fichas (4)

© Santillana, desaf’o Pre Kinder , 2009.

Ficha Nº 1: Patrones Numéricos Nombre: _____________________________________________________________ Curso: _____________________________ Fecha: ___________________________ Toda sucesión de números se forma siguiendo una regla que llamaremos patrón numérico. Por ejemplo, considerar como patrón numérico sumar sucesivamente 4 unidades, partiendo de 1, se genera la sucesión: 1, 5, 9, 9, 13,… Una de las formas de representar algebraicamente esta sucesión, no siendo la única, es : 4n + 1, con n = 0, 1, 2, 3,… Observa la siguiente sucesión de números: ¿Podrás determinar una expresión algebraica que te permita obtener cada uno de los términos de la sucesión anterior? Observa como se relaciona cada término con la posición que ocupa en la sucesión:

Luego, el n-ésimo término (ocupa la posición n), de mantenerse el patrón de formación, se puede obtener a partir de la multimplicación de 2 y n, es decir, mediante la expresión algebraica 2 • n. Ejemplo ¿Qué número corresponde a la posición 15 de la sucesión anterior? Tenemos que 2 • 15 = 30, por lo tanto, el término 15 de esta posición corresponde a 30. ¿Qué posición ocupa el número 148 dentro de la sucesión? ______________________________________________________________________


La búsqueda de propiedades de los números ha sido objeto de

estudio desde hace muchos años. En el siglo VI a. C. los pitagóricos estudiaban los números triangulares y los números cuadrados, los cuales se forman a partir de las siguientes secuencias geométricas:

Resuelve Considera la siguiente secuencia Suponiendo que el patrón se mantiene:

1. Determina el décimo término de la secuencia ___________________________________________________________________

Otra forma de obtener una expresión algebraica que represente una sucesión, puede ser la siguiente:

La diferencia entre dos términos consecutivos es 3, por lo que podemos asociar esta sucesión con la expresión 3n. Luego El término 1 es 5, por lo cual 3 • 1 + 2 = 5 El término 2 es 8, por lo cual 3 • 2 + 2 = 8 El término 3 es 11, por lo cual 3 • 3 + 2 = 11 El término 4 es 14, por lo cual 3 • 4 + 2 = 14 Luego, de mantenerse el patrón numérico, la expresión que representa a esta sucesión es: 3n + 2


2. ¿Qué lugar ocupa el número 144 dentro de la secuencia

___________________________________________________________________ 3. Escribe una expresión que represente la secuencia ___________________________________________________________________

Considera la siguiente secuencia: 11, 12, 13, 14,… 4. Escribe una expresión para representar el n-ésimo término de la

secuencia ___________________________________________________________________ 5. Determina el valor del término de lugar número 100 de la

secuencia ___________________________________________________________________

Observa la siguiente secuencia Suponiendo que el patrón se mantiene:

6. Escribe una expresión que represente el número de figuras que ocupan la n-ésima posición de la secuencia

___________________________________________________________________ 7. Calcula el número de figuras que habrá en el término 98 de la

secuencia ___________________________________________________________________ 8. ¿Cuál es la regla de formación para los números triangulares y

cuadrados? ___________________________________________________________________


Problemas 1. Asumiendo que el patrón numérico obtenido se mantiene, escribir

cinco términos más en cada una de las secuencias numéricas. a) 15, 32, 49, 66,… ___________________________________________________________________ b) 247, 234, 221, 208,… ___________________________________________________________________ c) 1,1, 2, 3, 5, 8, 13,… ___________________________________________________________________ d) 1, 8, 27, 64,… ___________________________________________________________________ e) 1, 3, 7, 15, 31,… ___________________________________________________________________ f) 2, 6, 12, 20, 30, 42,… ___________________________________________________________________ 2. Observa la figura y responde

a) Obtén el número de segmentos necesario para formar 8 hexágonos

___________________________________________________________________ b) ¿Cuántos hexágonos se pueden construir con 106 segmentos?

___________________________________________________________________


Ficha Nº 2: Conceptos Algebraicos Básicos Nombre: _____________________________________________________________ Curso: _____________________________ Fecha: ___________________________ Términos algebraicos

Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más variables literales.

En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye el signo y constantes matemáticas) y la parte literal (que incluye variables).

Se define el grado de un término algebraico como la suma de los exponentes de cada factor de la parte literal.

Ejemplos:

Notación algebraica. La utilidad del álgebra se aprecia al adquirir la capacidad de traducir enunciados entre el lenguaje habitual y el lenguaje algebraico. Interesa, principalmente, utilizar notación algebraica para expresar ecuaciones y fórmulas. Por ejemplo: la expresión algebraica 3x2 se puede traducir: “el triple del cuadrado del número x”. La frase “la quinta parte de un número a, menos la tercera parte de

b” se puede expresar como 35

ba

Las expresiones más usadas son: El doble de un número x ► 2x El triple de un número x ► 3x El cuadrado de x ► x2 El cubo de x ► x3 La razón de x e y ► x : y x aumentado en dos ► x + 2 x disminuido en tres ► x – 3 cuando x representa un entero, el sucesor de x ► x + 1 el antecesor de x ► x – 1 un número par ► 2x un número impar ► 2x – 1


Reducción de términos semejantes

Dos o más términos de una expresión algebraica serán términos semejantes si sus partes literales son idénticas.

