierre Leon (1806 - 1850), en esta pu-blicacion el presenta un teorema que ha-ce que el caso 1 de nuestro teorema delcalculo del area de un cuadrilatero sea uncorolario de su teorema.

4.6. LEON PIERRE ANNE

Dado un cuadrilatero, el lugar geome-trico de todos los puntos tal que la su-ma de las areas de los triangulos de-terminados con dicho punto y dos la-dos opuestos es igual a la suma de lasareas de los otros dos triangulos deter-


minados con los otros dos lados; es lalınea recta que pasa por los puntos me-dios de las diagonales2.

A

B

C

D

O

M

N

� Prueba (Original)

Reproducimos la prueba original de LeonAnne:

Sea MN la recta que pasa por los pun-tos medios de las diagonales; las perpen-diculares bajadas desde los vertices delcuadrilatero sobre dicha recta son igua-les dos a dos, se sigue que los triangulos

2Puede leerse sobre este teorema en el F. G. M. (1912) Teo-rema 555 Problema 1613 (pag 767), ademas se encuentra unageneralizacion para cualquier polıgono en el libro Induccion en laGeometrıa de Golovina y Yaglom (pag 70) de la editorial MIR

53

con bases iguales sobre el segmento MNy con vertices en A y en C son equiva-lentes, lo mismo para los triangulos convertices en B y en D. Entonces:

[AOB] = [AMB] + [AOM ] + [BOM ][DOC] = [DMC] - [COM ] - [DOM ]ademas[AOM ] = [COM ] y [DOM ] = [BOM ]luego:[AOB] + [DOC] = [AMB] + [DMC]De la misma rorma:[AOD] = [AMD] + [DOM ] - [AOM ][COB] = [CMB] - [BOM ] + [COM ]sumando:[AOD] + [COB] = [AMD] + [CMB]de los resultados obtenidos, queda demos-trado que:[AOB] + [COD] = [AOD] + [COB] �

� Prueba (Alternativa)

Senalemos que el teorema de Leon An-ne, se puede demostrar tambien si parti-


mos usando el teorema dado al inicio delartıculo.

A

B

C

D

O

A

B

C

D

O

S

G

S

G

Siendo O un punto del segmento SG,entonces podremos encontrar regiones e-quivalentes que permiten la demostraciondel teorema

[AOB] + [DOC] = [AOB] +[COG] +[OGD][AOB] + [DOC] = [AOB] +[AOG] +[OGB][AOB] + [DOC] = [ABCD]/2de allı se sigue que: [BOC] + [AOD] =[ABCD]/2de donde se concluye que:[AOB] + [COD] = [AOD] + [COB] �

55

4.7. SUMA DE PRODUCTOS

Para todo punto S ubicado en la re-gion interior de un cuadrilatero conve-xo y en la recta que pasa por los pun-tos medios de las diagonales, se verifi-ca que la suma de los productos de doslados opuestos con sus respectivas dis-tancias a ellos desde S, se mantieneconstante:

A

B

C

D

M

N

S

m

n

xy

a

b

c

d

Figura 4.4: x · a+ y · c = m · b+ n · d


� Prueba

Del teorema de Leon Anne, se sabe quepara los triangulos con vertice en S, secumple:

[ASB] + [DSC] = [BSC] + [ASD]

De allı se sigue que:

x · a + y · c = m · b + n · d �

4.8. AREA

Si M y N son puntos medios de lasdiagonales de un cuadrilatero ABCD,P y Q puntos medios de las diagonalesdel cuadrilatero BMNC, y S el pun-to de superficie del lado MN del cua-drilatero BMNC, entonces el area dela region ASD es igual a 3/2 del areade la region cuadrangular BMNC.

57

A

B

C

D

MN

P

Q

S

Figura 4.5: [ASD] = 3 · [BMNC]/2

� Prueba

A

B

C

D

MN

P

Q

S

a 4a

Gb

h

m


Sabemos que

[BMNC] = 2[BSC] = a ·m

2[BSC] + 2[ASD] = [ABCD]

a ·m + h · b = 4a ·m

entonces:

h · b = 3a ·m

(h · b)/2 = 3(a ·m)/2

[ASD] = 3 · [BMNC]/2 �

4.9. SHARIGUIN

La recta que pasa por los puntos me-dios de las diagonales AC y BC delcuadrilatero ABCD corta a los ladosAB y DC respectivamente en los pun-tos M y N. Demostrar que [DCM ] =[ABN ].

59

A

B

C

D

MN

K

L

Figura 4.6: [DCM ] = [ABN ]

� Prueba (Original)

Solucion original del libro de Shariguin(Problema II-37 pag. 72)Supongamos que K es el punto medio deDB y L es punto medio de AC[ANM ] = [CNM ] ya que AL = LCprecisamente de esta manera:[BNM ] = [DNM ]de donde se deduce la afirmacion �


� Prueba (Alternativa)

Tenemos un segundo metodo si aplica-mos el teorema dado en este artıculo.

[BNA] = [ABCD]/2

[DNC] = [ABCD]/2

de donde:

[DCM ] = [ABN ]. �

4.10. AREA

La recta que pasa por los puntos me-dios de las diagonales AC y BD delcuadrilatero ABCD interseca a los la-dos AB y DC respectivamente en lospuntos M y N. Si L es punto mediodel segmento MN entonces el area dela region ABL es igual a la cuarta par-te del area de la region cuadrangularABCD.

61

� Prueba

La prueba es inmediata ya que el areade la region ABN es la mitad del areade la region ABCD, y como el area dela region ABL es la mitad del area deABN , entonces se sigue la demostracionde inmediato. �

A

BC

D

M

N

L

Figura 4.7: [ABL] = [ABCD]/4


Comentarios

1. Parte del teorema expuesto en este cua-dernillo (para el caso del cuadrilatero con-vexo y cuando el punto de superfi-cie3 esta en un lado del cuadrilatero yno en sus prolongaciones), puede ser in-terpretado como un caso particular delteorema de L. Anne, es decir como unCorolario que se desprende del teoremade Anne, ello cuando se usa la recta quepasa por los puntos medios de las diago-nales.

2. Usando el teorema expuesto en es-te artıculo es posible rapidamente demos-trar el teorema de Leon Anne.

3. El teorema presentado para el areadel cuadrilatero es general, de modo queuna perpendicular de superficie puede ono estar en la region cuadrangular.

3Denominamos ası, en este artıculo, al punto de interseccionde la recta de Newton de un cuadrilatero con alguna de las rectasque contienen a sus lados

63

4. El resultado mostrado en este artıcu-lo es especialmente importante por su sen-cillez, por la forma en que se puede de-mostrar, y porque involucra al baricentrodel cuadrilatero.

Capıtulo 5

PROBLEMAS

5.1. Problema 1

Dado un cuadrado MBLD, A es unpunto en la prolongacion de DM , Q esun punto de ML y C un punto en laprolongacion de AQ de modo que AQ =QC, la recta ML interseca al segmentoBC en P . Si m∠LBC = θ y AD ·BP =K. Calcule el area de la region ABCD.

65


A

B

C

D

P

θ

M

L

Q

5.2. Problema 2

P es un punto en la prolongacion deldiametro BC de una semicircunferenciay Q un punto en dicha semicircunferen-cia, de modo que la medida del arco CQes 37◦, se prolonga el segmento BQ, has-ta el punto D, y se ubica el punto A, almismo lado que D respecto de la rectaBP , tal que m∠ABP = 90◦, y AB =BC = CD = 2CP . Si [APD] = S,calcule el area de la region ABPD (con-sidere la aproximacion tan 26, 5◦ = 1/2).

67

A

B C

D

P

Q

5.3. Problema 3

C es un punto en la prolongacion deldiametroAB de una semicircunferencia yN un punto en dicha semicircunferencia,se traza NH perpendicular a AB (H enAB) de modo que resulta AH = HC,luego se contruye el cuadrado HCDQque pasa por N , S es otro punto de lasemicircunferencia tal que los arcos SNyNB miden igual, ademas las rectasNByAS se intersecan enM y las rectasMQyDC se intersecan en P . Conociendo queel area de la region AMPH es S. Calculeel area de la region trapecial HQDB.


B C

Q

A

D

P

M

N

O H

S

5.4. Problema 4

Dado un rectangulo ABCD, y un cua-drilatero ADNM donde M esta en AB,de modo que el segmento MN intersecaen P al lado BC, y el segmento ND in-terseca en Q al lado BC. Si ademas sesabe que la recta que pasa por los puntosmedios de las diagonales del cuadrilateroADNM pasa tambien por P . Demuestreque: [MBP ] + [DCQ] = [QNP ].

69

A

B C

D

M

P Q

N

5.5. Problema 5

Dado un cuadrilatero convexo ABCDdonde la recta que pasa por los puntosmedios de las diagonales del cuadrilatero,interseca en M a DC, si el simetrico deD respecto de AM es el punto P ubi-cado en el segmento AB. Demuestre que[MPB] = [MCB].


A

B

C

D

P

M

5.6. Problema 6

Dado un rectangulo ABCD, Q es unpunto de BC y P un punto de AD, demodo que AP = QC. N es un puntop dePQ y F un punto en la prolongacion deBN , si PQ∩AF = {M} y AM = MFsiendo ademas BM ∩ AN = {E}. Cal-cule la razon de las areas de las regiones[ABE] y [ENDM ].

71

A

B C

D

E

F

P

Q

M

N

Bibliografıa

[1] Eves, Howard, Estudio de TodasLas Geometrıas. Hispano. America-na: Mexico, 1969

[2] Frere, Gabriel Marie, Exerci-ses de Geometrie J. Gigord. Parıs:1920

[3] L. I. Golovina, I. M. Ya-glom, Induccion en la GeometrıaEd. MIR. Moscu: 1976

[4] Donaire, M., Formas y Numeros- La geometrıa en las Olimpıadas deMatematica. Universidad de Cienciasy Humanidades. Peru: 2010

[5] Jose Araujo, Guillermo Keil-hauer, Norma Pietrocola,

73


Valeri Vavilov, Area y Volumenen la Geometria Elemental. Ed. RedOlımpica. Buenos Aires: 2000

[6] Triangulos Cabri (2008 -2018), Problema 867. Espana: 2018http://personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/

[7] Coolidge, J. L., A HistoricallyInteresting Formula for the Areaof a Quadrilateral. Amer. Math.Monthly 46, 345-347, 1939.

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[9] Carl B. Boyer, Historia de laMatematica. John Wiley - Sons, Tra-duccion Ed. Alianza Editorial 1986.

[10] Weisstein, Eric W., Bretsch-neider’s Formula. From Math-World A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html

[11] Titu Andreescu, Luis Gon-zales, Cosmin Phoata, New-ton y los puntos medios de lasdiagonales de un cuadrilate-ro circunscrito. Web Resource.https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2014-01/newton and midpoints.pdf

[12] Weisstein, Eric W., LeonAnne’s Theorem. From Math-World A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/LeonAnnesTheorem.html

[13] I. Shariguin, Problemas de Geo-metrıa - Planimetrıa. Editorial Mir:URSS, 1989

Este cuadernillo se culmino, en su ver-sion 18.8 el 30 de Julio del 2018

Lima - Peru

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