La reducción de términos semejantes consiste en agrupar todos los términos semejantes de una expresión en uno solo, sumando los coeficientes numéricos de cada término semejante y conservando la parte literal común.

Ejemplo: Se sabe que el perímetro de un triángulo isósceles es 15 cm, y los lados miden el doble de la base, ¿Cuánto miden los lados del triángulo? ¿Cuánto mide la base del triángulo? Si la medida de la base del triángulo se representa por la letra x, entonces la medida de cada lado se puede representar como 2x (ver figura). Se tiene 2x + 2x + x = 15; para resolver esta ecuación se deben sumar todas las medidas que están representadas por la misma letra (x). A esto se le llama reducir términos semejantes.

Veamos otro ejemplo: El ancho de un rectángulo mide a cm y el largo b cm, ¿cómo se puede representar, de manera algebraica, el perímetro (p) del rectángulo?

Luego, el perímetro de un rectángulo cuyos lados miden a y b cm, respectivamente está dado por 2a + 2b.

Luego, la base mide 3 cm y cada lado mide 6 cm.


Ficha Nº 3: Reducción de términos semejantes Nombre: _____________________________________________________________ Curso: _____________________________ Fecha: ___________________________ Reduce los siguientes términos semejantes. 1. 2x + 3x – 6x + 4x ► _________________________ 2. 3ab – 5ab + 4ab ► _________________________ 3. a2 – 4a2 + 2a2 ► _________________________ 4. 0,5x – 2x + 0,25x ► _________________________ 5. 4mn + 2n – 3m – 2mn + 2m ► _________________________ 6. xy2 – x2y – x2y2 – 5x2y + 2x2y2 ► _________________________ Al reducir términos semejantes que estén expresados entre paréntesis se debe considerar lo siguiente:

Elimina paréntesis y luego reduce los términos semejantes, según corresponda. 7. 2x – (4x) ► _________________________ 8. 3x – (x – 2) – 2 + (x – 4) ► _________________________ 9. – 2ab – (ab – 3) + 3ab + 8 ► _________________________ 10. (3a - 2b + 5c) – (– 3b – 5c – 3a) ► _________________________


Ficha Nº 4: Ecuaciones con la incógnita a ambos lados Nombre: _____________________________________________________________ Curso: _____________________________ Fecha: ___________________________


Ficha Nº 5: Ecuaciones fraccionarias Nombre: _____________________________________________________________ Curso: _____________________________ Fecha: ___________________________


Ficha Nº 6: Ecuaciones con Decimales Nombre: _____________________________________________________________ Curso: _____________________________ Fecha: ___________________________ Para resolver una ecuación cuyos coeficientes son números decimales podemos usar ecuaciones con fracciones. Por ejemplo, para resolver la ecuación 0,25x – 1 = 0,75 primero transformamos los números decimales 0,25 y 0,75 a fracción:

reescribimos la ecuación ► 4

31

4

1x y la resolvemos

También podemos resolver la ecuación inicial directamente


Ficha Nº 7: Estudio de las soluciones Nombre: _____________________________________________________________ Curso: _____________________________ Fecha: ___________________________ Antonia, una alumna de 7º año, ha obtenido en el segundo semestre las siguientes notas en matemática: 6,0 3,5 5,2 4,1 3,4 Si quiere tener un 6,0 de promedio en el semestre, ¿qué nota debe sacarse en la última prueba? Observa la ecuación y la solución que plantea Antonia: Es evidente que Antonia no puede obtener un 6,0 de promedio ya que aunque la ecuación esté bien resuelta, el resultado puede ser imposible en la realidad, como sucede en este caso. ¿Qué pasaría si solo quisiera obtener un 5,5 como promedio en el semestre? ¿Es posible?


Ficha Nº 8: Ecuaciones Literales Nombre: _____________________________________________________________ Curso: _____________________________ Fecha: ___________________________


Ficha Nº 9: Resolución de Problemas Nombre: _____________________________________________________________ Curso: _____________________________ Fecha: ___________________________ Plantea la Ecuación correspondiente a cada problema y resuélvelo:

1. Si la edad de María aumentada en 10 años es igual a 46, ¿cuántos años tiene María?

__________________________________________________________________ 2. Si Carla tiene 24 dulces en una bolsa, y debe entregar uno a cada

uno de sus 45 compañeros, ¿cuántos dulces le faltan?

___________________________________________________________________ 3. Fabián lee un libro de 250 páginas. En cinco días ha leído 180.

¿Cuántas páginas del libro le faltan para terminar?

___________________________________________________________________ 4. Carolina lleva tres bolsas con cinco naranjas en cada una de

ellas. Por el camino rompe una bolsa y pierde tres de ellas. ¿Con cuántas naranjas se queda?

___________________________________________________________________ 5. Una bolsa de 40 paletas de dulces cuesta $ 1.520. Si cada paleta

tiene el mismo valor, ¿cuánto cuesta una?

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6. Un padre de 45 años tiene 5 veces la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene el hijo?

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7. Un curso de 45 alumnos necesita reunir $ 450.000 para su gira de

estudios. ¿Cuánto debe aportar cada alumno, si a todos les corresponde pagar la misma cantidad?

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